专题03 勾股定理（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材苏科版

专题03 勾股定理（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 勾股定理的直接应用 能运用勾股定理进行直角三角形的边长计算 基础必考点，选择题、填空题中出现频率较高 勾股定理的逆定理 能运用逆定理判定三角形是否为直角三角形 概念理解、判定条件难点 勾股定理的实际应用 能建立数学模型解决实际问题 应用能力考查，建模思想 勾股定理与折叠、旋转问题 能综合运用勾股定理解决几何变换问题 综合能力难点，空间想象能力要求高 勾股定理与方程思想的结合 能运用方程思想解决复杂几何问题 高阶思维能力要求高 知识点01 勾股定理 1.定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 2.数学表达：如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a² ＋ b² ＝ c² 3.适用范围：仅适用于直角三角形 4.基本应用：已知两边求第三边 ·示例：1.如图数轴上的点O表示的数是0，点A表示的数是2，OB⊥OA，垂足为O，且OB＝1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（　　） A． B．－2 C．2 D．－2 2.如图在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，则B到直线AC的距离为（　　） A． B． C． D． 3.若一个直角三角形的三边分别为x，4，5，则x2＝　 　 ． ·易错点：未确定直角边和斜边就直接套用公式；在代数运算中忘记开平方或平方计算错误；直角三角形的条件，在非直角三角形中使用勾股定理. 知识点02 勾股定理的逆定理 1.逆定理内容：如果三角形的三边满足a² ＋ b² ＝ c²，那么这个三角形是直角三角形 2.判定方法：计算三边平方关系，判断最大边的对角是否为直角 3.基本应用：判定三角形形状，证明垂直关系 ·示例：1.下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23 ·易错点：未将最长边作为斜边进行判断；计算平方时出现错误；混淆勾股定理与逆定理的使用条件. 知识点03 勾股定理的实际应用 1.建模思想：将实际问题抽象为直角三角形模型 2.常见类型：梯子问题、航海问题、距离问题、高度问题 3.解题步骤：识别直角三角形 → 标注已知量 → 建立勾股关系 → 求解验证 ·示例：如图1是一个可调节平板支架，其结构示意图如图2所示，已知平板宽度AB为16cm，支架BC的长度为12cm，∠ABC＝90°，保持此时△ABC的形状不变，当CB平分∠ACD时，点B到CD的距离是（　　） A．8cm B．8.6cm C．9cm D．9.6cm 2.如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1m，小臂到地面的距离约1.2m，则适合小明的绳长为　 　 m． ·易错点：实际问题中识别直角三角形困难；单位不统一导致计算错误；忽略实际意义，未验证解的合理性. 题型一 勾股定理的直接应用 解｜题｜技｜巧 1.识别直角三角形，确定直角边和斜边 2.根据已知条件选择合适的勾股关系式 3.注意代数运算的准确性，特别是平方和开方运算 易｜错｜点｜拨 在不确定哪条边是斜边时，应该将最长边作为斜边进行验证 【典例1】如图，把一块含45°角的三角板放入2×4的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示－1的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　） A．2 B．1.8 C．－1＋2 D． 【典例2】数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小朋同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学喜欢思考，借助这个图形设计了一道数学题：由四个全等的直角三角形拼成的图形中，C、D、E在同一直线上，设CE＝a，HG＝b，则正方形BDFA的面积是（　　） A． B． C．a2－b2 D．a2＋b2 【典例3】我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富．下面图形能证明a2＋b2＝c2的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【变式1】如图，分别以Rt△ABC的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AC＝8，BC＝6时，“希波克拉底月牙”的面积是（　　） A．18 B． C．24 D．48 【变式2】直角三角形的三边为a－2b，a，a＋2b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为（　　） A．18 B．19 C．21 D．22 【变式3】如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为S1，S2，S3，S4．若S1＋S4＝135，S3＝49，则S2＝　 　 ． 题型二 勾股定理逆定理的应用 答｜题｜模｜板 1.确定三角形三边长度，找出最长边. 2.计算较短两边的平方和与最长边的平方 3.比较两者大小，得出结论 4.注意：只有当a²＋b²＝c²时才是直角三角形 【典例1】以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（　　） A．3、4、5 B．1、2、2 C．1、、 D．8、15、17 【典例2】在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且满足a＝m－n，，c＝m＋n（m＞n＞0）． （1）求证：△ABC为直角三角形； （2）是否存在a，b，c（a，b，c均为正整数）使得c2＝3ab？若存在，求a，b，c的值，若不存在，请说明理由． 【变式1】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a，b，c为勾股数．请你利用这个结论得出一组勾股数是　 　 ． 【变式2】在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图乙四边形ABCD），AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝15千米，CD＝3千米，AD＝12千米． （1）求小溪流AC的长． （2）求四边形ABCD的面积．（结果保留根号） 题型三 勾股定理的实际应用与综合问题 答｜题｜模｜板 1.仔细审题，将实际问题转化为几何问题 2.构造直角三角形，标注已知量和未知量 3.建立勾股方程，注意单位的统一 4.求解并验证答案的合理性 易｜错｜点｜拨 实际问题中经常需要添加辅助线构造直角三角形，这是解决问题的关键 【典例1】已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BC＝a，AC＝b，AB＝c，CD＝h，下列结论中，正确的是（　　） ①当a2＋b2＝c2时，则∠ACB＝90°． ②当∠ACB＝90°时，则a＋b＝c＋h． ③当∠ACB＝90°时，则． ④当∠ACB＝90°时，则ab＝ch． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【典例2】华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（　　）米． A． B．20 C．15 D． 【典例3】如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若m＝1米，n＝5米，则旗杆AB的长为 　　 米． 【变式1】清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：AD是锐角△ABC的高，则．当AB＝6，BC＝5，AC＝4时，AD的长为 　 　 ． 【变式2】如图，在△ABC中，点P在△ABC内部，AB＝AC＝13，BP⊥CP于点P，BP＝8，CP＝6，求阴影部分的面积为 　 　 ． 【变式3】（1）探索：请你利用图（1）验证勾股定理． （2）应用：如图（2），已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，分别以AC，BC为直径作半圆，半圆的面积分别记为S1，S2，则S1＋S2＝　 　 .（请直接写出结果）． （3）拓展：如图（3），MN表示一条铁路，A，B是两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为AC＝40千米，BD＝60千米，且CD＝80千米．现要在CD之间建一个中转站O，求O应建在离C点多少千米处，才能使它到A，B两个城市的距离相等． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.．下列结论中，正确的有（　　） ①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5； ②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2＋AC2＝AB2，则∠A＝90°； ③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形； ④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，如果S2＋S1－S3＝16，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B．4 C．5 D．8 3.如图，这是边长为1的3×3的正方形网格，△ABC的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，则边BC上的高是 　 　 ． 4.勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦．”即c（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为2，“股”为3，则“弦”最接近的整数是 　 　 ． 5.如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面20cm的点C处连接着出水口D所在的水管，水管AB上的点E处安装有红外线感应装置，已知出水口D到点C的距离CD为15cm，出水口D到点E的距离为17cm，且CD⊥AB，则红外线感应装置距离洗手台面的高度BE为 　 　 cm． 6.如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.如图，△ABC的三边BC＝17，CA＝18，AB＝19，过△ABC内一点P向三边作垂线，垂足分别为D、E、F，且BD＋CE＋AF＝27，则BD＋BF的长是（　　） A．18 B．10＋6 C．19 D．17 2.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D为AC上的动点，点E，F分别为AB，AD的中点，则EF最小值为（　　） A． B． C． D． 3.如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的面积分别为6、8、5，则正方形D的面积为 　 　 ． 4.如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A对应的数是－3，AC＝BC＝BD＝1，若以点A为圆心，AD长为半径画弧，与数轴交于点E，则点E表示的数为 　 　 ． 5.我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．欲知为田几何？”问题大意：如图，在△ABC中，已知AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，则△ABC的面积是　 　 平方里． 6.著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，设AH＝x，可以求CH的值，请帮小明写出求CH的过程． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（　　） A．1 B．2 C．5 D． 2.如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（　　） A．36 B．42 C．48 D．52 3.如图，已知边长为2的正△ABC的两顶点A，B分别在直角∠MON的两边上滑动，点C在∠MON内部，则OC长的最大值为 　 　 ． 4.如图，四边形ABDC中，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠ACD＝2∠D，AC＋1＝BC＋CD，AB＝3，则线段BD的长为 　 　 ． 5.【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．设AD＝a，BD＝b，CD＝m． （1）请完成下列填空． 小明说：可以用含a，b的代数式表示AC2＋BC2，则AC2＋BC2＝（a＋b）2； 小颖说：也可以用含a，b，m的代数式表示AC2＋BC2，则AC2＋BC2＝　 　 ； 小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则m＝　 　 ； 亮说：可以用含a，b的代数式表示Rt△ABC的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为 　 　 ； （2）若Rt△ABC的面积为6，求m的最大值． 【迁移应用】 （3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为32平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 6.【综合探究】 “在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法． （1）直接写出图1中△ABC的面积是 　 　 ； （2）若△MNP的边长分别为，试运用构图法在图2中画出相应的△MNP，并求出△MNP的面积． （3）拓展应用：求代数式的最小值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 勾股定理的直接应用 能运用勾股定理进行直角三角形的边长计算 基础必考点，选择题、填空题中出现频率较高 勾股定理的逆定理 能运用逆定理判定三角形是否为直角三角形 概念理解、判定条件难点 勾股定理的实际应用 能建立数学模型解决实际问题 应用能力考查，建模思想 勾股定理与折叠、旋转问题 能综合运用勾股定理解决几何变换问题 综合能力难点，空间想象能力要求高 勾股定理与方程思想的结合 能运用方程思想解决复杂几何问题 高阶思维能力要求高 知识点01 勾股定理 1.定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 2.数学表达：如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a² ＋ b² ＝ c² 3.适用范围：仅适用于直角三角形 4.基本应用：已知两边求第三边 ·示例：1.如图数轴上的点O表示的数是0，点A表示的数是2，OB⊥OA，垂足为O，且OB＝1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（　　） A． B．－2 C．2 D．－2 【解答】在Rt△AOB中，AB， ∴AB＝AC， ∴OC＝AC－OA2， ∵C点在x轴负半轴，∴点C表示的数为2．故选C． 2.如图在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，则B到直线AC的距离为（　　） A． B． C． D． 【解答】在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，如图，BD为AB边上的高， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， 解得：，故选B． 3.若一个直角三角形的三边分别为x，4，5，则x2＝　 　 ． 【解答】分两种情况：①5是直角边长，则第三边x是斜边长，由勾股定理得：x2＝52＋42＝41； ②5是斜边长，则第三边x是直角边长，由勾股定理得：42＋x2＝52，∴x2＝9； 综上所述，x2＝41或9． ·易错点：未确定直角边和斜边就直接套用公式；在代数运算中忘记开平方或平方计算错误；直角三角形的条件，在非直角三角形中使用勾股定理. 知识点02 勾股定理的逆定理 1.逆定理内容：如果三角形的三边满足a² ＋ b² ＝ c²，那么这个三角形是直角三角形 2.判定方法：计算三边平方关系，判断最大边的对角是否为直角 3.基本应用：判定三角形形状，证明垂直关系 ·示例：1.下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23 【解答】A、42＋52≠62，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、62＋82≠112，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、52＋122≠232，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选B． ·易错点：未将最长边作为斜边进行判断；计算平方时出现错误；混淆勾股定理与逆定理的使用条件. 知识点03 勾股定理的实际应用 1.建模思想：将实际问题抽象为直角三角形模型 2.常见类型：梯子问题、航海问题、距离问题、高度问题 3.解题步骤：识别直角三角形 → 标注已知量 → 建立勾股关系 → 求解验证 ·示例：如图1是一个可调节平板支架，其结构示意图如图2所示，已知平板宽度AB为16cm，支架BC的长度为12cm，∠ABC＝90°，保持此时△ABC的形状不变，当CB平分∠ACD时，点B到CD的距离是（　　） A．8cm B．8.6cm C．9cm D．9.6cm 【解答】在Rt△ABC中，AB＝16，BC＝12，∴AC20， 过点B作BE⊥CD于点E，CF⊥AC于点F，如图所示： ∵CB平分∠ACD，∴BE＝BF，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝20cm，AB＝16cm， 由三角形的面积公式得：S△ABCAC•BFAB•BC，∴BF9.6（cm）， ∴BE＝BF＝9.6cm，∴点B到CD的距离是9.6cm．故选D． 2.如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1m，小臂到地面的距离约1.2m，则适合小明的绳长为　 　 m． 【解答】如图，过A作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC，∴BDBC（m）， 在Rt△ABD中，AD＝1.2，∴AB＝AC1.3（m）， ∴绳长为1.3×2＝2.6（m） ·易错点：实际问题中识别直角三角形困难；单位不统一导致计算错误；忽略实际意义，未验证解的合理性. 题型一 勾股定理的直接应用 解｜题｜技｜巧 1.识别直角三角形，确定直角边和斜边 2.根据已知条件选择合适的勾股关系式 3.注意代数运算的准确性，特别是平方和开方运算 易｜错｜点｜拨 在不确定哪条边是斜边时，应该将最长边作为斜边进行验证 【典例1】如图，把一块含45°角的三角板放入2×4的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示－1的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　） A．2 B．1.8 C．－1＋2 D． 【解答】如图， 由题意可知，BA＝BC，∠BDC＝90°，BD＝CD＝2， ∴BC2， ∴BA＝2， ∴DA＝BA－BD＝22， ∴数轴上点A所表示的数为22＋1＝－1＋2，故选C． 【典例2】数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小朋同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学喜欢思考，借助这个图形设计了一道数学题：由四个全等的直角三角形拼成的图形中，C、D、E在同一直线上，设CE＝a，HG＝b，则正方形BDFA的面积是（　　） A． B． C．a2－b2 D．a2＋b2 【解答】设CD＝x，则DE＝a－x， ∵HG＝b， ∴AH＝CD＝AG－HG＝DE－HG＝a－x－b＝x， ∴x， ∴BC＝DE＝a， 在Rt△BCD中，BD2＝BC2＋CD2＝（）2＋（）2， ∴正方形BDFA的面积为．故选B． 【典例3】我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富．下面图形能证明a2＋b2＝c2的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【解答】对于图形①，∵大正方形的边长为a＋b，∴大正方形的面积为：（a＋b）2， 又∵大正方形的面积＝边长a的正方形面积＋边长为b的正方形面积＋两个长为a，宽为b长方形的面积和，∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab，∴图形①不能证明a2＋b2＝c2； 对于图形②，∵大正方形的边长为a＋b，∴大正方形的面积为：（a＋b）2， ∵4个直角三角形的直角边分别为a，b，∴4个直角三角形的面积之和为：4×1/2ab＝2ab， 又∵大正方形的面积＝边长c的正方形面积＋4个直角三角形的面积和，∴（a＋b）2＝c2＋2ab， 整理得：a2＋b2＝c2，∴图形②能证明a2＋b2＝c2； 对于图形③，∵大正方形的边长为c，∴大正方形的面积为：c2， ∵4个直角三角形的直角边分别为a，b，∴4个直角三角形的面积之和为：4×1/2ab＝2ab， 又∵小正方形的边长为（b－a），∴小正方形的面积为（b－a）2， 又∵大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积之和，∴c2＝（b－a）2＋2ab， 整理得：a2＋b2＝c2，∴图形③能证明a2＋b2＝c2； 对于图形④，∵无法确定大正方形内部三角形的形状，∴无法确定该三角形的面积， ∴图形④不能证明a2＋b2＝c2， 综上所述：图形②③能证明a2＋b2＝c2．故选C． 【变式1】如图，分别以Rt△ABC的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AC＝8，BC＝6时，“希波克拉底月牙”的面积是（　　） A．18 B． C．24 D．48 【解答】根解据勾股定理可得AB10， S阴形＝S半圆AC＋S半圆BC＋S△ABC－S半圆AB π（）2（）2AC•BCπ（）2 π（）2（）28×6π（）2 ＝24．故选C． 【变式2】直角三角形的三边为a－2b，a，a＋2b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为（　　） A．18 B．19 C．21 D．22 【解答】∵a、b都为正整数，∴a－2b＜a＜a＋2b，∴a＋2b是直角三角形的斜边， ∴（a－2b）2＋a2＝（a＋2b）2整理得：2a2－4ab＋4b2＝a2＋4ab＋4b2，a2＝8ab，a＝8b， ∴a－2b＝8b－2b＝6b，a＋2b＝8b＋2b＝10b， ∴三角形三边长分别为6b、8b、10b，∴三角形三边的长度可能是6的倍数、8的倍数、10的倍数， A选项：当6b＝18时，b＝3，此时a＝8b＝24， ∴三边长分别为18、24、30，故A选项符合条件； B选项：19不是6、8、10的倍数，故B选项不符合题意； C选项：21不是6、8、10的倍数，故C选项不符合题意； D选项：不是6、8、10的倍数，故C选项不符合题意． 故选A． 【变式3】如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为S1，S2，S3，S4．若S1＋S4＝135，S3＝49，则S2＝　 　 ． 【解答】如图，连接BD． 由题意，得，，，． 在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2＝AB2＋AD2＝S1＋S4． 在Rt△BCD中，由勾股定理得BD2＝BC2＋CD2＝S2＋S3． ∴S1＋S4＝S2＋S3．∴S2＝S1＋S4－S3＝135－49＝86， 故答案为：86． 题型二 勾股定理逆定理的应用 答｜题｜模｜板 1.确定三角形三边长度，找出最长边. 2.计算较短两边的平方和与最长边的平方 3.比较两者大小，得出结论 4.注意：只有当a²＋b²＝c²时才是直角三角形 【典例1】以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（　　） A．3、4、5 B．1、2、2 C．1、、 D．8、15、17 【解答】A．最长边为5，验证32＋42＝9＋16＝25，与52＝25相等，满足勾股定理，能组成直角三角形，所以此选项正确，不符合题意； B．最长边为2，验证12＋22＝1＋4＝5，与22＝4不相等，不满足勾股定理．虽然三边满足三角形存在条件（如1＋2＞2），但无法构成直角三角形，所以此选项不正确，符合题意； C．最长边为，验证，与相等，满足勾股定理，能组成直角三角形，所以此选项正确，不符合题意； D．最长边为17，验证82＋152＝64＋225＝289，与172＝289相等，满足勾股定理，能组成直角三角形，所以此选项正确，不符合题意； 故选B． 【典例2】在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且满足a＝m－n，，c＝m＋n（m＞n＞0）． （1）求证：△ABC为直角三角形； （2）是否存在a，b，c（a，b，c均为正整数）使得c2＝3ab？若存在，求a，b，c的值，若不存在，请说明理由． 【解答】（1）证明：∵a2＋b2＝（m－n）22＝m2－2mn＋n2＋4mn＝m2＋2mn＋n2， c2＝（m＋n）2＝m2＋2mn＋n2， ∴a2＋b2＝c2，∴根据勾股定理逆定理，得△ABC为直角三角形； （2）解：不存在a，b，c（a，b，c均为正整数）使得c2＝3ab． 理由：假设存在a，b，c（a，b，c均为正整数）使得c2＝3ab， 由（1）知a2＋b2＝c2，∴a2＋b2＝3ab，∴a2－3ba＋b2＝0， 解得a， ∵是无理数，b是正整数，∴a不可能是正整数， 故不存在a，b，c（a，b，c均为正整数）使得c2＝3ab． 【变式1】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a，b，c为勾股数．请你利用这个结论得出一组勾股数是　 　 ． 【解答】∵如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a，b，c为勾股数， ∴当m为大于1的任意整数时，a，b，c为勾股数， 如m＝2，那么a＝2m＝4，b＝m2－1＝3，c＝m2＋1＝5，（答案不唯一）． 【变式2】在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图乙四边形ABCD），AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝15千米，CD＝3千米，AD＝12千米． （1）求小溪流AC的长． （2）求四边形ABCD的面积．（结果保留根号） 【解答】（1）∵∠B＝90°，AB＝BC＝15千米， ∴AC15千米； （2）∵AC2＝（15）2＝450，CD2＋AD2＝（3）2＋（12）2＝450， ∴AC2＝CD2＋AD2， 则∠D＝90°， S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD 15×15 ． 题型三 勾股定理的实际应用与综合问题 答｜题｜模｜板 1.仔细审题，将实际问题转化为几何问题 2.构造直角三角形，标注已知量和未知量 3.建立勾股方程，注意单位的统一 4.求解并验证答案的合理性 易｜错｜点｜拨 实际问题中经常需要添加辅助线构造直角三角形，这是解决问题的关键 【典例1】已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BC＝a，AC＝b，AB＝c，CD＝h，下列结论中，正确的是（　　） ①当a2＋b2＝c2时，则∠ACB＝90°． ②当∠ACB＝90°时，则a＋b＝c＋h． ③当∠ACB＝90°时，则． ④当∠ACB＝90°时，则ab＝ch． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【解答】①当a2＋b2＝c2时，则∠ACB＝90°，说法正确； ②当∠ACB＝90°时，则a•b＝c•h，原说法错误； ③当∠ACB＝90°时，∴ab＝ch， ∴a2b2＝c2h2， ∴， ∴， 由勾股定理得：a2＋b2＝c2， ∴ ∴，说法正确； ④当∠ACB＝90°时，则ab＝ch，说法正确；故选C． 【典例2】华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（　　）米． A． B．20 C．15 D． 【解答】展开图： 12÷3＝4（米），（米），5×3＝15（米），故选C． 【典例3】如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若m＝1米，n＝5米，则旗杆AB的长为 　　 米． 【解答】由题意得：BC＝5米，AC＝（AB＋1）米，∠ABC＝90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2＋BC2＝AC2， 即AB2＋52＝（AB＋1）2， 解得：AB＝12（米） 【变式1】清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：AD是锐角△ABC的高，则．当AB＝6，BC＝5，AC＝4时，AD的长为 　 　 ． 【解答】如图，∵，AB＝6，BC＝5，AC＝4 ∴BD（5），∴CD＝BC－CD＝5， ∵AD是锐角△ABC的高，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴AD， 故答案为：． 【变式2】如图，在△ABC中，点P在△ABC内部，AB＝AC＝13，BP⊥CP于点P，BP＝8，CP＝6，求阴影部分的面积为 　 　 ． 【解答】过点A作AD⊥BC，垂足为D， ∵BP⊥CP，∴∠CPB＝90°， ∵BP＝8，CP＝6，∴BC10， ∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BDBC＝5， 在Rt△ABD中，AB＝13， ∴AD12， ∴阴影部分的面积＝△ABC的面积－△BPC的面积BC•ADBP•CP 10×128×6＝60－24＝36，故答案为：36． 【变式3】（1）探索：请你利用图（1）验证勾股定理． （2）应用：如图（2），已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，分别以AC，BC为直径作半圆，半圆的面积分别记为S1，S2，则S1＋S2＝　 　 .（请直接写出结果）． （3）拓展：如图（3），MN表示一条铁路，A，B是两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为AC＝40千米，BD＝60千米，且CD＝80千米．现要在CD之间建一个中转站O，求O应建在离C点多少千米处，才能使它到A，B两个城市的距离相等． 【解答】解：（1）∵（a＋b）（a＋b）＝2abc2， ∴（a＋b）（a＋b）＝2ab＋c2， ∴a2＋2ab＋b2＝2ab＋c2， ∴a2＋b2＝c2； （2）∵S1πAC2，S2πBC2， ∴S1＋S2π（AC2＋BC2）πAB2π； （3）设CO＝x km，则OD＝（80－x）km． ∵O到A、B两个城市的距离相等， ∴AO＝BO，即AO2＝BO2， 由勾股定理，得402＋x2＝602＋（80－x）2， 解得：x＝52.5．即O应建在离C点52.5千米处． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.．下列结论中，正确的有（　　） ①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5； ②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2＋AC2＝AB2，则∠A＝90°； ③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形； ④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三条边长为或， 故结论①错误，不符合题意； ②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2＋AC2＝AB2，则∠C＝90°，故结论②错误，不符合题意； ③△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，此时，则这个三角形是一个直角三角形，故结论③正确，符合题意； ④若三角形的三边比为3：4：5，则设三边为3r，4r，5r， ∵（3r）2＋（4r）2＝25r2＝（5r）2， ∴该三角形是直角三角形，故结论④正确，符合题意； 综上所述，结论正确的有③④，共2个，故选C． 2.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，如果S2＋S1－S3＝16，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B．4 C．5 D．8 【解答】由勾股定理得S2－S3＝S1，∵S2＋S1－S3＝16，∴S1＝8， 由图形可知，阴影部分的面积为，故选B． 3.如图，这是边长为1的3×3的正方形网格，△ABC的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，则边BC上的高是 　 　 ． 【解答】设BC边上的高为h，由勾股定理得：BC， ∵S△ABCBC•h＝3×2－22×13×1，∴•h， ∴h，即BC边上的高为， 4.勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦．”即c（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为2，“股”为3，则“弦”最接近的整数是 　 　 ． 【解答】由题意得“弦”是，∵9＜13＜16，13－9＝4，16－13＝3， ∴13更接近于16，∴接近于4．故答案为：4． 5.如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面20cm的点C处连接着出水口D所在的水管，水管AB上的点E处安装有红外线感应装置，已知出水口D到点C的距离CD为15cm，出水口D到点E的距离为17cm，且CD⊥AB，则红外线感应装置距离洗手台面的高度BE为 　 　 cm． 【解答】∵CD⊥AB，∴△DCE是直角三角形 在Rt△DCE中，CD＝15cm，DE＝17cm，由勾股定理得： CE8（cm）， ∵CB＝20cm，∴BE＝BC－CE＝20－8＝12（cm）， ∴红外线感应装置到洗手台面的高度BE的长为12cm 6.如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【解答】解：根据题意，得PQ＝16×1.5＝24（海里），PR＝12×1.5＝18（海里），QR＝30（海里）， ∵242＋182＝302， 即PQ2＋PR2＝QR2， ∴∠QPR＝90°． 由“远航号”沿东北方向航行可知，∠QPS＝45°，则∠SPR＝45°， 即“海天”号沿西北方向航行． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.如图，△ABC的三边BC＝17，CA＝18，AB＝19，过△ABC内一点P向三边作垂线，垂足分别为D、E、F，且BD＋CE＋AF＝27，则BD＋BF的长是（　　） A．18 B．10＋6 C．19 D．17 【解答】连接PA、PB、PC， 设BD＝x，CE＝y，AF＝z，则CD＝17－x，EA＝18－y，FB＝19－z， 由勾股定理得，x2＋PD2＝（19－z）2＋PF2①， 同理得，y2＋PE2＝（17－x）2＋PD2②， z2＋PF2＝（18－y）2＋PE2③， ①＋②＋③得，x2＋y2＋z2＝（17－x）2＋（18－y）2＋（19－z）2， 化简得，17x＋18y＋19z＝487，∵x＋y＋z＝27，∴y＋2z＝28， ∴x＋y＋z－（y＋2z）＝27－28＝－1，∴x－z＝－1，∴BD＋BF＝x＋（19－z）＝18，故选A． 2.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D为AC上的动点，点E，F分别为AB，AD的中点，则EF最小值为（　　） A． B． C． D． 【解答】如图，连接BD，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴， ∵点E，F分别为AB，AD的中点， ∴EF是△ABD的中位线，∴， ∴当BD最小时，EF的值最小，当BD⊥AC时，BD最小， 此时，， 即，∴，∴，故选C． 3.如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的面积分别为6、8、5，则正方形D的面积为 　 　 ． 【解答】设正方形A、B、C、D的边长分别为a、b、c、d，中间阴影正方形的边长为x， ∵两个空白三角形均为直角三角形，∴a2＋b2＝x2，x2＋c2＝d2，∴d2＝a2＋b2＋c2， ∵A、B、C三个正方形的面积分别为6、8、5，∴d2＝a2＋b2＋c2＝6＋8＋5＝19， 即正方形D的面积为19． 4.如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A对应的数是－3，AC＝BC＝BD＝1，若以点A为圆心，AD长为半径画弧，与数轴交于点E，则点E表示的数为 　 　 ． 【解答】由题意可得，∠ACB＝90°，∠ABD＝90°，AC＝BC＝BD＝1， ∴AB，∴AD， ∵以点A为圆心，AD长为半径画弧，与数轴交于点E，∴点E表示的数为－3或－3. 5.我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．欲知为田几何？”问题大意：如图，在△ABC中，已知AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，则△ABC的面积是　 　 平方里． 【解答】在△ABC中，已知AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，如图，过点A作AD⊥BC于点D， 设BD＝x里，则CD＝14－x（里）， ∵AB2－BD2＝AC2－CD2，132－x2＝152－（14－x）2，解得x＝5（里），∴BD＝5（里）， ∴（里）， ∴△ABC的面积是（平方里）． 6.著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，设AH＝x，可以求CH的值，请帮小明写出求CH的过程． 【解答】解：（1）梯形ABCD的面积为（a＋b）（a＋b）a2＋abb2， 也可以表示为ababc2， ∴ababc2a2＋abb2， 即a2＋b2＝c2； （2）设AB＝AC＝x千米， ∴AH＝AB－BH＝（x－0.6）千米， 在Rt△ACH中，根据勾股定理得：CA2＝CH2＋AH2， ∴x2＝0.82＋（x－0.6）2， 解得x≈0.83， 即CA≈0.83千米， ∴CA－CH≈0.83－0.8≈0.03（千米）， 答：新路CH比原路CA少约0.03千米； （3）∵AH＝x， ∴BH＝AB－AH＝21－x， ∵CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21， 根据勾股定理： 在Rt△ACH中，CH2＝CA2－AH2， 在Rt△BCH中，CH2＝CB2－BH2， ∴CA2－AH2＝CB2－BH2， 即102－x2＝172－（21－x）2， 解得：x＝6， ∴AH＝6， ∴CH8． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（　　） A．1 B．2 C．5 D． 【解答】∵四边形EFGH为正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°， ∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°， ∵∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC， ∵∠BGP＝∠BGC＝90°，在△BPG和△BCG中， ， ∴△BPG≌△BCG（ASA）， ∴PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x， ∵O为EG，BD的交点，∴EG＝2x，FGx， ∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF＝CG＝x，∴BG＝xx， ∴BC2＝BG2＋CG2＝x2（1）2＋x2＝（4＋2）x2， ∴2．故选B． 2.如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（　　） A．36 B．42 C．48 D．52 【解答】把图②中各个小正方形标上字母，设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y， ∴正方形A的面积为x2，正方形B的面积为y2． 由题意得：正方形C的边长为2，并且是直角三角形的斜边．则正方形C的面积为4． 根据勾股定理可得：x2＋y2＝22＝4．∴正方形A的面积、正方形B的面积和为4；∴图①中所有正方形的面积和＝4＋4＝8． 同理可得：正方形E的面积＋正方形F的面积＝正方形A的面积，正方形G的面积＋正方形H的面积＝正方形B的面积， ∴正方形E的面积＋正方形F的面积＋正方形G的面积＋正方形H的面积＝正方形A的面积＋正方形B的面积＝4．∴图2中所有正方形的面积和＝图1中所有正方形的面积和加4为12． 即一次操作后所有正方形的面积和＝图1中所有正方形的面积和加4为12． 同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4．∴2次操作后所有正方形的面积和＝图1中所有正方形的面积和加2×4＝8＋2×4＝8＋8＝16．同理：3次操作后所有正方形的面积和＝图1中所有正方形的面积和加＝8＋3×4＝16；4次操作后所有正方形的面积和＝图1中所有正方形的面积和加＝8＋4×4＝20；∴每增加一次操作，面积就增加4， ∴n次操作后，图中所有正方形的面积和为8＋4n， 当n＝10时，图中所有正方形的面积和为＝8＋4×10＝48．故选C． 3.如图，已知边长为2的正△ABC的两顶点A，B分别在直角∠MON的两边上滑动，点C在∠MON内部，则OC长的最大值为 　 　 ． 【解答】如图，取AB的中点D，连接CD，OD， ∵∠AOB＝90°，点D为AB的中点，∴OD， ∵等边三角形ABC的边长为2，CD为中线，∴CD⊥AB， ∴CD， 在△ODC中，OD＋CD＞OC， ∴当O、D、C三点共线时，OC最长，最大值为1，∴OC的最大值为：1 4.如图，四边形ABDC中，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠ACD＝2∠D，AC＋1＝BC＋CD，AB＝3，则线段BD的长为 　 　 ． 【解答】作DN⊥AB交AB延长线于N，延长BN到M，使NM＝AB， ∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴四边形BCDN是矩形，∴BC＝DN， ∵∠ABC＝∠MND＝90°，∴△ACB≌△MDN（SAS），∴∠A＝∠M，AC＝DM， ∵CD∥AM，∴∠ACD＋∠A＝∠CDM＋∠M＝180°，∴∠ACD＝∠CDM＝2∠CDB， ∴∠CDB＝∠BDM， ∵∠MBD＝∠CDB，∴∠MBD＝∠BDM，∴MB＝MD， ∵AC＋1＝BC＋CD，∴BM＋1＝BC＋BN，∴BN＋MN＋1＝BC＋NB， ∵NM＝AB＝3，∴BC＝4，∴AC5， ∴BM＝AC＝5，∴BN＝MB－MN＝5－3＝2，∴CD＝BN＝2， ∴DB2． 5.【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．设AD＝a，BD＝b，CD＝m． （1）请完成下列填空． 小明说：可以用含a，b的代数式表示AC2＋BC2，则AC2＋BC2＝（a＋b）2； 小颖说：也可以用含a，b，m的代数式表示AC2＋BC2，则AC2＋BC2＝　 　 ； 小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则m＝　 　 ； 亮说：可以用含a，b的代数式表示Rt△ABC的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为 　 　 ； （2）若Rt△ABC的面积为6，求m的最大值． 【迁移应用】 （3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为32平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 【解答】解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°．∴AC2＝AD2＋CD2＝a2＋m2，BC2＝CD2＋BD2＝m2＋b2． ∴AC2＋BC2＝a2＋b2＋2m2． ∵AC2＋BC2＝（a＋b）2，∴a2＋b2＋2m2＝a2＋b2＋2ab． 整理得：m2＝ab．∴m（取正值）． 设CE是Rt△ABC的斜边上的中线． ①若△ABC为一般的直角三角形， 则CE＞CD． ②若△ABC为等腰直角三角形． 则CE＝CD．综上CE≥CD．∴m． （2）∵Rt△ABC的面积为6，∴AB•CD＝6．∴•m＝6． ∵m，∴m2≤6．∵m＞0，∴m．∴m的最大值为； （3） 设图2中与墙平行的边AB长x m，垂直于墙的边AD长y m． ∵面积为32平方米，∴xy＝32．由（1）得：， ∴a＋b≥2．∴2x＋4y≥2．∴2x＋4y≥2．∴2x＋4y≥32． ∴小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为32米． 6.【综合探究】 “在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法． （1）直接写出图1中△ABC的面积是 　 　 ； （2）若△MNP的边长分别为，试运用构图法在图2中画出相应的△MNP，并求出△MNP的面积． （3）拓展应用：求代数式的最小值． 【解答】解：（1）△ABC的面积为：3×31×21×32×3＝9－1－1.5－3＝3.5， 故答案为：3.5； （2）如图：由勾股定理，知MN，NP，PM， △MNP即为所求； △MNP的面积为：3m×4nm×4n2m×2n3m×2n＝12mn－2mn－2mn－3mn＝5mn； （3）可看作两直角边分别为x和1的Rt△ACP的斜边长，可看作两直角边分别是4－x和2的Rt△BDP的斜边长，构造图形如下： 依题意，得AC＝1，DB＝2，CD＝4，CP＝x，PD＝4－x， 求代数式的最小值，就是求AP＋BP的最小值，当AP与BP共线时，AP＋BP为最小，最小值为AB的长． ∵AE＝AC＋CE＝1＋2＝3，BE＝CD＝4， ∴由勾股定理，得AB5， ∴代数式的最小值是5． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $