河北省衡水中学2026届高三上学期综合素质评价四（月考）数学试题

2025－2026学年度高三年级上学期综合素质评价四 数学学科 主命题人：张金瑞 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）． A. B. C. D. 2. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 3. 设,且,则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 若，且，则直线必不过（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 已知，．设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 数列是等比数列，则对于“对于任意的，”是“是递增数列”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 不充分也不必要 8. 已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与平面所成角的正弦值为 B. 点到平面的距离为2 C. 直线与所成角的正切值是2 D. 平面截正方体所得的截面面积为 10. 已知直线，圆，则（ ） A. ，与相交 B. ，使得圆心到的距离为 C. 当圆截所得的弦长为时，的值为 D. 当圆上有个点到的距离为时， 11. 从数列中选取第项、第项、、第项，并按原顺序构成的新数列称为数列的“连续子列”．已知数列中，，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列．则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是_________. 13. 已知函数只有一个极值点，则实数的取值范围为________. 14. 已知底面半径为的圆锥其轴截面面积为，过圆锥顶点的截面面积最大值为，若，则该圆锥的侧面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 等差数列的前n项和为，数列满足 （1）求数列和的通项公式； （2）若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和． 16. 如图，三棱锥中，底面是正三角形，底面，平面，垂足为． （1）是否可能是的垂心，请说明理由 （2）若恰是的重心，求直线与平面所成角的大小． 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若点为边的中点，点，分别在边，上，，.设，的面积为，求的取值范围. 18. 如图1，在平面五边形中，，，，，将三角形沿着向上翻折至三角形，得到四棱锥，如图2所示. （1）求证：； （2）若平面平面， （i）求平面与平面所成角的余弦值； （ii）点在线段上，设平面将四棱锥分为两个多面体，其中点所在的多面体体积为，另一个多面体体积为，若，求点到平面的距离. 19. 已知函数 （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若有3个零点，，，且. （i）求实数的取值范围； （ii）比较与的大小，并证明你的结论. 2025－2026学年度高三年级上学期综合素质评价四 数学学科 主命题人：张金瑞 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】或 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）， （2）4231 【16题答案】 【答案】（1） 如图：假设是的垂心，则：， 又因为平面，平面， 所以，又平面， 所以平面，平面， 所以，又因为底面， 所以，又平面， 所以平面，所以，与底面是正三角形矛盾， 所以不是的垂心. （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） 如图，连接，，因为且，， 故四边形为矩形， 因为，，由勾股定理得，且， 又，由余弦定理得， 所以，，所以， 连接交于点， 则等腰三角形中，为角平分线，也是垂线，所以. 折叠之后有，，，平面， 所以平面，又平面，所以. （2）（i）（ii） 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i） （ii），证明如下： ，且， 由以上可知，则， 且，， ，则，， 又，即， 而=， 令，，则， 故在上为增函数，， ，，， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $