专题01 垂径定理及其推论的应用（高效培优专项训练）数学华东师大版九年级下册

专题01 垂径定理及其推论的应用 题型一：直接利用勾股定理求线段长 题型二：运用单勾股列方程求线段长 题型三：运用双勾股列方程求线段长 题型四：垂径定理的实际应用问题 题型五：垂径定理应用的综合题 题型一：直接利用勾股定理求线段长 1．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，在中，弦，圆心O到的距离为4，则的半径为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵圆心O到的距离为4， ，， ， ，， ． 即的半径为5． 故选：C． 2．（25-26九年级上·吉林辽源·月考）如图，的弦垂直平分半径，垂足为，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，及用勾股定理解直角三角形，垂直平分线，熟练掌握垂径定理是解题关键． 连接，先求出，，，得到，，，由勾股定理，得到，则，即可解答． 【详解】解：连接，如图 的弦垂直平分半径，， ，，， ，，， ， ． 故选：D． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，的半径是4，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，含的直角三角形，连接，则，过点O作交于点D，则可计算出，利用勾股定理求出，进一步利用垂径定理即可求出弦的长． 【详解】解：连接，则，过点O作交于点D， ∵， ∴， ， ∴． 故选：B． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，将半径为6的沿折叠，使得折痕垂直半径，当恰好经过的三等分点（靠近端点）时，折痕长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆的基础知识，垂径定理，勾股定理，折叠的性质．根据点经过的三等分可求出、的长，延长交于点，连接，根据折叠的性质可求出的长，根据垂径定理，勾股定理即可求解． 【详解】解：延长交于点，连接， ， 为的中点， ，， ，，， ， ， 在中， ， ， ， 故选：A． 5．（25-26九年级上·浙江·期中）已知的半径为10，弦和弦垂直于同一条直径：，，则与之间的距离（    ） A．2或14 B．6或8 C．6或10 D．12或16 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理与勾股定理，注意弦在直径同侧或异侧时距离的计算方式不同． 两条弦均垂直于同一条直径，故相互平行；利用垂径定理及勾股定理求出圆心到每条弦的距离，再根据弦在直径同侧或异侧计算两弦间的距离． 【详解】解：如图，为直径，设于点E，于点F，连接． ∵，则． ∴． 同理，∵，则． ∴． 若和在直径同侧，则距离为． 若和在直径异侧，则距离为． ∴ 与之间的距离为2或14． 故选：A． 6．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，直径弦于点，已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，推导出是解题的关键． 如图：由于D点，，得，，而，再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，是直径，是弦，且于D点，， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，是的直径，、为上的点，且，过点作于点．若，的半径长为，求的长． 【答案】4 【分析】本题主要考查圆的基本性质、垂径定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于，由题意易得，，，然后可证，进而根据全等三角形的性质及勾股定理可得，再根据垂径定理可求得． 【详解】解：如图，过点作于， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ∵， ． 题型二：运用单勾股列方程求线段长 8．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点E，寸，寸，则半径的长度是（   ） A．13寸 B．26寸 C．12寸 D．24寸 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，由得到点E为的中点，设圆O的半径的长为x，在中，根据勾股定理求出x的值，即为圆的半径． 【详解】解：如图，连接， ， 寸， 寸， 设圆O的半径的长为x，则， ， ， 在中，根据勾股定理得，， 解得， 半径的长度是13寸， 故选：A． 9．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且米，米．则的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理及推论的应用、勾股定理，由是中弦的中点，则，所以，故有，（米），设的半径为米，则（米），然后通过勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是中弦的中点， ∴， ∴， ∴，（米）， 设的半径为米，则（米）， ∵， ∴， ∴， 故选：． 10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则⊙O的半径OC＝　 ． 【答案】． 【分析】由垂径定理得CECD＝5，设OB＝OC＝x，则OE＝x﹣2，再在Rt△OCE中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝10， ∴CECD＝5，∠OEC＝90°， 设OB＝OC＝x，则OE＝x﹣2， 在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE2+OE2＝OC2， 即52+（x﹣2）2＝x2， 解得：x， 即OC， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理．熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 11．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，勾股定理，根据题意可知，，从而得到，，得，得到，得，设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到，计算的值即可． 【详解】解：点D是弧的中点， ， 为的直径，， ， ，， ， ， ， 设圆的半径为R，连接， 根据勾股定理，得到， 解得， 故答案为：15． 12．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接，．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、中位线的性质以及勾股定理：先根据得，再根据勾股定理进行列式，得，解出，再结合中位线的性质，即可作答．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，． 13．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，，交于点，，是的半径，且于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的三线合一、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据垂径定理可得，然后根据线段和差即可得证； （2）连接，设的半径为，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵，于点， ∴， 又∵是的半径，， ∴， ∴， 即． （2）解：如图，连接， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∵是的半径，，， ∴， 在中，，即， 解得， ∴的半径为． 题型三：运用双勾股列方程求线段长 14．（2024秋•慈溪市校级月考）在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽AB为10cm，如果再注入一些水后，水面上升7cm，此时水面宽度变为24cm．则该水槽截面半径为（　　） A． B．13cm C．14cm D．15cm 【答案】B． 【分析】如图，水面AB上升7cm得到油面CD，依题意得AB＝10cm，CD＝24cm，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AEAB＝5cm，CFCD＝12cm，设OE＝xcm，则OF＝（x﹣7）cm，在Rt△OAE中和Rt△OCF中，根据勾股定理求得OA、OC的长度，然后由OA＝OC，列方程求x即可求半径OA，得出直径MN． 【详解】解：如图，依题意得AB＝10cm，CD＝24cm，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC， 由垂径定理，得AEAB＝5cm，CFCD＝12cm， 设OE＝xcm，则OF＝（x﹣7）cm， 在Rt△OAE中，OA2＝AE2+OE2， 在Rt△OCF中，OC2＝CF2+OF2， ∵OA＝OC， ∴52+x2＝122+（x﹣7）2， 解得x＝12， ∴半径OA13（cm）． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理的运用．关键是利用垂径定理得出两个直角三角形，根据勾股定理表示半径的平方，根据半径相等列方程求解． 15．（2024秋•江汉区校级月考）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD于点E，AD＝4，OE＝3，求CD的长． 【答案】8． 【分析】连接OD，根据垂径定理得出CE＝DE，根据勾股定理得出R2﹣9，解出R，进而求出ED． 【详解】解：连接OD， ∵AB⊥CD， ∴CE＝DE， 设⊙O的半径为R， 在Rt△ODE中，∵OE＝3， ∴DE2＝R2﹣9， 在Rt△ADE中，∵AD＝4， ∴DE2， ∴R2﹣9， 解得R＝5或R＝﹣8（不合题意，舍去）， ∴DE＝4， ∴CD＝2DE＝8， ∴CD的长为8． 【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，解题的关键是设出未知数利用勾股定理列出方程解答． 16．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，求OF的长． 【答案】1.4． 【分析】设OF＝a，连接OC，根据垂径定理得出AE＝EC，CF＝FD，根据勾股定理求出AE，求出AC，根据勾股定理得出CF2＝AC2﹣AF2＝OC2﹣OF2，求出82﹣（5+a）2＝52﹣a2，再求出a即可． 【详解】解：设OF＝a，连接OC， ∵AB⊥CD，OE⊥AC，OE和OF过圆心O， ∴AE＝EC，CF＝FD， ∵OB＝OC＝OA＝5， 在Rt△OAE中，， ∴AE＝EC＝4， 即AC＝4+4＝8， 在Rt△AFC和Rt△OFC中，由勾股定理得：CF2＝AC2﹣AF2＝OC2﹣OF2， 即82﹣（5+a）2＝52﹣a2， 解得：a＝1.4， 即OF＝1.4． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键． 17．如图，点O在∠MAN的边AN上，以O为圆心的圆交AM于B，C两点，交AN于D，E两点，若AO＝2，AB＝2，∠BOC＝60°，求⊙O的半径r． 【答案】2． 【分析】过点O作OF⊥BC于点F．在Rt△AOF和Rt△BOF中，由勾股定理，得OF2＝OA2﹣AF2＝OB2﹣BF2，由此构建方程即可解决问题． 【详解】解：过点O作OF⊥BC于点F． ∵OB＝OC，∠BOC＝60°， ∴∠BOF＝∠COF＝30°， ∴BFOBr， 在Rt△AOF和Rt△BOF中，由勾股定理，得 OF2＝OA2﹣AF2＝OB2﹣BF2，即（2）2﹣（2r）2＝r2﹣（r）2， 解得r1＝﹣4（负值舍去），r2＝2． ∴⊙O的半径为2． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 18．如图，PQ是半圆O的直径，正方形ABCD和正方形CEFG彼此相邻且内接于半圆O，点A，B，F在半圆上，点C，D，G在直径PQ上，点E在BC上，正方形CEFG的面积为16． （1）求证：OC＝OD； （2）求⊙O的半径长． 【答案】（1）见详解；（2）4． 【分析】（1）由Rt△AOD≌Rt△BOC（HL），即可证明OC＝OD； （2）设OC＝OD＝x，则BC＝2x，由勾股定理得到x2+（2x）2＝（x+4）2+42，求出x＝4（舍去负值），即可得到OBx＝4． 【详解】（1）证明：连接OA，OB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADO＝∠BCO＝90°，AD＝BC＝DC， ∵OA＝OB， ∴Rt△AOD≌Rt△BOC（HL）， ∴OD＝OC； （2）解：连接OF， 设OC＝OD＝x，则BC＝2x， ∵正方形EFGC的面积＝16， ∴FG＝CG＝4， ∴OG＝x+4， ∵OB2＝OC2+BC2，OF2＝OG2+FG2，OB＝OF， ∴x2+（2x）2＝（x+4）2+42， ∴x＝4（舍去负值）， ∴OBx＝4， ∴⊙O半径长是4． 【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，关键是由勾股定理求出OC的长． 19．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【答案】(1)见解析 (2)大圆的半径为 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理； （1）作于E，根据垂径定理得到即可得到； （2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可． 【详解】（1）证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 题型四： 垂径定理的实际应用问题 20．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是掌握以上两个定理．假设圆的圆心为点，连接，利用垂径定理得出，再利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如图，假设圆的圆心为点，连接， 根据题意得，，， ∴， 根据勾股定理得，， ∴． 故选：B． 21．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（   ） A．13米 B．10米 C．12米 D．20米 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，连接，则O、D、C三点共线，根据垂径定理得米，再由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接，则O、D、C三点共线， ∵拱高为， ∴， ∵米， ∴米， 在中，根据勾股定理，得：， 即， 解得：， 即拱桥的半径为13米， 故选：A． 22．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱门的半径为，则该拱门的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的实际应用及勾股定理．利用垂径定理和勾股定理求出的长度，再用求出的长度． 【详解】解：如图，连接， 由垂径定理得，半径， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 23．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）古代交通工具如图是博物馆展出的古代车轮，已知兵车之轮直径约为六尺六寸，田车之轮直径约为六尺三寸．如图所示，在车轮上取，两点，设所在圆的圆心为，半径为．作弦的垂线交于点，为垂足，经测量，，，已知战国时期尺，则车轮的直径约为 尺．（结果保留一位小数） 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由，得，，然后通过勾股定理，即，求出即可，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 在中，， ∴，解得：， ∴（尺）， 故答案为：． 24．（25-26九年级上·福建南平·期中）图是某游乐园的摩天轮，，两位同学坐在摩天轮上的示意图如图，摩天轮半径为米，两同学的直线距离为米，当同学旋转到最高位置，此时两位同学的高度差为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形面积公式的应用，熟练掌握勾股定理并结合三角形面积法求线段长度是解题的关键。 通过作垂线构造直角三角形，利用三角形面积公式求出直角边长度，再结合勾股定理计算线段长度，从而得到两位同学的高度差。 【详解】解：当同学旋转到最高位置时，过点作于点．令交于， 由题意可得，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， （米）， ∴此时两位同学的高度差为米． 故答案为：． 25．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图1，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写到：“破浪于川湄”，“斡流于波面”，“多寄临川之郡”，描述了筒车的工作原理和应用场景．如图2，筒车盛水桶的运动轨迹是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，被水面截得的弦长为米，的直径米，若是运动轨道的最低点（劣弧的中点），求点到水面的距离． 【答案】米 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，求得是解答的关键．连接交于D，连接，利用垂径定理的逆定理得到，米，在中，由勾股定理得，进而求得即可． 【详解】解：连接交于D，连接， 由题意，米，米， ∵是劣弧的中点， ∴， ∴米， 在中，由勾股定理得， ∴米， ∴（米）， 答：点到水面的距离为米． 26．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图是一个蔬菜大棚的横截面，它的“拱顶”部分是以点为圆心的圆的一部分，已知的半径为，横梁的长为，点为的中点，连接交于点． (1)求拱高的长； (2)若要在离蔬菜大棚中心处安装一支撑柱，且支撑柱垂直于横梁，求支撑柱的长． 【答案】(1)拱高的长为 (2)支撑柱的长为 【分析】本题主要考查垂径定理和勾股定理，正确作辅助线构造直角三角是解答本题的关键． （1）由垂径定理得，由勾股定理得，即可求出的长； （2）过点作于点，连接则．可得四边形是矩形，设，则，在中，由勾股定理得，求解方程即可． 【详解】（1）解：∵的半径为， ∴． ∵点为的中点， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 答：拱高的长为． （2）解：过点作于点，连接则．如图， 设， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，． 在中，，，， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）， ∴． 答：支撑柱的长为． 27．（25-26九年级上·广东江门·期中）在半径为的圆柱形油罐内装进一些油后，横截面如图． (1)若油面宽，求油的最大深度； (2)在（1）的条件下，若油面宽变为，求油的最大深度上升了多？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用． （1）作交于F，交圆于G，连接，根据垂径定理求出的长，根据勾股定理求出，计算即可； （2）分和分别在圆心的同侧和两侧两种情况进行讨论，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：作交于F，交圆于G，连接， ∴， 由勾股定理得， ， 则； （2）解：①和在圆心的同侧，连接，与交于点， 则：， ∴， ， 则； ②和在圆心的两侧，连接，延长交于点， 则：， 同法可证：； 则：； 答：油的最大深度上升了或． 题型五： 垂径定理应用的综合题 28．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，点在以为直径的上，，交于点，垂足，，． (1)连接，证明为等腰直角三角形； (2)连接，若点，在上，且，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出，得出，再根据，即可得出为等腰直角三角形； （）连接，根据，得出，再根据为等腰直角三角形得出，从而得出． 【详解】（1）证明：∵为直径，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形； （2）证明：连接，交于， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 29．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是半圆O的直径，，点C在半圆O上，D为的中点，连接并延长交半圆O于点E． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，过点E作，垂足为F，若，求的长． 【答案】(1)6 (2)2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）连接，根据三线合一的性质得出，，在中，根据勾股定理可得出，求出，即可求解； （2）由（1）可求出，根据勾股定理求出，证明，得出，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵，D为的中点， ∴，， ∴， 又，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 30．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，O为与的角平分线的交点，以为半径的交三边于点D，E，F，G． (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）点作于点，作于点N，由角平分线性质定理得到，然后证明，则，再由垂径定理即可求证； （2）过点作于点，连接，则四边形为正方形，那么，然后证明，则，则，则，设，则，，然后在中运用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）证明：过点作于点，作于点N，连接， ∵O为的角平分线上的一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：过点作于点，连接， 同理可得， ∵，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 同理， ∴， 设，则，， ∵在中， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及垂径定理，角平分线的性质定理，正方形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 31．（2025九年级上·全国·专题练习）已知如图：是的直径，点、点在上，于点，连接、、，，，． (1)求的长． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设圆的半径为，根据已知条件和垂径定理求出，再根据勾股定理在和中，列出关于的二元一次方程，求出半径，从而求出直径即可； （2）在中，根据勾股定理求出，再由垂径定理求出，，然后根据三角形中位线定理求出，最后根据四边形的面积进行计算即可． 【详解】（1）解：设圆的半径为， ．， ，为半径， ，， ， 在和中：， ， 解得：，（舍）， ， ； （2）解：在中，，， ， ， ， ， 为中点，为中点， 为中位线， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，弧、弦、圆心角之间的关系，三角形的中位线，解题关键是正确识别图形，找出线段与线段之间的关系． 32．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，若点为运行轨道的最低点（即是弧的中点）． (1)如图2，若被水面截得的弦长为8米，点到弦所在直线的距离为2米．求半径． (2)如图3，在（1）的条件下，在水面的变化过程中，若连接并延长分别交于点，交于点，连接，延长交于点，恰好于点，求此时被水面截得的弦的长．（精确到） 【答案】(1)半径为5米 (2)弦的长为米． 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，垂直平分线，等边三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）连接交于点H，证明，得到米，，，设半径为r米，则，在中，由勾股定理，得 ，代入求解即可． （2）连接，证明为的垂直平分线，为的垂直平分线，推导出是等边三角形，得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接交于点H，如图 ∵是弧的中点，点O为圆心， ∴， ∴米，，， 设半径为r米，则． 在中，由勾股定理，得 ， 即， 解得． 答：半径为5米． （2）连接，如图 由(1)知半径， ∵是弧的中点，点O为圆心， ∴， ∴，，为的垂直平分线， ∴， ∵，点O为圆心， ， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：弦的长为米． 33．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD，经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E． （1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长； （2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长． 【答案】（1）8． （2）6． 【分析】（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．利用勾股定理构建方程组解决问题即可． （2）如图2中，作CH⊥AB于H．证明△ACH是等腰直角三角形，四边形EFHC是矩形，求出EF即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y． ∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴EF⊥CD， ∴∠CEF＝∠BFO＝90° ∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2， 根据勾股定理可得：， 解得（舍弃）或， ∴BF＝4，AB＝2BF＝8． 解法二：在Rt△OEC中，OC＝5，CECD＝12×42， ∴OE1 因此设BF＝EF＝x，则OF＝EF﹣OE＝x﹣1， ∴由勾股定理可得OF2+BF2＝OB2，即（x﹣1）2+x2＝52， 解得x＝4（x＝﹣3＜0，不合题意舍去）． （2）如图2中，作CH⊥AB于H． ∵OB⊥OC， ∴∠A∠BOC＝45°， ∵AH⊥CH， ∴△ACH是等腰直角三角形， ∵ACCH， ∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴EF⊥CD， ∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°， ∴四边形EFHC是矩形， ∴CH＝EF， 在Rt△OEC中，∵EC，OC， OE2， ∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°， ∴∠FOB＝∠ECO， ∵OB＝OC， ∴△OFB≌△CEO（AAS）， ∴OF＝EC， ∴CH＝EF＝3， ∴ACEF＝6． 【点评】本题考查垂径定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 34．（25-26九年级上·广东中山·期中）某地有一座抛物线形拱桥（如图①），桥下水面宽度为，拱顶高出水面（即）． (1)现有一艘宽，船舱顶部高出水面的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？ (2)若此桥为圆弧形拱桥（如图②，其中点O为圆心，） ①求出该圆弧形拱桥所在圆的半径的长度； ②那么宽，船舱顶部高出水面的货船能否通过这座桥？ 【答案】(1)货船不能顺利通过这座桥 (2)①该圆弧形拱桥所在圆的半径为；②货船能顺利通过这座拱桥 【分析】本题考查了垂径定理的应用、二次函数的应用．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用． （1）以D为坐标原点建立坐标系如图，利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后把代入，求得函数值，比较，即可得到此时货船能否顺利通过这座桥； （2）①首先连接，设这座拱桥所在圆的半径为x米，由垂径定理，易得方程，解此方程即可求得半径；②连接，则米，可求得此时的高，即可求得的长，比较，即可得到此时货船能否顺利通过这座拱桥． 【详解】（1）解：货船不能顺利通过这座桥，理由： 以D为坐标原点建立坐标系如图， 根据题意得：，， ∴，，， 设抛物线为， 代入A的坐标得，， 解得， ∴抛物线为， 设， ∵轴， ∴， ∴M点横坐标为， 把代入，得， ∴， ∴货船不能顺利通过这座桥； （2）解：①连接， 根据题意得：，， 则， 设这座拱桥所在圆的半径为， 则，， 在中，， 则， 解得：， ∴该圆弧形拱桥所在圆的半径为； ②货船能顺利通过这座拱桥．理由： 连接， 设， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∵， ∴货船能顺利通过这座拱桥． 35．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是的弦，点，在上，，，垂足分别为，，． (1)如图（1），若是的直径，求证：． (2)如图（2），若不是的直径， ①求证：； ②若，则的半径为___________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂径定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）连接，欲证与相等，先证、关系，再证明即可； （2）①过O作于G，先证明，过O作，分别交延长线、延长线于M、N，连接、，证明四边形、四边形是矩形得到，，，证明得到，进而可得结论； ②连接，设，利用垂径定理和勾股定理求解x值即可解答． 【详解】（1）证明：连接，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2）解：①过O作于G，则， ∵， ∴，则， 过O作，分别交延长线、延长线于M、N，连接、，如图（2）， ∵，， ∴，， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图（2），连接， 设, ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，，又， ∴，解得， ∴，则， 即该圆的半径为． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 垂径定理及其推论的应用 题型一：直接利用勾股定理求线段长 题型二：运用单勾股列方程求线段长 题型三：运用双勾股列方程求线段长 题型四：垂径定理的实际应用问题 题型五：垂径定理应用的综合题 题型一：直接利用勾股定理求线段长 1．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，在中，弦，圆心O到的距离为4，则的半径为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26九年级上·吉林辽源·月考）如图，的弦垂直平分半径，垂足为，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，的半径是4，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为（    ） A． B． C．5 D．10 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，将半径为6的沿折叠，使得折痕垂直半径，当恰好经过的三等分点（靠近端点）时，折痕长为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江·期中）已知的半径为10，弦和弦垂直于同一条直径：，，则与之间的距离（    ） A．2或14 B．6或8 C．6或10 D．12或16 6．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，直径弦于点，已知，，则 ． 7．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，是的直径，、为上的点，且，过点作于点．若，的半径长为，求的长． 题型二：运用单勾股列方程求线段长 8．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点E，寸，寸，则半径的长度是（   ） A．13寸 B．26寸 C．12寸 D．24寸 9．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且米，米．则的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则⊙O的半径OC＝　 ． 11．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为 ． 12．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接，．若，，求的长． 13．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，，交于点，，是的半径，且于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 题型三：运用双勾股列方程求线段长 14．（2024秋•慈溪市校级月考）在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图水面宽AB为10cm，如果再注入一些水后，水面上升7cm，此时水面宽度变为24cm．则该水槽截面半径为（　　） A． B．13cm C．14cm D．15cm 15．（2024秋•江汉区校级月考）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD于点E，AD＝4，OE＝3，求CD的长． 16．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，求OF的长． 17．如图，点O在∠MAN的边AN上，以O为圆心的圆交AM于B，C两点，交AN于D，E两点，若AO＝2，AB＝2，∠BOC＝60°，求⊙O的半径r． 18．如图，PQ是半圆O的直径，正方形ABCD和正方形CEFG彼此相邻且内接于半圆O，点A，B，F在半圆上，点C，D，G在直径PQ上，点E在BC上，正方形CEFG的面积为16． （1）求证：OC＝OD； （2）求⊙O的半径长． 19．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 题型四： 垂径定理的实际应用问题 20．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 21．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（   ） A．13米 B．10米 C．12米 D．20米 22．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱门的半径为，则该拱门的高为 ． 23．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）古代交通工具如图是博物馆展出的古代车轮，已知兵车之轮直径约为六尺六寸，田车之轮直径约为六尺三寸．如图所示，在车轮上取，两点，设所在圆的圆心为，半径为．作弦的垂线交于点，为垂足，经测量，，，已知战国时期尺，则车轮的直径约为 尺．（结果保留一位小数） 24．（25-26九年级上·福建南平·期中）图是某游乐园的摩天轮，，两位同学坐在摩天轮上的示意图如图，摩天轮半径为米，两同学的直线距离为米，当同学旋转到最高位置，此时两位同学的高度差为 米． 25．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图1，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写到：“破浪于川湄”，“斡流于波面”，“多寄临川之郡”，描述了筒车的工作原理和应用场景．如图2，筒车盛水桶的运动轨迹是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，被水面截得的弦长为米，的直径米，若是运动轨道的最低点（劣弧的中点），求点到水面的距离． 26．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图是一个蔬菜大棚的横截面，它的“拱顶”部分是以点为圆心的圆的一部分，已知的半径为，横梁的长为，点为的中点，连接交于点． (1)求拱高的长； (2)若要在离蔬菜大棚中心处安装一支撑柱，且支撑柱垂直于横梁，求支撑柱的长． 27．（25-26九年级上·广东江门·期中）在半径为的圆柱形油罐内装进一些油后，横截面如图． (1)若油面宽，求油的最大深度； (2)在（1）的条件下，若油面宽变为，求油的最大深度上升了多？ 题型五： 垂径定理应用的综合题 28．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，点在以为直径的上，，交于点，垂足，，． (1)连接，证明为等腰直角三角形； (2)连接，若点，在上，且，求证：． 29．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是半圆O的直径，，点C在半圆O上，D为的中点，连接并延长交半圆O于点E． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，过点E作，垂足为F，若，求的长． 30．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，O为与的角平分线的交点，以为半径的交三边于点D，E，F，G． (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． 31．（2025九年级上·全国·专题练习）已知如图：是的直径，点、点在上，于点，连接、、，，，． (1)求的长． (2)求四边形的面积． 32．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，若点为运行轨道的最低点（即是弧的中点）． (1)如图2，若被水面截得的弦长为8米，点到弦所在直线的距离为2米．求半径． (2)如图3，在（1）的条件下，在水面的变化过程中，若连接并延长分别交于点，交于点，连接，延长交于点，恰好于点，求此时被水面截得的弦的长．（精确到） 33．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD，经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E． （1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长； （2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长． 34．（25-26九年级上·广东中山·期中）某地有一座抛物线形拱桥（如图①），桥下水面宽度为，拱顶高出水面（即）． (1)现有一艘宽，船舱顶部高出水面的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？ (2)若此桥为圆弧形拱桥（如图②，其中点O为圆心，） ①求出该圆弧形拱桥所在圆的半径的长度； ②那么宽，船舱顶部高出水面的货船能否通过这座桥？ 35．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是的弦，点，在上，，，垂足分别为，，． (1)如图（1），若是的直径，求证：． (2)如图（2），若不是的直径， ①求证：； ②若，则的半径为___________． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $