精品解析：广东省兴宁市实验学校、宁江中学2025-2026学年上学期八年级教学质量监测数学试题

2025-2026秋季学期八年级教学质量监测试题（数学科） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个图标中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 2. 若，，则（ ） A. 9 B. 18 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 3. 下列各数，3.1415926273，，，0.31，中，无理数的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：无理数有：，，，共3个． 故选：B． 4. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 9，40，41 B. ，， C. 1.5，2，2.5 D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股数．满足的三个正整数，称为勾股数，由此验证即可． 【详解】解：A、∵， ∴9、40、41是一组勾股数，故本选项符合题意； B、， ∴不是一组勾股数，故本选项不符合题意； C、∵1.5和2.5不是正整数， ∴1.5、2、2.5不是一组勾股数，故本选项不符合题意； D、∵和不是正整数， ∴，，不是一组勾股数，故本选项不符合题意； 故选：A． 5. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标特征、各象限内点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求出点关于x轴对称的点的坐标，再判断其所在象限即可． 【详解】点关于x轴对称的点为， 该点落在第一象限， 故选A． 6. 一个直角三角形的两边长分别是1和，则第三边长为（　　） A. 2 B. 4 C. 4或 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．分两种情况讨论：第三边为直角边，第三边为斜边，利用勾股定理分别计算即可． 【详解】解：一个直角三角形的两边长分别是1和， 第三边为斜边时，边长为：， 第三边为直角边时，边长为：， 故第三边长为2或， 故选：D． 7. 的立方根是（　　） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，求一个数的算术平方根，先整理，再求出3的立方根，即可作答． 【详解】解：， ∴3的立方根是， 故选：C 8. 把一个直角三角形的两直角边长同时扩大为原来的3倍，则斜边长扩大为原来的（　　） A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 不变 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理分析直角边扩大后斜边的变化规律． 设原直角三角形的两直角边为、，斜边为，根据勾股定理得到，然后分析两直角边扩大为原来的3倍后，新斜边与原斜边的关系． 【详解】解：设原直角三角形的两直角边为、，斜边为， 则有， 当两直角边扩大为原来的3倍后，新直角边分别为、，设新斜边为， 则， 所以， 故斜边扩大为原来的3倍． 故选：B． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 分和两种情况讨论，根据的值分别判断出一次函数与正比例函数的图象分布位置，结合选项即可得出答案． 【详解】解：当时，函数经过第一、三象限，函数经过第一、三、四象限； 选项中没有符合条件的图象； 当时，函数经过第二、四象限，函数经过第一、二、三象限； 选项B的图象符合要求． 故选：B． 10. 如图，在中，，是边上的中线，将绕着点C顺时针旋转，得到，连接，交于点F．若，，则（ ） A. B. C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形，平行线分线段成比例，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 过作交延长线于，过作，过作，根据面积可得，再根据中线得到，接着通过证即可求解． 【详解】解：过作交延长线于，过作，过作， ，， ， 解得， ，， ， ， ，， ， ， 又为中点， ， ， ， 为中位线， ， 绕着点C顺时针旋转， ，， ， 又， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使二次根式有意义，则x 的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，据此列不等式求解．本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 【详解】解：要使二次根式有意义，则， ， ． 故答案为：． 12. 的小数部分是__________. 【答案】-3 【解析】 【详解】∵9<13<16, ∴3<<4, ∴的整数部分是3，小数部分是-3. 故答案为：-3. 13. 已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为_____． 【答案】或##或4 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论． 【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为3和5， ∴①当5是此直角三角形的斜边时， 设另一直角边为， 则； ②当5是此直角三角形的直角边时， 设斜边为， 则． 综上所述， 故答案为：4或． 14. 点、点关于轴对称，则的值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特点，熟知点的坐标变化规律是解题的关键． 根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得，进而即可求解． 【详解】解：∵点、点关于轴对称， ∴， ∴ ， 故答案为：1． 15. 无论k为何值，直线必过定点_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据可化为，当时，，即可求出定点坐标，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：直线， 当时，， ∴直线必过定点， 故答案为：． 三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查混合运算，涉及二次根式性质、二次根式乘除运算等知识，熟记二次根式相关运算法则是解决问题的关键． 先由二次根式性质、二次根式乘法及二次根式除法运算化简即可得到答案． 【详解】解： ． 17. 如图．已知：在中，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用全等三角形判定证明即可； （2）利用全等三角形判定证明，再利用全等三角形的性质即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，有一圆柱形透明玻璃容器，高，底面周长为，在容器内壁距上边沿的A处，停着一只小飞虫，一只蜘蛛从容器底部外向上爬了到达B处时（B处与A处恰好相对），发现了小飞虫，则蜘蛛怎样爬去吃小飞虫最近？请正确画出最短路径的展开图并解答．（容器厚度忽略不计） 【答案】 即为所求； 蜘蛛沿外壁B处爬到上沿C处，再爬到A处路线最近，且它至少要爬行 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用—最短路径问题，利用轴对称解决线段和最小的问题，将圆柱体展开，作于O，作A点关于直线的对称点，连接，则即为所求，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：将圆柱沿着A，B所在直线垂直切开，并将半圆柱侧面展开成一个长方形，如图，作于O，作A点关于直线的对称点，连接， 由图和题意可知：，，， ∴， 由勾股定理，得； 故蜘蛛沿外壁B处爬到上沿C处，再爬到A处路线最近，且它至少要爬行． 四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 一辆装满货物的卡车，高，宽，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞（如图所示）．已知半圆的直径为，长方形的另一条边长为． （1）这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由． （2）为了适应车流量的增加，要将桥洞改为双行道．如果要使宽为、高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？ 【答案】（1） 这辆卡车能安全通过桥洞．理由如下： 如图①，为卡车的宽度． 过点分别作的垂线交半圆于两点， 连接，过点作于点E， 则， 所以． 因为， 所以在中，由勾股定理，得，所以， 所以． 因为，所以这辆卡车能安全通过桥洞． （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题目做出辅助线，利用勾股定理进行求解. （1）通过计算卡车在桥洞中间位置时顶部到桥洞顶部半圆的垂直距离，与卡车高度比较来判断能否通过. （2）根据给定卡车的尺寸，利用勾股定理求出桥洞半圆部分所需的半径，进而得到桥洞的宽度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图②，为卡车的宽度，为道路的中点． 过点E作于点F，交半圆于点B， 连接，过点作，交的延长线于点G． 根据题意可知，，所以． 在中，根据勾股定理，得， 所以． 故此桥洞的宽至少应增加到． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_______； （3）在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1）如图所示： ； （2） （3）点即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了作图--轴对称变换，轴对称--最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）一个点关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标变为相反数； （3）作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求． 【小问1详解】 解：关于x轴对称对应点分别为，如图所示： 【小问2详解】 解：关于y轴对称点为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求： 理由如下： 由对称可知， 的周长为，当且仅当三点共线时，等号成立， ∴当P为与y轴的交点时，的周长最小． 21. 某市自来水采用分段收费标准．设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）． 用水量x（立方米） 应交水费y（元） 不超过12立方米 每立方米3.5元 超过12立方米 超过的部分每立方米4.5元 （1）求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； （2）若某户居民某月交水费78元，则该户居民用水多少立方米？ 【答案】（1） （2）该户居民用水20立方米 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）根据表格中的数据，可以写出每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； （2）先判断该户居民用水量的范围，然后根据（1）中的关系式，即可计算出该户居民用水多少立方米． 【小问1详解】 解：由题意可得， 当时，， 当时，， 由上可得，每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式是； 【小问2详解】 解：∵， ∴该户居民用水超过12立方米， 设该户居民用水a立方米， 则， 解得， 答：该户居民用水20立方米． 五、解答题（三）本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分 22. 如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点，． （1）求点，的坐标； （2）一次函数的图象与轴交于点，在轴上有一点，使与的面积相等，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，以及函数图像和性质，熟练掌握一次函数图像上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据计算函数值为对应的自变量和自变量为对应的函数值即可得到答案； （2）根据题意求出，分两种情况进行讨论即可得到答案． 【小问1详解】 对于直线，令得到，令得到， ，． 【小问2详解】 一次函数的图象与轴交于点， ， ， 的面积为； 又与的面积相同， 的面积为， 的高为， ， ， ， 点的坐标为或． 23. 阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： （1）的值为 ． （2）比较大小： ． （3）求的值． （4）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3）44 （4） 【解析】 【分析】此题考查了分母有理化、二次根式的化简求值，弄清分母有理化的方法是解本题的关键． （1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果； （2）利用分子有理化，再比较即可得到结果； （3）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果； （4）先化简a，然后代入所求式子计算即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026秋季学期八年级教学质量监测试题（数学科） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个图标中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若，，则（ ） A. 9 B. 18 C. 3 D. 6 3. 下列各数，3.1415926273，，，0.31，中，无理数的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 9，40，41 B. ，， C. 1.5，2，2.5 D. ，， 5. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 一个直角三角形的两边长分别是1和，则第三边长为（　　） A. 2 B. 4 C. 4或 D. 2或 7. 的立方根是（　　） A. B. C. D. 3 8. 把一个直角三角形的两直角边长同时扩大为原来的3倍，则斜边长扩大为原来的（　　） A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 不变 9. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，是边上的中线，将绕着点C顺时针旋转，得到，连接，交于点F．若，，则（ ） A. B. C. 9 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使二次根式有意义，则x 的取值范围为______． 12. 的小数部分是__________. 13. 已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为_____． 14. 点、点关于轴对称，则的值为___________． 15. 无论k为何值，直线必过定点_______． 三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 计算：． 17. 如图．已知：在中，，．求证： （1）； （2）． 18. 如图，有一圆柱形透明玻璃容器，高，底面周长为，在容器内壁距上边沿的A处，停着一只小飞虫，一只蜘蛛从容器底部外向上爬了到达B处时（B处与A处恰好相对），发现了小飞虫，则蜘蛛怎样爬去吃小飞虫最近？请正确画出最短路径的展开图并解答．（容器厚度忽略不计） 四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 一辆装满货物的卡车，高，宽，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞（如图所示）．已知半圆的直径为，长方形的另一条边长为． （1）这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由． （2）为了适应车流量的增加，要将桥洞改为双行道．如果要使宽为、高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_______； （3）在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 21. 某市自来水采用分段收费标准．设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）． 用水量x（立方米） 应交水费y（元） 不超过12立方米 每立方米3.5元 超过12立方米 超过的部分每立方米4.5元 （1）求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； （2）若某户居民某月交水费78元，则该户居民用水多少立方米？ 五、解答题（三）本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分 22. 如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点，． （1）求点，的坐标； （2）一次函数的图象与轴交于点，在轴上有一点，使与的面积相等，求点的坐标． 23. 阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： （1）的值为 ． （2）比较大小： ． （3）求的值． （4）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $