答题模板10 二分法求近似、函数零点5题型（专项训练）数学苏教版必修第一册

答题模板10：二分法求近似、函数零点 题型01 判断函数的零点所在的区间 题型02 函数零点个数问题 题型03 根据零点情况求参数范围 题型04 利用图像求参数 题型05 求零点和问题 本节导航 题型01 判断函数的零点所在的区间 （25-26高一上·北京·期中）函数的零点所在区间为（   ）典例1 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件:函数 ；结论: 零点所在区间 思路 探求 分析函数的单调性，并根据零点存在定理可确定函数的零点所在区间. 书写 表达 函数的定义域为. 因为函数是增函数，且在和上分别单调递增， 所以在和上分别单调递增. 当时，恒成立，所以无零点； 当时，，，所以函数的零点所在区间为. 故选：B. 题后 反思 判断零点所在的区间 在函数图象连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内无零点． （25-26高三上·天津蓟州·期中）函数的零点所在区间是（    ）变式1 A． B． C． D． （25-26高一上·安徽阜阳·期中）函数的零点所在的区间为（   ）变式2 A． B． C． D． （25-26高一上·山东潍坊·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ）变式3 A． B． C． D． 题型02函数零点个数问题 （25-26高一上·安徽六安·期中）（多选）已知函数，若方程有四个不同的解，则下列说法正确的有（    ）典例2 A． B． C． D．函数有3个零点 四步 内容 理解 题意 条件: 函数，若方程有四个不同的解 思路 探求 通过研究函数的性质，做出函数和的图象.求出，再结合函数图象得到，即可判断A；当时，求出使成立的值，即可得到的范围，即可判断B；先证明当时，的图像关于对称，进而得到，将转化成关于的二次函数求出其最值，即可判断C；令，求出当时，即，再求出方程的根，即可判断D. 书写 表达 当时，设，则 函数， 当且仅当，即，即时，函数取最小值0. 又由对勾函数的性质可知，函数在单调递减，在单调递增； 当时，函数的图象是开口向上的抛物线， 其对称轴为，顶点坐标，与轴交点. 综上，作出和的图象，如图所示： 当时，. 因为存在使得， 所以，故A正确； 由图示可知关于对称，所以，所以. 令，即，解得或. 所以由图可知，故B正确； 因为当时，， 所以，， 所以时，的图像关于对称， 所以关于对称，所以，即，所以， 所以， 因为，所以，故C错误； 令，由图可知当时，即， 解得，共3解，所以函数有3个零点， 故D正确. 故选：ABD 题后 反思 求函数零点或方程根的个数、函数图象的应用、函数与方程的综合应用 判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数． （25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的零点个数为（   ）变式1 A．0 B．1 C．2 D．3 （25-26高一上·福建漳州·期中）（多选）有以下判断，其中是正确判断的有（    ）变式2 A．与表示同一函数； B．函数的图象与直线的交点最多有2个； C．函数的图象关于轴对称； D．函数在区间上有且只有1个零点． （25-26高一上·四川成都·期中）（多选）已知函数与的图象如图所示，则（   ）变式3 A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．方程有2个解 题型03根据零点情况求参数范围 （25-26高一上·江苏扬州·期中）已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（   ）典例3 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件:二次函数的两个零点都在区间内 结论: 实数的取值范围 思路 探求 根据二次函数的零点分布可得，解不等式组即可求解. 书写 表达 二次函数的图象是一条抛物线， 开口向上，对称轴方程为， 若它的两个零点都在区间内， 只需满足，解得. 所以的取值范围为. 故选：C. 题后 反思 根据二次函数零点的分布求参数的范围 为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向是：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单． （25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中），若关于的不等式的解集中有且只有2个整数，则实数的取值范围为（   ）变式1 A． B． C． D． （25-26高一上·江苏淮安·期中）如果二次函数有两个不同的零点，那么实数m的取值范围为（   ）变式2 A． B． C．或 D．或 （25-26高三上·青海西宁·期中）已知函数，若函数有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ）变式3 A． B． C． D． 题型04利用图像求参数 （25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数，若仅存在一个整数，使得方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是（　　）典例4 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件: 函数，若仅存在一个整数，使得方程有4个不同的实根 结论: 实数的取值范围 思路 探求 先利用二次函数性质并结合题意得到每一部分根的个数，再转化为交点问题求解参数范围即可. 书写 表达 若方程有4个不同的实根，如图，作出符合题意的图像， 当时，， 则由二次函数性质得此时最多有两个不同的实根， 而当时，，此时一定有两个不同的实根， 即与有两个不同的交点，得到， 当时，结合题意得有两个不同的实根， 此时与有两个不同的交点， 且此时，， 可得，即， 因为仅存在一个整数，所以，解得， 而，得到，故A正确. 故选：A 题后 反思 根据二次函数零点的分布求参数的范围、分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围 （25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（    ）变式1 A． B． C． D． （25-26高一上·山东德州·期中）已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（    ）变式2 A． B． C． D． （25-26高一上·山东·期中）已知函数，，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ）变式3 A． B． C． D． 题型05求零点和问题 （2025·陕西宝鸡·二模）已知分别是函数，的零点，则的值为 .典例5 四步 内容 理解 题意 条件: 已知分别是函数，的零点 结论: 则的值 思路 探求 根据与的对称关系可知，由此可求得结果. 书写 表达 由题意知：， 分别为、与直线交点的横坐标， 与关于直线对称，关于直线对称， 则由得：，， . 故答案为：. 题后 反思 求零点的和、反函数的性质应用 （25-26高一上·河北·期中）函数若关于的方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围是 ，这6个实数根的和为 ．  变式1 （25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，若存在，使，则的取值范围是 .变式2 （25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数，定义域为的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，则所有交点的横､纵坐标之和为（    ）变式3 A．0 B．5 C．10 D．20 1．（25-26高一上·广东揭阳·期中）函数的大致图象为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏盐城·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山东淄博·期中）已知函数，若图象上存在两组关于原点对称的点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·北京西城·期中）设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·辽宁大连·期中）函数的定义域，当时，，函数是奇函数.记关于的方程的根为，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）（多选）函数（，）的图象类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，函数在，上单调递增，在，上单调递减.现对于函数，下列说法中正确的有（    ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．当时， D．方程有四个不同的根 7．（25-26高一上·山东济南·期中）（多选）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·河南·期中）（多选）已知函数，若，且，则（   ） A． B． C．的取值范围为 D．的取值范围为 9．（25-26高一上·宁夏固原·期中）已知函数，若存在四个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是 10．（25-26高一上·浙江·期中）已知函数，关于的方程恰有6个不同实数解，则的取值范围是 . 11．（25-26高一上·福建莆田·期中）已知函数，，若关于x的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是 . 12．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数为偶函数，且，若方程有六个不同的实根，则实数的取值范围是 ． 13．（25-26高一上·云南红河·期中）设函数的定义域为，对于任意给定的实数，定义函数，已知函数. (1)直接写出的单调区间（无需证明）； (2)若关于的方程有四个不相等的实数根，求的取值范围； (3)若对于任意的，关于的方程都有四个不相等的实数根，求的取值范围. 14．（25-26高一上·河北保定·期中）小明在学习奇偶函数的定义及图象性质的基础上，对函数图象的对称性做了进一步研究，他发现：在定义域中，若对任意的，都有，则函数的图象关于直线对称；若对任意的，都有，则函数的图象关于点中心对称．现给出函数． (1)试判断函数的图象是轴对称图形还是中心对称图形，并求出相应的对称轴或对称中心； (2)求的值； (3)若函数． ①证明：函数的图象关于直线对称； ②讨论方程的根的个数． 15．（25-26高一上·山东淄博·期中）已知函数对于任意的，都有，当时，，且. (1)判断函数的单调性并证明你的结论； (2)当时，求函数的最大值和最小值； (3)设函数，讨论函数的零点个数. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 答题模板10：二分法求近似、函数零点 题型01 判断函数的零点所在的区间 题型02 函数零点个数问题 题型03 根据零点情况求参数范围 题型04 利用图像求参数 题型05 求零点和问题 本节导航 题型01 判断函数的零点所在的区间 （25-26高一上·北京·期中）函数的零点所在区间为（   ）典例1 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件:函数 ；结论: 零点所在区间 思路 探求 分析函数的单调性，并根据零点存在定理可确定函数的零点所在区间. 书写 表达 函数的定义域为. 因为函数是增函数，且在和上分别单调递增， 所以在和上分别单调递增. 当时，恒成立，所以无零点； 当时，，，所以函数的零点所在区间为. 故选：B. 题后 反思 判断零点所在的区间 在函数图象连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内无零点． （25-26高三上·天津蓟州·期中）函数的零点所在区间是（    ）变式1 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】由复合函数的单调性结合指数函数的单调性以及零点存在定理可得. 【详解】由复合函数的单调性可得在上单调递增， 又， ， 所以，由零点存在定理可得函数的零点位于内. 故选：C. （25-26高一上·安徽阜阳·期中）函数的零点所在的区间为（   ）变式2 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断零点所在的区间、零点存在性定理的应用 【分析】根据题意，得到函数为单调递增函数，结合零点的存在性定理，即可求解. 【详解】由函数，可得函数在为单调递增函数， 且， 根据零点的存在性定理，可得函数的零点所在区间为. 故选：C. （25-26高一上·山东潍坊·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ）变式3 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】利用零点存在性定理，通过端点值的正负加以判断. 【详解】由， 根据零点存在性定理，由函数在区间上是连续的,且， 所以函数在区间上一定存在零点，故B正确； 而，则在上不一定有零点，故A错误； 又，则在，上也不一定有零点，故CD错误； 故选：B 题型02函数零点个数问题 （25-26高一上·安徽六安·期中）（多选）已知函数，若方程有四个不同的解，则下列说法正确的有（    ）典例2 A． B． C． D．函数有3个零点 四步 内容 理解 题意 条件: 函数，若方程有四个不同的解 思路 探求 通过研究函数的性质，做出函数和的图象.求出，再结合函数图象得到，即可判断A；当时，求出使成立的值，即可得到的范围，即可判断B；先证明当时，的图像关于对称，进而得到，将转化成关于的二次函数求出其最值，即可判断C；令，求出当时，即，再求出方程的根，即可判断D. 书写 表达 当时，设，则 函数， 当且仅当，即，即时，函数取最小值0. 又由对勾函数的性质可知，函数在单调递减，在单调递增； 当时，函数的图象是开口向上的抛物线， 其对称轴为，顶点坐标，与轴交点. 综上，作出和的图象，如图所示： 当时，. 因为存在使得， 所以，故A正确； 由图示可知关于对称，所以，所以. 令，即，解得或. 所以由图可知，故B正确； 因为当时，， 所以，， 所以时，的图像关于对称， 所以关于对称，所以，即，所以， 所以， 因为，所以，故C错误； 令，由图可知当时，即， 解得，共3解，所以函数有3个零点， 故D正确. 故选：ABD 题后 反思 求函数零点或方程根的个数、函数图象的应用、函数与方程的综合应用 判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数． （25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的零点个数为（   ）变式1 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】零点存在性定理的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】利用函数单调性，运用赋值法结合零点存在定理判断已知函数的零点个数． 【详解】在上单调递增，在上单调递增， 函数在上单调递增，则在上至多一个零点， 又，， 根据零点存在定理知函数在区间内存在零点， 函数在上的零点个数为1，故B正确． 故选：B． （25-26高一上·福建漳州·期中）（多选）有以下判断，其中是正确判断的有（    ）变式2 A．与表示同一函数； B．函数的图象与直线的交点最多有2个； C．函数的图象关于轴对称； D．函数在区间上有且只有1个零点． 【答案】CD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、零点存在性定理的应用、求函数零点或方程根的个数、判断两个函数是否相等 【分析】利用同一函数的定义来判断A，利用函数的性质来判断B，利用偶函数来判断C，利用零点存在性定理结合单调性来判断D. 【详解】由于的定义域为，的定义域为，所以它们表示的不是同一函数，故A错误； 函数的每一个自变量只有唯一的应变量与之对应，所以函数图象与直线的交点最多有1个，故B错误； 因为，又定义域为，所以是偶函数，即图象关于轴对称，故C正确； 因为， 且在区间上单调递增， 所以函数在区间上有且只有1个零点，故D正确； 故选：CD. （25-26高一上·四川成都·期中）（多选）已知函数与的图象如图所示，则（   ）变式3 A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．方程有2个解 【答案】ACD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求函数零点或方程根的个数、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】根据图象可判断与的单调性和奇偶性，即根据奇偶性的定义和单调性的定义求解AC，举反例即可求解B，根据函数图象，结合方程可判断D. 【详解】由图象可知，分别为偶函数，奇函数， 的定义域为，关于原点对称， 因为，所以为奇函数，故A正确； 不妨取，则， ，但，，，故B错误； 设，由图象知，因为在上单调递增，所以， 又因为在上单调递减，所以，即在上单调递减，故C正确； 由图象知，有两个互为相反数的零点，不妨设为， 则由可得或，由图象可知， 和分别有且只有一个解，故方程有2个解，故D正确. 故选：ACD 题型03根据零点情况求参数范围 （25-26高一上·江苏扬州·期中）已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（   ）典例3 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件:二次函数的两个零点都在区间内 结论: 实数的取值范围 思路 探求 根据二次函数的零点分布可得，解不等式组即可求解. 书写 表达 二次函数的图象是一条抛物线， 开口向上，对称轴方程为， 若它的两个零点都在区间内， 只需满足，解得. 所以的取值范围为. 故选：C. 题后 反思 根据二次函数零点的分布求参数的范围 为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向是：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单． （25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中），若关于的不等式的解集中有且只有2个整数，则实数的取值范围为（   ）变式1 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】由不等式分离参数，利用构造函数法，对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得的取值范围. 【详解】因为函数，所以关于的不等式 可化为，即， 令，即． 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 且； 当时，， 在上单调递减，且． 如图所示，结合函数图象及取时的函数值可知， 要使的解集中有且仅有个整数，这两个整数解只能是和， 所以实数的取值范围为，即． 故选：A （25-26高一上·江苏淮安·期中）如果二次函数有两个不同的零点，那么实数m的取值范围为（   ）变式2 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围. 【详解】由二次函数有两个不同的零点，得，即， 解得或，所以实数m的取值范围为或. 故选：C （25-26高三上·青海西宁·期中）已知函数，若函数有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ）变式3 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用 【分析】分析可知与有2个交点，作出函数的图象，结合图象即可得结果. 【详解】函数有且仅有2个零点，则与有2个交点， 当时，单调递增，； 当时，在]上单调递减，在上单调递增， 且，最小值为， 可得函数的图象，如图所示：    利用的图象知的取值范围是. 故选：B. 题型04利用图像求参数 （25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数，若仅存在一个整数，使得方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是（　　）典例4 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件: 函数，若仅存在一个整数，使得方程有4个不同的实根 结论: 实数的取值范围 思路 探求 先利用二次函数性质并结合题意得到每一部分根的个数，再转化为交点问题求解参数范围即可. 书写 表达 若方程有4个不同的实根，如图，作出符合题意的图像， 当时，， 则由二次函数性质得此时最多有两个不同的实根， 而当时，，此时一定有两个不同的实根， 即与有两个不同的交点，得到， 当时，结合题意得有两个不同的实根， 此时与有两个不同的交点， 且此时，， 可得，即， 因为仅存在一个整数，所以，解得， 而，得到，故A正确. 故选：A 题后 反思 根据二次函数零点的分布求参数的范围、分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围 （25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（    ）变式1 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用 【分析】设，则方程转化为的一元二次方程，解出这个的一元二次方程的解，画出的图象，通过图象数形结合得到的取值范围. 【详解】令，有，即， 解得或， 作出的图象，如图， 方程有且仅有5个不同实数根， 则由图得或， 解得或， 则. 故选：C. （25-26高一上·山东德州·期中）已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（    ）变式2 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用 【分析】先画出分段函数的图象，然后判断每段函数的单调性，求出每段函数的值域，根据对称性推出，结合图象可得到的范围进而得解. 【详解】函数的图象如下图所示. 当时，的对称轴是直线，且最大值为， 当时，为增函数，且此时， 由题意知存在三个不相等的实数，，，使得， 不妨设，则，则， 又，故的取值范围是. 故选：A. （25-26高一上·山东·期中）已知函数，，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ）变式3 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用、函数与方程的综合应用 【分析】作出图象，问题转化为必须有两个小于2的不同根，数形结合得解. 【详解】令，则，如图， 由图像可知，和均最多有2个不同的根， 所以要使得有四个不同的解，则必须有两个小于2的不同根，由的图像可得实数的取值范围是. 故选：B 题型05求零点和问题 （2025·陕西宝鸡·二模）已知分别是函数，的零点，则的值为 .典例5 四步 内容 理解 题意 条件: 已知分别是函数，的零点 结论: 则的值 思路 探求 根据与的对称关系可知，由此可求得结果. 书写 表达 由题意知：， 分别为、与直线交点的横坐标， 与关于直线对称，关于直线对称， 则由得：，， . 故答案为：. 题后 反思 求零点的和、反函数的性质应用 （25-26高一上·河北·期中）函数若关于的方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围是 ，这6个实数根的和为 ．变式1 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用 【分析】令，可得或，分类讨论，结合的图像，可得实数的取值范围，计算可求得6个实数根的和. 【详解】函数的图象如图所示， 令可得方程， 解得或， 由即，方程的四个解和； 当即时，方程另两解； 若，，此时， 方程另两解， 则， 所以， 故填    （25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，若存在，使，则的取值范围是 .变式2 【答案】 【知识点】函数图象的应用、函数与方程的综合应用 【分析】首先说明函数的单调性，即可画出函数图象，数形结合可得，，即可得解. 【详解】因为， 当时，，所以在上单调递减， 令，解得，； 当时，所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以的图象如图所示，    因为存在，使，令， 则， 由图可得，关于点对称，， 所以，则， 所以，即的取值范围是. 故答案为： （25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数，定义域为的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，则所有交点的横､纵坐标之和为（    ）变式3 A．0 B．5 C．10 D．20 【答案】D 【知识点】函数对称性的应用、函数与方程的综合应用 【分析】根据题意得到，的图象关于对称，设关于点对称的坐标为，，则，，同理可得，，即可得到答案. 【详解】因为定义域为， 令， 则， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 故的图象关于对称，因为，则的图象也关于对称， 所以与的交点也关于对称， 若函数与的图象有四个交点，分别为， 不妨设，则，， 则，， 则所有交点的横､纵坐标之和为. 故选：D. 1．（25-26高一上·广东揭阳·期中）函数的大致图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求函数的零点、函数图像的识别、函数奇偶性的应用 【分析】分析函数的奇偶性、零点，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为，， 所以函数为奇函数，排除AD选项； 令可得或， 所以方程在上的零点有且只有三个，排除C选项. 故选：B. 2．（24-25高一上·江苏盐城·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断零点所在的区间、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数的单调性和零点存在定理即可判断. 【详解】因为函数为上的增函数，又， 所以，故函数仅有一个零点，其所在的区间是. 故选：A. 3．（25-26高一上·山东淄博·期中）已知函数，若图象上存在两组关于原点对称的点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】在函数的区间上的图象上任取点，则点在函数在的图象上，整理可知函数有两个不等的正零点，根据二次函数的零点分布可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】在函数在上的图象上任取点，则， 则点在函数的的图象上，即，即， 所以，整理得， 令，则函数有两个不等的正零点， 所以，解得. 故实数的取值范围是. 故选：D. 4．（25-26高一上·北京西城·期中）设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将图象平移，以及对参数进行分类讨论即可得出其取值范围. 【详解】画出函数的图象如下图所示：    函数可由分段平移得到， 易知当时，函数恰有一个零点，满足题意； 当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意； 当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点； 当时，恰有一个零点，满足题意，即； 综上所述：实数的取值范围是. 故选：D. 5．（25-26高一上·辽宁大连·期中）函数的定义域，当时，，函数是奇函数.记关于的方程的根为，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数对称性的应用、函数与方程的综合应用 【分析】画出的图象，结合图象以及对称轴来求得正确答案. 【详解】当时，， 因为是奇函数，所以的图象关于对称，且， 由此画出的图象如下图所示，直线过点， 因为， 所以过点和点的直线的斜率为，对应直线方程为， 过点和点的直线的斜率为，对应直线方程为， 由图象以及对称性知，要使， 则在上有3个交点，即需. 故选：D 6．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）（多选）函数（，）的图象类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，函数在，上单调递增，在，上单调递减.现对于函数，下列说法中正确的有（    ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．当时， D．方程有四个不同的根 【答案】ACD 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数对称性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】利用赋值法可判断A选项，根据函数对称性的定义式可判断B选项，结合函数单调性即函数图象，数形结合可判断CD选项. 【详解】 A选项：，则，，A选项正确； B选项：由，则，， 则不能恒成立， 即函数的图象不关于直线对称，B选项错误； C选项：当，， 易知当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 即此时，C选项正确； D选项：方程的根， 即函数与的交点， 在同一平面直角坐标系中作出函数与函数， 数形结合可知有个交点，即方程有四个不同的根，D选项正确； 故选：ACD. 7．（25-26高一上·山东济南·期中）（多选）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数图象的应用、函数与方程的综合应用、基本不等式求和的最小值 【分析】在同一直角坐标系内作出和的图象，结合图象，可判定A正确；再由图象得到且，，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】如图所示， 对于A，在同一坐标系内作出函数和的大致图象， 由图象知，要使得方程有四个不同的零点，只需，故A正确； 对于B，因为，，， 且函数关于对称， 由图象得，且，， 所以，可得，则， 所以，其中，令， 当且仅当时，取得最小值，所以，故B正确； 对于C，因为是的两个根，所以，即，所以， 由，是的两个根，所以， 所以，故C错误； 对于D，由，，且， ， 令，，易知在上单调递减， ，故D正确. 故选：ABD. 8．（25-26高一上·河南·期中）（多选）已知函数，若，且，则（   ） A． B． C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】ACD 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用、基本不等式求和的最小值 【分析】作出的图象，数形结合求得判断A；利用二次函数对称性求得判断B；，利用对勾函数单调性求取值范围判断C；，利用单调性法则得在上单调递减，进而利用单调性求解范围判断D. 【详解】设，作出的大致图象，如图：    由图可知，，故A正确； 由题意为方程即的两根， 故，B错误； 对于C，， 根据对勾函数单调性可知在上单调递减， 所以， 所以的取值范围为，故C正确； 对于D，因为，，所以， 由，解得或（舍去），所以， 函数在上单调递减，令， 由对勾函数知在上单调递减， 又在上单调递增，所以在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以的取值范围为即，故D正确. 故选：ACD 9．（25-26高一上·宁夏固原·期中）已知函数，若存在四个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用 【分析】根据分段函数性质，画出函数图像，判断函数符合题意时参数的范围，根据一元二次方程的性质，求出结果即可. 【详解】    如图所示，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为， 当时，，根据对勾函数性质可知，函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上的最小值为， 因为，所以当存在四个不相等的实数，，，，使得， 即时，有四个解，分别为，，，， 可得的两个解为，，得的两个解为，， 当时，由韦达定理得， 可得的两个解为，，即的两个解为，， 当时，由韦达定理得， 可得，由，可得. 故答案为：. 10．（25-26高一上·浙江·期中）已知函数，关于的方程恰有6个不同实数解，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用 【分析】先分析函数的性质，再结合方程的解的个数来确定的关系，进而求出的取值范围. 【详解】的定义域为， ，是偶函数， 又当时，；当时，， ，则的图象如下：    令，， 关于的方程恰有6个不同实数解， 而为偶函数，， 结合的图象可知，方程有两个根，其中，， 又，，即，， ，，，即， 的取值范围是. 故答案为：. 11．（25-26高一上·福建莆田·期中）已知函数，，若关于x的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用、函数与方程的综合应用 【分析】利用函数图象，结合二次方程零点分布，分类讨论特殊根，即可求出参数范围. 【详解】由函数， 作出的图象：    令，由关于x的方程有三个不同的实数解， 则方程有两个解，且有一个解，另一个解， 从而由二次函数零点分布可知： 当时，，此时另一个解，不满足题意； 当一个解，另一个解时， 需满足，解得， 综上的取值范围是. 故答案为： 12．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数为偶函数，且，若方程有六个不同的实根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用、函数与方程的综合应用 【分析】做出分段函数的图象，利用数形结合的方法，可求的取值范围. 【详解】做出函数的草图如下： 由方程有六个不同的实根，可得. 故答案为： 13．（25-26高一上·云南红河·期中）设函数的定义域为，对于任意给定的实数，定义函数，已知函数. (1)直接写出的单调区间（无需证明）； (2)若关于的方程有四个不相等的实数根，求的取值范围； (3)若对于任意的，关于的方程都有四个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3). 【知识点】函数新定义 【分析】（1）分析得到的解析式，作出的图象则单调区间可知； （2）分析得到的解析式，将问题转化为“的图象有四个交点”，根据对称性结合图象可求的取值范围； （3）令，根据单调性先分析出的值域，然后将问题转化为“与的图象有四个交点，求的取值范围”，结合图象可求得结果. 【详解】（1）因为，由解得或， 所以， 作出的图象如下图所示，    由图象可知，的单调递增区间是和，的单调递减区间是和. （2）因为，由解得或， 所以， 在同一坐标系中作出的图象如下图所示，    若方程有四个不相等的实数根，则的图象有四个不同交点，所以， 由图象的对称性可知，， 所以， 由的解析式可知，所以， 所以的取值范围是. （3）令，， 因为均在上单调递减，且， 所以在上单调递减， 所以的值域为，即的值域为； 因为，令，则， 当时，无解，此时方程不可能有四个实数根，舍去； 当时，令，解得或， 所以， 问题转化为“与的图象有四个交点”， 在同一坐标系中作出的图象如下图所示，    若要使得满足题意，则，解得， 所以的取值范围是. 14．（25-26高一上·河北保定·期中）小明在学习奇偶函数的定义及图象性质的基础上，对函数图象的对称性做了进一步研究，他发现：在定义域中，若对任意的，都有，则函数的图象关于直线对称；若对任意的，都有，则函数的图象关于点中心对称．现给出函数． (1)试判断函数的图象是轴对称图形还是中心对称图形，并求出相应的对称轴或对称中心； (2)求的值； (3)若函数． ①证明：函数的图象关于直线对称； ②讨论方程的根的个数． 【答案】(1)的图象是中心对称图形，函数的图象关于点中心对称. (2) (3)①证明见解析；②答案见解析 【知识点】由函数对称性求函数值或参数、判断或证明函数的对称性、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）计算出的结果，即可判断出对称性； （2）根据对称性计算出的值，由此结果可求； （3）解法一：将问题转化为“讨论与的图象交点个数”，结合图象求解出；解法二：根据绝对值的取值特点以及的正负进行分类讨论，由此可分析出结果. 【详解】（1）的图象是中心对称图形. 因为， 所以函数的图象关于点中心对称. （2）由（1）得， 所以. （3）①证明：， 因为， 所以， 所以函数的图象关于直线对称. ②解法一：由得， 令，则函数的图象是由幂函数的图象向右平移个单位长度， 再将轴下方的部分沿轴翻折形成的，如图， 由图得，当时，直线与函数的图象有个交点，则方程有个根； 当时，直线与函数的图象有个交点，则方程有个根， 综上，当时，方程有个根；当时，方程有个根. 解法二：由得（*）， 当时，恒成立，此时方程无解， 当时，时，（*）化为，即， 解得，满足，此时方程有一个解； 时，（*）化为，即， 解得，满足，此时方程有一个解， 综上，当时，方程有个根；当时，方程有个根. 15．（25-26高一上·山东淄博·期中）已知函数对于任意的，都有，当时，，且. (1)判断函数的单调性并证明你的结论； (2)当时，求函数的最大值和最小值； (3)设函数，讨论函数的零点个数. 【答案】(1)函数在上是减函数，证明见解析 (2). (3)答案见解析 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求函数零点或方程根的个数、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）根据函数单调性的定义证得函数在上是减函数. （2）利用函数的单调性，结合赋值法求得函数的最大值和最小值. （3）先判断的奇偶性，然后结合函数的单调性，以及图象讨论函数的零点个数. 【详解】（1）任取，且，则， 因为，即， 令，则. 由已知时，且，则， 所以， 所以函数在上是减函数. （2）因为在单调递减，所以， 令得，得. 令，得， 令得. 又， 由，得， ， 故. （3）令，代入，得， 所以，故为奇函数. ， 令，即， 因为函数在上是减函数，所以，即， 画出的图象如下图所示， 所以当时，函数有4个零点； 当时，函数有3个零点； 当或时，函数有2个零点； 当时，函数没有零点.    1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $