第五章培优--一元一次方程压轴2025-2026学年人教版七年级数学上册

培优——一元一次方程压轴 （本资料包含一元一次方程压轴三部分内容------整数解问题，两方程解的关系问题，新定义方程问题） 类型一（整数解问题） 例1．已知关于x的一元一次方程kx＝6的解是整数，求整数k的值． 【解答】解：解得x． 由关于x的一元一次方程kx＝6的解是整数，得 k是6的约数， 即﹣6，﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，6． 练1.2．已知关于x的方程kx＝11﹣x有正整数解，则整数k的值为　0或10　 ． 【解答】解：移项得：kx+x＝11． 合并同类项得：x（k+1）＝11． 系数化为1得：x． ∵方程有正整数解， ∴k+1＝11或k+1＝1． 解得；k＝10或k＝0． 故答案为：0或10． 练1.3．已知关于x的方程2mx﹣8＝（m+2）x有正整数解，求整数m的值． 【解答】解：由2mx﹣8＝（m+2）x， 解得， 因为x是正整数，则m﹣2是8的正因数， 故m﹣2的值只能取以下1，2，4，8， 那么整数m的值是3，4，6，10． 例2．定义：关于x的方程ax﹣b＝0与方程bx﹣a＝0（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程2x﹣1＝0与方程x﹣2＝0互为“反对方程”． （1）若方程3x﹣2＝0与方程2x+c＝0互为“反对方程”，则c＝　﹣3　 ． （2）若关于x的方程6x+3m+1＝0与方程8x﹣n+2＝0互为“反对方程”，求m，n的值． （3）若关于x的方程2x+3k﹣1＝0与其“反对方程”的解都是整数，求k的值． 【解答】解：（1）∵方程3x﹣2＝0与方程2x+c＝0互为“反对方程”， ∴c＝﹣3， 故答案为：﹣3； （2）∵方程6x+3m+1＝0与方程8x﹣n+2＝0互为“反对方程”， ∴﹣3m﹣1＝8，n﹣2＝6， ∴m＝﹣3，n＝8； （3）方程2x+3k﹣1＝0的“反对方程”为（1﹣3k）x﹣2＝0， 方程2x+3k﹣1＝0的解为， 方程（1﹣3k）x﹣2＝0的解为， ∵两个方程的解都是整数， ∴1﹣3k＝2或﹣2， 当1﹣3k＝2，解得：， 当1﹣3k＝﹣2，解得：k＝1， 综上可知，k的值为或1． 练2.1．定义：关于x的方程ax﹣b＝0与方程bx﹣a＝0（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程2x﹣3＝0与方程3x﹣2＝0互为“反对方程”． （1）【定义理解】若方程4x﹣1＝0与方程x﹣m＝0互为“反对方程”，则m＝　4　 ． （2）【知识应用】若关于x的方程4x+2m+1＝0与方程5x﹣（3n﹣2）＝0互为“反对方程”，求m，n的值． （3）【拓展提高】若关于x的方程3x+2b﹣1＝0与其“反对方程”的解都是整数，直接写出常数b的值． 【解答】解：（1）∵方程4x﹣1＝0与方程x﹣m＝0互为“反对方程”， ∴m＝4． （2）∵关于x的方程4x+2m+1＝0与方程5x﹣（3n﹣2）＝0互为“反对方程”， ∴3n﹣2＝4，﹣（2m+1）＝5， 解得n＝2，m＝﹣3， （3）关于x的方程3x+2b﹣1＝0的“反对方程”为（1﹣2b）x﹣3＝0， 由方程3x+2b﹣1＝0，得， ∵方程（1﹣2b）x﹣3＝0有整数解， ∴1﹣2b≠0，得， ∵和都为整数， ∴1﹣2b＝3或1﹣2b＝﹣3， 解得b＝﹣1或b＝2． 练2.2．综合与实践： 定义：我们称关于x的方程ax+b＝0与方程bx+a＝0（a、b均为不等于0的常数）互为“轮换方程”，如：方程2x+4＝0与方程4x+2＝0互为“轮换方程”． （1）判断：①3x+7＝0与7x+3＝0；②﹣6x+3＝0与3x﹣6＝0；③﹣11x﹣1＝0与x﹣11＝0；其中互为“轮换方程”的有 　①②　 ；（填写序号） （2）若关于x的方程5x+m+3＝0与方程4x+n﹣2＝0互为“轮换方程”，求mn的值； （3）若关于x的方程5x﹣p＝0与其“轮换方程”的解都是整数，p也为整数，对于多项式A＝6x2﹣2kx+8和，不论x取多少，A与B的和始终等于整数p，求常数p的值． 【解答】解：（1）由题可知，关于x的方程ax+b＝0与方程bx+a＝0（a、b均为不等于0的常数）称互为“轮换方程”， ①方程3x+7＝0与方程7x+3＝0互为“轮换方程”，故①正确； ②方程﹣6x+3＝0与3x﹣6＝0互为“轮换方程”，故②正确； ③方程﹣11x﹣1＝0与x﹣11＝0不互为“轮换方程”，故③错误． 故答案为：①②． （2）∵关于x的方程5x+m+3＝0与方程4x+n﹣2＝0互为“轮换方程”， ∴， 解得：， ∴mn＝17＝1． （3）关于x的方程5x﹣p＝0的“轮换方程”为：﹣px+5＝0， 由方程5x﹣p＝0得：， 由方程﹣px+5＝0得：， ∵关于x的方程5x﹣p＝0与其“轮换方程”的解都是整数，p也为整数， ∴p＝5或﹣5， ＝6x2﹣2kx+8﹣6x2+3x﹣2k ＝（3﹣2k）x+8﹣2k， ∵多项式A＝6x2﹣2kx+8和，不论x取多少，A与B的和始终等于整数p， ∴， 解得：， 综上分析可知，常数p的值为5． 练2.3．阅读与理解 已知ax2+bx+c是关于x的多项式，记为P（x）．我们规定：P（x）的导出多项式为2ax+b，记为Q（x）．例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，则P（x）的导出多项式Q（x）＝2•3x﹣2＝6x﹣2． 根据以上信息，回答问题： （1）若P（x）＝x2﹣2x，则它的导出多项式Q（x）＝　2x﹣2　 ； （2）设Q（x）是P（x）的导出多项式． ①若P（x）＝2x2+4（2x﹣1），求关于x的方程Q（x）＝0的解； ②已知P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2是关于x的二次多项式，且关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数，求正整数a的值． 【解答】解：（1）∵P（x）＝x2﹣2x， ∴它的导出多项式Q（x）＝2•x+（﹣2）＝2x﹣2， 故答案为：2x﹣2， （2）①∵P（x）＝2x2+4（2x﹣1）＝2x2+8x﹣4， ∴它的导出多项式Q（x）＝2•2x+8＝4x+8， ∵Q（x）＝0， ∴4x+8＝0， ∴x＝﹣2， ∴关于x的方程Q（x）＝0的解为：x＝﹣2； ②∵P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2， ∴它的导出多项式Q（x）＝2•（a﹣2）x+（﹣6）＝2x（a﹣2）﹣6， ∵Q（x）＝﹣x， ∴2x（a﹣2）﹣6＝﹣x， ∴（2a﹣3）x＝6， ∵关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数， ∴2a﹣3≠0， ∴x， ∴2a﹣3的值为：±1，±2，±3，±6， ∴a的值为：2，1，，，0，3，，， ∴正整数a的值为：2，1，3， 又∵a﹣2≠0， ∴a≠2， ∴正整数a的值为：1，3， 类型二（解的关系解题） 例3．已知方程2﹣3（x+1）＝0的解与关于x的方程的解互为相反数，求k的值． 【解答】解：2﹣3（x+1）＝0， 去括号得：2﹣3x﹣3＝0， 移项得：﹣3x＝3﹣2， 合并同类项得，﹣3x＝1， 系数化为1得：， ∵方程2﹣3（x+1）＝0的解与关于x的方程的解互为相反数， ∴关于x的方程的解为， ∴， 解得k＝﹣1． 练3.1．关于x的方程x﹣2m＝﹣3x+4与2﹣m＝x的解互为相反数．求m的值． 【解答】解：x﹣2m＝﹣3x+4， 移项合并得：4x＝2m+4， 解得：xm+1， 根据题意得：m+1+2﹣m＝0， 解得：m＝6． 练3.2．m为何值时，关于x的方程4x﹣2m＝3x﹣1的解是x＝2x﹣3m的解的2倍． 【解答】解：解方程x＝2x﹣3m， 得：x＝3m， 解4x﹣2m＝3x﹣1得：x＝2m﹣1， ∵关于x的方程4x﹣2m＝3x﹣1的解是x＝2x﹣3m的解的2倍， ∴2×3m＝2m﹣1， ∴解得：m． 答：当m时，关于x的方程4x﹣2m＝3x﹣1的解是x＝2x﹣3m的解的2倍． 例4．我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 　②　 ． ①； ②﹣3x； ③5x＝﹣2． （2）已知关于x的一元一次方程2（x+2）＝﹣m是“和解方程”，求m的值； （3）若关于x的一元一次方程3x＝mn+m和﹣3x＝mn+n都是“和解方程”，求代数式5﹣4m+4n的值． 【解答】解：（1）①的解是x＝﹣1， ∵， ∴①不是“和解方程”； ②的解是， ∵， ∴②是“和解方程”； ③5x＝﹣2的解是， ∵， ∴③不是“和解方程”； 故答案为：②． （2）∵2（x+2）＝﹣m， ∴， ∴， ∵2（x+2）＝﹣m即2x＝﹣4﹣m是“和解方程”， ∴， ∴m＝0； （3）∵3x＝mn+m， ∴， 而3x＝mn+m是“和解方程”， ∴， ∴，（①式） ∵﹣3x＝mn+n， ∴， 而﹣3x＝mn+n是“和解方程”， ∴， ∴，（②式）， 由①﹣②得：， ∴5﹣4m+4n＝5﹣4（m﹣n）5+27＝32． 练4.1．我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b（a≠0）的解为x＝a﹣b，则称该方程为“有趣方程”．例如，2x的解为x，而2，则该方程2x就是“有趣方程”．请根据上述规定解答下列问题： （1）若关于x的一元一次方程﹣2x＝c是“有趣方程”，则c＝　﹣4　 ． （2）若关于x的一元一次方程3x＝a﹣ab（a≠0）是“有趣方程”，且它的解为x＝a，求a、b的值． （3）若关于x的一元一次方程x＝3m﹣mn和关于y的一元一次方程﹣3y＝mn﹣2n都是“有趣方程”，求代数式2（mn﹣3n）（27m﹣6mn）﹣3的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元一次方程﹣2x＝c是“有趣方程”， 且方程的解为：， ∴， 解得c＝﹣4， 故答案为：﹣4． （2）∵关于x的一元一次方程3x＝a﹣ab（a≠0）是“有趣方程”，且它的解为x＝a， 又方程的解为：， ∴， 解得，b＝﹣2． （3）∵关于x的一元一次方程x＝3m﹣mn是“有趣方程”， ∴3m﹣mn＝1﹣3m+mn， 即：， 又∵关于y的一元一次方程﹣3y＝mn﹣2n是“有趣方程”， ∴， 即：， ∴3m﹣2n＝﹣4， ∴原式＝2mn﹣6n+9m﹣2mn﹣3 ＝9m﹣6n﹣3 ＝3（3m﹣2n）﹣3 ＝﹣15． 练4.2．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”． （1）若方程2x＝4与关于x的方程mx＝1互为“归一方程”，求m的值． （2）若关于x的方程与关于x的方程互为“归一方程”，求a的值． （3）若关于x的两个方程3x+2（m+1）＝mn与互为“归一方程”，求出所有满足条件的正整数m、n值． 【解答】解：（1）解方程2x＝4，得x＝2， 解方程mx＝1，得x， ∵方程2x＝4与方程mx＝1互为“归一方程”， ∴21， ∴m＝﹣1． （2）解方程a＝0，得x＝﹣3a， 解方程，得x＝5a+4， ∵方程a＝0与方程互为“归一方程”， ∴﹣3a+5a+4＝1， ∴a． （3）设关于x的方程3x+2（m+1）＝mn的解为x1，则方程3x1+2（m+1）＝mn①， 设关于x的方程mnx＝m的解为x2，则mnx2＝m，整理得2mn﹣3x2＝4m+1②， ①﹣②，得3（x1+x2）+2（m+1）﹣2mn＝mn﹣4m﹣1， ∵方程3x+2（m+1）＝mn与方程mnx＝m互为“归一方程”， ∴x1+x2＝1， ∴3+2（m+1）﹣2mn＝mn﹣4m﹣1， ∴n＝2， 当m＝1时，n＝2+2＝4， 当m＝2时，n＝2+1＝3， ∴所有满足条件的正整数m、n值为m＝1，n＝4或m＝2，n＝3． 例5．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”． （1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，求m的值； （2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； （3）若关于x的一元一次方程x+3＝2x+k和x+1＝0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程（y+1）＝2y+k﹣1的解． 【解答】解：（1）∵3x+m＝0， ∴x， ∵4x﹣2＝x+10， ∴x＝4， ∵关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”， ∴41， ∴m＝9， 故答案为：9． （2）∵“美好方程”的两个解之和为1， ∴另一个方程的解为1﹣n， ∵两个解的差为8， ∴n﹣（1﹣n）＝8或1﹣n﹣n＝8， ∴n或n， 故答案为：或． （3）∵x+1＝0， ∴x＝﹣2024， ∵关于x的一元一次方程x+3＝2x+k和x+1＝0是“美好方程”， ∴方程x+3＝2x+k的解为：x＝1﹣（﹣2024）＝2025， ∵关于y的一元一次方程（y+1）＝2y+k﹣1可化为（y+1）+3＝2（y+1）+k， ∴y+1＝x＝2025， ∴y＝2024． 故答案为：y＝2024． 练5.1．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程2x+1＝2和2x﹣1＝2为“成双方程”． （1）请判断方程4x﹣（x+1）＝2与方程2x﹣（x﹣1）＝2是否互为“成双方程”； （2）若关于x的方程4x+2m＝3x+1与方程互为“成双方程”，求m的值； （3）若关于x的方程与互为“成双方程”，求关于y的方程的解． 【解答】解：（1）方程4x﹣（x+1）＝2与方程2x﹣（x﹣1）＝2互为“成双方程”． 理由：解方程4x﹣（x+1）＝2，得x＝1， 解方程2x﹣（x﹣1）＝2，得x＝1， ∵1+1＝2， 所以方程4x﹣（x+1）＝2与方程2x﹣（x﹣1）＝2互为“成双方程”． （2）解方程4x+2m＝3x+1，得x＝1﹣2m． 解方程， 5（x+m）＝10x+2（m﹣1）， 5x+5m＝10x+2m﹣2， 5x＝3m+2， ∴． ∵关于x的方程4x+2m＝3x+1与方程互为“成双方程”， ∴， ∴5﹣10m+3m+2＝10， ∴﹣7m＝3， ∴． （3）， ， x＝﹣2025； ∵关于x的方程与互为“成双方程”， ∴的解为x＝2027， 当x＝3﹣y时，方程可变形为， ∴2027＝3﹣y． ∴y＝﹣2024． 类型三（新定义方程） 例6．定义：对于一个有理数x，我们把“[x]”称作x的对称数．若x≥0，则[x]＝x﹣2；若x＜0，则[x]＝x+2．例如：[1]＝1﹣2＝﹣1，[﹣2]＝﹣2+2＝0． （1）填空： ①[5]＝　3　 ；[0]＝　﹣2　 ；[﹣6]＝　﹣4　 ； ②若m＞0，且[m]＝[﹣m]，则m＝　2　 ． （2）已知有理数a，b，当b≥0时，满足[a﹣2]＝[b]，试求代数式（b﹣a）3﹣2a+2b的值． （3）解方程：[x﹣3]+[x+1]＝1． 【解答】（1）①[5]＝5﹣2＝3；[0]＝0﹣2＝﹣2；[﹣6]＝﹣6+2＝﹣4； 故答案为：3；﹣2；﹣4； ②∵m＞0， ∴﹣m＜0， 则m﹣2＝﹣m+2， 解得：m＝2， 故答案为：2； （2）∵b≥0， ∴[a﹣2]＝b﹣2， 当a﹣2≥0时， a﹣2﹣2＝b﹣2， 则b﹣a＝﹣2， （b﹣a）3﹣2a+2b ＝（b﹣a）3+2（b﹣a） ＝（﹣2）3+2×（﹣2） ＝﹣12； 当a﹣2＜0时， a﹣2+2＝b﹣2， 则b﹣a＝2， （b﹣a）3﹣2a+2b ＝（b﹣a）3+2（b﹣a） ＝（2）3+2×2 ＝12； 综上，原式的值为±12； （3）当x≥3时， x﹣3﹣2+x+1﹣2＝1， 解得：x； 当﹣1≤x＜3时， x﹣3+2+x+1﹣2＝1， 解得：x； 当x＜﹣1时， x﹣3+2+x+1+2＝1， 解得：x（舍去）； 综上，原方程的解为x或x． 练6.1．定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x的“青一值”．若x≥0，则有理数x的“青一值”[x]＝x﹣2；若x＜0，则有理数x的“青一值”[x]＝x+2．例：[1]＝1﹣2＝﹣1；[﹣1]＝﹣1+2＝1． （1）求有理数﹣2和的“青一值”； （2）已知有理数a＞0，b＜0，且它们的“青一值”相等，即[a]＝[b]，试求代数式（b﹣a）2﹣2a+2b的值； （3）解方程：[2x]+[x+1]＝4． 【解答】解：（1）[﹣2]＝﹣2+2＝0； []2， ∴[﹣2]＝0；[]； （2）∵a＞0，b＜0， ∴[a]＝a﹣2， [b]＝b+2， ∵[a]＝[b]， ∴a﹣2＝b+2， ∴a﹣b＝4， ∴（b﹣a）2﹣2a+2b ＝（a﹣b）2﹣2（a﹣b） ＝42﹣2×4 ＝16﹣8 ＝8； （3）分三种情况： 当x≥0时，[2x]＝2x﹣2，[x+1]＝x+1﹣2＝x﹣1， ∵[2x]+[x+1]＝4， ∴2x﹣2+x﹣1＝4， 解得：x； 当﹣1≤x＜0时，[2x]＝2x+2，[x+1]＝x+1﹣2＝x﹣1， ∵[2x]+[x+1]＝4， ∴2x+2+x﹣1＝4， 解得：x＝1（舍去）； 当x＜﹣1时，[2x]＝2x+2，[x+1]＝x+1+2＝x+3， ∵：[2x]+[x+1]＝4， ∴2x+2+x+3＝4， 解得：x（舍去）； 综上所述：x． 作业 1．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程2x﹣1＝2和2x﹣1＝0为“成双方程”． （1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否互为“成双方程”； （2）若关于x的方程m＝0与方程3x﹣2＝x+4互为“成双方程”，求m的值； （3）若关于x的方程x﹣1＝0与x+1＝3x+k互为“成双方程”，求关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6的解． 【解答】解：（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3不是互为“成双方程”，理由如下： 4x﹣（x+5）＝1， 4x﹣x﹣5＝1， 3x＝6， x＝2， ﹣2y﹣y＝3， ﹣3y＝3， y＝﹣1， ∵x+y＝2+（﹣1）＝1， ∴方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3不是互为“成双方程”； （2）m＝0， x+2m＝0， x＝﹣2m， 3x﹣2＝x+4， 3x﹣x＝4+2， 2x＝6， x＝3， ∵关于x的方程m＝0与方程3x﹣2＝x+4互为“成双方程”， ∴﹣2m+3＝2， 解得：； （3）x﹣1＝0， ， x＝2024， ∵x﹣1＝0与x+1＝3x+k互为“成双方程”， ∴x+1＝3x+k的解为：x＝﹣2022， ∴关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6就是：， ∴y+2＝﹣2022， y＝﹣2024， ∴关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6的解为：y＝﹣2024． 2．定义：对于一个有理数x，我们把{x}称作x的相伴数；若x≥0，则{x}x﹣1；若x＜0，则{x}x+1．例：{1}1﹣1． （1）求{}，{﹣1}的值； （2）当a＞0，b＜0时，有{a}＝{b}，求下列代数式的值； ①a+b； ②（a+b）2﹣2a﹣2b． 【解答】解：（1）{}1，{﹣1}； （2）①a＞0，b＜0，{a}＝{b}， 即a﹣11， 解得：a+b＝4． ②（a+b）2﹣2a﹣2b＝（a+b）2﹣2（a+b）， ＝42﹣8， ＝8． 3阅读与理解 已知ax2+bx+c是关于x的多项式，记为P（x）．我们规定：P（x）的导出多项式为2ax+b，记为Q（x）．例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，则P（x）的导出多项式Q（x）＝2•3x﹣2＝6x﹣2． 根据以上信息，回答问题： （1）若P（x）＝x2﹣2x，则它的导出多项式Q（x）＝　2x﹣2　 ； （2）设Q（x）是P（x）的导出多项式． ①若P（x）＝2x2+4（2x﹣1），求关于x的方程Q（x）＝0的解； ②已知P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2是关于x的二次多项式，且关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数，求正整数a的值． 【解答】解：（1）∵P（x）＝x2﹣2x， ∴它的导出多项式Q（x）＝2•x+（﹣2）＝2x﹣2， 故答案为：2x﹣2， （2）①∵P（x）＝2x2+4（2x﹣1）＝2x2+8x﹣4， ∴它的导出多项式Q（x）＝2•2x+8＝4x+8， ∵Q（x）＝0， ∴4x+8＝0， ∴x＝﹣2， ∴关于x的方程Q（x）＝0的解为：x＝﹣2； ②∵P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2， ∴它的导出多项式Q（x）＝2•（a﹣2）x+（﹣6）＝2x（a﹣2）﹣6， ∵Q（x）＝﹣x， ∴2x（a﹣2）﹣6＝﹣x， ∴（2a﹣3）x＝6， ∵关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数， ∴2a﹣3≠0， ∴x， ∴2a﹣3的值为：±1，±2，±3，±6， ∴a的值为：2，1，，，0，3，，， ∴正整数a的值为：2，1，3， 又∵a﹣2≠0， ∴a≠2， ∴正整数a的值为：1，3， 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优——一元一次方程压轴 （本资料包含一元一次方程压轴三部分内容------整数解问题，两方程解的关系问题，新定义方程问题） 类型一（整数解问题） 例1．已知关于x的一元一次方程kx＝6的解是整数，求整数k的值． 练1.1．已知关于x的方程kx＝11﹣x有正整数解，则整数k的值为　 　 ． 练1.2．已知关于x的方程2mx﹣8＝（m+2）x有正整数解，求整数m的值． 例2．定义：关于x的方程ax﹣b＝0与方程bx﹣a＝0（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程2x﹣1＝0与方程x﹣2＝0互为“反对方程”． （1）若方程3x﹣2＝0与方程2x+c＝0互为“反对方程”，则c＝　 　 ． （2）若关于x的方程6x+3m+1＝0与方程8x﹣n+2＝0互为“反对方程”，求m，n的值． （3）若关于x的方程2x+3k﹣1＝0与其“反对方程”的解都是整数，求k的值． 练2.1．定义：关于x的方程ax﹣b＝0与方程bx﹣a＝0（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程2x﹣3＝0与方程3x﹣2＝0互为“反对方程”． （1）【定义理解】若方程4x﹣1＝0与方程x﹣m＝0互为“反对方程”，则m＝　 　 ． （2）【知识应用】若关于x的方程4x+2m+1＝0与方程5x﹣（3n﹣2）＝0互为“反对方程”，求m，n的值． （3）【拓展提高】若关于x的方程3x+2b﹣1＝0与其“反对方程”的解都是整数，直接写出常数b的值． 练2.2．综合与实践： 定义：我们称关于x的方程ax+b＝0与方程bx+a＝0（a、b均为不等于0的常数）互为“轮换方程”，如：方程2x+4＝0与方程4x+2＝0互为“轮换方程”． （1）判断：①3x+7＝0与7x+3＝0；②﹣6x+3＝0与3x﹣6＝0；③﹣11x﹣1＝0与x﹣11＝0；其中互为“轮换方程”的有 　 　 ；（填写序号） （2）若关于x的方程5x+m+3＝0与方程4x+n﹣2＝0互为“轮换方程”，求mn的值； （3）若关于x的方程5x﹣p＝0与其“轮换方程”的解都是整数，p也为整数，对于多项式A＝6x2﹣2kx+8和，不论x取多少，A与B的和始终等于整数p，求常数p的值． 练2.3．阅读与理解 已知ax2+bx+c是关于x的多项式，记为P（x）．我们规定：P（x）的导出多项式为2ax+b，记为Q（x）．例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，则P（x）的导出多项式Q（x）＝2•3x﹣2＝6x﹣2． 根据以上信息，回答问题： （1）若P（x）＝x2﹣2x，则它的导出多项式Q（x）＝　 　 ； （2）设Q（x）是P（x）的导出多项式． ①若P（x）＝2x2+4（2x﹣1），求关于x的方程Q（x）＝0的解； ②已知P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2是关于x的二次多项式，且关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数，求正整数a的值． 类型二（解的关系解题） 例3．已知方程2﹣3（x+1）＝0的解与关于x的方程的解互为相反数，求k的值． 练3.1．关于x的方程x﹣2m＝﹣3x+4与2﹣m＝x的解互为相反数．求m的值． 练3.2．m为何值时，关于x的方程4x﹣2m＝3x﹣1的解是x＝2x﹣3m的解的2倍． 例4．我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 　 　 ． ①； ②﹣3x； ③5x＝﹣2． （2）已知关于x的一元一次方程2（x+2）＝﹣m是“和解方程”，求m的值； （3）若关于x的一元一次方程3x＝mn+m和﹣3x＝mn+n都是“和解方程”，求代数式5﹣4m+4n的值． 练4.1．我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b（a≠0）的解为x＝a﹣b，则称该方程为“有趣方程”．例如，2x的解为x，而2，则该方程2x就是“有趣方程”．请根据上述规定解答下列问题： （1）若关于x的一元一次方程﹣2x＝c是“有趣方程”，则c＝　 　 ． （2）若关于x的一元一次方程3x＝a﹣ab（a≠0）是“有趣方程”，且它的解为x＝a，求a、b的值． （3）若关于x的一元一次方程x＝3m﹣mn和关于y的一元一次方程﹣3y＝mn﹣2n都是“有趣方程”，求代数式2（mn﹣3n）（27m﹣6mn）﹣3的值． 练4.2．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”． （1）若方程2x＝4与关于x的方程mx＝1互为“归一方程”，求m的值． （2）若关于x的方程与关于x的方程互为“归一方程”，求a的值． （3）若关于x的两个方程3x+2（m+1）＝mn与互为“归一方程”，求出所有满足条件的正整数m、n值． 例5．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”． （1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，求m的值； （2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； （3）若关于x的一元一次方程x+3＝2x+k和x+1＝0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程（y+1）＝2y+k﹣1的解． 练5.1．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程2x+1＝2和2x﹣1＝2为“成双方程”． （1）请判断方程4x﹣（x+1）＝2与方程2x﹣（x﹣1）＝2是否互为“成双方程”； （2）若关于x的方程4x+2m＝3x+1与方程互为“成双方程”，求m的值； （3）若关于x的方程与互为“成双方程”，求关于y的方程的解． 类型三（新定义方程） 例6．定义：对于一个有理数x，我们把“[x]”称作x的对称数．若x≥0，则[x]＝x﹣2；若x＜0，则[x]＝x+2．例如：[1]＝1﹣2＝﹣1，[﹣2]＝﹣2+2＝0． （1）填空： ①[5]＝　 　 ；[0]＝　 　 ；[﹣6]＝　 　 ； ②若m＞0，且[m]＝[﹣m]，则m＝　 　 ． （2）已知有理数a，b，当b≥0时，满足[a﹣2]＝[b]，试求代数式（b﹣a）3﹣2a+2b的值． （3）解方程：[x﹣3]+[x+1]＝1． 练6．定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x的“青一值”．若x≥0，则有理数x的“青一值”[x]＝x﹣2；若x＜0，则有理数x的“青一值”[x]＝x+2．例：[1]＝1﹣2＝﹣1；[﹣1]＝﹣1+2＝1． （1）求有理数﹣2和的“青一值”； （2）已知有理数a＞0，b＜0，且它们的“青一值”相等，即[a]＝[b]，试求代数式（b﹣a）2﹣2a+2b的值； （3）解方程：[2x]+[x+1]＝4． 作业 1．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程2x﹣1＝2和2x﹣1＝0为“成双方程”． （1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否互为“成双方程”； （2）若关于x的方程m＝0与方程3x﹣2＝x+4互为“成双方程”，求m的值； （3）若关于x的方程x﹣1＝0与x+1＝3x+k互为“成双方程”，求关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6的解． 2．定义：对于一个有理数x，我们把{x}称作x的相伴数；若x≥0，则{x}x﹣1；若x＜0，则{x}x+1．例：{1}1﹣1． （1）求{}，{﹣1}的值； （2）当a＞0，b＜0时，有{a}＝{b}，求下列代数式的值； ①a+b； ②（a+b）2﹣2a﹣2b． 3．阅读与理解 已知ax2+bx+c是关于x的多项式，记为P（x）．我们规定：P（x）的导出多项式为2ax+b，记为Q（x）．例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，则P（x）的导出多项式Q（x）＝2•3x﹣2＝6x﹣2． 根据以上信息，回答问题： （1）若P（x）＝x2﹣2x，则它的导出多项式Q（x）＝　 　 ； （2）设Q（x）是P（x）的导出多项式． ①若P（x）＝2x2+4（2x﹣1），求关于x的方程Q（x）＝0的解； ②已知P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2是关于x的二次多项式，且关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数，求正整数a的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $