专题01 有理数相关压轴计算题分类训练（6种类型48道）（期末复习压轴题专项训练）七年级数学上学期新教材北师大版

专题01 有理数压轴相关计算题分类训练 （6种类型48道） 地 城 类型01 裂项相消法 1．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出：______； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（3）探究并计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，会用裂项抵消法解答问题． （1）根据题目中的例子，可以写出相应的猜想； （2）根据式子的特点，采用裂项抵消法可以解答本题； （3）将题目中的式子变形，然后裂项抵消即可解答本题． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）由（1）得： ； （3） ． 2．请你观察： ；；… 以上方法称为“裂项相消求和法” 仿照上面的方法，请你计算：的值． 【答案】 【分析】题目主要考查有理数的加减混合运算及乘法运算，找出相应规律进行计算求解是解题关键． 根据题意，对式子中的每一项进行裂项，然后求解即可． 【详解】解： ． 3．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项． 【类比探究】（）猜想并写出：__________． 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：． 【拓展提高】（）计算：． 【答案】（1），（2），（3） 【分析】（）根据题中材料即可求解； （）根据（）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； （）根据（）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； 本题考查了有理数的四则混合运算，掌握裂项法是解题的关键． 【详解】解：（）猜想并写出：， 故答案为：； （）原式 ； （）原式 ． 4．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出：________； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（3）探究并计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据题中材料即可得结果； （2）根据（1）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； （3）先变形，再由阅读感知把每个分数进行裂项，最后进行加减乘运算即可． 【详解】解：（1）； （2） （3） 【点睛】本题是材料阅读题，考查了有理数的四则混合运算，关键是读懂题中的材料，根据材料提供的方法灵活应用． 5．请你观察： ；… ； ；… 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)_______； (2)计算 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中所给式子进行变形求解即可； （2）结合（1）中的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 故答案为： （2） ． 【点睛】题目主要考查有理数的加减混合运算及乘法运算，找出相应规律进行计算求解是解题关键． 6．观察是数学抽象的基础．在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题： ， ， ；… (1)按规律填空： ①______； ②如果为正整数，那么______； (2)探究、计算的值； (3)由此拓展，计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查阅读理解，理解材料中的解法，采用裂项相消法计算是解决问题的关键． （1）由材料中的解法直接求解即可得到答案； （2）由材料中的解法直接求解即可得到答案； （3）由材料中的解法直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由材料中的解法： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 7．观察下列各式，你会发现什么规律？ ，… (1)请你按上述规律写出第5个等式______； (2)利用以上规律计算：的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． （1）观察已知所给各式即可得结论； （2）结合（1）的结论即可进行计算． 【详解】（1）观察已知各式可知：第5个等式是； （2） ． 8．我们知道：，， 那么反过来也成立如：，， 利用上面的规律计算： 拓展：． 【答案】，计算：，拓展： 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据题意得出连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差是解题的关键． 根据连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差可得，根据以上规律列项求解可得． 【详解】解：根据题意知， ， ． 地 城 类型02 拆项法 9．数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫作拆项法．请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查有理数加减运算;理解拆项法，简化运算是解题的关键． （1）拆项，整数和分数分开运算，根据有理数的加减法运算法则处理； （2）拆项，整数和分数分开运算，根据有理数的加减法运算法则处理． 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 10．阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算： 解：原式 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． ． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加法，理解拆项法是解题的关键． 利用拆项法以及有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 11．阅读下列的计算方法，解决问题： (1)． 解：原式． 上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______． (2)类比上述计算方法，请计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了有理数的加减运算，正确理解题意、掌握解答的方法是关键； （1）根据有理数的加法作答即可； （2）按照题干中的拆项法结合有理数的加减混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：可将拆为，拆为； 故答案为：，； （2）解： ． 12．阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ①． 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法． ②仿照上面的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用拆项法将原式变形，然后利用加法的交换律与结合律计算即可． 【详解】解：原式 ． 13．阅读材料． 对于可以按如下方式计算： 原式 ________ ________ ________． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)仿照上面的方法计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． （1）根据有理数的加法法则计算； （2）参照（1）的解题思路解题即可． 【详解】（1）原式 ． （2） ． 14．阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，运用了拆项法，解决本题的关键是将带分数拆分为整数和分数部分． （1）根据拆项法，将带分数拆分为整数和分数两部分，再分别计算即可； （2）根据拆项法，将带分数拆分为整数和分数两部分，再分别计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．对于可以按如下方式计算： 原式 ___________① ___________ ___________． 上面这种方法叫拆项法． (1)请在上面横线上补全计算过程，步骤①所应用的运算律为___________． (2)仿照上面的方法计算：． 【答案】(1)，，，加法交换律和加法结合律 (2) 【分析】本题主要考查有理数的加减法，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算及运算律可进行求解； （2）仿照题中所给方法可进行有理数的运算． 【详解】（1）解：原式 ① ； 步骤①所应用的运算律是加法交换律<>加法结合律． （2）解：原式 ． 16．阅读下面的解题过程： 计算：． 解：原式 上面这种解题方法叫拆项法． 仿照上述解题过程计算：． 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数加减法运算，仿照上述解答过程，先拆项，再根据有理数的加减法法则计算即可． 【详解】解： ． 地 城 类型03 错位相减法 17．阅读材料：求1+2+22+23+…+22020的值． 解：设 S=1+2+22+23+…22020①，①×2得：2S=2+22+23+24+…+22021②， ②﹣①得2S﹣S=22021﹣1，即S=1+2+22+23+…+22020=22021﹣1． 请你仿照此法计算： （1）1+2+22+23+24+25； （2）求1+3+32+33+…+3n的值． (其中n为正整数) 【答案】（1）26﹣1．（2）（3n+1﹣1）， 【分析】（1）直接利用例题方法将原式变形进而得出答案； （2）直接利用例题方法将原式变形进而得出答案． 【详解】解：（1）设S＝1+2+22+23+24+25，① 将等式两边同时乘2得： 2S＝2+22+23+24+25+26 ，② ②﹣①得2S﹣S＝26﹣1， 即S＝26﹣1， ∴1+2+22+23+24+25 ＝26﹣1． （2）设S＝1+3+32+33+34+…+3n ，① 将等式两边同时乘3得： 3S＝3+32+33+34+…+3n+3n+1，② ②﹣①得3S﹣S＝3n+1﹣1， 即S＝（3n+1﹣1）， ∴1+3+32+33+34+…+3n＝（3n+1﹣1）． 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算以及一元一次方程的应用，正确利用例题方法将原式变形是解题关键． 18．观察下列解题过程： 计算：的值 解：设①， 则②， 由②－①，得.即原式 通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算： 【答案】 【分析】利用所给的解答方式进行求解即可． 【详解】解：设①， 则②， 由②①，得． ∴， 即原式． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律和有理数的乘方，解答的关键是理解清楚题目所给的解答方式并灵活运用． 19．（1）如果欲求的值，可令①，将①式右边顺序倒置，得②，由②式+①式，得　　；　　；由结论求　　； （2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； ②为了求的值，可令①，则②，由②式﹣①式，得，，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1），， （2）①，；② 【分析】本题考查了含乘方的有理数的运算，数字规律探究，正确分析并仿照题目中的解题方法进行求解是解题的关键． (1)根据题目所给方法，可得，从而求得，根据上面得到的公式进行计算即可求得的值； (2)①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数2，根据此规律，可得(n为正整数) ，据此即可得答案；②根据推理进行计算即可求得的值． 【详解】解：（1）如果欲求的值，可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②式+①式，得， ， 由结论求， 故答案为：，，． （2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2． 根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么，； 故答案为：，． ②为了求的值，可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ， 即． 20．【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 【答案】（1）3；243；（2）；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键． （1）根据题目中给出的等比数列的定义即可求解； （2）根据公式推导过程即可求解； （3）根据例题的方法求得，然后错位相减法，即可求解． 【详解】解：（1）等比数列的公比为， 第四项为，第五项为， 故答案为：3，243； （2），，， ， 故答案为：； （3）设①， 则②， 得， ． 21．阅读材料：求的值． 解：设① 则② ②①得，，即， ． 以上方法我们成为“错位相减法”，请利用上述材料，解决下列问题： (1)计算：（仿照材料写出求解过程）； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用“错位相减法”求解即可； （2）利用“错位相减法”求解即可． 【详解】（1）解：设①， 则②， 则②①，得：； （2）解：①， ②， ②①，得： ， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴原式， ， ． 【点睛】此题考查了有理数的乘方运算，数字类规律问题，“错位相减法”的运用，解题的关键是熟练掌握“错位相减法”的运用． 22．（1）①观察一列数1，2，4，8，16，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ； ②为了求的值，可以这么做； 令， 则， 因此， 所以， 即． 仿照以上推理： （2）计算的值． （3）计算． 【答案】（1）2，，；（2）；（3） 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数探索出数的排列规律，再根据例题会用错位相减法求和是解题的关键． （1）根据所给的数，可得，再求解即可； （2）令，则，再作差求和即可； （3）设 ，则，再作差得，再结合（1）②的结论求和即可． 【详解】解：（1）∵， ∴每一项与前一项之比是常数2， ∴， ∴， 故答案为：2，，； （2）令， ∴， ∴， 解得，     ∴的值为； （3）设 ， ∴ ， ∴， 由（1）②得， 所以， 即， 所以． 23．仔细阅读下面的例题，找出其中规律，并解决问题： 例：求的值． 解：令，则，所以，即，所以． 仿照以上推理过程，计算下列式子的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）令，则，则，进而得到，据此可得答案； （2）令，则，两式相减得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：令， 则， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：令， 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．仔细阅读下面的例题，找出其中规律，并解决问题： 例：求的值． 解：令，则． 所以，即 所以 仿照以上推理过程，计算下列式子的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了规律题——数字的变化类，有理数的混合运算，读懂题目信息，理解题目中的运算方法是解题的关键. （1）根据材料中的方法，设原式，两边乘以5变形后，相减求出S即可； （2）根据材料中的方法，设原式，两边乘以3变形后，相加求出S即可. 【详解】（1）解：设， 则， ∴， ∴， ∴； （2）设， 则， ∴， ∴， ∴. 地 城 类型04 探究规律简便运算 25．阅读材料： ，，，， 根据以上规律，解决下列问题： (1)______=______； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算及绝对值的意义．有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． （1）根据材料中的规律写出答案即可； （2）根据规律去绝对值符号，再利用有理数的减法法则计算即可； （3）根据规律去绝对值符号，再利用有理数的减法法则计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ． 26．观察下列式子： ；；；． (1)根据上面式子的规律，写出下列各式去掉绝对值符号后的形式（不要计算出结果）： ①____________； ②____________； (2)计算： 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了去绝对值，有理数的加减法计算： （1）根据进行求解即可； （2）根据化简绝对值，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②∵． ∴； 故答案为：①；②； （2）解：由题意得，    ． 27．【规律探究】计算，如果一个个顺次相加显然太繁琐，但如果运用加法的运算律可简化计算、提高计算速度，如： 原式 【实例应用】应用以上的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，解答的关键是灵活运用运算律简便运算． （1）利用加法交换律和结合律简便运用即可； （2）利用加法结合律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 28．观察下列各式的计算结果： (1)用你发现的规律填写下列式子的结果： × ； × ． (2)用你发现的规律计算： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目中的规律解答即可； （2）根据题目中的规律解答即可； 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律与变换方法，得出规律解决问题． 【详解】（1）解：依题意，， ； 故答案为：； （2）解： ． 29．观察下列各式： … (1)猜想_______ (2)根据上面的规律，解答下列问题： ① ②将减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？ 【答案】(1) (2)①，② 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据有理数的乘法运算法则即可求解； （2）①根据材料提示，以及有理数的乘法运算法则即可求解；②有理数的乘法运算法则，材料提示信息进行计算即可． 【详解】（1）解：∵ … ∴ 故答案为：； （2）解：① ；                                  ②由题意得， ． 30．观察下列等式： 等式1：； 等式2：； 等式3：； …． (1)根据规律可得 ； (2)根据规律可得 ；（n为正整数） (3)根据规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算规律的探究，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题干提示两个因数的规律求解即可． （2）利用（1）的特点，总结归纳即可． （3）利用（1）中的规律，拆项求解即可． 【详解】（1）解：等式1：； 等式2：； 等式3：； ∴； （2）解：由（1）归纳可得： ； （3）解： ． 31．【观察分析】观察下面算式的演算过程： ； ； ； ； …． 【解决问题】 （1）根据上面的规律，写出下列算式的演算过程： ______； ______． 【变式探索】 （2）根据规律计算： ． 【答案】（1）， （2） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据题目中的例子，可以写出相应的式子的结果； （2）根据题目中的式子和所求式子的特点，可以求得所求式子的值． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：，； （2） ． 32．综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数（当时，），同理，二进制数转换为十进制数为：．一个十进制数转换为进制数时，把十进制数表示成与基数的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为． 根据上述材料，解答下列问题． (1)二进制数转换为十进制数___________； (2)十进制数25转换为二进制数___________； (3)把十进制数79转换为四进制数． 【答案】(1)18 (2) (3)转换为四进制数为 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题目的意思是解题的关键． （1）根据题意理解十进制数，进行有理数运算即可得到答案； （2）根据十进制转换为二进制的方法列式计算即可； （3）根据十进制转换为四进制的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：二进制数转换为十进制数， 故答案为：； （2）解：十进制数25转换为二进制数， ， 故答案为：； （3）解：，即， ， 79转换为四进制数为； 地 城 类型05 进制转换 33．阅读下列材料： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数5678可用式子表示为：（当时，）．同理，二进制数转换为十进制数为：．三进制数转换为十进制数为 根据上述材料，解答下列问题： (1)二进制数转换为十进制数为：__________； (2)若一个三进制数转换为十进制数为，一个四进制数转换为十进制数为，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“久久数”，请判断与是否互为“久久数”，并说明理由． 【答案】(1)11 (2)与互为“久久数”，理由见解析 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算． （1）根据题干二进制数转换为十进制数的方法计算即可． （2）根据“久久数”的定义判断即可． 【详解】（1）解：二进制数转换为十进制数为， 故答案为：11； （2）解：与互为“久久数”，理由如下： 因为转换为十进制数为； 转换为十进制数为， ， 所以与互为“久久数”． 34．综合与实践 进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为，即可称进位制，简称进制．对于任意一个用进位制表示的数，通常使用个阿拉伯数字进行计数，特点是逢进一．现在我们通常用的是十进制数；（十进制数不用标角标，其他要标角标）如：十进制数，记作：234，七进制数，记作，；各进制之间可以进行转化，如：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以7的正整数次幕，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，如：，即． 将十进制数化为与其相等的七进位制数，可用7去除，把每一位数字的余数从低位到高位排序即可．如： (1)①把七进制数转换为十进制数_________；②把十进制数29转换为二进制数_________； (2)若一个三进制数转换为十进制数为，一个四进制数转换为十进制数为，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“久久数”，判断与，是否互为“久久数”，并说明理由． 【答案】(1)129， (2)与互为“久久数”，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算和进制计算规则： （1）仿照材料中的方法进行计算即可； （2）将与分别转化为十进制数，求出m和n的值，判断是否成立即可； 【详解】（1）解：， ，，，，， ， 故答案为：129，； （2）解：与互为“久久数”，理由如下： ， ， ，， ， 与互为“久久数”． 35．综合与实践生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用和两个数来表示数，满二进一，例：二进制数转化为十进制数：；（规定：时，）其他进制也有类似的算法… (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“”转化为十进制数是_________； (2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“”转化为十进制数； (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1) (2) (3)天 【分析】本题考查了有理数乘方的应用；仿照二进制转十进制的方法列式计算是解题的关键． （1）根据题目信息直接进行计算即可； （2）根据八进制转十进制的方法列式计算即可； （3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：将二进制数“”转化为十进制数是， 故答案为：． （2）解：将八进制数“”转化为十进制数是． （3）解：因为从右向左绳结的数量依次为，，， 所以孩子已经出生的天数为（天）． 36．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字，，记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数记为，由，可得是十进制数． (1)将转换为十进制数，结果是________； (2)对于一个用三进制表示的正整数，有下列两个结论： 如果这个数的末位数字能被整除，那么这个数就能被整除； 如果这个数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个数就能被整除． 从中选出正确结论，并以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，能熟练将三进制转化为十进制是解答本题的关键． （1）根据题意将三进制转化为十进制即可； （2）根据题意判断出正确，将四位的三进制数化为十进制的数，经过变形即可验证． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：是正确结论，理由见下： ， 能被整除， 如果能被整除，那么就能被整除，即能被整除． 37．【阅读材料】进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一．例如，十进制数表示为：（规定当，）；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用和两个数来表示数，满二进一．例如，二进制数转化为十进制数为：． (1)【发现】根据以上信息，将二进制数转换成为十进制数为______； 其他进制也有类似的算法 (2)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满进，用来记录他所放牧的羊的只数，由图知，他所放牧的羊的只数是多少？ (3)【拓展】除了以上例子，日常生活中还有哪些进制？请举例说明．（举个例子即可） 【答案】(1) (2)只 (3)①十二进制：用于表示月份，一年有个月；②六十进制：时间记量，小时分钟，分钟秒（答案不唯一） 【分析】（）根据二进制转换为十进制的方法计算即可； （）仿照二进制转换为十进制的方法计算即可； （）结合日常生活举例即可； 本题考查了有理数的混合运算，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：转换成为十进制数为， 故答案为：； （2）解：∵满进，类似于四进制数，图示表示的四进制数为， ∴转化为十进制数为， ∴他所放牧的羊是只； （3）解：①十二进制：用于表示月份，一年有个月； ②六十进制：时间记量，小时分钟，分钟秒． 38．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一．例：． 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用和两个数字来表示数，满二进一例：把二进制数转换为十进制数为． 其他进制也有类似的算法 (1)【发现】根据以上信息，将二进制数转换为十进制数是 ． (2)【迁移】①按照上面的格式将八进制数转换为十进制数②现有三进制数，二进制数，则与的大小关系为 ． (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子自出生后的天数． 【答案】(1)22 (2)①2298；② (3)孩子已经出生的天数为42天 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，含乘方的有理数的混合运算，理解新定义是关键． （1）根据二进制数转化为十进制数的含义列式为：，再计算即可； （2）①八进制数“4372”转化为十进制数的含义列式为：，再计算即可；②三进制数转换为十进制列式为，二进制数，转换为十进制列式为，再计算比较即可； （3）根据“结绳计数”的含义列式为：，再计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：22； （2）解：①八进制数“4372”转化为十进制数为： ； ②三进制数转换为十进制列式为 ； 二进制数转换为十进制列式为 ， ∴， 故答案为：； （3）解：根据“结绳计数”的含义列式为： ， 即：孩子已经出生的天数为42天． 39．综合与实践 材料阅读：进位制是人们为了计算和运算方便而约定的计数方法，我们在学习数学的过程中，会接触到不同的进位制．十进制使用十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一．逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数(十进制数通常不标注基数)．一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．(备注：不为0的数的0次幂为1，即 示例：十进制数可以表示为 ，即 ， 二进制数可以表示为 ，即 ． 感知理解 （1）①八进制的基数为 ，逢 进一； ②将二进制数转换为十进制数为 ； （2）试将十进制数58转换为二进制数； 运用创新 （3）计算 (结果用十进制数表示)． 【答案】（1）①，；②；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了单位进制的转化运算，根据单位制转换，含乘方的有理数混合运算即可得解． （1）①根据题干八进制数的含义可得答案；②根据转换为十进制数的方法计算即可． （2）根据题干十进制数转换为二进制数的方法计算即可． （3）二进制数转化成十进制数，八进制数转化成十进制数后相加即可． 【详解】解：（1）①八进制的基数为，逢进一； ②将二进制数转换为十进制数为： ． （2）二进制如下： ∴从下往上读取余数，得到； （3） ． 40．国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，其中第14届国际数学教育大会在上海举办．本次大会标识（如图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为蓝本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．如图2所示的八卦符号可以用于记数．如：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法，每卦均由三个阳爻或阴爻组成，从左起第一个符号表示的二进制数为． 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方[从右往左依次为，，，，依此类推，其中（）]，然后相加．例如：，． (1)图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数； (2)仿照二进制的说明与算法，将六进制数转换成十进制数，请写出结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，二进制数与十进制数的转换，六进制与十进制数的转换． （1）根据二进制数与十进制数的转换方法分别求出图2中四个二进制数转换成十进制数的结果即可得到答案； （2）仿照二进制数与十进制数的转换方法将六进制数各位上的数字乘以6的相应次方再求和即可得到答案． 【详解】（1）解：图2对应的二进制数从左往右依次为，，，， ∵， ， ， ， ∴这个四位数是3745； （2）解：． 地 城 类型06 定义新运算 41．定义一种新运算“”，规则为，例如：，解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了新定义，有理数加法、乘法运算，根据新定义正确列出算式求解是解题的关键． （）根据新定义可得，然后通过运算法则即可求解； （）先求出，然后算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∴ ， ∴． 42．对于任意有理数a和b，定义一种新运算“”：，例如：，． (1)求的值： (2)求的值； 【答案】(1)3 (2)220 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘法运算，乘法运算律．理解运算规则是解题的关键． （1）根据新定义进行运算，即可求解； （2）根据新定义进行运算，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：因为， 所以． 43．定义一种新运算，规定当时，；当时，． (1)填空：_________，_________； (2)求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题考查了新定义运算，熟练掌握有理数的加减混合运算和乘方运算是关键． （1）先比较两个数的大小,然后根据运算规则选择合适的算式代入求值即可； （2）根据新定义进行解答即可； （3）一定是大于的,故要按照进行解答即可． 【详解】（1）解：； ， 故答案为：， （2） （3）∵， ∴， ∴， 解得 44．定义一种新运算：规定，例如．计算以下式子 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义计算求解即可； （2）先根据新定义计算出，再计算出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：， ∴． 45．定义一种新运算“☆”，规则为，例如：，解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）根据新定义的运算，列式计算即可； （）根据新定义的运算先计算中括号内的，再计算括号外的即可； 本题考查了含乘方的有理数混合计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∴ ． 46．我们定义一种新运算：． (1)________；________；________； (2)求的值． 【答案】(1)7，，9 (2)1 【分析】本题考查有理数新定义的运算，理解新定义的运算是解题的关键． （1）根据新定义的运算计算即可； （2）先计算，则，根据新定义的运算计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ； 故答案为：7，，9 （2）解：∵， ∴ ． 47．定义一种新运算：对于任意有理数，都有，例如：． (1)直接写出的值； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据新定义运算计算即可求解； （2）先根据新定义运算法则计算出的值，再根据新定义运算计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， 所以，原式 48．我们定义一种新运算，规定：图形表示，图形表示，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的加、减、乘法运算，先根据新运算列出算式，然后根据有理数的加、减、乘法运算法则进行计算即可，掌握运算法则及运算顺序是解题的关键． 【详解】 解： ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01有理数压轴相关计算题分类训练 (6种类型48道) 类型裂项相消法 类型2拆项法 类型3错位相减法 有理数相关 计算题分类训练 类型4探究规律简便运算 类型5进制转换 类型6定义新运算 目目 类型01 裂项相消法 1.类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似 的结论.阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： 11_323-21 232×33×266 我们将上述计算过程过水，等到文3方方·这一有等炎形过程老数 1-1(11) 中做裂项，类似地，对于46可以用裂项的方法变形为： 4×6246 类比上述方法，解决以下问 题 【类比探究】(1)猜想并写出： n×n+1) 【理解运用】(2)类比裂项的方法，计算：1+1十1 1x22x33x4++1 99×1001 【迁移应用】(3)探究并计算：1+1+1 +1 1 -1×3-3×5-5×7-7×9 -2021×2023 1/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.请你观察： 111111111 1×21252×32353x434 1,111,112 1×22×312233 11 +1=}1+1-1+11=1-1=3 1×22×33×412233444 以上方法称为“裂项相消求和法” 1 1 1 1 仿照上面的方法，请你计算：1x5+5×9+g×13++397×40的值. 3.类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似 的结论.阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： 11-32-3-2-1 232323。。我路上述计过程倒过来，得到{从}，这恒等变形过程在数 学中叫做裂项。 【类比探究】(1)猜想并写出： nx(n+1) 1 【理解运用】(2)类比裂项的方法，计算：x2十2x3+3×4+” +…+ 99×100 【拓展提高】(3)计算：，+，L+1 1 +… 2×44×66×8 2024×2026 4.类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似 的结论.阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： 11323-21 =二，我们将上述计算过程倒过来，得到二= 1111 232×33×266 62x323,这一恒等变形过程在数 学中叫做裂项。类似地，对于，1可以用裂项的方法变形为： 类比上述方法，解决以下 4×6 6动 问题， 【类比探究】(1)猜想并写出： nx(n+1) 111 1 【理解运用】(2)类比裂项的方法，计算： 一十 一十…十 1×22×33×4 99×100 【迁移应用】(3)探究并计算：，1+1+1+1 一十 -+ 十…十 1×33×55×77×9 2021×2023 5.请你观察： 111111111 1×212'2×3233×4343“ 3}1g号 ,12 2/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1,1,111,12,11113 =1- 1x22×33x41223+341-4=4:… 以上方法称为“裂项相消求和法”. 请类比完成： ),1+1+11 1×22×33×44×5 2)计算，1+1+1+1 1x2+2×3+3×4+4x5+…+2020×202 6.观察是数学抽象的基础.在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题.请你擦亮 眼睛，开动脑筋，解答下列问题： 1=1-=2 11 1×222 11 2=1-1+112 1×22×32233’ 1+1+1=1-1+1+-1-3, 1x22×33×41223344 (1)按规律填空： ①1 11 1 1×2'2×3'3×44×5 = 1 11,1 ②如果为正整数，那么1x2十2×3十3x44x5++n nx(n+1) 2)探究、计算1-111_1 。，。 的值； 261299001 3)由此拓展，计算，1+1 +1 十…+ 的值. 1×3'3×55×7 99×101 7.观察下列各式，你会发现什么规律？ 1=1-11=1-11=11 1×2 2’2×3233x434′“ (1)请你按上述规律写出第5个等式； 2)利用以上规律计算：1+1+1 1 十 十…+ 的值。 1×22×33×4 99×100 8.我们知道：11=1,11.1 121×2’232x3' 1111111 那么反过来也成立如：1x22'2×32有，xa+D 1111 1 1 利用上面的规律计算：1×22x3+3×4十4x5+…+98×9+99×100 拓：房品5品品ggn0+列而 2 2 3/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 目目 类型02 拆项法 9.数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 解：原式=[列++（引+引+ -[列+-列+-*]-[〔》引(-0+- 上述这种方法叫作拆项法.请仿照上面的方法计算： +2825g: -2024引r-2025》4050+(》 10.阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题. 示：计算：（2号引+》 解：限式[[-2+（引引[ [-+-2*(--[引 =+到 -4 以上解题方法叫做拆项法。 请你利用拆项法计算下面式子的值， -2024 -2025号}+4052+- 11.阅读下列的计算方法，解决问题： -53+12 解：原或[-+([-3+(2+ [-列+-+12-[8 =4+0=4 4/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 上面这种方法叫拆项法.按这种方法，可将7拆为一，-3}拆为 ②类比上这计算方法游计第：18号+20号-7 72 12.阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题. @-8引1 解：原成[-(+引[+( -列+(-列+-+1H引 =0+- 上述这种方法叫作拆项法， ②仿照上面的方法计算： 2023 引(204}07+ 13.阅读材料. 发于(2号+2兮可以按下方式计算 5 原式[+[(2+引2+ =[(-3)+(-1)+2+2]+ =0+ 上面这种方法叫拆项法 (1)请补全以上计算过程； (2)仿照上面的方法计算： -20235 +20221 可以按如下方法计算： 原式+[（引+引[s( =+(9+17+(3[【8}引 0+(4)-4 上面这种方法叫拆项法 5/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 仿照上面的方法，请你计算： 2-2025号}+2024-202 6 5,对》可以粒如下方式计常。 [(a[(到 =[(-3)+(-1+2+2]+ =0+ 上面这种方法叫拆项法. (1)请在上面横线上补全计算过程，步骤①所应用的运算律为 (2)仿照上面的方法计算： -20252 +20242+-20232）+202 4 6 16.阅读下面的解题过程： 计第：(5（引(3》 :原武-[-+([[7+[】 =-+(-9+17)+(-3+-+(+子+( =0+( =-1 4 上面这种解题方法叫拆项法. 仿照上述解题过程计算： 2048-(20s+4052+- 目目 类型03 错位相减法 17.阅读材料：求1+2+22+23+…+22020的值. 解：设S=1+2+22+23+…22020①，①×2得：2S=2+22+23+24+…+22021②， 6/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②-①得2S-S=22021-1,即S=1+2+22+23+.…+22020=22021-1. 请你仿照此法计算： (1)1+2+22+23+24+25; (2)求1+3+32+33+.+3”的值.（其中n为正整数） 18.观察下列解题过程： 计算：1+4+42+43+…+424+425的值 解：设A=1+4+42+43+…+424+425①， 则4A=4+42+43+44+…+425+426②， 由②-①，得3A=426-1.即原式-46-1 3 通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算： 1+3+32+33+…+349+30 19.(1)如果欲求1+2+3+4+…+n的值，可令S=1+2+3+4++n①，将①式右边顺序倒置，得 S=n++4+3+2+1②，由②式+①式，得2S=一；S=一；由结论求1+2+3+4+…+100=一 (2)①观察一列数2,4,8,16,32，，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常 数是一；根据此规律，如果a,(n为正整数)表示这个数列的第n项，那么a1s=一，a=一 ②为了求1+3+32+33+.+32018的值，可令M=1+3+32+33+…+32018①，则3M=3+32+33+.…+32019②， 由②式-①式.得3M-M=30,M),即1+3+3+3++3=3”1 2 仿照以上推理，计算1+5+52+53+..+51. 20.【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：a,a2,a,,an.一 般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用9表示.如：数列l,2,4,8.为等比数列，其中a=1,a2=2,公 比为q=2. 根据以上材料，解答下列问题： （1)等比数列3,9,27…的公比9为一，第5项是一 【公式推导】如果一个数列a,a2,a,a…,是等比数列，且公比为q,那么根据定义可得到： a=g,0=q,a4=g,,0u=9.所以a,=a*9,a,=a,9=a9q=ag2,a4=a*9=a1g2=ag2，… a a, a an (2)由此，请你填空完成等比数列的通项公式：an=a·一· 7/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程一一错位相减法，构思精巧、形式奇特.下面是 小明为了计算1+2+22+..+22019+22020的值，采用的方法： 设S=1+2+22+..+22019+22020①，则2S=2+22+.…+22020+22021②， ②-①得2S-S=S=22021-1,.S=1+2+22+..+22019+22020=22021-1. 【解决问题】(3)请仿照小明的方法求11+112+113+..+11224的值. 21.阅读材料：求5+52+5+5+5+56+5'+5的值. 解：设S=5+52+5+5+55+5“+5”+5① 则5S=52+53+54+55+56+57+5+59② ②-①得，5S-S=(52+53+54+5+56+57+5+5)-(5+52+53+5+53+55+57+5)=59-5:4S=5°-5，即 5=5”-5 4 5+52+53+5+55+5+57+55”-5 4 以上方法我们成为“错位相减法”，请利用上述材料，解决下列问题： )计算：+++（分++分（仿照材料写出求解过程）： (2)化简：M=5+2x52+3x53+4×5+…+8×5. 22.(1)①观察一列数1,2,4,8,16，，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个 常数是一；根据此规律，如果a(n为正整数)表示这个数列的第n项，那么ao=[-，an=- ②为了求1+2+22+23+……+2的值，可以这么做； 令M=1+2+22+23+……+28+29, 则2M=2+22+23+……+29+20, 因此2M-M=20-1, 所以M=20-1=2”-1, 2-1 即1+2+22+23+……+29=210-1. 仿照以上推理： (2)计算1+7+72+73+…+7”的值. (3)计算1+2×2+3×22+4×23+…+9×28+10×2°. 23.仔细阅读下面的例题，找出其中规律，并解决问题： 例：求1+2+22+23+24+…+22017的值. 8/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解：令S=1+2+22+23+24+…+22017,则2S=2+22+23+24+25+…+22018,所以2S-S=22018-1,即 S=22018-1,所以1+2+22+23+24+…+22017=22018-1. 仿照以上推理过程，计算下列式子的值： (1)1+5+52+53+54+…+5100; (2)1-3+32-33+34-35+.-32019 24.仔细阅读下面的例题，找出其中规律，并解决问题： 例：求1+2+22+23+24+…+22017的值. 解：令S=1+2+22+23+24+…+22017,则2S=2+22+23+24+25.…+22018 所以2S-S=22018-1,即S=22018-1 所以1+2+22+23+24+…+22017=22018-1 仿照以上推理过程，计算下列式子的值： (1)1+5+5+53+54+…+5100 (21-3+32-33+34-35+…+3202 目目 类型04 探究规律简便运算 25.阅读材料： 11-11_111-11-1 32236'433412' 根据以上规律，解决下列问题： 2019 = 2)计算： ,,111111,11 十 3)计算： 1111,,11,1 1 十…十 3243 20232022202420231 26.观察下列式子： |2+3=2+3;2-3=3-2;3-2=3-2;-2-3=2+3. (1)根据上面式子的规律，写出下列各式去掉绝对值符号后的形式（不要计算出结果）： ①5-8= 17 ②-1+ 24 9/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)计算： 127,|5271 25511552 27.【规律探究】计算1+2+3+4+…+99+100，如果一个个顺次相加显然太繁琐，但如果运用加法的运算 律可简化计算、提高计算速度，如： 原式=(1+100)+(2+99)+…+(50+51 =101×50 =5050 【实例应用】应用以上的方法计算： (1)-1-3-5-…-199; (21-4+2-5+3-6+4-7…+2024. 28.观察下列各式的计算结果： 11 1 131.3 44221 3=1-1824 1 1-gg=3x3 1 22=11153、5 -1616=4×4 11 271之446 252555 (1)用你发现的规律填写下列式子的结果： 1 6-X: (2)用你发现的规律计算： -1-x…-2019)12020 29.观察下列各式： 1x2-1 2^33 1×2×3=1 2344 1×2x3x4-1 23455 … )猜想1x23 2341 n+1 10/17