专题08 角相关压轴题分类（6种类型36道）（期末复习压轴题专项训练）七年级数学上学期新教材浙教版

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08角相关压轴题分类 (6种类型36道) 类型探究角的数量关系 类型2三角板相关旋转问题 类型3求运动时间 角相关压轴题分类 类型4定值问题 类型5角相关证明题 类型6线段和角的知识迁移 目目、 类型01 探究角的数量关系 1.在∠AOB内部作射线OC,OD,OD在OC的右侧，且∠AOB=2∠COD. 0 图1 图2 0 图3 备用图 (1)如图1，若∠AOB=140°，OE平分∠AOC,OF平分∠BOD,求∠EOF的度数： (2)如图2，OE平分∠AOD,猜想∠BOD与∠COE之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，请过点O作射线OE,使OC平分∠AOE,再作∠COD的角平分线OF,若∠EOC=4∠EOF, ∠COD=m°，请直接写出∠AOE的度数（用含m的式子表示）. 1/18 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC. 0 图1 图2 图3 (1)如图1，当∠AOC=40°时，求∠DOE的度数； (2)如图2，OF平分∠BOD,求∠EOF的度数； (3)如图3，∠AOC=36°，此时∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒(0≤tk60),请直接写出∠AOC 和∠DOE之间的数量关系 3.如图，点O在直线AB上，在同一平面内，以O为顶点作直角∠COD,射线OE、射线OF分别平分 ∠AOC、∠BOD. E D C B B D E D 图1 图2 图3 (1)如图1，当∠AOC=40°时，∠AOE= o,∠BOF= (2)如图1，猜想∠AOE与∠BOF的数量关系，并说明理由 (3)直接写出图2和图3中，∠AOE与∠BOF的数量关系. 图2： ；图3： 4,如图，点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线EF两侧，且∠AOB=120°，∠COD=70°， 图】 图3 (1)如图1，若OC平分∠BOD,求∠AOD的度数： (2)如图2，在(1)的条件下，OE平分∠AOD,过点O作射线OG⊥OB,求∠EOG的度数； (3)如图3，若在∠BOC内部作一射线OH,若∠COH:∠BOH=2:3,DOE=5∠FOH,试判断∠AOE与 2/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DOE的数量关系 5,己知∠AOB=120°，以射线OA为起始边，按顺时针方向依次作射线OC、OD,使得∠COD=60°，设 ∠AOC=0,0°<0<180°. D B B A A 图1 备用图① 备用图② (1)如图1，当0°<0≤60°时，若∠AOD=83°，求∠BOC的度数： (2)备用图①，当60°<0<120°时，试探索∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由： (3)备用图②，当120°≤0<180°时，分别在∠AOC内部和∠BOD内部作射线OE,OF,使 ∠4OE-号40C,∠DOF-/ROD,求∠EOF的度数 6.如图，O是直线AD上一点，∠AOB是∠AOC的余角，射线ON平分∠BOD. N O D 备用图 (1)若∠AOC=50°，求∠NOD的度数； (2)若∠AOB=2∠MON，请在图中画出符合题意的射线OM,探究∠COM与∠COD的数量关系，并说明理 由. 目目 类型02 三角板相关旋转问题 7.将一副三角板的两个顶点按图所示重叠摆放在直线MN上，且三角板ADE始终摆放在直线MN下方，三 角板ABC可绕点A任意旋转，已知∠CAB=∠AED=90°，∠C=45°，∠EAD=30°. 设∠B.AN=m°，∠DAN=n°(0≤m≤180,0≤n≤150) 3/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)当m+n=0时，求∠CAE的度数； (2)当n=2m(m≠0)时，求∠CAM与∠MAE的数量关系： (3)当点C,A,E三点共线时，请通过画图探究说明m与n的数量关系 8.如图1，O为直线MN上的一点，过点O作射线OA使∠MOA=100°，将一直角三角板的顶点与点O重 合，∠BOC=60°，OB在射线OM上，另一边OC在直线MN上方，将三角板BOC绕点O以每秒10°的速度 顺时针旋转，当边OC与射线ON重合后，再以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转，运动时间为t秒 (0<t≤22). M 图1 (1)如图2，在三角板顺时针旋转过程中，使边OC在∠AON内部，且OC平分∠AON,此时，∠AOB=」 度； B M 0 MB 图2 备用图 (2)在三角板逆时针旋转过程中，试探究∠BON与∠AOC之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)若在三角板旋转的同时，射线OA绕点0以每秒30°的速度顺时针旋转，并与三角板同时停止转动，当 ∠A0C=100°时，直接写出t的值. 9,将一副直角三角板如图1摆放在直线AD上（直角三角板OBC和直角三角板MON,∠OBC=90°， ∠BOC=45°，∠MON=90°，∠MNO=30°)，保持三角板OBC不动，将三角板MON绕点O以每秒10°的 速度顺时针旋转（旋转过程中∠MON的大小保持不变）直至OW边第一次重合在直线AD上，整个过程时间 记为t秒. BM O D 图1 图2 备用图 图3 4/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)从旋转开始至结束，整个过程共持续了秒； (2)如图2，旋转三角板MON,使得OM、OW在直线OC的异侧，请直接写出∠CON与∠AOM数量关系： 如图3，继续旋转三角板MON,使得OM、OW同时在直线OC的右侧，请问上面的数量关系是否仍然成立， 并说明理由； (3)若在三角板MON旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O以每秒12°的速度顺时针旋转（旋转过程中 ∠BOC的大小保持不变)，当ON边第一次重合在直线AD上时两三角板同时停止. ①试用字母t分别表示∠AOM与∠AOC; ②在旋转的过程中，当t为何值时OM平分∠AOC. 10.如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC.将一直角三角板的直角顶点放在点O处 (∠OMN=30°)，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方. D B B O B 图1 图2 M 图3 (1)当∠B0C=110°时，请解决一下问题： ①将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC.求BON 的度数. ②将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线OW 恰好平分锐角∠AOC,则t的值为 (直接写出结果) ③将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC的数量 关系，并说明理由， (2)图1中射线OC在AB上方且∠BOC>90°，当三角板绕点O顺时针旋转（旋转角度<270°），试探究 ∠AOM、∠CON、∠COB三者之间的数量关系 11.将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O. 5/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图(1) 图(2) (1)如图1，若∠AOD=35°，求∠BOC的度数； (2)如图(1)，求∠BOD+∠AOC的度数； (3)如图(2)若三角板AOB保持不动，将三角板COD的边OD与边OA重合，然后将其绕点O旋转，试猜 想在旋转过程中，∠AOC与∠BOD有何数量关系？请说明理由. 12.如图为两个特殊三角板AOB和三角板COD,∠A=45°，D=60°，O为直角顶点，两直角顶点重合， A,O,D在同一直线上，OB,OC重合，OM平分∠COD,ON平分∠AOB. D D B N 图(1) 图(2) w 备用图 (1)∠MON=_度： (2)若三角板AOB与三角板COD位置如图(2)所示，满足∠BOC=20°，求MON的度数； (3)在图(1)的情形下，三角板AOB固定不动，若三角板COD绕着O点旋转（旋转角度小于45°）， ∠BOC=ax,求∠MON的度数（用含a的式子表示）. 目目 类型03 求运动时间 13,在同一平面内，以点O为公共顶点的∠AOB和∠POQ,满足2∠AOQ=∠BOP,则称∠POQ是∠AOB 6/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的“二倍关联角”.已知∠AOB=60°（本题所涉及的角均小于平角）. B B 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠AO0=45°，O0在∠AOB内，且∠POQ是∠AOB的二倍关联角"，则∠AOP= (2)如图2，若射线OP、OQ同时从射线OB出发绕点O旋转，射线OP以10°/秒的速度绕点O逆时针方向旋 转，到达直线B0O后立即改为顺时针方向继续旋转，速度仍保持不变射线OQ以6°/秒的速度绕点O逆时针 方向旋转，射线O0到达直线BO时，射线OP、OQ同时停止运动，设运动时间t秒，当t为何值时，∠POQ 是∠AOB的"二倍关联角”； (3)如图3，∠POQ保持大小不变，在直线BO上方绕点O旋转，若∠POQ是∠AOB的“二倍关联角”，设 ∠POQ=m°，请直接用含m的代数式表示BOP的大小. 14.若A、O、B三点共线，∠BOC=40°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE=90°， ∠ED0=30). B A B 图1 图2 备用图 (1)如图1，使三角板的长直角边OD在射线OB上，则∠COE=_°； (2)将图1中的三角板DOE绕点O以每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周， 若旋转到到图2位置，此时∠C0D=4∠A0E,求运动时间t的 ②经过t秒后，直线OC恰好成为DOE的三等分线，直接写出t的值， 15,已知如图1，点O是直线AB上的一点，∠AOD=90°，2∠AOC=∠COD, 图1 图2 7/18 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求∠COD的度数； (2)若∠COD绕着点O顺时针旋转(OD与OB重合即停止)，如图2，OE,OF分别平分∠AOC,∠BOD,则 在旋转过程中∠EOF的大小是否变化？若不变，求出∠EOF的大小；若改变，说明理由； (3)若∠COD的边OC,OD从图1的位置同时开始，分别绕着点O以每秒10°和每秒5°的速度顺时针旋转（当 其中一边与OB重合时两边都停止旋转)，OE,OF分别平分∠AOC,∠BOD,OM平分∠EOC.设旋转时间 为t秒 求：①当旋转时间t=_时，∠COD=10°；②当旋转时间t=_时，∠COM=∠BOF. 16.如图，直线AB和CD相交于点O,∠BOE=90°，OF平分∠AOD,设∠AOC的度数为x. B (1)当x=20°时，则E0C= °，∠FOD=」 (2)当x=60°时，射线OE从OE开始以每秒10°的速度绕点O逆时针旋转，同时射线OF'从OF开始以每秒8° 的速度绕点O顺时针旋转，当射线OE旋转180°时，射线OE,OF'同时停止旋转，在此旋转过程中，经 过多少秒，射线OE与射线OF'重合？ (3)在(2)的条件下，在射线OE旋转的过程中，当∠E'OF'=90°时，请直接写出射线OE转动的时间. 17.如图1，直线AB和直线CD相交于O,且∠BOD=,点M,N分别是射线OA、OB上一点，射线OM 绕点O以10°/s的速度逆时针旋转，射线ON绕点O以30°/s的速度顺时针旋转，旋转时间为t(0≤t≤6)，其 中O0为∠MON的角平分线. AM O N 一B 图1 图2 备用图 (1)当t=3s时，MON=-. 8/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，当t为多少秒时，ON,OM恰好分别为∠BOD和∠AOD的角平分线？并求出此时a的度数. (3)当a=120°，且∠D0Q=20°时，求旋转时间t的值？ 18.如图1，点O为直线AB上一点，将两个含60°角的三角板MON和三角板OPQ如图摆放，使三角板的 一条直角边OM、OP在直线AB上，其中∠OMN=∠POQ=60°. M O 图1 图2 图3 备用图 (1)将图1中的三角板OPQ绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边OP在∠MON的内部且平分 ∠MON,∠PON=k∠BOQ,求实数k的值； (2)三角板OPQ在绕点O按逆时针方向旋转时，若O0在∠MON的内部.∠BOQ与∠PON大小的差是否发生 变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由： (3)如图3，将图1中的三角板MON绕点O以每秒2°的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板OPQ绕点O 以每秒3°的速度按逆时针方向旋转，将射线OB绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线 OB记为OE,射线OC平分MOW,射线OD平分∠POQ,当射线OC、OD重合时，射线OE改为绕点O 以原速按顺时针方向旋转，在OC、OD第二次相遇前，当∠COE=15°时，求旋转时间t的值. 目目 类型04 定值问题 19.小七同学最近在研究平面中的角，他发现各角通过运动会产生很多新的结论，于是他用几何画板制作 了一道关于角的动态问题，如图1，平面上顺时针排列射线OA,OB,OC,OD,∠BOC=90°，∠AOD在∠BOC 外部且为钝角，∠AOB:∠COD=7:8,射线OM,ON分别平分∠AOC,∠AOD(题目中所出现的角均小于 180°且大于0°).请用学过的知识帮他求解以下问题. D B M 图1 备用图1 备用图2 (1)若∠AOD=120°，∠AOM=-,∠CON=_: 9/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)7∠CON-∠AOM的值是否随着∠AOD的变化而变化？若不变，求出该定值；若要变，请说明理由； (3)在(1)的条件下，将∠AOB绕点O以每秒2°的速度顺时针旋转得到∠A,OB,(OA,OB的对应边分别是 OA,OB,),若旋转时间为t秒(0<t<180),当∠A,OC+6°=∠B,OD时，求出t的值 20.已知∠AOB=160°，OC为∠AOB内部的一条射线，∠BOC=60°， A(E) B(F B 图1 图2 图3 (1)如图1，若OE平分∠AOB,OD为∠BOC内部的一条射线，∠COD=】∠BOD,求DOE的度数： (2)如图2，若射线OE绕着O点从OA开始以20度/秒的速度顺时针旋转至OB结束，OF绕着O点从OB开 始以10度/秒的速度逆时针旋转至OA结束，运动时间为t秒，当∠EOC=∠FOC时，求t的值； (3)若射线OM绕着O点从OA开始以20度/秒的速度逆时针旋转至OB结束，在旋转过程中，ON平分 ∠AOM,试问2∠BON-∠BOM在某时间段内是否为定值，若不是，请说明理由；若是，直接写出这个定 值并写出t所在的时间段.（本题中的角均为大于0°且小于180°的角） 21.如图1，线段CD在线段AB上运动，点E、点F分别是AC、BD的中点. A E CD F B 图1 图2 (1)若线段AB=18,CD=2,求EF的长. (2)若AB=x,CD=y(x>y),由此可以猜想EF=(用x、y表示). (3)我们发现角的很多规律和线段一样：如图2，∠COD在∠AOB的内部，绕点O逆时针旋转（初始位置 OD、OB重合)，OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD,若∠AOB=100°，∠COD=10°，在旋转过程中， ∠EOF的大小是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由. 22.如图，∠AOB=110°，△COD是一块含30°角（∠COD=30°）三角板与∠AOB摆在同一平面内，且30° 角的顶点与∠AOB顶点O重叠，边OC和边OB重合，OE平分∠AOC,OF平分∠BOD,(本题中的角均 大于0°且小于180°的角) 10/18 专题08 角相关压轴题分类 （6种类型36道） 1．在内部作射线，，在的右侧，且．地 城 类型01 探究角的数量关系 (1)如图1，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，请过点作射线，使平分，再作的角平分线．若，，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再利用角的和差计算即可； （2）根据角的和差与角平分线的定义可得结论； （3）分情况：当在外部时和当在内部时，分别画出图形，再利用角的和差计算． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； （2）根据角的和差可得，， ， ； （3）①当在外部时，如图， 设，则，， 平分， ， 平分， ，即，即， ； ②当在内部时，如图， 设，则，， 平分， ， 平分， ，即，即， ； 综上，或． 【点睛】此题考查了角的计算，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键．容易出错的地方是解（3）小题漏掉其中的一种情况． 2．已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． (1)如图1，当∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数； (2)如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数； (3)如图3，∠AOC=36°，此时∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒（0≤t<60），请直接写出∠AOC和∠DOE之间的数量关系 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】(1)由补角及直角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解∠DOE的度数； (2)由角平分线的定义可得，进而可求解； (3)可分两种情况：①当时，，求出，得出答案；②当时，，得出，进而得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵OE平分， ∴， ∵， ∴； （2）∵OE平分，OF平分， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）①当时，由题意可得 ∴， ∴， ， ∴； ②当时，如下图， ∴， ∴ ， ∴ 【点睛】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键． 3．如图，点O在直线上，在同一平面内，以O为顶点作直角．射线、射线分别平分、． (1)如图1，当时，________，________． (2)如图1，猜想与的数量关系，并说明理由． (3)直接写出图2和图3中，与的数量关系． 图2：__________；图3：__________． 【答案】(1)， (2)，理由见详解 (3)， 【分析】（1）根据角平分的定义即可求解； （2）根据（1），可得，问题得解； （3）图2，先表示出，，再根据角平分线可得，问题随之得解；图3，由，可得，根据，，可得，问题随之得解． 【详解】（1）∵射线、射线分别平分、， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2），理由如下： 在（1）中有：，，， ∴； （3）图2中，，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵射线、射线分别平分、， ∴，， ∴， ∵，， ∴； 图3中，，理由如下： ∵， ∴， ∵射线、射线分别平分、， ∴，， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平角为，以及角度的计算，理清图中各个角直角的数量关系是解答本题的关键． 4．如图，点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线EF两侧，且，．    (1)如图1，若平分，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，平分，过点O作射线，求的度数； (3)如图3，若在内部作一射线，若，，试判断与的数量关系． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据角平分线定义和周角是可得的度数； （2）分两种情况：当在下方时；当在上方时，计算即可； （3）由，，设，则，再结合角平分线的性质可用表达出的度数，求出与的度数． 【详解】（1）平分， ， ， ． （2）当在下方时，   平分，， ， ， ， ， ． 当在上方时，   平分，， ， ， ， ，， ； （3）设，则， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的性质等知识，结合图形找到角度之间的和差关系是解题关键． 5．已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，. (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由； (3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数. 【答案】(1)； (2)；理由见解析； (3) 【分析】（1）根据图形可知，继而根据，即可求解； （2）根据图形得出，计算，即可得出结论； （3）分两种情况讨论，①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线，②当时，如图4，射线、在的外部，结合图形分析即可求解． 【详解】（1）如图1，， 在内部， ，， ， ， ； （2）；理由如下：如图2， ， 射线、分别在内、外部， ， ， ， ； （3）①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线， 则，，如图3， ，， ， ， ； ②当时，如图4，射线、在的外部，如图4， 则， ， ，， ， ， ， . 综合①②得． 【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． 6．如图，是直线上一点，是的余角，射线平分．    (1)若，求的度数； (2)若，请在图中画出符合题意的射线，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)或，理由见解析 【分析】（1）根据互为余角的两个角的和是90度，平角的定义，角平分线的定义解答； （2）分情况画图分析，设，利用互为余角的两个角的和是90度，平角的定义，角平分线的定义，把和的度数分别用含有的式子表示，即可表示出两个角的关系． 【详解】（1）解：是的余角，， ， ， 平分， ； （2）解：或，理由如下： 设， 是的余角， ，， ， 平分， ， ， ． 当射线在内部时，如图：   ， ， ； 当射线在内部时，如图：   ， ， ， 综上可知，或． 【点睛】本题考查余角、补角、角平分线、角的和差关系等知识点，解第一问的关键是掌握互为余角的两个角的和是90度，解第二问的关键是注意分情况讨论，避免漏解． 7．将一副三角板的两个顶点按图所示重叠摆放在直线MN上，且三角板始终摆放在直线下方，三角板可绕点A任意旋转．已知，，．地 城 类型02 三角板相关旋转问题 设，（，） (1)当时，求的度数； (2)当时，求与的数量关系； (3)当点C，A，E三点共线时，请通过画图探究说明m与n的数量关系． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）本题考查角度的加减，根据得到，结合角度关系即可得到答案； （2）本题考查三角板摆放角度问题，分当三角板的边在直线上方，和当三角板的边AB在直线MN下方两类讨论即可得到答案； （3）本题考查三角板摆放角度问题，分类讨论三点位置关系求解即可得到答案； 【详解】（1）解：当时， 此时且， ∴； （2）解：∵， ∴， ①当三角板的边在直线上方时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ②当三角板的边AB在直线MN下方时，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：； （3）解：由题意可得， ①当C，E在两侧时，如图所示， ，     ②当C，E在左下方时，如图所示， ， ③当C，E在右下方时，如图所示， ，      ④当C，E在两侧时，如图所示， ， ． 8．如图1，O为直线上的一点，过点O作射线使，将一直角三角板的顶点与点O重合，在射线上，另一边在直线上方．将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当边与射线重合后，再以每秒的速度绕点O逆时针旋转，运动时间为t秒． (1)如图2，在三角板顺时针旋转过程中，使边在内部，且平分．此时，______度； (2)在三角板逆时针旋转过程中，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)若在三角板旋转的同时，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，并与三角板同时停止转动，当时，直接写出t的值． 【答案】(1)20 (2)或，理由见解析 (3)当时，的值为3或11或16或． 【分析】本题主要考查了角的和与差，有关角平分线的计算，涉及了分类讨论思想．根据题意准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键． （1）根据题意可得，再由平分，可得，即可求解； （2）先求出，然后分三种情况讨论：当在的左侧时，当在的左侧时，当在的右侧时，画出图形求解即可； （3）分两种情况讨论：若边与射线重合前；边与射线重合后，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ； 故答案为：20； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 当在的左侧时，如图， ， ∴； 当在的左侧时，如图， ∴； 当在的右侧时， ， 即； 综上所述，或； （3）解：当在射线上时，，， 此时， 三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转， 每秒增加的度数为， ， 即当时，的值为3； 或； 若边与射线重合后， 秒，即当秒时，边与射线重合， 此时转动的角度为， ，，或，， 综上所述，当时，的值为3或11或16或． 9．将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转（旋转过程中的大小保持不变）直至边第一次重合在直线上，整个过程时间记为t秒． (1)从旋转开始至结束，整个过程共持续了______秒； (2)如图2，旋转三角板，使得、在直线的异侧，请直接写出与数量关系；如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，请问上面的数量关系是否仍然成立，并说明理由； (3)若在三角板旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转（旋转过程中的大小保持不变），当边第一次重合在直线上时两三角板同时停止． ①试用字母t分别表示与； ②在旋转的过程中，当t为何值时平分． 【答案】(1)9 (2)，仍成立．理由见解析 (3)①，，②秒 【分析】（1）绕过的角度为，据此除以旋转速度，即可作答； （2）、在直线的异侧，用很含式子表示出与，即可作答；、在直线的右侧，同理可证明； （3）①根据题意直接列式即可；②若平分，则有，根据①的结果列式：，解方程即可求解． 【详解】（1）根据题意可知：（秒）， 故答案为：9； （2）∵，，，， 、在直线的异侧，如图2所示， ∵，， ∴， ∴即， 、在直线的右侧，仍成立． 理由如下： 如图3所示，∵，， ∴； （3）当三角板旋转的同时，另一个三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转， ①当旋转t秒时，，, ∴． ②若平分， 则有， 根据①的结果列式：， 解得：． 答：在旋转的过程中，当t为秒时，平分． 【点睛】本题考查三角形综合题、三角形板中的角度的计算、角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 10．如图，点O为直线上一点，过点O作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（），一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)当时，请解决一下问题； ①将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分．求的度数． ②将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为　 　（直接写出结果）． ③将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与的数量关系，并说明理由． (2)图1中射线在上方且，当三角板绕点O顺时针旋转（旋转角度），试探究三者之间的数量关系． 【答案】(1)；或；，理由见解析 (2)当旋转角时，； 当旋转角时，； 当旋转角时，． 【分析】（1）平分，可求得，再由互余关系即可求得结果； 分两种情况：射线平分，可计算出旋转的角度，则可计算出旋转的时间；射线平分，可计算出旋转的角度，则也可计算出旋转的时间；两种情况综合即可； 由，且，即可得出两角的关系； （2）分四种情况考虑：旋转角；旋转角；旋转角；当旋转角时；利用和差关系即可得到关系； 【详解】（1）解：（1）平分， ， ； ， 当射线平分时，如图2所示，，     旋转的角度为，直线旋转的时间为（秒）；当射线平分时，如图4所示，， 旋转的角度为，直线旋转的时间为（秒）； 综上知，则的值为；或； 故答案为：或； ，且， ， ， 即与的数量关系为：； （2）解：当旋转角时，射线在的内部时，如图5； 则，， ； ； 当旋转角时，此时射线在的内部，如图6所示； ， ； 当旋转角时，此时射线在的内部，如图7所示，， ， ， ， ； 当旋转角时，此时射线在的内部，如图8所示， ； ， ； 综上，当旋转角时，； 当旋转角时，； 当旋转角时，． 【点睛】本题考查了角的和差运算，角平分线的性质，分类讨论，关键是结合图形，用所求的角表示未知的角． 11．将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图（1），求的度数； (3)如图（2）若三角板保持不动，将三角板的边与边重合，然后将其绕点O旋转．试猜想在旋转过程中，与有何数量关系？请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)与互补，理由见解析 【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据的度数可得，再根据可得； （2）再根据直角三角板的性质可直接得出结论； （3）当分两种情况：与有重叠部分时和当与没有重叠部分时． 【详解】（1）若， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴； （3）与互补． 当与有重叠部分时， ∵， ∴． ∵， ∴， 当与没有重叠部分时， ， 又∵， ∴． 【点睛】本题题主要考查了互补、互余的定义，垂直的定义以及三角形内角和定理等知识的综合运用，解决本题的关键是掌握：如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角． 12．如图为两个特殊三角板和三角板，，，为直角顶点，两直角顶点重合，，，在同一直线上，，重合，平分，平分． (1)　　度； (2)若三角板与三角板位置如图（2）所示，满足，求的度数； (3)在图（1）的情形下，三角板固定不动，若三角板绕着点旋转（旋转角度小于），，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)90 (2) (3)当两三角板有重叠时，；当两三角板无重叠时， 【分析】（1）根据角平分线的定义及和角关系即可求得结果； （2）根据角平分线的定义及和角与差角关系即可求得结果； （3）分两种情况考虑：两三角板有无重叠，根据角平分线的定义及和角、差角关系即可求得结果． 【详解】（1）（1）平分，平分， ，， ， ， ，，在同一直线上， ， ， 故答案为90； （2）由题意可知， 平分，平分， ，， ，， ； （3）①当两三角板有重叠时，由题意可知， 平分，平分， ，， ，， ； ②当两三角板无重叠时，由题意可知， 平分，平分， ，， ，， 综上所述：或 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差关系，用到了分类讨论思想．把一个角表示为几个角的和差形式是解答本题的关键． 13．在同一平面内，以点为公共顶点的和，满足，则称是的“二倍关联角”．已知（本题所涉及的角均小于平角）．地 城 类型03 求运动时间 (1)如图，若，在内，且是的“二倍关联角”，则___________； (2)如图，若射线同时从射线出发绕点旋转，射线以秒的速度绕点逆时针方向旋转，到达直线后立即改为顺时针方向继续旋转，速度仍保持不变；射线以秒的速度绕点逆时针方向旋转，射线到达直线时，射线同时停止运动，设运动时间秒，当为何值时，是的“二倍关联角”； (3)如图，保持大小不变，在直线上方绕点旋转，若是的“二倍关联角”，设，请直接用含的代数式表示的大小． 【答案】(1)或； (2)为或； (3)或． 【分析】（）根据“二倍关联角”得到，分两种情况分析即可得到答案； （）分三种情况分析当时，当时，当时，分别用含的式子表示出和，再利用“二倍关联角”的概念列方程求解即可； （）分当在内部时，当在内部时，当在外部时，利用“二倍关联角”的概念求解即可； 本题考查了新定义——“二倍关联角”，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，找准角度之间的数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的“二倍关联角”， ∴； 当在上方时， 则； 当在下方时， 则； 故答案为：或； （2）解：当时，，， ∵是的“二倍关联角”， ∴， ∴， ∴ 符合题意， 当时，，， ∵是的“二倍关联角”， ∴， ∴， ∴，不符合题意，舍去； 当时，，， ∵是的“二倍关联角”， ∴， ∴， ∴  符合题意， 综上可知，当为或时，是的“二倍关联角”； （3）解：如图，当在内部时， ， 解得， 如图，当在内部时， ， 解得， 如图，当在外部时， ， 解得， 综上可知：或． 14．若、、三点共线，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注，．      (1)如图1，使三角板的长直角边在射线上，则 °； (2)将图1中的三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转一周， ①若旋转到到图2位置，此时，求运动时间的值； ②经过秒后，直线恰好成为的三等分线，直接写出的值． 【答案】(1)50 (2)①10秒；②的值为2秒，32秒，38秒或68秒． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：50； （2）解：①三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转， 经过秒，，， ， ， 解得：， 即运动时间为10秒； ②情况1：    经过t秒后，， ∵为的三等分点， ∴， 又∵， ∴， 即， 解得； 情况2：    ∵，， ∴， ∴， 即， 解得； 情况3：    ∵，， ∴， ∴， 即， 解得； 情况4：    ∵，， ∴， 即旋转了， 即， 解得； 综上所述：的值为2秒，32秒，38秒或68秒． 【点睛】本题主要考查余角和补角的知识，解一元一次方程的应用，熟练掌握余角和补交的知识是解题的关键． 15．已知如图1，点O是直线上的一点，，． (1)求的度数； (2)若绕着点O顺时针旋转（与重合即停止），如图2，分别平分，则在旋转过程中的大小是否变化？若不变，求出的大小；若改变，说明理由； (3)若的边从图1的位置同时开始，分别绕着点O以每秒和每秒的速度顺时针旋转（当其中一边与重合时两边都停止旋转），分别平分平分．设旋转时间为t秒． 求：①当旋转时间 时，；②当旋转时间 时，． 【答案】(1) (2)不变， (3)①10或14；② 【分析】本题主要考查了角平分线的相关计算、角度的计算、一元一次方程的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据图形，利用角的和差即可得解； （2）由角平分线可得，，再利用角的和差及整体思维求解即可； （3）①将和分别用含t的式子表示出来，进而分类讨论，建立方程求解即可； ②利用角平分线的定义分别表示出和，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：，且， ； （2）的大小不变， 理由如下： 分别平分， ，， ， ； （3）①由题可知， 当在左侧时， ，即， 解得， 当在右侧时， ，即， 解得， 综上，当或14时，， 故答案为：10或14； ②平分， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 解得， 故答案为： 16．如图，直线和相交于点O，，平分，设的度数为x． (1)当时，则__________°，__________°； (2)当时，射线从开始以每秒的速度绕点O逆时针旋转，同时射线从开始以每秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线旋转时，射线，同时停止旋转，在此旋转过程中，经过多少秒，射线与射线重合？ (3)在（2）的条件下，在射线旋转的过程中，当时，请直接写出射线转动的时间． 【答案】(1)70；80 (2)秒 (3)秒或秒 【分析】本题考查了角度互余和互补的定义、角的和差，难点在于题（3），根据两条射线的转动速度判断出它们重合的次数，再划分情况讨论是解题关键， （1）利用互余和互补的定义即可得； （2）先根据求出的度数，再设经过秒，射线与射线重合，列方程冰洁方程即可得； （3）设射线转动的时间为秒，分两种情况：与相遇前或与相遇后，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 又平分， ， 故答案为：70，80； （2）解：当时，， 所以． 因为平分， 所以． 因为， 所以． 设经过秒，射线与射线重合． 由题意，得， 解得． 故经过秒，射线与射线重合． （3）射线转动的时间为秒或秒． 解：设射线较动的时问为秒． ①与相遇前，如图1， 则有， 解得； ②与相遇后，如图2， 则有， 解得． 综上所述，射线转动的时间为秒或秒． 17．如图1，直线和直线相交于，且，点分别是射线、上一点，射线绕点以的速度逆时针旋转，射线绕点以的速度顺时针旋转，旋转时间为，其中为的角平分线． (1)当时， ． (2)如图2，当为多少秒时，恰好分别为的角平分线？并求出此时的度数． (3)当，且时，求旋转时间的值？ 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）当时，，，根据计算即可． （2）设运动秒时，恰好分别为的角平分线，根据题意，得，，根据角的平分线，得，即，列出方程解答即可． （3）设运动秒时，根据题意，得，，根据，且，分点Q在左侧和右侧两种情况，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：∵射线绕点以的速度逆时针旋转，射线绕点以的速度顺时针旋转，旋转时间为， ∴当时，，， ∴． 故答案为：． （2）解：设运动秒时，恰好分别为的角平分线，根据题意，得，， ∵恰好分别为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． （3）解：设运动秒时， 当点Q在右侧时， 根据题意，得，， ∴． ∵为的角平分线． ∴． ∵，且， ∴， ∴， ∴， 解得； 当点Q在左侧时，如图， 根据题意，得，， ∴． ∵为的角平分线． ∴． ∵， ∴， 根据题意，得， ∴， 解得； 综上所述，当或时，，且． 【点睛】本题考查了角的平分线，角的和差计算，平角的定义，一元一次方程的应用，分类思想的应用，熟练掌握角的平分线，一元一次方程的应用是解题的关键． 18．如图1，点为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边、在直线上，其中． (1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，，求实数的值； (2)三角板在绕点按逆时针方向旋转时，若在的内部．与大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线、重合时，射线改为绕点以原速按顺时针方向旋转，在、第二次相遇前，当时，求旋转时间的值． 【答案】(1) (2)与的差是定值，该定值为 (3)或或或69 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，则，再求出的度数即可得到答案； （2）分在上方和在下方两种情况画出对应的示意图，讨论求解即可； （3）先求出旋转前与的夹角，然后再求出与第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t，再分在的左侧和在的右侧两种情况解答即可． 【详解】（1）解：平分， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解；如图所示，当在上方时， ∵，， ∴； 如图所示，当在下方时， ∵，， ∴； 综上所述，与的差是定值，该定值为； （3）解：射线平分，射线平分， ，， 旋转前与的夹角为， 与第一次相遇的时间为秒，此时旋转的角度为， 此时OC与OE的夹角为， 与第二次相遇的时间为（秒）， 设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t， ①当相遇前，解得，； ②当第一次相遇后，解得，； ③当第一次相遇后，相遇前，解得； ④当第一次相遇后，相遇后，解得，； 在与第二次相遇前，当时，旋转时间t为或或或69. 【点睛】本题考查了角的运算，角的旋转，角的平分线，余角和补角等知识，掌握角的平分线、余角、补角等概念合理运用“等量代换”及旋转时会出现多种情况运用，清楚“旋转前后的图形是完全相等的，各边旋转角度相同，”是解题关键． 19．小七同学最近在研究平面中的角，他发现各角通过运动会产生很多新的结论，于是他用几何画板制作了一道关于角的动态问题，如图1，平面上顺时针排列射线，在外部且为钝角，，射线分别平分（题目中所出现的角均小于且大于）．请用学过的知识帮他求解以下问题．地 城 类型04 定值问题 (1)若， ， ； (2)的值是否随着的变化而变化？若不变，求出该定值；若要变，请说明理由； (3)在（1）的条件下，将绕点O以每秒的速度顺时针旋转得到（的对应边分别是），若旋转时间为t秒（），当时，求出t的值． 【答案】(1)； (2)的值不会随着的变化而变化，定值为 (3)81或174 【分析】（1）先求出，再由，可求出，再根据角平分线定义求出，从而可得出结论； （2）设，可得，再由，可求出，再根据角平分线定义求出，从而可得出结论； （3）分五种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵射线分别平分， ∴， ∴； 故答案为：；； （2）解：的值不会随着的变化而变化， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵射线分别平分， ∴， ∴， ∴， 即的值不会随着的变化而变化，定值为； （3）解：由（1）得：， 当时， ∵， ∴，无解； 当时， ∵， ∴， 解得：； 当时， ∵， ∴，无解； 当时， ∵， ∴， 解得：； 当时， ∵， ∴，无解； 综上所述，t的值为81或174． 【点睛】本题考查角平分线的定义、角的和差以及一元一次方程在几何方面的运用，是学习方程之后接触平面几何中一道典型的数型结合题，有利于对数学学科本质的认识．在计算时易出错不会用一个式子代入表示另一个式子，隐含了数学消元思想，熟练掌握各知识点是解题的关键． 20．已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，求的度数； (2)如图2，若射线绕着O点从开始以20度秒的速度顺时针旋转至结束，绕着O点从开始以10度秒的速度逆时针旋转至结束，运动时间为秒，当时，求的值； (3)若射线绕着O点从开始以20度秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问在某时间段内是否为定值，若不是，请说明理由；若是，直接写出这个定值并写出所在的时间段．（本题中的角均为大于且小于的角） 【答案】(1) (2)或或 (3)是；当时，定值为；当时，定值为 【分析】（1）先根据角平分线的定义求出的度数，再根据角的倍差求出的度数，最后根据角的和差即可； （2）分3种情况讨论：当在内部时；当与重合时；当与重合时；分别求解即可； （3）因本题中的角均为大于且小于的角，因而需分与在一条直线上、与在一条直线上、与在一条直线上三个临界位置，从而求出此时的取值范围，并求出各范围内和的度数，即可得出答案． 【详解】（1）解：，平分， ， ，， ，， ； （2）解：当在内部时， ， ， ； 当与重合时， ， ； 当与重合时， ， ； 综上所述，当时，或或； （3）解：在某时间段内是定值，理由如下： 射线从开始转动至结束时，转动时间为：（秒）， 由题意，分与在一条直线上（）、与在一条直线上（）、与在一条直线上（）三个临界位置， ①当时，如图1所示， 此时，， 则，为定值； ②当时，如图2所示， 此时，， 则，不为定值； ③当时，如图3所示， 此时，， 则，为定值； ④当时，如图4所示， 此时，， 则，不为定值； 综上可知，①当时，；②当时，． 【点睛】本题考查了角平分线的有关计算，几何图形中的角度计算问题，一元一次方程的应用（几何问题），整式加减的应用等知识点，其中较难的是题（3），正确找出三个临界位置是解题的关键． 21．如图，线段在线段上运动，点、点分别是、的中点． (1)若线段，，求的长． (2)若，，由此可以猜想______（用、表示）． (3)我们发现角的很多规律和线段一样：如图，在的内部，绕点逆时针旋转（初始位置、重合），、分别平分和，若，，在旋转过程中，的大小是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的度数不变，恒为 【分析】（）由线段的和差关系得，由线段中点的定义得，，即得，进而即可求解； （）同理（）解答即可求解； （）由角的和差关系得，由角平分线的定义得，即得，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点、点分别是，的中点， ∴，， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵分别是的中点， ∴，， ， ， 故答案为：； （3）解：的度数不变，恒为 ∵，， ∴， ∵分别平分和， ∴， ， ∴； 综上，的度数不变，恒为． 【点睛】本题考查了线段的和差，线段的中点定义，角的和差，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 22．如图，，是一块含角（）三角板与摆在同一平面内，且角的顶点与顶点O重叠，边和边重合，平分，平分．（本题中的角均大于且小于的角） (1)如图1，边和边重合，三角板的另一边在的外部时，求的度数； (2)如图2，把三角板绕点O逆时针旋转α，即，且．请根据条件完成探究： ①探究三角板旋转过程中，的大小是否改变？若有改变，请直接用含α的式子表示；若没有改变，请直接写出定值的度数； ②在三角板旋转过程中，是否存在α使得？若存在，请求出α的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①为定值，且；②存在，， 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用； （1）利用角平分线的含义与角的和差运算计算即可； （2）①分当时，如图所示：表示，，可得；当时，如图所示， 表示，，可得，当时，如图所示：表示，，结合； ②分当时，当时，当时，再分别表示，再利用解方程即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （2）解：①为定值，且；理由如下： 当时，如图所示： ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 当时，如图所示：此时， ∵平分，平分， ∴， ， ∴， 当时，如图所示： 此时，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴； 综上：为定值，且； ②存在；当时，如图所示： 此时，， ∵平分，平分， ∴， ， ，， ∵， ∴， 解得：； 当时，如图所示：此时， ∵平分，平分， ∴， ， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 当时，如图所示： 此时，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， 解得：（不符合题意舍去）； 综上分析可知，，． 23．已知：如图，直线和相交于点O（为锐角），点M在直线上方，，平分． (1)若，求的度数； (2)试说明：的度数是一个定值，并求出这个定值的度数； (3)若，试求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义； （1）先求解，可得，再结合角平分线的含义可得答案； （2）先求解，证明，结合，进一步可得结论； （3）先求解，结合，可得，求解，结合（2）的结论可得答案. 【详解】（1）解：，，， ， 又， ， 又平分， ； （2）解：， ， 又平分， ． 又， ， ． （3）解：， ， ∵， ， ． 由（2）知：， ； 24．已知，射线在的内部，．将射线绕点O逆时针旋转形成射线． (1)如图1，若，那么和的度数相等吗？为什么？ (2)作射线，使射线为的平分线．如图2，当射线恰好平分时，求的度数； (3)若射线在的内部，且，若的值为定值，试求出n与这个定值． 【答案】(1)和的度数相等，理由见解析 (2)； (3)，此定值为． 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算． （1）分别求出，的度数，即可解答； （2）根据角平分线的定义以及，可得，即可解答； （3）设，分别求出，，再由，可得，即可解答． 【详解】（1）解：和的度数相等，理由如下： ，， ， ，， ，     ， （2）解：如图， 平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ． 即的度数是； （3）解：设， ， ， ∴， ∵， ， ， ， ∵的值为定值， ∴， ∴，此定值为． 25．已知直线与直线交于点O，过点O作．地 城 类型05 角相关证明题 (1)如图1，为内的一条射线，若，求证：． (2)如图2，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，找准角度之间的和差关系，是解题的关键： （1）由垂直的定义得到，得到，进而推出，得到，即可证明； （2）平角的定义，求出，由垂直的定义得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．如图，直线，相交于点O，以O为观察中心，射线表示正北方向，射线表示正东方向，即，射线，的方向如图所示，且． (1)如图1，若射线的方向为北偏东，则射线的方向为 ； (2)如图2，平分，平分，求证：． 【答案】(1)南偏东 (2)详见解析 【分析】本题考查角平分线的定义、互为余角的定义、平角定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义、互为余角的定义、平角定义进行计算即可； （2）根据角平分线的定义、平角的定义，得出，进而推出，由已知，通过等量代换即可解答． 【详解】（1）解：，， ， 即的方向是南偏东； （2）平分，平分， ，， ， ， 又，， ． 27．如图，直线，相交于点，过点作，且平分，已知． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）18°． 【分析】（1）根据角平分线的定义及等式的性质可以得解； （2）根据补角的定义、角平分线的性质及几何图形中角度的加减可以得解． 【详解】（1）证明：∵OF平分 ∠AOD ， ∴∠AOF=∠DOF， 又∠AOC=∠BOD， ∴∠AOF+∠AOC=∠BOD+∠DOF， 即∠COF=∠BOF； （2）解：∵OE⊥AB， ∴∠BOE=90°， ∵∠BOD=36° ， ∴∠DOE=90°-36°=54°，∠AOD=180°-36°=144°， ∴∠DOF=144°÷2=72°， ∴∠EOF=∠DOF-∠DOE=72°-54°=18° ． 【点睛】本题考查角平分线的综合应用，熟练掌握角平分线的定义、补角的定义及几何图形中角度的加减是解题关键． 28．已知，在∠AOB内部作射线OC，OD平分∠BOC，∠AOD+∠COD＝120°． （1）如图1，求∠AOB的度数； （2）如图2，在∠AOB的外部和∠BOD的内部分别作射线OE、OF，已知∠COD＝2∠BOF+∠BOE，求证：OF平分∠DOE； （3）如图3，在（2）的条件下，在∠COD内部作射线OM，当∠BOM＝4∠COM，∠BOE∠AOC时，求∠MOF的度数． 【答案】（1）∠AOB＝120°；（2）见解析；（3）∠MOF＝66° 【分析】（1）根据OD平分∠BOC，得∠BOD＝∠COD，再由∠AOD+∠COD＝120°，得∠AOD+∠BOD＝120°，即∠AOB＝120°； （2）根据OD平分∠BOC，得∠BOD＝∠COD，再由∠COD＝2∠BOF+∠BOE，得∠BOD＝2∠BOF+∠BOE，可得∠DOF＝∠BOD﹣∠BOF＝2∠BOF+∠BOE﹣∠BOF＝∠BOF+∠BOE＝∠EOF，即可得出结论； （3）设∠AOC＝10α，则∠BOE＝11α，由∠AOB＝120°得∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝120°﹣10α，根据OD平分∠BOC，得∠COD＝∠BOD∠BOC＝60°﹣5α，再由∠BOM＝4∠COM，得∠COM∠BOC（120°﹣10α）＝24°﹣2α，可得∠DOM＝∠COD﹣∠COM＝36°﹣3α，∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝60°+6α，根据OF平分∠DOE可得∠DOF∠DOE（60°+6α）＝30°+3α，由∠MOF＝∠DOM+∠DOF可得结果． 【详解】（1）解：∵OD平分∠BOC， ∴∠BOD＝∠COD ∵∠AOD+∠COD＝120° ∴∠AOD+∠BOD＝120° 即∠AOB＝120°； （2）证明：∵OD平分∠BOC ∴∠BOD＝∠COD ∵∠COD＝2∠BOF+∠BOE ∴∠BOD＝2∠BOF+∠BOE ∴∠DOF＝∠BOD﹣∠BOF＝2∠BOF+∠BOE﹣∠BOF＝∠BOF+∠BOE＝∠EOF ∴OF平分∠DOE； （3）解：设∠AOC＝10α，则∠BOE＝11α ∵∠AOB＝120° ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝120°﹣10α ∵OD平分∠BOC ∴∠COD＝∠BOD∠BOC＝60°﹣5α ∵∠BOM＝4∠COM ∴∠COM∠BOC（120°﹣10α）＝24°﹣2α ∴∠DOM＝∠COD﹣∠COM＝（60°﹣5α）﹣（24°﹣2α）＝36°﹣3α ∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝（60°﹣5α）+11α＝60°+6α ∵OF平分∠DOE ∴∠DOF∠DOE（60°+6α）＝30°+3α ∴∠MOF＝∠DOM+∠DOF＝（36°﹣3α）+（30°+3α）＝66°． 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及角的计算．解题的关键是掌握角平分线的定义以及角的计算方法.容易出错的地方是解（3）小题角之间的和差计算． 29．已知：比大．    (1)如图1，求的度数； (2)如图2，为内部的一条射线，平分，若，求证：平分； (3)如图3，射线为的三等分线，三角板（点O为直角顶点）绕着O点逆时针旋转一周，时，作射线平分，请画出图形，并求的度数． 【答案】(1)的度数为 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据及列得，求出即可得到的度数； （2）由（1）知，根据角平分线定义求出，得到，根据求出，再求出的度数，推出，即可得到平分； （3）根据，求出，由三等分线定义求出，再分为两种情况，分别求解． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ∴， ； （2）由（1）知， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即平分； （3）∵， 又∵， ∴， ∴， ∵射线为的三等分线， ∴， 分为两种情况： 第一种情况：如备用图1    ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵射线平分， ∴， ∴． 第二种情况：如备用图2    ∵， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了角平分线的定义，求几何图形中的角度，正确理解角平分线的定义及掌握分类讨论的方法是解题的关键． 30．如图，直线相交于点，平分，． (1)求证：是的平分线； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、邻补角的性质和余角的性质，解题的关键是熟练掌握邻补角和余角的性质． （1）由，从而，由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得结论； （2）由并且互补，可得和的度数，再利用邻补角求得的度数，根据角平分线的定义可得，利用邻补角和角平分线求得和的度数． 【详解】（1）证明： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，（等角的余角相等） ∴是的平分线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴． 31．（1）特例探究：如图1，，，射线平分，平分，求的度数；地 城 类型06 线段和角的知识迁移 （2）延伸拓展：如图2，，（α，β为锐角，），射线平分，平分．求的度数； （3）迁移应用：其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，已知点C是直线上一点，线段，，点M，N分别为，的中点，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了角平分线的定义、几何图中角度的计算、与线段中点有关的计算、线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先计算得出，再由角平分线的定义可得，，最后再由计算即可得解； （2）先计算得出，再由角平分线的定义可得，，最后再由计算即可得解； （3）分两种情况：当点在点的左边时；当点在点的右边时；根据线段的和差以及与线段中点有关的计算方法计算即可得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵射线平分，平分， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴， ∵射线平分，平分， ∴，， ∴； （3）如图，当点在点的左边时， ， ∵线段，， ∴， ∵点M，N分别为，的中点， ∴，， ∴； 如图，当点在点的右边时， ， ∵线段，， ∴， ∵点M，N分别为，的中点， ∴，， ∴； 综上所述，的长为． 32．问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力． (1)【特例感知】 如图1，已知线段在线段上运动，线段，，点、分别是、的中点．解答下列问题： ①如图1，若，求的长 ；（直接写出结果） ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下： ∵，分别是、的中点 ∴ ， ∴ ∵，不变 ∴的长不变； (2)【类比探究】 小聪继续探究发现角与线段类似，如图2，已知在内部转动，和分别平分和，则与、有数量关系，说明理由． (3)【知识迁移】 如图3，已知在内部转动，若，，，，求 （用含有的式子表示计算结果）． 【答案】(1)①；②； (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段中间点的理解，角的和差关系，角平分线的定义，熟悉掌握运算方法是解题的关键． （1）①利用中点的关系分别求出和的长，即可解答； ②根据中点的关系解答即可； （2）利用角平分线的定义解答即可； （3）利用角平分线的定义解答即可． 【详解】（1）解：①∵点、分别是、的中点． ∴，， ∴， 故答案为：； ②∵点、分别是、的中点． ∴，， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵和分别平分和， ∴，， ∴ ， ； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 33．类比思想和分类讨论思想是初中数学学习中常用的数学思想，小明在学习了第六章《几何图形初步》的相关知识后，认为解决线段和角的问题是对这两种思想的一种体现．如图①，已知线段，点C为直线上的一个动点，点D、E分别是和的中点． 【分类讨论】（1）若，请画图分析并写出： ①当点C在线段上时，的长为______； ②当点C在的延长线上时，的长为______． 【类比分析】（2）若，请说明不论m取何值（m小于20）的长不变； 【知识迁移】（3）如图②，已知，过平面内任一点C画射线，满足（n小于70），若、分别平分和，请求出的度数，并写出你发现的结论． 【答案】（1）10,10 （2）不变， （3），不论（小于）取何值，不变 【分析】本题主要考查了线段的中点，线段的和差，角平分线的定义，角的和差， 对于（1），①根据可得答案；②根据可解； 对于（2），结合（1）分两种情况讨论，并求出值即可； 对于（3），分射线在内部和外部两种情况讨论，再结合角的和差得出答案． 【详解】解：（1）①如图所示，当点C在线段上时， ∵， ∴， ∴； ②如图所示，当点C在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴； 故答案为：10，10； （2）①如图所示，当点C在线段上时， ∵， ∴， ∴； ②如图所示，当点C在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴． 所以不论m取何值，的长不变； （3）当射线在内部时， ∵， ∴． ∵分别平分， ∴， ∴； 当射线在外部时， ∵， ∴． ∵分别平分， ∴， ∴． 可知不论取何值，不变． 34．线段的计算和角的计算有着紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探索过程： (1)【探索发现】课上，老师提出问题：如图1，点是线段上一点，，分别是线段，的中点，当时，求线段的长度．下面是小华根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程： 未知线段已知线段… ，分别是线段，的中点， ， ① ． ② ③ ．， ④ ． 可以利用线段中点的定义，线段的和、差，等式的性质来解决． (2)【知识迁移】小华举一反三，发现有些角度计算也可以用类似的方法进行转化．如图2，已知，是角内部的一条射线，，分别是，的平分线，请你求的度数． (3)【拓展延伸】如果（2）中其他条件不变，将射线绕点旋转到的外部，则的度数_____． 【答案】(1)，，，10 (2) (3)或 【分析】本题考查了角的计算，主要利用了角平分线的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键，同时要注意分情况讨论． （1）根据题干给出的思路作答即可； （2）根据角平分线的定义表示出和，然后根据进行计算即可得解； （3）根据角平分线的定义表示出和，然后分三种情况作出图形，列式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵C，D分别是线段，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，，，10． （2）解：如图，∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）解：分三种情况： 第一种情况：如图， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ； 第二种情况：如图， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴ ； 第三种情况：如图， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴ ． 综上，的度数为或 35．综合与实践：六年级李老师带领同学们探究双中点和双角平分线问题 【特例感知】 （1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，M、N分别是和的中点． ①若，则线段___________； ②若（），则线段___________． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，若，是内部的一条射线，射线平分．射线平分．求的度数． 【类比探究】 （3）如图③，若，是外部的一条射线，射线平分，射线平分，请求出的度数．（用含的式子表示） 【答案】（1）①8；②8；（2）60度；（3） 【分析】本题考查了与线段有关的计算和角有关的计算，解题关键是能根据图形正确得到线段或角之间的和差关系，同时要求学生牢记中点、角平分线的定义等相关概念． （1）①利用线段中点得出求解即可； ②利用线段中点得出求解即可； （2）利用角平分线的定义得到，，再利用角的和差关系进行计算即可； （3）先利用角平分线得出，再利用角的和差关系进行转化即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∵M、N分别是和的中点， ∴； 故答案为：8； ②∵，， ∴， ∵M、N分别是和的中点， ∴； 故答案为：8； （2）是内部的一条射线，射线平分，射线平分， ， ， ； （3）射线平分，射线平分， ， ， ． 36．综合与实践 线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探索过程： (1)【探索发现】课上，老师提出问题：如图1，点是线段上一点，，分别是线段，的中点，当时，求线段的长度．下面是小华根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程： 因为，分别是线段，的中点， 所以， ， 所以 ， ， 因为，所以 ． 线段中点的定义，线段的和、差，等式的性质． (2)【知识迁移】小华举一反三，发现有些角度计算也可以用类似的方法进行转化．如图2，已知，是角内部的一条射线，，分别是，的平分线，请你求的度数． (3)【拓展延伸】如果（2）中其他条件不变，将射线绕点旋转到的外部，则的度数 ． 【答案】(1)，，，10 (2) (3)或 【分析】本题考查了角的计算，主要利用了角平分线的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键，同时要注意分情况讨论． （1）根据题干给出的思路作答即可； （2）根据角平分线的定义表示出和，然后根据进行计算即可得解； （3）根据角平分线的定义表示出和，然后分三种情况作出图形，列式计算即可得解． 【详解】（1）解：C，D分别是线段的中点， ， ，； 故答案为：，10； （2）如图，分别是的平分线， ， ； （3）分三种情况： 第一种情况：如图， 分别是的平分线， ； 第二种情况：如图， 分别是的平分线， ， ； 第三种情况：如图， 分别是的平分线， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $