精品解析：山东省济宁市兖州区2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度期中考试 高三数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 0 2. 若复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 已知集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列不是常数列，若，且，，成等比数列，则（ ） A. 1 B. 21 C. 19 D. 20 5. 若为奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. “函数的图象关于点对称”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数，直线与函数的图象相切，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 8. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 当时，的最大值为或 C. D. 当时， 9. 设，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义在R上的函数及其导数，若为偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 11. 已知向量的夹角为，若，且在上的投影向量为，则__________. 12. 已知，且，则__________. 13. 已知，，若存在，，使得，则称函数与互为“距零点函数”.若与（为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数的取值范围为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 14. 已知集合，. （1）求； （2）证明：. 15. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若方程，只有一个实数根，求的取值范围． 16. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，，且， （1）求B； （2）若的面积为，求． 17. 已知数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）如图，在平面直角坐标系中，若，依次连接点，，…，得到折线，求由该折线与直线，所围成的区域的面积. （3）记数列的前项和为且，若恒成立，求实数的最大值． 18. 已知函数. （1）若，讨论的单调性； （2）若，证明：在上恒成立； （3）存在，不等式成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度期中考试 高三数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标公式计算即得. 【详解】由可得，解得. 故选：D. 2. 若复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简z，再根据复数模长公式求复数的模. 【详解】因为. 所以. 故选：B 3. 已知集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的性质化简集合A，结合一元二次不等式的解集及集合并集的概念即可求解. 【详解】∵，， ∴. 故选：A. 4. 已知等差数列不是常数列，若，且，，成等比数列，则（ ） A. 1 B. 21 C. 19 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据已知条件得到，结合等差数列不是常数列，得到，再求即可. 【详解】因为，且，，成等比数列， 所以，解得或， 因为等差数列不是常数列，所以. 所以. 故选：C 5. 若为奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数得，即，又由的定义域得，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意有：， 所以，所以， 又，所以，又函数定义域关于原点对称， 故，即， 又因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 6. “函数的图象关于点对称”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断可确定选项. 【详解】当函数的图象关于点对称时，，解得，不能得到. 当时，， 由得，，函数的对称中心为， 令得对称中心为. 综上得，“函数的图象关于点对称”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 已知函数，直线与函数的图象相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出切点坐标，对函数求导，根据导数的几何意义得到方程，根据切点既在曲线上又在直线上得到方程，两边取对数得到，联立方程，解出，结合即可解得. 【详解】设直线与函数相切于点， 因为，所以， 根据导数的几何意义有， 因为点在直线上，所以， 因为点在曲线上， 所以， 所以有， 所以，即，， 对两边取对数有，，即， 将代入，有，解得， 又因为，所以. 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 8. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 当时，的最大值为或 C. D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由及前n项和公式可得，对于A，由即可判断；对于B，当时，数列单调递减，又，可知在或时取得最大值，即可判断，对于C，由即可判断，对于D，由，可得． 【详解】根据题意可得， 即． 对于A， ； 对于B，， ，，等差数列单调递减， 当时，的最大值为或，故B正确； 对于C，，且公差不为0， ，故C不正确； 对于D，， ，故D正确． 故选：ABD． 9. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知条件结合两角和的余弦公式，两角差的余弦公式，同角三角函数关系，两角和的正切公式依次判断每个选项即可. 【详解】对于A，因为，，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知定义在R上的函数及其导数，若为偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由为奇函数，结合奇函数的性质，判断A选项，代入判断C选项，由为偶函数得，两边求导，代入判断B选项，综合推导判断D选项. 【详解】由于为奇函数，所以，A错误； 所以，，C正确； 由于为偶函数，则， 则，两边求导得， 所以，，B正确； 由，得， 由，得 所以，即，D正确； 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 11. 已知向量的夹角为，若，且在上的投影向量为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义列式求出，进而求出. 【详解】由及在上的投影向量为，得， 则，解得，因此，即， 所以. 故答案为：. 12. 已知，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系、诱导公式及二倍角正余弦公式求解. 【详解】，且， ， ， 故答案为： 13. 已知，，若存在，，使得，则称函数与互为“距零点函数”.若与（为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数零点概念进行求解，借助零点所在的区间，转化方程，构造函数，来分析根的分布，从而可得参数范围. 【详解】由解得，所以的零点为， 要满足与（为自然对数的底数）互为“1距零点函数”， 则函数的零点满足：，即， 由， 构造函数，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 因为且 所以当时，方程的解落在区间上，满足题意， 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 14. 已知集合，. （1）求； （2）证明：. 【答案】（1）集合 （2）证明：依题意，集合， ，， 令，即，，解得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且当时，， 当时，， 当时，， 综上，当时，，即集合， 由（1）得，集合， 因此. 【解析】 【分析】（1）根据分式不等式的解法求解即可； （2）集合中是一个一元三次函数，需要利用导数求解给定范围内的值域，从而得到集合中元素的范围，再结合集合中元素的范围和子集的定义，即可求证. 【小问1详解】 ，即，，， 可得或， 解得， 故集合. 【小问2详解】 略 15. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若方程，只有一个实数根，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用正弦的和角公式及倍角公式得，由最小正周期公式求解； （2）根据条件得，画出图象即可求解. 【小问1详解】 ， 又的最小正周期为，， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 因为，所以，. 作出，的图象如图所示： 利用图形得到的取值范围是. 16. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，，且， （1）求B； （2）若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、正弦定理将已知式化成，结合余弦定理得，可得，再由可求得； （2）由（1）知， ，，根据正弦定理得，，再由三角形面积公式计算即得. 【小问1详解】 因， 由可得： ， 化简得 又由正弦定理，可得， 由余弦定理，可得， 因为，所以 又因为，所以，得， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）已得， ，， 而， 由正弦定理有， 从而，， 则， 解得. 17. 已知数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）如图，在平面直角坐标系中，若，依次连接点，，…，得到折线，求由该折线与直线，所围成的区域的面积. （3）记数列的前项和为且，若恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明为等差数列，求解通项公式即可； （2）记梯形的面积为，根据题意得，再根据错位相减法求和即可得面积； （3）结合题意，进而根据裂项求和的方法得，再根据恒成立问题转化为，最后根据数列的单调性求的最小值即可得答案. 【小问1详解】 解：∵，， ∴，∴为等差数列， 首项为，公差为1， ∴，∴. 【小问2详解】 解：过，，，……向轴作垂线，垂足分别为，，……， 由（1）得，则 记梯形的面积为.由题意得： ， 所以 ① 又② ①－②得 所以. 所以由该折线与直线，所围成的区域的面积. 【小问3详解】 解：由（1）知 则， 由恒成立，即恒成立， 即恒成立，由单调递增， 故当时，，故，即， 所以的最大值为. 18. 已知函数. （1）若，讨论的单调性； （2）若，证明：在上恒成立； （3）存在，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，单调递增；当时，单调递减； （2）证明：当时，， 要证，即证在上恒成立； 令，，则在上单调递减， 因为，，所以存在唯一的，使得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以在上恒成立，即在上恒成立； （3）. 【解析】 【分析】（1）若，，求导分析可得的单调性； （2）令，求导并利用单调性证明即可； （3）令，则，原不等式可转化为存在使得成立，根据符号进行参变分离，然后构造函数，，求导后分析其单调性即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，，所以， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，则，则，因为存在，不等式成立， 即存在使得不等式成立， 当时，不等式不成立； 当时，，成立； 令，，则，， 因为，，故； 令，，则， 所以在上单调递增，所以，即， 又当时，， 所以， 所以当时，， 所以在上单调递减， 所以当时，取得最大值，且； 故，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $