专题02 绝对值相关压轴题分类训练（8种类型64道）（期末复习压轴题专项训练）七年级数学上学期新教材浙教版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02绝对值相关压轴题分类训练 (8种类型64道) 类型利用绝对值的排负性求值 类型2绝对值的排负性相关最值问题 类型3已知绝对值求代数式的值 类型4利用数轴去绝对值 绝对值相关压轴题分类 训练 类型绝对值相关综合题 类型6对值的化简 类型7绝对值的几何意义相关晶值问题 类型8绝对值的几何意义相关综合问题 目目 类型01 利用绝对值的非负性求值 1.若m-n++n-3=0,则m”= 2.若x+2+(y-3)2=0,则x-y的值为 3.若x-2+3-y=0,则x-y的值为 4.若la+1+b-2=0,则ab=— 5.若a+1与b-2互为相反数，则a+b的值为 6.若m-2和(n+22互为相反数，则m-2n的值为 7.若a-+子-=0，则-6= 8.若a-1与b+2互为相反数，则(a+b)的值为_ 1/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 目目 类型02 绝对值的非负性相关最值问题 9.式子x+1+2取最小值时，x等于 10.代数式x2-2x-6的最小值等于 11.代数式x+3到的最小值是 12.当式子b-2+3取最小值时，b=一，最小值是 13.当x=a时，代数式x-1+10有最小值b,则a+b的值为一 14,若m是有理数，则当时，|2m+3引-2取得最小值，且最小值是一· 15.当x=_时，代数式x-4+7有最小值，且最小值为一 16.若式子x-1+2取最小值时，x等于 目目 类型03 已知绝对值求代数式的值 17.已知a=5,bl=7,a+b<0,则a-b的值为() A.-12 B.-2 C.-2或-12 D.2或12 18.己知m=6,n=2,m+n=m+n,则m-n的值是（) A.4 B.4或8 C.-8 D.4或-8 19.若a=4,b=3,且a+b<0,则a-b的值为() A.-7或-1B.7或1 C.-7或1 D.7或-1 20.若1m=5,n=2,且m,n异号，则m-n的值为() A.7 B.3或-3 C.3 D.7或3 21.如果x-1+y+2=0,那么x-y的值是() A.-3 B.3 C.1 D.-1 22.若x=3,y=2,且x<y,那么x-y的值是() A.-5 B.-1 C.-5或-1 D.-5或5 2/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 23.已知a=5,lb=2,且a+b<0,则a-b的值是() A.-3 B.-10 C.-3或-10 D.-3或-7 24.若x=7,y=9,且x>y则x+y的值为() A.-2或-16 B.2或16 C.-2或16 D.±2或±16 目目 类型04 利用数轴去绝对值 25.将有理数a,b,c表示在数轴上如图所示，那么化简式子a+b-b-c+c-a的结果是 b 0 a 26.已知a,b,c三个有理数在数轴上的对应位置如图所示，化简：a+b-c-a+b-a的结果为一 a co b 27.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简：a-b-a+b+lc-a= e b o a 28.已知a,b,c在数轴上的位置如下图所示，则代数式a+b-b-c+a+c的值为 b 29.已知a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简：2c-b--2c+a+b= C b 30.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简：a-c-a-b+2a= 31.三个有理数a,b,c,它们在数轴上对应位置如图所示.则2c+b-b-a+3c-a c 0 a b 32.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简式子：a-b+a+b-lc-a=一 a b 0c→ 3/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 目目 类型05 绝对值相关综合题 33.在数轴上表示有理数a,b,c的三点如图所示，若ac<0,b+a<0,则：①d>b;②b+c<0;③ =0:④abc<0,其中正确的是一 a c (只填序号). b 34.有理数a,么c在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论：①-c<0:②>：③A口。 -b<-c;⑤b<c;⑥a+b<a+c,其中结论正确的个数是」 (填序号) -4a-3-=2-10b1234→ 35.已知a,b,c的大小关系如图所示，并且满足a+b+c=0,则下列说法正确的有」 (只填写 序号). b 0 a c a ①a-b+c>0:②6+c<0:®b+dta+ata+-l:@-c-b-d+h-l=0 36.有理数a,b,c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有() b c 0 a→①abc>0;②a-b+c<0；③1b-a-lc-bl=a-c；④ lad=-1. a b c A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 37.下列说法中，正确的个数是() ①若a=5,b2=4且a+b>0,则ab=10; ②若三个连续的奇数中，最小的一个为2n+1,则最大的一个是2n+5; ®吧知a,h、c是有理数，a+b+c=0,abc>0,则++“的值为1或者 ④x+2+x-1的最小值是3. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 38.如果有理数a,b,C满足|a+b+c=a+b-c,对于以下结论：①c=0;②(a+b)c=0;③当a,b互 4/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为相反数时，c不可能是正数；④当c≠0时，|a+b+c-21-5-c=-3.其中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 39.有理数α，b在数轴上的位置如图所示，则下面关系中正确的个数为() ①a-b>0;②a+b>0③lak-b;④1a-(-b)=a+b;⑤1b-a曰b|-|al. b A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 40.点A、B在数轴上分别表示数Q,b,若A、B两点之间的距离表示为AB,则在数轴上A、B两点之间的 距离AB=a-b. A B ①数轴上表示x、-2的两点之间的表示为x+2；②若x-3+x+1=8,则x=-3;③若存在x,使 x-2+x+1的值最小时，则x=-1,0,2;④若x-3+x+的最小值是x,则a=-3.其中正确的个数是() A.4 B.3 C.2 D.1 目目 类型06 绝对值的化简 41.已知a、6均为不等于0的有理数，则4，日，的值为 a b ab 42.已知abc<0,a+b+c=0,若x= 3b+c a+c 2a+b ,则x的最大值为 a b c 43.表示数a,b,c的点在数轴上的位置如图所示，则日+力be a b be C a 0 b 4.若三个非零有理数a,b,c满足回+A+-1,则bd a b c abc a b a+b lal"ba+bl 可能的值有， 个 46.若label=--abc,且abc≠0，则a+b+9_ a b c 47.若非零有理数m、m、卫满足四，四+D-1, 2mnp m n p 3mnp 48.已知abc<0,a+b+c=0,若x=b+d+2b+d_3a+b,则x的值是 a b 5/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 目目 类型07 绝对值的几何意义相关最值问题 49.若代数式x-+x-3+x-5的最小值为m,则m的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 50.己知x,a,b为互不相等的三个有理数，且a>b,若式子x-ad+x-b的最小值为3，则12+a-b的值为() A.12 B.9 C.18 D.15 51.x是数轴上一点表示的数，则x+2+x-3的最小值是() A.1 B.-5 C.5 D.-1 52.a+2+a-2+a-3+a-5的最小值为() A.6 B.7 C.8 D.9 53.x+1+x-1+x-3的最小值是() A.5 B.4 C.3 D.2 54.设实数a、b、c满足a<b<c(ac<0),且c<bl<a,则x-a+x-b+x+c的最小值是() A.a+b+c B.c-a C.c+a D.-c-a 3 55.设x是实数，则式x-1+2x-6+3x-12的最小值是（) A.2 B.3 C.4 D.5 56.已知有理数a>0,b>0,则x-a+x+b的最小值为() A.a-b B.a+b C.-b-a D.b-a 目目 类型08 绝对值的几何意义相关综合问题 57.【问题提出】a-1+la-2+a-3到+…+la-2021的最小值是多少？ 【阅读理解】 为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手.d的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距 6/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 离，那么a-1可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；a-1+a-2就可以看作a这个数在数轴上 对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究a-1+a-2的最小值. 我们先看Q表示的点可能的3种情况，如图所示： -2-1a01234 -2-101a234 图① 图② 上◆ -2-10123a4 图③ 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1. 如图②，a在1,2之间（包括在1,2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1. 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出Q到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当 a在1,2之间（包括在1,2上）时，a-1+a-2有最小值1. 【问题解决】 (1)a-4+a-7的几何意义是-，请你结合数轴研究：a-4+a-7的最小值是-： (2)请你结合图④探究a-1+a-2+a-3的最小值是-，由此可以得出a为-； -2-101234 图④ 3)a-1+a-2+a-3+a-4+a-5的最小值是-： (4)a-1+a-2+a-3+…+la-2021的最小值为- (5)如图⑤，已知a使到-1,2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是-· -5-4-3-2-1012345 图⑤ 58.我们知道，d可以理解为a-0，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意 义，进一步地，数轴上的两个点A,B,分别用数a,b表示，那么A,B两点之间的距离为AB=a-b,反 过来，式子a-b的几何意义是：数轴上表示数α的点和表示数b的点之间的距离.利用此结论，回答以下 7/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 问题： (1)数轴上表示数一5的点和表示数3的点之间的距离是」 (2)数轴上点A用数a表示，若a=5,那么a的值为一； (3)数轴上点A用数a表示，探究以下几个问题： ①若a-3=5,那么a的值是一： ②满足a+2+a-3=5整数a有_个； ③a-3+a+2022有最小值，最小值是一： ④求a+1+a+2+a+3+…+la+2021+a+2022+a+2023l的最小值 59.同学们都知道，7-(-川表示7与-1之差的绝对值，实际上也可理解为7与-1两数在数轴上所对的两 点之间的距离.如x-6的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数6的点之间的距离。试探索： (1)求3-(-2=」 ;若x+2=3,则x= (2)x-1+x+3的最小值是」 3)当x= 时，x+1+x-2+x-4的最小值是 (4)已知x+1+x-2×(y-2+y+×z-3+z+=36则求出x+y+z的最大值和最小值. 60.综合与实践： 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 点A、B在数轴上分别表示有理数、b,A、B两点之间的距离表示为AB,在数轴上A、B两点之间的距离 AB=a-b1.利用数形结合思想回答下列问题： A B a 0 b (1)数轴上表示1和7两点之间的距离是 数轴上表示3和-2的两点之间的距离是 独立思考： (2)数轴上表示x和-3的两点之间的距离表示为 (3)试用数轴探究：当|m-2=3时m的值为 实践探究：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： (4)利用数轴求出x-1川+x-4的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ 8/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (5)当|m+1+m-9+m-16的值最小时，m的值为. (直接写出答案即可). 61.小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子x++x-2取最小值时，相应的x的取值范围是-，最小值是”. 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了.”小明说：“利用数轴可以解决这个问题.” 他们把数轴分为三段：x<-1,-1≤x≤2和x>2,经研究发现，当-1≤x≤2时，值最小为3. 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子x-2+x-4+x-6+x-8取最小值时，相应的x的取值范围是-，最小值是-· (2)已知y=2x+8-4x+2,求相应的x的取值范围及y的最大值.写出解答过程. 62.如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,A、B两点之间的距离表示为AB,AB=a-b.例如： 数轴上表示-1与-2的两点之间的距离=-1-(-2=1；而x+2=x-(-2,所以x+2是表示x与-2的两点 之间的距离.利用数形结合思想回答下列问题： A B a 0 b (1)数轴上表示-2和5的两点之间的距离是」 (2)数轴上点x表示的数x满足x-1=3,那么x=」 (3)若数轴上点x表示的数x满足-4<x<2,求x-2+x+4的值： (4)七年级学习小组在陈老师的指导下，对式子x-3+x+2进行探究，他们先在纸上画出数轴，当数x所对 应的点在-2与3之间移动时，得出结论：x-3+x+2的值总是一个固定的值.这个结论正确吗？请说明理 由. 63.我们知道5-(-3列表示5与-3之差的绝对值，实际上也可以理解为5与一3两数在数轴上所对的两点之 间的距离.如x-(-3列可理解为数轴上表示有理数x的点与表示数-3的点之间的距离.试探索： (1)若x-8=3,则x=- (2)若x+3+x-8=15,则满足条件的x的值为- (3)根据以上探索，猜想对于任何有理数x,x+3+x-8是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有， 9/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 说明理由。 (4)根据以上探索，猜想对于任何有理数x,x-2+x-3+x-5是否有最小值，如果有，写出最小值；如果 没有，说明理由. 64.小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子x+1+x-2取最小值时，相应的x的取值范围是一，最小值是” 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：x<-1,-1≤x≤2和x>2,经研究发现，当 -1≤x≤2时，值最小为3”. 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点A、B在数轴上分别表示有理数Q、b,A、B两点之 间的距离表示为AB,则在数轴上A、B两点之间的距离AB=a-b.” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子x-2+x-4+x-6+x-8取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是 (2)已知y=x+4-x+2,求y的最大值和最小值及相应的x的取值范围，并写出解答过程. )求x为何值时，式子2x++号x+2+2x++…+号2x+(2k+训有最小值，并求出此最小值， 10/10 专题02 绝对值相关压轴题分类训练 （8种类型64道） 地 城 类型01 利用绝对值的非负性求值 1．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，两个绝对值的和为零，则每个绝对值都为零，从而求出和的值，即可求解． 【详解】解：， ，， 解得，， ， 故答案为：． 2．若 ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性和平方的非负性，解决此题的关键是掌握非负性的性质； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，解决本题的关键是熟练掌握绝对值的非负性． 根据绝对值的非负性可得，，求解出x和y的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为： ． 4．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是正确求得与的值.根据非负性，先求出与的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 5．若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】１ 【分析】此题主要考查了非负数．熟练掌握相反数性质，绝对值的非负性，几个非负数的和为0，几个非负数都为0，是解题关键． 直接利用两个互为相反数和为0列方程，绝对值的非负性质，非负数性质，得出a，b的值，进而代入得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 6．若和互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性、求代数式的值，先根据相反数的定义得出，再根据绝对值的非负性得出，，求出的值，代入计算即可得出答案． 【详解】解：和互为相反数， ， ，， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 7．若，则 ． 【答案】 【分析】本次考查了绝对值和平方的非负性，解答关键在于求出的值． 根据任何数的绝对值都是非负数，任何数的平方都是非负数可得，，从而得出，，代入即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 解得，， 则 即的值是， 故答案为： 8．若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，非负数的性质，相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数得到，进而由绝对值的非负性得到，据此求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 地 城 类型02 绝对值的非负性相关最值问题 9．式子取最小值时，等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，，因此当时，取最小值，解方程，即可求出x的值． 【详解】解：因为， 所以当时，取最小值． 解方程，得． 故答案为：． 10．代数式的最小值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的非负性，先求的最小值，再计算整个表达式的最小值． 【详解】解：∵ ， ∴的最小值为． 故答案为：． 11．代数式的最小值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题关键是掌握绝对值的非负性并能运用求解． 先求出代数式范围，再求出最小值即可． 【详解】解：， 当时，取等号， 即时，代数式的最小值是0， 故答案为：0． 12．当式子取最小值时， ，最小值是 ． 【答案】 2 3 【分析】利用绝对值的非负性即可解答； 【详解】解：∵|b-2|≥0， ∴当b=2时，取得最小值3， 故答案为：2，3； 【点睛】本题考查了绝对值的性质；掌握其性质是解题关键． 13．当时，代数式有最小值b，则的值为 ． 【答案】11 【分析】先根据绝对值的非负性求出a和b的值，再代入计算即可． 【详解】∵代数式有最小值b，， ∴， 解得：， 故， 则． 故答案为：11． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握若a为有理数，则有是解答本题的关键． 14．若m是有理数，则当 时，取得最小值，且最小值是 ． 【答案】 / 【分析】根据绝对值非负数的性质列式进行计算即可得解． 【详解】解：， ， 则当，即时，取得最小值，且最小值是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了绝对值非负数的性质，掌握绝对值非负数的性质是解题的关键． 15．当x＝ 时，代数式有最小值，且最小值为 ． 【答案】 4 7 【分析】根据绝对值的非负性解答即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴当，即x＝4时，代数式有最小值7． 故答案为：4，7． 【点睛】本题主要考查绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解决本题的关键． 16．若式子取最小值时，x等于 ． 【答案】1 【分析】根据绝对值非负数的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，取最小值， ∴x−1＝0， 解得x＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了绝对值非负数的性质，是基础题，比较简单． 地 城 类型03 已知绝对值求代数式的值 17．已知，，，则的值为（   ） A． B． C．或 D．2或12 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减运算，绝对值． 根据绝对值的定义得到，，根据得到，，进而代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴或， ∴的值为12或2． 故选：D． 18．已知，，，则的值是（   ） A．4 B．4或8 C． D．4或 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加法，减法等知识﹒根据，，求出，根据得到﹒分，，，，四类逐一讨论计算即可求解﹒ 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 当时，，符合题意，∴； 当时，，符合题意，∴； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意﹒ 故选：B 19．若 ，，且 ，则的值为（    ） A．或 B．7 或 1 C． 或 1 D．7 或 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的加减法，绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意，利用绝对值的代数意义和有理数加法法则，求出与的值，即可确定出的值． 【详解】解：，， ∴，， ∵， ，或，； 或． 故选：A． 20．若，且m，n异号，则的值为（   ） A．7 B．3或 C．3 D．7或3 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的绝对值、有理数的减法，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 先化简绝对值可得，再根据异号可得或，然后代入计算即可得． 【详解】解：，， ，， 异号， 或， 或， 故的值为7， 故选：A． 21．如果，那么的值是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值非负性，有理数减法，根据绝对值的非负性，两个非负数之和为时，每个数都必须为，由此可解出和的值，再代入计算的值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：． 22．若，且，那么的值是 （     ） A． B． C．或 D．或 5 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的加法，有理数的减法，绝对值，由绝对值的定义可得，结合，可确定x，y的取值，再利用有理数减法法则计算可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， 故选：C． 23．已知，，且，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减法，绝对值的性质，熟记运算法则是解题的关键．根据绝对值的性质求出，再根据得出对应的情况，然后相减即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ，或，， 或， 综上所述，的值为或， 故选：D． 24．若，，且则的值为（    ） A．或 B．2或16 C．或16 D．或 【答案】A 【分析】先求出，再根据,分两种情况分别计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴①， ②， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法、绝对值，掌握运算法则是解题关键． 地 城 类型04 利用数轴去绝对值 25．将有理数，，表示在数轴上如图所示，那么化简式子的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断数的正负，并且利用绝对值的定义去绝对值符号，掌握数轴和绝对值的相关性质是解题的关键． 根据各点在数轴上的位置判断出a，b，c的符号及大小，再去掉绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】解：由各点在数轴上的位置可知，，且， ，，， ， 故答案为：． 26．已知三个有理数在数轴上的对应位置如图所示，化简：的结果为 ． 【答案】 【分析】先由三个有理数在数轴上的对应位置得到，且，进而确定，再由绝对值代数意义去绝对值，然后去括号、合并同类项化简即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，且， 则， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值化简，涉及去括号、合并同类项运算、由数轴上点的位置比较大小及确定式子符号、绝对值代数式意义等知识，熟记绝对值代数式意义及整式加减运算是解决问题的关键． 27．有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简：＝ ． 【答案】/ 【分析】本题考查了绝对值的化简、整式的加减，关键是掌握绝对值的化简法则、去括号法则和合并同类项法则． 根据、、在数轴上的位置进行绝对值的化简，然后去括号，合并同类项求解． 【详解】解：∵，且 ∴，，， ∴原式 ． 故答案为： ． 28．已知a，b，c在数轴上的位置如下图所示，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴表示有理数，化简绝对值，整式的加减运算，解题的关键是正确从数轴判断出的大小以及符号． 由数轴可得，则，再化简绝对值，进行整式的加减运算． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ， 故答案为：． 29．已知，，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴、绝对值的化简、整式的加减，根据数轴得到，，的大小关系是解题的关键．由数轴得，，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 30．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查有理数与数轴，化简绝对值，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，再根据绝对值的意义，化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴； 故答案为：． 31．三个有理数，，，它们在数轴上对应位置如图所示．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据点在数轴上的位置判断式子的符号，化简绝对值，整式的加减混合运算，能够准确判断式子的符号化简绝对值是解本题的关键．根据点在数轴上的位置判断式子的符号，然后根据绝对值的意义化简即可． 【详解】解：由数轴可知，且， ，，， ， 故答案为：． 32．有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简式子： ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质等知识，由数轴可知，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 地 城 类型05 绝对值相关综合题 33．在数轴上表示有理数a，b，c的三点如图所示，若，，则：①；②；③；④，其中正确的是 （只填序号）． 【答案】① 【分析】本题主要考查有理数的乘法、数轴、绝对值，理解题意是解题的关键，根据题意和数轴得出，，，进而得出答案． 【详解】解：由数轴可得，， ，， ，，b可能为正数也可能为负数，也有可能为0， 故①正确，故②③④不能确定． 故答案为：①． 34．有理数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的个数是 ．（填序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号．由数轴可得，且，进而根据有理数的运算法则逐个判断即可． 【详解】解：由数轴可得，，在和之间，在与之间，在与之间， ，①正确； ，②正确； ，，，③正确； ，④错误； ，⑤正确； ，，⑥错误； 综上可知，正确的有①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 35．已知的大小关系如图所示，并且满足，则下列说法正确的有 （只填写序号）． ①；②；③；④． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，有理数的运算，整式的加减，绝对值的性质等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据数轴可得，，再利用有理数的加减法法则、乘除法法则、绝对值的性质及整式的加减进行判断即可． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∵， ∴，，， ∴，故③正确； ∵，，， ∴，故④正确， 故答案为：①②③④． 36．有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（　　） ；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】此题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，整式加减，化简绝对值，有理数运算，先由数轴可知，，则，，根据有理数的运算，整式加减，绝对值知识进行辨别即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，，则，， ∴，原式正确，符合题意； ，原式错误，不符合题意； ，原式正确，符合题意； ，原式正确，符合题意； 综上可得：正确，共个， 故选：． 37．下列说法中，正确的个数是（   ） ①若，且，则； ②若三个连续的奇数中，最小的一个为，则最大的一个是； ③已知a、b、c是有理数，，，则的值为1或者； ④的最小值是3． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值、乘方、列代数式、求代数式的值，解题的关键是掌握绝对值的几何意义． ①由条件得和的可能取值，结合判断的值；②根据连续奇数的差为2判断；③利用代换，结合得出、、的符号，再代入计算即可；④利用绝对值几何意义求最小值． 【详解】解：①由题意可得：，， ， ，， 则或；故①是错误的； ② 若三个连续的奇数中，最小的一个为， 则最大的一个是；故②是正确的； ③由题意可得：，，， 又，， 、、两负一正， 设，，， 则； 原式的值为1，故③错误； ④表示到和1的距离之和． 当时，距离和最小，最小值为．④正确． 综上，正确个数为2， 故选：B． 38．如果有理数，，满足，对于以下结论：①；②；③当a，b互为相反数时，不可能是正数；④当时，．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减运算，绝对值的性质，含绝对值的整式的化简是解答本题的关键， 绝对值化简方法为． 根据绝对值的化简方法，可知或，由此可判断①不正确，②正确； 当a，b互为相反数时，，代入，可得，即得，所以③正确； 当时，可知，且，则可化简的值，从而可知④正确；故可知正确的个数． 【详解】， 或， 或， ， 所以①不正确，②正确， 当a，b互为相反数时，， ， ， ， 所以③正确， 当时，则，且， ， 所以④正确， 所以正确的个数是3， 故选：C． 39．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下面关系中正确的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴的应用、化简绝对值等知识点，根据数轴判定的正负是解题的关键． 先根据数轴确定的正负，再根据绝对值以及整式的加减法逐项判定即可． 【详解】解：由数轴可得：且， ∴，即①正确；，即②错误；由且，则，即③正确；，即④错误；由，，则，即⑤错误． 综上，正确的有①③，共2个． 故选B． 40．点在数轴上分别表示数，，若两点之间的距离表示为，则在数轴上两点之间的距离． ①数轴上表示、的两点之间的表示为 ； ②若，则； ③若存在，使的值最小时，则； ④若的最小值是，则．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，化简绝对值，以及整式的加减，数形结合是解答本题的关键．①数轴上两点距离等于两个点表示的数相减的绝对值，②分区间讨论，求得x的值，③分区间讨论，求得x的值，④举例说明即可． 【详解】解：①数轴上表示x、的两点之间的距离表示为，正确， ②当时，，解得：， 当时，，等式不成立，故舍去， 当时，，等式不成立，故舍去， 当时，，解得：， ∴若，则或，错误， ③当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴若存在x，使的值最小时，则，错误， ④∵x的值不确定， ∴a的值不确定，如，时，2到3和1的距离之和等于2，也符合题意，错误， 故选：D． 地 城 类型06 绝对值的化简 41．已知a、b均为不等于0的有理数，则的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了绝对值的化简问题． 根据a和b的符号分类讨论，计算每个项的值，再求和即可． 【详解】解：当且时， ，，， 故原式； 当且时， ，，， 故原式； 当且时， ，，， 故原式； 当且时， ，，， 故原式； 综上，原式的值为3或． 故答案为：3或． 42．已知，，若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的加法与除法运算．根据已知条件，将的表达式中的绝对值内的式子替换为、、，再结合和，判断的符号只能是一负二正．分三种情况讨论，计算的值，比较得最大值． 【详解】由，得，，． 因此． 由于且，故中一负二正． 当，，时，，，，所以． 当，，时，，，，所以． 当，，时，，，，所以． 比较三种情况，的最大值为． 故答案为：． 43．表示数，，的点在数轴上的位置如图所示，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查有理数的混合运算、数轴，绝对值的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据数轴可得：，然后根据绝对值的性质将所求式子化简，再计算加减法即可． 【详解】解：由数轴可得，， ∴， ∴ ， 故答案为：2． 44．若三个非零有理数a，b，c满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，化简绝对值，根据，得到的符号为一负两正，进而得到，根据绝对值的意义，化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴的符号为一负两正， ∴， ∴. 故答案为：． 45．可能的值有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的化简和有理数的加减运算．根据题意分六种情况讨论即可． 【详解】解：①当、时， ； ②当、时， ； ③当、，时， ； ④当、，时， ； ⑤当、，时， ； ⑥当、，时， ； 综上，的值为或或1或3，共4个． 故答案为：4． 46．若，且，则 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘法以及有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键；利用绝对值的代数意义判断得到中负数有一个或三个，即可得到原式的值． 【详解】解：∵，且， ∴中负数有一个或三个， 当中有一个负数时：， 当中有三个负数时：， 则原式或， 故答案为：1或 47．若非零有理数m、n、p满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值，解决本题的关键是根据已知条件得出． 先根据得出，然后再对原式进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴m、n、p的符号为两负一正， ∴， ∴． 故答案为：． 48．已知，若，则x的值是 ． 【答案】或或6 【分析】本题考查了有理数的混合运算，绝对值的性质，根据有理数的乘法判断出负数的个数，再用两个字母表示出第三个字母，然后求解即可． 【详解】解：， a、b、c有1个负数或3个负数， ， a、b、c只有1个负数， 设a为负数，则为正数， ， ； 设b为负数，则为正数， ， ； 设c为负数，则为正数， ， ， 故答案为：或或6． 地 城 类型07 绝对值的几何意义相关最值问题 49．若代数式的最小值为m，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用绝对值的几何意义，代数式表示点x到点1、3、5的距离之和，最小值出现在x取中间点3时．本题主要考查绝对值的几何意义的应用，有一定的难度，解答的关键是理解含字母的绝对值表达式的几何意义． 【详解】解：∵ 表示x到1、3、5的距离之和， 当时，距离之和最小， ∴ 最小值 ， 即 ． 50．已知为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为3，则的值为（    ） A．12 B．9 C．18 D．15 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，有理数的减法等知识点，由数轴上表示的几何意义，求出的值，即可得到答案．熟练掌握在数轴上绝对值的几何意义是解决此题的关键． 【详解】∵的最小值为3，且， ∴， ∴， ∴ 故选：D 51．是数轴上一点表示的数，则的最小值是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，分情况根据绝对值的意义进行化简，即可求出结果． 【详解】解：当时， ， 代数式的值随x的增大而减小， 当时， ， 当时， ， 代数式的值随x的增大而增大，当时，代数式的值为5， 则的最小值是5， 故选：C． 52．的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，分类讨论是解题的关键．设点A表示的数为a，点B、C、D、E表示的数分别为，2，3，5，由绝对值的几何意义可知的值即为线段、、、的长度之和，然后根据点A的位置分类讨论即可解答． 【详解】解：设点A表示的数为a，点B、C、D、E表示的数分别为，2，3，5， 则的值即为线段、、、的长度之和， 如图所示，当点A在点B左侧时， 则 ； 如图所示，当点A在点B与C之间时， 则 ； 如图所示，当点A在点C与D之间时， 同理， ； 如图所示，当点A在点D与E之间时， 则 ； 如图所示，当点A在点E的右侧时， 则 ； 综上所述，最小值为8． 故选：C． 53．的最小值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据|x-a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示：数轴上一点到-1，1和3距离的和，当x在-1和3之间的1时距离的和最小． 【详解】解：表示：数轴上一点到-1，1和3距离的和， 当x在-1和3之间的1时距离的和最小，是4． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，正确理解|x-a|表示数轴上x与a之间的距离，是解决本题的关键． 54．设实数a、b、c满足，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可知，，异号，再根据，以及||||||，即可确定，，在数轴上的位置，而||||||表示数轴上的点到，，三点的距离的和，根据数轴即可确定． 【详解】∵ ∴，异号 ∵ ∴， 又∵，以及 ∴ 表示到，，三点的距离的和．当在表示点的数的位置时距离最小，即最小，最小值是与之间的距离，即． 故选D． 【点睛】本题解决的关键是根据条件确定，，，之间的大小关系，把求式子的最值的问题转化为距离的问题． 55．设x是实数，则式的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】分情况①②③ ④讨论，即可得出答案． 【详解】解：①当时， ； ②当时， ， ； ③当时， ； ④当时， ； 综上所知，当时，最小值为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质进行求解是解决本题的关键． 56．已知有理数，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离，根据绝对值的几何意义得出的最小值为a和之间的距离，然后列式化简即可． 【详解】解：由绝对值的几何意义可知，表示x到a和的距离之和， ∴的最小值为a和之间的距离，即， ∵，， ∴， 故选：B． 地 城 类型08 绝对值的几何意义相关综合问题 57．【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】 为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1． 如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1． 如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ； (4)的最小值为 ； (5)如图⑤，已知a使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是 ． 【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3 (2)2；2 (3)6 (4)1021110 (5) 【分析】（1）由的几何意义以及有最小值1即可直接求得结果； （2）当a取中间值即a＝2时，求得最小值； （3）由题意可得出，取中间数即a=3时，绝对值最小； （4）由题意可得出，取中间值a＝ 1011时，求得最小值； （5）由已知得：，解出绝对值不等式即为a的取值范围． 【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和 当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3 故答案为：a在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3 （2）当a取中间数2时，绝对值最小 的最小值是1＋0＋1＝2 故答案为：2；2 （3）当a取最中间数时，绝对值最小 的最小值是 ； （4）当a取中间数1011时，绝对值最小， 的最小值为： 故答案为：1021110 （5）a使它到－1，2的距离之和小于4 ①当时，则有 解得： ； ②当时，则有 ③当时，则有 解得： 综上，a的取值范围为： 故答案为： 【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号，即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可． 58．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数－5的点和表示数3的点之间的距离是______； (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为______； (3)数轴上点A用数a表示，探究以下几个问题： ①若，那么a的值是______； ②满足整数a有______个； ③有最小值，最小值是______； ④求的最小值． 【答案】(1)8； (2)-5或5； (3)①-2或8；②6；③2025；④1023132 【分析】（1）利用距离公式，计算即可； （2）根据绝对值的意义化简计算即可； （3）①化简或，计算即可； ②根据，得到，确定整数解即可； ③根据，当时，取得最小值，且为； ④根据可得，中间的一个式子是，故当时，取得最小值． 【详解】（1）解：数－5的点和表示数3的点之间的距离是， 故答案为：8． （2）解：因为， 所以或， 故答案为：-5或5． （3）解：①∵， ∴， ∴或， 故答案为：8或－2． ②因为当时， ， 所以符合题意的整数有共有6个， 故答案为：6． ③因为当时，取得最小值， 此时， 故最小值为：2025． ④根据可得，中间的一个式子是， 故当时，取得最小值．且最小值为，计算得结果为， 故最小值为． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的化简，绝对值的最小值，熟练掌握掌握距离公式，正确理解绝对值最小值的特点和意义是解题的关键． 59．同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为7与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数6的点之间的距离．试探索∶ (1)求__________；若，则__________； (2)的最小值是__________； (3)当__________时，的最小值是__________； (4)已知则求出的最大值和最小值． 【答案】(1)5；1或 (2)4 (3)2，5 (4)最大值为7，最小值为 【分析】（1）数轴上表示3的点与表示的点的距离为5，与表示的点的距离为3的点表示的数为1或，由此可解； （2）可以理解为表示x的点到表示1和表示的点的距离之和，利用数轴上两点间距离公式即可求出最值； （3）由（2）可知，当时，有最小值，又当时，有最小值，由此可解； （4）先根据已知式子得出，，，进而分别求出x，y，z的最大值和最小值，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示3的点与表示的点的距离为5， ； ， 表示x的点与表示的点的距离为3， ，， 或． （2）解：可以理解为表示x的点到表示1和表示的点的距离之和， 当表示x的点在表示1和表示的两点之间的线段上，即时，有最小值， 最小值为：． （3）解：可以理解为表示x的点到表示、2、4三点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为：， 当时，有最小值，最小值为：， 当时，有最小值，最小值为：， 即当时，的最小值是5． （4）解：，，， ， ， ，，， ，，， 的最大值为：，最小值为：， 即的最大值为7，最小值为． 【点睛】本题考查绝对值与数轴相关知识，读懂题目所给信息，掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 60．综合与实践： 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1和7两点之间的距离是__________；数轴上表示3和的两点之间的距离是__________； 独立思考： （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为__________； （3）试用数轴探究：当时m的值为__________． 实践探究：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ （5）当的值最小时，m的值为__________（直接写出答案即可）． 【答案】（1）；（2）；（3）5或；（4）；（5）9 【分析】（1）用大数减小数便可求得两点的距离； （2）根据定义用代数式表示； （3）分两种情况：点在2的左边；点在2的右边；分别列式计算便可； （4）确定与1的距离加上与4的距离之和最小时，的取舍范围，再在该范围内求整数； （5）表示数轴上某点到表示、9、16三点的距离之和，依此即可求解． 【详解】解：（1）数轴上表示1和7两点之间的距离是：； 数轴上表示3和的两点之间的距离是， 故答案为：6；5； （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：； （3）表示数的点与表示数2的点距离为3， 当表示数的点在2的左边时，， 当表示数的点在2的右边时，， 所以或5， 故答案为：或5； （4）表示数轴上和1两点之间的距离，表示数轴上和4两点之间的距离， 当且仅当时，两距离之和最小， 可取的整数有：1，2，3，4． （5）表示数轴上和两点之间的距离，表示数轴上和9两点之间的距离， 表示数轴上和16两点之间的距离， 当且仅当时，距离之和最小， 当的值最小时，的值为9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 61．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3． 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． (2)已知，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程． 【答案】(1)，8 (2)见解析 【分析】本题考查了绝对值以及数轴的应用，熟练掌握绝对值的定义、数轴以及分类讨论是解题关键． （1）根据四个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案； （2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案． 【详解】（1）解： 当时，，时，最小值， 当时，， 时，最小值， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是8． 故答案为：，8； （2）解：当时，，当时，最大， 当时，，无最大值， 当时，，当时，最大， 所以时，有最大值． 62．如图，点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，．例如：数轴上表示与的两点之间的距离；而，所以是表示与的两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是_____________； (2)数轴上点表示的数满足，那么____________； (3)若数轴上点表示的数满足，求的值； (4)七年级学习小组在陈老师的指导下，对式子进行探究，他们先在纸上画出数轴，当数所对应的点在与之间移动时，得出结论：的值总是一个固定的值．这个结论正确吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)正确，理由见解析 【分析】（）利用两点间距离公式计算即可； （）根据绝对值的意义解答即可； （）由可知式子表示有理数对应的点到对应的点和到对应的点的距离之和，进而根据得到的值为与之间的距离，据此即可求解； （）同理（）即可说明； 本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴或， ∴，， 故答案为：或； （3）解：∵， ∴式子表示有理数对应的点到对应的点和到对应的点的距离之和， ∵，即在和之间， ∴的值为与之间的距离， ∴； （4）解：正确，理由如下： ∵， ∴式子表示有理数对应的点到对应的点和到对应的点的距离之和， ∵数所对应的点在与之间移动， ∴的值为与之间的距离， 即， ∴数所对应的点在与之间移动时，的值总是一个固定的值． 63．我们知道表示与之差的绝对值，实际上也可以理解为与－3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如可理解为数轴上表示有理数的点与表示数的点之间的距离．试探索： (1)若，则 ； (2)若，则满足条件的的值为 ； (3)根据以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． (4)根据以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)或 (2)或 (3)有，最小值为 (4)有，最小值为 【分析】（）根据绝对值的意义即可求解； （）由绝对值的意义可知表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和等于，由可知不可能在和之间，再分在的左边和在的右边两种情况，利用两点间距离公式计算即可求解； （）由绝对值的意义可知式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和，可知当在和之间时，距离之和最小，据此即可求解； （）由绝对值的意义可知式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离与到对应的点的距离之和，可知当时，距离之和最小，据此即可求解； 本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间距离，理解绝对值是意义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴， 即表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和等于， ∵， ∴不可能在和之间， 当在的左边时，， 解得； 当在的右边时，， 解得； 综上，满足条件的的值为或， 故答案为：或； （3）解：有． ∵， 即式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和， 可知当在和之间时，距离之和最小，最小值为； （4）解：有． 式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离与到对应的点的距离之和， 可知当时，距离之和最小，最小值为． 64．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 【答案】(1)， (2)当最大值为；当最小值为 (3)，最小值为 【分析】本题考查了绝对值，线段上的点与线段的端点的距离最小，分类讨论是解题关键． （1）根据绝对值分类讨论求解即可； （2）根据绝对值分类讨论求解即可； （3）根据绝对值的几何意义即可求解； 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴式子取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是． 故答案为；． （2）解：当时，； 当时，此时； 当时，； ∴当最大值为；当最小值为； （3）解：， 表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $