专题02 绝对值相关压轴题分类训练（8种类型64道）（期末复习压轴题专项训练）七年级数学上学期新教材北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02绝对值相关压轴题分类训练 (8种类型64道) 类型利用绝对值的排负性求值 类型2绝对值的排负性相关最值问题 类型3已知绝对值求代数式的值 类型4利用数轴去绝对值 绝对值相关压轴题分类 训练 类型5绝对值相关综合题 类型6对值的化简 类型7绝对值的几何意义相关晶值问题 类型8绝对值的几何意义相关综合问题 目目 类型01 利用绝对值的非负性求值 1.若(a+3)2与b-1互为相反数，则(). A.a=-3,b=-1B.a=-3,b=1 C.a=3,b=1 D.a=3,b=-1 2.若a-1+b+2=0,则a-b的值为() A.3 B.-1 C.-2 D.0 3.若a-2+b-1=0,则a+b的值为() A.3 B.-3 C.0 D.3或-3 4.若m-1+(n+22=0,则m+2n=(） A.-5 B.-3 C.5 D.3 5.若a-5+lb+6=0,则-b+a-1的值是() 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.-11 B.10 C.-2 D.2 6.若(x-22+y+3=0,则x,y的乘积是() A.-5 B.5 C.6 D.-6 7.若a-4与3+b互为相反数，则b-a+-1的结果为() A.-6 B.-7 C.-8 D.-9 8.如果有理数x、y满足x-1+x+y=0,那么y的值是() A.-1 B.±1 C.1 D.2 目目 类型02 绝对值的非负性相关最值问题 9.如果x为有理数，式子2023-x+2存在最大值，这个最大值是() A.2025 B.2024 C.2023 D.2022 10.如果x为有理数，式子2023-x-2023存在最大值，这个最大值是() A.2023 B.4046 C.20 D.0 11.如果a是有理数，则a-2023的最小值为() A.-2021 B.-2022 C.-2023 D.不存在 12.若a是有理数，则川a-1川+2的最小值是() A.0 B.1 C.2 D.3 13.代数式3x-2|+2的最小值是() A.1 B.2 C.3 D.4 14.式子x-3+5取最小值时，x等于() A.1 B.2 C.3 D.5 15.当x=时，-9-x-1|有最大值，最大值是() A.1,-10 B.1,-9 C.-1,10 D.-1,9 16.式子x++2取最小值时，x等于() A.0 B.1 C.2 D.-1 2/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 目目 类型03 已知绝对值求代数式的值 17.若a=6,b=4,且a+b<0,则a-b= 18.若x=2,y=3,且x>y,则x-y的值为一 19.已知a-1=6,b=-22,且a+b=a+b,则a-b=一 20.已知a=5,|b=2,c=3,且a+b+c0,则a-b+c= 21.已知x=5,y川=3，x-y川=y-x且y<0,则x+y= 22.已知：a=3,b=2,若a<b,a-b=_,若a-b=a-b,则a+b的值等于 23.已知a=4,b=2,且a+b=-(a+b),则a+b值等于 24.若a=4,lb=a-2,则a-b= 目目 类型04 利用数轴去绝对值 25.已知数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，请化简b+a+c-a-b-2b-￠. b a 0 c 26.数轴上表示数a,b,c的点如图所示. 0 0b (1)比较大小：d_b,-ab;(填“>”、“="或“<") (2)化简：a+2b-c-lc-a: 27.已知有理数a,b,c在数轴上的对应点如图所示： b (1)0,a+b+c0: 2)化简：lc-a-la+b. 3/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 28.如图，数轴上的点A,B分别表示数a,b. BA b a 0 (1)判断正负：a+b-0,a-b-0,1-a0.（用>，=，或<填空) (2)化简：a+b-a-b-21-a. 29.已知a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简a-b-b+c-a+c. a 0b6→ 30.己知a,b,c在数轴上的位置如图所示： b0a→ (1)填空：a+b0,a-c0,c-b_0.(填“>”、"<"或"=") (2)化简：la+b+a-c-c-b 31.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示. a b0→ (1)判断a+c_0,b-c_0,abc0;(选填“>”"<"或"=”) (2)化简：b+c-lb+-a. 32.已知数α，b在数轴上的位置如图所示，请解答下列各题： 6 -1 0 1 (1)比较大小：a+b_0,a-b0,ab_0,a+1×b-1)_0: (2)化简：ab=-,a-1=-,lb-1=-; 3)若a=1.6,b=2.2,求ab-a-b的值. 目目 类型05 绝对值相关综合题 33.下列说法正确的有() ①已知a,i,c是非零的有理数，且=-1时，则a+b+C的值为1或-3； abc a b c 4/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②已知a,b,c是有理数，且a+b+c=0,bc<0时，则+C++C+a+的值为-1或3： lal bl lcl ③已知x≤4时，那么x+3-x-4的最大值为7，最小值为-7； 0装小-冈且a-外子则式子的雀为 10 a+b(a>b) ⑤如果定义{a,b={0(a=b),当ab<0,a+b<0,a>b时，{a,b的值为b-a. b-a(a<b) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 34.若点A、B在数轴上代表的数为a、b,则A、B两点之间的距离AB=a-b,则下列说法： ①数轴上表示x和-1的两点之间的距离是x-1: ②若AB=3,点B表示的数是2，则点A表示的数是1； ③当x=3时，代数式x+1+x-3+x-5有最小值为6： ④当代数式x+2+x-2取最小值时，x的取值范围是-2≤x≤2； ⑤三个不同的点A,B,C在数轴上代表的数分别为a,b,C,若a-b+c-=b-c,则点A位于B, C两点之间. 其中说法正确的个数有()个 A.1 B.2 C.3 D.4 35.下列说法正确的个数是() ①若m=n,则m=n; ②若m=-n,则m=n; ③若m=n,则m=n; ④若m=n,则m=-n. A.0 B.1 C.2 D.3 36.下列说法：①若x+x=0,则x为负数：②若-a不是负数，则a为非正数；③a2=(-a2:④若 a=-b,b=b,则a=b=0.其中正确的结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 37.有理数a,b,c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有() b c 0 a0c<0:②a+c<6;@包+h+日-1：④g-lb-小=lg-d a b c A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 38.有理数a,b,c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有() b 0 ①abc>0;②a-b+c<0;③lb-a-c-b=a-c;④la-b>lb-c-c A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 39.下列说法正确的序号是 b+c a+c a+b ①已知a,,c是有理数，且a+b+c=0,ac<0时，则同+份+代的值为1或-l: ②四个数w、x、y、z满足x-2001=y+2002=z-2003=w+2004,则最小的数是w,最大的数是z ③适合x+4+x-2=6的整数x的值有7个 a+b(a>b) ④如果定义{a,b=0(a=b),当ab<0,a+b<0,a>bl时，{a,b}的值为b-a. b-a(a<b) 40.下列说法：①若x+x=0,则x为负数；②若-a不是负数，则a为非正数；③-a2=(-a)2;④若 a 0，则 b =-1;⑤若a=-b,b=b,则a=b,其中正确的结论有 (填序号) 目目 类型06 绝对值的化简 41.已知a,b,c都是有理数，且满足回+月，日-1，那么6-lbbd a b c abc 42.对于有理数，6，满足b<0,则日久+2的值为 十 a历ab 43.如图所示，有理数a,b,c在数轴上对应的点分别是A,B,C.其中O为数轴的原点，则代数式化简 b+a cb.lc-a b+acbc-a 6/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 44.已知 =1,则+片+ xy z 值为 xyZ 45.若飞y都是不为0的有理数，则代数式因，以_回的最大值与最小值的和是」 46.若a,b,c为有理数，且回4A,d-1,求lc的值为 a b c abc 47.若mn≠0， 则四+☒，m m n mn 48.已知ah<0,则回_4lbl a b ab 目目 类型0☑ 绝对值的几何意义相关最值问题 49.若x表示一个有理数，则x-4+x+1+x+7的最小值是一 50.式子1x+1001+|x-2+x-5引的最小值是 51.x-2+x+3的最小值是一， 52.x+22+x-5+x-2000的最小值为一· 目目 类型08 绝对值的几何意义相关综合问题 53.代数式x+1009+x+506+x-1012的最小值是 54.x是有理数，则1x-10+1x+51+x+2+x-3的最小值是 55.已知式子1x+1+|y+3=10-|x-2|-1y-4|,则2x+y的最大值是 56.数轴上表示x和1的两点之间的距离为x-1,则x++x-3的最小值是_，当x++x-3到取得 最小值时，x的取值范围是一 57.阅读材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,A、B两点之间的距离可表示为a-b.例如：6 与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为6-(-2=8，x-5的几何意义是数轴上表示有理数x 的点与表示5的点之间的距离.这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题.如图，已知数轴上两点A、 7/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B对应的数分别为-2和3，数轴上另有一点P对应的数为有理数x. B 上 -5-4-3-2-1012345 请根据阅读材料回答下列问题： (1)点A与点B之间的距离-： (2)根据几何意义，解决下列问题并填空： ①当x=0时，x-3+x+2=- ②当x=-4时，x-3+x+2=-; ③若点P在A、B两点之间，则x-3+x+2=- ④若x-3+x+2=7,则点P表示的有理数x为- (3)若点M、N为数轴上的两个动点，若点M以每秒0.2个单位长度的速度从点B向数轴负方向出发，点N 从点A向数轴正方向出发，其运动速度是点M的3倍，求运动多少秒后点M与点N相距1个单位长度？ 58.(1)数轴上点4，B对应的数分别是a,b,则AB=a-b,若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示1 ,那么AB=-; (2)在数轴上表示x的点与-1的距离是3，那么x=- (3)在数轴上表示a的点位于-4和3之间（包含两端），求a+4+a-3的值； (4)对于任意有理数x,则x-3+x-6的最小值是- 59.先阅读，后探究相关的问题 【阅读】5-2表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；5+2可 以看作5-(-2表示5与-2的差的绝对值，也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离. (1)如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B,再把点A向左移动1.5个单位，得到点C,则点B和 点C表示的数分别为和一，B,C两点间的距离是； A 02.5 (2)数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离表示为一；如果AB=3,那么x为一； (3)若点A表示的整数为x,则当x为时，x+4与x-2的值相等； 8/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (4)要使代数式x+5+x-2取最小值时，相应的x的取值范围是一 60.数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作d.数轴上表示数a的点与表示数b的点 的距离记作a-b,如3-5表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，3+5=3-(-5表示数轴上表 示数3的点与表示数一5的点的距离，a-3表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离. 4-3-2-101234→ 根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程） (1)若x-2=x+2,则x=,若x-3引=x+1,则x=一： (2)若x-3+x+1=4,则x能取到的最小值是；最大值是； (3)若x-3-x+1=4,则x能取到的最大值是一： (4)关于x的式子x-2+x+1的取值范围是 61.(1)阅读材料：从代数角度上看，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值；从几何 角度上看，数轴上两点间的距离等于以这两点为端点组成的线段的长度.例如：点A、B在数轴上分别对应 的数为a、b,则A、B两点间的距离可表示为a-b=AB.(完成下面填空) I.数轴上有三点A、B、P,分别对应的数为-3、2、x, 如图①，当x≤-3时，x+3+x-2=PA+PB=PA+PA+AB=2PA+AB=2PA+5; 如图②，当-3≤x≤2时，x+3+x-2=PA+PB==5; 如图③，当x≥2时，x+3+x-2=PA+PB=PB+AB+PB=一+AB=2PB+5; 520有01分4208附 PA B A P B A BP 图① 图② 图③ IⅡ.由I可得：PA≥0，PB≥0， ∴.2PA+5≥5,2PB+5≥5， x+3+x-2在-3≤x≤2时有最小值为 (2)直接应用：求x-4+x+5的最小值. 9/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)应用拓展：若S=x-1+x+2+x-6,当-2≤x≤6时，直接写出S的取值范围 62.阅读下列内容： 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a,数轴上表示数a的点与表示数b的点的距 离记作a-b1,如3-5引表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，3+5=3-(-5)表示数轴上表示 数3的点与表示数-5的点的距离，|a-3引表示数轴上表示数α的点与表示数3的点的距离.根据以上材料 回答下列问题： -5-4-3-2-1012345> (1)数轴上表示5与-2两点之间的距离是 (2)数轴上表示x与-5的两点之间的距离可以表示为 (3)同理x+4+x-1表示数轴上有理数x所对应的点到-4和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条 件的整数x,使得x+4+x-1=5,这样的整数是 (4)由以上探索猜想对于任何有理数x,x-2+x-6的最小值是」 (5)当a=__时，a+6+a-3+a-4的值最小，最小值是_ 63.阅读绝对值拓展材料：|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离，如：|5曰5-01表示5和0在数 轴上对应的两点之间的距离，类似的有： |5+3=5-(-3)川表示5和-3在数轴上对应的两点之间的距离.一般地，有理数α、b在数轴上对应的点为A、 B,那么A、B之间的距离可表示为a-b. 回答下列问题： (1)数轴上表示1和-3的两点之间的距离是一.数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离可表示为一 (2x-2可以理解为数轴上表示x和_的两点之间的距离，x-2+x-8|可以理解为数轴上表示x的点到 表示和这两点的距离之和， (3)借助数轴，x-2+x-81的最小值是一，x-2+x-8达到最小值时，x可取哪些整数，请直接写出所 有答案一 (4川x-2|+x-8|+|x-5的最小值是一，|x-2|+x-8+x-5达到最小值时，x可取哪些整数，请直接 写出所有答案一· 64.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 10/11 专题02 绝对值相关压轴题分类训练 （8种类型64道） 地 城 类型01 利用绝对值的非负性求值 1．若与互为相反数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性等知识点，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据相反数的定义及非负数的性质列出方程求出a、b的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 故选B． 2．若，则的值为（    ） A．3 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质，熟练掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零是解决问题的关键．根据非负数的性质，可得，即可求出的值． 【详解】∵ ∴，解得： ∴ 故选：A． 3．若，则的值为（   ） A．3 B． C．0 D．3或 【答案】A 【分析】本题考查了非负数．掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，是解决本题的关键． 利用非负数的性质列出方程，求出方程的解得到a与b的值，即可确定出原式的值． 【详解】∵，且，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．若，则（　　） A． B． C．5 D．3 【答案】B 【分析】根据可知，可得，从而可得答案． 【详解】解：由得： 得： 故选：B 【点睛】此题考查绝对值的性质和偶次方非负数的性质，两个非负数的和为零，则这两非负数均等于零是解题关键． 5．若，则的值是（　　） A．-11 B．10 C．-2 D．2 【答案】B 【分析】根据绝对值的非负性，可以得知等式成立的条件为，由此得到，继而得到的值． 【详解】解：因为， 所以，即， 所以． 故选B． 【点睛】本题考查利用绝对值的非负性求代数式的值，学生熟练掌握绝对值的非负性是本题解题的关键，由此得到代数式的值即可． 6．若，则，的乘积是（    ） A．-5 B．5 C．6 D．-6 【答案】D 【分析】根据平方数和绝对值非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】由题意得，x- 2 = 0，y + 3 = 0， 解得x = 2，y =-3， 则xy =-6， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方数和绝对值非负数的性质，属于基础题，记住几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题关键． 7．若与互为相反数，则的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的非负性求出、的值，再代入计算即可． 【详解】与互为相反数，即， ，， 解得，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查绝对值、相反数，代数式求值，解题的关键是理解相反数、绝对值的定义． 8．如果有理数、满足，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了非负数的性质．根据非负数的性质，可求出、的值，然后代入求值计算即可． 【详解】解：∵有理数、满足， ∴，， ∴，， 则， 故选：A． 地 城 类型02 绝对值的非负性相关最值问题 9．如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的含义，理解的最小值是0是解本题的关键． 【详解】解：∵x为有理数式子存在最大值， ∴当，最大为2023， 故选C． 10．如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（    ） A．2023 B．4046 C．20 D．0 【答案】A 【分析】根据绝对值的非负性，可知，得出式子存在最大值，即可选出答案． 【详解】解：∵绝对值具有非负性 ∴， ∵有最大值， ∴当时，式子有最大值，此时的值是2023，故A正确． 故选：A. 【点睛】本题考查的是绝对值的意义，掌握绝对值具有非负性是解题的关键． 11．如果是有理数，则的最小值为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】要使的值最小，即的值最小，根据绝对值的非负性可得的最小值为0，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：要使的值最小，即的值最小， ， 的最小值为0， 的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值非负性的应用，熟练掌握此知识点，准确进行计算是解此题的关键． 12．若a是有理数，则的最小值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据绝对值的非负性即可求解． 【详解】解：∵a是有理数 ∴可为正数、负数、零 由绝对值的非负性可知： ∴ 即：的最小值是 故选：C 【点睛】本题考查绝对值的非负性．熟记相关结论即可． 13．代数式的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据绝对值是非负性进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴当，代数式取得最小值，即取最小值2． 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值非负数的性质，掌握在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数是解题的关键． 14．式子取最小值时，等于(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义可知，当时取得最小值，据此即可求解． 【详解】解：∵， 式子取最小值时，， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，掌握绝对值的意义是解题的关键． 15．当______时，|有最大值，最大值是（    ） A．1， B．1， C．，10 D．，9 【答案】B 【分析】根据绝对值具有非负性可得，据此可得，继而可得出答案． 【详解】， ， ， ∴当时，|有最大值， 即当时，|有最大值，最大值是． 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 16．式子取最小值时，x等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质：绝对值非负，即绝对值的最小值为0；根据绝对值的最小值性质，当绝对值的表达式为零时，绝对值取得最小值；将原式拆解为绝对值部分和常数部分，确定最小值对应的x值即可． 【详解】解：式子中，的最小值为0， 当且仅当，即时取得； 此时整个式子的值为，为最小值． 故选：D． 地 城 类型03 已知绝对值求代数式的值 17．若，，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值的意义和有理数的减法，根据题意找出符合条件的a和b的值是解决问题的关键．根据绝对值的意义求出a和b的值，再结合找出符合条件的a和b的值，代入计算即可 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，，或，， 当，时，， 当，时，， 故答案为：或． 18．若，，且，则的值为 ． 【答案】5或1 【分析】本题考查绝对值，有理数比较大小，有理数的减法，掌握相关知识是解题的关键． 由绝对值得到，，根据得到，，再分类求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴当，时，， 当，时，， ∴的值为5或1． 故答案为：5或1． 19．已知，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法、绝对值的性质等知识点，熟记运算法则与性质是解题的关键． 根据绝对值的性质求出a、b的值，再判断出a、b的对应情况，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴或， ∵， ∴同号或， ∴，， ∴． 故答案为：． 20．已知，，，且，则 ． 【答案】6或10或 【分析】本题考查了去绝对值及有理数的加减运算，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． 先根据去绝对值的方法求出，，再分四种情况讨论是否符合，然后再代入求值计算即可． 【详解】解：，，， ，， 当，，时，， ； 当，，时，， ； 当，，时，， ； 当，，时，，不符合题意； 综上所述，的值为：6或10或； 故答案为：6或10或． 21．已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减法，绝对值的非负性，由且，而，可知，进而求得，的值即可求解． 【详解】解：∵且，而，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 22．已知：，若 ，若，则的值等于 ． 【答案】 或/或 或/或 【分析】本题考查了有理数的加法，绝对值的性质．根据绝对值的性质求出、的值，再判断出、的对应情况，然后根据有理数的加减法运算法则进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，， 当，时，， 当，时，， ∵， ∴， ∴，， 当，时，， 当，时，， 故答案为：或；或． 23．已知，且，则值等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的加法，绝对值的性质，熟记运算法则与性质是解题的关键． 根据绝对值的性质求出、的值，再判断出、的对应情况，然后根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 或， 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 24．若，，则 ． 【答案】2或6 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的减法，先根据绝对值的意义求出，然后分，讨论即可． 【详解】解∶∵， ∴， 当时，， ∴， ∴或； 当时，，不符题意，舍去， 综上，或6， 故答案为∶2或6． 地 城 类型04 利用数轴去绝对值 25．已知数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，请化简． 【答案】 【分析】本题考查了数轴的概念和绝对值的性质、整式的加减．熟练掌握数轴的概念和绝对值的性质是解题的关键． 通过数轴得出，且，，，接着根据绝对值性质，把每个绝对值转化为对应表达式，最后去括号，合并同类项即可． 【详解】解：由数轴得出，且，，， 所以 ． 26．数轴上表示数，，的点如图所示． (1)比较大小：_____，_____；（填“”、“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数，绝对值的性质，数形结合是解答本题的关键． （1）观察数轴可知：，，，即可得解； （2）易知，，根据绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项即可得解． 【详解】（1）解：观察图形可知，，，， ； 故答案为：，； （2）解：由（1）可知，，，， ， 原式 ． 27．已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示： (1)______0，______0； (2)化简：． 【答案】(1)＞，＜ (2) 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值的几何意义及合并同类项； （1）由数轴可知，则有，然后根据有理数的加减运算可进行求解； （2）由题意得，，再去绝对值，合并同类项可求解． 【详解】（1） 解：由数轴可知，则有， ∴； 故答案为：＞，＜； （2）解：∵， ∴，， ∴． 28．如图，数轴上的点A，B 分别表示数a，b． (1)判断正负： 0， 0， 0．（用>，=，或<填空） (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，整式的加减． （1）根据数轴上点的位置可知，，由此根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）根据，，，去绝对值符号，再合并即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：∵，，， ∴ ． 29．已知，，在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】0 【分析】本题考查了利用数轴化简绝对值．根据数轴上点的位置判断出绝对值内部式子的正负是解题的关键．根据数轴上a，b，c的位置可得，，进而可得出，，，根据绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：根据数轴可知：，， ∴，，， ∴ 30．已知，，在数轴上的位置如图所示： (1)填空：______0，______0，______0．（填“”、“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数大小比较、数轴、绝对值、有理数的加减法，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据各数在数轴上的位置填空即可； （2）根据（1）中各式的正负性进行绝对值化简即可． 【详解】（1）解：根据各数在数轴上的位置可知： 且 ∴，，． 故答案为：，，； （2）解：由（1）知 ， ∴ ． 31．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． (1)判断 0， 0， 0；（选填“”“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减，掌握数轴上有理数的特点及有理数的运算法则是解题的关键． （）由数轴可得，，再根据有理数的运算法则判断即可求解； （）根据绝对值的性质化简即可； 【详解】（1）解：由数轴可得，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴，，， ∴ ． 32．已知数a，b在数轴上的位置如图所示，请解答下列各题： (1)比较大小： 0， 0， 0， 0； (2)化简： ， ， ； (3)若，，求的值． 【答案】(1)，，， (2)，， (3) 【分析】（1）根据数轴上有理数的位置，有理数的运算法则，有理数的大小比较法则解答即可； （2）根据数轴提供的数的大小信息，判断解答即可； （3）根据题意，得，，代入求值即可． 本题考查了数轴上表示有理数，符号确定，绝对值的化简，有理数的大小比较，求代数式的值，熟练掌握绝对值的化简，有理数的大小比较是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，且， ∴，，，，， ∴， 故答案为：，，，． （2）解：根据题意，得，且， ∴，，， ∴，，， 故答案为：，，． （3）解：根据题意，得，且，， 故，， 故． 地 城 类型05 绝对值相关综合题 33．下列说法正确的有（    ） ①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，当，，时，的值为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】①由题意可得，，则中有一个或三个值为负数，讨论求解即可；②由可得中有一个值为负数，求解即可；③根据化简绝对值，然后求解即可；④由题意可得或，分别求解即可；⑤根据题意可得异号，分两种情况求解即可． 【详解】解：①由可得，中有一个或三个值为负数， 当，时， 当时， 故①正确； ②由和得中有一个值为负数， ∴，， ∴， 故②错误； ③当时，，， 则，此时最大值为7，最小值为 当时，， 则 故③正确； ④由可得或 当时，与矛盾，舍去； 当时，，且 解得或 则， 故④正确； ⑤由题意可得异号， 当，时，，， 由可得，即符合题意，此时 则 当，时，， 由可得，即，与矛盾，舍去， 综上 故⑤正确； 正确的个数为4 故选：C 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，新定义问题，解题的关键是熟练应用绝对值的性质化简含有绝对值的式子． 34．若点在数轴上代表的数为，则两点之间的距离，则下列说法： 数轴上表示和的两点之间的距离是； 若，点表示的数是，则点表示的数是； 当时，代数式有最小值为； 当代数式取最小值时，的取值范围是； 三个不同的点，，在数轴上代表的数分别为，，，若，则点位于，两点之间． 其中说法正确的个数有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义的应用，根据绝对值的几何意义逐一判断每个说法的对错即可，熟练掌握绝对值的几何意义是解题关键． 【详解】数轴上表示和的两点之间的距离是，故错误； 设点表示数， ∵点表示的数是， ∴， ∵， ∴， 解得:或， ∴点表示的数是或，故错误； 代数式代数式表示数轴上数对应的点到、、三个数对应点的距离之和， ∴当时，为最小值，故正确； 代数式表示数对应点到数，对应点的距离之和， 当数对应点在和对应点之间时，这个距离之和最小， ∴当代数式取最小值时，的取值范围是，故正确； 表示点到点的距离之和，表示点与点之间的距离， 若，则点位于，两点之间，故正确； 综上可知：正确，共个， 故选：． 35．下列说法正确的个数是（　　） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的意义，解题的关键是掌握绝对值的定义：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．当两个数的绝对值相等时，注意有2种情况．据此解答即可． 【详解】解：①相等的两个数的绝对值相等，故说法①正确，符合题意； ②互为相反数的两个数的绝对值相等，故说法②正确，符合题意； 绝对值相等的两个数相等或互为相反数，故说法③与说法④不正确，不符合题意， ∴说法正确的个数是． 故选：C． 36．下列说法：①若，则为负数；②若不是负数，则为非正数；③；④若，，则．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，理解绝对值的性质是解题关键． 根据绝对值的性质逐个分析判断即可得解． 【详解】解：若， ， ． ①的说法错误； 若不是负数， ， ，即为非正数． ②的说法正确； ，， ． ③的说法正确； 若，， ， ． ④的说法正确． 综上所述，正确的结论有②③④，共3个正确结论． 故选：C． 37．有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（   ） ；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负、根据数轴化简绝对值，从数轴上确定、、的符号和大小（绝对值大小）是解答本题的关键． 由数轴确定、、的符号和大小，根据绝对值的知识点进行辨别即可． 【详解】解：由题可知，，且， ，故不正确； ，，故不正确； ，故正确； ，故正确； 因此，正确的是，有个， 故选：B． 38．有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（   ） ①；②；③；④ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查看有理数与数轴，根据数轴可得，，据此逐项判断即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，， 故正确，②错误； ∵， ∴， 即，故④正确； 综上，正确的个数有个， 故选：． 39．下列说法正确的序号是 ． ①已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为1或； ②四个数w、x、y、z满足，则最小的数是w，最大的数是z； ③适合的整数x的值有7个 ④如果定义，当，，时，的值为． 【答案】②③④ 【分析】本题考查绝对值的意义、等式的性质等知识点，理解绝对值的意义成为解题的关键． 根据绝对值的意义以及题中条件逐个分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴a、b、c两个为正一个为负， 当a、b、c两个为正一个为负时，不防设， ∴； 综上，则的值为，即①错误； ②∵， ∴都加2023得：，即， ∴最小的数是w，最大的数是z，即②正确； ③适合的整数x，为范围内的整数，即，共7个，即③正确； ④当时， ∴a、b异号， 又∵，     ∴负数的绝对值大于正数得绝对值， 又∵， ∴， ∴， 根据， ∴，故④正确． 故答案为：②③④． 40．下列说法：①若，则x为负数；②若不是负数，则a为非正数；③；④若，则；⑤若，，则，其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】②③④⑤ 【分析】根据绝对值的性质分析判断． 【详解】解①若，则x为负数或0；原结论错误； ②若不是负数，即则，故a为非正数；原结论正确； ③，即；原结论正确； ④若，则或，所以，；原结论正确； ⑤若，则，由知，所以，于是；原结论正确； 故答案为：②③④⑤ 【点睛】本题考查绝对值的性质；理解绝对值的性质是解题的关键． 地 城 类型06 绝对值的化简 41．已知a，b，c都是有理数，且满足，那么 ． 【答案】7 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的运算，根据绝对值的性质， 的值为1或，取决于的正负，同理于和．由条件，可知， ， 中有两个正数和一个负数，因此 ，故 ，再进行计算即可． 【详解】解：∵ ， ， 都是有理数，且 ， 又 ∵ 的值为1或， 同理：和也为1或， ∴ ，， 中必有两个1和一个， 即 ， ， 中有两个正数和一个负数， ∴ ， ∴ ， ∴． 故答案为：7． 42．对于有理数，满足，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的应用，根据已知得出a、b一正一负，分为两种情况：①当，时，②当，时，去掉绝对值符号求出即可． 【详解】解：∵， ∴，或，， ①当，时， ； ②当，时， ， 综上，的值为， 故答案为：． 43．如图所示，有理数a，b，c在数轴上对应的点分别是A，B，C．其中O为数轴的原点，则代数式化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴、化简绝对值、有理数的四则运算，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，且，则可得，，，再化简绝对值，计算除法与加减法即可得． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴，，， ∴， 故答案为：． 44．已知，则值为 ． 【答案】或3 【分析】此题考查了绝对值，以及有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据已知等式得到，确定出，，中负因式有0个或2个，原式利用绝对值的代数意义化简即可得到结果． 【详解】解：由，得到， ，，中有0个或2个负数， 当2个都为负数时，原式； 当0个为负数时，原式． 或3 故答案为：或3 45．若、都是不为的有理数，则代数式的最大值与最小值的和是 ． 【答案】 【分析】此题要分三种情况进行讨论：当，中有二正；当，中有一负一正；当，中有二负；分别进行计算． 【详解】当、中有二正， ； 当、中有一负一正， ； 当中有二负， ； 故代数式 的最大值是， 最小值是， ∴最大值和最小值的和是：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了绝对值，以及有理数的除法，解题的关键是要运用分类讨论思想分三种情况 讨论． 46．若a，b，c为有理数，且，求的值为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义得到，，，由于，则、、的值中只有一个，即a、b、c中只有一个负数，即a、b、c中只有一个负数，则，然后根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴、、的值中只有一个，即a、b、c中只有一个负数， ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，若，则；若，则；若，则． 47．若，则 ． 【答案】或/或 【分析】根据绝对值的性质分情况讨论再计算即可得出答案． 【详解】 ①当，时，则； ②当，时，则； ③当，时，则； ④当，时，则 综上所述，或 故答案为：或． 【点睛】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 48．已知，则 【答案】1或－3/－3或1 【分析】分两种情况讨论①，②，即可求出答案. 【详解】解：①，时， . ②，时， . 故答案为：1或－3##－3或1 【点睛】本题考查绝对值的性质，熟记绝对值的性质，然后分类讨论是解决本题的关键． 地 城 类型07 绝对值的几何意义相关最值问题 49．若表示一个有理数，则的最小值是 ． 【答案】11 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的意义．可看作是数轴上表示x的点到4、、三点的距离之和，当时，有最小值，把代入即可得到结论． 【详解】解：根据点在数轴上的位置可知，当时，有最小值， 最小值为：， 故答案为：． 50．式子的最小值是 ． 【答案】105 【分析】利用绝对值的意义判断即可． 【详解】解：表示数轴上一个动点到三个点之间的距离之和， 当时，最小，此时最小值为， 故答案为：105． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟悉几个绝对值求和的规律以及绝对值的几何意义是解题的关键． 51．的最小值是 ． 【答案】5 【分析】根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 在数轴上的几何意义是：表示有理数的点到及到的距离之和，所以当时，它的最小值为； 故答案为： 【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，利用已知得出当时，能够取到最小值是解题关键． 52．的最小值为 ． 【答案】2022 【分析】根据绝对值的意义判断即可． 【详解】解：∵表示数轴上一个动点到、、三个点的距离之和， ∴当时最小，此时最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值的意义，熟悉几个绝对值求和的规律及绝对值的几何意义是解题的关键． 地 城 类型08 绝对值的几何意义相关综合问题 53．代数式 的最小值是 ． 【答案】2021 【分析】根据数轴上两点之间距离的意义求解． 【详解】解：根据数轴上两点之间距离的意义可知： 原式的最小值即为数轴上与-1009、-506、1012对应的点之间的距离，如图所示， ∵1012-（-1009）=2021， ∴所求最小值为2021， 故答案为2021． 【点睛】本题考查数轴的应用，熟练掌握数轴上两点之间距离的意义是解题关键． 54．是有理数，则的最小值是 ． 【答案】20 【分析】令，，，根据绝对值的几何意义分情况讨论求解即可． 【详解】令，， ， 根据绝对值的几何意义，表示点到与两点的距离， 分析可得当时，最小，其值为15， 表示点到与两点的距离， 分析可得当时，最小，其值为5， 综合可得，当，、均取得最小值， 故此时取得最小值，且的最小值为． 故答案为：20． 【点睛】此题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义并分类讨论求解． 55．已知式子，则的最大值是 ． 【答案】8 【分析】根据绝对值的意义可得当时，有最小值3，当时，有最小值7，进而求解即可． 【详解】解：由题意得：原式可化成：， 表示数轴上表示x的点与表示和2的点的距离和， 当时，有最小值3， 表示数轴上表示y的点与表示和4的点的距离和， 当时，有最小值7， ∵， ∴，， ∴的最大值是， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的几何意义是解题的关键． 56．数轴上表示和1的两点之间的距离为，则的最小值是 ，当取得最小值时，的取值范围是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了绝对值的意义，分三种情况：当时，当时，当时，分别化简绝对值求解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：当时，，， ， 当时，，， ， 当时，，， ， 的最小值是4，此时的取值范围是， 故答案为：4，． 57．阅读材料：点 A、B 在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离可表示为．例如： 6与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示5的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和3，数轴上另有一点P对应的数为有理数x. 请根据阅读材料回答下列问题： (1)点A与点B之间的距离 ； (2)根据几何意义，解决下列问题并填空： 当时， ；                       当时， ；                  若点P在A、B两点之间，则 ；           若， 则点P表示的有理数x为 ． (3)若点M、N 为数轴上的两个动点，若点M以每秒个单位长度的速度从点B向数轴负方向出发，点N从点A向数轴正方向出发，其运动速度是点M的3倍，求运动多少秒后点M与点N相距1个单位长度？ 【答案】(1)5； (2)5；9；5，4或； (3)5秒或秒． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离公式，行程问题，数形结合思想等。理解并掌握材料中两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据数轴上点A和点B表示的数计算即可； （2）根据数轴数形结合即可； （3）设运动t秒后点M与点N相距1个单位长度，分相遇前相遇后进行讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：5； （2）由数轴可知： 当时，到A、B两点的距离之和为5， 所以；     当时，到A、B两点的距离之和为9， 所以；     若点P在A、B两点之间，则点P到A、B两点的距离之和为5， 所以； 因为，所以点P不在A、B两点之间， 因为，所以点P表示的有理数x为4或； 故答案为：5；9；5，4或； （3）由题可知，， 设运动t秒后点M与点N相距1个单位长度， 相遇前： ，    相遇后： ，        答：综上可知，经过5秒或7.5秒时点M与点N相距1个单位长度 58．（1）数轴上点对应的数分别是，则，若点在数轴上表示，点在数轴上表示，那么 ； （2）在数轴上表示的点与的距离是，那么 ； （3）在数轴上表示的点位于和之间（包含两端），求的值； （4）对于任意有理数，则的最小值是 ． 【答案】（1）；（2）或；（3）；（4） 【分析】本题考查了数轴上两点间距离公式，绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （2）根据数轴上两点间距离公式解答即可； （3）由绝对值的几何意义可知式子表示对应的点分别到对应的点的距离之和，进而利用数轴上两点间距离公式解答即可求解； （4）由绝对值的几何意义可知式子表示对应的点分别到对应的点的距离之和，当表示的点位于和之间（包含两端），距离之和最小，据此解答即可求解． 【详解】解：（1）由题意得，， 故答案为：； （2）由题意得，， 即， 解得或， 故答案为：或； （3）∵， ∴式子表示对应的点分别到对应的点的距离之和， 当表示的点位于和之间（包含两端）时，距离之和为， 即的值为； （4）式子表示对应的点分别到对应的点的距离之和， 当表示的点位于和之间（包含两端）时，距离之和最小， 此时最小值为， 故答案为：． 59．先阅读，后探究相关的问题 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)如图，先在数轴上画出表示点的相反数的点B，再把点A向左移动个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为_____和_____，B，C两点间的距离是_____；    (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离表示为______；如果，那么x为_____； (3)若点A表示的整数为x，则当x为_____时，与的值相等； (4)要使代数式取最小值时，相应的x的取值范围是_____． 【答案】(1)，1， (2)，或 (3) (4) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离，用数轴表示有理数，绝对值的几何意义，解绝对值方程，化简绝对值，熟知数轴与绝对值的相关知识是解题的关键． （1）先在数轴上表示出点B和点C，再利用数轴表示出两点对应的数，利用数轴求出两点之间的距离即可； （2）利用绝对值的几何意义表示两点之间的距离，然后解绝对值方程即可； （3）利用绝对值的几何意义进行求解即可； （4）利用绝对值的几何意义进行求解集即可． 【详解】（1）解：数轴如图所示，    点B表示的数是，点C表示的数是1，B，C两点间的距离是， 故答案为：，1，； （2）解：两点A和B之间的距离表示为， 当时，或， 解得或， 故答案为：，或； （3）解：根据题意得，表示到的距离，表示到的距离， 如果与的值相等，则表示到的距离与到的距离相等， ∴， 故答案为：； （4）解：根据题意得，表示到的距离，表示到的距离， 当代数式取最小值时，应位于和2之间，包括两个端点， ∴， 故答案为：． 60．数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数－5的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程） （1）若，则_______，若，则_______； （2）若，则x能取到的最小值是_______；最大值是_______； （3）若，则x能取到的最大值是_______； （4）关于x的式子的取值范围是_______． 【答案】（1）0，1；（2）-1，3；（3）-1；（4）大于或等于3 【分析】（1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案； （2）|x-3|+|x+1|=4表示的意义，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值； （3）若|x-3|-|x+1|=4，所表示的意义，确定x的取值范围，进而求出最大值； （4）根据|x-2|+|x+1|的意义，求出|x-2|+|x+1|的最小值为3，从而确定取值范围． 【详解】解：（1）|x-2|=|x+2|表示数轴上表示x的点到表示2和-2的距离相等，因此到2和-2距离相等的点表示的数为， |x-3|=|x+1|表示数轴上表示x的点到表示3和-1的距离相等， 因此到3和-1距离相等的点表示的数为=1， 故答案为：0，1； （2）|x-3|+|x+1|=4表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和-1两点的距离之和为4，可得-1≤x≤3， 因此x的最大值为3，最小值为-1； 故答案为：-1，3； （3）|x-3|-|x+1|=4表示的意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点距离比它到表示-1的点的距离大4，根据数轴直观可得， x≤-1，即x的最大值为-1， 故答案为：-1； （4）式子|x-2|+|x+1|表示的意义是数轴上表示x的点到表示2和-1两点的距离之和，由数轴直观可得，|x-2|+|x+1|最小值为3， 因此|x-2|+|x+1|≥3， 故答案为：大于或等于3． 【点睛】本题考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键． 61．（1）阅读材料：从代数角度上看，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值；从几何角度上看，数轴上两点间的距离等于以这两点为端点组成的线段的长度．例如：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离可表示为．（完成下面填空） Ⅰ．数轴上有三点A、B、P，分别对应的数为、2、x， 如图①，当时，； 如图②，当 时， _____ ； 如图③，当时，_______； Ⅱ．由Ⅰ可得：∵，， ∴，， ∴在时有最小值为_______． （2）直接应用：求的最小值． （3）应用拓展：若，当时，直接写出S的取值范围_______． 【答案】（1）I、，；II 、5；（2）9；（3）． 【分析】（1）I根据绝对值的意义即可得到答案；II根据I比较三种情况即可得到答案； （2）根据（1）可得到当x在两点之间时最短即可得到答案； （3）根据，当时，进而得出，再求出其取值范围即可． 【详解】（1）I．解：由题意可得， 当 时， ， 当时， 故答案为，； II．由题意可得， 在时有最小值为5， 故答案为5； （2）解：由（1）可得， 当x在 ，4两点之间时最短， 即当时，的最小值， 最小值为， 故的最小值为9； （3）由（1）可得，表示到1，6， 三点的距离之和，当时，， ∴可得到当时最小值，最小值为， 当时，最大值为 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值的意义，解题的关键是根据题意找到最小距离的点在最小与最大两点之间． 62．阅读下列内容： 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)数轴上表示5与两点之间的距离是_______． (2)数轴上表示x与的两点之间的距离可以表示为_______． (3)同理表示数轴上有理数x所对应的点到和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是_______． (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，的最小值是_______． (5)当a＝_______时，的值最小，最小值是_______． 【答案】(1)7 (2) (3)，，，，0，1 (4)4 (5)3，10 【分析】（1）根据两点间距离的求法直接求解即可； （2）根据两点间距离的求法直接写出即可； （3）由题意可知，再由x是整数，求出符合条件的a的值即可； （4）根据绝对值的几何意义可知当时，的最小值是4； （5）根据绝对值的几何意义可知当a=3时，的值最小是10． 【详解】（1）解：表示5与两点之间的距离是， 故答案为：7； （2）解：表示x与的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）解：∵， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∵x是整数， ∴x的值是，，，，0，1， 故答案为：，，，，0，1； （4）解：表示数轴上有理数x所对应的点到2和6所对应的点的距离之和， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，的最小值是4， 故答案为：4； （5）表示数轴上有理数x所对应的点到、3、4所对应的点的距离之和， 当时，； 当时，， ∴； 当时，， 当时，， ∴； 当时，； ∴当a=3时，的值最小是10， 故答案为：3，10． 【点睛】本题考查数轴与实数，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键． 63．阅读绝对值拓展材料：表示数a在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示5和0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的有： 表示5和在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，有理数a、b在数轴上对应的点为A、B，那么A、B之间的距离可表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是 　　．数轴上表示x和的两点A和B之间的距离可表示为　　． (2)可以理解为数轴上表示x和　　的两点之间的距离，可以理解为数轴上表示x的点到表示　　和　　这两点的距离之和． (3)借助数轴，的最小值是　　，达到最小值时，x可取哪些整数，请直接写出所有答案　　． (4)的最小值是　　，达到最小值时，x可取哪些整数，请直接写出所有答案　　． 【答案】(1)4； (2)2；2，8 (3)6；2，3，4，5，6，7，8 (4)6；5 【分析】（1）根据题意，可以解答本题； （2）根据题意，可以解答本题； （3）确定x与2的距离加上x与8的距离之和最小时，x的取舍范围，再在该范围内求整数； （4）表示数轴上某点到表示2、5、8三点的距离之和，依此即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； 数轴上表示x和的两点A和B之间的距离可表示为． 故答案为：4；； （2）解：可以理解为数轴上表示x和2的两点之间的距离； 可以理解为数轴上表示x的点到表示2和8这两点的距离之和． 故答案为：2；2，8； （3）解：∵表示数轴上x和2两点之间的距离，表示数轴上x和8两点之间的距离， 当且仅当时，两距离之和最小， 最小值是：， ∴x可取的整数有：2，3，4，5，6，7，8． 故答案为：6；2，3，4，5，6，7，8； （4）解：∵表示数轴上x和2两点之间的距离，表示数轴上x和8两点之间的距离，表示数轴上x和5两点之间的距离， ∴当且仅当时，距离之和最小， 最小值为 ∴当的值最小时，x的值为5． 故答案为：6；5． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间距离的表示是解题的关键． 64．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是______；表示和1两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (2)如果，那么______； (3)若数轴上表示数的点位于与5之间，则______． (4)当______时，的值最小，最小值是______． 【答案】(1)； (2)或 (3) (4)； 【分析】此题考查绝对值的意义，数轴上两点距离，绝对值方程，结合数轴上两点的距离是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可． （2）化简绝对值方程即可． （3）根据题意可得原式表示数到的距离，从而可得答案． （4）根据题意可得表示数轴上表示数的点与点、、之间的距离之和，根据数轴即可得当时，的最小值是． 【详解】（1）解：∵数轴上表示数和数的两点之间的距离等于， ∴数轴上表示3和2的两点之间的距离是，表示和1两点之间的距离是， 故答案为：；． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：或． （3）解：∵数的点位于与5之间， ∴表示数到的距离 ∴， 故答案为：． （4）解：∵表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离， ∴结合数轴可知：表示数轴上表示数的点与点、、之间的距离之和， 当时，最小，最小值是， 故答案为：；． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $