专题03 数轴动点分类训练（8种类型48道）（期末复习压轴题专项训练）七年级数学上学期新教材北师大版

专题03 数轴动点分类训练 （8种类型48道） 1．如图，数轴上，两点表示的有理数分别为，，与互为相反数．线段在数轴上从点左侧（最开始与重合）沿数轴正方向匀速运动（点在点的左侧），点，分别为，的中点．地 城 类型01 动点定值问题 (1)求的长； (2)当等于时，判断的长度是否为定值，若是求出这个值，若不是，请说明理由． 2．“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若F到A的距离刚好是3，则F点叫做A的“幸福点”；若F到A、B的距离之和为6，则F叫做A和B的“幸福中心”． (1)若点A表示的数为，则A的幸福点F所表示的数应该是________； (2)如图1，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为，若点F就是M和N的幸福中心，则F所表示的所有数中，整数之和为________； (3)如图2， A、B、C为数轴上三点，点A所表示的数为，点B所表示的数为4，点C所表示的数为8． ①若点P，Q分别从点A，B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点R从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，经过________秒时，点R是P和Q的幸福中心； ②若点P从点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点Q、R分别从点B、C以每秒3个单位长度和每秒4个单位长度的速度向右运动，是否存在常数m，使得为定值？若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 3．数轴上有三个点，分别代表的整数是，点在数轴上的位置如图，，满足． (1)______，______，______，点与点之间的距离是______； (2)点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动，点同时运动，设运动时间为秒，回答下列问题： ①秒时，点A对应的数为______；点对应的数为______；点对应的数为______．（用含的式子表示） ②若点A与点之间的距离记为，点与点之间的距离记为，是否存在有理数，使得代数式的值为定值？若存在，求出的值及该定值，若不存在，请说明理由． 4．操作发现． 操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4，我们称点B是点A关于点M的映射点； 记作：或； 操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示，我们称点N是点M关于线段的映射点； 记作：；如：； (1)利用图3、图4，直接填空：______；______； (2)若A、B两点所表示的数分别是、，；求点C所表示的数；（用含a、b的代数式表示） (3)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，； ①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围； ②当点C表示的数是时，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值． 5．【阅读材料】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），则有①A、B两点的中点表示的数为；②A、B两点间的距离为． 【解决问题】 数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足， （1）直接写出A、B两点的中点C表示的数为______； （2）若数轴上有一点D，且，则点D在数轴上对应的数为______； 【拓展思考】 若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），点C为线段上一点（点C不与A、B重合），当时，称点C为线段的左三等分点；当时，则称点C为线段的右三等分点． （3）①如图，若点C为线段的左三等分点，则点C表示的数为：______；（用含a、b的代数式表示）， ②在【解决问题】（1）的条件下，点F以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时，点M从点A出发以每秒3个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒6个单位的速度向右运动，点P为线段的左三等分，点Q为的中点．设运动时间为t秒，试探究下列结论：随着t的变化，是否存在m，使得的值为定值，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 6．已知二项式中，含字母的项的系数为，多项式的次数为，且，在数轴上对应的点分别为，，点为数轴上任意一点，对应的数为． (1)________，________，并在数轴上标出，； (2)当点为线段的三等分点时，求的值； (3)在（2）的条件下，若点离点较近时，点、、分别从点、、同时向左运动，其速度分别为每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度．是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 7．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如的几何意义是数轴上x对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．地 城 类型02 动点最值问题 (1)填空：若，则x的值为 ； (2)直接写出式子的最小值为 ； (3)如图，在一条笔直的街道上有A，B，C，D，E五个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知A，B，C，D，E五个小区各有1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这5个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 8．阅读下面材料：如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，则A、B两点之间的距离可以表示为． 根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示8与－2的两点之间的距离是 ； (2)若，则 ；若，则 ； (3)表示数轴上有理数x所对的点到1和－3所对的两点距离之和，请你利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使得． (4)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请直接写出最小值．若没有，说出理由． 9．点、在数轴上分别表示数、，、两点之间的距离表示为．则数轴上、两点之间的距离．表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到的距离，由上面绝对值的几何意义，解答下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是 ，如果，那么为 ； (3)当取最小值时，符合条件的整数有 ； (4)令，问当取何值时，最小，最小值为多少？请求解． 10．已知点M、N在数轴上表示的有理数分别是m、n，而式子的几何意义是数轴上表示有理数m的点与表示5的点之间的距离．再进一步，式子的几何意义是数轴上表示有理数n的点与表示1、4的两点之间的距离的和． (1)计算；请用简要的语言叙述表示的几何意义：； (2)根据题干的思路，若，求m的值； (3)①直接写出符合的整数n的总个数； ②由以上探索猜想，若点P在数轴上表示的数为p，直接写出的最小值． 11．材料一：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离．这个结论可以推广为：的几何意义是：在数轴上数，对应点，之间的距离，例如在数轴上点表示数1，点表示数，则． 材料二：在数轴上，对于点与线段的距离，我们给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果有最小值，那么称这个最小值为点与线段的距离．显然，若点落在线段上（含端点），则点与线段的距离为0． 【简单应用】 （1）数轴上表示2和5的两点距离为______； （2）数轴上点，，分别表示数，2，4，则若点与线段的距离为______； （3）数轴上点，，分别表示数，2，，若点与线段的距离为2，则______． 【关联应用】 （1）代数式的最小值为______； （2）若代数式的值为12，求的最大值． 【实际应用】 如图，某工厂自动化直线型流水线上设有4个工位，，，和一个中控中心，，分别位于中控中心点左侧8米，左侧3米，，分别位于中控中心右侧2米，右侧5米，工位，分别需要2个机器人同时操作，工位，只需要1个机器人操作，现要在直线型流水线上设置一个长度为2米的可移动的物料区，供6个机器人取用，要求6个机器人到物料区的距离之和最小，请直接写出距离之和最小值． 12．如图，有理数，分别对应数轴上的点，，且，满足． (1)直接写出，的值：______；______； (2)若动点，分别从，同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，以每秒2个单位的长度的速度沿数轴向右运动，当，相遇时停止运动，当为何值时，； (3)我们规定，若在线段上存在满足，则我们称点是线段的一个分点．点从线段上的2分点出发，以每秒1个单位长度在数轴上按以下规律往返运动：第一回合，从点到点，再从点到点回到点；第二回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点；第三回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点，如此循环下去，若第秒时满足，求的最大值． 13．如图，在数轴上点表示数，点示数，点表示数，的相反数是，且、满足．地 城 类型03 动点存在性问题 (1)________；________；________； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；若数轴上有一点为线段的三等分点（点在线段内），则点表示的数是________； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 14．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画了一条数轴，然后进行了实践探究： (1)折叠纸条，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． (2)在数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示的点重合．此时A，B两点也重合，则点A表示的数是___________． (3)定义：P，Q为数轴上任意两点，若折叠纸条使点P，Q重合，折痕与数轴的交点为点M，则称点M为点P和点Q的“叠点”． 点C，D，O在数轴上，点C是数轴上最大的负整数点，点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7．折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”．若存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，．求点F到“叠点”E的距离． 15．先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上，两数所对的点，之间的距离，记作，如的几何意义：表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，几何意义可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为____________；如果，求出的值； (2)探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； 16．【知识准备】 若数轴上点对应的数为x，点对应的数为y，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． (1)在一条数轴上，O为原点，点对应的数为5，点对应的数为，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 (2)在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 (3)若数轴上点对应的数为x，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，是否存在使为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 17．如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒．    (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为______，点与点的中点为，则点表示的数为______；运动秒后，点表示的数为______（用含的式子表示）； (2)若秒钟过后，点是线段的中点，求值； (3)当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 18．数轴上点A、B分别表示数a、b，A、B两点之间的距离记作或，有或．如图，数轴上点分别表示数、10．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左移动，设移动的时间是t秒． (1)填空： ； (2)若，求t的值； (3)在点P、Q出发的同时，点T从点O出发，以每秒5个单位长度的速度向右移动，是否存在常数k，使的值与t无关？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 19．已知：是关于x的二次多项式，且a、b、c满足．a、b、c所对应的点分别为A、B、C．地 城 类型04 折线数轴动点 (1)则_____________，_____________，_____________． (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．设运动时间为1秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们称A，C两点在折线数轴上的路程为三段的和．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒． ①当时，点P和点O在折线数轴上相距_____________个单位长度；当时，点P和点O在折线数轴上相距_____________个单位长度；当时，点P和点Q在折线数轴上相距_____________个单位长度． ②当t为多少时P，Q两点相遇？相遇点M所表示的数是多少？ ③在动点P改变速度前的某一时刻，P，O两点在数轴上的距离与Q，B两点在数轴上的距离相等．求出此时t的值． 20．如下图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问： (1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒； (2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？ (3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数． 21．如图，已知数轴上点与点相距个单位长度，点在原点的右侧，到原点的距离为个单位长度，点在点的左侧，点表示的数与点表示的数互为相反数． (1)点表示的数为__________，点表示的数为__________，点表示的数为__________． (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左移动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当点到达点后，运动停止．设移动时间为秒，在点运动过程中， ①请求出点运动几秒后与点相遇？ ②两点之间的距离能否为个单位？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． (3)点在数轴上，，将图的数轴在点处各折一下，得到图的“折线数轴”，点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，同时点从点出发沿着“折线数轴”向点运动，点的初始速度分别是个单位长度秒和个单位长度秒，点运动到折线时速度才会发生变化，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度倍，离开折线后速度恢复为初始速度．当点和点相遇时，直接写出此时点表示的数． 22．如图，已知点在数轴上对应的数分别是，其中分别为单项式的系数和次数，为的中点． (1)填空：___________，___________，___________； (2)如图，若点分别同时以每秒个单位长度、个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为．若的值始终保持不变，求的值； (3)如图，将数轴在原点，点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发，始终以每秒个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点．点出发的同时，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若两点在点处相遇，请直接写出点表示的数． 23．已知，且a、b、c满足所对应的点分别为A、B、C． (1)则__________，__________． (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．设运动时间为秒，请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段三段距离的和称为A、C两点间的路程，动点从点出发，以2个单位长度／秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点从点出发的同时，点从点出发，以1个单位长度／秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度／秒的速度运动．当点到达点时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为10个单位．求出此时的值． 24．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在数轴上相距个长度单位．动点从点出发，始终以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向终点运动，同时，动点从原点出发，也沿着“折线数轴”的正方向朝终点运动，点在线段以单位/秒的速度运动，在段以单位/秒的速度运动，设运动时间为秒．问： (1)动点、谁先到达终点？请通过计算说明． (2)、两点第一次相遇时，求出相遇点所对应的数是多少？ (3)当为______时，、两点在数轴上相距的长度为个单位？ 25．已知，，三点在数轴上所对应的数分别为，，18，且，满足．，动点从点出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点从点出发，以1单位/秒的速度向左运动．线段为“变速区”，规则为：从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒．地 城 类型05 动点变速问题 (1)______，______，______； (2)动点从点运动至点时，求的值； (3)、两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数． 26．已知点、、、在数轴上，它们表示的数分别为，且满足，点在点的右侧且到点的距离12个单位长度，点表示的数是14． (1)_______，________， _______； (2)动点从点出发以4个单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位/秒速度向左运动． ①当点到达点后停留6秒后再以原来的速度向左运动，假设运动时间为秒．当、两点相距8个单位时，求的值； ②我们规定、两点之间为“变速区”，规则为动点从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，动点从点运动到点期间速度变为原来的3倍，之后也立刻恢复原速，当点到达点时停止运动，点也随之停止运动，当为何值时，、两点的距离是24？ 27．已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，试回答以下问题： (1)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (2)如图： 当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 28．已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题： (1)当点P运动5秒时，______，______，______． (2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离： ______，______，______． (3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (4)如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 29．如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为． (1)求点与点之间的距离； (2)当为何值时，，并求出此时点表示的数； (3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值． 30．如图，在数轴上，表示原点，、表示的数是方程的解，其中点在点右侧． (1)若点与、的距离相等，则点表示的数是_______； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点、点运动时间为秒，求为何值时，、间的距离为个单位长度； (3)在（2）的条件下，在、开始运动时，同时动点从原点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，求当为何值时，点与点、的距离相等，并直接写出此时点所表示的数． 31．已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数，，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒．地 城 类型06 折返问题 (1)用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：_________，_________． (2)点点运动_________秒后到点B距离为5个单位． (3)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回点A，当点Q开始运动后，点Q随点P到达终点时而停止运动．请直接写出用t的代数式表示P、Q两点间的距离．（友情提醒：注意考虑P、Q的位置） 32．如图所示，点，，在一条不完整的数轴上，其中，． (1)设点，，所对应的数的和为．若点为原点，计算的值；若点为原点，的值又是多少？ (2)若以为原点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，运动到点后，立即按原速度返回至点后，停止运动．设运动时间为秒． ①当时，的长是多少？点表示的有理数是什么？ ②当点运动到点和点的正中间这一点时，点对应的有理数是 ，此时 ． 33．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离表示为． 【综合运用】已知点A，B，C为数轴上三个点，表示的数分别是，14，8．    (1)点与点的距离是__________； (2)若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为秒． ①用含的式子表示：秒后，点表示的数为_______； ②当时，求的值． (3)在（2）的条件下，P，Q出发的同时，动点从点出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点追上点后立即返回沿数轴负方向运动．求点追上点后再经过几秒，？ 34．如图，点、是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是，且、满足，点为原点，点在数轴上，两点之间，且． (1)填空：_____；_____；点所对应的数是_____； (2)若动点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，同时，另一个动点从点出发，以每秒1个单位的速度向右运动．当点在点左侧时，经过几秒满足？ (3)在（2）条件下，动点也同时从点出发，以每秒4个单位的速度向左运动，与动点相遇后立即返回；以每秒3个单位的速度向右运动，与动点相遇后停止运动，则整个运动过程结束．在运动过程中，设点的运动时间记为（秒），当时，请求出满足条件的的值． 35．如图，已知数轴上点表示的数为，所表示的数为，且满足，点所表示的数为18． (1)的值为_____，的值为_____； (2)动点从点出发，往数轴右边以每秒10个单位的速度运动，动点从点往数轴右边以每秒2个单位的速度运动． ①点运动到点需要_____秒，点运动到点需要_____秒． ②在运动过程中点所表示的数为，且的值为12，求的值． ③若点到达点后，立即以同样的速度返回，点到达点后，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当，之间的距离为2时，求的值． 36．如图所示，，两点在数轴上分别表示有理数a，b，且，点O为原点，点C在数轴上且位于O，B两点之间，满足 (1)直接写出______，______，点C所对应的数是______； (2)动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒． ①若，求t的值； ②若动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，与点Q相遇后，动点M立即以同样的速度返回，当t为何值时，点M恰好是线段的中点． 37．如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题：地 城 类型07 多动点问题（三点及以上） 如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足与互为相反数． (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与表示数 的点重合； (3)如果点P表示的数为x，当时， ； (4)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒钟．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 38．【背景材料】 如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，则点到点的距离记为．已知数轴上、两点对应的数分别为、6，点为数轴上一动点． 【初步探究】 （1）若点到点、的距离相等，则点对应的数是__________； 【拓展延伸】 （2）若在数轴上存在一点，点在原点的左侧，点表示的数为，且点到点的距离为3，求点到点的距离； 【问题解决】 （3）若运动前点对应的数是5，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度沿数轴向右运动，当运动时间为秒时，请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 39．如图，点、都在数轴上，为原点，且，两点间的距离，A，B两点间的距离． (1)请直接写出点、表示的数，： ，： ． (2)若点以每秒2个单位长度的速度，点以每秒1个单位长度的速度，同时向左运动，则运动几秒后，两点间的距离？ (3)我们定义：对于数轴上从左到右的三点，如果中间的点与它右边的点的距离恰好是中间的点与它左边的点的距离的3倍，则称中间点是其它两个点的“友好点”．比如，在数轴上点D、O、E分别表示的数为-3、0、9，这三点满足，则称点是点和点的“友好点”． 若点从点出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．三点同时出发，设运动时间为秒．在运动的过程中，当点是点和点的“友好点”时，点和点之间的距离是一个定值．请你求出这个定值． 40．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点A，B在数轴上分别对应的数为a，b．则A，B两点间的距离表示为． 根据以上知识解题：已知数轴上A，B两点对应的数分别为和9，P为数轴上一点，对应的数为x． (1)P，B两点间的距离可表示为______（用含x的式子表示）； (2)当点P在A，B两点之间且时，点A，B，P同时开始在数轴上分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度、每秒1个单位长度沿数轴正方向运动．设A、B、P三点运动时间为t秒，则运动t秒后点A表示的数为______，点B表示的数为______，点P表示的数为______（用含t的式子表示）； (3)在（2）的条件下，当时，求t的值． 41．如图所示，A、B两点在数轴上分别表示有理数a、b，且，O为原点，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点Q同时从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1) ________； ________； (2)当时，P、Q两点间的距离为________； (3)在运动过程中是否存在时间t使A、P两点间的距离与B、Q两点间的距离相等？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (4)若点M同时从点B以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向运动，直接写出t为何值时，P、Q、M三点满足其中一点到另外两点距离相等（任意两点或者三点重合除外）． 42．已知是多项式的常数项，是该多项式的次数． (1) ___________； ___________． (2)在（1）的条件下，数轴上，点、分别对应有理数和，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，两点同时出发．当两点间的距离为3个单位长度时，求点表示的数． (3)A，B，C为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的“强国点”、例如：点表示的数为，点表示的数为2，表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，则点是的“强国点”；又比如表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，则点就不是的“强国点”．但点是的“强国点”． 在（1）的条件下，数轴上，点分别对应实数和，现有一动点从原点出发，以每秒1个单位的速度向右运动，到达点时立即掉头，以每秒2个单位的速度向左运动，到达点时停止运动．设点的运动时间为，当为何值时，中恰好有一个点为其余两个点的“强国点”？ 43．如图1，数轴上点、对应的数分别是、，且、满足，现有一长度为2的玩具火车从原点出发（点与点重合），以每秒4个单位长度的速度向右运动，设运动时间为．地 城 类型08 线段的运动 (1)直接写出______，______； (2)在整个运动过程中，求的值（用含的式子表示）； (3)如图2，在、处各放置一块挡板、，当点碰到挡板时，玩具火车以原来的速度返回，当点碰到挡板时，也立即以原来的速度返回．当时，若，求的值． 44．已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，且，满足：． (1)求、的值； (2)①情境：有一个玩具火车如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．则玩具火车的长为 个单位长度； ②应用：如图所示，当火车匀速向右运动时，若火车完全经过点需要秒，则火车的速度为 个单位长度/秒． (3)在（2）的条件下，当火车匀速向右运动，同时点和点从、出发，分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和这个定值：若不存在，请说明理由． 45．已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，有一个玩具火车按如图所示放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，记火车移动后对应的位置为．当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．当玩具火车匀速向右移动时，火车从车头到车尾完全经过点需要2秒． (1)玩具火车的长为________个单位长度；玩具火车的速度为每秒________个单位长度；点所对应的数为_____； (2)在数轴上放置与大小相同的火车，使点与点重合，火车和在数轴上分别从点和点同时出发向右移动，记火车移动后对应的位置为．火车的速度为5个单位长度/秒，求几秒后两火车的处与处相距7个单位长度； (3)当火车匀速向右移动，同时点和点分别从，出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度沿数轴向左和向右移动，点、间的距离用表示，点、间的距离用表示，是否存在有理数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请直接写出和这个定值；若不存在，请说明理由． 46．如图1将一根长为木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点M重合，右端与数轴上的点N重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点N时，它的右端在数轴上所对应的数为12；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点M时，它的左端在数轴上所对应的点为A．如图2，数轴上点A，O，B，C，D对应的数分别为a，0，4，8，12，点P，Q是数轴上的两个动点，P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向运动，同时Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，设运动的时间为t秒． (1)图中点A所表示的数是 ，移动后点Q所表示的数是 ；（用含t的式子表示） (2)若动点P从点O到点B的速度为起始速度的一半，从点B到点C的速度为起始速度的两倍，点C之后立刻恢复起始速度；同时动点Q一直以原速度向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．当P，Q两点在数轴上相距时，求运动时间t． 47．石室联合中学初一年级开设了丰富多彩的博雅课程，小石同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒研究数轴上的动点问题：如图，数轴上有A，B，C三个点分别表示有理数，和12．小石把两根木棒放在数轴上，使点Q与点A重合，点N与点B重合，点P在点Q的左边，点M在点N的左边，且，木棒从点B开始以每秒1个单位的速度向右匀速运动；同时，木棒从点A开始以每秒3个单位的速度向右匀速运动，当点Q运动到C时，木棒立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点P在点Q的左边），当点Q再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)当时，点N表示的数为 ，点P表示的数为 ； (2)在整个运动的过程中，当线段和线段的长度之和为12时，求出对应的t的值； (3)点D为木棒上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值？若存在，请求出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说明理由． 48．在数轴上点表示数，点表示数，点表示数． 【初步感知】（1）如图①，线段AC的中点M表示的数为__________； 【深入探究】（2）若点P、Q、R分别从点A、B、C出发，以每秒2个单位、1个单位和4个单位的速度同时向左运动，设运动时间为t秒，当P，Q，R三点中恰有一点为另外两点的中点时，求t的值； 【拓展延伸】（3）如图②，某同学把两根木棒、放在数轴上探究，点Q与点A重合，点N与点B重合，，，M在N的左侧，P在Q的左侧．木棒从点B开始向左运动，运动速度为每秒1个单位，同时木棒从点A开始向右运动，运动速度为每秒2个单位，设运动时间为t秒，在整个运动过程中，线段上是否存在一点D是的中点?若存在，请求出点D所表示数的最大值和最小值；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数轴动点分类训练 （8种类型48道） 1．如图，数轴上，两点表示的有理数分别为，，与互为相反数．线段在数轴上从点左侧（最开始与重合）沿数轴正方向匀速运动（点在点的左侧），点，分别为，的中点．地 城 类型01 动点定值问题 (1)求的长； (2)当等于时，判断的长度是否为定值，若是求出这个值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与互为相反数，且与均为非负数，可得，． （2）根据题意可知． 【详解】（1）因为与互为相反数，且与均为非负数，可得 ，， 即 ，． 解得 ，． ． （2） 【点睛】本题主要考查有理数的平方和绝对值的非负性，相反数的定义以及线段，能根据有理数的平方和绝对值的非负性得到算式是解题的关键． 2．“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若F到A的距离刚好是3，则F点叫做A的“幸福点”；若F到A、B的距离之和为6，则F叫做A和B的“幸福中心”． (1)若点A表示的数为，则A的幸福点F所表示的数应该是________； (2)如图1，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为，若点F就是M和N的幸福中心，则F所表示的所有数中，整数之和为________； (3)如图2， A、B、C为数轴上三点，点A所表示的数为，点B所表示的数为4，点C所表示的数为8． ①若点P，Q分别从点A，B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点R从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，经过________秒时，点R是P和Q的幸福中心； ②若点P从点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点Q、R分别从点B、C以每秒3个单位长度和每秒4个单位长度的速度向右运动，是否存在常数m，使得为定值？若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或1 (2)7 (3)①或；②当时，的值为定值30 【分析】（1）设点F表示的数为x，根据幸福点的定义列出方程，解方程即可得到答案； （2）设点F表示的数为m，根据幸福中心的定义列出方程，再讨论m的取值范围，去绝对值求出当时，，由此求出满足题意的整数m，再求和即可得到答案； （3）①设经过t秒时，点R是P和Q的幸福中心，则点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为，根据幸福中心的定义得到，然后讨论m的取值范围，去绝对值求解即可；②设运动时间为t，则点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为，求出，，，进而求出，再根据的值与t无关，则，解得，进而求出定值的值即可． 【详解】（1）解：设点F表示的数为x， 由题意得，， ∴或， ∴或， ∴A的幸福点F所表示的数应该是或1， 故答案为：或1； （2）解：设点F表示的数为m， 由题意得， ∴， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴当时，，即此时点F和点M和点N的幸福中心， ∴满足题意的整数m有， ∴F所表示的所有数中，整数之和为， 故答案为：7； （3）解：①设经过t秒时，点R是P和Q的幸福中心， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， ∵点R是P和Q的幸福中心， ∴， ∴， 当时，， 解得，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 解得，符合题意； 综上所述，经过秒或秒，点R是P和Q的幸福中心； 故答案为：或； ②设运动时间为t， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， ∴，，， ∴ ， ∵的值为定值， ∴的值与t无关， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的值为定值30． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，解绝对值方程，一元一次方程的应用，整式加减中的无关型问题，正确理解幸福中心和幸福点的定义，根据数轴上两点距离公式进行求解是解题的关键． 3．数轴上有三个点，分别代表的整数是，点在数轴上的位置如图，，满足． (1)______，______，______，点与点之间的距离是______； (2)点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动，点同时运动，设运动时间为秒，回答下列问题： ①秒时，点A对应的数为______；点对应的数为______；点对应的数为______．（用含的式子表示） ②若点A与点之间的距离记为，点与点之间的距离记为，是否存在有理数，使得代数式的值为定值？若存在，求出的值及该定值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2，6，10； (2)①，，；②存在，当时，定值为34． 【分析】（1）结合题意，可得；根据绝对值和乘方的性质，通过求解一元一次方程，得到a和b的值；再根据数轴的性质，计算得到点A与点B之间的距离； （2）求得秒时，A对应的数为，B对应的数为， C对应的数为，再根据数轴性质，计算得到和；结合题意，通过代数式计算，得到a的取值，即可完成求解． 【详解】（1）结合题意，得 ∵， ∴， ∴， ∴点A与点B之间的距离是：， 故答案为：，2，，10； （2）①∵点A以每秒2个单位长度的速度向左运动， ∴秒时，A对应的数为：； ∵点以每秒4个单位长度的速度向左运动， ∴秒时，B对应的数为：， ∵点以每秒个单位长度的速度向右运动， ∴秒时，C对应的数为：， 故答案为：；， ②∵，且， ∴， ， ∴， 当时，，为定值 ∴存在有理数，使得代数式的值为定值，，定值为34． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值、乘方、代数式、整式的加减等知识；解题的关键是数形结合和准确计算． 4．操作发现． 操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4，我们称点B是点A关于点M的映射点； 记作：或； 操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示，我们称点N是点M关于线段的映射点； 记作：；如：； (1)利用图3、图4，直接填空：______；______； (2)若A、B两点所表示的数分别是、，；求点C所表示的数；（用含a、b的代数式表示） (3)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，； ①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围； ②当点C表示的数是时，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值． 【答案】(1)； (2) (3)①是；；②或4 【分析】（1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）根据，得出，根据A、B两点所表示的数分别是、，代入求值即可； （3）①根据点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，得出点B表示的数为或，设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e，分两种情况：当点B表示的数为时，点B在点A的右侧，当点B表示的数为时，点B在点A的左侧，分别求出的值，即可得出答案； ②根据点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点B在点A右侧，得出点B表示的数为，设点D表示的数为d，根据点C表示的数是，，得出，根据B、D两点之间距离刚好为1，得出，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； 根据题意得：． 故答案为：； （2）解：∵， ∴为的中点， ∵A、B两点所表示的数分别是、， 点表示的数为： ； （3）解：①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值；理由如下： ∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4， ∴点B表示的数为或， 设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e， 当点B表示的数为时，点B在点A的右侧， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴的中点与的中点是同一个点， ∴， ∴， ∴ ； 当点B表示的数为时，点B在点A的左侧， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴的中点与的中点是同一个点， ∴， ∴， ∴ ； 点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4． ②∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点B在点A右侧， ∴点B表示的数为， 设点D表示的数为d， ∵点C表示的数是，， ∴， ∴， ∵B、D两点之间距离刚好为1， ∴， 即， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，解绝对值方程，整式加减运算，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式，注意进行分类讨论． 5．【阅读材料】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），则有①A、B两点的中点表示的数为；②A、B两点间的距离为． 【解决问题】 数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足， （1）直接写出A、B两点的中点C表示的数为______； （2）若数轴上有一点D，且，则点D在数轴上对应的数为______； 【拓展思考】 若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），点C为线段上一点（点C不与A、B重合），当时，称点C为线段的左三等分点；当时，则称点C为线段的右三等分点． （3）①如图，若点C为线段的左三等分点，则点C表示的数为：______；（用含a、b的代数式表示）， ②在【解决问题】（1）的条件下，点F以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时，点M从点A出发以每秒3个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒6个单位的速度向右运动，点P为线段的左三等分，点Q为的中点．设运动时间为t秒，试探究下列结论：随着t的变化，是否存在m，使得的值为定值，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3  （2）或11；（3）①；②存在，，理由见解析 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，数轴上线段的中点对应的数的表示，数轴上动点的问题，绝对值得非负性的应用，一元一次方程的应用，熟练利用一元一次方程解决数轴上动点问题是解题关键． （1）利用绝对值，乘方的非负性求出a，b值的大小再利用题中给出的方法求出结果即可； （2）由题意可知，D点可能在A点左侧，也可能在B点右侧，根据列出方程求解即可； （3）①设C点为m，则为，为，根据点C为线段的左三等分点，列式结算即可；②由题意得， ， ，，，，得出，，，根据的值为定值，进行求解即可． 【详解】解：， 且， ，， A、B两点的中点表示的数为， 故答案为：； （2）设点D表示的数为x， ∵ 当点D在点A左边时，， 解得：， 当点D在点B右边时，， 解得：， 点为或11； （3）①设C点为m，则为，为， 点C为线段的左三等分点， ， ∴， 解得， 点C表示的数为； ②存在．理由如下： 由题意得，，，，，， ，，， ， 随着t的变化，上式的值为定值，   解得． 6．已知二项式中，含字母的项的系数为，多项式的次数为，且，在数轴上对应的点分别为，，点为数轴上任意一点，对应的数为． (1)________，________，并在数轴上标出，； (2)当点为线段的三等分点时，求的值； (3)在（2）的条件下，若点离点较近时，点、、分别从点、、同时向左运动，其速度分别为每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度．是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，5，见解析 (2)的值为：1或3 (3)存在， 【分析】（1）含字母的项为，根据单项式的系数、次数即可确定a、b的值，进而在数轴上表示出来； （2）求得线段，则得或，即可求得c的值； （3）设运动时间为，则可表示出点P、Q、M运动t秒后在数轴上表示的数，由为定值即可确定k的值． 【详解】（1）解：二项式中，含字母的项为，其系数为，次数为5， 在数轴上表示如下： 故答案为：，5； （2）解：由（1）知，， 因点为线段的三等分点， 当C靠近A时，，则； 当C靠近B时，，则； 综上，c表示的数为1或3； （3）解：存在 点离点较近时，， 设运动时间为，则：点运动秒后所表示的数为，点运动秒后所表示的数为，点运动秒后所表示的数为，        所以，        要使为定值，则，得：，．       【点睛】本题考查了多项式的项，数轴上动点问题，在数轴上表示有理数，数轴上两点间距离，涉及分类讨论与数形结合思想的运用． 7．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如的几何意义是数轴上x对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．地 城 类型02 动点最值问题 (1)填空：若，则x的值为 ； (2)直接写出式子的最小值为 ； (3)如图，在一条笔直的街道上有A，B，C，D，E五个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知A，B，C，D，E五个小区各有1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这5个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【答案】(1)1或3 (2)6 (3)C， 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的方法． (1)根据绝对值的几何意义求解即可； (2)根据当x在4和之间时，有最小值，化简绝对值即可求解； (3) A，B，C，D，E分别在数轴上表示，，0，，，设M表示的数为x，距离之和为s，根据题意可知，当M在点C上时，A、B、D、E到C的距离之和最小，则，A、B、D、E到C的最小距离之和为∶，即可求解． 【详解】（1）解∶ 表示x所对应的点与2所对应的点之间的距离为1， 或． （2）解∶ 表示x所对应的点到4和所对应的点的距离之和，当x在4和之间时|有最小值， 的最小值为． 故答案为∶6． （3）解：设M表示的数为x，距离之和为s， 则所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和为∶ 表示x所对应的点到、、0、、五个点的距离之和， 奇数个点时在正中间的数时有最小值，即时，， 当M在点C上时，四个点到C的距离之和最小，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为． 8．阅读下面材料：如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，则A、B两点之间的距离可以表示为． 根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示8与－2的两点之间的距离是 ； (2)若，则 ；若，则 ； (3)表示数轴上有理数x所对的点到1和－3所对的两点距离之和，请你利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使得． (4)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请直接写出最小值．若没有，说出理由． 【答案】(1)10． (2)或；． (3)． (4)2023． 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离以及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点的距离公式和绝对值的几何意义，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． （1）根据题意可得8与的两点之间的距离是，计算即可． （2）表示x到的距离为3，由数轴可解；表示x到1的距离和到的距离相等，由数轴可解． （3）根据绝对值的意义可知表示x到1的距离与x到的距离之和，根据点在数轴上的位置求解即可． （4）根据绝对值的意义可知表示x到的距离，x到的距离与x到的距离之和，根据点在数轴上的位置求解即可． 【详解】（1）∵， ∴数轴上表示8与的两点之间的距离是， 故答案为：． （2）表示x到的距离为3， 根据数轴可得，到数轴上表示的数距离为3的点表示的数为或， 故答案为：或． 表示x到1的距离和到的距离相等， 根据数轴上点的位置可得到1的距离和到的距离相等的点表示的数为， 即， 故答案为：． （3） 表示x到1的距离与x到的距离之和， ， 由数轴可知的整数符合题意， ∴使得成立的所有符合条件的整数x为． （4）如图， 根据绝对值的意义可知表示x到的距离，x到的距离与x到1011的距离之和， ∵表示的数与表示1011的数之间的距离为， 根据数轴可知，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，当时，有最小值为． 故答案为：． 9．点、在数轴上分别表示数、，、两点之间的距离表示为．则数轴上、两点之间的距离．表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到的距离，由上面绝对值的几何意义，解答下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是 ，如果，那么为 ； (3)当取最小值时，符合条件的整数有 ； (4)令，问当取何值时，最小，最小值为多少？请求解． 【答案】(1)； (2)；或 (3)、、、 (4)当时，最小，最小值为 【分析】本题考查了绝对值的几何意义（数轴上两点之间的距离）及相关计算，解题的关键是理解表示数轴上数与数对应的两点之间的距离，并利用该意义解决距离计算、含绝对值式子的最值等问题． （1）根据数轴上两点距离公式，直接代入对应数值计算即可； （2）先写出与的距离表达式，再根据距离等于2列绝对值方程求解； （3）表示到和的距离之和，最小值出现在介于与之间（含端点），找出其中的整数； （4）表示到、、的距离之和，当取中间点时，和最小，代入计算即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点距离为； 数轴上表示和的两点距离为． 故答案为：；． （2）数轴上表示和的两点距离是； 若，则，即或，解得或． 故答案为：；或． （3）表示到和的距离之和， 当在与之间（含端点）时，和最小， 符合条件的整数有、、、． 故答案为：、、、． （4）表示到、、的距离之和， 当时，最小； 此时． 答：当时，最小，最小值为． 10．已知点M、N在数轴上表示的有理数分别是m、n，而式子的几何意义是数轴上表示有理数m的点与表示5的点之间的距离．再进一步，式子的几何意义是数轴上表示有理数n的点与表示1、4的两点之间的距离的和． (1)计算；请用简要的语言叙述表示的几何意义：； (2)根据题干的思路，若，求m的值； (3)①直接写出符合的整数n的总个数； ②由以上探索猜想，若点P在数轴上表示的数为p，直接写出的最小值． 【答案】(1)1；数轴上表示有理数m的点与表示的点之间的距离 (2)9或 (3)①7，②7 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是理解绝对值在数轴上表示两点间的距离这一几何意义． （1）根据绝对值的运算求出的值，再依据绝对值几何意义的定义说明的几何意义． （2）利用绝对值的几何意义，即数轴上两点间的距离，求出的值． （3）①根据绝对值的几何意义，确定的取值范围，进而找出整数的个数；②根据绝对值的几何意义，分析出取得最小值的情况并计算． 【详解】（1）解：， ，其几何意义是数轴上表示有理数的点与表示的点之间的距离； （2）解：因为，根据绝对值的几何意义，数轴上表示的点与表示3的点之间的距离为6， 所以或， 当时，； 当时，． 故的值为9或． （3）解：①表示数轴上表示的点到表示2和的点的距离之和， 因为，所以当时，； 在范围内的整数有，共7个； ②，表示数轴上表示的点到表示和4的点的距离之和． 当时，这个距离之和最小，最小值为． 11．材料一：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离．这个结论可以推广为：的几何意义是：在数轴上数，对应点，之间的距离，例如在数轴上点表示数1，点表示数，则． 材料二：在数轴上，对于点与线段的距离，我们给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果有最小值，那么称这个最小值为点与线段的距离．显然，若点落在线段上（含端点），则点与线段的距离为0． 【简单应用】 （1）数轴上表示2和5的两点距离为______； （2）数轴上点，，分别表示数，2，4，则若点与线段的距离为______； （3）数轴上点，，分别表示数，2，，若点与线段的距离为2，则______． 【关联应用】 （1）代数式的最小值为______； （2）若代数式的值为12，求的最大值． 【实际应用】 如图，某工厂自动化直线型流水线上设有4个工位，，，和一个中控中心，，分别位于中控中心点左侧8米，左侧3米，，分别位于中控中心右侧2米，右侧5米，工位，分别需要2个机器人同时操作，工位，只需要1个机器人操作，现要在直线型流水线上设置一个长度为2米的可移动的物料区，供6个机器人取用，要求6个机器人到物料区的距离之和最小，请直接写出距离之和最小值． 【答案】[简单应用] （1） ；（2）；（3）或；[关联应用] （1）；（2）；[实际应用] 【分析】本题主要考查了数轴上的距离计算、绝对值的应用，熟练掌握点到线段距离的定义以及绝对值的性质是解题的关键． [简单应用] （1）根据两点之间的距离公式即可解答； （2）利用题中定义即可解答； （3）分类讨论，即点在左边或点在右边 [关联应用] （1）根据两点之间距离公式即可解答； （2）求出每个因式的最小值，即可得到的取值范围，求得最大值即可； [实际应用]由题意可得得落在间才会得到距离之和，再计算即可． 【详解】[简单应用] （1）解：数轴上表示2和5的两点距离为； （2）利用题中定义可得点与线段的距离为； （3）当点在左边时， ，解得； 当点在右边时， ，解得， 综上，或； 故答案为：；；或； [关联应用]（1）解： 表示到的距离加上到的距离， 当时，到的距离加上到的距离最小，最小值为， 故的最小值为， 故答案为：； （2）根据（1）可得在时，取最小值为， 在时，取最小值为， 在时，取最小值为， ， ，，， ，，， 的最大值为； [实际应用] 解：设点为原点，则可得，，，表示的数分别为， 由题意可得在之间时，距离最小， 设表示的数为，则表示的数为， 当时，，此时6个机器人到物料区的距离之和为： ， 当时，，此时6个机器人到物料区的距离之和为： ， 则6个机器人到物料区的距离之和为， 即， 在时，取最小值， 在时，取最小值， 的最小值为， 综上，距离之和最小值为． 12．如图，有理数，分别对应数轴上的点，，且，满足． (1)直接写出，的值：______；______； (2)若动点，分别从，同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，以每秒2个单位的长度的速度沿数轴向右运动，当，相遇时停止运动，当为何值时，； (3)我们规定，若在线段上存在满足，则我们称点是线段的一个分点．点从线段上的2分点出发，以每秒1个单位长度在数轴上按以下规律往返运动：第一回合，从点到点，再从点到点回到点；第二回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点；第三回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点，如此循环下去，若第秒时满足，求的最大值． 【答案】(1)； (2)当或时， (3)的最大值为秒 【分析】（1）根据平方的非负性，和绝对值的非负性，得到，，即可求解， （2）用含的代数式表示出，，代入，分，两种情况，即可求解， （3）先求出点对应的有理数，化简，求出等式成立时，对应的点的位置，找到点的运动规律，求出点最后一次经过该位置的时间，即可求解， 本题考查了数轴上的动点，解题的关键是：通过讨论化简等量关系式求解，找到运动规律． 【详解】（1）解：∵， ∴，，解得：，， 故答案为：；， （2）解：设有理数，分别对应数轴上的点，， 则：，， ∴，， ∵两球相遇时停止运动， ∴，解得：， ∴， 当时，由，可得：，解得：， 当时，由，可得：，解得：， 故答案为：当或时，， （3）解：∵点是线段上的2分点， ∴， ∵， ∴点对应的有理数， ∵，即：， ∵点一直在的左侧， ，， ∴，即：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 根据题意得： 、、、、…所对应的数为：、、、…， 、、、、…所对应的数为：、、、、…， 第三回合，点从回到点的过程中，最后一次经过点， 第一回合用时：（秒）， 第二回合用时：（秒）， 第三回合，点从点到用时：（秒）， 点从点到用时：（秒）， 点从点到点用时：（秒）， 故总用时（秒）， 故答案为：的最大值为秒． 13．如图，在数轴上点表示数，点示数，点表示数，的相反数是，且、满足．地 城 类型03 动点存在性问题 (1)________；________；________； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；若数轴上有一点为线段的三等分点（点在线段内），则点表示的数是________； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)，或 (3)存在， 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴动点问题． （1）根据绝对值和平方的非负性，相反数，即可求出a，b，c的值； （2）先求出折点为，即可求出与点A重合的数，由三等分点的定义得出或，即可求出点D表示的数； （3）根据题意得出点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，即可得出，，进而得出，即可解答． 【详解】（1）解：，，， ，， 的相反数为， ， 故答案为：，，； （2）解：与重合，即，重合， 折点为， 与点重合的点是， 由三等分点得或， ∴表示的数为或． 故答案为：；或； （3）解：存在， ∵点表示的数是，向左的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，， 为定值， 的值与无关， ， ∴． 14．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画了一条数轴，然后进行了实践探究： (1)折叠纸条，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． (2)在数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示的点重合．此时A，B两点也重合，则点A表示的数是___________． (3)定义：P，Q为数轴上任意两点，若折叠纸条使点P，Q重合，折痕与数轴的交点为点M，则称点M为点P和点Q的“叠点”． 点C，D，O在数轴上，点C是数轴上最大的负整数点，点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7．折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”．若存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，．求点F到“叠点”E的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数与数轴；熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键． （1）利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可； （2）①利用中点坐标公式求出折痕点，设A点表示的数是x，则B点表示的数是，根据中点坐标公式求出x，即可求解； （3）根据题意分别求得表示的数，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵1表示的点和表示的点重合， ∴折叠点对应的数是0， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：∵表示的点和表示的点重合， ∴折叠的点表示的数是， 设点表示的数是，则B点表示的数是， ∴， 解得， ∴点A表示的数， 故答案为：； （3）解：∵点C是数轴上最大的负整数点， ∴点C表示的数是， ∵点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7， ∴点D表示的数是， ∵折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”． ∴点E表示的数是； ∵存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，． ∴，即点F表示的数是， ∴点F到“叠点”E的距离为． 15．先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上，两数所对的点，之间的距离，记作，如的几何意义：表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，几何意义可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为____________；如果，求出的值； (2)探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)，或 (2)存在，最小值是7 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离以及绝对值的意义． （1）根据两点间的距离公式直接表示出来，然后再根据绝对值的意义求出x即可． （2）分三种情况，当时，当时和当时，按照绝对值的意义求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 解得：或者．， 故答案为： （2）存在，最小值是7 理由如下： 当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴存在最小值，最小值为7． 16．【知识准备】 若数轴上点对应的数为x，点对应的数为y，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． (1)在一条数轴上，O为原点，点对应的数为5，点对应的数为，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 (2)在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 (3)若数轴上点对应的数为x，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，是否存在使为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)17 (3)当时，，理由见解析 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）根据中点公式进行求解即可； （2）首先依题意求出点P和点Q所表示的数，然后根据的中点公式得，由此解出t即可； （3）根据题意得出点表示的数为，点表示的数为，然后表示出，再根据绝对值的意义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点对应的数为5，点对应的数为， ∴的中点所对应的数为， 故答案为：． （2）解：由题意得，点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， 解得， ∴为17时，的中点所对应的数为10． （3）解：存在，当时，，理由如下： 根据题意，五等分点公式为：，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴， ∴表示数到数10和之间的距离之和， ∴当时，． 17．如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒．    (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为______，点与点的中点为，则点表示的数为______；运动秒后，点表示的数为______（用含的式子表示）； (2)若秒钟过后，点是线段的中点，求值； (3)当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，3，； (2)； (3)，理由见详解； 【分析】（1）本题考查数轴上两点间距离及动点问题，根据数轴上两点间距离等于两数之差的绝对值直接求解即可得到答案； （2）本题考查数轴上两点间距离及动点问题，根据中点列式求解即可得到答案； （3）本题考查整式化简无关型问题，根据动点及距离问题列式，结合定值即与t无关求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵运动前点表示数，点表示数1， ∴， ∵点表示数9， ∴， ∵点与点的中点为， ∴点代表的数据是：， ∵点A以每秒2个单位长度速度运动， ∴点表示的数为：， 故答案为：4，3，； （2）解：点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动， ∴点表示的数字是：，点表示的数字是：， 当点是线段的中点时， ， 解得：； （3）解：存在，当时的值为定值，理由如下， ∵点在点右侧， ∴，即：， ， 当时，即：，， ∴当时的值为定值． 18．数轴上点A、B分别表示数a、b，A、B两点之间的距离记作或，有或．如图，数轴上点分别表示数、10．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左移动，设移动的时间是t秒． (1)填空： ； (2)若，求t的值； (3)在点P、Q出发的同时，点T从点O出发，以每秒5个单位长度的速度向右移动，是否存在常数k，使的值与t无关？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)15 (2)2或4 (3)存在，或3 【分析】本题考查数轴上两点间距离，数轴上动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示动点所表示的数． （1）由点、分别表示数、，得； （2）表示的数为表示的数为，故，可解得的值为2或4； （3）表示的数为表示的数为表示的数为，分为当，即时，当，即时，分别计算即可． 【详解】（1）∵点、分别表示数、， ∴， 故答案为：15； （2）表示的数为表示的数为， ∵， ， 解得或； ∴的值为2或4； （3）存在常数，使的值与无关，理由如下： 表示的数为表示的数为表示的数为， 当，即时， ， ∴当， 即时，的值与无关； 当，即时，， ∴当，即时， 的值与无关． 综上，或3． 【点睛】 19．已知：是关于x的二次多项式，且a、b、c满足．a、b、c所对应的点分别为A、B、C．地 城 类型04 折线数轴动点 (1)则_____________，_____________，_____________． (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．设运动时间为1秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们称A，C两点在折线数轴上的路程为三段的和．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒． ①当时，点P和点O在折线数轴上相距_____________个单位长度；当时，点P和点O在折线数轴上相距_____________个单位长度；当时，点P和点Q在折线数轴上相距_____________个单位长度． ②当t为多少时P，Q两点相遇？相遇点M所表示的数是多少？ ③在动点P改变速度前的某一时刻，P，O两点在数轴上的距离与Q，B两点在数轴上的距离相等．求出此时t的值． 【答案】(1)，， (2)的值不随着时间t的变化而改变，其值是； (3)①4，2.5，5；②当t为11.5时P，Q两点相遇，相遇点M所表示的数是；③t的值是2 【分析】（1）根据多项式的定义求得a，再根据非负数的性质即可求得b、c； （2）根据数轴表示数的意义，用含有t的代数式表示AB、BC，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （3）①由路程、速度、时间三者关系，数轴上两点之间的距离与有理数的关系求出对应数和距离； ②由路程、速度、时间三者关系求出P、Q两点相遇的时间为11.5秒，确定相遇点M对应的数是6.5； ③由路程、速度、时间三者关系，根据求出t的值． 【详解】（1）解：∵是关于x的二次多项式， ∴， ∴， ∵，即， ∴且， ∴，， 故答案为：，，； （2）解：的值不随着时间t的变化而改变，其值是，理由如下： ∵点A都以每秒1个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动， ∴点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，． ； （3）解：①∵当时，， ∴点P和点O在折线数轴上相距个单位长度； ∵当时，， ∴点P和点O在折线数轴上相距个单位长度； ∵当时，，， ∴点P和点Q在折线数轴上相距个单位长度． 故答案为：4，2.5，5； ②依题意得：， 解得：， 故当t为11.5时P，Q两点相遇，相遇点M所表示的数是； ③依题意得：， 解得：． 故t的值是2． 【点睛】本题综合考查了多项式的定义，非负数的性质，数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用． 20．如下图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问： (1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒； (2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？ (3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数． 【答案】(1)2.5 (2)15 (3) 【分析】（1）求出BC长度，“下坡路段”速度是4个单位/秒，即得动点Q从点C运动到点B的时间； （2）先求出AB，BC，CD的长度，再根据“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，即得动点P从点A运动至D点需要的时间； （3）设运动时间为秒，分四种情况：①当0≤t≤2，②当2＜t≤3，③当3<t<4.5，④当4.5＜t≤7.5，列方程求出t． 【详解】（1）∵点B表示的数为-1，点C表示的数为9， ∴BC=1-(-9)=10(个单位)， ∵“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍，“水平路线”速度是2个单位/秒， ∴“下坡路段”速度是4个单位/秒， ∴动点Q从点C运动到点B需要的时间为10÷4=2.5(秒)； （2）根据题意知：AB=|-7-(-1)|=6(个单位)，BC=1-(-9)=10(个单位)，CD=13-9=4(个单位)， ∴“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半， ∴动点P从点A运动至D点需要的时间为 6÷2+10÷+4÷2=3+10+2=15(秒)； （3）设运动时间为t秒， ①当0≤t≤2，即P在AB上，Q在CD上，显然P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度不会相等； ②当2＜t≤3，即P在AB上，Q在CB上时，P表示的数是-7+2t，Q表示的数是9-4(t-2)， ∴0-(-7+2t)=9-4(t-2)-0， 解得t=5， 此时P已不在AB上，不符合题意，这种情况不存在； ③当3<t<4.5，即P在BC上，Q在CB上时，P表示的数是-1+(t-3)=t-4，Q表示的数是9-4(t-2)=17-4t， ∴|t-4|=|17-4t|， 解得t=或t=， ∴P表示的数是或； ④当4.5＜t≤7.5，即P在BC上，Q在AB上时，P表示的数是t-4，Q表示的数是-1-2(t-4.5)=8-2t， ∴t-4-0=0-(8-2t)， 解得t=4(不合题意，舍去)， 综上所述，当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，动点P在数轴上所对应的数是或． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示动点表示的数，根据运动过程分类讨论． 21．如图，已知数轴上点与点相距个单位长度，点在原点的右侧，到原点的距离为个单位长度，点在点的左侧，点表示的数与点表示的数互为相反数． (1)点表示的数为__________，点表示的数为__________，点表示的数为__________． (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左移动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当点到达点后，运动停止．设移动时间为秒，在点运动过程中， ①请求出点运动几秒后与点相遇？ ②两点之间的距离能否为个单位？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． (3)点在数轴上，，将图的数轴在点处各折一下，得到图的“折线数轴”，点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，同时点从点出发沿着“折线数轴”向点运动，点的初始速度分别是个单位长度秒和个单位长度秒，点运动到折线时速度才会发生变化，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度倍，离开折线后速度恢复为初始速度．当点和点相遇时，直接写出此时点表示的数． 【答案】(1)，， (2)①秒；②或 (3) 【分析】（）根据题意解答即可； （）①移动秒，点表示的数为，点表示的数为，进而根据题意列出方程即可求解；②由题意可得点到达点需要的时间为秒，当两点之间的距离为个单位时，可得，解方程即可求解； （）由题意可得，即可得点到达点的时间为秒，到达点的时间为秒； 点到达点的时间为秒，到达点的时间为秒，即得到点和点在线段上相遇，设点表示的数为，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了数轴与有理数，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在原点的右侧，到原点的距离为个单位长度， ∴点表示的数为， ∵点与点相距个单位长度，点在点的左侧， ∴点表示的数为， ∵点表示的数与点表示的数互为相反数， ∴点表示的数为， 故答案为：，，； （2）解：①移动秒，点表示的数为，点表示的数为， 当点与点相遇时，， 解得， 答：点运动秒后与点相遇； ②两点之间的距离能为个单位． 点到达点需要的时间为秒， 当两点之间的距离为个单位时，则， 整理得， 解得或，符合题意， 当时，点表示的数为； 当时，点表示的数为； 综上，两点之间的距离能为个单位，此时点表示的数为或； （3）解：∵点表示的数为, ∴， ∵折叠后，， ∴， 由题意可得，点到达点的时间为秒，到达点的时间为秒； 点到达点的时间为，到达点的时间为秒， ∴点和点在线段上相遇， 设点表示的数为，则， 解得， ∴此时点表示的数为． 22．如图，已知点在数轴上对应的数分别是，其中分别为单项式的系数和次数，为的中点． (1)填空：___________，___________，___________； (2)如图，若点分别同时以每秒个单位长度、个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为．若的值始终保持不变，求的值； (3)如图，将数轴在原点，点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发，始终以每秒个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点．点出发的同时，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若两点在点处相遇，请直接写出点表示的数． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了单项式的有关概念，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （）根据单项式的系数和次数的定义、中点坐标公式解答即可求解； （）由题意可得，经过秒后，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，即得，，即得到，进而可得，解方程即可求解； （）由题意可得点从点到点的时间为秒，到点的时间为秒；点从点到点的时间为秒，到点的时间为秒，即得到两点在段相遇，即点在线段上，设点表示的数，根据题意列出方程即可求解； 【详解】（1）解：∵分别为单项式的系数和次数， ∴，， ∴点对应的数是，点对应的数是， ∵为的中点， ∴， 故答案为：，，； （2）解：由题意可得，经过秒后，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ∴，， ∴， ∵的值始终保持不变， ∴， 解得； （3）解：∵点在数轴上对应的数分别是， ∴，，，， ∴点从点到点的时间为秒，到点的时间为秒； 点从点到点的时间为秒，到点的时间为秒， ∴两点在段相遇，即点在线段上， 设点表示的数， 由题意得，， 解得， ∴点表示的数为． 23．已知，且a、b、c满足所对应的点分别为A、B、C． (1)则__________，__________． (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．设运动时间为秒，请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段三段距离的和称为A、C两点间的路程，动点从点出发，以2个单位长度／秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点从点出发的同时，点从点出发，以1个单位长度／秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度／秒的速度运动．当点到达点时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为10个单位．求出此时的值． 【答案】(1)10，18 (2)的值不会随着时间的变化而改变，为 (3)当时，、两点在“折线数轴”上的路程为 10个单位 【分析】（1）根据非负数的性质即可求得、； （2）根据数轴表示数的意义，用含有的代数式表示，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （3）设点运动的路程为，根据题意得：当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，设点运动的路程为，根据题意得：当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：已知， ， ， 故答案为： 10，18 ； （2）解：由（1）可知，， 设运动时间为秒， 则， ， ∴的值不会随着时间的变化而改变，为； （3）解：由（1）可知，， ， 设点运动的路程为， 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 设点运动的路程为， 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， ∵、两点在“折线数轴”上的路程为 10个单位， 即， 情况1：， ， ， 则或， 解得：，舍去； 情况， ， ， 则或， 解得：（符合），（舍去）； 情况3：， ， ， 即或， 解得（舍去），（舍去）， 情况4：， ， ， 即或， 解得（舍去），（符合）， 综上，当时，、两点在“折线数轴”上的路程为 10个单位． 【点睛】本题综合考查了两点之间的距离，非负数的性质，数轴，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． 24．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在数轴上相距个长度单位．动点从点出发，始终以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向终点运动，同时，动点从原点出发，也沿着“折线数轴”的正方向朝终点运动，点在线段以单位/秒的速度运动，在段以单位/秒的速度运动，设运动时间为秒．问： (1)动点、谁先到达终点？请通过计算说明． (2)、两点第一次相遇时，求出相遇点所对应的数是多少？ (3)当为______时，、两点在数轴上相距的长度为个单位？ 【答案】(1)动点先到达终点，理由见解析 (2) (3)或或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，解一元一次方程，根据题意列方程求解是解题的关键． （1）分别求出到达所用时间，再比较即可得到答案； （2）根据题意得到、两点在段第一次相遇，列方程求解即可； （3）根据题意分情况讨论计算即可． 【详解】（1）解：动点的运动时间为秒， 动点的运动时间为秒， ， 动点先到达终点； （2）解:秒， ， 、两点在段第一次相遇， 根据题意得， 解得， ， 相遇点所对应的数是； （3）解：由（2）知秒时，第一次相遇， 则有， 解得； 当到达点时，运动了个单位，此时超过个单位，则在到达之前有一次相距个单位且在前面， 则， 解得； 在过追上之前又有一次相距个单位， 则， 解得； 假设超过之后又有一次相距个单位， 则有， 解得（不符合题意，舍去）， 综上所述，当为或或时，、两点在数轴上相距的长度为个单位， 故答案为：或或 25．已知，，三点在数轴上所对应的数分别为，，18，且，满足．，动点从点出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点从点出发，以1单位/秒的速度向左运动．线段为“变速区”，规则为：从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒．地 城 类型05 动点变速问题 (1)______，______，______； (2)动点从点运动至点时，求的值； (3)、两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数． 【答案】(1)，10，28 (2)19 (3) 【分析】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，以及一元一次方程的应用，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键． （1）根据平方和绝对值的非负性计算即可求出a和b的值，再根据两点间的距离公式即可求出的长度； （2）分别求出和的距离，再根据“时间=路程÷速度”计算即可得出答案； （3）设P点在数轴上所对应的数为y，根据题意列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵．， ∴． ∵点C表示的数是18， ∴． 故答案为：，10，28； （2）解：∵ ∴ ∴动点从点运动至点时，； （3）解：设两点在点相遇，点在数轴上所对应的数为． ∵N运动到B时需秒，此时M运动到， ∴点落在线段段，依题意有∶ 解得∶ ∴两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数为． 26．已知点、、、在数轴上，它们表示的数分别为，且满足，点在点的右侧且到点的距离12个单位长度，点表示的数是14． (1)_______，________， _______； (2)动点从点出发以4个单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位/秒速度向左运动． ①当点到达点后停留6秒后再以原来的速度向左运动，假设运动时间为秒．当、两点相距8个单位时，求的值； ②我们规定、两点之间为“变速区”，规则为动点从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，动点从点运动到点期间速度变为原来的3倍，之后也立刻恢复原速，当点到达点时停止运动，点也随之停止运动，当为何值时，、两点的距离是24？ 【答案】(1)；； (2)①或12或或；②或 【分析】（1）根据非负数的性质可求出a、b的值，再根据数轴上两点距离计算公式可得c的值，进而可求出的长； （2）①分当点P从点A运动到点C的过程中，且P、Q没有相遇时，点P与点Q相距8个单位，当点P从点A运动到点C的过程中，且P、Q相遇后，点P与点Q相距8个单位，当点P在点C停留时，点P与点Q相距8个单位，当点P从点C向左运动，且P、Q没有相遇时，点P与点Q相距8个单位和当点P从点C向左运动，且P、Q相遇后，点P与点Q相距8个单位，5种情况分别建立方程求解即可；②可求出点P从点A运动到点B的时间需要6秒，点Q从点D运动到点C的时间需要6秒，再分当点P从点A向右运动，且没有经过点B时和当点P和点Q都运动出变速区时，两种情况分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵点在点的右侧且到点的距离12个单位长度， ∴， ∴； （2）解：①秒， ∴点P从点A运动到点C需要9秒， 当点P从点A运动到点C的过程中，且P、Q没有相遇时，点P与点Q相距8个单位，则， 解得； 当点P从点A运动到点C的过程中，且P、Q相遇后，点P与点Q相距8个单位，则， 解得（舍去）； 当点P在点C停留时，点P与点Q相距8个单位，则， 解得； 当点P从点C向左运动，且P、Q没有相遇时，点P与点Q相距8个单位，则， 解得； 当点P从点C向左运动，且P、Q相遇后，点P与点Q相距8个单位，则， 解得； 综上所述，t的值为或12或或． ②秒，秒 ∴点P从点A运动到点B的时间需要6秒，点Q从点D运动到点C的时间需要6秒 当点P从点A向右运动，且没有经过点B时，若P、Q两点的距离是24，则， 解得； 点P运动出变速区需要的时间为秒，点Q运动出变速区需要的时间为秒， 当点P和点Q都运动出变速区时，若P、Q两点的距离是24，则， 解得； 综上所述，t的值为或． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，非负数的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 27．已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，试回答以下问题： (1)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (2)如图： 当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4 (2)12或25 【分析】本题主要是考查了数轴上两点间的距离，数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路． （1）当点P运动了t秒时，可立即求得的长度、点P表示的有理数，则可的长度，设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等，由（2）知，得到关于t的方程，解方程即可； （2）先求出P、Q两点在不同段的运动时间，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，利用距离相等关系，列出关于t的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：当点P运动了t秒时，，点P表示的有理数为， 设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等， 则得：， 解得：， 此时点P表示的有理数为； 即经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4； （2）解：点P在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动的时间为（秒）；点Q在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动时间为（秒）； ①当时，如图，则P在线段上，表示的数为；Q在线段上，表示的数为， 由题意得：， 解得：， 不合题意，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当时，如图，P都在线段上，P表示的数为，Q在线段上，表示的数为， 则，方程无解， 此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ③当时，如图，P、Q都在线段上， 两点重合，P、Q两点到点B的距离相等； 此时P表示的数为，Q表示的数为， 所以， 得； 符合题意，即存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当时，如图，P仍在线段上，点Q在线段上， 此时点Q在点O的左侧，点P在点O的右侧，同在点B的左侧，且，所以P、Q两点到点B的距离不可能相等； ⑤当时，如图，P在射线上，Q在射线上，P表示的数为，Q表示的数是， 所以，解得； 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为12秒或25秒， 故答案为：12或25． 28．已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题： (1)当点P运动5秒时，______，______，______． (2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离： ______，______，______． (3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (4)如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，11，22 (2) (3)经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4 (4)12或25 【分析】（1）可立即求得的长度、点P表示的有理数，则可求得的长度； （2）当点P运动了t秒时，可立即求得的长度、点P表示的有理数，则可的长度； （3）设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等，由（2）知，得到关于t的方程，解方程即可； （4）先求出P、Q两点在不同段的运动时间，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，利用距离相等关系，列出关于t的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，点P运动了10个单位长度， 则，点P表示的有理数为， ； 故答案为：，11，22； （2）解：当点P运动了t秒时，，点P表示的有理数为， ∴； 故答案为：； （3）解：设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等， 则得：， 解得：， 此时点P表示的有理数为； 即经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4； （4）解：点P在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动的时间为（秒）；点Q在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动时间为（秒）； ①当时，如图，则P在线段上，表示的数为；Q在线段上，表示的数为， 由题意得：， 解得：， 不合题意，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当时，如图，P都在线段上，P表示的数为，Q在线段上，表示的数为， 则，方程无解， 此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ③当时，如图，P、Q都在线段上， 两点重合，P、Q两点到点B的距离相等； 此时P表示的数为，Q表示的数为， 所以， 得； 符合题意，即不存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当时，如图，P仍在线段上，点Q在线段上， 此时点Q在点O的左侧，点P在点O的右侧，同在点B的左侧，且，所以P、Q两点到点B的距离不可能相等； ⑤当时，如图，P在射线上，Q在射线上，P表示的数为，Q表示的数是， 所以，解得； 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为12秒或25秒， 故答案为：12或25． 【点睛】本题主要是考查了数轴上两点间的距离，数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路． 29．如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为． (1)求点与点之间的距离； (2)当为何值时，，并求出此时点表示的数； (3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或，点表示的数为或 (3) 【分析】（）根据点表示的数为， 得，即得，进而可得点表示的数为，再根据两点间距离公式计算即可； （）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的 数为， 进而可得，解方程即可求解； （）由得，即得当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示 的数为，点表示的数为，得到，即可得，据此即可求解； 本题考查了数轴上的动点问题，两点间距离公式，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∵点在原点的两侧， ∴点表示的数为， ∴ ； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得，， 即或， 解得或， 当时，； 当时，； 答：当的值为或时，，此时点表示的数为或； （3）解：若，则， 当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵点变速后，若线段的长度始终是一个定值， ∴， ∴． 30．如图，在数轴上，表示原点，、表示的数是方程的解，其中点在点右侧． (1)若点与、的距离相等，则点表示的数是_______； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点、点运动时间为秒，求为何值时，、间的距离为个单位长度； (3)在（2）的条件下，在、开始运动时，同时动点从原点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，求当为何值时，点与点、的距离相等，并直接写出此时点所表示的数． 【答案】(1) (2) (3)，表示的数为或，表示的数为 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先算出、表示的数，再利用数轴上两点的中点公式即可得出答案； （2）根据数轴上两点之间的距离公式，结合题意列方程即可； （3）根据数轴上两点之间的距离公式，结合题意分两种情况列方程即可． 【详解】（1）解：， 或． 又、表示的数是方程的解，其中点在点右侧， 点表示的数为，点表示的数为． 点与、的距离相等， 点表示的数为：． 故答案为：． （2）解：由题意得， 运动后点表示的数为：，运动后点表示的数为：， ， 即， 解得，或（不符合题意，舍去）， 即当时，、间的距离为个单位长度． （3）解：由题意得，运动后点表示的数为：． 点与点、的距离相等， ， 即， 分两种情况： 当时， 解得，， 此时，点表示的数为：； 当时， 解得，， 此时，点表示的数为：． 综上，，表示的数为或，表示的数为． 31．已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数，，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒．地 城 类型06 折返问题 (1)用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：_________，_________． (2)点点运动_________秒后到点B距离为5个单位． (3)当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回点A，当点Q开始运动后，点Q随点P到达终点时而停止运动．请直接写出用t的代数式表示P、Q两点间的距离．（友情提醒：注意考虑P、Q的位置） 【答案】(1)t，； (2)11或21 (3)当时；当时；当时；当时 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，列代数式，整式的加减计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）求出运动t秒点P表示的数，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）用含t的式子表示出线段的长，再根据题意建立方程求解即可； （3）先求出点P运动到点B和点C的时间，点Q运动到点C的时间，求出当点Q从点A向点C运动，且点Q追上点P时和当点Q从点C向点A运动，且点Q与点P相遇时的时间，再根据数轴上两点之间的距离计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，运动t秒点P表示的数为， ∴，； （2）解：由（1）可得， ∵点P到点B的距离为5， ∴， ∴或， 解得或， ∴点P运动11秒或21后到点B距离为5个单位 （3）解：秒，秒，秒， ∴点P运动到点B的时间为16秒，点P运动到点C的时间为36秒，点Q运动到点C的时间为12秒， 当点Q从点A向点C运动，且点Q追上点P时，则， 解得， ∴当时，； 当时，； 当点Q从点C向点A运动，且点Q与点P相遇时，则， 解得， ∴当时，； 当时，； 综上所述，当时；当时；当时；当时． 32．如图所示，点，，在一条不完整的数轴上，其中，． (1)设点，，所对应的数的和为．若点为原点，计算的值；若点为原点，的值又是多少？ (2)若以为原点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，运动到点后，立即按原速度返回至点后，停止运动．设运动时间为秒． ①当时，的长是多少？点表示的有理数是什么？ ②当点运动到点和点的正中间这一点时，点对应的有理数是 ，此时 ． 【答案】(1)若点为原点，；若点为原点，； (2)①；点表示的有理数是；②6；6或18． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题． （1）先求出，分别求出点为原点、点为原点时点，，所对应的数，进而相加即可； （2）①直接求出时，的值，进而根据点在，之间作答即可； ②求出的值，即可得到点对应的有理数；分两种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 若点为原点， 则点表示0，点表示，点表示， 则； 若点为原点， 则点表示，点表示，点表示， 则； （2）解：由（1）可知，以为原点，则点表示，点表示，点表示， ①解：∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动， ∴当时， ∵， ∴点在，之间， ∴， 即点表示的有理数是； ②解：∵点运动到点和点的正中间这一点， ∴， ∴， 即点对应的有理数是； 点运动到点前，，解得：； 点运动到点后，，解得：． 故答案为：6；6或18． 33．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离表示为． 【综合运用】已知点A，B，C为数轴上三个点，表示的数分别是，14，8．    (1)点与点的距离是__________； (2)若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为秒． ①用含的式子表示：秒后，点表示的数为_______； ②当时，求的值． (3)在（2）的条件下，P，Q出发的同时，动点从点出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点追上点后立即返回沿数轴负方向运动．求点追上点后再经过几秒，？ 【答案】(1)24 (2)①；②或5 (3)秒或秒 【分析】（1）根据点A，B表示的数分别是，14和A，B两点之间的距离公式即可解答； （2）①根据题意直接列出代数式即可；②由，结合两点间的距离公式即可得到关于的方程，求解即可； （3）点未追上点时，表示出点表示的数，根据点追上点时，点，表示的数相同，可求出运动的时间和此时点表示的数，从而可求出点返回沿负方向运动时所表示的数，根据两点间的距离公式，根据可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：点A，B表示的数分别是，14， 点与点的距离是， 故答案为：； （2）解：①动点从点出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度， 秒后，点表示的数为； ②当时，， ，解得或5． （3）解：点未追上点时，点表示的数为， 当点追上点时，，解得， 即当它们运动2秒时，点追上点， 此时点M、Q表示的数为，P表示的数为， 点追上点后立即返回沿数轴负方向运动，设从这一刻开始运动时间为， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ， 当时，，， 解得或， 点追上点后再经过秒或秒，． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，列代数式，数轴上两点间的距离，一元一次方程解决实际问题，掌握绝对值的几何意义，熟练运用方程思想是解题的关键． 34．如图，点、是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是，且、满足，点为原点，点在数轴上，两点之间，且． (1)填空：_____；_____；点所对应的数是_____； (2)若动点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，同时，另一个动点从点出发，以每秒1个单位的速度向右运动．当点在点左侧时，经过几秒满足？ (3)在（2）条件下，动点也同时从点出发，以每秒4个单位的速度向左运动，与动点相遇后立即返回；以每秒3个单位的速度向右运动，与动点相遇后停止运动，则整个运动过程结束．在运动过程中，设点的运动时间记为（秒），当时，请求出满足条件的的值． 【答案】(1)，， (2)当点在点左侧时，经过秒满足 (3)当时，满足条件的的值为或或 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，利用数轴上的点表示有理数，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据非负数的性质计算即可得出，的值，从而得出点表示的数，再结合题意即可得出点表示的数； （2）设经过秒满足，则点表示的数为，点表示的数为，由点在点左侧，求出，再结合，列出关于的一元一次方程，解方程即可得解； （3）由题意可得点表示的数为，点表示的数为，动点与动点相遇前表示的数为，求出动点与动点相遇时间为，当时，，，根据，列出方程求解即可；求出动点与动点相遇时表示的数为，得到动点与动点相遇后表示的数为，再当动点与动点相遇时间为，当时，，，再根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴点表示的数是，点表示的数是， ∵点为原点，点在数轴上，两点之间，且， ∴点所对应的数是； （2）解：设经过秒满足， ∵动点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，同时，另一个动点从点出发，以每秒1个单位的速度向右运动， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵点在点左侧， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故当点在点左侧时，经过秒满足； （3）解：由题意可得：点表示的数为，点表示的数为，动点与动点相遇前表示的数为， 动点与动点相遇时，， 解得， 当时，，， ∵， ∴， 解得：或； 动点与动点相遇时表示的数为， 动点与动点相遇后表示的数为， 当动点与动点相遇时，， 解得：， 故当时，，， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，当时，满足条件的的值为或或． 35．如图，已知数轴上点表示的数为，所表示的数为，且满足，点所表示的数为18． (1)的值为_____，的值为_____； (2)动点从点出发，往数轴右边以每秒10个单位的速度运动，动点从点往数轴右边以每秒2个单位的速度运动． ①点运动到点需要_____秒，点运动到点需要_____秒． ②在运动过程中点所表示的数为，且的值为12，求的值． ③若点到达点后，立即以同样的速度返回，点到达点后，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当，之间的距离为2时，求的值． 【答案】(1)；8 (2)①3；5；②7或19；③或或或 【分析】本题考查了数轴、非负数的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可求解； （2）①利用公式：时间路程速度即可求解； ②分3种情况讨论：当时；当时；当时，根据题意列出方程，即可求出的值； ③分2种情况讨论：当时；当时，根据题意列出方程，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：；8； （2）解：①点运动到点需要（秒）， 点运动到点需要（秒）， 故答案为：3；5； ②当时，，， ∵， ∴， 解得； 当时，，， ∴，不符合题意，舍去； 当时，，， ∵， ∴， 解得； ∴综上所述，的值为7或19； ③当时，点所表示的数为，点所表示的数为， ∴， ∵，之间的距离为2， ∴， 解得或； 当时，点所表示的数为，点所表示的数为， ∴， ∵，之间的距离为2， ∴， 解得或； ∴综上，的值为或或或． 36．如图所示，，两点在数轴上分别表示有理数a，b，且，点O为原点，点C在数轴上且位于O，B两点之间，满足 (1)直接写出______，______，点C所对应的数是______； (2)动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒． ①若，求t的值； ②若动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，与点Q相遇后，动点M立即以同样的速度返回，当t为何值时，点M恰好是线段的中点． 【答案】(1)，18，4； (2)①或；②当或时，点M恰好是线段的中点． 【分析】本题考查了绝对值的非负性，数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，要学会列出正确的方程，关键是分类讨论解决问题． （1）依据绝对值的非负性求出a，b，设点C所对应的数为x，，那么有，然后代入a，b，求出x即可； （2）①依题意，t秒后，点对应的数是，，，然后代入，解得答案即可；②t秒后，由于动点M要返回，所以本题分两种情况讨论，第一种：，此时动点M还未返回，点M处于P，Q之间；第二种：当时，此时动点M遇到Q点后返回，动点M在时相遇，并返回，此时动点M所在位置表示的数是，根据条件列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ，点C在数轴上O，B两点之间， 设点C所对应的数为x， ， ，解得：， 故答案为：，18，4； （2）解：①动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒． t秒后，点对应的数是，， ， ，， ， 解得：或； ②，动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动， 和相遇时间为：秒， 动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒．， 、相遇时间为：秒， ，动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动， 动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动， 、相遇时间为：秒， 当时，此时动点M还未返回，点M处于P，Q之间， 此时，P点对应的数是：，Q点对应的数是：，M点对应的数是：， ，， 点M恰好为的中点， ， ， 解得：， 和在时相遇，并返回， 此时动点M所在位置表示的数是， 点对应的数是：， 追上时，即，解得； 时，永远在、的左侧， 当时，此时动点M遇到Q点后返回， 点对应的数是：，Q点对应的数是：， ，， 点M恰好为的中点， ， ， 解得：， 综上所述，当或时，点M恰好是线段的中点． 37．如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题：地 城 类型07 多动点问题（三点及以上） 如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足与互为相反数． (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与表示数 的点重合； (3)如果点P表示的数为x，当时， ； (4)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒钟．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，，5 (2)3 (3)1或 (4)不变，其值为 【分析】本题考查了绝对值与平方数的非负性，数轴上两点间的距离，数轴的折叠问题及点在数轴上的运动问题． （1）根据满足与互为相反数求得的值，再根据是最大的负整数求得的值即可； （2）当数轴折叠，点与点重合时，折叠点即为、的中点，从而表示中点的数，点表示的数已知，到中点的数可根据中点公式求解出即可； （3）先表示出，再列出方程求解即可． （4）先表示出秒后各点的位置，再分别求得的代数式，并最后求出的值为定值． 【详解】（1）解：∵满足与互为相反数， ， ， ， ∵是最大的负整数， ， 故答案为：． （2）解：当与5重合时，折叠点是， ∴与点重合的点表示的数为：． 故答案为：3． （3）解：如果点P表示的数为x， 则， 当时，， 解得：或． （4）解：的值不会随着时间的变化而改变， 秒钟后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ， ． 38．【背景材料】 如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，则点到点的距离记为．已知数轴上、两点对应的数分别为、6，点为数轴上一动点． 【初步探究】 （1）若点到点、的距离相等，则点对应的数是__________； 【拓展延伸】 （2）若在数轴上存在一点，点在原点的左侧，点表示的数为，且点到点的距离为3，求点到点的距离； 【问题解决】 （3）若运动前点对应的数是5，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度沿数轴向右运动，当运动时间为秒时，请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】（1）；（2）；（3）的值不变，且的值为． 【分析】此题考查了数轴上两点间的距离，列代数式，整式加减的应用，一元一次方程的应用，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键． （1）设点对应的数是，根据两点间距离列出方程求解即可； （2）根据题意可得，由点到点的距离为3，列出方程求解出的值，再根据两点间距离公式计算即可； （3）根据题意可得得运动后，点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为，再分别用含t的式子表示出与，再计算出的值即可解答． 【详解】解：（1）设点对应的数是，根据题意得， ， 解得， 则点对应的数是， 故答案为：； （2）∵点在原点的左侧， ∴， ∵点到点的距离为3， ∴，即， ∴（舍去）或， ∴点到点的距离为； （3）的值不变，且的值为， 根据题意，得运动后，点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为， 则，， ∴， ∴的值不变，且的值为． 39．如图，点、都在数轴上，为原点，且，两点间的距离，A，B两点间的距离． (1)请直接写出点、表示的数，： ，： ． (2)若点以每秒2个单位长度的速度，点以每秒1个单位长度的速度，同时向左运动，则运动几秒后，两点间的距离？ (3)我们定义：对于数轴上从左到右的三点，如果中间的点与它右边的点的距离恰好是中间的点与它左边的点的距离的3倍，则称中间点是其它两个点的“友好点”．比如，在数轴上点D、O、E分别表示的数为-3、0、9，这三点满足，则称点是点和点的“友好点”． 若点从点出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．三点同时出发，设运动时间为秒．在运动的过程中，当点是点和点的“友好点”时，点和点之间的距离是一个定值．请你求出这个定值． 【答案】(1) 3 (2)或 (3) 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，正确理解题意，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． （1）根据数轴上点的位置和距离得出结果即可； （2）假设运动秒，利用绝对值表示点，两点间的距离，列出绝对值方程，求出时间即可； （3）假运动秒后，点位于，点位于，点位于，根据“友好点”的定义，列出方程，计算求解的值即可． 【详解】（1）解：由于点在数轴的右侧，，两点间的距离， 则点表示的数为3， 点在数轴的左侧，A，B两点间的距离， 则，即点B表示的数为， 故答案为：3，； （2）解：设运动秒后两点相距3，则此时点的位置为，点的位置为， 根据题意得：， 整理得， 解得或； （3）解：当点是点和点的“友好点”时，点在点和点之间，在右边， 根据题意得，运动秒后，点位于，点位于，点位于， 由于， 则， 解得， 因此． 答：的定值为． 40．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点A，B在数轴上分别对应的数为a，b．则A，B两点间的距离表示为． 根据以上知识解题：已知数轴上A，B两点对应的数分别为和9，P为数轴上一点，对应的数为x． (1)P，B两点间的距离可表示为______（用含x的式子表示）； (2)当点P在A，B两点之间且时，点A，B，P同时开始在数轴上分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度、每秒1个单位长度沿数轴正方向运动．设A、B、P三点运动时间为t秒，则运动t秒后点A表示的数为______，点B表示的数为______，点P表示的数为______（用含t的式子表示）； (3)在（2）的条件下，当时，求t的值． 【答案】(1) (2)；； (3)或 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，列代数式，一元一次方程的应用，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式和解含有绝对值符号的一元一次方程的一般步骤． （1）根据数轴上两点距离公式，列出算式即可求解； （2）先根据两点间的距离公式求出点P对应的数，然后根据题意列出代数式，即可求解； （3）根据列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点P为数轴上一点，对应的数为x，B点对应的数为9， ∴P，B两点间的距离可表示为， 故答案为：； （2）解：∵A，B两点对应的数分别为和9，， ∴， 解得， ∴点P对应的数为， ∵点A，B，P同时开始在数轴上分别以每秒3个单位长度，每秒2个单位长度，每秒1个单位长度沿数轴正方向运动， ∴运动t秒后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为， 故答案为：；；； （3）解：依题意得：， ， ， ， 或， 解得或． 41．如图所示，A、B两点在数轴上分别表示有理数a、b，且，O为原点，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点Q同时从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1) ________； ________； (2)当时，P、Q两点间的距离为________； (3)在运动过程中是否存在时间t使A、P两点间的距离与B、Q两点间的距离相等？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (4)若点M同时从点B以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向运动，直接写出t为何值时，P、Q、M三点满足其中一点到另外两点距离相等（任意两点或者三点重合除外）． 【答案】(1) (2)9 (3)存在，或 (4)或或 【分析】本题考查了数轴上的点的移动，两点间的距离，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）列出P、Q两点距离的代数式，代入t运算即可； （3）根据列方程求解即可； （4）分3种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）t秒后点P表示的数是，点Q表示的数是， ， 当时， ． 故答案为：9； （3）当时， ， 解得或； （4）由题意得，t秒后点M表示的数是， 当点M和点Q重合时， ， 解得． 当点M和点P重合时， ， 解得． 当时，即点Q在P、M之间， ， 解得； 当时，即点M在P、Q之间， ， 解得； 当时，即点P在M、Q之间， ， 解得； 综上可知，当或或时，P、Q、M三点满足其中一点到另外两点距离相等． 42．已知是多项式的常数项，是该多项式的次数． (1) ___________； ___________． (2)在（1）的条件下，数轴上，点、分别对应有理数和，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，两点同时出发．当两点间的距离为3个单位长度时，求点表示的数． (3)A，B，C为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的“强国点”、例如：点表示的数为，点表示的数为2，表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，则点是的“强国点”；又比如表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，则点就不是的“强国点”．但点是的“强国点”． 在（1）的条件下，数轴上，点分别对应实数和，现有一动点从原点出发，以每秒1个单位的速度向右运动，到达点时立即掉头，以每秒2个单位的速度向左运动，到达点时停止运动．设点的运动时间为，当为何值时，中恰好有一个点为其余两个点的“强国点”？ 【答案】(1)，3 (2)点表示的数为或； (3)或或或5 【分析】本题考查了多项式的定义，一元一次方程的应用，与数轴等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． （1）根据多项式的定义求解即可； （2）设秒后，点P对应的数为，点Q对应的数为，根据题意得，据此求解即可； （3）分Q从O向N运动；Q从N向M运动讨论，然后根据中恰好有一个点为其余两个点的“强国点”构造关于t的方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵多项式是三次三项式，常数项是， ∴，． 故答案为：，3； （2）解：设秒后，点P对应的数为，点Q对应的数为， 由题意得， 解得或， 当时，， 当时，； 综上，点表示的数为或； （3）解：当时，此时Q从O向N运动，则有， ∴Q是的“强国点”， ∴， 解得； 当时，此时Q从N向M运动， ∵中恰好有一个点为其余两个点的“强国点， ∴或， 解得或． 当Q运动到的中点位置时，N是的强国点， 此时，； 综上，当t的值为或或或5时，中恰好有一个点为其余两个点的“强国点． 43．如图1，数轴上点、对应的数分别是、，且、满足，现有一长度为2的玩具火车从原点出发（点与点重合），以每秒4个单位长度的速度向右运动，设运动时间为．地 城 类型08 线段的运动 (1)直接写出______，______； (2)在整个运动过程中，求的值（用含的式子表示）； (3)如图2，在、处各放置一块挡板、，当点碰到挡板时，玩具火车以原来的速度返回，当点碰到挡板时，也立即以原来的速度返回．当时，若，求的值． 【答案】(1)， (2)当点M在点B左边时，；当点M在点B右边时， (3)的值为或2或7或． 【分析】（1）根据绝对值的非负性求解即可； （2）根据题意分两种情况讨论，分别列式求解即可； （3）首先求出当点N和点B重合时，，当点N和点O重合时，，当点M和点A重合时， ，然后分情况讨论，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴，； （2）当点M在点B左边时，； 当点M在点B右边时，； （3）当时，根据题意得，，， ∴， ∵长度为2的玩具火车从原点出发（点与点重合），以每秒4个单位长度的速度向右运动， ∴当点N和点B重合时，， ∴此时； 当点N和点O重合时，， 当点M和点A重合时， ， ∵， ∴当时，， 解得或； 当时，， 整理得，， 解得或； 当时，， 整理得，， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）， 综上所述，的值为或2或7或． 【点睛】本题考查数轴、数轴上的动点，列代数式，涉及解一元一次方程等知识，掌握数轴上的动点的性质是解题关键． 44．已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，且，满足：． (1)求、的值； (2)①情境：有一个玩具火车如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．则玩具火车的长为 个单位长度； ②应用：如图所示，当火车匀速向右运动时，若火车完全经过点需要秒，则火车的速度为 个单位长度/秒． (3)在（2）的条件下，当火车匀速向右运动，同时点和点从、出发，分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和这个定值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①个单位长度；②个单位长度/秒 (3)存在，， 【分析】（1）根据得，计算即可． （2）①设表示的数为， 表示的数为，小火车的长度为，根据题意，，，建立方程计算即可． ②根据①得，火车完全经过点需要秒，点运动路程为单位长度，利用速度=路程÷时间计算即可． （3）设玩具火车运动的时间为秒，则点运动到点的距离为个单位长度，此时点表示的数是，继而得到，根据题意，得到点表示的数是，点表示的数是，继而表示，代入化简，令的系数为零计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴． （2）①设表示的数为， 表示的数为，小火车的长度为， 根据题意，得，，， ∴， ∴， 解得， 即玩具火车长个单位长度， 故答案为：． ②根据①得，火车完全经过点需要秒， 故点运动路程为单位长度， ∴玩具火车的速度为：（单位长度/秒） 故答案为：． （3）存在，，，理由如下： 设玩具火车运动的时间为秒，则点运动到点的距离为个单位长度，此时点表示的数是， ∴， 根据题意，得到点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∴， ∵常数使得的值与它们的运动时间无关， ∴， 解得， 故， 故当时，常数使得的值与它们的运动时间无关，此时值为． 【点睛】本题考查了数轴的动点问题，两点间的距离，数轴上的点与数的关系，多项式的无关计算，熟练掌握动点运动的规律和多项式的无关计算是解题的关键． 45．已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，有一个玩具火车按如图所示放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，记火车移动后对应的位置为．当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．当玩具火车匀速向右移动时，火车从车头到车尾完全经过点需要2秒． (1)玩具火车的长为________个单位长度；玩具火车的速度为每秒________个单位长度；点所对应的数为_____； (2)在数轴上放置与大小相同的火车，使点与点重合，火车和在数轴上分别从点和点同时出发向右移动，记火车移动后对应的位置为．火车的速度为5个单位长度/秒，求几秒后两火车的处与处相距7个单位长度； (3)当火车匀速向右移动，同时点和点分别从，出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度沿数轴向左和向右移动，点、间的距离用表示，点、间的距离用表示，是否存在有理数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请直接写出和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)秒后两火车的处与处相距7个单位长度 (3)存在有理数使得的值与它们的运动时间无关，且，定值为 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，数轴上点的平移，数轴上两点之间的距离，解方程，整式计算中的无关问题，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）设初始位置处表示的数为，初始位置处表示的数为，火车的长度为， 根据题意得，，求出，即可得到答案； （2）设处表示的数为，处表示的数为，秒后两火车的处与处相距7个单位长度，则，，根据题意得，求解即可； （3）设火车匀速向右移秒，则，，火车匀速向右移动个单位长度，则，得到，继而得到根据已知表示，令的系数为，求解即可． 【详解】（1）解：设初始位置处表示的数为，初始位置处表示的数为，火车的长度为， 根据题意得，， ， ； 小火车的速度为个单位长度； ， ； 故答案为：； （2）解：设处表示的数为，处表示的数为，秒后两火车的处与处相距7个单位长度， 则，， 根据题意得， ， 解得， 秒后两火车的处与处相距7个单位长度； （3）解：设火车匀速向右移秒，则，，火车匀速向右移动个单位长度， 则， 解得， ， ， ， ， 的值与它们的运动时间无关， ， ， ， 故存在有理数使得的值与它们的运动时间无关，且，定值为． 46．如图1将一根长为木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点M重合，右端与数轴上的点N重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点N时，它的右端在数轴上所对应的数为12；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点M时，它的左端在数轴上所对应的点为A．如图2，数轴上点A，O，B，C，D对应的数分别为a，0，4，8，12，点P，Q是数轴上的两个动点，P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向运动，同时Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，设运动的时间为t秒． (1)图中点A所表示的数是 ，移动后点Q所表示的数是 ；（用含t的式子表示） (2)若动点P从点O到点B的速度为起始速度的一半，从点B到点C的速度为起始速度的两倍，点C之后立刻恢复起始速度；同时动点Q一直以原速度向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．当P，Q两点在数轴上相距时，求运动时间t． 【答案】(1)， (2)运动时间为5秒或秒 【分析】本题考查了数轴、有理数四则运算的应用、一元一次方程的应用，分类讨论，是解题关键． （1）根据数轴上12所对应的点与点A的距离为3根木棒的长度，即可得点A所表示的数；根据点的运动速度和方向、以及数轴的性质即可得点Q所表示的数； （2）分、、和四种情况，分别求出点P所表示的数，根据P、Q两点在数轴上相距建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：A点表示的数为：； Q表示的数为：． 故答案为：，． （2）解：∵点A表示的数为，即， ∴， 当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是， ， 解得（大于3，舍去）或（舍去）， 当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是， ， 解得或（舍去）， 当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是， ， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是， ， 解得（舍去）或， 综上所述，运动时间为5秒或秒． 47．石室联合中学初一年级开设了丰富多彩的博雅课程，小石同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒研究数轴上的动点问题：如图，数轴上有A，B，C三个点分别表示有理数，和12．小石把两根木棒放在数轴上，使点Q与点A重合，点N与点B重合，点P在点Q的左边，点M在点N的左边，且，木棒从点B开始以每秒1个单位的速度向右匀速运动；同时，木棒从点A开始以每秒3个单位的速度向右匀速运动，当点Q运动到C时，木棒立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点P在点Q的左边），当点Q再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)当时，点N表示的数为 ，点P表示的数为 ； (2)在整个运动的过程中，当线段和线段的长度之和为12时，求出对应的t的值； (3)点D为木棒上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值？若存在，请求出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)对应t的值为3秒、9秒、14秒或18秒 (3)存在定值，定值为8，持续总时长为秒 【分析】本题主要考查用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题以及一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． （1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）分时和两种情况解答即可； （3）分时和两种情况进行讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，点N表示的数为：， P表示的数为：， 故答案为：，； （2）解：木棒运动到点Q与点C重合时的时间为：（秒），木棒从出发到返回的时间为（秒）； ①当时，点P对应的数为，点M对应的数为，点Q对应的数为，点N对应的数为， ， ， ∵， ∴， 即， ∴； ②当时， 点P对应的数为，点M对应的数为，点Q对应的数为，点N对应的数为， ， ∵， ∴， 即， ∴， 综上所述，对应t的值为3秒、9秒、14秒或18秒； （3）解：存在，定值为8，持续总时长为秒； ∵点D为木棒上一点， ∴点D到点P、Q的距离之和为2； 当点D在线段上时，点D到点M、N的距离之和为一个定值6； ∴点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值8； ①当时，， 解得； ， 解得； 持续时间为； ②当时， ， 解得； ， 解得； 持续时间为， 所以总持续时间为， 综上所述，存在定值，定值为8，持续总时长为秒． 48．在数轴上点表示数，点表示数，点表示数． 【初步感知】（1）如图①，线段AC的中点M表示的数为__________； 【深入探究】（2）若点P、Q、R分别从点A、B、C出发，以每秒2个单位、1个单位和4个单位的速度同时向左运动，设运动时间为t秒，当P，Q，R三点中恰有一点为另外两点的中点时，求t的值； 【拓展延伸】（3）如图②，某同学把两根木棒、放在数轴上探究，点Q与点A重合，点N与点B重合，，，M在N的左侧，P在Q的左侧．木棒从点B开始向左运动，运动速度为每秒1个单位，同时木棒从点A开始向右运动，运动速度为每秒2个单位，设运动时间为t秒，在整个运动过程中，线段上是否存在一点D是的中点?若存在，请求出点D所表示数的最大值和最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）t的值为秒或秒或秒；（3）在整个运动过程中，线段上存在一点是的中点，点表示的最大值为，最小值为，持续时间为秒 【分析】（1）根据中点的计算方法可得使得点与点重合的折点为，根据折点与之间距离的计算即可求解； （2）分别用含的式子表示出点表示的数，根据中点的计算，分类讨论，由数量关系列出一元一次方程求解即可； （3）分别表示的中点，点表示的数，根据点分别是中点时的计算可得时间的取值范围，即可得到最大值，最小值，与持续时间，由此即可求解． 【详解】解：（1）点表示数，点表示数，点表示数， ∵将数轴折叠，使得点与点重合， ∴， ∴折点表示的有理数为：； ∴折点到点的距离为， ∴， ∴点与数表示的点重合； （2）点从点、点从和点从点分别以每秒个单位、个单位长度和个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，时间为秒， ∴点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， 第一种情况，当是的中点时，， 解得，； 第二种情况，当是的中点时，， 解得，； 第三种情况，当是的中点时，， 解得，； 综上所述，三点中恰有一点为另外两点的中点时，的值为秒或秒或秒； （3）点表示的数为，与重合，， ∴点表示的数为：， ∴表示的中点为：， ∵木棒从点开始向左运动，运动速度为每秒个单位，设运动时间为秒， ∴中点运动过程中表示的数为：， 点表示的数为，与重合，， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∵木棒从点开始向右运动，运动速度为每秒个单位，设运动时间为秒， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， 当点是中点时，， 解得，， ∴点表示的数为：； 当点是中点时，， 解得，， ∴点表示的数为：； ∴线段上是存在一点是的中点时，时间的取值范围为：， ∴点表示的最大值为，最小值为，持续时间为， ∴在整个运动过程中，线段上存在一点是的中点，点表示的最大值为，最小值为，持续时间为秒． 【点睛】本题主要考查数轴上的点表示有理数，两点之间的距离，中点的计算，一元一次方程与几何问题的综合，掌握两点之间距离的计算，中点的计算，一元一次方程解几何中动点问题的数量关系，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $