江西省吉安市永丰县第二中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷

江西省永丰县二中2022级高一下学期期中考试数学试卷及解析考试范围：第一章三角函数、第二章向量第1、2节 考试时间120分钟（2023.4.28） 一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.) 1.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是(　　) A．{α|－45°≤α<120°} B．{α|120°<α≤315°} C．{α|－45°＋k·360°≤α<120°＋k·360°，k∈Z} D．{α|120°＋k·360°<α≤315°＋k·360°，k∈Z} 2.如图所示，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　) A．　　 B． C．　 D． 3.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如下图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为6 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(≈1.73)(　 ) A．16 m2 B．18 m2 C．20 m2 D．25 m2 4.已知角β与α的终边关于y轴对称，则下列关于β,α表达式中正确的是(　 ) A．β＝α＋2kπ，k∈Z B．β＝π＋α＋2kπ，k∈Z C．β＝－α＋2kπ，k∈Z D．β＝π－α＋2kπ，k∈Z 5.函数f(x)＝＋lg(2cosx－)的定义域为( ) A．{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z} B．{x|2kπ－≤x<2kπ＋，k∈Z} C．{x|2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z} D．{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z} 6.若sinαtanα<0，且<0，则角α是(　 ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 7.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则＋＋＋等于(　　) A． 　B．2　　 C．3　　 D．4 8.已知函数(),若在区间上有且仅有个零点和个最大值点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.) 9.已知角α的终边在第二象限，则的终边在第几象限( ) A．一 B．二 C．三 D．四 10.下列所表示的向量式子中，化简后等于零向量的是( ) A． B． C． D． 11.若函数f(x)＝cos (2x－)，为了得到函数g(x)＝sin x的图象，下面有四种变换:①先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度；②先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍；③先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍；④先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度.则只需将f(x)的图象(　　) A．① B．② C．③ D．④ 12.已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，φ∈[，π])的部分图象如图所示，其中f(0)＝1，|MN|＝，将f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式是(　 　) A．g(x)＝2cos x　　 B．g(x)＝2sin (x＋) C．g(x)＝－2cos x　 D．g(x)＝2sin (x＋) 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.) 13.已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是 . 14.若角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sinθ＝m，则cosθ的值为_________． 15.有下列四个命题：①若非零向量与的方向相同或相反，则＋与，其中之一的方向相同；②||＋||＝|＋|⇔与的方向相同；③＋＝0；④若λ＝λ(λ为实数)，则＝.其中叙述错误的命题个数有_______个． 16.如图,某地一天从早上时至中午时的温度变化曲线近似满足函数(其中 )的关系式,其中点和分别是曲线的最低和最高点,则这段曲线的函数解析式为_________ . 四、解答题(本大题共6小题，分别为10,12,12,12,12,12分，共70分.) 17(10分)(1)已知f(α)＝，求f()的值；(2)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 215°,cos 215°),求角α的值. 18(12分)已知函数f(x)＝tan (－2x).(1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的单调区间. ωx＋φ 0 π 2π x Asin (ωx＋φ) 0 5 －5 0 19(12分)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式． (2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为(，0)，求θ的最小值． 20(12分)设函数的周期为,且图像过点.(1)求与的值；(2)用五点法作出函数在长度为一个周期的闭区间上的图像；(3)叙述函数的图像可由的图像经过怎样的变换而得到. 21(12分)已知函数f(x)＝2sin ωx.(1)若ω>0,且f(x)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，求ω的最小值；(2)若f(x)在区间[－，]上的最小值为－2，求ω的取值范围． 22(12分)已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示． (1)求函数f(x)的解析式，并求它的对称中心的坐标； (2)将函数f(x)的图象向右平移m(0<m<)个单位， 得到的函数g(x)为偶函数，求函数y＝g(x)＋(x∈[－，]) 的最值及相应的x值． 数学试卷答案与详细解析 一、单选题 1.C 终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|－45°＋k·360°≤α<120°＋k·360°，k∈Z}，故选C． 2.D 由于＝，故＋＋＝＋＋＝. 3.C 由题意，如下图得∠AOB＝，OA＝6.在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×6＝3，可得矢＝6－3＝3.由AD＝AO·sin ＝6×＝3，可得弦AB＝2AD＝2×3＝6，所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝(6×3＋32)＝9＋4.5≈20(m2). 4.D 选项A表示角β和α的终边相同；选项B表示角β和α的终边关于原点对称；选项C表示角β和α的终边关于x轴对称；选项D表示角β和α的终边关于y轴对称. 5.B 由题意知即得；在单位圆中分别画出不等式①②的解集对应的区域P与Q，则区域P的解集为{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}，区域Q的解集为{x|2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z}，其公共区域为不等式组的解为2kπ－≤x<2kπ＋，k∈Z，故函数f(x)的定义域为{x|2kπ－≤x<2kπ＋，k∈Z}． 6.C 由sinαtanα<0,可知sinα，tanα异号，则α为第二或第三象限角；由<0,可知cosα，tanα异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．故选C． 7.D 如图，在△OAC中，M为AC中点，所以＋＝2，在△OBD中，＋＝2，故选D． 8.A 由,得；因为,再由在区间上有且仅有个零点,得 ①,又在区间上有且仅有个最大值点,得 ②；依题意需同时满足①②式,于是得,即,解得. 二、多选题 9.AC 由于角α的终边在第二象限，则有＋k·2π<α<π＋k·2π，k∈Z，所以＋·2π<<＋·2π，k∈Z，当k＝2n，n∈Z时，＋n·2π<<＋n·2π，n∈Z，所以终边在第一象限；当k＝2n＋1，n∈Z时，＋n·2π<<＋n·2π，n∈Z，所以终边在第三象限.综上，的终边在第一或三象限. 10.ACD ，，，. 11.AC 由于函数f(x)＝cos (2x－)＝sin (＋2x－)＝sin (2x＋)，为了得到函数g(x)＝sin x的图象，则只需将f(x)的图象，先横坐标伸长为原来的2倍得到y＝sin(x＋)，再向右平移个单位长度得到y＝g(x)图象，即①正确．或先将f(x)的图象向右平移个单位长度得到y＝sin 2x的图象，再横坐标伸长为原来的2倍得到y＝g(x)图象,即③正确. 12.AD 设函数f(x)的最小正周期为T.由题图及|MN|＝，利用勾股定理得＝，则T＝6，ω＝.又由f(0)＝1，得sin φ＝，且φ∈[，π]，得φ＝.所以f(x)＝2sin (x＋)，则g(x)＝2sin [(x－1)＋]＝2sin (x＋)＝2cos x． 三、填空题 13.2 设扇形的半径为R，则弧长l＝4－2R，∴扇形面积S＝lR＝R(2－R)＝－R2＋2R＝－(R－1)2＋1，当R＝1时，S最大，此时l＝2，得扇形圆心角为α＝l/R＝2弧度． 14.－ 由题意知r＝，所以sinθ＝＝m，因为m≠0，解得m＝±，则得r＝＝2，所以cosθ＝＝－. 15.4 对于①，当＋＝时，其方向任意，它与，的方向都不相同；对于②，当，中有一个为零向量时结论不成立；对于③，因为两个向量之和仍是一个向量，所以＋＝，而非＋＝0；对于④，当λ＝0时，λ＝＝λ，此时不一定有＝. 16.由图像可知,从时至时的曲线恰好是函数的半个周期,得又,解得；由“五点作图”原理知,解得.故这段曲线的函数解析式为.故填. 四、解答题 17.(1)因为f(α)＝＝＝＝cos α， 所以f()＝cos ＝ . (2)法1:由角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 215°,cos 215°),可得cos α＝sin 215°＝sin(450 °－235°)＝cos 235°，sin α＝cos 215°＝cos(450 °－235°)＝sin 235°，所以α＝235°. 法2:由于sin 215°<0,cos 215°<0,知角α(0°≤α<360°)为第三象限角,则180°<α<270°；又因为tan α＝＝cot 215°＝cot(270°－55°)＝tan 55°＝tan(180°＋55°)＝tan235°,故α＝235°. 18.(1)由于函数f(x)＝tan (－2x)＝－tan (2x－)，要使f(x)有意义，则2x－kπ＋,k∈Z，解得＋,k∈Z;故f(x)的定义域为＋,k∈Z. (2)因为f(x)＝－tan (2x－)，由kπ－<2x－<kπ＋(k∈Z)，得－<x<＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－，＋)(k∈Z)，f(x)无单调递增区间. ωx＋φ 0 π 2π x Asin (ωx＋φ) 0 5 0 －5 0 19.(1)由题意,根据表中已知数据，可求得A＝5；＝－＝,即T＝π,ω＝＝2；由五点法作图原理，当x＝时，则2x＋φ＝，解得φ＝－．数据补全如图表所示；且易得函数表达式为f(x)＝5sin (2x－)． (2)由(1)知f(x)＝5sin (2x－)，得g(x)＝5sin (2x＋2θ－)．又因y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，可令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ，k∈Z.由于函数y＝g(x)图象的一个对称中心为(，0)，令＋－θ＝，k∈Z，解得θ＝－，k∈Z.由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值. 20.(1)由函数的周期为,且,知,解得；将点的坐标代入中,有,且,解得.故,. (2)由(1)知,作出函数在一个周期上的图像. 用五点法列出四者的关系如下,先描点,再作出 在一个周期上的图像如图所示. (3)法1,把的图像上所有的点向左平移个单位,得到的图像；再把的图像上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的倍,得的图像；最后把的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的倍,得的图像. 法2,将的图像上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,得的图像；再将的图像上所有的点向左平移个单位,得到 的图像；最后把的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的倍,得的图像. 21.(1)由题意，ω>0，且函数f(x)至少出现50次最大值,即至少需用49个周期，所以(49)T＝·≤1，解得ω≥π，所以ω的最小值为π. (2)显然ω≠0.若ω>0，当x∈[－，]时，－ω≤ωx≤ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间[－，]上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥. 若ω<0，当x∈[－，]时，ω≤ωx≤－ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间[－，]上的最小值为－2.所以ω≤－，解得ω≤－2. 综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(－∞，－2]∪[，＋∞)． 22.(1)根据图象知A＝，T＝－＝，∴T＝＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin (2x＋φ)． 将点(，)代入，即sin (＋φ)＝.又|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝sin (2x＋)． 令2x＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－(k∈Z)，∴f(x)的对称中心的坐标为(－，0)(k∈Z)． (2)g(x)＝sin (2x－2m＋)，∵g(x)为偶函数，∴－2m＋＝kπ＋(k∈Z)， ∴m＝－－(k∈Z)．又∵0<m<，∴m＝，∴g(x)＝sin (2x－)＝－cos 2x， 所以函数y＝g(x)＋＝－cos 2x＋，又∵x∈[－，]，所以－≤2x≤， 则≤cos 2x≤1，－≤－cos 2x≤，于是≤y≤0. ∴ymax＝0，此时x＝；ymin＝，此时x＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $