专题39：曲线与方程 （5大考点+11大题型）讲义- 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用）

该高中数学讲义聚焦高考“曲线与方程”核心考点，涵盖曲线与方程概念、四大求轨迹方法、特殊曲线性质及参数方程应用，按“概念-方法-应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题步骤，真题训练强化实战能力，助力学生突破轨迹方程求解与曲线性质分析难点。 资料突出上海高考特色，融入双纽线等新情境题型，以“题型精析+全解”模式培养数学眼光与思维。如定义法教学中对比椭圆与双纽线定义，引导学生抽象本质规律，配合分层训练提升方法迁移能力，为教师提供节奏把控依据，高效提升学生应考能力。

2026年高考数学一轮复习题型精析与题型全解（上海专用） 专题39 曲线与方程 知识点1 曲线的方程与方程的曲线 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程（适合某种条件的点的轨迹方程），这条曲线叫做方程的曲线. 提醒：有些函数的解析式可以看成一种特殊的方程，不过，曲线的方程不一定时函数. 知识点 2 求曲线的方程 求动点M轨迹方程的一般步骤： 提醒：（1）求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要先建立坐标系，建系时，尽量取已知的相互垂直的直线为坐标轴，或利用图形的对称性选轴，或使尽可能多的点落在轴上；求曲线的方程与求轨迹是有区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等． （2）判断点P是否在曲线C上，只需将点P的坐标代入C的方程，若成立，则P在C上，否则P不在C上． 知识点3 求轨迹方程的方法 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法 (1)直接法 直接法是将圆锥曲线中动点满足的几何关系或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法. (2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求； (3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程； (4)参数法 若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程； 知识点4 根据方程研究曲线的性质 根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，一般要注意两类性质： 一类是与坐标系无关的本身固有性质，如圆的半径、图形的对称性等； 一类是与坐标系有关的性质，如圆的圆心、图形的范围等． 知识点5 参数方程及其应用 1、参数方程的定义：一般地，在平面直角坐标中，如果曲线上任一点的坐标都是某个变数的函数，反过来，对于的每个允许值，由函数式所确定的点都在曲线上，那么方程叫做曲线的参数方程，联系变数的变数是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的叫普通方程． 2、常见曲线的参数方程： （1）圆的参数方程为 （为参数）； （2）椭圆的参数方程为 （为参数）； （3）双曲线的参数方程 （为参数）； （4）抛物线参数方程 为参数）； （5）过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）. 3、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：&科& （1）代入法：利用解方程的技巧求出参数，然后代入消去参数（包括整体消元）. （2）加减法:把参数方程变形后相加减，消去参数. （3）三角恒等式消参法：利用三角恒等式消去参数. 温馨提示：化参数方程为普通方程为：在消参过程中注意变量、取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定和值域得、的取值范围. 考点一 曲线与方程的概念 题型01：曲线与方程的概念 【例1】（2022徐汇中学模拟）已知点，曲线的方程为，曲线的方程为，则“点在曲线上”是“点在曲线上”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【例2】（23-24高二上·上海·期末）已知坐标满足方程的点都在曲线C上，则下列命题中正确的是（    ） A．曲线C上的点的坐标都适合方程 B．不在曲线C上的点的坐标必不适合方程 C．凡坐标不适合方程的点都不在曲线C上 D．不在曲线C上的点的坐标有些适合方程 【例3】（2025奉贤高级中学高三阶段练习）已知坐标满足方程的点都在曲线C上，下列命题正确的是（    ） A．曲线C上的点的坐标都满足方程 B．不在曲线C上的点的坐标都不满足方程 C．坐标不满足方程的点都不在曲线C上 D．曲线C是坐标满足方程的点的轨迹 【例4】（20-21高二上·上海徐汇·期中）如果曲线上的任意一点的坐标都是方程的解，那么下列命题正确的是（    ） A．曲线的方程是 B．曲线上的点都在方程的曲线上 C．方程的曲线是 D．以方程的解为坐标的点都在曲线上 考点二 求轨迹方程的方法 题型02：直接法求轨迹方程 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程 ，当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法. 【例5】（2023上海敬业中学模拟）动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是 . 【例6】（2023青浦高级中学练习）已知圆：，过动点作圆的切线（为切点），使得，则动点的轨迹方程为 . 【例7】已知定点A，B，且|AB|＝2a.如果动点P到点A的距离与到点B的距离之比为2∶1，求点P的轨迹． 题型03：定义法求轨迹方程 【例8】若，，点P到F1，F2的距离之和为10，则点P的轨迹方程是 【例9】已知动圆P过点，且与圆外切，则动圆P圆心的轨迹方程为 . 题型04：相关点代入法求轨迹方程 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程 【例10】已知点P为椭圆上的任意一点，O为原点，M满足，则点M的轨迹方程为 ． 【例11】是圆上的动点，点，则线段的中点的轨迹方程是 . 【例12】设点F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程． 题型05：交轨法求轨迹方程 【例13】已知直线，，当任意的实数m变化时，直线与的交点的轨迹方程是 ． 【例14】已知A，B分别为椭圆的左､右顶点，点M，N为椭圆上的两个动点，满足线段MN与x轴垂直，则直线MA与NB交点的轨迹方程为 . 题型06：参数法求轨迹方程 参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程. 【例15】方程 (t为参数)所表示的圆的圆心轨迹方程是 (结果化为普通方程) 【例16】已知，，当时，线段的中点轨迹方程为 ． 【例17】设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t． （1）求椭圆的方程； （2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 题型07：点差法求轨迹方程 【例18】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆． (1)过椭圆的左焦点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； (2)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程； (3)求过点且被平分的弦所在直线的方程． 【例19】已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程. 【例20】（2023·全国·高三专题练习）已知：椭圆，求： （1）以为中点的弦所在直线的方程； （2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程． 考点三 由方程研究曲线的图像与性质 题型08：由方程研究曲线的图形 【例21】（23-24高二上·上海·课后作业）画出下列方程相应的曲线图形． (1)； (2)． 【例22】（2023华师大二附中高二期末）设方程表示的曲线是（    ） A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线 C．一个圆 D．一条直线 【例23】（2014上海向明中学高三练习）方程表示的曲线是（　　） A．—个圆 B．两个圆 C．一个半圆 D．两个半圆 【例24】（2025上海中学模拟）关于曲线下列说法：①关于点对称；②关于直线轴对称；③关于直线对称；④曲线是封闭图形，面积小于；⑤曲线是封闭图形，面积大于；⑥曲线不是封闭图形无法计算面积.其中正确的序号（    ） A．①②⑥ B．①②⑤ C．①②④ D．②③⑥ 题型09：由方程研究曲线的性质 1、 伯努利双纽线 1694年，瑞士数学家雅各布·伯努就开始对双纽线进行了研究，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理，他把椭圆定义稍作改动，这样定义双妞线：把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线. 双纽线像数字“8”,也像是无穷大符号“”，这两个定点叫做双妞线的焦点，两焦点间的距离叫做双妞线的焦距。 伯努利双纽线及标准方程： 双纽线简单几何性质 （1）范围：x,y] （2）对称性：关于轴、轴、原点对称，坐标轴是双纽线的对称轴，原点是双纽线的对称中心。 （3）顶点：双纽线与y轴有一个交点（0，0），与x轴有三个交点(0,0),(- ,0),(0, （4）焦点三角形:面积最大值为： ,周长的范围为[4c,2c+2c] （5）距离：双纽线任一点到原点的距离的最大值为 不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素.近年来备受考试关注： 【例25】双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是双纽线上一点，下列说法中正确的有（ ） ①双纽线经过原点； ②双纽线关于原点中心对称； ③； ④双纽线上满足的点有两个. A．①② B．①②③ C．②③ D．②③④ 【例26】双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.伯努利将这种曲线称为lemniscate，为拉丁文中“悬挂的丝带”之意.双纽线在数学曲线领域的地位占有至关重要的地位.双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线是双纽线，则下列结论不正确的是（ ） A．曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） B．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2 C．曲线关于直线对称的曲线方程为 D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 【例27】数学中的很多符号具有简洁､对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素.如我们熟悉的符号，我们把形状类似的曲线称为“曲线”.经研究发现，在平面直角坐标系xOy中，到定点，距离之积等于的点的轨迹C是“曲线”.若点是轨迹C上一点，则下列说法中正确的有（ ） A．曲线C关于原点O中心对称； B．x的取值范围是； C．曲线C上有且仅有一个点P满足； D．的最大值为. 【例28】数学中的很多符号具有简洁､对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素.如我们熟悉的符号，我们把形状类似的曲线称为“曲线”.经研究发现，在平面直角坐标系xOy中，到定点，距离之积等于的点的轨迹C是“曲线”.若点是轨迹C上一点，则下列说法中正确的有（ ） A．曲线C关于原点O中心对称； B．x的取值范围是； C．曲线C上有且仅有一个点P满足； D．的最大值为. 2、 卡西尼卵形线 一般地，我们把到定点，距离之积等于常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线. 1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这两个定点叫做卡西尼卵形线的焦点，两焦点间的距离叫做卡西尼卵形线的焦距。 卡西尼卵形线标准方程： =- 卡西尼卵形线简单几何性质 （1）范围：-+ （2）对称性：关于轴、轴、原点对称，坐标轴是卡西尼卵形线的对称轴，原点是卡西尼卵形线的对称中心。 （3）顶点： （4）焦点三角形的面积不大于 （5）离心率： 【例29】曲线为：到两定点、距离乘积为常数的动点的轨迹.以下结论正确的个数为 （1）曲线一定经过原点； （2）曲线关于轴、轴对称； （3）的面积不大于； （4）曲线在一个面积为的矩形范围内. A． B． C． D． 【例30】曲线C是平面内与两个定点的距离的积等于的点P的轨迹，给出下列四个结论： ①曲线C关于坐标轴对称； ②周长的最小值为； ③点P到y轴距离的最大值为； ④点P到原点距离的最小值为． 其中所有正确结论的序号是__________． 【例31】平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标第中，、，动点P满足|PM||PN|=5,则下列结论正确的是（） A.点P的横坐标的取值范围是[-,] B. |OP|的取值范围是[1,3] C．PMN面积的最大值是 D．|PM|+|PN|的取值范围是[2,5] 3、四叶玫瑰线与类四叶玫瑰线 【例32】（2022·上海·华师大二附中高二期末）数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，-些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物.曲线C：为四叶玫瑰线. ①方程 (xy<0)表示的曲线在第二和第四象限； ②曲线C上任一点到坐标原点0的距离都不超过2； ③曲线C构成的四叶玫瑰线面积大于4π； ④曲线C上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点). 则上述结论中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例33】数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，如图：四叶草曲线就是其中一种，其方程为.给出下列四个结论： ①曲线有四条对称轴； ②曲线上的点到原点的最大距离为； ③在第一象限内，过曲线上一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为； ④四叶草面积小于. 其中，所有正确结论的序号是___________. 【例34】在数学中有这样形状的曲线：.关于这种曲线，有以下结论： ①曲线恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线上任意两点之间的距离都不超过2； ③曲线所围成的“花瓣”形状区域的面积大于5. 其中正确的结论有：（ ） A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【例35】已知曲线的方程是，则下列结论正确的是（ ） A．曲线与两坐标轴有公共点 B．曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形 C．若点在曲线上，则的最大值是 D．曲线围成的面积为 【例36】在平面直角坐标系xOy中，为曲线上一点，则（ ） A．曲线C关于原点对称 B． C．曲线C围成的区域面积小于18 D．P到点的最近距离为 【例37】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列三个结论： ①曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线上任意一点到原点的距离都不超过. ③曲线所围成的“花形”区域的面积小于4. 其中，所有正确结论的序号是_______. 4、心形线 【例38】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）.曲线上任意一点到原点的距离的最大值为（ ） A．1 B． C． D．2 【例39】（2024上海奉贤区致远高级中学高二期末）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列三个结论： ①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过； ③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3； 其中，所有正确结论的序号是________． 5、其它曲线与方程 【例40】已知曲线，则不正确的是（    ） A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．关于直线对称 D．为的一个顶点 【例41】（23-24高二上·北京西城·阶段练习）曲线C是平面内与定点和定直线的距离的积等于4的点的轨迹，给出下列四个命题： ①曲线C过坐标原点； ②曲线C关于x轴对称； ③曲线C与y轴有3个交点； ④若点M在曲线C上，则的最小值是； 其中，所有正确结论的序号是 . 【例42】（2021·上海浦东新期中）关于曲线，则以下结论正确的序号是____________． ①曲线关于原点对称； ②曲线中； ③曲线不是封闭图形，且它与圆无公共点； ④曲线与曲线有4个交点，这4点构成正方形． 【例43】（2025上海·闵行中学高三期中）若动点P在方程所表示曲线C上，则以下结论正确的是（ ） ①曲线C关于原点成中心对称图形； ②曲线C与两坐标轴围成的面积为； ③曲线C总长为； ④动点P与点的连线斜率的取值范围是． A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④ 【例44】（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知曲线的方程为，下列说法中正确的序号是 . ①无论取何值，曲线都关于原点中心对称； ②无论取何值，曲线关于直线和对称； ③存在唯一的实数使得曲线表示两条直线； ④当时，曲线上任意两点间距离的最大值为. 考点四 参数方程及应用 题型10：参数方程与普通方程互化 【例45】参数方程，化为普通方程为 ． 【例46】已知直线的参数方程为，请写出的一个方向向量 . 【例47】已知圆的圆心为，则点到直线（为参数）的距离为 . 【例48】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中是参数，），则曲线的直角坐标方程为 . 【例49】已知参数方程（t为参数），则该方程的普通方程为 . 题型11：参数方程的综合应用 【例50】若点在曲线上,且不等式恒成立,则的取值范围是 . 【例51】椭圆上的任意一点（除短轴的两个端点外）与短轴的两个端点的连线分别交轴于点和点，则的取值范围是 . 【例52】已知椭圆为参数，，的焦点分别、，点为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为．若，则椭圆的普通方程为 ． 【例53】已知曲线参数方程为（为参数），直线方程为：，将曲线横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位，得到曲线，则曲线上的点到直线距离的最小值为 . 【例54】已知曲线上一动点，曲线与直线交于点，则的最大值是 . 1．(2024全国高考甲卷）在平面直角坐标系中，到两个点和的距离之积等于4的轨迹记作曲线，对于曲线及其上一点P，有下列四个结论： ①曲线关于x轴对称； ②曲线上有且仅有一点P，满足； ③曲线上所有的点的横坐标，纵坐标； ④的取值范围是． 其中，所有正确结论的序号是 ． 2．（2023•上海）已知，是曲线上两点，若存在点，使得曲线上任意一点都存在使得，则称曲线是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则　　 A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 3．（2020•上海）已知椭圆，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹是　　 A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线 4．（2021•浙江）已知，，，函数．若，，成等比数列，则平面上点的轨迹是　　 A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线 5．（2020山东高考）关于曲线：，： ①曲线关于x轴、y轴和原点对称； ②当时，两曲线共有四个交点； ③当时，曲线围成的区域面积大于曲线所围成的区域面积； ④当时，曲线对围成的平面区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是3． 上述结论中所有正确命题的序号是 ． 6．（2022北京高考）对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作．下列结论中正确的是 ． ①若曲线是一个点，则点集所表示的图形的面积为； ②若曲线是一个半径为的圆，则点集所表示的图形的面积为； ③若曲线是一个长度为的线段，则点集所表示的图形的面积为； ④若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习题型精析与题型全解（上海专用） 专题39 曲线与方程 知识点1 曲线的方程与方程的曲线 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程（适合某种条件的点的轨迹方程），这条曲线叫做方程的曲线. 提醒：有些函数的解析式可以看成一种特殊的方程，不过，曲线的方程不一定时函数. 知识点 2 求曲线的方程 求动点M轨迹方程的一般步骤： 提醒：（1）求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要先建立坐标系，建系时，尽量取已知的相互垂直的直线为坐标轴，或利用图形的对称性选轴，或使尽可能多的点落在轴上；求曲线的方程与求轨迹是有区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等． （2）判断点P是否在曲线C上，只需将点P的坐标代入C的方程，若成立，则P在C上，否则P不在C上． 知识点3 求轨迹方程的方法 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法 (1)直接法 直接法是将圆锥曲线中动点满足的几何关系或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法. (2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求； (3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程； (4)参数法 若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程； 知识点4 根据方程研究曲线的性质 根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，一般要注意两类性质： 一类是与坐标系无关的本身固有性质，如圆的半径、图形的对称性等； 一类是与坐标系有关的性质，如圆的圆心、图形的范围等． 知识点5 参数方程及其应用 1、参数方程的定义：一般地，在平面直角坐标中，如果曲线上任一点的坐标都是某个变数的函数，反过来，对于的每个允许值，由函数式所确定的点都在曲线上，那么方程叫做曲线的参数方程，联系变数的变数是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的叫普通方程． 2、常见曲线的参数方程： （1）圆的参数方程为 （为参数）； （2）椭圆的参数方程为 （为参数）； （3）双曲线的参数方程 （为参数）； （4）抛物线参数方程 为参数）； （5）过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）. 3、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：&科& （1）代入法：利用解方程的技巧求出参数，然后代入消去参数（包括整体消元）. （2）加减法:把参数方程变形后相加减，消去参数. （3）三角恒等式消参法：利用三角恒等式消去参数. 温馨提示：化参数方程为普通方程为：在消参过程中注意变量、取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定和值域得、的取值范围. 考点一 曲线与方程的概念 题型01：曲线与方程的概念 【例1】（2022徐汇中学模拟）已知点，曲线的方程为，曲线的方程为，则“点在曲线上”是“点在曲线上”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分性和必要性的定义，以及曲线与方程的关系，进行判断即可. 【详解】当点在曲线上时，有，所以由点在曲线上，可以推出点在曲线上； 当点在曲线上时，有，所以由点在曲线上推不出点在曲线上， 所以“点在曲线上“是”点在曲线上“的充分非必要条件. 故选：A 【例2】（23-24高二上·上海·期末）已知坐标满足方程的点都在曲线C上，则下列命题中正确的是（    ） A．曲线C上的点的坐标都适合方程 B．不在曲线C上的点的坐标必不适合方程 C．凡坐标不适合方程的点都不在曲线C上 D．不在曲线C上的点的坐标有些适合方程 【答案】B 【分析】由逆否命题的真假性的关系结合曲线与方程的定义逐一判断即可. 【详解】由于“坐标满足方程的点都在曲线C上”与“不在曲线C上的点的坐标必不适合方程”互为逆否命题， 所以“不在曲线C上的点的坐标必不适合方程”是正确的，故B对，D错； 对于点集而言， 不满足，但它仍然属于在曲线C上（仍然属于点集合），故A、C错误. 故选：B. 【例3】（2025奉贤高级中学高三阶段练习）已知坐标满足方程的点都在曲线C上，下列命题正确的是（    ） A．曲线C上的点的坐标都满足方程 B．不在曲线C上的点的坐标都不满足方程 C．坐标不满足方程的点都不在曲线C上 D．曲线C是坐标满足方程的点的轨迹 【答案】B 【分析】根据曲线与方程的定义和关系进行判断即可. 【详解】对于A，若坐标满足方程的点都在曲线C上，则方程的曲线可能只是曲线C的一部分， 此时曲线C上位于曲线M之外部分的点的坐标不满足方程，故A选项中的命题错误. 对于B，命题"不在曲线C上的点的坐标都不满足程 “与已知条件中的命题互为逆否命题.因为互为逆否命题的两个命题真假相同，所以B选项中的命题正确. 对于C，由A选项的分析过程得，曲线C上位于曲线M之外部分的点的坐标不满足方程， 但这些点在曲线C上，故C选项中的命题错误. 对于D，由A选项的分析过程可知，D选项中的命题错误. 故选：B. 【例4】（20-21高二上·上海徐汇·期中）如果曲线上的任意一点的坐标都是方程的解，那么下列命题正确的是（    ） A．曲线的方程是 B．曲线上的点都在方程的曲线上 C．方程的曲线是 D．以方程的解为坐标的点都在曲线上 【答案】B 【分析】由曲线方程的定义，结合集合的包含关系进行逻辑判断即可. 【详解】设所有在曲线上的点构成集合，所有以方程的解为坐标的点构成集合，则原题等价于. A选项等价于，不正确； B选项等价于，正确； C选项等价于，不正确； D选项等价于，不正确. 故选：B. 考点二 求轨迹方程的方法 题型02：直接法求轨迹方程 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程 ，当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法. 【例5】（2023上海敬业中学模拟）动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是 . 【答案】（） 【解析】由题意可知：，则点的轨迹是以为直径的圆（除外）， 即以的中点为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程是. 故答案为：. 【例6】（2023青浦高级中学练习）已知圆：，过动点作圆的切线（为切点），使得，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设，由得，则，即. 故答案为： 【例7】已知定点A，B，且|AB|＝2a.如果动点P到点A的距离与到点B的距离之比为2∶1，求点P的轨迹． 【解析】取AB所在的直线为x轴，从A到B为正方向，以AB的中点O为原点，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)．设P(x，y)，因为＝，即＝2，化简整理可得3x2＋3y2－10ax＋3a2＝0，即2＋y2＝a2.故动点P的轨迹是以C为圆心，a为半径的圆． 题型03：定义法求轨迹方程 【例8】若，，点P到F1，F2的距离之和为10，则点P的轨迹方程是 【答案】 【解析】因为，所以点的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中，故点P的轨迹方程为. 故答案为： 【例9】已知动圆P过点，且与圆外切，则动圆P圆心的轨迹方程为 . 【答案】， 【解析】定圆的圆心为，与关于原点对称， 设动圆的半径为，则有，因为与圆外切， 所以，即， 所以点的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的左支， 则，，， 所以轨迹方程为，，即，. 故答案为：， 题型04：相关点代入法求轨迹方程 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程 【例10】已知点P为椭圆上的任意一点，O为原点，M满足，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】. 【解析】设点， 由得点，而点P为椭圆上的任意一点， 于是得，整理得：， 所以点M的轨迹方程是. 故答案为: 【例11】是圆上的动点，点，则线段的中点的轨迹方程是 . 【答案】 【解析】设，则，解得， 即，则，整理得， 故点的轨迹方程是. 故答案为：. 【例12】设点F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程． 【解析】设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y).＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，因为⊥，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以x0＋y＝0.由＝2得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，所以即所以－x＋＝0， 即y2＝4x.故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x. 题型05：交轨法求轨迹方程 【例13】已知直线，，当任意的实数m变化时，直线与的交点的轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】联立两直线得，将这两式相乘，消去参数m，得， 即，可得轨迹方程为． 故答案为： 【例14】已知A，B分别为椭圆的左､右顶点，点M，N为椭圆上的两个动点，满足线段MN与x轴垂直，则直线MA与NB交点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】因为A，B分别为椭圆的左､右顶点，所以A(-2，0)，B(2，0)， 设MA与NB的交点为P，P(x，y)，M(x1，y1)，N(x1，-y1)， 由，，得，， 两式相乘得∶，化解得. 故答案为：. 题型06：参数法求轨迹方程 参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程. 【例15】方程 (t为参数)所表示的圆的圆心轨迹方程是 (结果化为普通方程) 【答案】 【解析】圆化为，它表示以为圆心，为半径的圆， 设圆心坐标为，于是得 (t为参数)，消去t得：， 所以所求圆心轨迹方程是. 故答案为： 【例16】已知，，当时，线段的中点轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】因为，， 所以中点坐标为， 即， 设点为线段的中点轨迹上任一点的坐标， ，， ， 即当时，线段的中点轨迹方程为， 故答案为： 【例17】设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t． （1）求椭圆的方程； （2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 【解析】：（1）设所求椭圆方程为由题意得解得 所以椭圆方程为． (2)设点解方程组 得 由和得 其中t＞1．消去t，得点P轨迹方程为和．其轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分． 【方法】求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法. 题型07：点差法求轨迹方程 【例18】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆． (1)过椭圆的左焦点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； (2)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程； (3)求过点且被平分的弦所在直线的方程． 【解析】（1）设弦与椭圆两交点坐标分别为、， 设，当时，． 当时，， 两式相减得，即 (*)， 因为，，， 所以，代入上式并化简得，显然满足方程. 所以点P的轨迹方程为（在椭圆内部分）． （2）设，在（1）中式子里， 将，，代入上式并化简得点Q的轨迹方程为（在椭圆内部分）． 所以，点的轨迹方程（在椭圆内部分）. （3）在（1）中式子里， 将，，代入上式可求得． 所以直线方程为． 【例19】已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程. 【解析】设弦的两个端点分别为，的中点为. 则，（1），（2） 得：， . 又，. 由于弦中点轨迹在已知椭圆内， 联立 故斜率为的平行弦中点的轨迹方程： 【例20】（2023·全国·高三专题练习）已知：椭圆，求： （1）以为中点的弦所在直线的方程； （2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程． 【解析】（1）设弦的端点，， 可得：， ， 相减可得：， 把，， 代入可得： ． ∴以为中点的弦所在直线的方程为：，化为： ． （2）设直线方程为：，弦的端点， ，中点． 联立，化为 ， ，化为： ， ∴，化为： ． 得， ∴ 考点三 由方程研究曲线的图像与性质 题型08：由方程研究曲线的图形 【例21】（23-24高二上·上海·课后作业）画出下列方程相应的曲线图形． (1)； (2)． 【答案】(1)图形见解析 (2)图形见解析 【分析】（1）（2）首先将方程变形，即可得到方程表示的为两条直线，从而画出图形. 【详解】（1）因为，则，所以或， 即方程表示两条直线和， 图形如下所示：    （2）因为，所以， 所以或 即方程表示两条直线和， 图形如下所示：    【例22】（2023华师大二附中高二期末）设方程表示的曲线是（    ） A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线 C．一个圆 D．一条直线 【答案】D 【分析】先化简题给方程，即可得到其表示的曲线为一条直线. 【详解】由，可得， 则由，可得， 则方程表示的曲线是一条直线. 故选：D 【例23】（2014上海向明中学高三练习）方程表示的曲线是（　　） A．—个圆 B．两个圆 C．一个半圆 D．两个半圆 【答案】D 【分析】方程可化为，去绝对值分，两种情况解决即可. 【详解】方程可化为， 因为， 所以或， 若时，则方程为； 若时，则方程为， 故选：D 【例24】（2025上海中学模拟）关于曲线下列说法：①关于点对称；②关于直线轴对称；③关于直线对称；④曲线是封闭图形，面积小于；⑤曲线是封闭图形，面积大于；⑥曲线不是封闭图形无法计算面积.其中正确的序号（    ） A．①②⑥ B．①②⑤ C．①②④ D．②③⑥ 【答案】B 【分析】将、和代入曲线方程可确定①②③的正误；根据的范围，结合当时，可确定曲线围成封闭图形的面积大于圆的面积，知④⑤⑥正误. 【详解】对于①，将代入曲线方程得：， 曲线关于点对称，①正确； 对于②，将代入曲线方程得：， 曲线关于直线轴对称，②正确； 对于③，将代入曲线方程得：，与曲线方程不同， 曲线不关于直线对称，③错误； 对于④⑤⑥，由知：，，则曲线为封闭图形； 在曲线上取一点， 当时，，，即点在圆外， 曲线围成封闭图形的面积大于圆的面积，⑤正确，④⑥错误. 故选：B. 题型09：由方程研究曲线的性质 1、 伯努利双纽线 1694年，瑞士数学家雅各布·伯努就开始对双纽线进行了研究，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理，他把椭圆定义稍作改动，这样定义双妞线：把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线. 双纽线像数字“8”,也像是无穷大符号“”，这两个定点叫做双妞线的焦点，两焦点间的距离叫做双妞线的焦距。 伯努利双纽线及标准方程： 双纽线简单几何性质 （1）范围：x,y] （2）对称性：关于轴、轴、原点对称，坐标轴是双纽线的对称轴，原点是双纽线的对称中心。 （3）顶点：双纽线与y轴有一个交点（0，0），与x轴有三个交点(0,0),(- ,0),(0, （4）焦点三角形:面积最大值为： ,周长的范围为[4c,2c+2c] （5）距离：双纽线任一点到原点的距离的最大值为 不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素.近年来备受考试关注： 【例25】双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是双纽线上一点，下列说法中正确的有（ ） ①双纽线经过原点； ②双纽线关于原点中心对称； ③； ④双纽线上满足的点有两个. A．①② B．①②③ C．②③ D．②③④ 6．B 【分析】设动点，由已知得到动点的轨迹方程，原点代入轨迹方程，显然成立；把关于原点对称的点代入轨迹方程，显然成立；由图知双纽线最高（低）点是轨迹方程与圆相交位置，两方程联解可得成立，由图知双纽线上满足的点有一个. 【解析】 设动点，由已知得到动点的轨迹方程 化简得，原点代入入轨迹方程，①显然成立；把关于原点对称的点代入轨迹方程，②显然成立； 因为双纽线最高（低）点是轨迹方程与圆相交位置 两方程联解得成立，，③成立； 由图知双纽线上满足的点有一个，④不成立. 故选：B 【点评】本题考查直接法求动点轨迹方程. 直接法求轨迹方程的思路：直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性． 【例26】双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.伯努利将这种曲线称为lemniscate，为拉丁文中“悬挂的丝带”之意.双纽线在数学曲线领域的地位占有至关重要的地位.双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线是双纽线，则下列结论不正确的是（ ） A．曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） B．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2 C．曲线关于直线对称的曲线方程为 D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 【答案】．A 【解析】解：对于A，令，解得：或或，当时，无解.所以曲线C经过整点（2，0），（﹣2，0），（0，0），故A错； 对于B，根据曲线C：（x2+y2）2＝4（x2﹣y2），可知22≥x2+y2，所以双曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2，故B正确； 对于C，曲线方程中x，y互换可得曲线C关于直线y＝x对称的曲线方程为（x2+y2）2＝4（y2﹣x2），故C正确； 对于D，据据曲线C：（x2+y2）2＝4（x2﹣y2），可知x2≥y2，可得若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），故D正确； 故选：A． 【例27】数学中的很多符号具有简洁､对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素.如我们熟悉的符号，我们把形状类似的曲线称为“曲线”.经研究发现，在平面直角坐标系xOy中，到定点，距离之积等于的点的轨迹C是“曲线”.若点是轨迹C上一点，则下列说法中正确的有（ ） A．曲线C关于原点O中心对称； B．x的取值范围是； C．曲线C上有且仅有一个点P满足； D．的最大值为. AC【分析】求出轨迹的方程，由方程确定曲线的性质，再判断各选项． 【解析】设，由题意有， 化简得， 用替换，替换，方程不变，所以曲线关于原点成中心对称，A正确； 令代入方程成立，即是曲线的一点，，B错； 满足的点在线段的垂直平分上，由，得，所以曲线上只有一点满足，C正确； 令，代入方程得，即，这是曲线的极坐标方程， 显然的最大值为，所以的最大值为，D错， 故选：AC． 【点评】 本题考查利用曲线方程研究曲线的性质．解题方法是通过点的坐标求出曲线方程，然后利用曲线方程研究曲线的性质． 【例28】数学中的很多符号具有简洁､对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素.如我们熟悉的符号，我们把形状类似的曲线称为“曲线”.经研究发现，在平面直角坐标系xOy中，到定点，距离之积等于的点的轨迹C是“曲线”.若点是轨迹C上一点，则下列说法中正确的有（ ） A．曲线C关于原点O中心对称； B．x的取值范围是； C．曲线C上有且仅有一个点P满足； D．的最大值为. 14．AC【分析】求出轨迹的方程，由方程确定曲线的性质，再判断各选项． 【解析】设，由题意有， 化简得， 用替换，替换，方程不变，所以曲线关于原点成中心对称，A正确； 令代入方程成立，即是曲线的一点，，B错； 满足的点在线段的垂直平分上，由，得，所以曲线上只有一点满足，C正确； 令，代入方程得，即，这是曲线的极坐标方程， 显然的最大值为，所以的最大值为，D错， 故选：AC． 【点评】 本题考查利用曲线方程研究曲线的性质．解题方法是通过点的坐标求出曲线方程，然后利用曲线方程研究曲线的性质． 2、 卡西尼卵形线 一般地，我们把到定点，距离之积等于常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线. 1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这两个定点叫做卡西尼卵形线的焦点，两焦点间的距离叫做卡西尼卵形线的焦距。 卡西尼卵形线标准方程： =- 卡西尼卵形线简单几何性质 （1）范围：-+ （2）对称性：关于轴、轴、原点对称，坐标轴是卡西尼卵形线的对称轴，原点是卡西尼卵形线的对称中心。 （3）顶点： （4）焦点三角形的面积不大于 （5）离心率： 【例29】曲线为：到两定点、距离乘积为常数的动点的轨迹.以下结论正确的个数为 （1）曲线一定经过原点； （2）曲线关于轴、轴对称； （3）的面积不大于； （4）曲线在一个面积为的矩形范围内. A． B． C． D． 7．C 【分析】设点的坐标为，求出点的坐标所满足的等式，分析命题（1）（2）的正误，利用余弦定理和三角形的面积公式，结合基本不等式分析出命题（3）（4）的正误. 【解析】设点的坐标为，由题意可得. 对于命题（1），将原点坐标代入方程得，所以，命题（1）错误； 对于命题（2），点关于轴、轴的对称点分别为、， ， ， 则点、都在曲线上，所以，曲线关于轴、轴对称，命题（2）正确；对于命题（3），设，，，则， 由余弦定理得， 当且仅当时等号成立，则为锐角，所以，， 则的面积为，命题（3）正确； 对于命题（4），， 可得，得，解得， 由（3）知，，得， 曲线在一个面积为的矩形内，命题（4）正确. 因此，正确的命题序号为（2）（3）（4）. 故选C. 【点评】本题考查曲线的性质，求出轨迹方程是解题的关键，可抓住一些关键点进行分析，考查推理能力，属于难题. 【例30】曲线C是平面内与两个定点的距离的积等于的点P的轨迹，给出下列四个结论： ①曲线C关于坐标轴对称； ②周长的最小值为； ③点P到y轴距离的最大值为； ④点P到原点距离的最小值为． 其中所有正确结论的序号是__________． ．①②④. 【分析】由题意得到方程，结合对称性的判定方法，可判定①正确；设，得到，结合基本不等式，可判定②正确；过点作，求得的最大面积为，结合面积相等，可判定③不正确；化简，结合不等式，可判定④是正确的. 【解析】由题意，曲线C是平面内与两个定点的距离的积等于， 可得，即， 用代换，或代换方程不变，所以曲线关于坐标轴对称，所以①正确； 设，可得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以周长的最小值为，所以②正确； 过点作，则， 当且仅当时，等号成立， 当时，取得最大值， 所以的最大面积为， 又由，解得，即点到轴的最大距离为， 所以③不正确； 由 ， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以，所以，可得， 所以④是正确的. 故答案为：①②④. 【点评】方法技巧：根据题设条件得到，令和，得到，结合基本不等式求解是解答的关键. 【例31】平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标第中，、，动点P满足|PM||PN|=5,则下列结论正确的是（） A.点P的横坐标的取值范围是[-,] B. |OP|的取值范围是[1,3] C．PMN面积的最大值是 D．|PM|+|PN|的取值范围是[2,5] 3、四叶玫瑰线与类四叶玫瑰线 【例32】（2022·上海·华师大二附中高二期末）数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，-些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物.曲线C：为四叶玫瑰线. ①方程 (xy<0)表示的曲线在第二和第四象限； ②曲线C上任一点到坐标原点0的距离都不超过2； ③曲线C构成的四叶玫瑰线面积大于4π； ④曲线C上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点). 则上述结论中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 对于①，由判断，对于②，利用基本不等式可判断，对于③，以为圆心，2为半径的圆的面积与曲线围成的面积进行比较即可，对于④，将和联立，求解出两曲线的切点，从而可判断 【详解】 对于①，由，得异号，方程 (xy<0)关于原点及y=x对称， 所以方程 (xy<0)表示的曲线在第二和第四象限，所以①正确， 对于②，因为，所以，所以，所以，所以由曲线的对称性可知曲线C上任一点到坐标原点0的距离都不超过2，所以②正确， 对于③，由②可知曲线C上到原点的距离不超过2，而以为圆心，2为半径的圆的面积为，所以曲线C构成的四叶玫瑰线面积小于4π，所以③错误， 对于④，将和联立，解得，所以可得圆与曲线C相切于点，，，，而点（1，1）不满足曲线方程，所以曲线在第一象限不经过任何整数点，由曲线的对称性可知曲线在其它象限也不经过任何整数点，所以曲线C上只有1个整点（0，0），所以④错误， 故选：B 【例33】数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，如图：四叶草曲线就是其中一种，其方程为.给出下列四个结论： ①曲线有四条对称轴； ②曲线上的点到原点的最大距离为； ③在第一象限内，过曲线上一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为； ④四叶草面积小于. 其中，所有正确结论的序号是___________. 14．①③④ 【解析】①；以代，不变代入方程中得，， 所以图形关于纵轴对称； 以代，不变代入方程中得，，所以图形关于横轴对称； 以代，以代代入方程中得：，所以图象关于直线对称； 以代，以代代入方程中得： ，所以图象关于直线对称，因此图象有四个对称轴，故结论正确； ②：由对称轴性不妨设四叶草曲线与直线在第一象限的交点为， ， 所以曲线上的点到原点的最大距离为，故本结论不正确； ③：在第一象限内，设曲线上一点， 因为，所以（当且仅当时，取等号），所以本结论正确； ④：通过②可知：四叶草曲线在以原点为圆心半径为的圆内及圆上，所以四叶草的面积小于圆的面积，故本结论正确， 故答案为：①③④ 【例34】在数学中有这样形状的曲线：.关于这种曲线，有以下结论： ①曲线恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线上任意两点之间的距离都不超过2； ③曲线所围成的“花瓣”形状区域的面积大于5. 其中正确的结论有：（ ） A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 5．A 【分析】分类讨论去绝对值，可得曲线方程，从而可得曲线图像，最后可对命题进行判断. 【解析】 如图，图象由四个圆的部分图像和原点组成，且四个圆都可过原点， ①曲线中，， 经过的整点有：，，，，，，，，共9个，命题①正确； ②如图，曲线上任意两点距离范围为，即两点距离范围为，命题②错误； ③曲线所围成的“花瓣”形状区域可看成四个半圆和一个正方形组成，设它的面积为， ，命题③正确. 故选：A. 【点评】本题考查曲线与方程相关知识，通过曲线方程得出曲线图像，再经过计算判断命题是否正确，考查分类讨论思想、数形结合思想和运算求解能力，是难题. 【例35】已知曲线的方程是，则下列结论正确的是（ ） A．曲线与两坐标轴有公共点 B．曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形 C．若点在曲线上，则的最大值是 D．曲线围成的面积为 16．BCD【分析】对绝对值里面的正负分类讨论求出方程，作出图象，即可判定A错误，B正确，结合对称性判断C选项，根据图形特征计算面积. 【解析】解：当，时，方程， 当，时，方程， 当，时，方程， 当，时，方程， 作出图象： 由于，，所以A错误. 曲线既是中心对称，又是轴对称图形， 对称中心为，对称轴为轴，B正确. 点，在曲线上，当且仅当，与圆弧所在的圆心共线时取得最大值， 的最大值为圆心距加两个半径，C正确. 在当，时，与坐标轴的交点和平分圆， 故第一象限的面积为，故总的面积为. 【例36】在平面直角坐标系xOy中，为曲线上一点，则（ ） A．曲线C关于原点对称 B． C．曲线C围成的区域面积小于18 D．P到点的最近距离为 12．ACD 【分析】当，时，曲线为，根据点，，都在曲线上，可得曲线图象关于轴，轴和原点对称，作出其图象，即可判断四个选项的正确性，即可得正确答案. 【解析】当，时，曲线即， 将中心平移到位于第一象限的部分； 因为点，，都在曲线上，所以曲线图象关于轴，轴和原点对称，作出图象如图所示： 对于选项A：由图知曲线C关于原点对称，故选项A正确； 对于选项B：令中可得，向右平移一个单位可得横坐标为，根据对称性可知 ，故选项B不正确； 对于选项C：令中可得，向上平移个可得纵坐标最大值为， 曲线C第一象限的部分被包围在矩形内，矩形面积为，所以曲线C围成的区域面积小于，故选项C正确； 对于选项D：令中，可得，所以到点的最近距离为，故选项D正确， 故选：ACD 【点评】关键点点睛：本题解题的关键是去绝对值得出曲线在第一象限的图象，根据对称性可得曲线C的图象，数形结合、由图象研究曲线的性质. 【例37】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列三个结论： ①曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线上任意一点到原点的距离都不超过. ③曲线所围成的“花形”区域的面积小于4. 其中，所有正确结论的序号是_______. 23．② 【分析】①利用均值不等式，得到，结合x,y均为整数，即得解； ②由于，故，故得解； ③构造，得到，同理有，即第一象限部分图像应在y=1,x=1与坐标轴围成的正方形外部，分析易得解. 【解析】①，要使得x,y均为整数，只能取-1,0,1三个数，则可得整数点有8个：，故①不正确； ②由于，故，故曲线上任意一点到原点的距离都不超过，正确； ③令 记函数，所以函数有两个零点， 又因为，故两个零点一个小于0，一个大于1，即曲线上，同理有 即第一象限部分图像应在y=1,x=1与坐标轴围成的正方形外部，根据图像对称性可得面积大于4，故不正确. 故答案为：② 【点评】本题考查了利用方程研究曲线的性质，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题. 4、心形线 【例38】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）.曲线上任意一点到原点的距离的最大值为（ ） A．1 B． C． D．2 7．B 【解析】∵图形关于y轴对称，∴只考虑的情况，此时曲线，曲线C上任意一点到原点距离. 当x=0时，,∴； 当时，， ∴曲线C上任意一点到原点距离的最大值为. 故选：B. 【例39】（2024上海奉贤区致远高级中学高二期末）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列三个结论： ①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过； ③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3； 其中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①② 【分析】 先根据图像的对称性找出整点，再判断是否还有其他的整点在曲线上；找出曲线上离原点距离最大的点的区域，再由基本不等式得到最大值不超过；在心形区域内找到一个内接多边形，该多边形的面积等于3，从而判断出“心形”区域的面积大于3. 【详解】 ①:由于曲线， 当时，； 当时，； 当时，； 由于图形的对称性可知，没有其他的整点在曲线上， 故曲线恰好经过6个整点： ,,,,,,所以①正确； ②:由图知，到原点距离的最大值是在时， 由基本不等式，当时，， 所以即，所以②正确； ③:由①知长方形CDFE的面积为2，三角形BCE的面积为1，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误； 故答案为：①②. 【点睛】 找准图形的关键信息，比如对称性，整点，内接多边形是解决本题的关键. 5、其它曲线与方程 【例40】已知曲线，则不正确的是（    ） A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．关于直线对称 D．为的一个顶点 【答案】B 【分析】用轴对称和点对称的定义逐一判断即可. 【详解】A:用和替换方程中的和，化简后方程不变，故曲线E关于原点对称，故A正确； B：用替换方程中的y，方程变为，与原方程不同，故E不关于轴对称，故B错误； C：用y替换方程中的x，同时用x替换方程中的y，方程不变，故E关于直线对称，故C正确； D：用替换y，同时用替换x，方程不变，故E关于直线对称， 联立，解得或, 由顶点的定义知，是E的一个顶点，故D正确. 故选：B. 【例41】（23-24高二上·北京西城·阶段练习）曲线C是平面内与定点和定直线的距离的积等于4的点的轨迹，给出下列四个命题： ①曲线C过坐标原点； ②曲线C关于x轴对称； ③曲线C与y轴有3个交点； ④若点M在曲线C上，则的最小值是； 其中，所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④． 【分析】将所求点用直接表示出来，然后根据条件列出方程即可求出轨迹方程，然后根据方程研究性质即可求解①②③，利用消元法，然后利用函数的单调性求最值即可判断④． 【详解】设动点的坐标为， 曲线是平面内与定点和定直线的距离的积等于4的点的轨迹， ， 当时，，曲线过坐标原点，故①正确； 将中的用代入该等式不变， 曲线关于轴对称，故②正确； 令时，，故曲线与轴只有1个交点，故③不正确； ， ，解得， 若点在曲线上，则，故④正确． 故答案为：①②④． 【例42】（2021·上海浦东新期中）关于曲线，则以下结论正确的序号是____________． ①曲线关于原点对称； ②曲线中； ③曲线不是封闭图形，且它与圆无公共点； ④曲线与曲线有4个交点，这4点构成正方形． 【答案】①③ 【分析】 对于①，判断点是否都在曲线上即可，对于②，解不等式即可判断，对于③，由②求出的的范围，判断是否是封闭图形，与联立方程判断方程组否是有解，从而可判断两曲线有无公共点，对于④，由对称性判断即可 【详解】 解：对于①，在曲线中，以代替，以代替，方程不变，所以曲线关于原点对称，所以①正确 ， 对于②，由，得，解得或，同理可得或，所以②错误， 对于③，由②可知曲线不是封闭图形，由，得，因为，所以方程无解，所以曲线与圆无公共点，所以③正确， 对于④，假设曲线与曲线有4个交点，这4点构成正方形，则由对称性可知，第一象限的交点必在直线上，则由，解得此点的坐标为，而此点坐标不满足曲线，所以这样的正方形不存在，所以④错误， 故答案为：①③ 【例43】（2025上海·闵行中学高三期中）若动点P在方程所表示曲线C上，则以下结论正确的是（ ） ①曲线C关于原点成中心对称图形； ②曲线C与两坐标轴围成的面积为； ③曲线C总长为； ④动点P与点的连线斜率的取值范围是． A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】 依题意可得，再对分类讨论，即可得到曲线的图象，结合图象即可判断①、②、③，再根据直线与圆相切求出斜率的值，从而判断④； 【详解】 解：因为，且，，所以，当，即或，当时，当时，，当时，将等式两边同时平方整理得， 所以曲线的图象如下所示： 由图可知曲线C关于原点成中心对称图形，曲线C与两坐标轴围成的面积为，曲线C总长为，故①、②、③均正确； 对于④，如图设过点的直线恰与圆相切的直线的斜率为，切线方程为，即，所以，解得，且，，所以动点P与点的连线斜率的取值范围是，故④错误； 故选：B 【例44】（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知曲线的方程为，下列说法中正确的序号是 . ①无论取何值，曲线都关于原点中心对称； ②无论取何值，曲线关于直线和对称； ③存在唯一的实数使得曲线表示两条直线； ④当时，曲线上任意两点间距离的最大值为. 【答案】①②④ 【分析】①将曲线上任意一点关于原点的对称点坐标代入，看是否满足方程即可；②将曲线上任意一点关于直线的对称点坐标代入，看是否满足方程即可；③由联想完全平方与平方差公式，可得情况，将二次式变形为两个一次因式的乘积为的形式，验证可知；④当时，结合曲线对称性分类研究曲线上任意一点到原点的距离范围，再转化为两点间距离的最大值即可. 【详解】①设曲线上任意一点，则成立. 由， 得点关于原点的对称点也在曲线上. 故无论取何值，曲线都关于原点中心对称，①正确； ②设曲线上任意一点，则成立. 由， 得点关于的对称点也在曲线上. 又， 即点关于的对称点也在曲线上. 故无论取何值，曲线关于直线和对称，②正确； ③当时，曲线方程为， 方程可变形为， 即曲线表示两条直线，或； 当时，曲线方程为， 方程可变形为， 即曲线表示两条直线，或， 故使得曲线表示两条直线的实数不唯一，故③不正确； ④当时，， 设曲线上任意一点， 当时，则， 即， 当时，则， 即，即， 由①所得曲线关于原点对称性可知， 当时，； 当时，. 综上，对于曲线上任意一点，都有， 即曲线上任意两点间距离小于或等于圆的直径， 又存在两点两点都在曲线上，且， 故曲线上任意两点间距离最大值为，故④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】结论点睛：从方程数的形式研究曲线的对称性，关键在于设出曲线上任意一点，求解其对称点，将坐标代入验证方程是否仍然成立.常用两点的对称关系有： （1）和关于轴对称； （2）和关于轴对称； （3）和关于原点对称； （4）和关于直线对称； （5）和关于直线对称. 考点四 参数方程及应用 题型10：参数方程与普通方程互化 【例45】参数方程，化为普通方程为 ． 【答案】 【分析】利用消去参数，并求出的取值范围，即可求得普通方程. 【解析】由，得，又由，得， 得，，化简得， 又当时，，所以， 综上，得参数方程的普通方程为. 故答案为：. 【例46】已知直线的参数方程为，请写出的一个方向向量 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】消去参数得到的普通方程，再根据方向向量的概念求解即可. 【解析】由消去参数，得直线的普通方程为， 所以直线的斜率为， 故的一个方向向量为(均正确)， 故答案为：（答案不唯一） 【例47】已知圆的圆心为，则点到直线（为参数）的距离为 . 【答案】 【分析】根据圆的方程确定圆心，再将直线的参数方程转化为普通方程，根据点到直线距离公式直接计算. 【解析】圆的圆心为， 直线，消参可得， 故圆心到直线的距离， 故答案为：. 【例48】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中是参数，），则曲线的直角坐标方程为 . 【答案】. 【分析】由题意可得，由可得，再由，即可得答案. 【解析】解：因为， 所以， 又因为， 所以， 又因为， 所以， 所以曲线的直角坐标方程为. 故答案为：. 【例49】已知参数方程（t为参数），则该方程的普通方程为 . 【答案】 【分析】首先将原式子变形为（t为参数），根据 得到，由三角函数有界性得到方程为：. 【解析】已知参数方程（t为参数）， 将原式变形得到：（t为参数）， 根据 得到 故方程为： 故答案为：. 题型11：参数方程的综合应用 【例50】若点在曲线上,且不等式恒成立,则的取值范围是 . 【答案】 【分析】不等式恒成立,即恒成立,取,可知在曲线上,代入,利用辅助角公式即可求得最大值,求出范围. 【解析】解:由题知不等式恒成立, 即恒成立, 只需即可, 因为在曲线上, 取,, 即, 所以 , 当时等式成立, 故, 即. 故答案为: 【例51】椭圆上的任意一点（除短轴的两个端点外）与短轴的两个端点的连线分别交轴于点和点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，求出直线的方程，令得可得点坐标，求出直线的方程，令得可得点坐标，求出利用基本不等式可得答案. 【解析】设，，， 直线的方程为，令，得， 所以， 直线的方程为，令，得， 所以， 所以， 由基本不等式，， 当且仅当即，为长轴端点时取等号. 故答案为：. 【例52】已知椭圆为参数，，的焦点分别、，点为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为．若，则椭圆的普通方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由椭圆的焦点坐标可得，即可得，结合椭圆的性质可得、的长，分析可得的坐标，进而可得，两式联立解可得、的值，即可得答案． 【解析】解：根据题意，椭圆为参数，，，其普通方程为， 若其焦点分别、，则，则有，① 点为椭圆的上顶点，则的坐标为， 又由，而，则，， 又由，且、、三点共线，则的坐标为， 又由，则有，② 联立①②，解可得：，； 故椭圆的方程为； 故答案为：． 【例53】已知曲线参数方程为（为参数），直线方程为：，将曲线横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位，得到曲线，则曲线上的点到直线距离的最小值为 . 【答案】 【分析】根据坐标变换求出曲线的直角坐标方程后，利用其参数方程设点，根据点到直线的距离公式以及三角函数的性质可得． 【解析】解：曲线 消去参数后得到，将曲线的横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位，得到曲线，即， 设上的点，则点到直线的距离， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查参数方程化成普通方程，考查图象变换，属于中档题． 【例54】已知曲线上一动点，曲线与直线交于点，则的最大值是 . 【答案】 【解析】先计算出交点的坐标，设出点的参数形式，利用向量的数量积运算，将其表示为关于的函数，再求函数的最大值即可. 【解析】因为曲线与直线交于点，故令，又因为，解得， 故可得，则点的坐标为. 设点， 则     ，其中 又因为，故，则 故 . 故答案为：. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，以及参数方程的应用，属综合基础题. 1．(2024全国高考甲卷）在平面直角坐标系中，到两个点和的距离之积等于4的轨迹记作曲线，对于曲线及其上一点P，有下列四个结论： ①曲线关于x轴对称； ②曲线上有且仅有一点P，满足； ③曲线上所有的点的横坐标，纵坐标； ④的取值范围是． 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】求出曲线的方程，在曲线任取一点，再判断点关于x轴对称的点是否在曲线上即可判断①；若，则点在轴上，令即可判断②；根据曲线方程化简计算即可判断③；结合基本不等式即可判断④. 【解析】设曲线上的点的坐标为， 则，即， 化简得， 所以曲线的方程为， 对于①，在曲线任取一点，则点关于x轴对称的点， 因为， 所以点在曲线上， 所以曲线关于x轴对称，故①正确； 对于②， 若，则点在线段的中垂线上，即轴上， 在中， 令，则，解得， 所以曲线与轴只有原点这一个交点， 所以曲线上有且仅有一点P，满足，故②正确； 对于③，由， 即，解得， 所以曲线上所有的点的横坐标， 由，得， 所以， 令，则， 故，所以， 所以曲线上所有的点的纵坐标，故③正确； 对于④，设，则， 故 ， 当且仅当，即时，取等号， 所以当点的坐标为时，取得最小值，故④错误. 故答案为：①②③. 2．（2023•上海）已知，是曲线上两点，若存在点，使得曲线上任意一点都存在使得，则称曲线是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则　　 A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【分析】根据定义结合图象，验证是否恒成立即可． 【解答】解：椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的点，使得成立，故①正确， 在双曲线中，，，当时，点不存在； 当，时，， 但当，此时，这与矛盾，故②错误． 故选：． 【点评】本题主要考查与曲线方程有关的新定义，根据条件结合图象验证是否成立是解决本题的关键，是中档题． 3．（2020•上海）已知椭圆，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹是　　 A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线 【分析】利用已知条件判断轨迹是双曲线，或利用求解轨迹方程，推出结果即可． 【解答】解：，，判断轨迹为上下两支，即选双曲线， 设，， 所以， 因为，，消去可得：， 故选：． 【点评】本题考查轨迹方程的求法与判断，是基本知识的考查，基础题． 4．（2021•浙江）已知，，，函数．若，，成等比数列，则平面上点的轨迹是　　 A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线 【解析】函数，因为，，成等比数列， 则，即， 即， 整理可得， 因为，故，即， 所以或， 当时，点的轨迹是直线； 当，即，因为，故点的轨迹是双曲线． 综上所述，平面上点的轨迹是直线或双曲线． 故选：． 5．（2020山东高考）关于曲线：，： ①曲线关于x轴、y轴和原点对称； ②当时，两曲线共有四个交点； ③当时，曲线围成的区域面积大于曲线所围成的区域面积； ④当时，曲线对围成的平面区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是3． 上述结论中所有正确命题的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】①将点、、判断方程是否仍为即可；②联立曲线方程求得或，进而求交点个数；③④由曲线是圆心为原点，半径为m的圆，利用二次函数性质求曲线上任意一点到原点距离的范围，结合对称性即可判断. 【解析】①由点在上， 对于点，代入方程，也在上； 对于点，代入方程，也在上； 对于点，代入方程，也在上； 所以曲线关于x轴、y轴和原点对称，对； ②当时，，， 联立可得，即或， 当时，都有，即存在交点； 当时，都有，即存在交点； 综上，共有四个交点，对； ③当时，对于曲线是圆心为原点，半径为m的圆， 对于曲线，有，即， 所以曲线上任意一点到原点距离， 由，结合二次函数的性质知时，即恒成立， 所以曲线面积更大，错； ④当时，则，故，可得， 曲线上任意一点到原点距离，当时， 结合对称性知：曲线对围成的平面区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是3，对. 故选：①②④ 【点睛】关键点点睛：对于③④，在利用二次函数性质求曲线上任意一点到原点距离的最值或范围为关键. 6．（2022北京高考）对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作．下列结论中正确的是 ． ①若曲线是一个点，则点集所表示的图形的面积为； ②若曲线是一个半径为的圆，则点集所表示的图形的面积为； ③若曲线是一个长度为的线段，则点集所表示的图形的面积为； ④若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为． 【答案】①③④ 【分析】根据题中定义分析出①②③④中点集构成的区域，计算出相应图形的面积，即可得出结论. 【解析】设点， 对于①，若曲线表示点，则， 化简可得， 所以，点集所表示的图形是以点为圆心，半径为的圆及其内部， 所以，点集所表示的图形的面积为，①对； 对于②，若曲线表示以点为圆心，半径为的圆， 设为曲线上一点，当点在曲线内时， ， 当且仅当、、三点共线时，等号成立， 所以，，可得，此时； 当点在曲线外时，， 当且仅当、、三点共线时，等号成立， 所以，，可得，此时， 当点在曲线上时，线段的长不存在最小值， 综上所述，或， 即或 所以，点集所表示的图形是夹在圆和 圆的区域（但不包括圆的圆周）， 此时，点集所表示的图形的面积为，②错；    对于③，不妨设点曲线为线段，且， 当点与点重合时，由①可知，则点集表示的是以点为圆心，半径为的圆， 当点与点重合时，则点集表示的是以点为圆心，半径为的圆， 故当点在线段上滑动时，点集表示的区域是一个边长为的正方形和两个半径为的半圆所围成的区域，    此时，点集的面积为，③对； 对于④，若曲线是边长为的等边三角形，设等边三角形为， 因为，，则，    由③可知，点集构成的区域由矩形、、， 以及分别由点、、为圆心，半径为，圆心角为的三段圆弧， 和夹在等边三角形和等边三角形中间的部分（包括边界）， 因此，且，，则， 所以，点集所表示的图形的面积为，④对. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于分析出点集所表示的区域，并作出其图形，计算其面积即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $