第十四章 全等三角形 单元练习 2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十四章全等三角形单元练习 一、单选题 1．图中的两个三角形全等，则（    ） A． B． C． D． 2．小明不小心把一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），为了能配一块与原来完全一样的三角形，小明应该带（    ）去玻璃商店． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 3．如图，，若，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 4．在和中，给出下列四组条件： ①； ②； ③； ④； 其中，能使的条件共有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 5．在中，为的中点，，，则长度可以是（   ） A． B． C． D． 6．如图，，垂足为，是上一点，且，．若，，则的长为（   ）． A．2 B． C．3 D． 7．如图，，，由此可得下列哪组三角形全等（　　 ） A． B． C． D．没有三角形全等 8．甲、乙两人在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一结论时，画出图形，写出“已知”“求证”（如图所示）．然后对各自所作的辅助线描述如下，甲：过点作的中线，交于点．乙：作的角平分线．下列判断正确的是（ ） 已知：如图，在中，． 求证：． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确 9．如图，工人师傅要检查人字梁的和是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．于是，他首先分别在和上取；接着在上取．如果工人师傅想得到正确的结果，那么他还需要测量（   ） A．的长度 B．的长度 C．和的长度 D．和的长度 10．如图，在中，和的外角平分线交于点于点．若的面积为10，的面积为7，，则的周长为（　　） A．8 B．10 C．11 D．12 11．如图，在中，，的平分线，交于点P．下列结论： ①平分； ②； ③若于点M，于点N，则； ④． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①③ 二、填空题 12．如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是 ．    13．如图，已知在与中，．要利用“HL”判定，还需添加的条件是 （写出一种情况即可）． 14．如图，，，则 ，根据是 ． 15．如图，用尺规作的依据是 ． 16．如图，已知，要判断，若根据“”，则还需要的一个条件是 ． 17．如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为 ． 18．如图，中，是角平分线，交于，交于，若，则 ． 19．如图，在中，，直线经过点且与边相交，动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动，点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束，在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则与全等时，的值为 ． 20．如图，在四边形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，当与以，，为顶点的三角形全等时，点的运动速度为 ． 21．如图，中，，D为上一点，连接，E为外一点，且，延长交的延长线于点F，连接，若，，则 ． 22．如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，连接．根据小颖的思路可得的面积为 ． 三、解答题 23．如图，，，E是上的一点，且，．求证：．      24．如图，已知线段、和，利用尺规作，使、、．（保留作图痕迹，不写作法） 25．如图，现给出三个关系式：①，②，③．请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明． 26．如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，，求证：． 27．如图， ，，点D在边上，．求证：． 28．如图，，，，．连接，点D恰好在上． (1)求证：； (2)求的度数． 29．如图，，的平分线与的外角平分线交于点，过点作于． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，连，求证：平分． (3)如图3，若周长为20，求的长． 30．（1）如图①所示，已知在四边形中，，试说明． （2）若将图①中的点在所在的直线上做相向运动，得到图②，其他条件不变，还成立吗？为什么？ （3）若将图②中的点继续运动，得到图③，其他条件不变，和还相等吗？为什么？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十四章全等三角形单元练习2025-2026学年人教版数学八年级上册》参考答案 1．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等，且是边a、b的夹角， ∴． 故选：C． 2．B 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．解题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的判定定理：、、、、．本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：B． 3．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质，结合平行线的性质，找出与对应的角． 【详解】解： 又 的对应角是 故选：B． 4．C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边和一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法：、、、、结合选项进行判定． 【详解】解：①，，，可根据判定； ②，，，可根据判定； ③，，，可根据判定； ④，，，不能判定； 故选：． 5．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，延长至，使得，即得，可证，得到，再根据三角形三边关系求出的取值范围即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至，使得， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴长度可以是， 故选：． 6．A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明，得到，由线段的和差关系得到的长，即可得到的长，进而可得的长． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 7．A 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据推出即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 8．D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 根据辅助线的作法，判断能否证明即可得出结论． 【详解】解：甲：过点A作的中线，则，又，， 不符合三角形全等的判定方法，故甲的作法不正确； 乙作辅助线的方法正确， 证明如下： ∵作的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故选：D． 9．C 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意正确得出对应边相等是解题关键． 利用全等三角形的判定方法得出，进而得出答案． 【详解】解：要证明和是否相等，得证明与是否全等， 当时， 在和中， ， ， 故可以测量和的长度来判断与是否全等， 故选：C． 10．D 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．连接，过点作于点，于点，由角平分线的性质，得到，进而得出，再根据，求出，即可求出的周长． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，于点， 和的外角平分线交于点，且， ， 的面积为7， ， ， 的面积为10， ， ， ， ，即的周长为12， 故选：D． 11．B 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角性质．熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角性质是解题的关键． 根据角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角性质对每个结论逐一进行分析即可． 【详解】 解： 过点作于点，于点，于点， 平分，，， ， 平分，，， ， ， ，，， 平分， 故结论①正确； 是由，平分、得到的， 实际关系为， 显然（例如取特殊角验证，若，则，和为而非）， 故结论②错误； 若于，于点， 则， 由，，且， ， ， 由，，且， ， ， ， 故结论③正确； 是的外角， ， 平分，平分， ． 又是的外角， ， 联立得， ， 故结论④正确； 综上所述，结论①③④正确， 故选B． 12．或 【分析】根据垂直求出，在根据三角形全等的判定定理即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， 或， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定定理进行推理并运用数学结合思想． 13．（或） 【分析】本题考查了三角形全等的判定，解决本题的关键是掌握HL判断直角三角形全等的方法. 本题要判定，已知故添加或后可根据判定三角形全等. 【详解】解：若添加. 在和中， 若添加. 在和中， 故答案为：或． 14． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，由平行线的性质可得，根据可证明． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴． 故答案为：；． 15．全等三角形的对应角相等 【分析】此题考查了全等三角形的判定，尺规作图——作一个角等于已知角，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 利用全等三角形的判定方法判断即可． 【详解】解：由作法得：，，， ， （全等三角形的对应角相等）． 故答案为：全等三角形的对应角相等． 16．或 【分析】本题考查了全等三角形的判定（），解题关键是掌握全等三角形的判定（）． 根据全等三角形的判定（），添加条件即可． 【详解】解：，， 添加或， 可根据“”， 判断， 故答案为：或． 17．9 【分析】本题主要考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等 ）以及三角形面积公式（，为底，为高 ），熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．利用角平分线的性质，得出点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解的面积． 【详解】解：过点作于点． 平分，，， （角平分线上的点到角两边的距离相等）． ， ． 又， ． 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，求得，即可得到结论． 【详解】解：是的平分线， ， ， ， ， 是等腰三角形 ， ， ． 故答案为： 19．2或或6 【分析】本题考查全等三角形的性质，分，且点在上、点在上运动，，且点与点重合，当，且点在上、点在上运动三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴与全等分三种情况讨论： ①如图①，当，且点在上、点在上运动时， ． 此时， ∴， 解得； ②如图②，当，且点与点重合时， ． 此时， ∴， 解得； ③当，且点在上、点在上运动时，． 此时． 当点未到达终点时， ， 解得， 不符合题意，舍去． 当点到达终点时，继续运动，如图③， 此时点与点重合，， ∴， 解得． 综上所述，当的值为2或或6时，与全等． 故答案为：2或或6 20．或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，设点的运动速度为，则，，，由于，则分两种情况：当时，则，；当时，则，，然后分别求解即可，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设点的运动速度为，则，，， ∵， ∴当时， ∴，时， ∴，， 解得：，； 当时， ∴，， ∴，， 解得：，， 综上所述，点的运动速度为或． 故答案为：或． 21． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质和已知条件证明，再证明得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22．64 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；先通过等量代换推出，再利用“边角边”证明，再通过求出的面积即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 23．见解析 【分析】先根据平行线的性质可得，从而可得和都是直角三角形，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据直角三角形全等的判定定理即可得证． 【详解】， ， 和都是直角三角形， ， ， 在和中，， ． ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识点，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题关键． 24．见详解 【分析】本题主要考查了复杂的尺规作图，涉及基本的尺规作图，作一条线段等于已知线段和作与已知角相等的角，熟知作图方法是正确解答此题的关键．根据作一条线段等于已知线段和作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可． 【详解】解：作，在上截取，在上截取，连接，为求作的图形． 25．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，真命题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，则如果，那么；或如果，那么．进行证明，即可作答． 【详解】解：真命题：如果，那么． 证明：（已知）， （等角的补角相等）． 在和中， ， （全等三角形的对应角相等）； 或真命题：如果，那么． 证明：（已知）， （等角的补角相等）． 在和中， ， （全等三角形的对应边相等）； 26．见解析 【分析】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，根据，是的平分线，于，得到，结合，证明即可． 【详解】证明：，是的平分线，于， ， ， ， ． 27．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先证明，则可得，然后根据即可证明． 【详解】证明：∵和相交于点O， ∴． 在和中， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． 28．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和三角形外角性质． （1）利用即可证明； （2）利用全等三角形的性质和三角形外角性质计算即可． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：∵，，， ， ． 29．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质可得到，进而可得，据此可得答案； （2）过点作于，于，由角平分线的性质证明，则由角平分线的判定定理可得证明平分； （3）证明可得，同理，，再根据线段的和差关系和三角形周长公式可得，据此可求出的长， 【详解】（1）解：∵的平分线与的外角平分线交于点， ，， ∵， ∴， ∴， ， ； （2）证明：如图2，过点作于，于， ，平分，平分， ，， ， 平分； （3）解：如图2，由（2）知：， 在和中， ， ∴， ， 同理得：，， ∵的周长为20， ∴， ， ， ，即：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，角平分线的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． 30．（1）证明见解析；（2）还成立，理由见解析；（3）还成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质； （1）由和得到，由得到，在结合，即可证明，得到． （2）由和得到，由得到，在结合，即可证明，得到． （3）由和得到，由得到，在结合，即可证明，得到． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． （2）还成立，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． （3）还成立，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $