精选母题第6讲：勾股定理 2025-2026学年苏科版八年级上学期数学精选母题系列

2025—2026学年八年级上学期数学精选母题系列 精选母题第6讲：勾股定理 母题1：利用勾股定理求线段长 如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点D，E．则的长为（    ） A． B． C．1 D． ▋▎名师点拨 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键． 连接，由线段垂直平分线的性质推出，设，由勾股定理得到，求出，得到． 【详解】解：连接，    ∵垂直平分， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 1．如图，，则线段的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；因此此题可根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴在中，由勾股定理可得：， 同理可得：，； 故选B． 2．如图，在中，平分交BC于点，则的长等于（   ） A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，角平分线的性质，熟记相关性质定理是解题的关键．过点作于点，根据勾股定理求出，根据角平分线的性质得到，再根据得出等式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴由勾股定理得，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：B． 3．如图，于，和都是等腰直角三角形，如果，，那么的长为（   ） A． B． C．7 D．13 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟知等腰三角形两腰相等的性质是解答此题的关键． 根据等腰三角形性质得到，，再结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】解： 和都是等腰直角三角形，，， ，， ． 故选：B． 4．如图，两条互相垂直的直线、交于点O，点A、点C在直线上，点B、点D在直线上，且始终满足，，点M、N分别是和的中点，当最大时，的长为（   ） A．1 B． C．5 D．3 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用，明确当时，最大是解题的关键．连接，根据直角三角形斜边中点的性质得出，，由于在中，，是定值，即可得出当时，最大，利用勾股定理即可求得此时的长． 【详解】解：连接， ∵两条互相垂直的直线、交于点O， ∴， ∵点M、N分别是和的中点， ∴，， 在中，，是定值， ∴当时，最大， ∴此时， 故选：B． 母题2：利用勾股定理求解面积 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C．4 D． ▋▎名师点拨 【答案】A 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根据勾股定理和已知的式子算出，再根据同底等高的算法即可得到答案； 【详解】解：在中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为， 由勾股定理得：，即， ， ， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选：A． 1．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为（    ）． A．38 B．34 C．42 D．44 【答案】A 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是发现两个直角三角形的斜边是公共边． 利用勾股定理，分别得出同一个直角三角形的两直角边上的两个正方形面积和都是，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ， 根据勾股定理，得，， ，， ， ， ． 故选：A． 2．如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积S是（   ） A．10 B．58 C．49 D．100 【答案】B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】根据勾股定理得，则可得正方形的面积S是58． 本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∴． 故选：B． 3．已知直角三角形的三边a，b，c满足，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠局部的面积分别为和，均重叠局部的面积为，则，，满足的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】此题重点考查勾股定理、正方形的面积公式、根据转化思想解决面积问题等知识与方法，确定三边为a，b，c的直角三角形的斜边为c是解题的关键．根据题意知该直角三角形的斜边为c，则有，表示出并化简，另表示出，将两结果对比则可判断出结果． 【详解】解：∵直角三角形的三边a，b，c满足， ∴该直角三角形的斜边为c， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．如图，直线上有三个正方形、、，若正方形、的边长分别为5和7，则正方形的面积为（   ） A．36 B．49 C．74 D．8 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先证明，推出，，则，，再证，代入求出即可． 【详解】解：如图， 正方形，的边长分别为5和7， ，， 由正方形的性质得：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， 正方形的面积为， 故选：C． 母题3：利用勾股解决平方和差 如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 ▋▎名师点拨 【答案】C 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 1．如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 2．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则 ． 【答案】38 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 3．如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则 ． 【答案】60 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题主要查了勾股定理，理解并灵活运用勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，，从而得到，再代入相关数据即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ． 故答案为：60． 4．如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则 ． 【答案】231 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】该题考查了勾股定理，在 、、、中，由勾股定理得出，再代入求解即可． 【详解】证明：在 中，由勾股定理，得①， 在 中，由勾股定理，得②， 得． 在 中，由勾股定理，得③， 在 中，由勾股定理，得④， 得， 所以， ∵，， ∴． 故答案为：231． 母题4：利用勾股证明平方关系 如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接． (1)求证：； (2)求证：． ▋▎名师点拨 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】等边对等角、利用勾股定理证明线段平方关系、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得出，，，再证明，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质结合勾股定理可得出结论． 【详解】（1）证明：在等腰中，，在等腰中， ， ，，， ， ． ． （2）由（1）知， ∵在等腰中，， ． ， ． ． ， ． 1．如图，在中，于点D，，分别交，于点E、F． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1)7 (2)见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理证明线段平方关系、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）先计算，结合，计算，再求的长； （2）连接，在上截取，连接，先证明，再利用等腰三角形的性质，勾股定理证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，在上截取，连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 2．如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，进而推出，勾股定理求出，进而推出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴． （2） 如图，连接． ∵． ∴． 同（1）法可得：． ∴． ∴，即． 在中，由勾股定理可知：． ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，是的中点，于点D，试说明：． 【答案】见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查勾股定理，先根据勾股定理得出，，再得出，根据M为中点，得出，进而进行转换可得出结论． 【详解】解：连接． 因为， 所以， 所以，， 因为， 所以． 因为M为中点， 所以， 所以． 4．【问题探究】 （1）如图1，在中，为斜边，点为直角边的中点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，是某公园的局部示意图，、是两条人行步道，该公园的规划部门计划在的上方找一点，连接，使得、，并沿修一条观景小道，经测量，，点为的中点，于点米，问观景小道的长度是否为定值？若是，请求出的长；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见详解；（2）骑行小道的长度是为定值，定值为650米，理由见详解 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查了利用勾股定理进行推理，熟知勾股定理并根据条件进行代换是解题关键﹒ （1）先证明，证明，即可得到，，再进行代换得到，变形即可证明； （2）先证明，得到，根据即可得到，根据点M为的中点，即可证明米，问题得解﹒ 【详解】解：（1）∵点为直角边的中点， ∴， ∵在中，为斜边， ∴， ， 在中，， ∴， 即， ∴， 即； （2）观景小道的长度是为定值，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴米， ∴观景小道的长度是为定值，定值为650米． 母题5：勾股定理的证明方法 勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． ▋▎名师点拨 【答案】C 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．根据各个图形，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项即可． 【详解】解：A、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、由等面积法得，不能证明勾股定理，故本选项符合题意； D、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：C． 1．意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为，图3中空白部分的面积为，则下列表示，的等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理的证明方法、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据图形可知，，然后利用图形的面积列出等式进行整理即可． 【详解】解：由图可得，，， 故选：B． 2．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理的证明方法、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键． 利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， D、利用C中结论，本选项不符合题意． 故选B． 3．中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计，既展现了中国古代数学的辉煌成就，又通过直观图形激发数学学习兴趣．勾股定理的证明方法至今约有500多种，如图也是勾股定理的一种证明方法，已知四边形是直角梯形，点在上．在和中，．试利用该图形验证勾股定理． 【答案】见解析 【知识点】勾股定理的证明方法、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理得证明．证明，可得，从而得到，再根据图形的面积解答即可． 【详解】解：因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以． 因为的面积分别为和，梯形的面积为 所以． 所以， 即． 4．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图，火柴盒的一个侧面是一个长方形倒下到的位置，连接，设，，． (1)试用、有关的代数式表示梯形的面积； (2)试用、、有关的代数式分别表示、、的面积； (3)由和的结论证明勾股定理：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、勾股定理的证明方法、列代数式 【分析】本题考查了勾股定理的证明，需注意：组成的图形的面积有两种表示方法：大的面积的表示方法和各个组成部分的面积的和． （1）根据梯形面积公式表示梯形的面积； （2）根据三角形面积公式分别表示、、的面积； （3）根据，列出方程并整理可证． 【详解】（1）解：梯形的面积； （2）解：， 为直角三角形， ； （3）解：由图形可知， 则 ． 因此，． 母题6：以弦图为背景的问题 “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．连接，，若，，则大正方形的边长为（    ） A．2 B． C． D． ▋▎名师点拨 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题以“赵爽弦图”为背景考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据题意及全等三角形的判定得出，确定，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 1．数学实践课上，小朋同学用四块全等的直角三角形纸板拼出如图所示的图形，已知点在同一直线上，若，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、完全平方公式在几何图形中的应用、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查勾股定理与完全平方公式的综合应用，通过图形分析边长的和差关系是解题的关键．根据四块全等直角三角形的拼接特点，得到直角边的和为、差为，再结合完全平方公式与勾股定理，推导出正方形（斜边构成）的面积． 【详解】解：设，， 则，， 则， 解得：，， ． 故选：． 2．在学习了勾股定理的赵爽弦图后，小明尝试将4个全等的小正方形嵌入到长方形内部，其中点E，F，G，分别在长方形的边，，，上，若，，则小正方形的边长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据几何图形列二元一次方程组、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了赵爽弦图，二元一次方程组，勾股定理，根据赵爽弦图，将正方形分成4个全等的直角三角形，和一个小正方形，设直角三角形短的直角边为，长的直角边为，那么，然后解方程组，进而勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示：将每个正方形分成四个全等的直角三角形和一个小正方形，设直角三角形短的直角边为，长的直角边为， 那么， ， 正方形的边长为， 故选：B． 3．公元三世纪，我国数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图）中的两个正方形和八个直角三角形按图方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个结论：；；若，则；若点是线段的中点，则，其中正确的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，直角三角形性质等知识点，设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，由正方形面积公式，勾股定理逐项进行判断即可，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，，， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故错误； ∵，， ∴，即， ∴， ∴，故正确； ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故错误； 综上可得：正确， 故选：． 4．用四个全等直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图．其中每个直角三角形的直角边长分别为a、b（），斜边长为c． (1)请结合图①，证明勾股定理． (2)如图②，将这四个全等直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到八边形，若该八边形的周长为48，，则该八边形的面积是_________． (3)如图③，将图①中的每个直角三角形绕着斜边的中点旋转得到新的直角三角形拼接成正方形，将图③中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，若，则__________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】勾股定理的证明方法、以弦图为背景的计算题、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理和旋转的性质，熟知勾股定理是解题的关键． （1）大正方形的边长为c，其面积为，大正方形面积等于四个全等的直角三角形面积加上中间小正方形的面积，其面积为，据此可证明勾股定理； （2）设，则，根据周长计算公式可建立方程求出，则可利用勾股定理得到，解方程即可得到答案； （3）根据正方形面积计算公式可得，再由可得的值，进而可得答案． 【详解】（1）证明：图①中大正方形的边长为c，小正方形的边长为， ∴大正方形的面积为； 又∵大正方形面积等于四个全等的直角三角形面积加上中间小正方形的面积， ∴大正方形的面积为， ∴； （2）解：由题意得，， ， 设，则， ∵该八边形的周长为48， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由旋转的性质可得， ∴正方形的边长为； ∵正方形、正方形、正方形的面积分别为、、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 母题7：勾股数的概念与判断 下列为勾股数的是（　　） A．，， B．5，12，13 C．，， D．0.9，1.2，1.5 ▋▎名师点拨 【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数， 勾股数是三个正整数，且满足勾股定理 ，选项A、C、D均非正整数，只有选项B满足条件． 【详解】解： 选项A：为分数，非正整数； 选项C： 为无理数，非正整数； 选项D：0.9, 1.2, 1.5 为小数，非正整数； 选项B：5, 12, 13 为正整数，且． 故选：B． 1．下列各式中，属于勾股数的一组是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数的定义，关键是熟练应用定义解题； 根据勾股数的定义（三个正整数满足 ），检查各选项是否均为正整数且满足勾股定理． 【详解】解：∵ 勾股数需为正整数且满足 ； 选项A：, , ， 和 不是整数，∴ 不是勾股数； 选项B：均为正整数，且 ，∴ 是勾股数； 选项C：均为正整数，但 ，∴ 不是勾股数； 选项D：不是正整数，∴ 不是勾股数； 故答案选：B． 2．勾股数，又名毕氏三元数，则下列各组数构成勾股数的是（   ） A．0.6，0.8，1.0 B．1，， C．5，12，13 D．，， 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查的是勾股数的含义，勾股数是满足勾股定理的三个正整数，因此需检查各组数是否均为正整数且满足 . 【详解】解：∵ 勾股数必须是正整数且满足勾股定理， A：0.6， 0.8， 1.0 不是正整数，故不是勾股数； B：1，，中和不是正整数，故不是勾股数； C：5， 12， 13 均为正整数，且 ，故是勾股数； D：， ， 不是正整数，故不是勾股数. 故选： C 3．仔细观察下列一类勾股数：；；；；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．还有一类勾股数：；；；；根据此类勾股数的特点，若勾为12，则弦为 ． 【答案】37 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数．观察第二类勾股数，勾为偶数，弦与股相差2，设勾为a，股为b，弦为c，则，根据勾股定理，，代入得，化简得，将代入计算，求出b，再求c，即可作答． 【详解】解：观察第二类勾股数，勾为偶数，弦与股相差2， 设勾为a，股为b，弦为c， 则， 根据勾股定理，， ∴， 化简得， 依题意，当时，则， ∴， 故答案为：． 4．《周髀算经》是我国现存最早的数学典籍，书中对勾股定理和勾股数有过一定的描述（满足的三个正整数，称为勾股数）．请观察下面表格中的勾股数，并利用规律解决以下问题： a b c … … … (1)观察猜想：当时， ______， ______； (2)初探规律：当时， ______（n为正整数）； (3)归纳证明：用含n的等式归纳出这些勾股数之间的规律（n为正整数），并解释结论的合理性． 【答案】(1)60，61 (2) (3)，见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、数字类规律探索、勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数、勾股定理、数字规律等知识定，熟练掌握勾股数是解题的关键． （1）根据表格中的数据即可解答； （2）根据表格中的数据找出规律即可解答； （3）根据勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，． 故答案为：60，61． （2）解： 当时， ∴． （3）解： 当时， ， ； 由题意可得，，， ． 所以结论成立． 母题8：勾股定理逆定理的应用 如图，某小区准备在一块直角三角形土地上，规划出图中阴影部分作为草坪，已知．根据规划要求． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)计算图中阴影部分的面积． ▋▎名师点拨 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)24 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理可得出结论； （2）根据图中阴影部分的面积=三角形的面积−三角形的面积，进行列式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴是直角三角形； （2）解：∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积三角形的面积三角形的面积 ． 1．如图，在四边形中，，，，且． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求三角形的面积， 对于（1），先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理说明是直角三角形， 即可得出答案； 对于（2），根据可得答案． 【详解】（1）解：在中，， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴； （2）解：． 2．如图，在中，，，， (1)求的度数； (2)若点P为线段上一点，连接，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】此题重点考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理得到的形状． （1）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，即可求解； （2）由勾股定理得，设，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， 是直角三角形， ； （2）解：设，则． 在中，， ， 解得． ． 3．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，且． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若公路修通后，一辆货车从处经过点到处的路程是多少？ 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)一辆货车从处经过点到处的路程是 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用等知识． （1）利用勾股定理逆定理判断即可． （2）先根据三角形面积计算出，再根据勾股定理求出，再计算即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∵， ∴，， ∴是直角三角形． （2）解：∵， ． 在中，， 一辆货车从处经过点到处的路程． 故一辆货车从处经过点到处的路程是． 4．为了让学生更多的参与到劳动实践中，育才中学开辟了一片劳动基地，然后中间用栅栏将这块劳动基地划分成两部分，分别种植花卉和蔬菜（如图），其中，已知，，，． (1)求花卉区的面积； (2)若学校在蔬菜基地周围修两条步道（宽度忽略不计）和，这两条步道的长度相差多少米？ 【答案】(1)花卉区的面积为； (2)这两条步道的长度相差6米． 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，平行线的性质． （1）由勾股定理的逆定理可得，根据三角形的面积公式计算即可； （2）由平行线的性质可得，根据勾股定理可得，根据线段之间的和差计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴花卉区的面积为． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴这两条步道的长度相差6米． 母题9：勾股定理的实际应用 小王与小林进行遥控赛车游戏，小王的赛车从点出发，以的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于时，遥控信号会产生相互干扰，，． (1)出发时，遥控信号是否会产生相互干扰？ (2)出发几秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰？ ▋▎名师点拨 【答案】(1)出发时，遥控信号不会产生相互干扰 (2)出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可得，，再根据勾股定理即可求解． （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，出发时，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴出发时，遥控信号不会产生相互干扰． （2）解：设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰， 根据题意得，， 解得：，（舍去）， ∴出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰． 1．在《直指算法统宗》里有一道问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终日笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”词意：当秋千静止在地上时，秋千的踏板离地面一尺（尺），将秋千的踏板往前推两步（尺）时，秋千的踏板与人一样高，而此人身高五尺，当然这时的秋千的绳索是呈直线状态．现在问这个秋千的绳索有多长？ 【答案】这个秋千的绳索的长是14.5尺 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用．设这个秋千的绳索尺，得到，求出的值，即可得到秋千的绳索的长． 【详解】解：设尺， 依题意，，， ∴ ， 在中，， ， 解得， 故尺， 答：这个秋千的绳索的长是14.5尺． 2．如图，一架长2.5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上（垂足为O），此时为2米． (1)求梯子底端到墙的距离的长； (2)如果梯子的顶端点A向下移动0.5米至点C处，那么梯子的底端向右移动的距离是多少米？ 【答案】(1)1.5米 (2)0.5米 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】（1）在中，根据勾股定理可得米； （2）由题意得米，米，在中，根据勾股定理可得米，进而可得米． 本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得中，，米，米， ∴（米）． （2）解：由题意得米，米， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）． 3．由于过度采伐森林和破坏植物，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．如图，近日市气象局测得在市正南方向的处有一沙尘中心，沿方向以的速度移动，已知市到的距离为，沙尘中心经过从点移动到点． (1)求的长； (2)如果在距沙尘中心的圆形区域内都将受到沙尘暴的影响，那么市会受到沙尘暴的影响吗？若会，求出市受到沙尘暴影响的时间持续多久；若不会，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【知识点】三线合一、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理的应用． （1）先根据沙尘中心移动速度及时间求出，再利用勾股定理求的长； （2）令，由等腰三角形三线合一，可得，用勾股定理求出，进而可得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知， 在中，， ， 即的长为； （2）解：， 市会受到沙尘暴的影响． 如图，令， ， ， ， ， ， 即市受到沙尘暴影响的时间持续． 4．台风有极强破坏力，台风中心沿东西方向由A向B移动，C为一海港，点C与两点A，B的距离分别为，，，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到破坏影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风移动速度为30千米／时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)会受到影响，理由见解析 (2)小时 【知识点】三线合一、勾股定理逆定理的实际应用、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由： ，，， ， 是直角三角形，； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响。 （2）解：如图，以为圆心，为半径画圆，交于， 当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为30千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 母题10：利用勾股定理解决折叠问题 如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与点重合，折痕分别交于点，则的长是（   ） A． B． C． D． ▋▎名师点拨 【答案】C 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理的应用，折叠的性质等知识点， 由折叠性质知，设，则，由勾股定理得，即，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由四边形是长方形 ， ∴， 由折叠性质知， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：． 1．如图，在中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由题意知，，由折叠的性质设，则，由勾股定理得，，代入计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 由折叠的性质可知，， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 故选：B． 2．如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键． 首先根据折叠可得，然后求得是等腰直角三角形，进而求得，，从而求得，在中，由勾股定理即可求得的长即可得到答案． 【详解】解：根据折叠的性质可知， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在中，，，，则由勾股定理得， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、勾股定理与折叠问题、折叠问题 【分析】本题考查了长方形与折叠问题、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，则可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证； （2）过点作于点，先利用勾股定理可得，再设，则，在中，利用勾股定理可得的值，则可得的长，然后根据折叠的性质可得，根据求解即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：如图，过点作于点， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴在中，， 由（1）已证：， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴． 4．如图，小红用一张长方形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，长为．当小红折叠时，定点落在边上的点处（折痕为）． (1)求的长； (2)求的长. 【答案】(1) (2) 【知识点】勾股定理与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握折叠的性质和长方形的性质，根据勾股定理得出方程是解题关键． （1）先根据矩形的性质得到，，，再根据折叠的性质得，，则可利用勾股定理计算出； （2）计算出的长，设，则，然后在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出即可． 【详解】（1）解：四边形是长方形   ， 折叠                                 由勾股定理，得： （2），， ， 设 则                              由勾股定理，得： 解得： 所以，的长为 2 / 2 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级上学期数学精选母题系列 题 提高 拓展篮 数学精选母题系列 2025一2026学年八年级上学期数学精选母题系列 精选母题第6讲：勾股定理 母题6：以弦图为背景的问题 母题1：利用勾股定理求线段长 母题7：勾股数的概念与判断 母题2：利用勾股定理求解面积 母题8：勾股定理逆定理的应用 精选母题 母题3：利用勾股解决平方和差 勾股定理 母题9：勾股定理的实际应用 母题4：利用勾股证明平方关系 母题10：利用勾股定理解决折叠问题 母题5：勾股定理的证明方法 学题 母题1：利用勾股定理求线段长 如图，在RtABAC中，∠A=90°，AC=3,AB=4,BC的垂直平分线分别交AB,BC于点D ,E.则AD的长为() C A B.8 C.1 D. ■I解答区 1/24 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 2025-2026学年八年级上学期数学精选母题系列 之题 变式多 提高篮 拓展练 数学精选母题系列 变式练 1.如图，AB=BC=CD=DE=1,∠ABC=∠ACD=∠ADE=90°，则线段AE的长为（) D E A.5 B.2 C.5 D.6 2.如图，在ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D,AC=9,BC=12,则CD的长等 于（) A.3 B.4.5 C.6 D.7.5 3.如图，AB⊥CD于B,△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=5,BE=2,那么 AC的长为() A B A.5 B,√3 C.7 D.13 4.如图，两条互相垂直的直线I、交于点O,点A、点C在直线4上，点B、点D在直线上， 且始终满足AB=2,CD=4,点M、N分别是AB和CD的中点，当∠ONM最大时，MN的长为 () 2/24 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 2025-2026学年八年级上学期数学精选母题系列 题 变式 提高 拓展篮 数学精选母题系列 12 B A.1 B.5 C.5 D.3 学愚 母题2：利用勾股定理求解面积 如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为 S,S2,S,若S,+S2-S=20,则图中阴影部分的面积为() B S S2 S A.5 C.4 D 7-2 I解答区 变式练 3/24 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 2025-2026学年八年级上学期数学精选母题系列 之题 是高 拓展练 数学精选母题系列 1·如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正 方形，若已知三个正方形的面积依次为S,=4,S2=6,S,=36,则另一个正方形的面积S4为()· A.38 B.34 C.42 D.44 2.如图，在ABC中，∠A=90°，AC=7,AB=3·以BC为一条边向三角形外部作正方形， 则正方形的面积S是() S B A.10 B.58 C.49 D.100 3.已知直角三角形的三边a,b,c满足c>a>b,分别以a,b,c为边作三个正方形，把两个 较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠局部的面积分别为S和S,均 重叠局部的面积为S2,则S,S2,S满足的大小关系是() S2 A.S,+S3<S2 B.S1+S3=S2 C.S1+S,>S2 D,无法确定 4,如图，直线1上有三个正方形A、B、C,若正方形A、C的边长分别为5和7，则正方形B 4/24 ★学科网·数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 2025-2026学年八年级上学期数学精选母题系列 题 变式 提高篮 拓展篮 数学精选母题系列 的面积为(） B A.36 B.49 C.74 D.8 学愚 母题3：利用勾股解决平方和差 如图，在ABC中，AB=I3,AC=20,AD⊥BC于点D,E为AD上任意一点，则 CD2-BD2的结果为() B D A.7 B.33 C.231 D.569 ■1解答区 变式练 5/24 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 2025-2026学年八年级上学期数学精选母题系列 之题 变 是高 拓展练 数学精选母题系列 1.如图，在ABC中，AC=AD,BD=10,CD=8,记AB长为X,AC长为y·当x,y的 值发生变化时，下列代数式的值不变的是() D A.x+y B.x-y C.x2+y2 D.x2-y2 2.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,若AC⊥BD,AB=5,CD=√3，则 BC2+AD2=_ 3.如图，在ABC中，AB=14,AC=16,AD1BC垂足为D,M为AD上任意一点，则 MC2-MB2=_ M B D 4,如图，在ABC中，AB=I3,AC=20,AD1BC于点D,E为AD上任意一点，则 CE2-BE2=_ B 学题 母题4：利用勾股证明平方关系 6/24 ★学科网·数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 2025-2026学年八年级上学期数学精选母题系列 题 变线 提高 拓展篮 数学精选母题系列 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，作等腰Rt DCE,且 LDCE=90°，连接AE (1)求证：AE=BD; (2)求证：BD2+AD2=DE2· 1解答区 变式练 1·如图，在ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,∠CBE=45°，BE分别交AC,AD于点E、 F A 图1 图2 (1)如图1，若AB=13,BC=10,求AF的长度； (2)如图2，若AF=BC,求证：BF2+EF2=AE2. 7/24 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 2025-2026学年八年级上学期数学精选母题系列 题 变式练 提高 拓展练 数学精选母题系列 2,如图，ABC和ADE都是等腰三角形，其中AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE B 图1 图2 (1)如图1，连接BE、CD,求证：BE=CD (2)如图2，若∠BAC=∠DAE=90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD2、CE2和CA之间的数 量关系，并加以说明 3.如图，在ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于点D,试说明： 8/24 ★学科网·数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 2025-2026学年八年级上学期数学精选母题系列 题 变 提高篮 拓展篮 数学精选母题系列 AD2=AC2+BD2. 4.【问题探究】 (1)如图1，在Rt△ABC中，AB为斜边，点P为直角边AC的中点，连接BP,求证 AB2+3BC2=4BP2i 【问题解决】 (2)如图2，ABC是某公园的局部示意图，AM、MN是两条人行步道，该公园的规划部门 计划在AB的上方找一点H,连接NH,使得NH=NB、LAHN=90°，并沿AH修一条观景小道 经测量，∠C=90°，点M为CB的中点，MN1AB于点N,AC=650米，问观景小道AH的长度 是否为定值？若是，请求出AH的长；若不是，请说明理由 图1 图2 学题 母题5：勾股定理的证明方法 9/24 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 2025-2026学年八年级上学期数学精选母题系列 题 变 提高篮 拓展练 数学精选母题系列 勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是() b a b b b b b a b ■I解答区 变式练 1,意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理.若设图1中空白部分的面积为S ,图3中空白部分的面积为S,则下列表示S,S的等式成立的是() b b 剪开 右边部分 上下翻转 图1 图2 图3 10/24 ★学科网·数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★