专题01 有理数相关压轴计算题分类训练（6种类型48道）（期末复习压轴题专项训练）七年级数学上学期新教材浙教版

专题01 有理数压轴相关计算题分类训练 （6种类型48道） 地 城 类型01 裂项相消法 1．请你观察：，，，…… ； ；…… 以上方法称为“裂项相消求和法”，请类比完成： (1) ； (2) ； (3)计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）参照所给的方法进行求解即可； （2）参照所给的方法进行求解即可； （3）根据所给的式子，由，据此把其余各项进行转化即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） 【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是对裂项相消求和法的理解与应用． 2．观察下列等式：， 把以上三个等式两边分别相加得：． 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． (1)规律应用：计算：的值； (2)拓展提高：若为正整数，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查的是数字类的规律，解题的关键是要能发现并运用规律； （1）根据规律解答即可； （2）先根据规律化简，再判断的取值范围即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 为正整数， ， ， ． 3．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出： ． (2)探究并计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意和题目中的例子，可以解答本题； （2）根据题目中的例子和式子的特点，可以求得所求式子的值； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） ＝1 ＝1 ； 【点睛】本题考查了有理数的加减，根据例题掌握裂项相减是解题的关键． 4．阅读第①小题计算方法，再类比计算第②小题． （1）① 解：原式 ． 上面这种方法叫做拆项法． ②计算：． （2）①，，，…，上面这种方法叫做裂项法． ②计算：． 【答案】（1）②（2）② 【分析】（1）②仿照前面解法求解即可． （2）②仿照前面解法求解即可． 【详解】（1）② = = = =． （2）②因为，，，…， 所以原式= =． 【点睛】本题考查了有理数的特殊运算，熟练掌握运算方法是解题的关键． 5．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出：________； (2)类比裂项的方法，计算：； (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中材料即可得结果； （2）根据（1）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； （3）先变形，再由阅读感知把每个分数进行裂项，最后进行加减乘运算即可． 【详解】（1）由题意知：； （2） ， ， ， ； （3） ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查有理数的加法中的简便计算．关键是读懂题中的材料，根据材料提供的方法进行简便． 6．【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 【答案】（1），11；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）将所给算式改写成分母为两个连续整数积的形式，再进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， ； ； ； ； …… 所以第个数为：． 当时，．即第6个数为． 当时，， 所以． 即是第11个数． 故答案为：，11． （2）原式 ． （3）原式 ． 7．观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得： 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．规律应用： 计算：的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． 通过裂项求和法可以求得所求式子的值． 【详解】解： … 8．请你观察： ， ， ；… ； ； 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)猜想并写出：______； (2)规律应用：计算：； (3)拓展提高：计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算： （1）根据题目中的等式，可以写出相应的猜想； （2）根据题目中的式子，通过裂项求和法可以求得所求式子的值； （3）根据题目中式子的特点，先提，再通过裂项求和法可以求得所求式子的值． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） ； （3） ． 地 城 类型02 拆项法 9．阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键．根据例题方法将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可． 【详解】解： ． 10．阅读下面的解题方法． 计算：． 解：原式 ． 上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解： ． 11．孙老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式； ； ． 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2025 (2) 【分析】本题考查有理数的加减法、除法运算，解题的关键是正确理解题意给出的运算方法． （1）根据题意给出的运算方法以及有理数的加减运算法则即可求出答案； （2）根据题意给出的运算方法以及有理数的除法运算法则即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算：． 解：原式 ． 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，利用题目提供的方法计算即可，正确理解题干提供的计算方法是解题的关键． 【详解】解： ． 13．数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法； 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加法运算，解题的关键是正确理解题意给出的运算方法．根据题意给出的运算方法以及有理数的加减运算法则即可求出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．阅读下面的计算方法，再解决问题． ． 解：原式， ， ， ． 上述这种方法叫作拆项法，灵活运用加法的交换律和结合律可使运算简单． 仿照上面的方法计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数计算．根据题意将带分数写成整数加分数形式再分别计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ． 15．张老师在数学多媒体课上给出了如下的材料． 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法．请仿照上面的方法计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数数加减混合运算中的简便运算，按照例子中的拆项法把假分数拆开，然后整数和整数相加，分数和分数相加，最后再计算整数和分数的加减运算． 【详解】解：原式 ． 16．例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解： ． 地 城 类型03 错位相减法 17．阅读材料： 计算：． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② 得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘方的应用，掌握“错位相减法”是解题关键． （1）仿造例题，设，则，作差求解即可； （2）仿造例题，设，则，作差求解即可． 【详解】（1）解：设，① 则，② 得，则． （2）解：设，① 则，② 得， 则． 18．阅读下面一段： 计算． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② ②①得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”，如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握错位相减法，是解题的关键： （1）利用错位相减法进行计算即可； （2）利用错位相减法进行计算即可． 【详解】（1）解：设，① 则，② ②①得，则． （2）设，① 则，② ①②得，则． 19．阅读材料：求 首先设① 则② 得 即 以上解法，在数列求和中，我们称之为：“错位相减法” ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方，读懂材料，运用题目中的解题方法，掌握类比思想求解是解题的关键． 设，根据材料中的解法求解即可． 【详解】解：设①， 则②， ，得， ∴， 即． 故答案为：． 20．阅读材料：求． 首先设①， 则②， 得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以2，再错位相减求解； （2）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以，再错位相减求解； （3）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以3，再错位相减求解． 【详解】（1）解：设， 则， 得：； （2）解：设， 则， 得：， 所以； 即； （3）设， 则3S=3+32+33+34+35+…+32023②， 得：， 所以， 即． 【点睛】本题考查数字规律及有理数的混合运算，理解并掌握“错位相减法”，是解题的关键． 21．阅读材料：求． 首先设①， 则②， ②-①得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)求的值． (3)若为正整数且，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字规律及有理数的混合运算，理解并掌握“错位相减法”，是解题的关键． （1）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以2，再错位相减求解； （2）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以3，再错位相减求解． （3）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以a，再错位相减求解 【详解】（1）解：设， 则， 得：； （2）设， 则②， 得：， 所以， 即． （3）解：设①， 则②， ②−①得：， 所以， 即． 22．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是______； (2)以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ②   ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； (3)计算：； (4)请借助甲，乙同学的方法，求出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了图形规律的探究，有理数的运算．熟练掌握图形规律的探究，有理数的运算是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）甲同学： ；乙同学：得，，计算求解即可； （3）令，则，，计算求解即可； （4）甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推，则图中阴影部分的面积为，可得一般性规律为，整理得，然后求解即可；乙同学：令，则，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：甲同学： ； 乙同学：①，② 得，， 故答案为：； （3）解：令，则， ∴， ∴； （4）解：甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推， 则图中阴影部分的面积为， ∴可得一般性规律为：，整理得， ∴； 乙同学：令，则， ∴， 解得，， ∴的值为． 23．（1）①观察一列数1，2，4，8，16，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ； ②为了求的值，可以这么做； 令， 则， 因此， 所以， 即． 仿照以上推理： （2）计算的值． （3）计算． 【答案】（1）2，，；（2）；（3） 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数探索出数的排列规律，再根据例题会用错位相减法求和是解题的关键． （1）根据所给的数，可得，再求解即可； （2）令，则，再作差求和即可； （3）设 ，则，再作差得，再结合（1）②的结论求和即可． 【详解】解：（1）∵， ∴每一项与前一项之比是常数2， ∴， ∴， 故答案为：2，，； （2）令， ∴， ∴， 解得，     ∴的值为； （3）设 ， ∴ ， ∴， 由（1）②得， 所以， 即， 所以． 24．（1）如果欲求的值，可令①，将①式右边顺序倒置，得②，由②式+①式，得　　；　　；由结论求　　； （2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； ②为了求的值，可令①，则②，由②式﹣①式，得，，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1），， （2）①，；② 【分析】本题考查了含乘方的有理数的运算，数字规律探究，正确分析并仿照题目中的解题方法进行求解是解题的关键． (1)根据题目所给方法，可得，从而求得，根据上面得到的公式进行计算即可求得的值； (2)①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数2，根据此规律，可得(n为正整数) ，据此即可得答案；②根据推理进行计算即可求得的值． 【详解】解：（1）如果欲求的值，可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②式+①式，得， ， 由结论求， 故答案为：，，． （2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2． 根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么，； 故答案为：，． ②为了求的值，可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ， 即． 地 城 类型04 探究规律简便运算 25．小亮在做有理数的运算练习时，发现了如下一组有规律的算式： ；； 请根据小亮发现的结论，解决下列问题： (1)仿照上述规律写出：______；______； (2)若n为正整数，猜想______； (3)计算：． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了有理数的运算． （1）仿照题干规律作答即可； （2）根据题干找出规律即可； （3）利用规律计算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：若n为正整数，猜想， 故答案为：； （3）解： ． 26．观察下列等式规律： 等式一：； 等式二：； 等式三：； 等式四：；…… 探寻规律，解答下列问题： (1)直接写出第五个等式； (2)计算：； (3)观察探究，并计算： ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，从给定的等式中找到规律，是解题的关键： （1）仿照给出的等式写出算式即可； （2）去绝对值后进行计算即可； （3）去绝对值后，利用裂项相消法，进行计算即可． 【详解】（1）解：第五个等式为； （2）原式； （3）原式 ． 27．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)按以上规律，第④个等式为：_____； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了通过观察规律进行分数的简便运算． （1）观察已知的等式，可以发现：等式左边是两个连续偶数乘积的倒数，等式右边是这两个连续偶数倒数差的，按照此规律，第④个等式中，两个连续偶数应该是8和10，所以第④个等式为； （2）根据前面发现的规律，将原式中的每一项进行转化后代入原式，可以发现括号内很多项可以相互抵消，最后可计算得出结果； （3）先对原式中的每一项进行变形，将原式变形后发现，每一项都可以写成的形式，随即可计算得出结果． 【详解】（1）解：根据第①②③个等式规律可知：， 故答案为：． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 28．观察下列各式，回答问题 ，，… 按上述规律填空： (1)________________． (2)计算：________． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是从最简单的情形入手，找出规律，利用规律简化计算的方法． （1）首先可以看出等号的左边是1减去几的平方分之一，计算的结果是1减去几分之一乘1加上几分之一，由此规律直接得出答案即可； （2）根据（1）中的规律计算即可． 【详解】（1）解：由题中前几个式子的规律得：， 故答案为：，； （2）解：由题意， ， 故答案为：． 29．观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：；…… 请解答下列问题： (1)按以上规律写出第个等式：_____=_____； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是归纳推出等式规律． （1）根据上述等式，找出规律，根据规律，即可求出第五个等式； （2）根据（1）得到的等式规律，进而根据有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】（1）∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ∴第个等式：； ∴第五个等式为：； ∴． 故答案为：，； （2）由（1）得，第个等式：， ∵， ， ， …… ， ∴ ． 30．观察下列各式： ， ， ， (1)猜想______． (2)用你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数字的变化规律和有理数的混合运算． （1）通过观察已知等式，猜想出一般形式； （2）利用猜想的规律将每个项裂项，再通过相互抵消简化求和． 【详解】（1）解：∵， ， ， ……， ∴； 故答案为：； （2）解： ． 31．观察下列各式∶ ， ， ， (1)猜想 ． (2)根据上面的规律，解答下列问题： ． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据所给各式发现规律，结果的分子为第1个分数的分子，分母为最后1个分数的分母； （2）计算每个括号，约分即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， … ∴； 故答案为：． （2）解： ． 32．探究与发现 根据你发现的规律计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算： （1）原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果； （2）原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果； （3）原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果； （4）原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果． 【详解】（1） = ++                              = （2）… = ++…                 = （3）… =… =…              = （4） =          = =                           = ++ = 地 城 类型05 进制转换 33．我们平时用的是十进制数，例如，表示十进制数要用个数字：，，，…，．在电子计算机中使用的是二进制，只用两个数字：，．例如：在二进制中，，等于十进制的，，等于十进制的．请你计算一下： (1)求二进制中的数等于十进制的数多少？ (2)已知：，请计算并写出的值（结果仍用二进制数表示）； (3)仿照二进制的说明与算法，请你计算一下，八进制中的数等于七进制的数多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是有理数的乘方，解题的关键在于阅读材料，明确十进制与二进制的转化． （1）根据十进制中的数与二进制中的数的相互转化的方法计算； （2）根据满二进一的方法将两个二进制数相加即可； （3）先将转化为十进制数，再将转化为七进制数． 【详解】（1）解：， 二进制中的数等于十进制的数； （2）解：； （3）解： ， ， 八进制中的数等于七进制的数． 34．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如数就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数． 如十进制数3512可以表示成式子：． 可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．类比十进制数的表示方法把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，可以把二进制数转化为十进制数．根据上述材料，解答下列问题： 【理解】 （1）填空：=______； （2）一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数值范围是（  ）； A． B． C． D． 【迁移】（3）把十进制数27转化为二进制数； 【创新】（4）把二进制数转化为八进制数． 【答案】（1）3，1，21；（2）C；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解二进制、八进制、十进制数的定义以及核算方法是正确解答的关键． （1）根据二进制与十进制的核算方法进行计算即可； （2）根据二进制的定义以及与十进制的核算方法进行计算即可； （3）将27写成即可得出答案； （4）先将二进制数转化为十进制数为93，再将十进制数93写出即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：3，1，21； （2）解：一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数最小为，最大为， ∴一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数值范围是， 故选：C； （3）解：， ∴十进制数27转化为二进制数为； （4）解：二进制数转化为十进制数为， 而， ∴十进制93写成8进制为， 即二进制数转化为八进制数为． 35．综合与实践 阅读材料： 我国是最早使用十进制的国家，我们最熟悉的十进制是“逢十进一”，而计算机中常用的是“逢二进一”的二进制．也就是说“逢几进一”就是几进制，（其中为正整数，且）进制就是“逢进一”． 例如：十进制数，记作：234； 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ，记作：． 三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ，记作：． 下表是自然数对应的的部分值（其中为自然数），供计算时参考： 0 1 2 3 4 5 … 1 2 4 8 16 32 … 1 3 9 27 81 243 … 1 6 36 216 1296 7776 … 解决问题： 根据以上提供的信息，请完成以下问题： (1)把十进制数33化为二进制数______； (2)把三进制表示的数转化为十进制表示的数：______； (3)请把转换成六进制的数； (4)一个六进制两位数（其中，均为小于6的正整数）等于二进制数与三进制数的乘积，求的值． 【答案】(1) (2)245 (3) (4)10 【分析】本题主要考查了二进制，三进制，六进制和十进制数之间的互相转化，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据表格先找到33所处的大约位置，再根据十进制转化为2进制的算法得到答案即可； （2）根据三进制转化为十进制的公式和表格算出答案即可； （3）先把二进制的数转化为十进制，再把十进制的数转化为六进制即可； （4）先把二进制和三进制的数转化为十进制，根据题意求出积，进而得到答案即可； 【详解】（1）解：∵， 根据表格可知，十进制数33化为二进制数时，最高位是， ∴， 故答案为：； （2）解：由题和表格可知：， 故答案为：245； （3）解：由题和表格可知，把二进制表示的数转化为十进制表示的数： ， 由题和表格可知，把十进制数25化为六进制数： ． （4）解：把二进制表示的数转化为十进制表示的数： ． 把三进制表示的数转化为十进制表示的数： ． 由题意，得 ． 可得． ． 36．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用和两个数来表示数，满二进一，例：二进制数转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法… (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“”转化为十进制数是______； (2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“”转化为十进制数； (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1) (2)八进制数“”转化为十进制数为 (3)孩子出生天 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，理解所给二进制数，五进制与十进制数的转化方法是解题的关键． （1）根据二进制数转化为十进制数的方法进行计算即可； （2）根据所给转化方式进行计算即可； （3）根据所给“结绳计数”的规定进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知，， ∴将二进制数转化为十进制数是， 故答案为：； （2）解：由题知，， ∴八进制数“”转化为十进制数为； （3）解：由题知，， ∴孩子出生天． 37．阅读与思考： 中国是最早使用十进制计数法，且认识到进位制的国家．英国著名科学史学家李约瑟教授曾对中国商代计数法予以很高评价：“如果没有这种十进制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了．“所谓进位制，就是人们规定的一种进位方法．对于任何一种进制﹣X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，X进制就是逢X进位．为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成．类比于十进制我们可以知道：X进制表示的数中，右起第一位上的1表示，第二位上的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表，故，即：转化为了十进制表示的数．如：，即二进制的数1111等于十进制数15． (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“110”转化为十进制数是 ___； (2)【应用】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位渔夫从右往左打结，满五进一，用来记录捕到的鱼的数量．根据图示，求该渔夫一共捕到多少条鱼？ (3)【拓展探究】已知2024转化为六十进制数为（（33）（44））60．把2025转化为十六进制数，请写出求解过程． 【答案】(1)6； (2)该渔夫一共捕到194条鱼； (3)把2025转化为十六进制数为，过程见解析． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 对于（1），根据题意列式计算即可； 对于（2），根据题意列式计算即可； 对于（3），将2025写成，从而得出答案． 【详解】（1）解： ； 所以，将二进制数“110”转化为十进制数是6， 故答案为：6； （2）解： （条）， 即该渔夫一共捕到194条鱼； （3）解：， 则把2025转化为十六进制数为． 38．【背景介绍】进制是一种用有限种数字或符号来表示所有数值的计数方法．不同进制在不同的领域各有应用，比如计算机存储数据使用二进制，古巴比伦人使用六十进制进行计时．现实生活中，我们最习惯使用十进制来计数．十进制每个数位上可以使用以下10个数字：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，且满足“逢十进一”的原则．因此十位上一个1表示一个10即，百位上一个1表示1个100即．例如：． 【掌握新知】类似地，六进制中可以使用以下6个数字：0，1，2，3，4，5，且满足“逢六进一”的原则．例如六进制数中的数字4表示4个1，数字0表示0个，数字3表示3个，也就是，即六进制数转化为十进制数就是112． （1）根据以上材料，请填空： （用6的正整数次幂的形式填写）．反之，所以( )6． 【模型抽象】我们知道在十进制中，一个三位数； （2）对于任意一个六进制中的三位数，如果用最高位，表示中间位，代表最低位，记这个三位数为，则______． 【问题解决】我们知道在十进制中，一个三位数若能被9整除，只需要满足其各个数位之和能被9整除．因为，其中能被9整除，所以，只需满足各个数位之和能被9整除即可； （3）类比上述结论，在六进制中，一个三位数为若能被5整除，需要满足什么条件？试写出你的猜想并说明其理由； （4）在六进制中，一个三位数为若能被9整除，试直接写出的最大值______（用十进制表示）． 【答案】（1），，543；（2）；（3）一个三位数为若能被5整除，需要满足能被5整除，见解析；（4）9 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，等式的性质以及单位进制的转化． （1）根据题干二进制数转换为十进制数的方法计算即可； （2）根据题干二进制数转换为十进制数的方法计算即可； （3）将转化，据此求解即可； （4）由题意，得a，b，c均不大于5且为整数，分类求解即可． 【详解】解：（1） ∵，∴， 故答案为：，，543； （2）， 故答案为：； （3）一个三位数为若能被5整除，需要满足能被5整除． 理由如下： ， 因为是5的整数倍， 所以若能被5整除，只需能被5整除； （4）由题意，得a，b，c均不大于5且为整数． 当，，时，不是9的倍数 由（2）可知，， 所以改变a的值，不会影响除以9的余数， 所以可令，在题设条件下，使b尽可能大； 当，时，， 因为比215小的最小的9的倍数是207，所以不论c取何值，都不符合题意！ 当，时，时，时，，符合题意． 所以当，时，的最大值为9． 故答案为：9． 39．综合与实践：阅读下列材料： 【材料1】“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，书写时将进制的基数写在右下角，如表示二进制的，十进制的进制的基数通常省略不写．各进制数之间可以互相转换，例如：二进制数转换成十进制数：，若将十进制数转化成与其相等的进制数，只需将十进制数除以取余数，再倒序排列，例如：将十进制数转换成七进制数，其转换方法如图所示，并记为． 【材料2】进制数的四则运算与十进制数的四则运算规则相同，满进一，数位称呼仍把从右至左的每个数位依次称为个位、十位、百位等，例如：，． 根据以上学习材料，求解以下问题： (1)写出转换为十进制数和转换为二进制数的结果； (2)①在二进制中计算； ②在八进制中计算； (3)规定：若一个三位的九进制数和另一个三位八进制数的百位、十位、个位数字都相同，则称和是“同位数”．那么是否存在百位数字为1，十位数字为，个位数字为的“同位数”和满足，若存在，求出和的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)存在，且或且或且 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，理解题意，掌握有理数乘方运算的法则是解题的关键． （1）根据材料提示的计算方法计算即可； （2）①进制数的四则运算与十进制数的四则运算规则相同，满进一，由此计算即可；②根据材料提示方法计算即可； （3）由题意，，即，被3整除，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：①， ②； （3）解：若存在和满足， 由题意，， ，，， ，，且，为不超过7的非负整数， ∴，即， 即，被3整除， 即存在且或且或且． 40．由本学期学习《进位制的认识与探究》知，进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，以此类推，进制就是逢进一．为与十进制进行区分，我们常把用进制表示的数写成．进制的数转化为十进制的数的方法是：若进制表示的数为，则转换为十进制数的过程为（规定当时，）．根据你所学知识与学习活动体悟，完成以下问题： (1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：_____，_____； (2)已知二进制数，请计算并写出的值（要求写成二进制表示的数）； (3)请把转换成十二进制的数． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了进位制，解题的关键是读懂题意； （1）根据公式进行转化即可； （2）根据转化为十进制，再利用公式进行转化即可； （3）根据，根据即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ． 地 城 类型06 定义新运算 41．在学习完《有理数》后，小奇对有理数运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：．（a、b不相等） (1)计算：； (2)求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）先运用新运算法则将原式化成有理数的运算，然后运用有理数混合运算法则计算即可； （2）先运用新运算法则求得，再计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：， ． 42．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是___________（请填序号）． ①，； ②，． (2)计算：； (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，理解新运算，把新运算转化为熟悉的运算是解题的关键． （1）直接按新运算计算后判定即可； （2）先按新运算计算，再算加减法； （3）根据，把原式转化为分数加减法，由互为相反数相加为零，据此求解． 【详解】（1）解：①， ， ， ∵， ∴和是“隔一数对”； ②， ， ∵， ∴和不是“隔一数对”； 故答案为：①； （2）解： ； （3）解：∵两个连续的非零整数都是“隔一数对”， ∴，，，，， ∴ ． 43．小奇借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则是：．例如： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握新定义运算是解题的关键． （1）按照新定义的运算顺序代入数值计算即可； （2）按照新定义的运算顺序代入数值计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， ． 44．对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知是最大的负整数，是的倒数，求的值． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查新定义运算，熟练掌握和运用给定的运算规则是解答本题的关键． （1）根据新运算的法则，列式计算即可； （2）根据x是最大的负整数，y是的倒数可得，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：x是最大的负整数，y是的倒数， ∴， ∴ ． 45．现定义一种新运算“*”，对任意有理数a、b，规定，例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)65． 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算运算法则． （1）根据，可以求得所求式子的值； （2）根据，可以求得所求式子的值． 【详解】（1）解： ； （2）因为 所以 ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 46．定义一种新运算：，例如：，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，正确理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义可得，先计算乘方与乘法，再计算加减法即可得； （2）先计算中括号里的，计算乘方与乘法，再计算加减法，然后根据新运算的定义列式，计算即可得． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 47．用“⊕”定义新运算：．例如，因为，所以，． (1)计算：___________，___________； (2)比较大小：___________；（填“”“”或“”）； (3)计算式子的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的运算，有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义进行计算即可； （2）分别根据新定义计算，，再比较大小，即可求解． （3）根据新定义进行计算即可． 【详解】（1）解：， ；； 故答案为：，． （2）解：∵ ∴，， ∵ ∴， 故答案为：． （3）， ∴ 48．定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如，数字2和5在该新运算下结果为-5，计算如下： (1)求的值； (2)对于有理数a，b，若定义运算：，计算的值等于____________； (3)请你定义一种新运算，使得数字和6在你定义的新运算下结果为20，写出你定义的新运算． 【答案】(1)11 (2)7 (3)． 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）根据的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （2）根据的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （3）根据，由构造出4，由6构造出5，写出定义的新运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴； 故答案为：7； （3）解：要使得数字和6在你定义的新运算下运算的结果为20， 我定义的新运算为：， ∴，符合题意． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01有理数压轴相关计算题分类训练 (6种类型48道) 类型裂项相消法 类型2拆项法 类型3错位相减法 有理数相关 计算题分类训练 类型4探究规律简便运算 类型5进制转换 类型6定义新运算 目目 类型01 裂项相消法 1.请你观察： 1-111-111-11 1×212’2x323’3x434’ 1111+11-1- 12 1x22x31223=1-33 4}5号41片 1 以上方法称为“裂项相消求和法”，请类比完成： 1),1+1+11 1x22×33x4+4x5=-: 1 2020×20212021×2022=-: +…十 计第：t,+1+11 1 x33x55x7+7x9+gx11x13的值. 2.观察下列等式：=1-1=111=11 1x2=1-2'2×323'3×434’ 1/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 把以上三个等式两边分别相加得： 1 1+1=1- 1,11,11,13 =1- 1x22x33x41223+34=1-44 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项， 最终达到求和的目的. ()规律应用：计算：，1+1+1 1 的值； 1×22×33×499×100 1 11 1 2)拓展提高：若为正整数，证明：1x33x55×7++2n-2n+1<2 3.类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似 的结论.在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： 1323-2我们格上计算过程倒时来，得到。232这一恒等变形过程在数学中 232033■266 叫做裂项.类似地，对于， 可以用裂项的方法变形为： 2■4 242(24).类比上述方法，解决以下问题 1 (1)猜想并写出： n(n+1)- (2)探究并计算： 1+1+1 1 1 12233■4 48☐4949■50 4.阅读第①小题计算方法，再类比计算第②小题. 0-( :原式+([】+(】 =-列+(+17+（←训+到 =0+- 上面这种方法叫做拆项法. ②计算： -202}+-2022号+（-}+4045 (2)①1 124 35 222×2’1- 1- ,,上面这种方法叫做裂项法。 323 42 44 ②计算： -)a 5.类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似 的结论.比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： 2/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1132 3-21 1111 232x33×2=6=6 石，我们将上述计算过程倒过来，得到。2×32了，这一恒等变形过程在数 学中叫做裂项。类似地，对于，1 可以用裂项的方法变形为： 1111 4×6246 类比上述方法，解决以下 4×6 问题。 (1)猜想并写出： n×n+l 2)类比裂项的方法，计算：，1+1+1 1 1x22x3+3x4 +…十 59×60 (3)探究并计算： 1 1 1 1 1 -1×3-3×5-5×7-7×9 -2021×2023 6.【情景创设】 11111 2'612’2030 …是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 (1)根据规律第6个数是 1是第 个数； 13 【方法属示】 1 1 1 1 1=1-上+-}++-+上-=1-=三.这种方法叫裂项相消”，构造 1×22×33×44×55×6223344556 66 只有符号不同的中间项，将其全部消掉。 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： 2)++ 1 -+..+ 2612 1329 1 (3) 1 1 1×2×32x3x43x4x5++。 9×10×11 7.观察下列等式：1 1111111 =1 1×2 2’2×323’3×434 把以上三个等式两边分别相加得：1x2十2×3+3×4 1 1+1=1- 1,11,11 13 一十 -=1 223341-44 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项， 最终达到求和的目的.规律应用： 111 1 计算： 1×2+2x3+3×4 +…+ 的值 99×100 8.请你观察： 111 1×2121 3/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 111 2×323' 111 3x4343… 1 111+11=1- 12 1×22×3122333 1 1+1=}+1+1=1-13 1×2'2×33×4122334144 以上方法称为“裂项相消求和法”. 请类比完成： (1)猜想并写出： 1 2规律应用：计算：，1+1+1 1x22x334++。 1 …+8x99x10 3)拓展提高：计算： 1,1 11 1 2x4+4×66x88x10+10x12 目目 类型02 拆项法 9. 阅读：对于5》（号引+173引 可以按如下方法计算： 式[+别[+7+引[ [-列+(-列+17+-3明+〔)r)(+ =0+(》- 上面这种方法叫拆项法， 仿照上面的方法，请你计算： (r》》0 10.阅读下面的解题方法， 解.式-([-++引r-+ [-列+-+1+-3+[引+ =0+(别 4/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算： -20248}4046号205号-8 11.孙老师在多媒体上列出了如下的材料： 计第：58（引+17 解：照式[++(+引[+ --5+-9+-+]r引 上述这种方法叫做拆项法. 请仿照上面的方法计算： +2024》-202s+ 4 +20261】 28/； a-12696 12.阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题. 示例：计第(-)2引9+ 解：原式[+(+[-2+(+引[-+（别 ---2*9+-明+[=3+(- 以上解题方法叫做拆项法。 请你利用拆项法计算下面式子的值. (-048-202号}-（引4046 13.数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 第：-(》1( :原式[-+[列+(+》[+( 5/19 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-+-+(-+17+[》引+ 0 上述这种方法叫做拆项法： 请仿照上面的方法计算： (2}2》: a-2024引-2023引+08+》 14.阅读下面的计算方法，再解决问题， (3+17+ 6 解：限=-5+》-+引-7+-+》 =-+-0+3+11+(8+r-》 =0+ 上述这种方法叫作拆项法，灵活运用加法的交换律和结合律可使运算简单. 仿照上面的方法计算： （2023号}-20242404+( 6 15.张老师在数学多媒体课上给出了如下的材料 解原式列+[+(+引-+ -[-+(-+-+17[到（+ =0+ =4 上述这种方法叫做拆项法.请仿照上面的方法计算： 6/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 （-2023引(-2024引4048 解照[-列(+到[+ [-5+1-+17+-[(引】 0+(- 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： -201o》r(-201号}4036号+（ 目目 类型03 错位相减法 17.阅读材料： 计算：1+5+52+53…+59+500 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别 项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算. 解：设S=1+5+52+53.…+59+5100,① 则5S=5+52+…+5100+5101,② ②-0得45=50-1，则s=51-1. 41 上面计算用的方法称为“错位相减法”.请根据以上信息，解决下列问题： (1)1+3+32+33+…+325; 2刨1+++11 222+2+…+ 22025· 18.阅读下面一段： 计算1+5+52+53.+59+510 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别 项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算. 解：设S=1+5+52+53.+59+50,① 则5S=5+52++5100+5101,② 7/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②-①得45=51-1，则s=5-1」 4 上面计算用的方法称为“错位相减法”，如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等 于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决.请根据以上信息，解决下列问题： (11+6+62+63+…+610: 19.阅读材料：求1+2+22+23+2+…+22025 首先设S=1+2+22+23+24+…+22025① 则2S=2+22+23+24+25+…+22026② ②-①得S=22026-1 即1+2+22+23+24+…+22025=22026-1 以上解法，在数列求和中，我们称之为：“错位相减法” 1+3+32+33+34+…+32025= 20.阅读材料：求1+2+22+23+2+…+20 首先设S=1+2+22+23+24+…+2100①， 则2S=2+22+23+24+25+…+2101②， ②-①得S=21-1, 即1+2+22+23+24+…+2100=201-1. 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”. 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)1+2+22+23+24+…+22000 。 (3)求1+3+32+3+34+…+32022的值. 21.阅读材料：求1+2+22+23+24+…+20 首先设S=1+2+22+23+2+…+20①， 则2S=2+22+23+24+2+…+201②， ②-①得S=201-1, 即1+2+22+23+24+…+2100=2101-1. 8/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法” 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)1+2+22+23+24+…+2200. (2)求1+3+32+33+34+…+32022的值. (3)若a为正整数且a≠1，求1+a+a2+a3+a4+…+a2020 22.如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是正方形纸片面积的一半，部分②是部 分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推. ⑧ ② ⑤ ③ ① 备用图 (1)阴影部分的面积是 a以下是开，乙有位时学求5宁日+宁的方法 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，S=1-S翻影： 乙同学的方法：S=+++是++10 =2+2+2+2+2+20 2s=1时+7+2+号@@-0可 根据两位同学的方法，你认为S=一： 计算：)++1+1 1 22+2+2++2 22025: 4)请借助甲，乙同学的方法，求出上++上+1+ 4+家+年+不++4的值. 23.(1)①观察一列数1,2,4,8,16，，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个 常数是一；根据此规律，如果a,(n为正整数)表示这个数列的第n项，那么ao=[_，an=- ②为了求1+2+22+2+……+2的值，可以这么做： 令M=1+2+22+23+……+2+29, 则2M=2+22+23+…+29+210, 因此2M-M=20-1, 9/19 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以M=20-1 2-1 210-1, 即1+2+22+23+……+29=210-1. 仿照以上推理： (2)计算1+7+72+73+…+7"的值. (3)计算1+2×2+3×22+4×23+…+9×28+10×29. 24.(1)如果欲求1+2+3+4+…+n的值，可令S=1+2+3+4++n①，将①式右边顺序倒置，得 S=n++4+3+2+1②，②式+①式，得2S=一；S=一：由结论求1+2+3+4+…+100=一 (2)①观察一列数2,4,8,16,32，，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常 数是一；根据此规律，如果a,(n为正整数)表示这个数列的第n项，那么a=一，a。=一 ②为了求1+3+32+3+…+32018的值，可令M=1+3+32+33+…+32018①，则3M=3+32+33+…+32019②， 由2式-0式，得3M-M=3-1,M=31,即1+3+3+3+…+3m_31 2 2 仿照以上推理，计算1+5+52+53+..+51. 目目 类型04 探究规律简便运算 25.小亮在做有理数的运算练习时，发现了如下一组有规律的算式： 1 1 1111,11.111 2-1x2 -1+262×3-2方123x434 一十 请根据小亮发现的结论，解决下列问题： )仿照上述规律写出：- 1 42 9900 1 (2)若n为正整数，猜想- n(n+1) 计第：号 1 2612 …-110 26.观察下列等式规律： 等式一： 等式二： 1111 5223 等式三： 1111 43349 等式四： 1111 54453… 10/19