第03讲 分式（复习讲义，3考点5题型2重难）（天津专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习资料聚焦“分式”专题，覆盖分式有意义/值为0的条件、分式性质及运算（含加减、乘除、混合运算）等中考核心考点，依据课标要求构建“考情剖析-知识导航-考点解析-题型预测-重难突破-分层练习”的复习体系，通过考点梳理、方法指导与真题训练帮助学生突破异分母加减等难点，体现系统性与针对性。 亮点在于以近3年考情数据为依据，如异分母加减近3年2次考查，设计“因式分解→通分→合并→约分”分步训练，培养运算能力与推理意识。分层练习含基础巩固、能力提升及全国新趋势题型，配合限时训练（3分钟/题）保障复习效率，助力学生提升应考能力，教师可据此精准把控复习节奏。

第一章 数与式 第03讲 分式 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 分式的基础 题型01分式有意义、无意义及分式值为0的条件 命题点二 分式的运算 题型01分式的性质 题型02分式的加减运算 题型03分式的乘除运算 题型04分式的混合运算 05·重难突破·思维进阶 16 突破一 分式的化简求值问题 突破二 分式的运算与新定义问题 06·优题精选·练能提分 19 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 同分母加减运算 T7 掌握同分母分式加减运算，能正确合并分子并约分，结果化为最简分式。 异分母加减运算 T7 T9 掌握异分母分式加减运算，能通过因式分解找最简公分母、通分后合并分子，结果化为最简分式。 命题预测 1. 题型：仍以 3 分选择 / 填空题为主，位置稳定在第 7-12 题区间； 2. 考点：异分母分式加减为核心（近 3 年 2 次考查），分母大概率含平方差因式（2023、2025 年均涉及），运算类型可能交替考查加法 / 减法； 3. 难度：维持 “易” 级，但可能在分子合并后增加 “提取公因式约分” 的步骤，避免直接化简出结果； 4. 拓展：小概率结合 “分式有意义的条件” 设置隐含限制（如分母不为 0）。 备考建议 1. 练因式分解（平方差、提公因式）； 2. 异分母运算按 “因式分解→通分→合并→约分” 分步做； 3. 每天练 5 道分式加减题，限时 3 分钟 / 题； 4. 注意通分漏乘、符号错误，约分至最简。 考点一 分式的基础 分式的概念 ①形如的形式；②A、B都是整式；③分母中必须含有字母 分式有意义的条件 分母不等于零，即B≠0 分式有意义的条件是x≠-5，x的取值范围为x≥0 分式值为0的条件 分子等于零且分母不等于零，即A=0且B≠0 使值为0的条件为x=1 分式无意义的条件 分母等于零，即B=0 1．（2025·津南区·二模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件：分母不为零；据此得，即可求解． 【详解】解：由于代数式有意义，则， 得：； 故答案为：． 3．（2025天津模拟预测）若分式的值为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，准确理解题意是正确解答此题的关键． 根据分式的意义和性质，由分式值为0的条件知，分式，当时的值为0，若分式的值为0，需要且即可求解． 【详解】解：若分式的值为0，得且， 故， 故答案为：． 3．（2025天津模拟预测）请写出一个分式，并写出使其有意义的条件 ． 【答案】分式为，使其有意义的条件是（答案不唯一） 【分析】根据分式的定义和分式有意义的条件即可得． 【详解】解：写出的分式为，使其有意义的条件是， 故答案为：分式为，使其有意义的条件是（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了分式和分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题关键． 考点二 分式的性质 分式的性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：（C≠0），(C≠0)，其中A，B，C是整式. 分式符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 即：. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 约分 根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式. 通分 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 最简公分母 一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母. 1．（2025·天津·一模）下列计算正确的有几个（      ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】∵，∴结论①不正确； ∵=1，∴结论②不正确； ∵，∴结论③正确； ∵，∴结论④不正确． 综上，可得计算正确的有1个：③． 故选B. 2．（2025·天津河西·一模）化简的结果等于（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的化简，分子将括号打开，再合并同类项，最后提取公因式，分母根据完全平方公式分解因式，最后约分即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 3．（2025·西青区·一模）分式和的最简公分母为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】∵和中，字母a的最高次幂是2，字母b的最高次幂是1， ∴分式与的最简公分母为． 故答案为：． 4．（2025天津模拟预测）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（   ） 姓名：李明班级：八班得分： 判断题（每小题分．共分），对的打“√”，错的打“×”． ①代数式，是分式 ②当时，分式有意义 ③若分式的值为，则 ④式子从左到右变形正确 ⑤分式是最简分式 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的概念、分式有意义的条件、分式的基本性质、最简分式，掌握相关的概念和性质是解题的关键．根据分式的概念、分式有意义的条件、分式的基本性质、最简分式判断． 【详解】解：①代数式是整式，是分式，本小题判断正确，分； ②当时，，则分式有意义，本小题判断正确，分； ③若分式的值为，则，故本小题判断错误，不得分； ④式子从左到右变形错误，故本小题判断错误，不得分； ⑤分式是最简分式，本小题判断正确，分； 则他的得分应是分， 故选：B． 考点三 分式的运算 加减运算 1）同分母分式：分母不变，把分子相加减，即. 2）异分母分式：先通分，变为同分母的分式，再加减，即. 乘除运算 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 乘方运算 分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，且b≠0） 混合运算 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 1．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查分式的加法运算，先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 ； 故选A． 2．（2024·天津·中考真题）计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式加减运算，熟练运用分式加减法则是解题的关键；运用同分母的分式加减法则进行计算，对分子提取公因式，然后约分即可． 【详解】解：原式 故选：A 3．（2025·天津和平·三模）计算的结果等于（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式加减法，原式先通分，再根据同分母分式加减法法则进行计算即可 【详解】解： ． 故选：D． 命题点一 分式的基础 ►题型01分式有意义、无意义及分式值为0的条件 1）一个分式的分子或分母中含有分式时，只要任何一个分母为零，分式都没有意义；分式要想有意义，必须所有分母都不为零. 2）分式的值为0的条件: ①分子为0；②分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可. 当分式值为0时，忽略分母不能为0的限制条件而导致结果错误. 【典例1】（2025·天津市·模拟预测）函数 中自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了函数自变量的范围，根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可． 【详解】解：由题可得， 解得且， 故答案为：且． 【变式1-1】（2025·天津市·模拟预测）当 时，分式的值为． 【答案】或/9或0 【分析】本题考查分式值为零的条件，解题关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 根据分式的值为零的条件可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：或9， 故答案为或． 【变式1-2】（2025·武清区·二模）当时，分式无意义，则所表示的代数式可以是（   ） A． B． C．x D．3x 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值无意义的条件，根据分母为零无意义计算即可． 【详解】解：当时，，，， 根据分式无意义则分母为零，可知所表示的代数式可以是， 故选：A． 命题点二 分式的运算 题型01 分式的基本性质 利用分式的基本性质，可以做到既改变分子，又改变分母，但不改变分式的值.由此可以将一个形式复杂的分式整理得简洁一些，便于后续计算或应用. 运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0； ③要注意避免犯只乘分子或只乘分母的错误. 【典例2】（2025滨海新区模拟）下列约分正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质进行解答即可得． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项正确； D、，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的性质，注意约分是约去分子、分母的公因式，并且分子与分母相同时约分结果应是1，而不是0． 【变式2-1】（2025·南开区·一模）若将分式中的m和n都变为原来的2倍，则分式的值（    ）． A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．变为原来的 D．不变 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，将m和n替换为和，重新计算分式的值，比较即可得解，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：， 故分式的值变为原来的2倍， 故选：A． 【变式2-2】（2025·天津市模拟预测）若，且，“□”是运算符号，则“□”里可以填 ．（写出一种情况即可） 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的分子或分母同乘以或除以一个非零的代数式分式的结果不变成为解题的关键． 根据分式的基本性质即可解答． 【详解】解：由分式的基本性质可知：“□”里可以填或． 故答案为：或． ►题型02 分式的加减运算 在进行分式的加减运算时，要先观察各分式的分母是否相同，若不相同，先通分，再加减;若相同分母不变，分子直接相加减.最后的结果要化为最简分式或整式.分式的加减运算是整式运算、因式分解和分式运算的综合运用. 分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式，运算中要适当约分. 【典例3】（2025·天津和平·三模）计算的结果等于（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查通分母的分式加法．先整理，再根据同分母的分式加法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式3-1】（2025·天津南开·一模）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查异分母分式的加减法运算，熟练掌握运算法则是解题关键 先通分，然后计算加减法即可 【详解】解： ， 故选：C 【变式3-2】（2025·红桥区·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式与分式的加减法，先通分化为同分母分式加减法计算即可 ． 【详解】原式 故答案为：A． 【变式3-3】（2025·天津市·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了异分母的分式加减运算，熟练掌握运算法则，正确计算是解题的关键．先将后面分式化简，再进行同分母分式减法计算即可． 【详解】解： ． ►题型03 分式的乘除运算 分式的乘除运算归根到底可以统一成乘法运算，分式的乘法一般情况下是先约分再相乘;当除式(或被除式)是整式时，可以将其分母看作1. 【典例4】（2025和平区一模）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用平方差公式变形，再约分即可得出答案． 【详解】解：原式． 故选D． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式4-1】（2025·天津市·二模）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把除法化为乘法，再进行约分，进而即可求解． 【详解】解：原式= = =， 故选B． 【点睛】本题主要考查分式的除法运算，掌握分式的约分，是解题的关键． 【变式4-2】（2025·河北区·模拟预测）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方和分式乘法，解题的关键是正确运用法则进行化简和计算．直接利用积的乘方运算法则化简，再利用分式乘法运算法则即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． ►题型04 分式的混合运算 按顺序进行计算：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.此外，也应仔细观察式子的特点，灵活选择简便的方法计算，如使用运算律、公式等.最后将运算结果化为最简分式. 【典例5】（2025和平区二模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算括号内的运算，然后根据分式乘法的运算法则进行计算，即可得到答案． 【详解】解： = = =； 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的化简，以及分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算． 【变式5-1】（2025·天津市模拟预测）已知表示整式，且，则下列说法正确的是（    ） A．表示表示4 B．表示表示4 C．表示表示 D．表示表示 【答案】B 【分析】利用分式的混合运算可求出，进一步可知表示，表示4． 【详解】解：∵， ∴， ∴表示，表示4． 故选：B 【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的法则，求出． 【变式5-2】（2025·天津市模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得． 【详解】解： ． 【变式5-3】（2025·天津市模拟预测）在化简的过程中，小明、小红同学分别给出了如下的部分运算过程： 小明：原式 … 小红：原式 … (1)小明解法的依据是______________，小红解法的依据是______________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律 (2)试选一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)②；③ (2)见详解 【分析】本题考查分式的化简运算，涉及分式的基本性质和乘法分配律的应用． （1）小明的解法是通过通分进行，依据分式的基本性质；小红的解法是直接分配乘法，依据乘法分配律． （2）根据两种方法，分别运用分式的基本性质和乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解:小明解法的依据是分式的基本性质，小红解法的依据是乘法分配律， 故答案为②；③． （2）解：选择小明： 原式 选择小红： 原式 突破一 分式的化简求值 1．（2025·北辰区·一模）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】，2． 【分析】本题考查分式的化简求值，幂的乘方逆运算法则，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 根据分式的减法和除法进行运算，再利用完全平方公式进行因式分解，再化简式子，利用幂的乘方逆运算法则求出，然后将代入化简后的式子后，即可解答． 【详解】解：， ， ； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 将，代入上式得：原式． 2．（2025·津南区·一模）化简求值．先化简，再从0，1，2，中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】，0 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． 本题先将括号里面的式子通分并进行计算，然后将因式分解，然后按照加减运算法则进行计算，然后即可求解． 【详解】解： 原式 ； 当时，； 突破二 分式的运算与新定义问题 1．（2025·东丽区·模拟预测）设都是不为0的实数，且，，定义一种新运算：，则下面四个等式：①；②；③；④；成立的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了分式的化简，各式左右分别利用题中的新定义化简，判断即可． 【详解】解：①根据新定义得，，， ∵， ∴， 即， 故①不成立； ②，， ∵， ∴， 故②不成立； ③，， ∴， 故③成立； ④，， ∵， ∴． 综上，成立的有③． 故选：A． 2．（2025·天津市模拟预测）定义：．已知，，则（    ） A． B．8 C． D．32 【答案】B 【分析】此题考查了分式的减法、因式分解、代数式的求值．先利用新定义和分式减法得到，再把代数式因式分解并整体代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故选：B 3．（2025·天津市模拟预测）（1）【定义】如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． 【理解】分式：①，②中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； （2）【应用】先化简，并求取何整数时，该式的值为整数． 【答案】（1）②；（2），当时，该式的值为整数 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． （1）根据“和谐分式”的定义判断即可； （2）原式化简为，继而得出原式，结合分式有意义的条件可得答案． 【详解】解：（1）为整式，， 是“和谐分式”， 故答案为：②； （2）原式 ， 且， 且且， 若该分式的值为整数，则，此时分式的值． 1．（2025·天津·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算，要注意运算顺序．利用约分对A进行判断；根据负整数指数幂的意义对B进行判断；根据同分母的减法运算和约分对C进行判断；利用通分对D进行判断． 【详解】解：A、，原式计算错误，故本选项不符合题意； B、，原式计算正确，故本选项符合题意； C、，原式计算错误，故本选项不符合题意； D、，原式计算错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（2025·天津·模拟预测）计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式加减运算，根据异分母分式加减运算法则，进行计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 3．（2025·天津西青·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据分式的加减法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 4．（2023·天津东丽·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的混合运算法则即可求解． 【详解】解： ， 故选：． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，掌握同分母分式的加减法运算法则是解题的关键． 5．（2025·天津南开·二模）计算的结果等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了异分母分式减法计算，先通分，再把分子合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 6．（2025·天津和平·二模）化简的结果是(    )． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了． 【详解】解：原式． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的加减法，分式的通分的运用，解答的过程中注意符号的运用及完全平方公式的运用． 7．（2025·南开区·二模）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法运算，将分子、分母进行因式分解后即可求解． 【详解】解：原式， 故答案为： 8．（2025·天津·模拟预测）化简： ． 【答案】a 【分析】根据分式的除法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：a． 【点睛】本题主要考查了分式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键． 9．（2025·南开区·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可解答． 【详解】解： ． 当时， 原式． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及其运算、分母有理化，正确的化简分式是解答本题的关键． 1．（2025·武清区·一模）代数式的值为0，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，二次根式有意义的条件；掌握“分式的值为0，则分子为0，分母不为0”是解本题的关键．根据题意可得且，即可求解． 【详解】解：分式形式的代数式的值为0，即分子为0，分母不为0． 则有且， 解得且． 故． 故答案为： 2．（2025·天津市·模拟预测）若表示一个整数，则整数可取值的个数是 个． 【答案】 【分析】本题考查了根据分式得值求参数，根据表示一个整数，则是的约数，即可求解． 【详解】解：因为表示一个整数， ∴是的因数， 故的值为，，，，，，，， ∴，，，，，，，，共个． 故答案为：． 3．（2025·天津市·模拟预测）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，正确通过已知的式子得到是关键．首先对已知的式子进行化简，得到，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． ∴原式． 故答案为：． 4．（2025·河南驻马店·三模）如图，小正方形内分别填入了四个代数式，若使横向三个代数式之和与纵向三个代数式之和相等，则“？”位置填入的代数式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，先理解题意得，整理得，再通分化简，即可作答． 【详解】解：依题意， 则 则 故答案为： 5．（2025·天津市·模拟预测）已知为整式，若计算的结果为，则 ． 【答案】 【分析】由可得，故，从而．本题考查分式混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质和等式的性质． 【详解】解： ， ， ， ， ， ； 故答案为： 6．（2025·贵州遵义·模拟预测）当 时，代数式的值是 【答案】4 【分析】本题考查了分式化简求值，先把除法化为乘法，再化简，得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故答案为：4． 7．（2025·四川成都·三模）已知时，则代数式的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先求出，再把所求式子中小括号内的式子通分并把分子分解因式，再约分得到，据此代入值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：6． 1．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分式的分母不为零，逐一进行判断即可． 【详解】解：当时，，，故、和没有意义，不符合题意，有意义，符合题意； 故选B． 2．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 3．（2025·四川南充·中考真题）已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简．根据，可得，从而得到，然后代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D 4．（2025·甘肃甘南·中考真题）若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件．已知分式的值为零，可得分子为零，分母不为零，即可求解． 【详解】解：分式的值为， ， 解得：， 故答案为：． 5．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式混合运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．先将分式的分子分母因式分解，再由分式混合运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先对代数式中的分式进行通分、化简，再计算出的值，最后代入化简后的式子求值． 【详解】解： ． 当时， 原式． 7．（2025·黑龙江·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，涉及特殊角的三角函数值，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算分式的乘法，再计算加法，然后代入特殊角的三角函数值求出，再代入求值即可． 【详解】解： ∵ ∴原式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第03讲 分式 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 6 命题点一 分式的基础 题型01分式有意义、无意义及分式值为0的条件 命题点二 分式的运算 题型01分式的性质 题型02分式的加减运算 题型03分式的乘除运算 题型04分式的混合运算 05·重难突破·思维进阶 9 突破一 分式的化简求值问题 突破二 分式的运算与新定义问题 06·优题精选·练能提分 10 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 同分母加减运算 T7 掌握同分母分式加减运算，能正确合并分子并约分，结果化为最简分式。 异分母加减运算 T7 T9 掌握异分母分式加减运算，能通过因式分解找最简公分母、通分后合并分子，结果化为最简分式。 命题预测 1. 题型：仍以 3 分选择 / 填空题为主，位置稳定在第 7-12 题区间； 2. 考点：异分母分式加减为核心（近 3 年 2 次考查），分母大概率含平方差因式（2023、2025 年均涉及），运算类型可能交替考查加法 / 减法； 3. 难度：维持 “易” 级，但可能在分子合并后增加 “提取公因式约分” 的步骤，避免直接化简出结果； 4. 拓展：小概率结合 “分式有意义的条件” 设置隐含限制（如分母不为 0）。 备考建议 1. 练因式分解（平方差、提公因式）； 2. 异分母运算按 “因式分解→通分→合并→约分” 分步做； 3. 每天练 5 道分式加减题，限时 3 分钟 / 题； 4. 注意通分漏乘、符号错误，约分至最简。 考点一 分式的基础 分式的概念 ①形如的形式；②A、B都是_________；③分母中_________含有字母 分式有意义的条件 分母_________零，即B_____0 分式有意义的条件是_____，x的取值范围为_____ 分式值为0的条件 分子_________零且分母_________零，即A____0且B_____0 使值为0的条件为_____ 分式无意义的条件 分母_________零，即B______0 1．（2025·津南区·二模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 3．（2025天津模拟预测）若分式的值为0，则的值为 ． 3．（2025天津模拟预测）请写出一个分式，并写出使其有意义的条件 ． 考点二 分式的性质 分式的性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值_____. 字母表示：（C≠0），(C≠0)，其中A，B，C是整式. 分式符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值_____. 即：. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 约分 根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，_____分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式 分子与分母没有_____的分式叫做最简分式. 通分 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的_____分式，这一过程叫做分式的通分. 最简公分母 一般取各分母的所有因式的__________作为公分母，叫做最简公分母. 1．（2025·天津·一模）下列计算正确的有几个（      ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2025·天津河西·一模）化简的结果等于（   ） A．3 B． C． D． 3．（2025·西青区·一模）分式和的最简公分母为 ． 4．（2025天津模拟预测）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（   ） 姓名：李明班级：八班得分： 判断题（每小题分．共分），对的打“√”，错的打“×”． ①代数式，是分式②当时，分式有意义③若分式的值为，则 ④式子从左到右变形正确⑤分式是最简分式 A． B． C． D． 考点三 分式的运算 加减运算 1）同分母分式：分母不变，把分子相加减，即. 2）异分母分式：先通分，变为同分母的分式，再加减，即. 乘除运算 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 乘方运算 分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，且b≠0） 混合运算 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 1．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 2．（2024·天津·中考真题）计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津和平·三模）计算的结果等于（　　） A．1 B． C． D． 命题点一 分式的基础 ►题型01分式有意义、无意义及分式值为0的条件 1）一个分式的分子或分母中含有分式时，只要任何一个分母为零，分式都没有意义；分式要想有意义，必须所有分母都不为零. 2）分式的值为0的条件: ①分子为0；②分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可. 当分式值为0时，忽略分母不能为0的限制条件而导致结果错误. 【典例1】（2025·天津市·模拟预测）函数 中自变量x的取值范围是 ． 【变式1-1】（2025·天津市·模拟预测）当 时，分式的值为． 【变式1-2】（2025·武清区·二模）当时，分式无意义，则所表示的代数式可以是（   ） A． B． C．x D．3x 命题点二 分式的运算 题型01 分式的基本性质 利用分式的基本性质，可以做到既改变分子，又改变分母，但不改变分式的值.由此可以将一个形式复杂的分式整理得简洁一些，便于后续计算或应用. 运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0； ③要注意避免犯只乘分子或只乘分母的错误. 【典例2】（2025滨海新区模拟）下列约分正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·南开区·一模）若将分式中的m和n都变为原来的2倍，则分式的值（    ）． A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．变为原来的 D．不变 【变式2-2】（2025·天津市模拟预测）若，且，“□”是运算符号，则“□”里可以填 ．（写出一种情况即可） ►题型02 分式的加减运算 在进行分式的加减运算时，要先观察各分式的分母是否相同，若不相同，先通分，再加减;若相同分母不变，分子直接相加减.最后的结果要化为最简分式或整式.分式的加减运算是整式运算、因式分解和分式运算的综合运用. 分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式，运算中要适当约分. 【典例3】（2025·天津和平·三模）计算的结果等于（   ） A． B． C．2 D． 【变式3-1】（2025·天津南开·一模）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·红桥区·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·天津市·一模）计算：． ►题型03 分式的乘除运算 分式的乘除运算归根到底可以统一成乘法运算，分式的乘法一般情况下是先约分再相乘;当除式(或被除式)是整式时，可以将其分母看作1. 【典例4】（2025和平区一模）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·天津市·二模）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·河北区·模拟预测）计算的结果为（   ） A． B． C． D． ►题型04 分式的混合运算 按顺序进行计算：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.此外，也应仔细观察式子的特点，灵活选择简便的方法计算，如使用运算律、公式等.最后将运算结果化为最简分式. 【典例5】（2025和平区二模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·天津市模拟预测）已知表示整式，且，则下列说法正确的是（    ） A．表示表示4 B．表示表示4 C．表示表示 D．表示表示 【变式5-2】（2025·天津市模拟预测）计算： 【变式5-3】（2025·天津市模拟预测）在化简的过程中，小明、小红同学分别给出了如下的部分运算过程： 小明：原式… 小红：原式… (1)小明解法的依据是______________，小红解法的依据是______________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律 (2)试选一种解法，写出完整的解答过程． 突破一 分式的化简求值 1．（2025·北辰区·一模）先化简，再求值：，其中满足． 2．（2025·津南区·一模）化简求值．先化简，再从0，1，2，中选择一个合适的数代入并求值． 突破二 分式的运算与新定义问题 1．（2025·东丽区·模拟预测）设都是不为0的实数，且，，定义一种新运算：，则下面四个等式：①；②；③；④；成立的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·天津市模拟预测）定义：．已知，，则（    ） A． B．8 C． D．32 3．（2025·天津市模拟预测）（1）【定义】如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． 【理解】分式：①，②中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； （2）【应用】先化简，并求取何整数时，该式的值为整数． 1．（2025·天津·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·模拟预测）计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 3．（2025·天津西青·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（2023·天津东丽·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津南开·二模）计算的结果等于（    ） A．0 B． C． D． 6．（2025·天津和平·二模）化简的结果是(    )． A． B． C． D． 7．（2025·南开区·二模）化简： ． 8．（2025·天津·模拟预测）化简： ． 9．（2025·南开区·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 1．（2025·武清区·一模）代数式的值为0，则的值是 ． 2．（2025·天津市·模拟预测）若表示一个整数，则整数可取值的个数是 个． 3．（2025·天津市·模拟预测）已知，则的值为 ． 4．（2025·河南驻马店·三模）如图，小正方形内分别填入了四个代数式，若使横向三个代数式之和与纵向三个代数式之和相等，则“？”位置填入的代数式为 ． 5．（2025·天津市·模拟预测）已知为整式，若计算的结果为，则 ． 6．（2025·贵州遵义·模拟预测）当 时，代数式的值是 7．（2025·四川成都·三模）已知时，则代数式的值为 ． 1．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 3．（2025·四川南充·中考真题）已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（2025·甘肃甘南·中考真题）若分式的值为0，则x的值为 ． 5．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中． 7．（2025·黑龙江·中考真题）先化简，再求值：，其中． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $