专题03 数轴动点分类训练（8种类型48道）（期末复习压轴题专项训练，重庆专用）七年级数学上学期新教材人教版

专题03 数轴动点分类训练 （8种类型48道） 地 城 类型01 动点定值问题 1．小慧发现利用数轴结合所学的代数与几何知识可以解决很多问题： (1)利用数轴找出表示和6的两点的距离为 ，中点表示的数为 ． (2)按（1）中的问题多尝试几组数，发现规律并思考：如果折叠数轴，当表示和44的点重合时，表示2025的点和表示 （填数字）的点重合；此时恰好有两数相距106，则这两数的积为 ． (3)动点A、B分别从表示和2点处出发，以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向左运动，同时C从6处以每秒个单位长度的速度向右运动，是否存在有理数使得的值为定值？若存在直接写出和定值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)10；1 (2)； (3)存在，，定值为34 【分析】本题考查了数轴表示有理数，数轴上两点间距离的计算，中点计算公式，数轴的折叠问题，动点问题与定值探究，解决本题的关键是熟练掌握数轴的性质并会表示代数式，对动点的运动规律进行分析． （1）根据数轴上表示的点求解两点间距离与中点表示的数即可； （2）先求解表示和44的点重合的点，再根据点为2025列式求解即可；设这两个数分别为m和n，根据两点间距离与m与n的关系列式求解即可． （3）根据点A，点B，点C的运动速度，可表示运用时间t秒后，三点表示的数，由两点间距离可表示与，再根据定值可得t的系数为零，由此求解即可． 【详解】（1）解：和6的两点的距离为， 中点表示的数为 故答案为：10；1． （2）解：当表示和44的点重合时， ∴折叠点为， 设表示2025的点为x, ∴，解得， ∴表示2025的点和表示的点重合； 设这两个数分别为m和n， ∵折叠点为， ∴，即①， ∵两数相距106，即②， ∴①②可得，解得， ∴， ∴这两数的积为． 故答案为：；． （3）解：存在，，定值为34． 设运动时间为t秒， ∴点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴， ， ∴， 若的值为定值， 则，解得，定值为34． 2．在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且满足． (1)求出的值． (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与表示数____________的点重合；若此数轴上、两点之间的距离为2025（在的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，则点表示的数是____________． (3)点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，点从出发以每秒1个单位长度的速度运动，假设秒钟过后，请问：是否存在常数，使的值为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2； (3)存在，或 【分析】本题考查数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间距离的表示方法，涉及非负数和为零的条件，熟记数轴相关定义与性质是解决问题的关键． （1）由题意，结合非负数和为零的条件列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中得到的，先求出对称中心，再结合数轴上两点之间距离的表示方法即可得到答案； （3）根据题意，分别得到经秒后对应的数是；经过秒后对应的数是，分两种情况，结合数轴上两点之间距离列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是最小的正整数， ； 将代入，则， ，且， ，， 解得：； 综上所述，； （2）解：由（1）知， 将数轴折叠，使得点与点重合时，对称中心表示的数是， ， 与点重合的点表示的数是； 设点表示的数是为， 数轴上、两点之间的距离为2025（在的左侧）， 点表示的数是， 当点与点重合时，点与点也恰好重合， ， 解得； 故答案为：2；； （3）解：存在， 经秒后对应的数是；经过秒后对应的数是， ， 分两种情况： ①点向左运动经过秒后对应的数是，则， ， 当，即时，的值是定值，为； ②点向右运动经过秒后对应的数是，则， ， 当，即时，的值是定值，为； 综上所述：当或时，的值为定值． 3．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且． (1)_____；_____；此时刻快车头A与慢车头之间相距______单位长度； (2)从此时刻开始算起，再行驶多少秒钟两列火车的车头相距8个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头A、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为该学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这段时间的长度及定值；若不正确，请说明理由． 【答案】(1)，，24 (2)再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度 (3)正确，这段时间的长度为0.5秒，定值是6单位长度 【分析】（1）根据非负数的性质求出，，再根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据时间路程和÷速度和，列式计算即可求解； （3）由于，只需要是定值，从快车上乘客P与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，即， ，即， ∴此时刻快车头A与慢车头之间相距； 故答案为：，，24； （2）解：由题意可分： ①当快慢车未相遇前相距8个单位长度时，则有：（秒）； ②当快慢车相遇后相距8个单位长度时，则有：（秒） 答：再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度； （3）解：因为，     当在之间时，是定值4， （秒） 此时（单位长度）． 故这段时间为0.5秒，定值是6单位长度． 【点睛】 本题考查了两点的距离、数轴、绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握行程问题的等量关系：时间路程速度，根据数形结合的思想理解和解决问题． 4．已知点O是数轴的原点，点A对应的数是，若小虫甲开始从点A作如下运动：第1次向右爬行3个单位，第2次向左爬行5个单位，第3次向右爬行7个单位，第4次向左爬行9个单位…依次规律爬下去，第9次爬行后停在点B． (1)点B所对应的数为　 　． (2)若小虫甲到点B后就沿着数轴以每秒5个单位的速度向右爬行，同时另两只小虫乙、丙分别从点A和点O出发向右爬行，乙的速度是每秒2个单位，丙的速度是每秒1个单位，假设三个小虫同时运动t秒后，甲、乙、丙三只小虫对应的点分别是D、E、F．若三只小虫都沿着数轴向右爬行，则是定值吗？如果是，请求出这个定值． 【答案】(1)9 (2)是定值，这个定值是17 【分析】（1）根据数轴的性质列出运算式子，计算有理数的加减法即可得； （2）根据数轴的性质求出点所表示的数，从而可得，由此即可得． 【详解】（1）解：点所对应的数为 ， 故答案为：9． （2）解：运动秒后，点所表示的数为， 运动秒后，点所表示的数为， 运动秒后，点所表示的数为， ，， ， 所以是定值，这个定值是17． 【点睛】本题考查了数轴、有理数加减法的应用、整式加减的应用，用代数式表示点所对应的数是解题关键． 5．如图，在数轴上，点表示，点表示8，点从原点出发，沿数轴负方向以的速度向终点运动，同时，点从点出发沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为． (1)求的长； (2)若，，且，求的长； (3)直接写出点、表示的数（用含、、的式子表示）； (4)点为、之间的动点，在、运动过程中，设，，且，始终为定值，直接写出、满足的数量关系． 【答案】(1)10 (2)7 (3)点表示的数为：，点表示的数为：； (4)． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题． （1）直接根据两点间的距离公式计算即可； （2）先求出点P、点Q表示的数，再求的长即可； （3）直接根据两点间的距离公式计算即可； （4）由（3）可知，，则，，即，由，，可知，根据求出，根据始终为定值得到，即可求出、满足的数量关系． 【详解】（1）解：； （2）解：若，，且， 则点P表示的数为：，点Q表示的数为：， ∴； （3）解：∵点从原点出发，沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为， ∴点表示的数为； ∵点从点出发沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为， ∴点表示的数为； （4）解：∵点表示的数为：， ∴， ∵点表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵始终为定值， ∴， ∴． 6．阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P相距b个单位长度是正数的两点所表示的数分别记作m和其中，并把m、n这两个数叫做“点P关于b的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于2的对称数组是． (1)如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是______； (2)如果，求出点P表示的数以及b的值； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知，，经过t秒后，是否存在常数k，使得为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P表示的数是2026，的值是2023 (3)，定值为 【分析】（1）根据“对称数组”的定义，点P表示数2，与P相距4个单位的两点m、可通过“，”计算； （2）设点P表示的数为x，根据对称数组的定义，，，因此，，代入，即可求解； （3）先根据点P、Q的运动速度和时间t，表示出t秒后P、Q的位置，再结合“对称数组”的定义求出n和q，最后分析为定值的条件． 【详解】（1）∵点P表示数2， ∴，， 对称数组是； （2）∵， ∴点P表示的数， ∴； （3）秒后，点P表示的数为， 由，得， 点Q表示的数为，由， 得， 假设存在常数k，使得为定值： ， 要使为定值，则t的系数为0，即， 解得， 此时定值为． 【点睛】本题考查了数轴上的新定义“对称数组”，理解定义并结合数轴运动、代数运算求解，熟练掌握“对称数组”的定义是解题关键． 地 城 类型02 动点最值问题 7．阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，之间的距离可表示为． (1)知识应用： ①点，，在数轴上分别表示有理数 ，，那么到的距离是 ，到的距是 ． ②点，，在数轴上分别表示有理数，，那么到B的距离与到的距离之和可表示为 ． (2)利用数轴探究 ①若数轴上表示数的点位于与之间，则的值= ． ②求满足的的值； ③设；有最大值或最小值吗？如果有，请说明理由． (3)拓展： 已知，如图，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为70．若当电子蚂蚁从点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度，并写出此时点所表示的数． 【答案】(1)① 4，8② (2)① 9②或5③有最小值，理由见解析 (3)经过秒或9秒，点表示的数为或 【分析】（1）①利用题目所给方法列式计算即可；②由题意到B的距离与到的距离之和可表示为； （2）①即表示数的点与表示的点和与表示的点的距离和，据此解答即可；②分类讨论当时，当时，当时进行计算即可；③分类讨论当时，当时，当时，通过观察数轴即可解答； （3）设时间为秒，则，，则点P表示的数为，则点表示的数为，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：①到的距离是，到的距是， 故答案为：4，8； ②由题意：到B的距离与到的距离之和可表示为； 故答案为：； （2）解：①即表示数的点与表示的点和与表示的点的距离和， ∵表示数的点位于与之间， ∴要求的距离即为表示的点和表示的点之间的距离，即． 故答案为：9； ②∵， 当时，， ∴； 当时，，不成立； 当时，    ，           ∴； 综上：或；      ③有最小值，理由如下， 式子表示数轴表示数的点到3和1的距离之和， 当时， 如图所示，； 当时， 如图所示，； 当时， 如图所示，4； 综上所述：当时，有最小值4； （3）解：设时间为秒，则，， ∴点P表示的数为，则点表示的数为，            ∴， ∴ ∴或 ∴，或，                                         ∴或，          ∴经过秒或9秒时，两只蚂蚁相距个单位长度，点表示的数为或． 【点睛】本题考查数轴与有理数，数轴上两点间的距离，有理数的运算，绝对值的几何意义，绝对值方程，掌握相关知识是解决问题的关键． 8．如图，有理数，分别对应数轴上的点，，且，满足． (1)直接写出，的值：______；______； (2)若动点，分别从，同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，以每秒2个单位的长度的速度沿数轴向右运动，当，相遇时停止运动，当为何值时，； (3)我们规定，若在线段上存在满足，则我们称点是线段的一个分点．点从线段上的2分点出发，以每秒1个单位长度在数轴上按以下规律往返运动：第一回合，从点到点，再从点到点回到点；第二回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点；第三回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点，如此循环下去，若第秒时满足，求的最大值． 【答案】(1)； (2)当或时， (3)的最大值为秒 【分析】（1）根据平方的非负性，和绝对值的非负性，得到，，即可求解， （2）用含的代数式表示出，，代入，分，两种情况，即可求解， （3）先求出点对应的有理数，化简，求出等式成立时，对应的点的位置，找到点的运动规律，求出点最后一次经过该位置的时间，即可求解， 本题考查了数轴上的动点，解题的关键是：通过讨论化简等量关系式求解，找到运动规律． 【详解】（1）解：∵， ∴，，解得：，， 故答案为：；， （2）解：设有理数，分别对应数轴上的点，， 则：，， ∴，， ∵两球相遇时停止运动， ∴，解得：， ∴， 当时，由，可得：，解得：， 当时，由，可得：，解得：， 故答案为：当或时，， （3）解：∵点是线段上的2分点， ∴， ∵， ∴点对应的有理数， ∵，即：， ∵点一直在的左侧， ，， ∴，即：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 根据题意得： 、、、、…所对应的数为：、、、…， 、、、、…所对应的数为：、、、、…， 第三回合，点从回到点的过程中，最后一次经过点， 第一回合用时：（秒）， 第二回合用时：（秒）， 第三回合，点从点到用时：（秒）， 点从点到用时：（秒）， 点从点到点用时：（秒）， 故总用时（秒）， 故答案为：的最大值为秒． 9．阅读与运用：若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点间的距离表示为．如数轴上表示4和-1的两点之间的距离是，利用上述结论，回答以下问题：如图，在数轴上A、B两点对应的数分别为、20，数轴上有一动点P．      (1)若点P在A、B两点之间，则点P到A、B两点的距离的和为___________． (2)如图，设点P对应的数为x，数轴上一点Q在点P的右侧，且与点P始终保持相距18个单位长度，当x取何值时，点A与点P的距离、点B与点Q的距离的和为48？ (3)结合对前面问题的思考，若，求的最大值． 【答案】(1)60 (2)或5 (3)7 【分析】（1）根据数轴上两点的距离公式即可求解； （2）分在点左边，、都在、中间，点在、中间，在点右边，和、都在点右边四种情况讨论，列出相应方程即可求解； （3），可推出，进而求出即可求解． 【详解】（1）∵， ∴点到、两点的距离的和为60， 故答案为：60； （2）若在点左边，则点与点的距离为， 点与点的距离为， 由题意得： 解得：， 若、都在、中间，此时距离和为，不符合题意， 若点在、中间，在点右边， 则点与点的距离为， 点与点的距离为， 由题意得： 解得， 若、都在点右边，此时仅点与点的距离，不符合题意： 综上所述，当或5时，满足题意． （3）由前面可知，， ∵已知 当时，有最大值： 综上所述，的最大值为7． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，关键是根据、相对的位置关系分类． 10．如图，数轴上从左到右排列的，，三点的位置如图所示．点表示的数是3，和两点间的距离为8，和两点间的距离为4． (1)求，两点分别表示的数； (2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，运动时间为秒． ①当点运动到与点和点的距离相等时，求的值； ②若同时，有，两动点分别从点，同时出发，都以每秒1个单位长度的速度沿着数轴向左运动，把点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，当取最小值时，求的最大值和最小值． 【答案】(1)，7 (2)①5，②最小值是，最大值是4 【分析】本题考查两点间的距离公式，绝对值的意义，整式的加减运算． （1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）①根据题意，得到点为的中点，求出点表示的数，再进行求解即可；②表示出，，根据绝对值的意义，进行求解即可． 掌握两点间的距离公式，是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，得：点表示的数为；点表示的数为； （2）①当点运动到与点和点的距离相等时，点在中间，则点表示的数为， ∴； ②由题意，得：点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴，表示数轴上表示的点到与表示的点的距离之和， ∴当，即时，取最小值， ∴的最小值是，最大值是4． 11．已知数轴上有，两个点，分别表示有理数，． (1)数轴上点到点的距离为______；数轴上到点，的距离相等的点的位置表示的有理数为______； (2)若有动点从点出发，以每秒1个单位的速度向右移动，设移动时间为秒．用含的式子分别表示点到点和点的距离． (3)若，则的取值范围是______； (4)若表示一个有理数，则式子有最大值吗？若有，请求出最大值．若没有，说出理由． 【答案】(1)； (2)当时，，；当时，， (3) (4)有最大值，理由见解析 【分析】（1）根据两点之间的距离公式和中点公式，计算即可； （2）根据两点之间的距离公式，列出代数式即可； （3）根据两点之间的距离公式，即可解答； （4）把问题转化为式子，当最小时，代数式的值最大，根据绝对值的几何意义分析，得出当在与之间时，有最小值，然后把的最小值代入代数式，计算即可得出代数式的最大值． 【详解】（1）解：∵数轴上有，两个点，分别表示有理数，， ∴数轴上点到点的距离为； ∴数轴上到点，的距离相等的点的位置表示的有理数为； 故答案为：； （2）解：根据题意，可得：秒时点的位置为， ∴，， 当时，， 当时，， 综上所述，当时，，；当时，，． （3）解：∵表示数轴上到两点之间的距离，表示数轴上到两点之间的距离， 又∵， ∴的取值范围为：； 故答案为： （4）解：有最大值，理由如下： 根据绝对值的定义，可得：表示为点到与两点距离之和， 根据几何意义分析，可得：当在与之间时，有最小值， ∴ ， ∴式子有最大值． 【点睛】本题考查了数轴、两点之间的距离公式和中点公式、列代数式、绝对值的定义，理解绝对值的几何意义是解本题的关键． 12．我们知道：的几何意义可以理解为数轴上表示数的点与原点之间的距离，请大家运用相关知识继续探索数轴上多个点之间的距离问题： （）数轴上，两点表示的有理数为、，且．则点与点之间的距离为_____； （）继续利用绝对值的几何意义；探索的最小值是_____； （）若数轴上点对应的数为，且，求点对应的数值； （）已知数，满足，求的最小值和最大值； 【解决问题】 （）如图，一条笔直的公路边有四个居民区和市民广场，居民区分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点，那么这个便民服务点建在何处，能使服务点到四个居民区总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 【答案】（）；（）；（）或；（）最小值为，最大值为；（）便民服务点建在点或点处，能使服务点到四个居民区总路程最短，最短路程是 【分析】（）由非负数的性质得，，即得，两点表示的有理数分别为，，再根据数轴上两点间距离公式计算即可； （）由绝对值的几何意义可得式子表示数轴上数表示的点分别到和表示的点的距离之和，可知当时，距离之和最小，再利用数轴上两点间距离公式计算即可； （）由绝对值的几何意义可得式子表示数轴上数表示的点分别到和表示的点的距离之和，即可得或，再解绝对值方程求出的值即可求解； （）由已知可得，进而由的最小值为，的最小值为，可得的取值范围为，的取值范围为，进而即可求解； （）设便民服务点在数轴上表示的点处，由题意可得便民服务点到四点的距离为，可知当表示的点在表示的点到表示的点的线段上，即时，据此解答即可求解； 本题考查了绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴，， ∴，， ∴，两点表示的有理数分别为，， ∴点与点之间的距离为， 故答案为：； （）∵， ∴式子表示数轴上数表示的点分别到和表示的点的距离之和， 当时，距离之和最小，最小值为， ∴的最小值是， 故答案为：； （）式子表示数轴上数表示的点分别到和表示的点的距离之和， ∵， ∴或， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上，点对应的数值为或； （）∵， ∴， ∵的最小值为，的最小值为， ∴由绝对值的几何意义可得的取值范围为，的取值范围为， ∴当互为相反数时，取最小值，的最小值； 当，时，取最大值，的最大值； （）便民服务点建在点或点处，能使服务点到四个居民区总路程最短，最短路程是，理由如下： 设便民服务点在数轴上表示的点处， 根据题意可得，便民服务点到四点的距离为， 当表示的点在表示的点到表示的点的线段上，即时，有最小值， ∴当时，取得最小值， 此时最小值， ∴便民服务点建在点或点处，能使服务点到四个居民区总路程最短，最短路程是． 地 城 类型03 动点存在性问题 13．已知数轴上两点A、B所表示的数分别为2和10，点为数轴上一动点，其表示的数为m． (1)A、B两点间的距离是：___________． (2)若点到点、点的距离相等，则点表示的数___________． (3)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为14？若存在，请直接写出的值为___________；若不存在，说明理由； (4)现在点、点分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，点以2个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动．当点与点之间的距离为3个单位长度时，求点所表示的数是多少？ 【答案】(1)8 (2)6 (3)或13 (4)点所对应的数是或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用数量上两点间的距离公式，即可求出，两点间的距离； （2）根据点到点、点的距离相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据点到点、点的距离之和为14，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，根据点与点之间的距离为3个单位长度，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：、两点间的距离是． 故答案为：8； （2）解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：6； （3）解：根据题意得：， 即或， 解得：或， 存在，的值为或13． 故答案为：或13； （4）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或， 当时，； 当时，． 答：点所对应的数是或． 14．如图，已知数轴上两点对应的数分别为、，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)（填空）若点P从B开始向左移动6个单位长度，则______．若点P向左移动到与点A距离3个单位长度时，则点P对应的数是______． (2)（填空）当点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动，则t秒后P点表示的数是______，此时若将数轴折叠，使与3表示的点重合，则点P与数______表示的点重合（用含t的式子表示）； (3)若点P从A点出发沿数轴的负方向移动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q从B出发同向移动，速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t，在移动过程中，是否存在某一时刻t，使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；2或-4 (2) (3)存在，或 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离， 利用数形结合法列出方程． （1）根据点的移动过程可以得到答案； （2）先根据移动得到P点表示的数，然后根据中点坐标公式解题即可； （3）先写出点P和点Q对应的数，然后根据题意列方程，求解即可． 【详解】（1）已知数轴上两点对应的数分别为、， 点P从B开始向左移动6个单位长度， 则， 当点P向左移动到与点A距离3个单位长度时， 点P对应的数是或． （2）点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动， 则t秒后P点表示的数是， 数轴折叠，使与3表示的点重合， 折叠中心为， 折叠后，点P与数表示的点重合． （3）存在， t秒后，点P所在的位置表示的数为， 点Q所在的位置表示的数为， 点Q与点P之间的距离， 当等于2个单位长度时， ，即或， 解得或． 存在t使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，此时或 15．已知有理数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，且a，b满足． (1)填空：______，______，______； (2)若数轴上有P，Q两个动点，分别从A，B两点沿数轴同时相向而行，点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度是点P速度的1.5倍．当点Q运动至A点处，P，Q两点同时停止运动．取线段的中点C，设运动时间为t秒． ①当t为何值时，线段的长度与的长度相等； ②定义：把一条线段平均分成三等分的两个点，都叫线段的三等分点．请问是否存在t值，使得A，P，Q三点中有一点为另外两点构成线段的三等分点？ 【答案】(1)，3，7 (2)①或；②当三点中有一点为另外两点构成线段的三等分点时，或或或 【分析】本题主要考查绝对值、平方数的非负性，数轴上两点之间距离的计算方法，一元一次方程与路程的问题的综合，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据绝对值、平方数的非负性即可求解； （2）根据数轴上两点之间距离的计算方法分别表示出点表示的数，运用一元一次方程解路程问题的方法即可求解． 【详解】解：（1）已知， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：，3，7； （2）解：①∵t秒后，P点表示的数为：，Q点表示的数为：， ∴，， 根据题意可得，，即， 解得，或； ②根据题意得，，， 第一种情况，当时，即， 解得，； 第二种情况，当，即， 解得，； 第三种情况，当时，即， 解得； 第四种情况，时，即， 解得，； 综上所述，三点中有一点为另外两点构成线段的三等分点时，或或或． 16．如图，是最小的正整数，且． (1)填空：　　，　　，　　； (2)在数轴上，所对应的点分别为，，点为一动点，其对应的数为，点在之间（不含，两点）运动时，请化简式子：； (3)在（1）（2）的条件下，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒2个单位长度的速度向右运动，点从原点开始以每秒个单位长度的速度运动，运动时间为秒，运动过程中，点始终在之间（不含，两点）运动，请问：是否存在，使得的值不随着时间的变化而变化．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1，，16 (2) (3)存在，的值为 【分析】本题考查数轴及绝对值和偶次幂的非负性，涉及非负数的性质、绝对值、数轴、偶次方等知识，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． （1）根据绝对值和完全平方的非负性即可解决问题； （2）根据点在数轴上的位置，可得出点对应数的取值范围，进而可解决问题； （3）用含和的代数式表示出的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：是最小的正整数， ， 又，则，，解得，， 故答案为：1，，16； （2）解：点在之间，且对应的数为， ，则，， 原式； （3）解：由题知，分两种情况讨论： 当点向左运动时，秒后点对应的数可表示为；点对应的数可表示为；点对应的数可表示为； ；， ， 的值不随着时间的变化而变化， ，解得； 当点向右运动时，秒后点对应的数可表示为；点对应的数可表示为；点对应的数可表示为； ；， ， 的值不随着时间的变化而变化， ，解得，不符合题意； 综上所述，的值为． 17．已知是关于的一元一次方程，且方程的解是，若数轴上、两点所对应的数分别是和．    (1)则______，______、、两点之间的距离______； (2)有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度……按照如此规律不断地左右运动，当运动到2023次时，求点所对应的有理数． (3)在（2）的条件下，是否存在一点，使它到点的距离是到点的距离的3倍？若存在，请你直接写出点的位置． 【答案】(1)，6，8 (2) (3)存在，点位置对应的有理数为或0 【分析】本题考查了有理数加减运算，一元一次方程和数轴，数轴上两点之间的距离． （1）根据一元一次方程的定义，方程的解，直接可求解； （2）根据点的运动特点，可得：； （3）①当P点在A点的左侧时，得到，P点对应的数是；②当P点在之间时，得到，P点对应的数是． 用数轴上点表示有理数；根据点的运动特点，分情况列出合适的代数式进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ∵方程的解是， ∴，解得， ∴， 故答案为：，6，8； （2）解：由题意可得： ； （3）解：①当P点在A点的左侧时， ∵， ∴， ∴， ∴P点对应的数是； ②当P点在之间时， ∵， ∴， ∴， ∴P点对应的数是， ∴P点对应的数为或0． 18．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，且．动点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒（）． (1)数轴上点A表示的数为______，点B表示的数为______； (2)当为何值时，点P、Q两点重合？ (3)动点M从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，且点P，Q，M同时出发，是否存在m使得式子的值不随时间t的变化而变化？若存在，请求m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，20 (2) (3)存在， 【分析】本题考查数轴，绝对值和平方的非负性，一元一次方程，整式的化简． （1）根据绝对值和平方的非负性即可解答； （2）运动时间为秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，当点P、Q重合时，则，求解即可解答； （3）表示出点M表示的数，从而得到，，，由于的值不随时间t的变化而变化，可得，求解即可． 【详解】（1）∵，， 且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴数轴上点A表示的数为，点B表示的数为20； 故答案为：，20． （2）运动时间为秒时， 点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点P、Q两点重合时，， 解得． （3）存在，m的值为4，理由如下： ∵动点M从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动， ∴点M表示的数为， ∵点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ， ∴， ∵的值不随时间t的变化而变化， ∴， ∴， 即存在这样的m，m的值为4． 地 城 类型04 折线数轴动点 19．如图1，点A表示的数为，点B表示的数为4，现将点A和点B的位置保持不变，将原点向上平移，得到图2的“等腰数轴”．在“等腰数轴”上，若两个点落在之间，并且两个点表示的数互为相反数，则这两个点的“等腰距离”即为所代表两个数绝对值之和的，例如：点C和点D分别表示的数为和2，点C和点D的“等腰距离”为；其余两点之间的“等腰距离”为两个数之差的绝对值，例如：点C和点E的“等腰距离”为． (1)点A和点B的“等腰距离”为__________；若点F表示的数为9，则点A和点F的“等腰距离”为__________． (2)若点M表示的数为，且点M和点N的“等腰距离”为，则点N表示的数为__________．（提示：分情况讨论） (3)点G表示的数为，点F表示的数为9，点P和点Q是“等腰数轴”上的两个动点．点P从点G出发，以每秒1个单位长度的速度向点F运动，同一时刻，点Q从点F出发，以每秒2个单位长度的速度向点G运动，当有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． ①当点P运动时，点P和点Q的“等腰距离”为__________； ②在点P和点Q运动的过程中，设运动时间为，是否存在某一时刻，使点P和点Q的“等腰距离”为5？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2  13 (2)1或或 (3)①；②存在，t的值为或 【分析】（1）根据“等腰距离”的定义，即可求解； （2）设点N表示的数为x，分两种情况讨论若M，N两个点表示的数互为相反数；若M，N两个点表示的数不是互为相反数，结合“等腰距离”的定义，即可求解； （3）①先求出当点P运动时，点P，Q表示的数，结合“等腰距离”的定义，即可求解；②根据题意可得P，Q两个点表示的数不是互为相反数，再根据“等腰距离”的定义，可得，解出即可． 【详解】（1）解：根据题意得：点A和点B的“等腰距离”为； ∵点F表示的数为9， ∴点A和点F的“等腰距离”为； 故答案为：2；13 （2）解：设点N表示的数为x， 若M，N两个点表示的数互为相反数，则点N表示的数为1，此时满足点M和点N的“等腰距离”为， 若M，N两个点表示的数不是互为相反数， ∵点M表示的数为，点M和点N的“等腰距离”为， ∴， 解得：或； 综上所述，点N表示的数为1或或； 故答案为：1或或 （3）解：①根据题意得：当点P运动时，点P表示的数是， 点Q表示的数是， 点P和点Q的“等腰距离”为； 故答案为： ②存在， 根据题意得：P，Q两个点表示的数互为相反数，则点P和点Q的“等腰距离”最大为， ∴P，Q两个点表示的数不是互为相反数， ∴， 解得：或； 即存在某一时刻，使点P和点Q的“等腰距离”为5，此时 t的值为或． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，绝对值方程，理解“等腰距离”的定义是解题的关键． 20．数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题，已知a、b为常数且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图1所示，O为原点，点C在原点右侧，且点C与点A到原点的距离相等． (1)则_______，_______； (2)如图2，我们将图1的数轴在点O和点C处各弯折一次，弯折后与处于水平位置，线段处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O为“折坡数轴”原点，在“折坡数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数．记为“折坡数轴”拉直后点A和点B的距离：即，其中代表线段的长度．定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍．动点M从点A处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向右移动到点O，再下坡到点C，然后再沿方向移动，在点M出发的同时，动点N从点B处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向左移动到点C，再上坡移动，当移到点O时，立即掉头返回（掉头时间不计），当点N重新回到点B时所有运动结束，设点N运动时间为t秒，在移动过程中： ①若M，N两点在点Q处相遇，则点Q在“折坡数轴”上所表示的数是多少． ②在点N从点O返回之前，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①M和N的相遇点Q所对应的数为；②存在，符合题意的t的值为：或 【分析】（1）根据绝对值的非负性即可得出结果； （2）①由题可知，点M和N相遇在线段上于Q处，根据运动时间相等，可列出方程求解即可； ②分别求出点M和N的运动时间，结合点M和点N的不同位置，分两种情况分析，然后根据列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴解得， 故答案为：； （2）解：①由题意得，C表示的数为4，，， 由题可知，M和N两点相遇在线段于Q处，设，则， 因为M和N两点分别在上运动的时间相同， 则， 解得， 则Q表示的数为， 故M和N的相遇点Q所对应的数为； ②存在，理由如下： ∵， ∴点M从A到O所需时间为：， ∵， ∴点M从O到C所需时间为：， ∵， ∴点N从B到C所需时间为：， 点N从C到O所需时间为： 点N返回时， 点N从O到C所需时间为：， 点N从C到B所需时间为：， 由此再分类讨论如下： （1）当点M在上时，点N在上运动，此时， 此时； ， ∴， 解得； （2）当点N在上时， ①点M在上且点M和点N相遇前，当两点相遇时，，当， ， ， ∴ 解得； ②点M在上，且M和N相遇后，即， 此时， ， ∴，无解； ③当点M在上时，即， 此时，， ∴， 解得，不符合题意；, 综上所述，符合题意的t的值为：或． 【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类计算时不重不漏． 21．已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，c满足，a，b互为相反数（如图1）．    (1)求a，b，c的值； (2)如图1，若点A，B，C分别同时以每秒4个单位长度，1个单位长度和个单位长度向左运动，假设经过t秒后，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间距离表示为，若的值始终保持不变，求m的值； (3)如图2，将图1中的数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为56个单位长度）．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发仍以（2）中的每秒m个单位长度的速度沿“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，当点P到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【答案】(1) (2) (3)或或11或17 【分析】（1）根据绝对值与偶次方的非负性可分别求出a和c的值，又由a，b互为相反数即可求出b的值； （2）分别用含有t的式子表示出、的长度，再根据列式计算即可； （3）P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等有五种情况，分别进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵，即， ， 解得， 又∵a，b互为相反数， ， 综上所述：； （2）解：经过t秒后，，，， 由（1）知， ， ， 整理得， 的值始终保持不变， ， 解得； （3）解：图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为56个单位长度，且a，b互为相反数， ， P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等有五种情况， 由题意得：P在上运动的速度，在上运动的速度，在上运动的速度； Q在上运动的速度，在上运动的速度，在上运动的速度； ①：P在，Q在上运动时， ， ， 解得：； ②P在，Q在上运动时， ，， ， 解得：； ③P在，Q在上运动时， ， ， 解得：； ④P在，Q在上运动时， ， ， 解得：， ⑤当P在，Q在上时， ，， ， ． 综上所述，当或或11或17时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【点睛】本题重点考查如何表示线段的长度，根据题目要求正确列出方程求解是解题的关键，另外还要注意运动过程中速度的变化． 22．已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中，a，b互为相反数（如图1）． (1)求a，b，c的值； (2)如图1，若点A，B，C分别同时以每秒4个单位长度，1个单位长度和m个单位长度向右运动，假设经过t秒后，点A与点B之间距离表示为，点A与点C之间距离表示为，若的值始终保持不变； (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条”折线数轴”（图中A，C两点在”折线数轴”上的距离为56个单位长度），动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿”折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度均为原来的一半；同时，动点Q从点C出发仍以（2）中每秒m个单位长度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度均为原来的2倍，之后立刻恢复，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在”折线数轴”上的距离与Q，B两点在”折线数轴”的距离相等． 【答案】(1)， (2) (3)当或6.7或11或17时，P，B两点在“折线数轴”的距离相等 【分析】（1）令可分别求出a和c的值，又由a，b互为相反数即可求出b的值； （2）分别用含有t的式子表示出的长度，再根据列式计算即可； （3）P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等有四种情况，分别进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得， 又∵a，b互为相反数， ∴， 综上所述：； （2）经过t秒后，， ∴，， ∴， ∵的值始终保持不变 ∴， 解得； （3）P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在”折线数轴”的距离相等有四种情况： 由题意得：P在上运动的速度，在上运动的速度，在上运动的速度； Q在上运动的速度，在上运动的速度，在上运动的速度； ①P在，Q在上运动时，， ∵ ∴； ②P在，Q在上运动时， ∵， ∴； ③P在，Q在上运动时，，， ∴； ④P在，Q在上运动时， ∴， 综上所述，当或6.7或11或17时，P，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【点睛】本题重点考查如何表示线段的长度，根据题目要求正确列出方程求解是解题的关键，另外还要注意运动过程中速度的变化． 23．已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，c满足，a，b互为相反数（如图1）．              图1                                           图2 (1)请求出a，b，c的值； (2)点P为一动点，其对应的数为x，若，求x的值： (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为28个单位长度），动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，在段运动速度变为原来的一半，之后立刻恢复：P从点A运动同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在段运动速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【答案】(1)，， (2)或 (3)2秒或秒或11秒或17秒 【分析】（1）根据非负数的性质即可求解； （2）利用绝对值表示出，，根据列出方程，解之即可． （3）由路程、速度、时间三者关系，根据分类求出四种情况下的时间为2秒或秒或11秒或17秒． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵a，b互为相反数， ∴； （2），， ∵， ∴， 解得：或； （3）当点在，点在上运动时，依题意得： ， 解得：， 当点、两点都在上运动时， 解得：， 当在上，在上运动时， ， 解得：； 当在上，在上运动时， ， 解得：； 即时，运动的时间为2秒或秒或11秒或17秒． 【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，数轴上的动点问题，非负数的性质，绝对值的意义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，数形结合思想，分类讨论的方法． 24．如图，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、，其中、满足，点到原点距离是点到原点距离的倍． (1)填空： _____， _____， _____； (2)如图，若点、、分别同时以每秒个单位长度、个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为． ①为何值时，？ ②若的值始终保持不变，求的值： (3)如图，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若、两点在点处相遇，则点表示的数为_____． 【答案】(1)，， (2)①，② (3) 【分析】（1）由可得：，，从而可求出、，再根据点到原点距离是点到原点距离的倍，可求出； （2）①把，用含有的式子表达，根据列出关于的方程即可求解； ②先把、的长度分别用含有的式子表达，然后再用含有的式子表达出，由的值始终保持不变，可令，分别得出的值，最后列出关于的一元一次方程即可求解； （3）先由题意分别计算点运动到点、、三点时的值，再分类讨论在、、上相遇的值是否符合题意即可． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， 点到原点距离是点到原点距离的倍，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：①由（1）可知，，，， ∴点向左平移对应的点的数是，点向左平移对应的点的数是，点向左平移对应的点的数是， ，， ， ， ； ②已知点以每秒个单位长度向左运动，以每秒个单位长度向左运动，以每秒个单位长度向左运动， ，， ， 第一种情况：当时，， 令时，；令时，； 的值始终保持不变， ， ； 第二种情况：当时，， 令时，；令时，； 的值始终保持不变， ∴， 解得，； ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴． （3）解：点表示的数为，以每秒个单位长度的速度沿正方向运动至点， ∴移动后的数表示为：，当点移动至点时，， ∴， 根据题意可知、、， ∴当点运动到点时，；运动到点时，，运动到点时，， ①点、点在上相遇， 则，， ∵， ∴不符合题意； ②点、点在上相遇， 则， ， ∵， ∴不符合题意； ③点、点在上相遇， 则，， ∵，符合题意， ∴点表示的数为：， ∴点表示的数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程，数轴上的动点问题，如何表示线段的长度，绝对值的非负性，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程，分类讨论，还需注意运动过程中速度的变化． 地 城 类型05 动点变速问题 25．对于数轴上的定点和动点，如果满足：①点以速度沿数轴正方向运动，经过点后以速度继续沿数轴正方向运动；②点以速度沿数轴负方向运动，经过点后以速度继续沿数轴负方向运动，那么称定点为“变速点”.点在数轴上分别表示有理数，且满足. (1)点表示的数为 ，点表示的数为 . (2)若变速点在线段上，且满足点到点的距离与点到点的距离相等： ①当动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，则点在第 秒时与点重合； ②当动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，则点在第 秒时与点重合. (3)若在线段上存在一变速点（不与点，重合），点表示的数为.动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，若它们在点处相遇，且点表示的数为5，求的值. 【答案】(1)； 10 (2)① 9；② 18 (3)1或7 【分析】本题主要考查绝对值的非负性、有理数混合运算的应用以及一元一次方程的应用： （1）运用绝对值的非负性解题即可； （2）直接根据与变速点有关的计算规律进行计算即可； （3）分，两种情况，结合与变速点有关的计算规律列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得， 故答案为：，； （2）解：∵点到点的距离与点到点的距离相等， ∴点表示的数为：，且， (秒), 故答案为:； ②(秒), 故答案为: ； （3）由题可得，， 若，则 解得； 若时, 则 解得， 答:的值为或. 26．已知A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足.动点M从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时，动点N从点C出发，以1个单位长度/秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为：从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.当点M到达点C时，两点都停止运动.设运动的时间为t秒.    (1) ， ， ； (2)M，N两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数. (3)点D为线段中点，当t为多少秒时，？ 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据绝对值的非负性，数轴上两点间的距离公式计算即可． （2）设M，N相遇于点P，且点P表示的数为m，则点M用时为，，点N用时为，根据题意，得，计算即可． （3）根据线段中点的性质求出点D的坐标，设时间为t，分五种情况进行讨论，分别求出每种情况下点M和点N的坐标，再根据两点间的距离公式求出和，令，解方程即可得出答案． 【详解】（1）∵A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足， ∴， 故A表示的数是，C表示的数是， ∴， 故答案为：． （2）设M，N相遇于点P，且点P表示的数为m， ①当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时无法相遇； ②当点M在上，点N在上时，无法相遇； ③当点M在上，点N在上时， 则，， ∴点M用时为，点N用时为， 根据题意，得， 解得， 故相遇点在数轴上所对应的数． （3）∵A表示的数是，点B表示的数是10，C表示的数是，点D为线段中点， ∴点D表示的数是5； 设运动t秒时， ， ①当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； ②当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 无解； ③当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； ④当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； ⑤当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； 综上所述，当或或或时，． 【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，点表示的有理数，分类思想，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键. 27．如图，点O是数轴的原点，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足． (1)点A表示的数是______，点B表示的数是______； (2)动点P、Q分别从点A和点O同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向运动，点Q以每秒3个单位长度的速度向正方向运动，点Q运动到点B后立即沿射线的方向以原速度运动，点P、Q在点C的位置相遇，求点C表示的数； (3)在（2）的条件下，若从点P、Q相遇开始，动点N从点O出发以每秒0．5个单位长度的速度向数轴正方向运动，点Q的速度变为每秒个单位长度，点P的速度不变，设动点N运动的时间为t秒，求当t为何值，点P刚好是线段的一个三等分点，并直接写出此时点N所表示的数． 【答案】(1)，4 (2) (3)点N表示的数为或 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据绝对值和平方的非负性，即可解答； （2）易得，设经过x秒后，点P和点Q相遇，根据相遇时，两点的路程和等于，列出方程求出x的值，即可得出点C表示的数； （3）根据题意得出，，，然后进行分类讨论：①当时， ②当时． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：，4； （2）解：∵， ∴， 设经过x秒后，点P和点Q相遇， ， 解得：， ∴点C表示的数为； （3）解：根据题意可得：点P表示的数为，点Q表示的数为，点N表示的数为， ，，， ①当时，， 解得：， ∴点N表示的数为； ②当时，， 解得：， ∴点N表示的数为； 综上：点N表示的数为或． 28．数轴上点对应的数分别为，其中满足，点为数轴上一动点． (1)______，______； (2)若点到点的距离之和为55，求点对应的数； (3)若点从点以2个单位每秒的速度向点运动，到达点后立即掉头，速度变为原来的3倍，当点运动3秒后，点与点同时出发，点从点以1个单位每秒的速度向左运动，点以5个单位每秒的速度从表示10的点处向左出发，当点与点相遇后，点的速度变为原来的2倍，并继续向左运动，直到点追上点后所有点停止运动．求点运动多少秒时． 【答案】(1)， (2)点对应的数为或 (3)点运动秒或秒时 【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性求解即可； （2）设点对应的数为，分点在点的左侧，点在点的右侧时，两种情况讨论，根据题意列式求解即可； （3）要使，观察数轴上点的运动，发现需要分情况讨论： ①当点与点相遇前的情况：假设点P运动了秒，得到点、点、点T关于t的表达式，据此列式计算求解，需要注意此时点P与点Q是否已经相遇； ②当点与点相遇后的情况：先求得点Q到达点B与点P相遇；得到点P运动7秒后，从B向A以6的个单位每秒运动，同时点Q以10的个单位每秒从B继续向左运动，点T从表示的点以1的个单位每秒继续向左运动，设点P运动7秒后，又运动了秒，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， 故答案为：，； （2）解：设点对应的数为， ， 当点在点的左侧时， 则，， 依题意得， 解得； 当点在点的右侧时， 则，， 依题意得， 解得； 综上，点对应的数为或； （3）解：要使，需要分情况讨论： ①当点与点相遇前的情况： 此时点从点以2个单位每秒的速度运动，点从点以1个单位每秒的速度向左运动，点以5个单位每秒的速度向左运动， 假设点P运动t秒，则点Q、T分别运动了秒， 则点P表示的数为，点Q表示的数为，点T表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得 点P从点A到点B用时秒， 此时，点Q运动秒，，即点Q到达点B与点P相遇， 故符合题意； ②当点与点相遇前的情况： 点P从点A到点B用时秒， 此时，点Q运动秒，，即点Q到达点B与点P相遇； 此时点T运动秒，，即点T到达表示的点； 此时点P的运动速度为个单位每秒，点Q的运动速度为个单位每秒， 即点P运动7秒后，从B向A以6的个单位每秒运动，同时点Q以10的个单位每秒从B继续向左运动，点T从表示的点以1的个单位每秒继续向左运动， 设点P运动7秒后，又运动了秒， 则点P表示的数为，点Q表示的数为，点T表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得， 点追上点，则，解得，则符合题意， 秒， 故点运动秒或秒时． 【点睛】本题考查数轴、绝对值、一元一次方程等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 29．已知关于x的多项式是二次多项式．如图1．在数轴上有A、B、C三个点，且A、B、C三点所表示的数分别是a，b，．有两条动线段和（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边）．，，线段从点B开始沿数轴向左运动，同时线段从点A开始沿数轴向右运动，当点Q运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，当点P运动到点C时，线段同时停止运动，设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． (1)直接依次写出a，b的值：__________，__________； (2)如图2，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右匀速运动，当C、Q、M中任意一点为其他两点构成线段的中点时，求时间t； (3)如图3，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右运动，当两条线段有重合部分时，线段的速度变为原来的倍，线段的速度变为原来的2倍，当重合部分消失后速度恢复，请直接写出当线段和重合部分长度为1时所对应的t的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】本题考查两点间距离，列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握线段上两点间距离的求法，能够准确表示数轴上的点是解题的关键． （1）由已知可得即可求； （2）分点Q在到达点B前或到达点B后，两种情况分别求解即可； （3）分四种情况：①当点P与点M第一次相遇后，点Q在点M右侧1个单位长度处；②当点P与点M第一次相遇后，点P在点N左侧1个单位长度处；③当点P追上点N后，点P在点N左侧1个单位长度处；④当点P追上点N后，点Q在点M右侧1个单位长度处，四种情况分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：关于x的多项式是二次多项式， ， ， 故答案为：，； （2）解：点Q在到达点B前： ①当点Q为中点时，， 点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边，，， 点Q表示的数为：，点M表示的数为：， ， ，即， 解得：； ②当点M为中点时，， ， ，即， 解得：（不合题意，舍去）； 点Q在到达点B时：， 点Q在到达点B后： 点Q表示的数为：，点M表示的数为：， ①当点M为中点时，， ， ，即， 解得：（舍去，不符合题意）； ②当点Q为中点时，， ， ，即， 解得：； 当点P运动到点C时，线段同时停止运动， 此时：， 综上，t的值为或； （3）解：当点Q与点M第一次重合时，则， 解得， ∴此时点Q表示的数为，点M表示的数为5， ∴点P表示的数为，点N表示的数为 当时，Q表示的数为，P表示的数为， 当时（两条线段有交点），Q表示的数是，P表示的数是， N表示的数是，M表示的数是， 当点P与点N第一次重合时，则， 解得， ∴此时点Q表示的数为，点N表示的数为； ①Q未到达C，若Q在M右边1个单位时，， 解得， ②Q未到达C，N在P右侧1个单位时，， 解得； 当点Q到达点C时，则， 解得， ∴此时点N表示的数为，点P表示的数为， 当点P追上点N时，则， 解得， ∴此时点P表示的数为； ∴当（两条线段有交点），点P表示的数为，点Q表示的数为，点N表示的数为，点M表示的数为； ③当点P在点N左侧1个单位长度时，则， 解得； ④当点Q在点M右侧1个单位长度时，则 解得； 综上所述，t的值是或或或． 30．已知a、b为常数，且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒． (1)求a、b的值； (2)请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：______；点F在数轴上对应的数为：______； (3)当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍，在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，请求出运动时间t的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式， （1）根据绝对值和平方式的非负性得出a和b的值即可； （2）根据点的运动得出代数式即可； （3）分四种不同情况进行分类讨论，根据路程=速度×时间，列方程求解即可． 解题的关键是要运用分类讨论的思想． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：由题意可知，E点对应的数为：， F对应的数为， 故答案为：，； （3）解：在相遇前：， 设时E、F相遇， 即； 解得， ①当E点在F点左侧时，且F点没动时， 由题意可得，， 解得：， ②当E点在F点左侧时，且F点已动时， ， 解得：， ③当点E在点F右侧时， 由题意， 解得：， 综上所述，符合条件的t的值为：． 地 城 类型06 折返问题 31．知识背景：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律：比如数轴上点A、点B表示的数为a、b，则两点之间的距离；线段的中点P表示的数为．问题呈现：已知数轴上两点A、B表示的数分别为、10，点M从点A出发，以每秒3个单位的速度向点B运动，同时点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动．设线段的中点为P，点N的运动时间为t秒． (1)线段的中点表示的数为 ；点N表示的数为 （用含的代数式表示）． (2)当M、N两点相距6个单位时，求t的值． (3)当点P与数轴上表示的点重合时，求t的值； (4)若点M到达点B后停留7秒，随后立即以原速返回，点N到达点A后立即以原速返回，两点再次相遇时，停止运动在整个运动过程中，当时，直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)t的值为或 (3)t的值为2 (4)t的值为或或或 【分析】（1）根据数轴上两点A、B表示的数分别为、10，列式求出线段中点表示的数，根据N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，点N的运动时间为t秒，得到点N表示的数为，即可求出； （2）由M、N两点相距6个单位，可得，即可解得答案； （3）求出的中点P表示的数是，根据点P与数轴上表示的点重合列式计算，可解得答案； （4）分四种情况：当时，列式， 当时，列式，当时，列式，当时，列式，分别解方程可得结果． 本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示的数． 【详解】（1）解：∵数轴上两点A、B表示的数分别为、10， ∴线段的中点表示的数为， ∵N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，点N的运动时间为t秒， ∴点N表示的数为， 故答案为：，； （2）解：∵点M从点A出发，以每秒3个单位的速度向点B运动， ∴点M表示的数为， 点N表示的数为， ∵M、N两点相距6个单位， ∴， 解得或， ∴t的值为或； （3）解：∵点M表示的数为，点N表示的数为， ∴的中点P表示的数是， ∴， 解得， ∴t的值为2； （4）解：M从A到B所需时间为（秒）， N从B到A所需时间为（秒）， 当时，M表示的数为，点N表示的数为，P表示的数是， ∴， 解得； 当时，M表示的数是10，N表示的数是， ∴P表示的数是， ∴， 解得； 当时，M表示的数是10，N表示的数是， ∴P表示的数是， ∴， 解得； 当时，M表示的数是，N表示的数是，P表示的数为， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或或或． 32．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)10，1 (2)当或或时，P，Q两点间距离为3 (3)，理由见详解 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离和中点坐标，数轴上动点问题以及分类讨论思想， 结合点和点表示的数，利用两点之间距离即可求得，利用中点坐标即可求得线段的中点表示的数； 当点P与点B重合时，求得；同理求得点Q与点A重合时的t；当点Q返回到点B时的t，当时，点P表示的数，点Q表示的数，结合题意即可列出方程求的t；当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，同理求的t即可； 根据题意得，，当点到达点之前，即当时，点M表示的数是，点N表示的数是，即可得即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为6， ∴， 线段的中点表示的数为∶， 故答案为：10，1 （2）当点P与点B重合时，； 当点Q与点A重合时，； 当点Q返回到点B时，， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得或 (不符合题意，舍去)， 综上所述，当或或时，P，Q两点间距离为3． （3），理由如下： ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， 当点到达点之前，即当时， 点M表示的数是， 点N表示的数是， ∵， ∴， ∴． 33．在数轴上有三个点，，它们表示的有理数分别为，，，已知是最大的负整数，且． (1) ______， ______， ______； (2)如果数轴上点到、两点的距离相等，则点表示的数为______； 如果数轴上点到点的距离是，则点表示的数为______； (3)在数轴上是否存在一点，使点到点的距离是点到点的距离的倍？若存在，请直接写出点表示的数；若不存在，请说明理由； (4)甲、乙两点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度从点、同时出发向点运动，甲到达点后以原来倍的速度返回，求几秒后甲、乙两点相距个单位长度？ 【答案】(1) (2)①；②4或 (3)或 (4)秒或秒 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及非负数的性质，数轴上两点间的距离的表示． （1）根据有理数的概念求出的值，再根据非负数的性质列式求出、的值； （2）①设点表示的数为，然后表示出点到点、的距离并列出方程求解即可；②设点表示的数为，然后列出绝对值方程求解即可； （3）设点表示的数为，然后列出绝对值方程，再求解即可； （4）先求出甲到达点的时间，再利用相距个单位长度，列绝对值方程求解，最后加上甲到达点的时间即可． 【详解】（1）解：是最大的负整数， ， ， ，， ，； 故答案为：，，； （2）解：①设点表示的数为， ， 解得：， 即点表示的数为； ②设点表示的数为， ， 解得：或， 即点表示的数为或； 故答案为：；或； （3）解：设点表示的数为， ， 解得：或， 即点表示的数为或； （4）解：甲的速度比乙快， 当两者距离个单位长度时，甲正从返回， 设时间为，当甲到达点时，时间为秒， 此时乙表示的数为， 则或， 解得：或， 秒，秒， 秒或秒后甲、乙两点相距个单位长度． 34．如图所示，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b．    (1)化简：； (2)表示A点和B点之间的距离（即），已知a，b分别是方程和方程的解，求A，B两点之间的距离； (3)在（2）的条件下，若动点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q到达点A后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点P到达点B时，P、Q两点运动随之停止．设运动时间为秒，则t为何值时，． 【答案】(1) (2)15 (3)或或 【分析】（1）根据数轴可得，则，再化简绝对值即可； （2）先分别解方程可得，，再利用两点之间的距离可得答案； （3）当Q到达A时，，当P到达B时，，再分、两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴，解得：； ∵， ∴，解得：； ∴； （3）解：当Q到达A时，；当P到达B时，， 当时，P对应的数为，Q对应的数为， 当时， ∴，即， ∴或，解得：或； 当时， P对应的数为，Q对应的数为， 当时， ∴，即：， ∴或，解得：或（其中不符合题意）， 综上：或或． 【点睛】本题主要考查了绝对值的化简、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用知识点，理解题意、建立方程解题以及清晰的分类讨论是解本题的关键． 35．如图，点A，B分别对应数轴上的数a，b，且a，b满足，点C是线段上一点，，C点对应数轴上的数c． (1)________，________，________； (2)点P，Q分别从C，B同时出发，点P以每秒2个单位，点Q以每秒1个单位的速度，向左运动，当时，求点P表示的数； (3)在（2）的条件下，点M同时从点A出发，以每秒3个单位的速度向右运动，到达点B后，立即返回，当点M是的中点时，请直接写出时间t（秒）为何值． 【答案】(1)，7，4； (2)或 (3)秒或秒 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键． （1）根据绝对值和平方的非负性即可求解； （2）设运动时间为，可得，根据即可建立方程求解； （3）分类讨论时时两种情况即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴点A，B分别对应数轴上的数为：，7， ∵C点对应数轴上的数c，， ∴， 解得： 故答案为：，7，4 （2）解：设运动时间为， 由题意得：点P表示的数为：；点Q表示的数为：； ∴ ∴ 解得：或， ∴或 ∴点P表示的数为或 （3）解：由（2）可得：的中点表示的数为：， 时，点M表示的数为：， ∴， 解得： 时，点M表示的数为：， ， 解得： 综上所述，秒或秒 36．如图，数轴上三点分别表示的数是，点表示的数为． 【阅读材料】在数轴上，数表示的点到原点的距离叫做的绝对值，记为；数轴上数表示的点与数表示的点之间的距离记为（或；数轴上数表示的点到数表示的点与数表示的点的距离之和记为． 【初步应用】 （1）填空：若，则______；若，则______； 【延伸探究】 （2）若点表示的数为，则的最小值是______； 【拓展探究】 （3）若点表示的数为，当取最小值时，动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，到达点后立即以每秒1个单位长度的速度返回点A；动点从点出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，当到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度返回点，同时开始运动，且各自返回到起点时停止运动．求经过多少秒时，点、点之间的距离恰好等于点到点之间的距离． 【答案】（1）7或，0；（2）8；（3）当经过秒或秒或秒或秒时，点、点之间的距离恰好等于点到点之间的距离． 【分析】（1）根据绝对值的意义即可； （2）根据题意得出可以表示为点P到与4的距离之和，结合数轴即可得出结果； （3）若点表示的数为，当取最小值时，，设经过的时间为，故点表示的数为，再分四种情况讨论，四种情况分别是：当点M、N第一次相遇之前时，即时， 当点M、N第一次相遇之后时，即时，当时，即第二次相遇之前时，当时，即第二次相遇之后时．分别求解即可 【详解】解：（1）∵， 或， ∵， ， 故答案为：7或，0； （2）可以表示为点P到与4的距离之和， 当点P在与4之间时，取得最小值为8， 故答案为：8； （3）若点表示的数为，当取最小值时，， 设经过的时间为，故点表示的数为， ∴点到点之间的距离为， ∵动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，动点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动， ∴相遇时：，点M到点C的时间为，点N到点A的时间为；两个点同时回到终点时间为； 当点M、N第一次相遇之前时，即时， 点M表示的数为，点N表示的数为：， ∴， 解得：； 当点M、N第一次相遇之后时，即时， 点M表示的数为，点N表示的数为：， ∴， 解得：； ∵动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，到达点后立即以每秒1个单位长度的速度返回点A；动点从点出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，当到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度返回点， ∴第二次相遇时满足：， 解得：， 当时，即第二次相遇之前时， 点M表示的数为，点N表示的数为：， ， 解得：； 当时，即第二次相遇之后时， 点M表示的数为，点N表示的数为：， ， 解得：； 综上所述：当经过秒或秒或秒或秒时，点、点之间的距离恰好等于点到点之间的距离． 【点睛】本题主要考查整式的加减运算，绝对值与数轴的综合应用，解决此题时，能够熟练掌握绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数是解决此题的关键，注意进行分情况讨论． 地 城 类型07 多动点问题（三点及以上） 37．一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A：，B：，C：4 (2)①点P与点B之间的距离为1；②不存在一个有理数m，使的值始终保持不变，理由见解析 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的点表示数，数轴上点的移动等知识点，解决此题的关键是读懂题意用式子表示出每个点； （1）运用数轴上的点可以用有理数表示和数轴上两点间的距离公式即可得到答案； （2）①根据点的运动规律用有理数表示出运动后点表示的数，再运用数轴上两点间的距离公式即可得到答案； ②先根据点的运动规律表示出运动后点表示的数，根据两点间的距离公式用式子表示运动距离，再根据题意列出整式，根据项无关得到结果进行对比即可得到答案； 【详解】（1）解：∵点从数轴原点开始，向左移动3个单位， ∴点表示的数为，再向右移7个单位， ∴点表示的数为，、C两点间距离为， ∴接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B，那么B点到A、C的距离均为， ∴点表示的数为， 即A：，B：，C：4； （2）解：①动点P从点C出发，速度为每秒个单位长度，运动15秒，移动的距离为， ∵表示的数为4， ∴表示的数为：，又B表示的数为， ∴点P与点B之间的距离为1， 动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． ②由题意知，运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为， 则，， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 所以，不存在一个有理数m，使的值始终保持不变． 38．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点，，开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． ①_____，________．（用含的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． ③若点，，与三点同时开始在数轴上运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，请含的式子表示． 【答案】(1)，3 (2)①；；②不变，16；③或． 【分析】（1）根据最大的负整数是，单项式的次数是3，得到，得到，3即可． （2）①根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为，根据公式计算解答即可． ②根据题意，得，，代入，化简计算说明即可． ③根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，点M运动路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，点M起始数为0，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为，点M表示的数是，分点M在点A的左侧和右侧两种情形解答即可． 本题考查了最大的负整数，单项式的次数，数轴上运动路程，两点间的距离，分类思想，代数式的无关问题，熟练掌握运动路程与表示数的关系，两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】（1）根据最大的负整数是，单项式的次数是3， 得，， 故答案为：，3． （2）①根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， 故答案为：；． ②根据题意，得，， ∴． 故的值不变，这个常数是16． ③根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，点M运动路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，点M起始数为0，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为，点M表示的数是，分点M在点A的左侧和右侧两种情形解答即可． 当在的右侧时，根据题意，得，， ∴． 当在的左侧时，根据题意，得，， ∴． 39．已知如图，数轴上、、三点分别对应有理数、、，且满足． (1)求、、的值； (2)若点在之间，且，求点对应的数； (3)动点从点出发以2单位秒的速度向左运动，动点从点出发以4单位秒的速度向左运动，动点从点出发以单位秒的速度向左运动，三点同时出发，若三点同时到达同一点，求的值，并求点对应的数； (4)动点从点出发以2单位秒的速度向左运动，动点从点出发以4单位秒的速度向左运动，动点从点出发以6单位秒的速度向左运动，三点同时出发，在运动过程中，为的中点，为的中点，是否存在某时刻，、两点到原点的距离相等？若存在，求出运动时间． 【答案】(1) (2)D 点对应的数为 (3)，E 点对应的数为 (4)存在，运动时间为 【分析】（1）由绝对值及偶次方的非负性可求出，，的值； （2）先设点对应的数为，根据数轴上两点间的距离可以用分别表示出，，，再根据求出即可； （3）设运动时间为，则点对应的数为：；点对应的数为：；点对应的数为：，然后根据三点到达同一点得出方程求解即可； （4）设运动时间为，则点对应的数为：；点对应的数为：；点对应的数为：，再根据，是中点，根据中点坐标公式求出，，根据、两点到原点的距离相等，列方程，求解即可． 此题考查一元一次方程的应用，数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． 【详解】（1）解：， 且且， 解得：，，， ，，； （2）解：设点对应的数为， 在之间，则， ，，， ， 解得：， 点对应的数为； （3）解：存在，设运动时间为， 则点对应的数为：；点对应的数为：；点对应的数为：， 三点到达同一点时，有， 解得，， 点对应的数为； （4）解：存在， 设运动时间为， 则点对应的数为：；点对应的数为：；点对应的数为：， 为中点， 对应的数为， 为的中点， 对应的数为， 、两点到原点的距离相等， 则， 解得或（舍去）， 存在某时刻，、两点到原点的距离相等，此时刻是运动到第秒． 40．点在数轴上分别表示有理数，且，我们将两点间的距离记为． (1)______，_____，______； (2)若点在数轴上，且，求点表示的有理数； (3) M，P，Q三点在数轴上，P，Q两点分别以个单位长度/秒和个单位长度/秒从两点同时出发，沿数轴的正方向运动，M从C处与P、Q同时同向出发，请问若M、P、Q三点在同一处相遇时它的速度应该是多少个单位长度/秒？ 【答案】(1)，，16 (2)或 (3)M的速度应该是或个单位长度/秒 【分析】（1）由，可得，解得，，则； （2）由，可知点在点左侧，设点表示的有理数为，分当点在之间，当点在点左侧时，当点在点右侧时，三种情况列方程求解即可； （3）设M的速度应该是个单位长度/秒，经过秒，三点在同一处相遇，则P、Q表示的有理数为、，则，解得，，由题意知，分当表示的有理数为和两种情况求解；①当表示的有理数为时，M表示的有理数为，依题意得，，计算求解即可；②当表示的有理数为时，M表示的有理数为，依题意得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：，，16； （2）解：∵， ∴点在点左侧， 设点表示的有理数为， 当点在之间，，舍去； 当点在点左侧时，，解得，； 当点在点右侧时，，解得，； 综上所述，点表示的有理数为或； （3）解：设M的速度应该是个单位长度/秒，经过秒，三点在同一处相遇，则P、Q表示的有理数为、， ∴，解得，， 由题意知，分当表示的有理数为和两种情况求解； ①当表示的有理数为时，M表示的有理数为， 依题意得，， 解得，； ②当表示的有理数为时，M表示的有理数为， 依题意得，， 解得，； 综上所述，M的速度应该是或个单位长度/秒． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，数轴上两点之间的距离，用有理数表示数轴上的点，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用．解题的关键在于根据题意表示数轴上的点，数轴上两点之间的距离． 41．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．例如：数轴上表示3和5的两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是．    利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为　 　．数轴上表示x和　 　的两点之间的距离表示为． (2)若x表示一个有理数，且，则x满足条件的所有整数x的是　 　． (3)已知，求的最大值和最小值． (4)已知A、B、C是数轴上的三点，点C表示的数为6，点B与点C的距离为4．点B与点A的距离是10．点P以每秒1个单位长度的速度从点C向左运动，点Q以每秒2个单位长度的速度从B点出发向左运动，点R从A点以每秒3个单位长度的速度向右运动．它们同时出发，运动时间为t秒.请求出点P与点Q、点R的距离相等时t的值． 【答案】(1)； (2)0，，，3 (3)最大值14148，最小值 (4)2或6 【分析】（1）根据题干信息进行解答即可； （2）根据绝对值的意义，结合，求出，即可得出答案； （3）先根据绝对值的意义求出，，，得出当，，时，有最小值， 当，，时，有最大值，求出结果即可； （4）点B表示是数为，点A表示的数为，则点P、Q、R所表示的数为，，，根据t秒点P与点Q、点R的距离相等求出结果即可． 【详解】（1）解：数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为；数轴上表示x和的两点之间的距离表示为； 故答案为：；． （2）解：∵表示数x表示的点到的距离，表示数x表示的点到3的距离， ∴表示数x表示的点到的距离与到3的距离之和为5， ∵， ∴当数x表示的点在与3之间时，， ∴， ∴x满足条件的所有整数有0，，，3， 故答案为：0，，，3． （3）解：根据绝对值的意义可知，的最小值为3，最小值为3，的最小值为4， ∵，且， ∴，，， ∴，，， ∴当，，时，有最小值，且最小值为： ， 当，，时，有最大值，且最大值为： ． （4）解：点B表示是数为，点A表示的数为， 由题意得：t秒点P与点Q、点R的距离相等，则此时点P、Q、R所表示的数为，，， ①， 解得：； ②， 解得：； 答：点P与点Q、点R的距离相等时t的值为2或6． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离，一元一次方程和数轴的应用，明确绝对值的几何意义是解题的关键． 42．已知数轴上三点，，对应的数分别为，，，点为数轴上任意一点，其对应的数为． (1)如果点到点，点的距离相等，那么的值是________； (2)数轴上是否存在点，使点到点，点的距离之和是？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由； (3)如果点以每秒个单位长度的速度从点向右运动时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度也向右运动，且三点同时出发，那么经过几秒，． 【答案】(1)； (2)存在，或； (3)或． 【分析】（1）根据列出关于x的方程求解即可； （2）根据P点在N点右侧或在M点左侧分别求出即可； （3）设经过t秒，则点P表示的数为，点M表示的数为，点N表示的数为，得，求解即可． 【详解】（1）解：依题意得， 解得 故答案为： （2）存在，理由如下： 因为到，的距离之和是，所以不可能在中间， 当在左侧， ， 解得：； 当在的右边， ， 解得：， 故． （3）依题意得：点P表示的数为，点M表示的数为，点N表示的数为， 因为， ， 解得． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及数轴；关键是理解题意，表示出两点之间的距离，利用数形结合法列出方程． 地 城 类型08 线段的运动 43．问题探究： (1)如图①，将两根长度为6的木棒放置在数轴（单位长度为1）上，第一根的两端分别与数轴上表示2的点和点A重合，第二根的两端分别与数轴上点A和点B重合，则图中点A所表示的数是_____，点B所表示的数是_____； (2)如图②，将一根未知长度的木棒放置在数轴（单位长度为1）上，木棒的左端与数轴上的点C重合，右端与数轴上的点D重合．若将木棒沿数轴向右移动，当它的左端移动到点D时，右端在数轴上所对应的数为26；若将木棒沿数轴向左移动，当它的右端移动到点C时，左端在数轴上所对应的数为2．由此可得这根木棒的长为_____； (3)在（2）的条件下，若数轴上有一点P，点P到木棒中点的距离为16个单位长度，则点P所表示的数是_____． 【答案】(1)8，14 (2)8 (3)或30 【分析】（1）用2加木棒的长度得点A表示的数，点A表示的数加木棒的长度得点B表示的数； （2）由题意可得数2与数26之间的线段的长等于木棒长度的三倍，根据这一关系可求结论； （3）根据（2）可知中点表示的数为，即可求出点P所表示的数． 【详解】（1）解：点A所表示的数是， 点B所表示的数是； 故答案为：8，14； （2）解：∵数2与数26之间的线段的长等于木棒长度的三倍， ∴这根木棒的长为； 故答案为：8； （3）解：根据（2）可知中点表示的数为， ∴点P所表示的数为或． 故答案为：或30． 【点睛】本题考查的是数轴，解题的关键是结合数轴来解决问题，体现了数形结合的数学思想． 44．问题提出 如图，点A，C在数轴上表示的数分别是a，c，且满足， （1）则______，______ 问题探究：（2）将小木棒AB，CD放到图上的位置，长为3，CD长为6，将以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时以3个单位长度/秒的速度向左运动，求两根木棒擦身而过，从点与点相遇到点与点相遇经历的时间． 问题解决：（3）有一条长为0.6千米的双向多道隧道，某时刻从隧道两端点分别驶来两列高铁（此时两车车头恰好在隧道两端点），甲车长240米．乙车长200米，甲车车速为3千米/分钟，乙车车速为2千米/分钟．请直接写出甲、乙两车从车头相遇到车尾相遇所经历的时间． 【答案】（1），；（2）秒；（3）分 【分析】（1）根据非负数的和为0，则每个非负数为0，即可求解； （2）设两根木棒擦身而过，从点A与点相遇到点与点相遇经历的时间为t秒，根据题意得到，解方程即可得到答案； （3）设甲、乙两车从车头相遇到车尾相遇所经历的时间为m分，由题意得，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，， ∴，， 故答案为：， （2）设两根木棒擦身而过，从点A与点相遇到点与点相遇经历的时间为t秒， 由题意可得，， 解得， 即两根木棒擦身而过，从点A与点相遇到点与点相遇经历的时间为秒； （3）设甲、乙两车从车头相遇到车尾相遇所经历的时间为m分， 由题意可得，， 解得， 即甲、乙两车从车头相遇到车尾相遇所经历的时间为分． 【点睛】此题考查了非负数的性质、一元一次方程的应用，读懂题意，正确计算是解题的关键． 45．在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题： 如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8． (1)求m和n的长度； (2)小亮把木棒m、n同时沿x轴正方向移动，m、n的速度分别为4个单位/s和3个单位/s，设平移时间为t（s） ①若在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，则t＝ （s）； ②在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，求t的值． 【答案】(1)m＝4，n＝5 (2)①；②6s或11s 【分析】（1）根据非负数的性质可得答案； （2）①根据中点的定义及距离可得答案；②分两种情况：m在n后面时，m在n前面时，分别得到答案即可． 【详解】（1）解：∵|a＋5|＋（b＋1）2＝0， ∴|a＋5|＝0，（b＋1）2＝0， ∴a＝﹣5，b＝﹣1 ∴m＝-1-（-5）=4 又因为c＝3，d＝8 ∴n＝8-3=5 ∴m和n的长度分别为4和5； （2）解：①∵（a+b）÷2＝（﹣5﹣1）÷2＝﹣3． ∴t＝s， 故答案是：； ②m在n后面时，BC＝3﹣（﹣1）＝4， 设t秒重叠2个单位长度， 可得4t＝3t+4+2， 解得t＝6， m在n前面时，AD＝8﹣（﹣5）＝13， 可得4t＝3t+13﹣2， 解得t＝11， 综上t＝6s或11s． 【点睛】此题考查了数轴的相关概念，掌握非负数性质和表示线段距离是解决此题关键． 46．提出问题：在工厂的流水线上要放置一个物料筐，那么物料筐放置在何处能让所有人到该物料筐距离之和最小呢？ 给出定义：我们把点A到线段上任意一点距离的最小值称为点A到线段的距离，记为；并规定若点在线段上时则该点到线段的距离为0． 例：如图1，线段的端点P对应的数是1，端点Q对应的数是3；． 理解应用： （1）如图2，线段的端点P对应的数是，端点Q对应的数是1；_____________，_____________，_____________． （2）如果图2中的线段长度不变，线段在数轴上左右移动；当时，点Q对应的数是_____________． 解决问题： （3）如图3，数轴上有A、B、C、D四个点，对应的数分别为、2、5；数轴上有一个长度为2个单位的线段，线段可以在数轴上左右移动；则最小值是_____________，此时点M表示的数可以取的整数有_____________（写出整数值）． 【答案】（1），，；（2）4或8；（3）；、、、． 【分析】本题主要考查了数轴上的距离计算、绝对值的应用，熟练掌握点到线段距离的定义以及绝对值的性质是解题的关键． （1）根据点到线段距离的定义，判断点与线段的位置关系，计算距离． （2）根据，结合线段长度，分情况确定点对应的数． （3）设点表示的数为，则点表示的数为，分别表示出、、、，再分析其和的最小值及此时的整数值． 【详解】解：（1） ， ， ， 故答案为：，，； （2） 线段长度为． 当点在左侧时，对应的数为； 当点在右侧时，对应的数为． 故答案为：4或8； （3） 设点表示的数为，则点表示的数为． ， ， ， ， 当在到之间时，和最小． 最小值为． 此时点表示的数可以取的整数有，，、． 故答案为：；，，、． 47．已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，且，满足：．                图1                                                                             备图 (1)求、的值； (2)情境：有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．则玩具火车的长为________个单位长度；应用：如图1所示，当火车匀速向右运动时，若火车从车头到车尾完全经过点需要2秒，则火车的速度为每秒_________个单位长度； (3)在（2）的条件下，当火车匀速向右运动，同时点和点从、出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为，点、间的距离用表示，点、间的距离用表示，是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和这个定值：若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)存在；，定值为 【分析】（1）根据得，计算即可． （2）①设A表示的数为, B表示的数为,小火车的长度为,根据题意，，，建立方程计算即可． ②根据①得，火车完全经过点M需要2秒，点A运动路程为单位长度，利用速度=路程÷时间计算即可． （3）设玩具火车运动的时间为t秒，则点B运动到点的距离为个单位长度，此时点表示的数是，继而得到，根据题意，得到点表示的数是，点表示的数是，继而表示，代入化简，令t的系数为零计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴． （2）设A表示的数为, B表示的数为，小火车的长度为, 根据题意，得，，， ∴， ∴， 解得， 即玩具火车长3个单位长度， ∵，火车完全经过点M需要2秒， 故点A运动路程为3单位长度， ∴玩具火车的速度为：（单位长度/秒） 故答案为：3，． （3）存在，，理由如下： 设玩具火车运动的时间为t秒，则点B运动到点的距离为个单位长度，此时点表示的数是， ∴， 根据题意，得到点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∴， ∵常数k使得的值与它们的运动时间无关， ∴， 解得， 故， 故当时，常数k使得的值与它们的运动时间无关，此时值为． 【点睛】本题考查了数轴的动点问题，两点间的距离，数轴上的点与数的关系，多项式的无关计算，一元一次方程的应用，熟练掌握动点运动的规律和多项式的无关计算是解题的关键． 48．如图1，数轴上有A，B，C三个点，点C对应的数是12，点A，B对应的数分别为a、b，且a，b满足． (1)A对应的数为___________，B对应的数为___________； (2)若数轴上有动点E从A出发，以5每秒单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点F从B出发，以每秒2单位长度的速度沿数轴负方向匀速运动．在运动过程中，是否存在线段的长度等于线段长度的，若存在，请求出此时点E对应的数，若不存在，请说明理由； (3)如图2，在数轴上有长度为4个单位长度的线段（点在点的左侧，且点与点重合）和长度为3个单位长度的线段（点在点的左侧，且点与点重合）．若从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，同时从点出发，以每秒1个单位的速度也沿着数轴的正方向运动．当点运动到点时，线段立即以原来速度的返回，同一时刻的速度变为原来的2倍，当点再次运动到点时，线段和均同时停止运动．设出发的时间为，在整个运动过程中，是否存在时间使两条线段重叠部分的长度为长度的一半，若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)在运动过程中，存在线段的长度等于线段长度的，此时点对应的数是2或； (3)存在时间使两条线段重叠部分的长度为长度的一半，的值为或或或10． 【分析】（1）由绝对值和平方的非负性可得答案； （2）设运动时间为秒，则运动后表示的数是，根据线段的长度等于线段长度的，得，即可解得答案； （3）用8秒运动到，此时运动到表示8的点，运动到表示4的点，运动到表示1的点，分两种情况：当时，表示的数是，表示的数是，表示的数是，表示的数是，可得或，当时，表示的数是，表示的数是，表示的数是，表示的数是，可得或，解方程可得答案． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， 对应的数是，对应的数是， 故答案为：，； （2）解：在运动过程中，存在线段的长度等于线段长度的，理由如下： 设运动时间为秒，则运动后表示的数是，表示的数是， ，， 线段的长度等于线段长度的， ， 解得：或， 或， 此时点对应的数是2或； （3）解：存在时间使两条线段重叠部分的长度为长度的一半，理由如下： ， 用8秒运动到，此时运动到表示8的点，运动到表示4的点，运动到表示1的点， 当时， 表示的数是，表示的数是，表示的数是，表示的数是， 重叠部分的长度为长度的一半， 或， 解得：或， 当时， 表示的数是，表示的数是，表示的数是，表示的数是， 重叠部分的长度为长度的一半， 或， 解得：或， 综上所述，的值为或或或10． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是用含的代数式表示点运动后所表示的数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数轴动点分类训练 （8种类型48道） 地 城 类型01 动点定值问题 1．小慧发现利用数轴结合所学的代数与几何知识可以解决很多问题： (1)利用数轴找出表示和6的两点的距离为 ，中点表示的数为 ． (2)按（1）中的问题多尝试几组数，发现规律并思考：如果折叠数轴，当表示和44的点重合时，表示2025的点和表示 （填数字）的点重合；此时恰好有两数相距106，则这两数的积为 ． (3)动点A、B分别从表示和2点处出发，以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向左运动，同时C从6处以每秒个单位长度的速度向右运动，是否存在有理数使得的值为定值？若存在直接写出和定值，若不存在请说明理由． 2．在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且满足． (1)求出的值． (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与表示数____________的点重合；若此数轴上、两点之间的距离为2025（在的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，则点表示的数是____________． (3)点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，点从出发以每秒1个单位长度的速度运动，假设秒钟过后，请问：是否存在常数，使的值为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 3．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且． (1)_____；_____；此时刻快车头A与慢车头之间相距______单位长度； (2)从此时刻开始算起，再行驶多少秒钟两列火车的车头相距8个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头A、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为该学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这段时间的长度及定值；若不正确，请说明理由． 4．已知点O是数轴的原点，点A对应的数是，若小虫甲开始从点A作如下运动：第1次向右爬行3个单位，第2次向左爬行5个单位，第3次向右爬行7个单位，第4次向左爬行9个单位…依次规律爬下去，第9次爬行后停在点B． (1)点B所对应的数为　 　． (2)若小虫甲到点B后就沿着数轴以每秒5个单位的速度向右爬行，同时另两只小虫乙、丙分别从点A和点O出发向右爬行，乙的速度是每秒2个单位，丙的速度是每秒1个单位，假设三个小虫同时运动t秒后，甲、乙、丙三只小虫对应的点分别是D、E、F．若三只小虫都沿着数轴向右爬行，则是定值吗？如果是，请求出这个定值． 5．如图，在数轴上，点表示，点表示8，点从原点出发，沿数轴负方向以的速度向终点运动，同时，点从点出发沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为． (1)求的长； (2)若，，且，求的长； (3)直接写出点、表示的数（用含、、的式子表示）； (4)点为、之间的动点，在、运动过程中，设，，且，始终为定值，直接写出、满足的数量关系． 6．阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P相距b个单位长度是正数的两点所表示的数分别记作m和其中，并把m、n这两个数叫做“点P关于b的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于2的对称数组是． (1)如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是______； (2)如果，求出点P表示的数以及b的值； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知，，经过t秒后，是否存在常数k，使得为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 地 城 类型02 动点最值问题 7．阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，之间的距离可表示为． (1)知识应用： ①点，，在数轴上分别表示有理数 ，，那么到的距离是 ，到的距是 ． ②点，，在数轴上分别表示有理数，，那么到B的距离与到的距离之和可表示为 ． (2)利用数轴探究 ①若数轴上表示数的点位于与之间，则的值= ． ②求满足的的值； ③设；有最大值或最小值吗？如果有，请说明理由． (3)拓展： 已知，如图，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为70．若当电子蚂蚁从点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度，并写出此时点所表示的数． 8．如图，有理数，分别对应数轴上的点，，且，满足． (1)直接写出，的值：______；______； (2)若动点，分别从，同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，以每秒2个单位的长度的速度沿数轴向右运动，当，相遇时停止运动，当为何值时，； (3)我们规定，若在线段上存在满足，则我们称点是线段的一个分点．点从线段上的2分点出发，以每秒1个单位长度在数轴上按以下规律往返运动：第一回合，从点到点，再从点到点回到点；第二回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点；第三回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点，如此循环下去，若第秒时满足，求的最大值． 9．阅读与运用：若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点间的距离表示为．如数轴上表示4和-1的两点之间的距离是，利用上述结论，回答以下问题：如图，在数轴上A、B两点对应的数分别为、20，数轴上有一动点P．      (1)若点P在A、B两点之间，则点P到A、B两点的距离的和为___________． (2)如图，设点P对应的数为x，数轴上一点Q在点P的右侧，且与点P始终保持相距18个单位长度，当x取何值时，点A与点P的距离、点B与点Q的距离的和为48？ (3)结合对前面问题的思考，若，求的最大值． 10．如图，数轴上从左到右排列的，，三点的位置如图所示．点表示的数是3，和两点间的距离为8，和两点间的距离为4． (1)求，两点分别表示的数； (2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，运动时间为秒． ①当点运动到与点和点的距离相等时，求的值； ②若同时，有，两动点分别从点，同时出发，都以每秒1个单位长度的速度沿着数轴向左运动，把点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，当取最小值时，求的最大值和最小值． 11．已知数轴上有，两个点，分别表示有理数，． (1)数轴上点到点的距离为______；数轴上到点，的距离相等的点的位置表示的有理数为______； (2)若有动点从点出发，以每秒1个单位的速度向右移动，设移动时间为秒．用含的式子分别表示点到点和点的距离． (3)若，则的取值范围是______； (4)若表示一个有理数，则式子有最大值吗？若有，请求出最大值．若没有，说出理由． 12．我们知道：的几何意义可以理解为数轴上表示数的点与原点之间的距离，请大家运用相关知识继续探索数轴上多个点之间的距离问题： （）数轴上，两点表示的有理数为、，且．则点与点之间的距离为_____； （）继续利用绝对值的几何意义；探索的最小值是_____； （）若数轴上点对应的数为，且，求点对应的数值； （）已知数，满足，求的最小值和最大值； 【解决问题】 （）如图，一条笔直的公路边有四个居民区和市民广场，居民区分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点，那么这个便民服务点建在何处，能使服务点到四个居民区总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 地 城 类型03 动点存在性问题 13．已知数轴上两点A、B所表示的数分别为2和10，点为数轴上一动点，其表示的数为m． (1)A、B两点间的距离是：___________． (2)若点到点、点的距离相等，则点表示的数___________． (3)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为14？若存在，请直接写出的值为___________；若不存在，说明理由； (4)现在点、点分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，点以2个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动．当点与点之间的距离为3个单位长度时，求点所表示的数是多少？ 14．如图，已知数轴上两点对应的数分别为、，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)（填空）若点P从B开始向左移动6个单位长度，则______．若点P向左移动到与点A距离3个单位长度时，则点P对应的数是______． (2)（填空）当点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动，则t秒后P点表示的数是______，此时若将数轴折叠，使与3表示的点重合，则点P与数______表示的点重合（用含t的式子表示）； (3)若点P从A点出发沿数轴的负方向移动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q从B出发同向移动，速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t，在移动过程中，是否存在某一时刻t，使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 15．已知有理数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，且a，b满足． (1)填空：______，______，______； (2)若数轴上有P，Q两个动点，分别从A，B两点沿数轴同时相向而行，点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度是点P速度的1.5倍．当点Q运动至A点处，P，Q两点同时停止运动．取线段的中点C，设运动时间为t秒． ①当t为何值时，线段的长度与的长度相等； ②定义：把一条线段平均分成三等分的两个点，都叫线段的三等分点．请问是否存在t值，使得A，P，Q三点中有一点为另外两点构成线段的三等分点？ 16．如图，是最小的正整数，且． (1)填空：　　，　　，　　； (2)在数轴上，所对应的点分别为，，点为一动点，其对应的数为，点在之间（不含，两点）运动时，请化简式子：； (3)在（1）（2）的条件下，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒2个单位长度的速度向右运动，点从原点开始以每秒个单位长度的速度运动，运动时间为秒，运动过程中，点始终在之间（不含，两点）运动，请问：是否存在，使得的值不随着时间的变化而变化．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 17．已知是关于的一元一次方程，且方程的解是，若数轴上、两点所对应的数分别是和．    (1)则______，______、、两点之间的距离______； (2)有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度……按照如此规律不断地左右运动，当运动到2023次时，求点所对应的有理数． (3)在（2）的条件下，是否存在一点，使它到点的距离是到点的距离的3倍？若存在，请你直接写出点的位置． 18．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，且．动点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒（）． (1)数轴上点A表示的数为______，点B表示的数为______； (2)当为何值时，点P、Q两点重合？ (3)动点M从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，且点P，Q，M同时出发，是否存在m使得式子的值不随时间t的变化而变化？若存在，请求m的值；若不存在，请说明理由． 地 城 类型04 折线数轴动点 19．如图1，点A表示的数为，点B表示的数为4，现将点A和点B的位置保持不变，将原点向上平移，得到图2的“等腰数轴”．在“等腰数轴”上，若两个点落在之间，并且两个点表示的数互为相反数，则这两个点的“等腰距离”即为所代表两个数绝对值之和的，例如：点C和点D分别表示的数为和2，点C和点D的“等腰距离”为；其余两点之间的“等腰距离”为两个数之差的绝对值，例如：点C和点E的“等腰距离”为． (1)点A和点B的“等腰距离”为__________；若点F表示的数为9，则点A和点F的“等腰距离”为__________． (2)若点M表示的数为，且点M和点N的“等腰距离”为，则点N表示的数为__________．（提示：分情况讨论） (3)点G表示的数为，点F表示的数为9，点P和点Q是“等腰数轴”上的两个动点．点P从点G出发，以每秒1个单位长度的速度向点F运动，同一时刻，点Q从点F出发，以每秒2个单位长度的速度向点G运动，当有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． ①当点P运动时，点P和点Q的“等腰距离”为__________； ②在点P和点Q运动的过程中，设运动时间为，是否存在某一时刻，使点P和点Q的“等腰距离”为5？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 20．数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题，已知a、b为常数且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图1所示，O为原点，点C在原点右侧，且点C与点A到原点的距离相等． (1)则_______，_______； (2)如图2，我们将图1的数轴在点O和点C处各弯折一次，弯折后与处于水平位置，线段处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O为“折坡数轴”原点，在“折坡数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数．记为“折坡数轴”拉直后点A和点B的距离：即，其中代表线段的长度．定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍．动点M从点A处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向右移动到点O，再下坡到点C，然后再沿方向移动，在点M出发的同时，动点N从点B处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向左移动到点C，再上坡移动，当移到点O时，立即掉头返回（掉头时间不计），当点N重新回到点B时所有运动结束，设点N运动时间为t秒，在移动过程中： ①若M，N两点在点Q处相遇，则点Q在“折坡数轴”上所表示的数是多少． ②在点N从点O返回之前，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 21．已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，c满足，a，b互为相反数（如图1）．    (1)求a，b，c的值； (2)如图1，若点A，B，C分别同时以每秒4个单位长度，1个单位长度和个单位长度向左运动，假设经过t秒后，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间距离表示为，若的值始终保持不变，求m的值； (3)如图2，将图1中的数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为56个单位长度）．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发仍以（2）中的每秒m个单位长度的速度沿“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，当点P到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 22．已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中，a，b互为相反数（如图1）． (1)求a，b，c的值； (2)如图1，若点A，B，C分别同时以每秒4个单位长度，1个单位长度和m个单位长度向右运动，假设经过t秒后，点A与点B之间距离表示为，点A与点C之间距离表示为，若的值始终保持不变； (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条”折线数轴”（图中A，C两点在”折线数轴”上的距离为56个单位长度），动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿”折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度均为原来的一半；同时，动点Q从点C出发仍以（2）中每秒m个单位长度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度均为原来的2倍，之后立刻恢复，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在”折线数轴”上的距离与Q，B两点在”折线数轴”的距离相等． 23．已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，c满足，a，b互为相反数（如图1）．              图1                                           图2 (1)请求出a，b，c的值； (2)点P为一动点，其对应的数为x，若，求x的值： (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为28个单位长度），动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，在段运动速度变为原来的一半，之后立刻恢复：P从点A运动同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在段运动速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 24．如图，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、，其中、满足，点到原点距离是点到原点距离的倍． (1)填空： _____， _____， _____； (2)如图，若点、、分别同时以每秒个单位长度、个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为． ①为何值时，？ ②若的值始终保持不变，求的值： (3)如图，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若、两点在点处相遇，则点表示的数为_____． 地 城 类型05 动点变速问题 25．对于数轴上的定点和动点，如果满足：①点以速度沿数轴正方向运动，经过点后以速度继续沿数轴正方向运动；②点以速度沿数轴负方向运动，经过点后以速度继续沿数轴负方向运动，那么称定点为“变速点”.点在数轴上分别表示有理数，且满足. (1)点表示的数为 ，点表示的数为 . (2)若变速点在线段上，且满足点到点的距离与点到点的距离相等： ①当动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，则点在第 秒时与点重合； ②当动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，则点在第 秒时与点重合. (3)若在线段上存在一变速点（不与点，重合），点表示的数为.动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，若它们在点处相遇，且点表示的数为5，求的值. 26．已知A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足.动点M从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时，动点N从点C出发，以1个单位长度/秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为：从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.当点M到达点C时，两点都停止运动.设运动的时间为t秒.    (1) ， ， ； (2)M，N两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数. (3)点D为线段中点，当t为多少秒时，？ 27．如图，点O是数轴的原点，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足． (1)点A表示的数是______，点B表示的数是______； (2)动点P、Q分别从点A和点O同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向运动，点Q以每秒3个单位长度的速度向正方向运动，点Q运动到点B后立即沿射线的方向以原速度运动，点P、Q在点C的位置相遇，求点C表示的数； (3)在（2）的条件下，若从点P、Q相遇开始，动点N从点O出发以每秒0．5个单位长度的速度向数轴正方向运动，点Q的速度变为每秒个单位长度，点P的速度不变，设动点N运动的时间为t秒，求当t为何值，点P刚好是线段的一个三等分点，并直接写出此时点N所表示的数． 28．数轴上点对应的数分别为，其中满足，点为数轴上一动点． (1)______，______； (2)若点到点的距离之和为55，求点对应的数； (3)若点从点以2个单位每秒的速度向点运动，到达点后立即掉头，速度变为原来的3倍，当点运动3秒后，点与点同时出发，点从点以1个单位每秒的速度向左运动，点以5个单位每秒的速度从表示10的点处向左出发，当点与点相遇后，点的速度变为原来的2倍，并继续向左运动，直到点追上点后所有点停止运动．求点运动多少秒时． 29．已知关于x的多项式是二次多项式．如图1．在数轴上有A、B、C三个点，且A、B、C三点所表示的数分别是a，b，．有两条动线段和（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边）．，，线段从点B开始沿数轴向左运动，同时线段从点A开始沿数轴向右运动，当点Q运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，当点P运动到点C时，线段同时停止运动，设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． (1)直接依次写出a，b的值：__________，__________； (2)如图2，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右匀速运动，当C、Q、M中任意一点为其他两点构成线段的中点时，求时间t； (3)如图3，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右运动，当两条线段有重合部分时，线段的速度变为原来的倍，线段的速度变为原来的2倍，当重合部分消失后速度恢复，请直接写出当线段和重合部分长度为1时所对应的t的值． 30．已知a、b为常数，且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒． (1)求a、b的值； (2)请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：______；点F在数轴上对应的数为：______； (3)当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍，在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，请求出运动时间t的值． 地 城 类型06 折返问题 31．知识背景：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律：比如数轴上点A、点B表示的数为a、b，则两点之间的距离；线段的中点P表示的数为．问题呈现：已知数轴上两点A、B表示的数分别为、10，点M从点A出发，以每秒3个单位的速度向点B运动，同时点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动．设线段的中点为P，点N的运动时间为t秒． (1)线段的中点表示的数为 ；点N表示的数为 （用含的代数式表示）． (2)当M、N两点相距6个单位时，求t的值． (3)当点P与数轴上表示的点重合时，求t的值； (4)若点M到达点B后停留7秒，随后立即以原速返回，点N到达点A后立即以原速返回，两点再次相遇时，停止运动在整个运动过程中，当时，直接写出t的值． 32．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 33．在数轴上有三个点，，它们表示的有理数分别为，，，已知是最大的负整数，且． (1) ______， ______， ______； (2)如果数轴上点到、两点的距离相等，则点表示的数为______； 如果数轴上点到点的距离是，则点表示的数为______； (3)在数轴上是否存在一点，使点到点的距离是点到点的距离的倍？若存在，请直接写出点表示的数；若不存在，请说明理由； (4)甲、乙两点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度从点、同时出发向点运动，甲到达点后以原来倍的速度返回，求几秒后甲、乙两点相距个单位长度？ 34．如图所示，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b．    (1)化简：； (2)表示A点和B点之间的距离（即），已知a，b分别是方程和方程的解，求A，B两点之间的距离； (3)在（2）的条件下，若动点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q到达点A后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点P到达点B时，P、Q两点运动随之停止．设运动时间为秒，则t为何值时，． 35．如图，点A，B分别对应数轴上的数a，b，且a，b满足，点C是线段上一点，，C点对应数轴上的数c． (1)________，________，________； (2)点P，Q分别从C，B同时出发，点P以每秒2个单位，点Q以每秒1个单位的速度，向左运动，当时，求点P表示的数； (3)在（2）的条件下，点M同时从点A出发，以每秒3个单位的速度向右运动，到达点B后，立即返回，当点M是的中点时，请直接写出时间t（秒）为何值． 36．如图，数轴上三点分别表示的数是，点表示的数为． 【阅读材料】在数轴上，数表示的点到原点的距离叫做的绝对值，记为；数轴上数表示的点与数表示的点之间的距离记为（或；数轴上数表示的点到数表示的点与数表示的点的距离之和记为． 【初步应用】 （1）填空：若，则______；若，则______； 【延伸探究】 （2）若点表示的数为，则的最小值是______； 【拓展探究】 （3）若点表示的数为，当取最小值时，动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，到达点后立即以每秒1个单位长度的速度返回点A；动点从点出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，当到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度返回点，同时开始运动，且各自返回到起点时停止运动．求经过多少秒时，点、点之间的距离恰好等于点到点之间的距离． 地 城 类型07 多动点问题（三点及以上） 37．一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 38．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点，，开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． ①_____，________．（用含的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． ③若点，，与三点同时开始在数轴上运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，请含的式子表示． 39．已知如图，数轴上、、三点分别对应有理数、、，且满足． (1)求、、的值； (2)若点在之间，且，求点对应的数； (3)动点从点出发以2单位秒的速度向左运动，动点从点出发以4单位秒的速度向左运动，动点从点出发以单位秒的速度向左运动，三点同时出发，若三点同时到达同一点，求的值，并求点对应的数； (4)动点从点出发以2单位秒的速度向左运动，动点从点出发以4单位秒的速度向左运动，动点从点出发以6单位秒的速度向左运动，三点同时出发，在运动过程中，为的中点，为的中点，是否存在某时刻，、两点到原点的距离相等？若存在，求出运动时间． 40．点在数轴上分别表示有理数，且，我们将两点间的距离记为． (1)______，_____，______； (2)若点在数轴上，且，求点表示的有理数； (3) M，P，Q三点在数轴上，P，Q两点分别以个单位长度/秒和个单位长度/秒从两点同时出发，沿数轴的正方向运动，M从C处与P、Q同时同向出发，请问若M、P、Q三点在同一处相遇时它的速度应该是多少个单位长度/秒？ 41．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．例如：数轴上表示3和5的两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是．    利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为　 　．数轴上表示x和　 　的两点之间的距离表示为． (2)若x表示一个有理数，且，则x满足条件的所有整数x的是　 　． (3)已知，求的最大值和最小值． (4)已知A、B、C是数轴上的三点，点C表示的数为6，点B与点C的距离为4．点B与点A的距离是10．点P以每秒1个单位长度的速度从点C向左运动，点Q以每秒2个单位长度的速度从B点出发向左运动，点R从A点以每秒3个单位长度的速度向右运动．它们同时出发，运动时间为t秒.请求出点P与点Q、点R的距离相等时t的值． 42．已知数轴上三点，，对应的数分别为，，，点为数轴上任意一点，其对应的数为． (1)如果点到点，点的距离相等，那么的值是________； (2)数轴上是否存在点，使点到点，点的距离之和是？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由； (3)如果点以每秒个单位长度的速度从点向右运动时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度也向右运动，且三点同时出发，那么经过几秒，． 地 城 类型08 线段的运动 43．问题探究： (1)如图①，将两根长度为6的木棒放置在数轴（单位长度为1）上，第一根的两端分别与数轴上表示2的点和点A重合，第二根的两端分别与数轴上点A和点B重合，则图中点A所表示的数是_____，点B所表示的数是_____； (2)如图②，将一根未知长度的木棒放置在数轴（单位长度为1）上，木棒的左端与数轴上的点C重合，右端与数轴上的点D重合．若将木棒沿数轴向右移动，当它的左端移动到点D时，右端在数轴上所对应的数为26；若将木棒沿数轴向左移动，当它的右端移动到点C时，左端在数轴上所对应的数为2．由此可得这根木棒的长为_____； (3)在（2）的条件下，若数轴上有一点P，点P到木棒中点的距离为16个单位长度，则点P所表示的数是_____． 44．问题提出 如图，点A，C在数轴上表示的数分别是a，c，且满足， （1）则______，______ 问题探究：（2）将小木棒AB，CD放到图上的位置，长为3，CD长为6，将以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时以3个单位长度/秒的速度向左运动，求两根木棒擦身而过，从点与点相遇到点与点相遇经历的时间． 问题解决：（3）有一条长为0.6千米的双向多道隧道，某时刻从隧道两端点分别驶来两列高铁（此时两车车头恰好在隧道两端点），甲车长240米．乙车长200米，甲车车速为3千米/分钟，乙车车速为2千米/分钟．请直接写出甲、乙两车从车头相遇到车尾相遇所经历的时间． 45．在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题： 如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8． (1)求m和n的长度； (2)小亮把木棒m、n同时沿x轴正方向移动，m、n的速度分别为4个单位/s和3个单位/s，设平移时间为t（s） ①若在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，则t＝ （s）； ②在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，求t的值． 46．提出问题：在工厂的流水线上要放置一个物料筐，那么物料筐放置在何处能让所有人到该物料筐距离之和最小呢？ 给出定义：我们把点A到线段上任意一点距离的最小值称为点A到线段的距离，记为；并规定若点在线段上时则该点到线段的距离为0． 例：如图1，线段的端点P对应的数是1，端点Q对应的数是3；． 理解应用： （1）如图2，线段的端点P对应的数是，端点Q对应的数是1；_____________，_____________，_____________． （2）如果图2中的线段长度不变，线段在数轴上左右移动；当时，点Q对应的数是_____________． 解决问题： （3）如图3，数轴上有A、B、C、D四个点，对应的数分别为、2、5；数轴上有一个长度为2个单位的线段，线段可以在数轴上左右移动；则最小值是_____________，此时点M表示的数可以取的整数有_____________（写出整数值）． 47．已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，且，满足：．                图1                                                                             备图 (1)求、的值； (2)情境：有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．则玩具火车的长为________个单位长度；应用：如图1所示，当火车匀速向右运动时，若火车从车头到车尾完全经过点需要2秒，则火车的速度为每秒_________个单位长度； (3)在（2）的条件下，当火车匀速向右运动，同时点和点从、出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为，点、间的距离用表示，点、间的距离用表示，是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和这个定值：若不存在请说明理由． 48．如图1，数轴上有A，B，C三个点，点C对应的数是12，点A，B对应的数分别为a、b，且a，b满足． (1)A对应的数为___________，B对应的数为___________； (2)若数轴上有动点E从A出发，以5每秒单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点F从B出发，以每秒2单位长度的速度沿数轴负方向匀速运动．在运动过程中，是否存在线段的长度等于线段长度的，若存在，请求出此时点E对应的数，若不存在，请说明理由； (3)如图2，在数轴上有长度为4个单位长度的线段（点在点的左侧，且点与点重合）和长度为3个单位长度的线段（点在点的左侧，且点与点重合）．若从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，同时从点出发，以每秒1个单位的速度也沿着数轴的正方向运动．当点运动到点时，线段立即以原来速度的返回，同一时刻的速度变为原来的2倍，当点再次运动到点时，线段和均同时停止运动．设出发的时间为，在整个运动过程中，是否存在时间使两条线段重叠部分的长度为长度的一半，若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $