重难点01 规律探究型问题（复习讲义，2大重难11题型）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习资料聚焦数与式、图形类规律两大高频考点，覆盖数列通项推导、代数式建模、周期型问题、图形递推与变换等核心内容，按“考点梳理-方法指导-真题训练”架构设计，通过典例解析与变式练习帮助学生突破多维度规律拆解等难点，体现系统性复习路径。 亮点在于融入抽象能力、推理意识等核心素养，如通过“差数列转化”破解递推数列规律，“分组建模”分析数阵行列关系，设“固根基+拓能力”分层练习，配合中考真题实战训练，助力教师精准把控复习节奏，提升学生规律探究与解题效率。

第一章 数与式 重难点01 规律探究型问题 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 33 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 数与式的规律问题 数与式规律探索是全国初中数学高频重难考点，常以选择、填空、解答题形式出现，核心考查逻辑推理与代数建模能力，重难考点如下： 多类型数列 / 数阵的通项推导 核心要求：从等差、等比、平方 / 立方型、递推型（如相邻项差为新数列）、分组建模（如奇偶项分规律）等数列，或三角形 / 矩形 / 螺旋数阵中，提炼通用通项公式。 关联难点：多维度数阵的行列规律拆解（如行内公差、列间递推），递推数列的 “差数列” 转化，含符号交替（如）的通项构建。 代数式（整式、分式、根式）的规律建模 核心要求：针对整式展开式（如的项数 / 系数规律）、分式裂项（如型）、二次根式复合形式（如的化简规律），总结结构规律并构建通用表达式。 关联难点：结合乘法公式（平方差、完全平方）的代数式规律推导，根式有理化后的规律提炼，分式裂项的 “通式逆推”。 周期型数式的周期识别与应用 核心要求：识别数 / 式的周期变化特征（如数字 / 符号 / 运算结果的重复周期），确定周期长度后求解指定项、余数、求和问题。 关联难点：多周期叠加（如符号周期 + 数值周期）的规律拆解，周期起点的判断，结合整除性的周期项计算。 规律的验证与拓展迁移 核心要求：对归纳的规律进行代数证明（如用整式运算验证通项），并迁移规律解决新场景问题（如规律拓展到新数式组合、逆向求符合规律的项）。 关联难点：含参数规律的 “参数范围确定”，规律的数学归纳法初步应用，复杂规律的跨题型迁移（如从数阵到代数式求和）。 题型01 单/多项式规律 1）把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键. 2）把一个多项式分解成若干单项式，分别找出每组单项式的规律是解决此类问题的关键. 【典例1】（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探索，从整数和小数两个方面进行规律分析是解题关键．该组数的规律从两方面分析：①整数部分：每次增加2；②小数部分：每次增加一个9，据此即可得到答案． 【详解】解：根据题中规律可得整数部分每次增加2，则第n个数整数部分是， 小数部分每次增加一个9，则第n个数小数部分有n个9， ∴第n个数小数部分是， ∴第n个数是， 故选：A． 【变式1-1】（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 第5个代数式为， ……， 以此类推，可知，第n个代数式是， 故选：A． 【变式1-2】（2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为 ． 【答案】 【分析】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键．分析已知式子，得到第个式子为，即可得到答案． 【详解】解：第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：， …… 观察发现，第个式子为， 故答案为： 题型02 数阵类规律 求第m排第n个数的时候，先求第m-1排最后一个数，然后加上n就是所求的数字了.例如：（m，n）= 【典例2】（2024·四川绵阳·中考真题）如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6……第n行有n个数……．探究其中规律，你认为第n行从左至右第3个数不可能是（   ） A．36 B．96 C．226 D．426 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给排列方式，发现从第三行起，第n行的左起的第3个数可表示为：（n为大于等于2的整数）是解题的关键． 根据所给排列方式，发现每行最后一个数可表示为两个连续整数的积，据此发现第三行开始的每行左起第3个数的规律即可解答． 【详解】解：由题知，， 所以第n行的最后一个数可表示为， 则从第三行起，第n行的左起的第3个数可表示为：（n为大于等于2的整数）． 因为，故A选项不符合题意； 因为，故B选项不符合题意； 因为且，故C选项符合题意； 因为，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式2-1】（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 【答案】 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 【变式2-2】（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ (2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】(1)36；120； (2)不能 (3)一共能摆放20排． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解； （2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断； （2）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值． 【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为， 前15行的点数之和为， 那么，前行的点数之和为； 故答案为：36；120；； （2）解：不能， 理由如下： 由题意得， 得， ， ∴此方程无正整数解， 所以三角点阵中前n行的点数和不能是500； 故答案为：不能； （3）解：同理，前行的点数之和为， 由题意得， 得，即， 解得或（舍去）， ∴一共能摆放20排． 题型03 跨学科类规律 【典例3】（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个． 当时，（个）， 即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个． 故选：B． 【变式3-1】（2023·四川遂宁·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 ．    【答案】 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解． 【详解】解：甲烷的化学式为， 乙烷的化学式为， 丙烷的化学式为……， 碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个， 十二烷的化学式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键． 【变式3-2】（2025·江西宜春·三模）烷烃是一类由碳、氢元素构成的有机化合物，如图是这类物质前三种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，如图，第1种有4个氢原子，第2种有6个氢原子，第3种有8个氢原子，…，按此规律，则第2025种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．4048 B．4050 C．4052 D．4054 【答案】C 【分析】根据题意，第一个结构模型中有个氢原子，第二个结构模型中有个氢原子，第三个结构模型中有个氢原子，由此得到第2025个结构模型中有个氢原子，解答即可． 本题考查了规律探索，正确探索规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，第一个结构模型中有个氢原子， 第二个结构模型中有个氢原子， 第三个结构模型中有个氢原子， 由此得到第2025个结构模型中有个氢原子． 故选：C． 题型04 个位数字规律 求的末位数字的解题步骤: 1)通过观察乘方结果的末位数字，得到经过一个循环变换需要的次数，记为n. 2)用N除以n，当能整除时，a的N次方的末位数字就是的末位数字；当商b余m(0＜m＜n)时，a的N次方的末位数字就是的末位数字 【典例4】（2025·山东日照·模拟预测）发现：依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ． 【答案】1 【分析】本题考查找规律，先由题中式子，联系到，将原式化简得到 ，再由得到规律即可确定答案．由式子的特点化简，并找准规律是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 对于，当时，的结果的个位数字是， 当时，的结果的个位数字是， 当时，的结果的个位数字是， 当时，的结果的个位数字是， 综上所述，，则的结果的个位数字是， 故答案为：． 【变式4-1】（2025·浙江·模拟预测）若，则的个位数字是 ． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是计算前两项，得出是10的倍数． 由，可得是10的倍数，进而确定的个位数字，求解即可． 【详解】解：∵ ∴是10的倍数，的个位数字是0， ∴的个位数字为：． 故答案为：． 【变式4-2】（2025桑植县一模）探索规律：，个位数字是3；，个位数字是9；，个位数字是7；，个位数字是1；，个位数字是3；，个位数字是9……那么的个位数字是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知这列数的个位数字每4个数字为一个循环，个位数字分别为3，9，7，1，再由即可得到答案． 【详解】解：，个位数字是3；，个位数字是9；，个位数字是7；，个位数字是1；，个位数字是3；，个位数字是9， ……， 以此类推，可知这列数的个位数字每4个数字为一个循环，个位数字分别为3，9，7，1， ∵， ∴的个位数字是1， 故答案为：1． 题型05 通过观察已知等式求解 【典例5】（2025·广东韶关·一模）观察下列等式：，，，，…根据以上规律得出的结果是（    ） A．20241 B．20251 C．20201 D．20261 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探索，用代数式表示等式的规律是解题的关键．观察前4个等式，并依此类推，第个等式为，再代入即可得出答案． 【详解】解：第1个等式为， 第2个等式为， 第3个等式为， 第4个等式为， …… 依此类推，第个等式为， 当时，． 故选：A． 【变式5-1】（2023·内蒙古·中考真题）观察下列各式： ，，，… 请利用你所发现的规律，计算： ． 【答案】/ 【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键． 【变式5-2】（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式5-3】（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 【答案】 45 2 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为时，若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行． 【详解】解：由图中排布可知，当正整数为时， 若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列； 若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行； ∵， 而，在第行，第1列， ∴2024在第行，第2列， ∴，， 故答案为：45，2． 题型06 通过观察已知等式，猜想第n个代数式 【典例6】（2024年宁夏中考数学试题）观察下列等式： 第1个： 第2个： 第3个： 第4个： 按照以上规律，第个等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1，据此可得答案． 【详解】解：观察算式可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1， 所以第个等式为：， 故答案为：． 【变式6-1】（2025·海南·模拟预测）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把这样的数称为“三角形数”，第个“三角形数”可表示为：，某数学兴趣小组对“三角形数”展开探究． (1)数学兴趣小组发现，每相邻两个“三角形数”的和有如下规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： ①写出第5个等式： ； ②写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明； (2)数学兴趣小组还发现：，，，即任意一个三角形数乘8再加1都是一个完全平方数，请你对发现的该结论加以证明． 【答案】(1)①；②，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查整式的混合运算的应用、因式分解，正确理解“三角形数”的概念是解题的关键． （1）①根据题意即可写出第5个等式； ②根据题意即可写出第n个等式，再进行求解即可； （2）根据规律得到等式并化简即可证明． 【详解】（1）解：（1）①第5个等式：； 故答案为：； ②猜想：； 证明如下： 等式左边 ． 等式右边 等式左边等式右边， 等式成立； （2）发现：， 证明如下： 等式左边， 等式右边， 等式左边等式右边， 等式成立， 任意一个三角形数乘8再加1都是一个完全平方数． 【变式6-2】（2025·安徽滁州·三模）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ． (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1)；（2） (2)，见解析 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，列代数式，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． （1）观察已知等式即可得第5个等式； （2）结合（1）即可得第n个等式，然后通过计算左边等于右边即可证明． 【详解】（1） 解：根据已知等式可知，第5个等式: ， 故答案为：； （2） 解：第n个等式: 证明：左边 右边， 故猜想成立 题型07 规律的验证与猜想 【典例7】（2025·安徽·模拟预测）初中学习过指数的运算，在指数的基础上，作另一种运算——对数运算．给出对数的定义：如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数（），记作：，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．∵，∴；∵，∴；∵，∴；∵，∴； (1) ； __________； (2)由题目给出的运算，猜想：__________（且，，），并证明你的猜想． (3)根据（2）的探究，直接写出__________． 【答案】(1)5，5 (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是弄清对数与乘方之间的关系，并熟练运用． （1）根据对数与乘方之间的关系求解可得结论； （2）根据所得结论进行推导可得结论； （3）根据之前的探究，可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ， ， 故答案为：5，5； （2）解：， 验证：设， 则， ， ， ， 故答案为：； （3）解：根据之前的探究，可得． 验证：设， 则， ， ， ， 故答案为：． 【变式7-1】（2025·安徽六安·模拟预测）阅读下面材料，并填空： 我们学过的一些代数公式很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释，例如：平方差公式、完全平方公式． 【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证： 【规律探索】观察下面表示几何图形面积的方法：    阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到    阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到 （1）如图，阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到______；    【解决问题】 （2）归纳猜想（不需要证明）：____________（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）根据以上结论，计算：______（直接写答案）． 【答案】（1）；（2）；；（3） 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题关键在于构造正方形，找到规律后得到结论． （1）如图构造正方形：A表示一个的正方形，表示个的正方形，表示个的正方形，而恰好可以拼成一个边长为的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出； （2）由以上几何图形的面积规律可猜测出； （3）提公因数即可转化为本题已经探究出的规律进行求解． 【详解】解：（1）如图， A表示一个的正方形，表示个的正方形，表示个的正方形，而恰好可以拼成一个边长为的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出， 故答案为：； （2）根据以上规律可知，为一个边长为的正方形面积， 故， 故答案为：；； （3）， 故答案为：288800． 【变式7-2】（2025·河南信阳·三模）一个三位数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 【观察】， ， ． 【猜想】 （1）将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被________整除． 【验证】 （2）请你写出一个“对称数”（除101，232，555以外），并通过计算验证猜想． （3）设一个对称数的百位数字与个位数字均为，十位数字为，请你通过推理说明猜想是正确的． 【答案】（1）9；（2）见解析；（答案不唯一）（3）见解析 【分析】本题考查尾数的特征，用代数式表示“对称数”减去各位数字之和的结果是正确解答的关键． （1）任意取一个“对称数”，按照题意求出这个“对称数”减去各位数字之和，再将结果化为含有因数9的代数式即可； （2）根据题意写出一个“对称数”进行验证即可； （3）用含有x、y的代数式表示这个“对称数”减去各位数字之和，再将结果写成含有因数9的代数式即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除； （2）例如：“对称数”为313， ∵， ∴“对称数”313减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除； （3）一个对称数的百位数字与个位数字均为x，十位数字为y，则这个对称数”为， 这个对称数减去其各位数字之和，所得的结果为： ， ∴一个对称数的百位数字与个位数字均为x，十位数字为y，这个“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除． 【变式7-3】（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 【答案】(1)小明的猜想不正确，反例： (2)见解析 (3)当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；当A的数字小于B的数字时，的位数是 【分析】（1）举反例即可； （2）①当且时，可得，得，不合题意； ②当且时，可得，可得，得，即得． （3）设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则．当时，必有，，即；当时，必有，，即． 【详解】（1）解：小明的猜想不正确． 反例：． （2）证明：①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意； ②，所以，又，所以， 由（*）知，所以． （3）解：当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是． 证明如下： 由已知，A，B的位数分别为m，n， 设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则． 由小华的命题知，当时，必有， 此时，，所以； 当时，必有， 此时，，所以． 综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是， 【点睛】本小题考查判断命题的真假，科学记数法，整数指数幂，幂的运算，不等式的基本性质，代数推理等基础知识，熟练掌握是解题的关键． 重难点二 图形类规律问题 图形类规律探索是全国初中数学高频重难考点，常以选择、填空、解答题形式出现，核心考查空间观察与几何建模能力，重难考点如下： 图形递推型的数量规律与通项推导 核心要求：从图形的 “累加递推”（如每次增加固定数量的基本图形）、“分组建模”（如按奇偶次变化分规律）中，提炼图形个数、线段数、交点数的通用通项公式。 关联难点：图形 “增量变化” 的拆解（如每次增加的图形单元与序号的关系），含多层嵌套图形（如嵌套正方形 / 三角形）的数量递推规律。 图形变换（旋转、折叠、拼接）的规律分析 核心要求：识别图形旋转（如正多边形旋转的重合周期）、折叠（如折叠后对应线段 / 角度的规律）、拼接（如小图形拼大图形的块数 / 边长规律）的变化规律，推导指定变换后的图形特征。 关联难点：多步旋转的周期叠加规律，折叠后 “隐藏线段 / 角度” 的规律关联，拼接图形的 “边长 - 块数” 非线性规律（如正方形拼大正方形的块数为平方数）。 点阵 / 网格图形的坐标与结构规律 核心要求：从点阵（如平面直角坐标系内的点列）、网格图形（如格点多边形）中，提炼点的坐标规律、图形面积 / 周长的变化规律。 关联难点：点阵的 “坐标递推”（如点列横 / 纵坐标分属不同数列），网格图形的 “边长 - 面积” 非线性规律（如格点图形的皮克定理初步应用）。 图形规律的验证与拓展迁移 核心要求：通过几何性质（如全等、相似）验证图形规律，迁移规律解决新场景问题（如从基本图形规律拓展到复合图形、逆向求符合规律的图形序号）。 关联难点：含参数图形的规律推导（如参数决定图形增量），图形规律与代数规律的结合（如用代数式表示图形数量 / 面积），跨图形类型的规律迁移（如从三角形规律到多边形规律）。 题型01 图形固定累加型 对于图形固定累加首先要确定基础图形中含所求图形的个数a，在确定出后一个图形在前一个图形的基础上累加的所求图形的个数b(即固定累加图形个数)，再根据固定累加的图形规律推导出与序数n有关的关系式为a+b(n-1). 【典例8】（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 【答案】21 【分析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第1个图案中矩形的个数：；第2个图案中矩形的个数：；第3个图案中矩形的个数：；…第n个图案中矩形的个数：，算出第10个图案中矩形个数即可． 【详解】解：∵第1个图案中矩形的个数：； 第2个图案中矩形的个数：； 第3个图案中矩形的个数：； … 第n个图案中矩形的个数：， ∴则第10个图案中矩形的个数为：， 故答案为：21． 【变式8-1】（2024·青海·中考真题）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有 个火柴棒．    【答案】15 【分析】本题考查图形类规律探究．根据题意得到第（1）、（2）、（3）个图形中火柴棒的数量，由此可得第（n）个图形有根火柴棒，即可． 【详解】解：根据题意得：第（1）个图形有根火柴棒， 第（2）个图形有根火柴棒， 第（3）个图形有根火柴棒， …… 第（n）个图形有根火柴棒， ∴第（7）个图案中有根火柴棒， 故答案为：15 【变式8-2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形的排列，归纳出图形的变化规律．根据前几个图形的变化发现规律，可用含n的代数式表示出第n个图形中三角形的个数，从而可求第674个图形中三角形的个数． 【详解】解：第1个图案有4个三角形，即， 第2个图案有7个三角形，即， 第3个图案有10个三角形，即， …， 按此规律摆下去，第n个图案有个三角形， 则第674个图案中三角形的个数为：（个）． 故选：B． 【变式8-3】（2024·重庆·中考真题）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　） A．20 B．21 C．23 D．26 【答案】C 【分析】本题考查了图形类的规律探索，解题的关键是找出规律．利用规律求解．通过观察图形找到相应的规律，进行求解即可． 【详解】解：第①个图案中有个菱形， 第②个图案中有个菱形， 第③个图案中有个菱形， 第④个图案中有个菱形， ∴第个图案中有个菱形， ∴第⑧个图案中菱形的个数为， 故选：C． 题型02 图形渐变累加型 对于个数不固定， 1）首先观察图形，直接可以从图形或者补全图形后就能找出规律，根据图形摆放形状的规律总结推导出关系式即可. 2）如果图形也看不出规律的应该先数出所求图形的个数，在比较后一个图形和前一个图形通过作差(商)来观察图形个数或将图形个数与n进行对比，寻找是否与n有关的平方、平方加1、平方减1等关系，从而总结规律推导出关系式. 【典例9】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查找几何图形中的数字规律，根据前面几个图归纳出数字规律是解决问题的关键．先观察图形，得到每个图形中小正方形的个数，进而得到数字规律，即可求解． 【详解】解：拼第一个正方形需要个小正方形； 拼第二个正方形需要个小正方形； 拼第三个正方形需要个小正方形； ．．．．．． 按照这样的方法拼成的第个正方形需要个小正方形； 第六个正方形需要个小正方形， 故选：C． 【变式9-1】（2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 【答案】31 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形，第3个图形有个正方形，依次类推求出第5个图形中小正方形的个数即可． 【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， ∴第5个图形中共有个正方形， 故答案为：31． 【变式9-2】（2025·甘肃·模拟预测）我国宋朝时期的数学家杨辉曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”．顶层记为第1层，有1颗弹珠；前2层共有3颗弹珠；前3层共有6颗弹珠．往下依次是第4层、第5层……下图中画出了最上面的四层，若用表示前n层的弹珠数，其中，2，3，…，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，观察图形可得前n层的弹珠数为：，即，求出，再由此规律计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：观察图形的变化可得： 顶层记为第1层，有1颗弹珠，即； 前2层共有3颗弹珠，即； 前3层共有6颗弹珠，即． …， 故前n层的弹珠数为：， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式9-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，按一定规律摆放小黑点，则第6个图案中的小黑点个数为 个． 【答案】40 【分析】本题主要考查图形规律问题，解题的关键是找出图形的一般规律；由题意可知第1个图案有小黑点个；第2个图案有小黑点个；第3个图案有小黑点个；第4个图案有小黑点个；……；第n个图案有小黑点个（除第一个图案外）；然后问题可求解． 【详解】解：第1个图案有小黑点（个）； 第2个图案有小黑点（个）； 第3个图案有小黑点（个）； 第4个图案有小黑点（个）； ……； ∴第n个图案有小黑点个（除第一个图案外）； ∴第6个图案中的小黑点个数为（个）； 故答案为：40． 题型03 分区域累加型 首先应观察图形区分图形累加的各部分，分别求出各部分累加规律，再将各部分关系式相加，得到第n项（某项)图形的数量与序数关系式. 【典例10】（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为 ．（用含n的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查图形的变化规律，从简单情形入手，找到一般规律即可．观察图形，发现后面一个图案比前一个图案多3个黑色棋子即可解决． 【详解】解：观察发现： 第一个图形有个黑色棋子， 第二个图形有个黑色棋子， 第三个图形有个黑色棋子， …， 第n个图形有个黑色棋子， 故答案为：． 【变式10-1】（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可． 【详解】解：第一个图形中有个三角形； 第二个图形中有个三角形； 第三个图形中有个三角形； 第四个图形中有个三角形； ； 第n个图形中有个三角形． 故答案为： 【变式10-2】（2025·重庆·模拟预测）五一期间，重庆无人机为游客呈现了一幕幕精彩的表演，在其中一幕表演中，小明发现 无人机的数量具有规律，第①个图案中有4架无人机，第②个图案中有9架无人机，第③个图案中有14架无人机，观察图形，按此规律，第⑥个图案中的无人机数量是（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【分析】本题考查了图形变化的规律，代数式求值，根据图形归纳出第个图案无人机的数量是解题的关键． 根据前4个图案无人机的数量，推算出第n个图案无人机的数量为架，再将代入，即可求解． 【详解】解：第①个图案无人机的数量为（架）， 第②个图案无人机的数量为（架）， 第③个图案无人机的数量为（架）， 第④个图案无人机的数量为（架） …… 第个图案无人机的数量为架， 当时，（架）． 故选B． 【变式10-3】（2025·安徽合肥·三模）小乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和黑色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题：    (1)图1中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多1个； 图2中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多2个； 图3中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多3个； …… 图n中黑色正方形有：__________，白色正方形有__________个． (2)若图n中黑色正方形比等边三角形多45个，求图n中白色正方形的个数． 【答案】(1)， (2)66 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点． （1）求出前面几个图形中黑色正方形和白色正方形的个数，进而得到规律求解即可； （2）根据前面所得规律可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题干得，图n的黑色正方形有，白色正方形比黑色正方形多n个 ∴图n 的白色正方形有个； （2）解：图1中，等边三角形的个数为2个； 图2中，等边三角形的个数为3个： 图3 中，等边三角形的个数为4个； 图4中，等边三角形的个数为5个； ……， 以此类推可知，图n 中等边三角形的个数为个， ∵图n 中黑色正方形的个数比等边三角形的个数多45个， ∴， 解得或（舍去）， 当时，， ∴图n 中白色正方形的个数为66个． 题型04 图形循环类规律 【典例11】（2025宁夏回族自治区模拟）如图，数轴上，两点间的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…（是正整数）处，经过这样2024次跳动后的点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类的规律，数轴上两点的距离．熟练掌握各个点跳动的规律是解题关键． 根据题意，第一次跳动到的中点处，离原点的长度为，第二次从处跳动到处，离原点的长度为，可推出跳动次距离原点的长度为，即点表示的数为，则点表示的数为，即可解答． 【详解】解：∵数轴上，A两点的距离为12， ∴点A表示的数为12， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ……， 表示的数为， ∴经过这样2024次跳动后的点表示的数为：， 故选：B． 【变式11-1】（2025长宁县二模）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为，半径为：的圆心为，半径为的圆心为，半径为的圆心为，半径为…，，，，的圆心依次为A、B、C、循环，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：，曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径，得到，，得出半径，再计算弧长即可． 【详解】解：由图可知，曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径， ，，，， ，，，， ， ，， 故的半径为， 的弧长． 故选：A． 【变式11-1】（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，电子跳蚤游戏盘为，，，，电子跳蚤开始时在边上的点，，跳蚤沿的方向跳动，第一步跳蚤从到点，经过的路程是长度的两倍；第二步跳蚤从跳到点，经过的路程是上一次经过路程的三倍；第三步跳蚤从跳到点，经过的路程是上一次经过路程的四倍；……跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为，则与之间的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到规律：电子跳蚤第3次跳的路程刚好是的周长，后续每次跳的路程都是周长的倍数，根据这一规律确定第2025次落点的位置，可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴的周长为， ∵，， ∴第一次跳， ∴第二次跳， ∴第三次跳， ∴电子跳蚤第3次跳的路程刚好是的周长，即和重合， ∴后续每次跳的路程都是周长的倍数， ∴与C之间的距离为． 故答案为：2． 【变式11-2】（2025·安徽芜湖·模拟预测）将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． (1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． (2)若原等边三角形的边长为1，设表示第次操作得到的最小的等边三角形的边长，如，． ①______（用含的式子表示）； ②计算______． (3)运用（2）的结论，计算的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题z主要考查图形变化的规律、数字变化规律等知识点，能根据所给图形发现三角形的个数及边长的变化规律是解题的关键． （1）观察发现：每操作一次，等边三角形的个数增加4，据此进行作答即可； （2）①依次求出等边三角形的边长，根据发现的规律即可解答；②运用①中的结论进行解答即可； （3）先提取，然后运用（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知： 操作1次，共得到的等边三角形个数为：； 操作2次，共得到的等边三角形个数为：； 操作3次，共得到的等边三角形个数为：； 操作4次，共得到的等边三角形个数为：； 故答案为：． （2）解：①∵原等边三角形的边长为1， ∴操作1次所得的小等边三角形的边长为：； ∴操作2次所得的小等边三角形的边长为：； ∴操作3次所得的小等边三角形的边长为：； …， ∴第n次所剪出的小等边三角形的边长为：，即， 故答案为：； ②由①题可知： ； 令①， 则②， 得： ， 即． 故答案为：． （3）解： 1．（2025·重庆·模拟预测）下列各方格中的四个数之间都有相同规律，根据此规律，第8个图中的（　　）．    A．315 B．645 C．965 D．1275 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意发现方格中各部分数字的变化规律及之间的关系是解题的关键． 根据所给方格中的数字，发现数字的变化规律即可解决问题． 【详解】每个方格中左上角的数字依次为， 所以第n个方格中左上角的数字可表示为， 每个方格左下角的数字是左上角数字的一半，所以第n个方格中左下角的数字可表示为， 每个方格右上角数字比左上角的数字大5，所以第n个方格中右上角的数字可表示为: ， 当时，，，， 又， 所以． 故选：B． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 【答案】D 【分析】本题考查规律探索，多边形外角和，旋转的性质，掌握方法是解决问题的关键．根据图形旋转方式，可证明皆为等边三角形，可得，根据多边形外角和结论，图形每转动12次后与重合，依此规律解答即可． 【详解】解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和， 则，且， 为等边三角形， 同理，皆为等边三角形， ∵将绕点逆时针旋转， ∴， 为等边三角形，的中点为， ， ， 同理， 则， ∵， ∴每转到12次后与方向重合， ， ∴第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反， 又∵为等边三角形， ， 此时点在点的正北方． 故选：D． 3．（2025·河北·模拟预测）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了为非负整数展开式的各项系数的规律． 有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期二．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查了“杨辉三角”与展开式的规律的应用，熟练掌握“杨辉三角”的规律是解题的关键． 依次对每个结论进行分析判断，利用“杨辉三角”揭示的展开式的规律，结合相关数学知识进行推理． 【详解】解：展开式有项，令，，则系数和为，故结论①错误． ，故结论②正确． ，当时，，解得或，故结论③错误． ，根据二项式定理展开，除最后一项外，其余项都含有因数，所以除以的余数为，今天是星期一，天后是星期日，故结论④错误． 故选：A． 4．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图是由棱长为1的小正方体堆积成的图形．若按照这样的规律继续摆放，则第8层需要摆放 块小正方体． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律，解答本题的关键是明确题意，发现题目中小正方体个数的变化特点，利用数形结合的思想解答． 根据题目中的图形，可以写出前几个图形中小正方体的个数，可以发现小正方体个数的变化规律，从而可以求得第n个叠放的图形中，小正方体总数，再将代入即可求解． 【详解】解：由图可得， 第1层中小正方体的个数为：1， 第2层中小正方体的个数为：， 第3层中小正方体的个数为：， 第4层中小正方体的个数为：， … 则第n层中，小正方体木块总数是：， ∴第8层需要摆放块小正方体， 故答案为：． 5．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∵正方形的边长为2， ， ∴面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形的边长为， 则， ……， ， 则的值为：， 故答案为：． 6．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 【答案】12 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； …， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，解得， 又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故答案为：12． 7．（2025·河南平顶山·三模）观察下列等式： ； ； ； … (1)根据以上规律可得，则的值为 ． (2)写出的值，并通过计算说明其正确性． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）通过前三个式子找出其中的规律即可； （2）通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ，，， ． 8．（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作），白球是氢原子（记作），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个和6个，分子式是，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题． (1)壬烷的分子式是_____，第个结构式的分子式是_____； (2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由． 【答案】(1)； (2)分子式为的化合物属于上述的烷烃，理由见解析 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知对应的模型中，碳原子个数为序号，氢原子个数为序号的2倍加上2，据此规律求解即可； （2）根据（1）的规律求出时，的值即可得到结论． 【详解】（1）解；第1个模型中有1个和4个，分子式是， 第2个模型中有2个和6个，分子式是， 第3个模型中有3个和8个，分子式是， ……， 以此类推，可知，第n个模型中有n个和个，分子式是， ∴壬烷的分子式是； （2）解：分子式为的化合物属于上述的烷烃，理由如下： 当时，， ∴分子式为的化合物属于上述的烷烃． 9．（2025·海南·模拟预测）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把这样的数称为“三角形数”，第个“三角形数”可表示为：，某数学兴趣小组对“三角形数”展开探究． (1)数学兴趣小组发现，每相邻两个“三角形数”的和有如下规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： ①写出第5个等式： ； ②写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明； (2)数学兴趣小组还发现：，，，即任意一个三角形数乘8再加1都是一个完全平方数，请你对发现的该结论加以证明． 【答案】(1)①；②，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查整式的混合运算的应用、因式分解，正确理解“三角形数”的概念是解题的关键． （1）①根据题意即可写出第5个等式； ②根据题意即可写出第n个等式，再进行求解即可； （2）根据规律得到等式并化简即可证明． 【详解】（1）解：（1）①第5个等式：； 故答案为：； ②猜想：； 证明如下： 等式左边 ． 等式右边 等式左边等式右边， 等式成立； （2）发现：， 证明如下： 等式左边， 等式右边， 等式左边等式右边， 等式成立， 任意一个三角形数乘8再加1都是一个完全平方数． 1．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【答案】(1) (2)，，，其中、、都是正整数，，证明见解析 (3)280 【分析】（1）先由表中勾股数规律，令，，，由勾股数定义列方程求解即可得到答案； （2）由表中数据，分别用代数式表示出，，，再由整式混合运算求证即可得证明； （3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案． 【详解】（1）解：由表中勾股数的规律可知，令，，， 则由勾股数定义可知， 即， ， 解得或（舍去）； 故答案为：24． （2）解：由题意，，，，其中、、都是正整数，，证明过程如下： ，，， ， ， ， ， ； （3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示： 设，即直角三角形中最短边为， 仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花， ， 由题意可知，最小为， 那么 ， 那么这块绿地最少需要种植株花． 【点睛】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键． 2．（2025·安徽淮南·二模）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 【答案】(1)；； (2)存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383 【分析】本题考查了图形的变化类问题．解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律． 仔细观察图形发现：每一个图形的中心有一个圆，周围是图形序数减1的差乘图形序数2倍减1的差．利用这一规律解题即可． 【详解】（1）解：补充航航同学的分析： ， ． 补充悦悦同学的分析： 图n中有个圆， ∴． 故答案为：37；；． （2）解：存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383， 由题意得， 解得，（舍去）， 存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383. 3．（2025·安徽蚌埠·三模）[观察思考] 图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了 n层． [规律总结] 将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为 （1）如果图1中的圆圈共有10层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ； [问题解决] （2）如果图1中的圆圈共有12层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数，，，…，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和． 【答案】（1）46；（2） 【分析】本题主要考查了图形变化类规律与数字类规律探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．注意连续整数相加的时候的这种简便计算方法． （1）根据题意找到每一层最后一个数的规律，进而求出第9层最后一个数，即可得到第10层最左边的数； （2）首先求出12层共有78个数，其中23个负数，1个0，54个正数，然后求绝对值之和即可． 【详解】解：（1）∵第1层最后一个数是1； 第2层最后一个数是； 第3层最后一个数是； 第4层最后一个数是； ∴第9层最后一个数是； ∴第10层最左边的数是； （2）12层共有（个）数， 其中23个负数，1个0，54个正数， 按题图4方式填数后所有圆圈中各数的绝对值之和 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 重难点01 规律探究型问题 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 15 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 数与式的规律问题 数与式规律探索是全国初中数学高频重难考点，常以选择、填空、解答题形式出现，核心考查逻辑推理与代数建模能力，重难考点如下： 多类型数列 / 数阵的通项推导 核心要求：从等差、等比、平方 / 立方型、递推型（如相邻项差为新数列）、分组建模（如奇偶项分规律）等数列，或三角形 / 矩形 / 螺旋数阵中，提炼通用通项公式。 关联难点：多维度数阵的行列规律拆解（如行内公差、列间递推），递推数列的 “差数列” 转化，含符号交替（如）的通项构建。 代数式（整式、分式、根式）的规律建模 核心要求：针对整式展开式（如的项数 / 系数规律）、分式裂项（如型）、二次根式复合形式（如的化简规律），总结结构规律并构建通用表达式。 关联难点：结合乘法公式（平方差、完全平方）的代数式规律推导，根式有理化后的规律提炼，分式裂项的 “通式逆推”。 周期型数式的周期识别与应用 核心要求：识别数 / 式的周期变化特征（如数字 / 符号 / 运算结果的重复周期），确定周期长度后求解指定项、余数、求和问题。 关联难点：多周期叠加（如符号周期 + 数值周期）的规律拆解，周期起点的判断，结合整除性的周期项计算。 规律的验证与拓展迁移 核心要求：对归纳的规律进行代数证明（如用整式运算验证通项），并迁移规律解决新场景问题（如规律拓展到新数式组合、逆向求符合规律的项）。 关联难点：含参数规律的 “参数范围确定”，规律的数学归纳法初步应用，复杂规律的跨题型迁移（如从数阵到代数式求和）。 题型01 单/多项式规律 1）把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键. 2）把一个多项式分解成若干单项式，分别找出每组单项式的规律是解决此类问题的关键. 【典例1】（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为 ． 题型02 数阵类规律 求第m排第n个数的时候，先求第m-1排最后一个数，然后加上n就是所求的数字了.例如：（m，n）= 【典例2】（2024·四川绵阳·中考真题）如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6……第n行有n个数……．探究其中规律，你认为第n行从左至右第3个数不可能是（   ） A．36 B．96 C．226 D．426 【变式2-1】（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． 【应用体验】已知，则m的值为 【变式2-2】（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ (2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 题型03 跨学科类规律 【典例3】（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【变式3-1】（2023·四川遂宁·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 ．    【变式3-2】（2025·江西宜春·三模）烷烃是一类由碳、氢元素构成的有机化合物，如图是这类物质前三种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，如图，第1种有4个氢原子，第2种有6个氢原子，第3种有8个氢原子，…，按此规律，则第2025种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．4048 B．4050 C．4052 D．4054 题型04 个位数字规律 求的末位数字的解题步骤: 1)通过观察乘方结果的末位数字，得到经过一个循环变换需要的次数，记为n. 2)用N除以n，当能整除时，a的N次方的末位数字就是的末位数字；当商b余m(0＜m＜n)时，a的N次方的末位数字就是的末位数字 【典例4】（2025·山东日照·模拟预测）发现：依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ． 【变式4-1】（2025·浙江·模拟预测）若，则的个位数字是 ． 【变式4-2】（2025桑植县一模）探索规律：，个位数字是3；，个位数字是9；，个位数字是7；，个位数字是1；，个位数字是3；，个位数字是9……那么的个位数字是 ． 题型05 通过观察已知等式求解 【典例5】（2025·广东韶关·一模）观察下列等式：，，，，…根据以上规律得出的结果是（    ） A．20241 B．20251 C．20201 D．20261 【变式5-1】（2023·内蒙古·中考真题）观察下列各式： ，，，… 请利用你所发现的规律，计算： ． 【变式5-2】（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为 ． 【变式5-3】（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 题型06 通过观察已知等式，猜想第n个代数式 【典例6】（2024年宁夏中考数学试题）观察下列等式： 第1个： 第2个： 第3个： 第4个： 按照以上规律，第个等式为 ． 【变式6-1】（2025·海南·模拟预测）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把这样的数称为“三角形数”，第个“三角形数”可表示为：，某数学兴趣小组对“三角形数”展开探究． (1)数学兴趣小组发现，每相邻两个“三角形数”的和有如下规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： ①写出第5个等式： ； ②写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明； (2)数学兴趣小组还发现：，，，即任意一个三角形数乘8再加1都是一个完全平方数，请你对发现的该结论加以证明． 【变式6-2】（2025·安徽滁州·三模）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ． (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的式子表示），并证明． 题型07 规律的验证与猜想 【典例7】（2025·安徽·模拟预测）初中学习过指数的运算，在指数的基础上，作另一种运算——对数运算．给出对数的定义：如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数（），记作：，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．∵，∴；∵，∴；∵，∴；∵，∴； (1) ； __________； (2)由题目给出的运算，猜想：__________（且，，），并证明你的猜想． (3)根据（2）的探究，直接写出__________． 【变式7-1】（2025·安徽六安·模拟预测）阅读下面材料，并填空： 我们学过的一些代数公式很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释，例如：平方差公式、完全平方公式． 【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证： 【规律探索】观察下面表示几何图形面积的方法：    阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到    阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到 （1）如图，阴影部分可以看成个的正方形，总面积，得到______；    【解决问题】 （2）归纳猜想（不需要证明）：____________（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）根据以上结论，计算：______（直接写答案）． 【变式7-2】（2025·河南信阳·三模）一个三位数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 【观察】， ， ． 【猜想】 （1）将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被________整除． 【验证】 （2）请你写出一个“对称数”（除101，232，555以外），并通过计算验证猜想． （3）设一个对称数的百位数字与个位数字均为，十位数字为，请你通过推理说明猜想是正确的． 【变式7-3】（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 重难点二 图形类规律问题 图形类规律探索是全国初中数学高频重难考点，常以选择、填空、解答题形式出现，核心考查空间观察与几何建模能力，重难考点如下： 图形递推型的数量规律与通项推导 核心要求：从图形的 “累加递推”（如每次增加固定数量的基本图形）、“分组建模”（如按奇偶次变化分规律）中，提炼图形个数、线段数、交点数的通用通项公式。 关联难点：图形 “增量变化” 的拆解（如每次增加的图形单元与序号的关系），含多层嵌套图形（如嵌套正方形 / 三角形）的数量递推规律。 图形变换（旋转、折叠、拼接）的规律分析 核心要求：识别图形旋转（如正多边形旋转的重合周期）、折叠（如折叠后对应线段 / 角度的规律）、拼接（如小图形拼大图形的块数 / 边长规律）的变化规律，推导指定变换后的图形特征。 关联难点：多步旋转的周期叠加规律，折叠后 “隐藏线段 / 角度” 的规律关联，拼接图形的 “边长 - 块数” 非线性规律（如正方形拼大正方形的块数为平方数）。 点阵 / 网格图形的坐标与结构规律 核心要求：从点阵（如平面直角坐标系内的点列）、网格图形（如格点多边形）中，提炼点的坐标规律、图形面积 / 周长的变化规律。 关联难点：点阵的 “坐标递推”（如点列横 / 纵坐标分属不同数列），网格图形的 “边长 - 面积” 非线性规律（如格点图形的皮克定理初步应用）。 图形规律的验证与拓展迁移 核心要求：通过几何性质（如全等、相似）验证图形规律，迁移规律解决新场景问题（如从基本图形规律拓展到复合图形、逆向求符合规律的图形序号）。 关联难点：含参数图形的规律推导（如参数决定图形增量），图形规律与代数规律的结合（如用代数式表示图形数量 / 面积），跨图形类型的规律迁移（如从三角形规律到多边形规律）。 题型01 图形固定累加型 对于图形固定累加首先要确定基础图形中含所求图形的个数a，在确定出后一个图形在前一个图形的基础上累加的所求图形的个数b(即固定累加图形个数)，再根据固定累加的图形规律推导出与序数n有关的关系式为a+b(n-1). 【典例8】（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 【变式8-1】（2024·青海·中考真题）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有 个火柴棒．    【变式8-2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【变式8-3】（2024·重庆·中考真题）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　） A．20 B．21 C．23 D．26 题型02 图形渐变累加型 对于个数不固定， 1）首先观察图形，直接可以从图形或者补全图形后就能找出规律，根据图形摆放形状的规律总结推导出关系式即可. 2）如果图形也看不出规律的应该先数出所求图形的个数，在比较后一个图形和前一个图形通过作差(商)来观察图形个数或将图形个数与n进行对比，寻找是否与n有关的平方、平方加1、平方减1等关系，从而总结规律推导出关系式. 【典例9】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 【变式9-1】（2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 【变式9-2】（2025·甘肃·模拟预测）我国宋朝时期的数学家杨辉曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”．顶层记为第1层，有1颗弹珠；前2层共有3颗弹珠；前3层共有6颗弹珠．往下依次是第4层、第5层……下图中画出了最上面的四层，若用表示前n层的弹珠数，其中，2，3，…，则 ． 【变式9-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，按一定规律摆放小黑点，则第6个图案中的小黑点个数为 个． 题型03 分区域累加型 首先应观察图形区分图形累加的各部分，分别求出各部分累加规律，再将各部分关系式相加，得到第n项（某项)图形的数量与序数关系式. 【典例10】（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为 ．（用含n的代数式表示） 【变式10-1】（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 【变式10-2】（2025·重庆·模拟预测）五一期间，重庆无人机为游客呈现了一幕幕精彩的表演，在其中一幕表演中，小明发现 无人机的数量具有规律，第①个图案中有4架无人机，第②个图案中有9架无人机，第③个图案中有14架无人机，观察图形，按此规律，第⑥个图案中的无人机数量是（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 【变式10-3】（2025·安徽合肥·三模）小乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和黑色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题：    (1)图1中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多1个； 图2中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多2个； 图3中黑色正方形有：，白色正方形比黑色正方形多3个； …… 图n中黑色正方形有：__________，白色正方形有__________个． (2)若图n中黑色正方形比等边三角形多45个，求图n中白色正方形的个数． 题型04 图形循环类规律 【典例11】（2025宁夏回族自治区模拟）如图，数轴上，两点间的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…（是正整数）处，经过这样2024次跳动后的点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2025长宁县二模）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为，半径为：的圆心为，半径为的圆心为，半径为的圆心为，半径为…，，，，的圆心依次为A、B、C、循环，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，电子跳蚤游戏盘为，，，，电子跳蚤开始时在边上的点，，跳蚤沿的方向跳动，第一步跳蚤从到点，经过的路程是长度的两倍；第二步跳蚤从跳到点，经过的路程是上一次经过路程的三倍；第三步跳蚤从跳到点，经过的路程是上一次经过路程的四倍；……跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为，则与之间的距离是 ． 【变式11-2】（2025·安徽芜湖·模拟预测）将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． (1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． (2)若原等边三角形的边长为1，设表示第次操作得到的最小的等边三角形的边长，如，． ①______（用含的式子表示）； ②计算______． (3)运用（2）的结论，计算的值． 1．（2025·重庆·模拟预测）下列各方格中的四个数之间都有相同规律，根据此规律，第8个图中的（　　）．    A．315 B．645 C．965 D．1275 2．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 3．（2025·河北·模拟预测）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了为非负整数展开式的各项系数的规律． 有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期二．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图是由棱长为1的小正方体堆积成的图形．若按照这样的规律继续摆放，则第8层需要摆放 块小正方体． 5．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 ． 6．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 7．（2025·河南平顶山·三模）观察下列等式： ； ； ； … (1)根据以上规律可得，则的值为 ． (2)写出的值，并通过计算说明其正确性． 8．（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作），白球是氢原子（记作），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个和6个，分子式是，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题． (1)壬烷的分子式是_____，第个结构式的分子式是_____； (2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由． 9．（2025·海南·模拟预测）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把这样的数称为“三角形数”，第个“三角形数”可表示为：，某数学兴趣小组对“三角形数”展开探究． (1)数学兴趣小组发现，每相邻两个“三角形数”的和有如下规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： ①写出第5个等式： ； ②写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明； (2)数学兴趣小组还发现：，，，即任意一个三角形数乘8再加1都是一个完全平方数，请你对发现的该结论加以证明． 1．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 2．（2025·安徽淮南·二模）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 3．（2025·安徽蚌埠·三模）[观察思考] 图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了 n层． [规律总结] 将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为 （1）如果图1中的圆圈共有10层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ； [问题解决] （2）如果图1中的圆圈共有12层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数，，，…，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $