精品解析：安徽省安庆市宿松县宿松部分学校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

宿松部分学校联考2025-2026学年上学期九年级期中试卷 数学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向右平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 根据下表中二次函数的自变量与函数值的对应值估算一元二次方程的一个近似解的范围是（ ） A. B. C. D. 4. 长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（    ） A. B. C. D. 5. 如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若的面积为2．则k的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 6. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，交于，交于，，，则的长为（    ） A. B. C. D. 9. 如图，与位似，点是位似中心，若，，则（　　） A. 9 B. 12 C. 16 D. 36 10. 如图，有一批直角三角形形状且大小相同的不锈钢片，，米，米，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，则面积最大的正方形不锈钢片的边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 当x取任意实数时，二次函数 y=x2－(2m+1)x+m2的值始终为正数，则m的取值范围是__. 12. 若函数与的图象交于点，则的值为________． 13. 已知：如图，在中，为的中点，为上一点，延长线交延长线于点．若，则______． 14. 在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，，则与的相似比为________． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 已知抛物线． （1）写出抛物线的对称轴：直线______； （2）当时，将该抛物线图象沿x轴翻折，得到新的抛物线解析式是_____； （3）若抛物线的顶点在x轴上，求a的值． 16. 已知，且，求的值． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知二次函数 （1）用配方法把这个二次函数化成的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）在同一坐标系中画出将函数图象向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后的图象． 18. 已知二次函数． （1）求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； （2）若该二次函数图像的对称轴为直线，求它与轴的交点坐标． 19. 如图，将等腰直角三角板的直角顶点放在坐标系的处，锐角顶点和恰好都落在反比例函数第二象限图象上． （1）求反比例函数解析式； （2）连接，求四边形的面积． 20. 中，D是上一点，若，则称为的黄金分割线． （1）求证：若为的黄金分割线，则D是的黄金分割点； （2）若，求的面积．（结果保留根号） 21. 如图，在等边三角形中，、分别在、上，且，． （1）求证； （2）已知的面积为，求长． 22. 小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图所示，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度，已知小明的身高为2，，（点，，在同一直线上），请你帮小明求出楼高． 23. 已知菱形，是边上一点，连接交于点． （1）如图，当是中点时，求证：； （2）如图，连接，若，，当为直角三角形时，求的长； （3）如图，当时，若，则_____．（请直接写出） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宿松部分学校联考2025-2026学年上学期九年级期中试卷 数学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：A． 2. 将抛物线向右平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是； 故选C． 3. 根据下表中二次函数的自变量与函数值的对应值估算一元二次方程的一个近似解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质解一元二次方程，掌握二次函数自变量与函数值的变换是解题的关键． 根据，，，，由函数值的正负变换即可求解． 【详解】解：由表格信息可得当时，；当时，， ∴当一元二次方程的一个近似解的范围是， 故选：B ． 4. 长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，由此即可得解，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴底面积， ∵，且，， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若的面积为2．则k的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积计算，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，，根据三角形的面积公式得到，是解题的关键． 【详解】解：∵轴， ，B两点纵坐标相同， 设，，则，， ， ， 故选：C． 6. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故选：A． 7. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 8. 如图，在平行四边形中，交于，交于，，，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，证明，由相似三角形的性质得出，再由平行四边形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 故选：B． 9. 如图，与位似，点是位似中心，若，，则（　　） A. 9 B. 12 C. 16 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似变换的性质可得，得到，求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵与位似， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 10. 如图，有一批直角三角形形状且大小相同的不锈钢片，，米，米，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，则面积最大的正方形不锈钢片的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况求解，比较大小后判断即可． 本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】过点C作于点H，交于点P， ∵，米，米， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 解得； ∵，米，米， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； ∵，， ∴， 故选C． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 当x取任意实数时，二次函数 y=x2－(2m+1)x+m2的值始终为正数，则m的取值范围是__. 【答案】m＜-## m＜-0.25 【解析】 【分析】二次函数开口向上，当x取任意实数时，都有y＞0，则b2-4ac＜0，据此即可列不等式求解． 【详解】解：∵二次函数 y=x2- (2m+1)x+m2的值始终为正数，且a=1>0， ∴b2-4ac=(2m+1)2-4×1×m2=4m+1＜0， 解得：m＜-． 故答案为：m＜-． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点个数，个数由b2-4ac的符号确定，当Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 12. 若函数与的图象交于点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求代数式的值，由交点坐标满足两个函数解析式，可得和，进而代入表达式计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵函数与的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 已知：如图，在中，为的中点，为上一点，延长线交延长线于点．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质；作交于，由中点的定义得出，由平行线得出，，得出对应边成比例，，所以，即可得出结论． 【详解】证明：过点作交于，如图， 为的中点， ， ， ，， ，， ， ． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，，则与的相似比为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或是解答此题的关键． 根据坐标与图形的性质进行解答即可． 【详解】解：把以原点为位似中心缩小得到，点和它的对应点的坐标分别为，， 则与的相似比为， 故答案为：． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 已知抛物线． （1）写出抛物线的对称轴：直线______； （2）当时，将该抛物线图象沿x轴翻折，得到新的抛物线解析式是_____； （3）若抛物线的顶点在x轴上，求a的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式解答即可； （2）先确定当时抛物线的顶点坐标，再得出翻折后的顶点坐标和a的值，进而可得答案； （3）抛物线的顶点在x轴上也就是顶点的纵坐标为0，据此解答即可． 【详解】解：（1）对称轴是直线． 故答案为：x=2； （2）时，，顶点坐标为， 图象沿x轴翻折后，新抛物线的顶点坐标为， ∴新的抛物线解析式是． 故答案为：； （3）由题意得顶点的横坐标，所以顶点的纵坐标， 即，解得． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质以及轴对称变换，属于基本题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 16. 已知，且，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，令，则，，，代入所求式子进行计算即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：令，则，，， ∴． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知二次函数 （1）用配方法把这个二次函数化成的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）在同一坐标系中画出将函数图象向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后的图象． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的图象与性质及用描点法画二次函数的图象，掌握二次函数的图像与性质．学会利用数形结合是解题的关键． （1）用配方法可以得到解答； （2）根据二次函数的顶点式解析式作图； （3）根据二次函数的性质画出图象即可； 【小问1详解】 解： 即 【小问2详解】 解： ∴顶点坐标为． 当时，解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，． 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 二次函数的图象如图所示： ； 【小问3详解】 解：函数图象向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后变为： ，即； 如图所示． 18. 已知二次函数． （1）求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； （2）若该二次函数图像的对称轴为直线，求它与轴的交点坐标． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，二次函数与x轴的交点问题，二次函数与x轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，结合无论k为何值时，，即可证明无论k为何值时，该二次函数的图像与x轴都有交点； （2）整理得的对称轴为直线，结合对称轴为直线，得出，再代入，得，然后令则，最后解得，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ， ∵无论k为何值时，， ∴， 即无论k为何值时，该二次函数的图像与x轴都有交点． 【小问2详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， ∵该二次函数图像的对称轴为直线， ∴， 即， 依题意，令则， ∴， 解得， ∴它与x轴的交点坐标分别为． 19. 如图，将等腰直角三角板的直角顶点放在坐标系的处，锐角顶点和恰好都落在反比例函数第二象限图象上． （1）求反比例函数解析式； （2）连接，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）过点作轴于点，过点作轴于点，则，，，得到，，证明可得，，得到，即可求解； （2）由勾股定理求出，根据四边形的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则， 和， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， ， ， ， 四边形的面积． 20. 中，D是上一点，若，则称为的黄金分割线． （1）求证：若为的黄金分割线，则D是的黄金分割点； （2）若，求的面积．（结果保留根号） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由等高的两个三角形面积之比等于底之比，可得，，又因为，等量代换得出，根据黄金分割点的定义即可证明D是的黄金分割点； （2）由（1）知，那么，，又等高的两个三角形面积之比等于底之比，将代入，即可求出的面积． 【小问1详解】 证明：∵，， 又∵， ∴， ∴D是的黄金分割点； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．也考查了三角形的面积． 21. 如图，在等边三角形中，、分别在、上，且，． （1）求证； （2）已知的面积为，求长． 【答案】（1） 证明：为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 而， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，由，可得，再由，得到，则，根据两边及夹角法即可得到结论； （2）作，设，则，由，，可得，，再根据面积公式列出方程，解方程，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作， 设，则 ，， ，， 的面积为 或（舍去） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点，运用方程的思想是解题的关键． 22. 小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图所示，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度，已知小明的身高为2，，（点，，在同一直线上），请你帮小明求出楼高． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，交于点，根据题意可得：，，，，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，交于点， 由题意得：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴楼高为． 23. 已知菱形，是边上一点，连接交于点． （1）如图，当是中点时，求证：； （2）如图，连接，若，，当为直角三角形时，求的长； （3）如图，当时，若，则_____．（请直接写出） 【答案】（1）证明见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，由相似三角形的性质即可得解； （2）连接交于，证明，再分三种情况：当时；当时；当点在线段上时；分别求解即可； （3）证明四边形为正方形，得出为等腰直角三角形，从而可得在中，，证明，得出，结合，得出，从而可得，即可得解． 【小问1详解】 证明：是的中点， ， 四边形是菱形， ，， ，， ， ∴， ∴， ； 【小问2详解】 解：连接交于，如图， 四边形是菱形，， 、互相平分， ，， 在上， ， 在中，，， ， ， ∵， ，， ∴， 当时，在中，， ∴， 在中，，； 当时，在中，，点是的中点， ， ，， ∵， ∴，即， ；  点在边上， 点在线段上，故， 故这种情况不存在， 综上所述，当为直角三角形时，的长为或； 【小问3详解】 解：∵菱形中，， ∴四边形为正方形， ∴为等腰直角三角形， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $