专题08 角相关压轴题分类（6种类型36道）（期末复习压轴题专项训练）七年级数学上学期新教材北师大版

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08角相关压轴题分类 (6种类型36道) 类型探究角的数量关系 类型2三角板相关旋转问题 类型坚求运动时间 角相关压轴题分类 类型4定值问题 类型5角相关证明题 类型6线段和角的知识迁移 目目 类型01 探究角的数量关系 1.将一副直角三角板按如图1摆放在直线AD上（直角三角板OBC和直角三角板M0N,∠0BC=90°， ∠B0C=45°，∠M0N=90°，∠MN0=30°)，保持三角板0BC不动，将三角板M0N绕点O以每秒6°的速 度顺时针方向旋转t秒. BM 0 图1 图2 图3 备用图 (1)如图2，当t=_秒时，0M平分∠A0C,此时∠N0C-∠A0M=-; (2)继续旋转三角板MON,如图3，使得OM、ON同时在直线0C的右侧，猜想∠NOC与∠AOM有怎样的 数量关系？并说明理由（数量关系中不能含t): 1/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)直线AD的位置不变，若在三角板M0N开始顺时针旋转的同时，另一个三角板0BC也绕点O以每秒2°的 速度顺时针旋转，当OM旋转至射线0D上时，两个三角板同时停止运动. ①当t=_秒时，∠M0C=15°； ②请直接写出在旋转过程中，∠N0C与∠AOM的数量关系（数量关系中不能含t), 2.【问题提出】 1 (1)如图1,0C、0D是∠40B内的两条射线，0D平分∠A0C，∠B0C=3∠COD,∠B0D=60,求 ∠AOB的度数； 【问题探究】 (2)如图2，已知0C、0D、0E是∠A0B(∠A0B>110°)内的三条射线，0C平分∠B0D, ∠C0E=，∠BOC=20°，且OE在0C的左侧，现要在∠40B内画一条射线0P,使得∠DOF= ∠BOD, 2 8 求∠EOF的度数； 【拓展提升】 (3)如图3，张老师在黑板上画出∠AOB,并在∠AOB内部画出∠COD(射线0C在OD的左侧)和射线 OE、OF,，其中OE平分∠AOC,OF平分∠BOD,若∠AOB=a,∠COD=B,∠EOF=Y,a>Y>B, 请你猜想α、B和Y之间的数量关系，并说明理由. C B 0 图1 图2 图3 3.己知∠A0B=2∠C0D=140°，OE平分∠A0D. D 0 O 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠C0E=20°，求∠A0C的度数； (2)将∠COD旋转至如图2的位置，若0F平分∠B0E,∠B0E=4LA0C,求∠D0F的度数； (3)将∠C0D旋转至如图3位置，若0F平分∠B0E,直接写出∠COE、∠A0F与∠COD的数量关系. 2/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.己知0为直线AB上的一点，LC0D=90°，射线OM平分LA0D. A A M M A D D 图① 图② 图③ (1)如图①中，若∠C0M=20°，则∠A0C= °，∠B0D= (2)将图①中的∠C0D绕顶点0逆时针旋转至图②的位置，其他条件不变，若∠C0M=a，求∠BOD的度数 (用含0的式子表示)： (3)将图①中的∠C0D绕顶点O顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出∠C0M和∠BOD之间的 数量关系 5.如图.已知∠A0B=∠COD,OE平分∠A0D. 2 D C B C 0 图1 图2 备用图 (1)在图1中，若∠A0C=30°，∠A0B=70°，则∠A0D的度数为，∠B0E的度数为°： (2)将图1中的∠A0B绕顶点0顺时针旋转至图2的位置，试探究图2中∠AOC和∠B0E之间的数量关系， 写出你的结论，并说明理由： (3)若∠A0B从图2的位置继续绕点0顺时针旋转，∠AOC和LB0E的数量关系是否会发生变化？若变化， 请你画出发生变化时，射线OA所在的区域（用阴影表示），并写出变化后的数量关系；若不变化，请简要说 明理由. 6.己知O为直线MN上一点，射线OA,OB,OC位于直线MN的上方，∠M0A=110°，∠B0C=40°， OB在OC的左侧. 3/20 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 0 图1 图2 A 0 备用图 备用图 (1)如图1，若∠M0B=40°，则LA0C=一 (2)已知0°<∠M0B<140°，射线0D平分∠CON. ①如图2，当0°<∠M0B<70°时，猜想∠M0B与LAOD之间的数量关系，并证明； ②射线OE在直线MN的下方，且满足∠MOE=2LMOB,射线OF平分∠AOE,当LAOF与LAOD和为 90°时，直接写出∠AOD的度数. 目目 类型02 三角板相关旋转问题 7.定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原 角叫做这两条射线所成的角的倍角.如图1，若∠A0B=2∠C0D,则∠A0B是∠CoD的两倍角， 图1 图2 图3 图4 (1)如图1：己知LA0B=70°，∠A0C=25°，∠A0B是∠C0D的两倍角，则LB0D= (2)如图2：已知LA0B=75°，将∠A0B绕点0按顺时针方向旋转一个角度α(0<a<75)至∠C0D,当旋转 的角度a为何值时，∠AOD是∠COB的三倍角 (3)已知LA0B=30°，把一块含有30°角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点0以2度/秒的速度按顺时针 方向旋转（如图4）.问：在旋转一周的过程中，射线OA,OB,OC,OD能否构成三倍角？若能，请求 出旋转的时间：若不能，请说明理由. 4/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.如图1.点0为直线AB上一点，过点0作射线0C,使∠A0C=60°，将一直角三角板的直角顶点放在 点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方. A602 M B 图1 图2 图3 M (1)将图1中的三角板绕点0处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2.使一边0M在∠B0C的内部且恰好平 分∠BOC,求∠CON的度数； (2)将图1中的三角板绕点0顺时针（箭头所指方向)旋转至图3，使ON在∠A0C的内部.则 ∠A0M-LN0C=-°. (3)将图1中的三角板绕点0沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线0A、0C、ON中的某一条射 线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是_°. 9.【问题情境】O为直线AB上一点，过点O在直线AB上方作射线OC,将一块三角板DOE的直角顶点与 点O重合，射线OC和三角板DOE均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线AB上方）. 图1 图2 图3 【操作探究】 (1)如图1，若∠B0C=68°，当三角板的直角边OE与OB重合时，LC0D=一°，LA0C=一°： (2)在(1)的条件下，将三角板D0E绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时OE恰好是∠B0C的平分 线，试说明OD也是∠AOC的平分线： (3)如图3，旋转射线0C和三角板D0E,始终满足0C平分∠B0D,当∠A0D=78°时，求LCOE的度数， 并根据结果猜想旋转过程中LAOD与∠COE之间的数量关系， 10.已知，在下列各图中，点0为直线AB上一点，∠A0C=60°，直角三角板M0N的直角顶点放在点0处， 5/20 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M 图1 图2 图3 备用图 (1)如图1，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，求∠BOC的度数， (2)如图2，三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，另一边ON在直线AB的下方，求∠BON的度 数 3)延长线段N0得到射线0D,如图3，求∠AOD、∠D0C的度数， (4)将图1中的三角板绕点0按每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第1秒时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC,求t的值 11.如图1，直线DE上有一点O,过点O在直线DE上方作射线0C.将一直角三角板A0B(L0AB=30)的 直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方.将直角三角板绕着点O 按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒. 图1 图2 图3 (1)若射线0C保持位置不变，当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠C0D,此时，∠BOC与 ∠BOE之间有何数量关系？并说明理由 (2)若射线0C的初始位置不变，且∠C0E=140° ①在直角三角板旋转的过程中，若射线0C保持位置不变，当边AB与射线OE相交时（如图3），求 ∠AOC-∠BOE的值. ②在直角三角板旋转的过程中，将射线0C绕着点O按每秒5°的速度顺时针旋转（随三角板旋转停止而停 止)，是否存在某个时刻，使得射线OA,0C与0D中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存 在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由， 12.如图1，七年级1班数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺A0B的直角顶点O放在 互相垂直的两条直线PQ、MN的垂足O处，并使两条直角边落在直线PO、MN上，将AAOB绕着点O顺时 6/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 针旋转a(0°<a<180),射线0C是∠B0M的角平分线，且∠POC=B. B MB DN M 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，若a=16°，则LB0P=一，LA0N= (2)△AOB在旋转过程中，若∠AOC=2LAOM,求此时B的值. (3)若将两块直角三角板（其中∠A0B=30°，∠C0D=45°）摆放在直线MN上，如图3，△0DC绕点O以每 秒5的速度逆时针转动，当OD第一次与射线OM重合时，三角板△ODC停止转动；△OBA绕点O以每秒 10°顺时针转动，当OA第一次与射线0D重合时三角板△OBA立即停止转动；三角板△ODC和三角板△OBA 同时转动，转动时间为t秒，如图4： ①用含t的代数式表示射线OA与射线OD重合前∠BOC与∠AOD的度数. ②在整个旋转过程中，当满足∠AOD-∠B0C=5°时，求出相应的t的值. 目目 类型03 求运动时间 13.新定义：若两个角的和为120°，则称这两个角互为“满分角”；例如∠1=65°，∠2=55°，则∠1与∠2互 为满分角”. D 图1 备用图 图2 备用图 【阅读理解】 (1)如图1，如果∠A0B=50°，射线0D在射线OA上方，∠BOD与∠AOB互为“满分角”，则LA0D= 【初步应用】 (2)若OC,OE为∠AOB内部的两条射线，射线OE平分角∠AOB,若∠BOC与∠AOB互为“满分角”， 且满足∠C0E=15°，求∠BOC的值. 7/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【解决问题】 (3)如图2，已知∠A0B=100°，射线0M从OA出发，以每秒12°的速度绕0点顺时针旋转，同时，射线 ON从OB出发，以每秒8°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒， ①作∠B0M的平分线OP,当0<t<5时，∠MOP与∠MON互为"满分角”，求运动时间t的值. ②若5<t<12.5,当t=,时，由OM、0N、OB三条射线形成的角互为“满分角”. 14.如图1，点0为直线AB上一点，过0点作射线0C,使LA0C:∠B0C=1:3,将一直角△M0N的直角顶 点放在点O处，边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，绕点O逆时针旋转△MON,其中旋转 的角度为u(0<a<360) A B A 图1 图2 M 图3 (1)将图1中的直角△M0N旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时为-度. (2)将图1中的直角△M0N旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部，试探究∠AOM与∠N0C之间满 足什么样的等量关系，并说明理由. (3)若直角△M0N绕点0按每秒5°的速度顺时针旋转，当直角△MON的直角边ON所在直线恰好平分 ∠AOC时，求此时直角△MON绕点O的运动时间t的值. 15.若A、O、B三点共线，∠B0C=40°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠D0E=90°， ∠ED0=30°). DBǒ B 图1 图2 备用图 (1)如图1，使三角板的长直角边OD在射线OB上，则∠C0E=_ (2)将图1中的三角板D0E绕点0以每秒2的速度按逆时针方向旋转到图2位置，此时∠C0D=∠40E, 求运动时间t的值； (3)将图2中的三角板DOE再绕点O以每秒5的速度按顺时针转方向旋转一周，经过t秒后，直线OC恰好 平分∠DOE,求t的值. 8/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 16.如图，点0在直线MN上，0A⊥0B,∠C0M=120°，∠A0M=50°. (1)∠B0C= ； (2)∠AOB绕着点O以每秒5°的速度逆时针旋转，当射线OA与射线ON重合时停止转动. ①当射线OB平分LC0M时，运动时间为多少秒？ ②若射线0C同时绕点O以每秒7°的速度顺时针旋转，当∠A0B停止转动后射线0C也停止转动.若 ∠A0C=2∠N0B,运动时间为多少秒？ 17.在同一平面内，以点0为公共顶点的∠AOB和LP0Q,满足2∠AOQ=∠BOP,则称LP0Q是∠A0B的 “二倍关联角”.己知∠A0B=60°（本题所涉及的角均小于平角）. B B 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠AOQ=45°，00在∠A0B内，且LP00是∠A0B的“二倍关联角”，则∠A0P=-: (2)如图2，若射线OP、OQ同时从射线OB出发绕点O旋转，射线OP以10°/秒的速度绕点O逆时针方向旋 转，到达直线BO后立即改为顺时针方向继续旋转，速度仍保持不变；射线0Q以6°/秒的速度绕点O逆时针 方向旋转，射线OQ到达直线BO时，射线OP、OQ同时停止运动，设运动时间t秒，当t为何值时，LPOQ 是∠AOB的二倍关联角”； (3)如图3，LP0Q保持大小不变，在直线BO上方绕点O旋转，若LPOQ是∠AOB的”二倍关联角”，设 ∠POQ=m°，请直接用含m的代数式表示∠BOP的大小. 18.已知，OA⊥OB,∠COD=50°，如图1，将0A,0C边重合放在直线MN上，OB,OD在直线MN的两侧. B B B A(C) M N O AM D 图1 图2 备用图 9/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图2，将∠C0D绕点0旋转，∠A0B保持不动，填空： ①∠AOC+∠B0D= ;②∠B0C-∠LAOD= (2)若∠A0B按每分钟4°的速度绕点0逆时针旋转，同时∠C0D按每分钟6°的速度绕点0逆时针旋转，0C旋 转到射线ON上时都停止运动，设旋转时间为>0，单位：分)，计算∠M0C-∠A0D(用含t的代数式表示)： (3)若OB以15°1s的速度绕点0顺时针旋转，同时射线0D以5°/s的速度绕点0顺时针旋转，当OB旋转 周时，OB,OD同时停止转动，当射线ON,OB,OD中的一条是另外两条射线组成的角的平分线时，求运动时 间是多少？ 目目 类型04 定值问题 19.如图，在同一平面内，∠A0B=90°，0C是0A绕点0按顺时针方向旋转αa<90)得到的，0D是 ∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线. (1)若a=60°，即∠A0C=60°，则∠B0C= LDOE = (2)在的变化过程中，∠DOE的度数是一个定值吗？若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由， 20.如图，∠A0B=110°，把一块含30°角（∠C0D=30°）三角板与∠A0B摆在同一平面内，且30°角的 顶点与∠AOB顶点0重叠，OE平分∠AOC,OF平分∠BOD,(本题中的角均大于0°且小于180°的角) A E -B 图1 图2 备用图 (1)如图1，当OB,0C重合，且三角板的另一边0D在∠A0B的外部时，求LE0F的度数： (2)如图2，把三角板摆放不同位置时，令∠BOC=0(0<a<110).在备用图上画图并完成探究： ①探究∠EOF的大小是否改变，若有改变，请用含的式子表示∠EOF;若没有改变，请求出定值.并采 用图2说明理由； 10/20 专题08 角相关压轴题分类 （6种类型36道） 地 城 类型01 探究角的数量关系 1．将一副直角三角板按如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转t秒． (1)如图2，当 秒时，平分，此时 ； (2)继续旋转三角板，如图3，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由（数量关系中不能含t）； (3)直线的位置不变，若在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板同时停止运动． ①当 秒时，； ②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不能含t）． 【答案】(1)； (2) (3)①或；② 【分析】本题考查了角的计算，解题的关键是理解题意并找到各个量之间的关系求出角的度数， （1）根据角平分线的定义得到，于是得到，由于，，即可得到， （2）根据题意得，求得，即可得到结论； （3）①根据题意得，，求得，列方程即可得到结论；②根据角的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：， ∵， ∴， ∵， ∴， （3）解：①∵，， ∴ ∴或， 解得：或， ② ∵，，，， ，， ∴， ∴， ∴． 2．【问题提出】 （1）如图1，、是内的两条射线，平分，，．求的度数； 【问题探究】 （2）如图2，已知是（）内的三条射线，平分，，且在的左侧，现要在内画一条射线，使得，求的度数； 【拓展提升】 （3）如图3，张老师在黑板上画出，并在内部画出（射线在的左侧）和射线、，其中平分，平分，若，，，，请你猜想、和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）（2）或（3），理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义和角的关系，解题的关键是正确找出角度关系． （1）根据角平分线的定义，结合已知角的关系，得出的度数； （2）先根据已知条件求出、的度数，再分情况讨论射线的位置，进而求出的度数； （3）可根据角平分线的定义，结合已知角的关系，推导出、和之间的数量关系． 【详解】解：（1）， ． ， ． 平分， ． ． （2）， ． 平分， ． ，． ． 当在D的左侧时， ， ，即． 在内． ． 当在D的右侧时， （3），理由如下 平分，平分， ，． ． ， ． ，即 3．已知，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将旋转至如图2的位置，若平分，，求的度数； (3)将旋转至如图3位置，若平分，直接写出、与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角的和差、角平分线的定义、一元一次方程的应用，结合图形正确利用角的和差计算是解题的关键． （1）由题意得，得出，再根据角平分线的定义得到，即可求解； （2）由，可设，则，利用角的和差表示出，利用列出方程求出的值，再利用角的和差即可求出的度数； （3）由平分，设，利用角的和差表示出、，再结合的度数，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分， ， ， 的度数为． （2）解：， 设，则， ， 平分， ， ， ， ， 解得：， ，， 平分， ， ， 的度数为． （3）解：平分， 设， ，， 平分， ， ， ， ． 4．已知为直线上的一点，，射线平分． (1)如图①中，若，则_______，_______； (2)将图①中的绕顶点逆时针旋转至图②的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先根据求出的度数，再根据角平分线的定义可知的度数，再根据求出的度数，最后根据平角的定义即可求出的度数． （2）先根据表示出的度数，再根据角平分线的定义可知的度数，再根据平角的定义即可求出的度数 （3）设，将和用含有的式子表示出来，即可得到和的关系． 本题主要考查角的计算，角平分线的计算，角的和差，解题的关键是根据题目当中所给的信息建立各个角之间的关系． 【详解】（1）∵，， ∴． 平分， ， ． ， ． 故答案为：， （2）∵，， ． 平分， ， ． （3）设， ∵， ．                          平分， ， ， ， ， ． 5．如图．已知，平分． (1)在图1中，若，，则的度数为______°，的度数为_____°； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，试探究图2中和之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由； (3)若从图2的位置继续绕点顺时针旋转，和的数量关系是否会发生变化？若变化，请你画出发生变化时，射线所在的区域（用阴影表示)，并写出变化后的数量关系；若不变化，请简要说明理由． 【答案】(1)， (2)；理由见解析 (3)和的数量关系会发生变化，变化后的数量关系为．图见解析 【分析】（1）根据题干条件先求得，，再根据角平分线的定义结合角的和差计算即可求解； （2）设，，则，再根据角的和差计算即可求解； （3）同（2）分情况讨论，画出图形，根据角的和差计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：；理由如下， ∵平分， ∴， 设，，则， ∴，， ∴； （3）解：和的数量关系会发生变化， 设，，则， 如图，当射线在外，且在射线上方时， ∴，， ∴； 如图，当射线在射线下方时， ∴，， ∴； 如图，当射线在射线左边时， ∴，， ∴； 综上，当射线在射线下方且在射线右边时，如图， 变化后的数量关系为． 6．已知为直线上一点，射线，，位于直线的上方，，，在的左侧． (1)如图1，若，则_____； (2)已知，射线平分． ①如图2，当时，猜想与之间的数量关系，并证明； ②射线在直线的下方，且满足，射线平分，当与和为时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；② 【分析】本题主要考查与角平分线有关的计算、几何图形中角度的计算： （1）根据，即可求得答案； （2）①根据，，，进而可求得； ②根据，可求得，，然后分两种情况：和． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴． 故答案为： （2）①∵平分，则， 又∵，，，， ∴， ∴ ∴． ∴． ②∵射线平分， ∴． 又∵，， ∴． ∵， ∴． ∵射线在直线的下方， ∴． ∴． 当时，如图所示． 由（2）①得， 又∵， ∴． ∴． 当时，如图所示． ∵， ∴． ∴． ∴． 综上所述，的度数为． 7．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角．地 城 类型02 三角板相关旋转问题 (1)如图1：已知，，是的两倍角，则___________； (2)如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的三倍角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，7.5秒或30秒或150秒或172.5秒 【分析】本题考查了角度计算、一元一次方程的应用，理解倍角的定义，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据两倍角的定义得到，再利用角的和差即可求解； （2）由题意得，利用角的和差得到，，再根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答； （3）设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度，根据题意分4种情况讨论：①射线在内部，射线在外部，且是的三倍角；②射线、都在外部，且是的三倍角；③射线、都在外部，且是的三倍角；④射线在内部，射线在外部，且是的三倍角，画出示意图，根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵是的两倍角， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴，， ∵是的三倍角， ∴， ∴， 解得， ∴当旋转的角度时，是的三倍角； （3）解：设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度， ①当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ②当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ③当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ④当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ∴综上所述，射线，，，能构成三倍角，旋转的时间为7.5秒或30秒或150秒或172.5秒． 8．如图1．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2．使一边在的内部且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点顺时针（箭头所指方向）旋转至图3，使在的内部．则   ． (3)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是 ． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了利用邻补角互补求角度，角平分线的有关计算，熟练掌握角平分线的有关计算并运用分类讨论思想是解题的关键． （1）利用邻补角互补可求出，由平分可得，再根据即可得出答案； （2）由角的和差关系可得，，进而可得，于是可得答案； （3）分三种情况讨论：当平分时；当平分时；当平分时；分别求出旋转的角度，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 恰好平分， ， ； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：分三种情况讨论： 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 综上，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是或或， 故答案为：或或． 9．【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）． 【操作探究】 (1)如图1，若，当三角板的直角边与重合时，_____，_____； (2)在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； (3)如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果猜想旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)；猜想，理由见解析 【分析】本题主要考查余角和补角，角平分线的定义，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． （1）由邻补角和余角的定义即可求解； （2）由角平分线的定义可得，再根据，利用平角的定义可得，进而得到，即可说明； （3）根据，，求出，，再根据平分，得到，即可求出此时的度数；猜想，根据角平分线的定义，余角，补角的定义得到，即可说明． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴也是的平分线； （3）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 猜想：， ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．已知，在下列各图中，点为直线上一点，，直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图1，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方，求的度数． (2)如图2，三角板一边恰好在的角平分线上，另一边在直线的下方，求的度数． (3)延长线段得到射线，如图3，求、的度数． (4)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，求的值． 【答案】(1) (2) (3)， (4)或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，角的运算以及角平分线的定义，解题关键：一是理解角平分线的定义，二是确定旋转到某一条件时旋转的度数． （1）利用两角互补，即可得出结论； （2）根据平分， 可得出，由可求得的度数； （3）根据直角三角板MON各角的度数以及图中各角的关系即能得出结论. （4）根据题中条件算出旋转到射线和射线的延长线恰好平分锐角时所旋转的度数，再除以速度即可得的值. 【详解】（1）解：∵，与互补， ∴， ∵， ∴. （2）解：∵三角板一边恰好在的角平分线上，， ， 又∵， ∴， （3）解：∵，， ∴， 又∵， ∴ （4）解：当直线恰好平分锐角，此时则从图中的位置旋转到射线恰好平分锐角时所旋转的度数为： ， ∵速度为每秒， ∴， 解得； 当射线的反向延长线恰好平分时， 此时旋转的角度为：， ∵速度为每秒， ∴， 解得． 11．如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方．将直角三角板绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)若射线保持位置不变，当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，与之间有何数量关系？并说明理由． (2)若射线的初始位置不变，且． ①在直角三角板旋转的过程中，若射线保持位置不变，当边与射线相交时（如图3），求的值． ②在直角三角板旋转的过程中，将射线绕着点O按每秒的速度顺时针旋转（随三角板旋转停止而停止），是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，，， 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、角平分线的性质及角的计算，根据题意全面考虑所有可能进行分类讨论是解题的关键． （1）由知、，根据可得答案； （2）①根据，即可求解； ②当平分时、当平分时分别列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：与之间的数量关系为，理由如下： ， ，， 平分， ， ． （2）①∵， ∴ ； ②由题意得： 当平分时，，即，解得； 当在上方，第一次平分时，，即，解得； 当在下方，第二次平分时，，即，解得； 当第二次平分时，，即，解得：． 综上，的值为，，，． 12．如图1，七年级1班数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点O放在互相垂直的两条直线、的垂足O处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点O顺时针旋转，射线是的角平分线，且． (1)如图2，若，则______，______． (2)在旋转过程中，若，求此时的值． (3)若将两块直角三角板（其中，）摆放在直线MN上，如图3，绕点O以每秒5°的速度逆时针转动，当OD第一次与射线OM重合时，三角板停止转动；绕点O以每秒10°顺时针转动，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动；三角板和三角板同时转动，转动时间为t秒，如图4； 用含t的代数式表示射线与射线重合前与的度数． 在整个旋转过程中，当满足时，求出相应的t的值． 【答案】(1)； (2)或 (3)，或或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，数形结合，分情况讨论是解题的关键． （1）根据，以及角的和差计算即可； （2）分两种情况讨论：当旋转到左侧时；当旋转到右侧时，解答即可． （3）①先求出的取值范围，再根据角的和差关系以及旋转的性质可得答案；②分，以及三种情况，列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴， 故答案为：；． （2）解：当旋转到左侧时，如图所示： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当旋转到右侧时，如图所示： 设， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上分析可知，的值为：或． （3）解：①设运动时间为s， 当与重合前，时，如图4， ，，，， ，，，， ， ； 当与重合后，且与重合前，即时， ， ； 综上所述，或； ②由题意知，运动时间为，运动时间为． 当时， ， ， ， ， 故不存在的值； 当时， ， ， 解得：或. 当时， ， ， ， 不符合题意； 综上所述，的值为或． 13．新定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“满分角”；例如，，则与互为“满分角”．地 城 类型03 求运动时间 【阅读理解】 （1）如图，如果，射线在射线上方，与互为“满分角”，则________． 【初步应用】 （2）若，为内部的两条射线，射线平分角，若与互为“满分角”，且满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒． 作的平分线，当时，与互为“满分角”，求运动时间的值． 若，当________，时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”． 【答案】； 或； ，或或． 【分析】本题考查新定义的角度关系、一元一次方程的应用，解决本题的关键是把角的度数用含的代数式表示出来，再根据“满分角”的定义列出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 根据“满分角”的定义，可知，又因为已知，即可求出的度数，再根据图中角之间的关系求出的度数即可； 设，则有，然后再分当射线在射线上方时，和射线在射线下方时，两种情况求解； 当时，射线与重合，当时，可知，，根据“满分角”的定义，列出关于的方程求解即可； 因为当秒时，射线与重合，当秒时射线与重合，当时，射线与重合，所以要分当时，和当时，两种情况讨论． 【详解】解：与互为“满分角”， ， ， ， ， ， 故答案为：； 解：如下图所示，设， 射线平分角， ， ， 当射线在射线上方时，， 与互为“满分角”， ， ， 解得：， ； 如下图所示，当射线在射线下方时，， 与互为“满分角”， ， ， 解得：， ； 综上所述，的度数为或； 解：， 当时，射线与重合， 当时，，， 平分， ， 与互为“满分角”， ， , 解得：； 解：由可知当时，射线与重合， ， 当时，射线恰好与重合， ， 当时，射线旋转到的下方， 当时，射线与重合， 如下图所示，当时，，，， 、、三条射线形成的角互为“满分角”， 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(负值，舍去)； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 如下图所示，当时，，，， 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 综上所述，当秒或秒或秒时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”， 故答案为：或或． 14．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角的直角顶点放在点处，边在射线上，另一边在直线的下方，绕点逆时针旋转，其中旋转的角度为 (1)将图1中的直角旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时为 度． (2)将图1中的直角旋转至图3的位置，使得在的内部，试探究与之间满足什么样的等量关系，并说明理由． (3)若直角绕点按每秒的速度顺时针旋转，当直角的直角边所在直线恰好平分时，求此时直角绕点的运动时间的值． 【答案】(1)90 (2)，理由见解析 (3)22.5秒或58.5秒 【分析】（1）根据，先求出，，根据旋转的位置即可作答； （2）由图可知，，两式相减即可作答； （3）分两种情况讨论即可作答：当射线恰好平分，此时旋转角为：；当射线的反向延长线恰好平分，此时旋转角为：，问题随之得解． 【详解】（1），， ，， 由落在射线上，可知旋转角为：； 故答案为：90． （2），， ， 即关系为：； （3）所在直线恰好平分，顺时针旋转， ， 当射线恰好平分，此时旋转角为：, 即：（秒）， 当射线的反向延长线恰好平分，此时旋转角为：， （秒） 所以直角绕点的运动时间是22.5秒或58.5秒． 【点睛】本题主要考查学生对几何中心旋转知识点的掌握，综合运用几何性质与旋转性质解决问题的能力．要注意培养数形结合思想，运用到考试中去．掌握旋转中角度的变化以及旋转反向是解答本题的关键． 15．若A、O、B三点共线，，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：，）． (1)如图1，使三角板的长直角边OD在射线OB上，则____________°； (2)将图1中的三角板DOE绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转到图2位置，此时，求运动时间的值； (3)将图2中的三角板DOE再绕点O以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，经过秒后，直线OC恰好平分，求的值． 【答案】(1)50 (2)25秒 (3)11或47 【分析】（1）由余角的性质可求解； （2）由角的数量关系列出等式可求解； （3）分两种情况讨论即可. 【详解】（1）解：∵∠DOE＝90°，∠BOC＝40°， ∴∠COE=∠DOE-∠BOC＝90°-40°=50°， 故答案为：50； （2）解：∵三角板DOE绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转， ∴经过t秒，∠COD=∠BOD-∠BOC=2t-40º，∠AOE=90º-2t， ∵， ∴2t-40º=（90º-2t）， 解得t=25. 即运动时间为25秒. （3）解：图2中∠AOE=90º-2t=40º，∠D1O E1=∠DOE=90º ∵三角板DOE再绕点O以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周， 情况①如图： 经过秒后，∠EOE1=5t ∵直线OC恰好平分， ∴ ∵∠BOC=40 º ∠AOC=∠AOE+∠EOE1+=140º 即40º+5t+45º=140º 解得：t=11； 情况②如图： 此时有：5t-10º-45º=180º， 解得t=47 故的值为11或47. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，角平分线的定义，平角的性质等知识，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 16．如图，点在直线上，，，． (1)______； (2)绕着点以每秒的速度逆时针旋转，当射线与射线重合时停止转动． ①当射线平分时，运动时间为多少秒？ ②若射线同时绕点以每秒的速度顺时针旋转，当停止转动后射线也停止转动．若，运动时间为多少秒？ 【答案】(1) (2)①运动时间为秒；②运动时间为5秒或秒 【分析】此题主要考查了角的和差计算及一元一次方程的应用． （1）先求出，再根据求解即可； （2）①先求旋转角度，再根据旋转速度求出时间即可；②分情况讨论，分别表示出，根据题意列方程并解方程即可解决． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）①当射线平分时，如下图： ， ， 的旋转角度为， 绕着点以每秒的速度逆时针旋转， 运动时间为秒； ②当旋转到与重合时，旋转时间为秒， 当旋转到与重合时，旋转时间为秒， 当旋转到与重合时，旋转时间为秒， 当旋转到与重合时，旋转时间为秒， 当旋转到与重合时，旋转时间为秒， 设运动时间为t秒， 旋转过程中当均在直线上方时，如图： ，， ， ， 解得：； 旋转过程中当均在直线上方时，在直线下方时，如图： ，， ， ， 解得：； 旋转过程中当均在直线下方时，在直线上方时，如图： 为钝角， 故不存在的情况； 旋转过程中当、均在直线下方时，如图： 故不存在的情况； 旋转过程中当均在直线下方时，在直线上方时，如图： ，， ， ， 解得：（不合题意舍去）； 综上所述，，运动时间为5秒或秒． 17．在同一平面内，以点为公共顶点的和，满足，则称是的“二倍关联角”．已知（本题所涉及的角均小于平角）． (1)如图，若，在内，且是的“二倍关联角”，则 ； (2)如图，若射线、同时从射线出发绕点旋转，射线以秒的速度绕点逆时针方向旋转，到达直线后立即改为顺时针方向继续旋转，速度仍保持不变；射线以秒的速度绕点逆时针方向旋转，射线到达直线时，射线、同时停止运动，设运动时间秒，当为何值时，是的“二倍关联角”； (3)如图，保持大小不变，在直线上方绕点旋转，若是的“二倍关联角”，设，请直接用含的代数式表示的大小． 【答案】(1)或； (2)或； (3)或． 【分析】（1）根据“二倍关联角”的概念，得到，分两种情况讨论即可得到答案； （2）分三种情况讨论：①当时；②当时；当时，分别用含t的式子表示出和,再利用“二倍关联角”的概念列方程求解即可得到答案； （3）分三种情况讨论：①当在内部时；②当在内部时；③当在外部时，利用“二倍关联角”的概念分别求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是的“二倍关联角”，， ； 如图，当在上方时，， 如图，当在下方时，， 故答案为：或； （2）解：①当时，，， 是的“二倍关联角”， ， ， ，符合题意， ②当时，，， 是的“二倍关联角”， ， ， ，不符合题意，舍去； 当时，，， 是的“二倍关联角”， ， ， ，符合题意， 综上可知，当或时，是的“二倍关联角”； （3）解：①如图，当在内部时， ， 解得：， ②如图，当在内部时， ， 解得：， ③如图，当在外部时， ， 解得， 综上可知，的大小为或． 【点睛】本题考查了新定义——二倍关联角，利用分类讨论的思想，找准角度之间的数量关系是解题关键． 18．已知，，如图1，将边重合放在直线上，在直线的两侧． (1)如图2，将绕点旋转，保持不动，填空： ①_____________；②_____________； (2)若按每分钟的速度绕点逆时针旋转，同时按每分钟的速度绕点逆时针旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转时间为，单位：分)，计算 (用含的代数式表示)； (3)若以的速度绕点顺时针旋转，同时射线以的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，同时停止转动，当射线中的一条是另外两条射线组成的角的平分线时，求运动时间是多少？ 【答案】(1)①；②； (2)或 (3)秒或20秒 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，一元一次方程的应用． （1）转化成已知角的式子计算即可； （2）利用旋转后的位置进行分类讨论，列出对应的式子即可求解； （3）利用旋转后的位置进行分类讨论，列出对应的方程即可求解． 【详解】（1）解：①． 故答案为：； ② ． 故答案为：； （2）解：由题意可知 当与相遇时，由题意得， 解得， 当旋转到射线上时，由题意得， 解得， 当与相遇前，时，， ∴； 当与相遇后，时，， ∴． 综上为或； （3）解：设运动时间为x， 当与相遇时， 解得， 当旋转一周时，， 解得， 当与相遇前，时， 射线是，两条射线组成的角的平分线，， 解得； 此时，不成立； 当与相遇后，时， 当射线是，两条射线组成的角的平分线时，， 解得； 当射线是，两条射线组成的角的平分线时，， 解得． 综上：运动时间为秒或20秒时，射线中的一条是另外两条射线组成的角的平分线． 19．如图，在同一平面内，是绕点按顺时针方向旋转得到的，是的平分线，是的平分线．地 城 类型04 定值问题 (1)若，即，则________，________． (2)在的变化过程中，的度数是一个定值吗？若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的度数是一个定值，为． 【分析】（1）利用角平分线的定义，寻找各角之间的关系，然后进行相关运算； （2）根据角平分线的定义，寻找各角之间的关系，运用由特殊到一般的思想方法，得出为一个定值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）在的变化过程中，的度数是一个定值． ∵是的平分线， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， 即的度数是一个定值，为． 【点睛】本题考查了角平分线，解题的关键是寻找各角之间的关系进行运算． 20．如图，，把一块含角（）三角板与摆在同一平面内，且角的顶点与顶点重叠，平分，平分．（本题中的角均大于且小于的角） (1)如图1，当，重合，且三角板的另一边在的外部时，求的度数； (2)如图2，把三角板摆放不同位置时，令．在备用图上画图并完成探究： ①探究的大小是否改变，若有改变，请用含的式子表示；若没有改变，请求出定值．并采用图2说明理由； ②在三角板摆放的不同位置中，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①的大小不变，；②存在使得，或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． （1）根据角平分线的定义进行计算即可； （2）①根据图2，利用角平分线的定义进行计算即可； ②分二种情况：当时，当时，设，，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：平分，平分，，， ，， ． （2）解：①的大小不变，为，理由如下： 平分，平分， ，， ， ， 又∵， ， ， ∴为定值； ②存在使得，理由如下： 平分，平分， ∴设，， 情况1，如图：当时， ， ∴， ①， ， ， ∴②， 由①②得：， ； 情况2，如图：当时， ， ， ， ①， ， ， ， ②， 由①②得， ， 综上所述，或． 21．如图（1），点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图（1）中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转秒，此时恰好第一次平分钝角，则的值为多少？ (2)将图（1）中的三角板绕点逆时针旋转至图（2），使一边在的内部，直线恰好平分，问：直线是否平分？请说明理由． (3)将图（1）中的三角板绕点O顺时针旋转至图（3），使在的内部，请探究： ①与之间的数量关系，并说明理由． ②的值是否为定值，如果是，请求出这个定值是多少？如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线平分，理由见解析 (3)①，理由见解析；② 【分析】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义的运用； （1）根据角平分线的定义得出，结合题意，即可求解； （2）根据角平分线的定义得出，进而根据，求得，即可得出结论； （3）①根据，，分别求得，，再根据进行计算，即可得出与的数量关系； ②根据图形可得，进而根据 ，即可求解． 【详解】（1）平分， ， 又， ， （2）直线平分，理由如下： 设的延长线为，如图2， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 即直线平分； （3）①结论：． 理由：如图3中， ，， ，， ， 与的数量关系为：． ② 22．如图，把一副三角尺拼在一起，其中是等腰直角三角形，，并且三点在同一直线上． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若射线分别从位置开始，同时绕点以每秒的速度顺时针旋转，平分平分，设旋转的时间为秒． ①当时，求的度数； ②当时，的度数是否等于一个定值？若是，请求出这个定值；若不是请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②是定值， 【分析】（1）根据三角形是等腰直角三角形，，得出，进而即可求解； （2）①根据旋转速度及时间求得，然后根据角平分线的概念和角的和差分析计算； ②当时，，．根据角平分线的定义可得，，进而求得，根据即可求解； 【详解】（1）解：∵三角形是等腰直角三角形，， ． ． （2）解：①当时，， ∵平分平分， ∴， ∴, ∴； ②的度数是等于一个定值为，理由如下． ，旋转速度相同， 设， 当时，则，． 平分，． 平分，． ． ． 【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，角平分线的定义，准确识图，找准角的和差关系是关键． 23．将一直角三角板水平放置，过点作直线，射线，且平分， (1)如图1，若直线经过点， ①求的大小； ②作射线，，射线平分，若，求的大小； (2)如图2，若射线在的内部，作射线，，射线在内部，射线平分，且时，是否存在常数，使得的值是定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②或 (2)存在使得的值是定值． 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）①根据角平分线的定义求出的度数，再由平角的定义即可求出的度数；②分射线在左侧和射线在右侧两种情况，根据角平分线的定义求出和的度数即可得到答案； （2）分点B在射线下方和点B在射线上方，且在上方两种情况，分别用表示出的度数，进而求出的结果，再根据的值为定值求出对应的m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵，平分， ∴ ∵直线经过点， ∴； ②如图所示，当射线在左侧时， ∵射线平分，， ∴， ∵，平分， ∴， ∴； 如图所示，当射线在右侧时， ∵射线平分，， ∴， ∵∵，平分， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或； （2）解：当点B在射线下方时， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， ， ∵射线平分， ∴， ∴ ， ∵是常数， ∴， ∴； 如图，当点B在射线上方，且在上方时， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， ， ∵射线平分， ∴， ∴ ， ∵是常数， ∴， ∴； 综上所述，存在使得的值是定值． 24．已知，如图1，点为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点处，其中，然后将直角三角板绕点顺时针旋转，过点作射线，使得平分，设. (1)当时，______°. (2)过点作射线，使得， ①如图2，当为锐角时，求的度数（用含的代数式表示）； ②如图3，当为钝角时，以下两个判断： （Ⅰ）是定值；（Ⅱ）是定值，其中只有一个结论正确，请判断出正确结论，并求出该定值. 【答案】(1)30 (2)①②是定值，且为，理由见详解 【分析】本题考查余角、补角、角平分线，关键是掌握余角、补角、角平分线的定义． （1）利用平角和角平分线计算即可； （2）①利用平角和角平分线计算即可；由角平分线定义，平角定义求出和即可求出； ②利用已知条件和等量关系分别求出和，代入和计算即可． 【详解】（1）解：∵平分，设. ∵ ∴ ∴ 故答案为：30； （2）解：①当时， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； ②是定值，且为，理由如下： 当时， ∵， ∴， ∵平分，， ∴ ∴， 则 则 ∴是定值，且为， 25．如图，直线，相交于点，以为观察中心，射线表示正北方向，射线表示正东方向，即，射线，的方向如图所示，且．地 城 类型05 角相关证明题 (1)如图1，若射线的方向为北偏东．请说明与互为补角． (2)如图2，平分，平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线，互为余角，互为补角，掌握角平分线以及互为余角，互为补角的定义是正确解答的关键． （1）根据角平分线的定义，互为余角、互为补角的定义进行计算即可； （2）根据角平分线以及互为余角的定义进行解答即可． 【详解】（1）由题意得， ∵，， ∴， ，， ， ，， ， ， 与互为补角； （2）证明：平分，平分， ，， ， ， ， ， ， 即， ， ． 26．已知锐角，点为平面内一点，，分别平分和． (1)如图，点为内一点，求证：； (2)如图，点为外一点，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请证明； (3)当点在平面内其他位置时，与之间还存在其他的数量关系吗？请画图并直接写出结论． 【答案】(1)见解析 (2)（1）中的结论结成立．证明见解析 (3)存在，画图见解析，数量关系为． 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算； （1）先证明，，可得，进一步可得结论； （2）先证明，，可得，进一步可得结论； （3）先构建图形，证明，，可得，进一步可得结论； 【详解】（1）证明：，分别平分和， ，． ． ， ． （2）证明：（1）中的结论结成立． ，分别平分和， ，． ． ， ． （3）解：存在，如图所示，； 理由如下：，分别平分和， ，． ， ∵， ∴． 27．如图，在平面内的五条射线中，射线是逆时针方向排列，，射线平分．    (1)当射线都在内部，且时，如图1． ①若，则______； ②若射线平分，则______； (2)当射线分别在内、外部时，如图2，求证：； (3)当射线都在外部时，如图3，若，则______（用含的式子表示）． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算： （1）根据角平分线的定义可得，①根据题意可得，从而得到，即可求解；②根据射线平分，可得，进而得到，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，从而得到，，即可求证； （3）根据，可得 ，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：射线平分 ， ①∵，， ， ， ， ∴， 故答案为： ②射线平分， ， ， ； 故答案为： （2）解：射线平分， ， ， ∴， ； （3）解：， ， ， ． 28．如图所示，已知，，平分，请判断和之间的数量关系，并说明理由； 已知：如图，点在直线上，射线平分.求证： 与互补； 已知和互余，射线平分，射线平分．若，直接写出锐角的度数是________. 【答案】（1）互余，见解析；（2）见解析；（3）或或 【分析】（1）先求出，再根据角平分线的定义求出，进而求出，即可求出与互余； （2）根据角平分线的定义得到，根据，即可得到，问题得解； （3）分和在PQ两侧、和在PQ同侧且＜45°、和在PQ同侧且＞45°三种情况分类讨论，根据角平分线的定义、余角的定义、和整体思想进行代换计算即可求解． 【详解】解：（1）与互余． 理由：∵ ，， ∴   ． ∵   平分， ∴   ， ， ∴   ， ∴   与互余； （2）证明：∵ 平分， ∴． 又∵， ∴， ∴与互补； （3）①如图3，当和在PQ两侧时， ∵和互余， ∴+=90°， ∵射线平分，射线平分， ∴∠MPQ=∠EPQ， ∠NPQ=∠FPQ， ∴∠MPN=∠MPQ+ ∠NPQ=∠EPQ+∠FPQ=（+）=×90°=45°； ②如图4，当和在PQ同侧且＜45°时， ∵和互余， ∴+=90°，＞45°， ∵射线平分，射线平分， ∴∠MPQ=∠EPQ， ∠NPQ=∠FPQ， ∴∠MPN=∠NPQ-∠MPQ =∠FPQ -∠EPQ =（90°-）-∠EPQ =； ③如图5，当和在PQ同侧且＞45°时， ∵和互余， ∴+=90°，＜45°， ∵射线平分，射线平分， ∴∠MPQ=∠EPQ， ∠NPQ=∠FPQ， ∴∠MPN=∠MPQ-∠NPQ- =∠EPQ -∠FPQ =∠EPQ -（90°-）=； ∴锐角的度数为或或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，余角的定义等知识，熟练掌握相关知识，根据题意正确分类并画出图形是解题的关键． 29．已知：比大．    (1)如图1，求的度数； (2)如图2，为内部的一条射线，平分，若，求证：平分； (3)如图3，射线为的三等分线，三角板（点O为直角顶点）绕着O点逆时针旋转一周，时，作射线平分，请画出图形，并求的度数． 【答案】(1)的度数为 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据及列得，求出即可得到的度数； （2）由（1）知，根据角平分线定义求出，得到，根据求出，再求出的度数，推出，即可得到平分； （3）根据，求出，由三等分线定义求出，再分为两种情况，分别求解． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ∴， ； （2）由（1）知， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即平分； （3）∵， 又∵， ∴， ∴， ∵射线为的三等分线， ∴， 分为两种情况： 第一种情况：如备用图1    ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵射线平分， ∴， ∴． 第二种情况：如备用图2    ∵， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了角平分线的定义，求几何图形中的角度，正确理解角平分线的定义及掌握分类讨论的方法是解题的关键． 30．如图，点为直线上一点，过点作射线，使； (1)求的度数； (2)如图，射线在的内部，射线和射线都绕着点旋转，当射线平分、射线平分时，求证：； (3)在（2）的条件下，若，射线和射线同时都在（2）中各自的位置继续绕着点顺时针旋转，射线每秒旋转，射线每秒旋转，（转过的角度小于）求经过几秒后． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)秒或秒 【分析】（1）根据，设，，由可得，解出，即可求出的度数； （2）根据角平分线可知，，由可得，可证； （3）由，求出，设经过秒后，分类讨论：当没超过时，或当超过时，分别计算即可。 【详解】（1）解：∵点为直线上一点， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，解得， ∴， ∴． （2）解：证明：∵射线平分，射线平分， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵由（2）得，， ∴， 设经过秒后 由转过的角度小于，分情况讨论： ①当没超过时， ，解得； ②当超过时， ，解得， 综上所述，经过秒或秒后． 【点睛】本题考查了角平分线的定义和角度的和差问题，根据图象得出角度之间的关系并列出一元一次方程是解答本题的关键。 31．（1）特例感知：如图①，已知线段，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点，点和点分别是的中点．地 城 类型06 线段和角的知识迁移 ①若，则______；若，则______； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度：如果变化，请说明理由； （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线分别平分和． ①若，则______； ②猜想与之间的数量关系：______； （3）类比探究：如图③，在内部转动，若，，求的度数（用表示） 【答案】（1）①；②不变，；（2）①；②（3） 【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． （1）①欲求，需求．点C和点D分别是，的中点，得，，那么，进而解决此题，对于已知求同理可求；②与①同理． （2）①欲求，需求．由和分别平分和，得，，进而解决此题；②与①同理． （3）由可得，，所以，根据可得结论． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴， ∵点C和点D分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴； ∵线段，， ∴， ∵点C和点D分别是，的中点， ∴，， ∴， 故答案为：； ②不变，理由如下： ∵点C和点D分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①∵和分别平分和， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； ②．理由如下： ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴ ； （3）∵，， ∴， ∵ ， ∴，， ∴， ， ∴， ∴． 32．已知点O是直线上的一点，射线以点O为端点，向直线上方延伸．作射线和，使平分，求的度数． 小明在解决此问题时，有以下思考： 如果射线的位置不同，的大小是否也不同呢？ 【特例感知】 令，，解决以下问题： （1）如图1，当射线在内部时，______°． （2）当射线在外部时，的大小是多少？请在图2中画出示意图，并求出的度数； 【类比迁移】 （3）若，，且，k为任意小于2的正有理数，则的度数为______（用含有k和的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）； 【分析】本题考查角的运算，熟练掌握角的和差关系是解题的关键， （1）利用角的和差运算即可得到答案； （2）根据题意画出图形，根据角的和差运算即可得到答案； （3）由题可得，根据k的取值范围可分四种情况讨论：①当射线在直线上方时；②当射线在直线下方时；③当射线在内部时；④当射线在外部且在直线上方时，再分别利用角的和差关系即可得到答案． 【详解】解：（1）由图1可得：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当射线在外部时，如下图： ∵，，平分， ∴，， ∴； （3）由题可知：， ∵平分， ∴， 当时，，此时， 当射线在直线上方时，如图①所示： ∵， ∴， ∴， 当射线在直线下方时，如图②所示： ∵， ∴， ∴， 当，时， 当射线在内部时，如图③所示： ∵， ∴， 当射线在外部且在直线上方时，如图④所示： ∵， ∴， 综上所述：；． 故答案为：；． 33．【问题探究】 在数学的几何世界里，我们常常会遇到一些具有特殊关系的图形元素．其中，在同一条直线上，有一个公共端点的两条线段被定义为“共端点线段”． 例如：如图1，和都有公共端点，所以这两条线段是“共端点线段”． （1）当两个“共端点线段”的长度分别为6和4时，它们非共端点的两个点间的线段的长度为____________； 【类比迁移】 （2）类比上述过程，在同一平面内，把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”．已知和是一组“共边角” ①若，则的度数为___________； ②如图2，若是和的角平分线，求的度数（结果用和表示），请画出图形并完成解答过程； 【综合运用】 （3）如图3，已知，射线按顺时针方向以秒的速度旋转至，按顺时针方向以/秒的速度旋转至，设旋转时间为，且为的角平分线，为的角平分线，当时，直接写出的值． 【答案】（1）2或10；（2）①或；②或，见解析；（3）或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，线段的和差计算，角的和差计算，找到相等关系和理解分类讨论思想是解题的关键． （1）根据线段的和差求解即可； （2）①根据角的和差求解即可； ②分类讨论，根据角的和差求解即可； （3）先求出与重合时和与重合时需要得时间，分类讨论，根据角的和差求解． 【详解】解：（1）根据题意：线段的长度为或， 故答案为：2或10． （2）①根据题意：的度数为或， 故答案为：80或35． ②当在内部时，如图2： 是和的角平分线， ，， ； 当在外部时，如备用图： 是和的角平分线， ，， ； 综上，的度数为或． （3）当与重合时，， 解得：， 当与重合时，， 解得：， 当时，，， 为的角平分线，为的角平分线， ，， 当时，， 解得：， 当时， ， 解得：（不合题意，舍去）， 当时，如备用图： ，， 为的角平分线，为的角平分线， ，， ∴， 解得：， 的值为5或20． 34．在同一平面内，我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”．例如：和都有公共顶点和一条公共边，所以这两个角是“共边角”． 【问题解决】： （）当两个“共边角”为和时，它们非公共边的两边的夹角是______°，这两个“共边角”的平分线的夹角度数为______°； （）若两个“共边角”非公共边的两边所成的角是直角，则这两个角的平分线的夹角度数为______°． （）若分别平分“共边角”和，试猜想与的关系，并以图或图为例说明理由． 【知识迁移】： （）在同一条直线上，我们把有一个公共端点的两条线段称为“共端点线段”．例如：和都有公共端点，所以这两条线段是“共端点线段”若两条“共端点线段”的长度分别为和，则这两条线段的中点之间的距离为______． 【答案】（）或，或；（）或；（）选择图或图，猜想：，理由见解析；（）或． 【分析】本题考查了新定义，以及角平分线的有关计算，根据题意画出图形，进行分类讨论是解题的关键． （）分的角在的内部和外部两种情况求解即可； （）分两种情况求解即可； （）利用角平分线性质分图或图分别说明； （）分点位于点间和点位于点外两种情况求解即可． 【详解】解：（1）解：如图，， ， ∴则， ∴； 如图，，， ∴， ∴； 故答案为：或，或； （2）分别是，的平分线，，如图， ∵分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴； 如图， ∵分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：或； （）我选择图： 猜想：． 理由如下： ∵分别平分和， ∴，， ∴， ， ； 我选择图： 猜想：． 理由如下： ∵分别平分和， ∴，， ∴， ； （）当点位于点间时，如图，，， ∴， ∴； 当点位于点间外，如图，，， ∴， ∴； 故答案为：或． 35．（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），点和点分别是，的中点． ①若，则 ； ②线段运动时，线段的长度为定值，请直接写出线段的值． （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求 度． ②请直接写出，和三个角有怎样的数量关系． （3）类比探究：如图③，在内部转动，若，，，请直接用含有的式子表示的度数． 【答案】（1）①；②；（2）①；②，理由见解析；（3） 【分析】（1）①根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论； ②根据线段的中点得到，，求得，可得结论； （2）①根据角平分线的定义得到，，求得，可得结论； ②根据角平分线的定义得到，，根据角的和差即可得到结论； （3）根据已知得，，求得，，可得结论． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴， ∵点和点分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵点和点分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴线段的值为； （2）①∵射线和射线分别平分和， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： ∵射线和射线分别平分和， ∴，， ∴， ∴ ； （3）∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解题的关键． 36．【特例感知】（）如图，点为线段上的一个动点，点在线段上，，点在线段上且，若线段，求线段的长． 下面是小泽的解答过程，请你补全解答过程： 解：因为且， 所以______① ， 同理可得：______② ， 因为， 所以， 又因为， 所以______③， 即的长为______④． 【知识迁移】（）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，若，是内部的一条射线，射线在内部且，射线在内部且，求的度数． 【拓展探究】（）已知在内的位置如图所示，若，射线在内部且，射线在内部且，请直接写出与的数量关系为______． 【答案】（），，，；（）；（），理由见解析 【分析】（）由且，得，同理，则，然后根据即可得出的长； （）根据且，得，同理，则，由此可得的度数； （）根据且，得，同理，则，再根据即可得出与的数量关系； 本题考查了线段的和差，角的计算，准确识图，熟练掌握角的计算是解题的关键． 【详解】解：（）且， ， 同理可得：， ， ， 又， ， 即的长为， 故答案为：，，，； （）且， ， 同理可得：， 又， ， ， ， 即的度数为； （）与的数量关系为：，理由如下： 且， ， 同理可得：， ，， ， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $