专题05：二次函数和幂函数（5大考点+15大题型）讲义-2026届高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题05 二次函数和幂函数 知识点一、幂函数的定义 1、定义：一般地，_______________的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①_________； ②_________________； ③________________. 知识点二、幂函数的图象和性质 1、常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 2、形如y＝x或y＝x－(m(m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断 形如y＝x或y＝x－(m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断：当_______________时，幂函数在定义域上为奇函数；当________时，幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当________时，幂函数在定义域上为偶函数. 知识点三、二次函数及其应用 1、二次函数解析式的三种形式 ①一般式：； ②顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. ③零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 2、二次函数的图象与性质：二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性 3、一元二次方程的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）________（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 3、二次函数在闭区间上的最值问题 二次函数在闭区间上的最值：二次函数在闭区间上必有最大值和最小值. 它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值. 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：_______、________、_________. 不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍. 4、有关二次函数的问题，关键是利用图像. （1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论. （2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负. 考点一 幂函数的定义 题型01：求幂函数的解析式 【名师点拨】判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为（是常数）的形式，即满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1．只有同时满足这三个条件的函数才是幂函数，对于形如等函数都不是幂函数。 【例1】（2022宝山二模）若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为　　． 【跟踪训练】 1．若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为f（x）＝　　． 2．（2024•崇明区二模）已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，4），则f（3）＝　　． 题型02：幂函数的定义域和值域 【名师点拨】确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的. 【例2】(2024普陀区一模）已知幂函数f（x）＝xα满足f （3），则该幂函数的定义域为　　． 【例3】（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 【跟踪训练】 1．求函数y的定义域和值域． 2.（2024上海高三阶段练习）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（    ） A． B． C． D． 考点二 幂函数的图象及应用 题型03：依据图象高低判定幂指数大小 【例4】（2025上师大附中高三阶段练习）若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　) A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c 【跟踪训练】 1．（2025七宝中学高三阶段练习）如图是幂函数（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，，，已知它们具有性质： ①都经过点（0，0）和（1，1）；     ②在第一象限都是增函数． 请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________． 2．（2024上海高三阶段练习）幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 题型04：图象的识别 【例5】（2025延安中学高三阶段练习）已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（       ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 【跟踪训练】 1．（2025奉贤中学高三开学考试）函数的图像大致为（　　） A．B．C． D． 考点三 幂函数的性质及其应用 题型05：由幂函数的单调性求参数 【名师点拨】依据当α＞0时，幂函数f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递增； 当α＜0时，幂函数f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递减． 【例6】（2025金山中学高三期中）已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（    ） A． B．或 C． D． 【例7】（2025上师大附中高三阶段练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（       ） A． B．0或2 C．0 D．2 【跟踪训练】 1．（2023秋·高三课时练习）幂函数在上单调递减，则实数的值为_______ 2．（2023春上海高三校考阶段练习）已知幂函数在上单调递增． (1)求m的值及函数的解析式； (2)若函数在上的最大值为3，求实数a的值． 题型06：由幂函数的单调性解不等式 【例8】（2025复旦附中高三阶段练习）已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______． 【跟踪训练】 1．（2024上海高三阶段练习）若，试求的取值范围. 2．（2024上海高三阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型07：由幂函数的单调性比较大小 【例9】（2023·天津·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．已知幂函数的图象过点．设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型08：幂函数奇偶性的应用 【名师点拨】为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数. 【例10】（2025上海市第二中学高三期中）幂函数是偶函数，则________ 【例11】（2024上海高三阶段练习）下列函数中，值域是且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2024上海高三阶段练习）已知幂函数为偶函数，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．1或2 2．（2024上海高三阶段练习）若幂函数的图像关于y轴对称，则实数______． 3．（2024上海高三阶段练习）设，则使函数的定义域为，且该函数为奇函数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．、或 题型9：幂函数性质的综合应用 【例12】（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（       ） A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 【例13】（2022杨浦二模）下列函数中，既是偶函数，又在区间上严格递减的是（ ） A. B. C. D. 【跟踪训练】 1．（2024上海高三阶段练习）已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则__________. 2．（2024上海高三阶段练习）“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 3．（2024上海高三阶段练习）已知幂函数在区间上是减函数． (1)求函数的解析式； (2)讨论函数的奇偶性和单调性； (3)求函数的值域． 考点四 幂函数的综合问题 题型10：幂函数的综合题 【名师点拨】解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 【例14】（2024上海高三阶段练习）已知幂函数在上单调递增，函数，，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（2024上海高三阶段练习）已知函数． (1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 2．（2024上海高三阶段练习）已知函数， （1）当时，求的值域； （2）若对，成立，求实数的取值范围； （3）若对，，使得成立，求实数的取值范围． 考点五 二次函数的图象与性质 题型11：二次函数的图象 【例15】（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）函数，且与函数在同一坐标系内的图象不可能的是（    ） A．B．C． D． 【跟踪训练】 1．（2024上海高三阶段练习）在下列四个图形中，二次函数与指数函数的图象不可能是（    ） A．B．C． D． 2．（2024上海高三阶段练习）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是（    ） A．B．C．D． 题型12：二次函数的单调性 【例16】（2024上海高三阶段练习）“函数在区间上不单调”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练】 1．（2024上海高三阶段练习）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围________. 2．（2024上海高三阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B．C． D． 题型13：二次函数在闭区间上的最值 【名师点拨】“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 【例17】（2023·江西·统考模拟预测）已知函数. (1)求函数在区间上的最大值； (2)若为整数，且关于的不等式恒成立，求整数的最小值. 【跟踪训练】 1．（2024上海高三阶段练习）已知函数． (1)若，求的最大值； (2)若的最大值为，求的最小值． 题型14：二次方程根的分布 【名师点拨】结合二次函数的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围. 【例18】（2022·重庆·模拟预测）已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【例19】（2022·黑龙江）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2023春·河北保定·高三河北省唐县第二中学校考阶段练习）若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024上海高三阶段练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______． 3．（2024上海高三阶段练习）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型15：二次函数中的恒成立问题 【例20】（2024上海高三阶段练习）已知为正的常数，若不等式对一切非负实数恒成立，则的最大值为________. 【跟踪训练】 1．（2024上海高三阶段练习）已知二次函数（a，且），． (1)若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间； (2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围． 1． （2025上海春季高考）已知幂函数y=在（0，+上是严格减函数，且经过点（-1，-1），则的值可能是（ ） A.- B. - C. D.3 2.（2024年上海市高考数学第2题）已知则 ． 3.(2024年上海市高考数学第4题)已知，，且是奇函数，则 ． 4．（2024上 海春季高考）已知，求g（x）≤2﹣x的x的取值范围 　　． 5．（2022·上海数学春考））下列幂函数中，定义域为R的是（　　） A． B． C． D． 6．（2021•新高考Ⅰ）已知函数是偶函数，则　　． 7．（2023•上海）已知，，函数． （1）若，求函数的定义域，并判断是否存在使得是奇函数，说明理由； （2）若函数过点，且函数与轴负半轴有两个不同交点，求此时的值和的取值范围． 8．【2021年上海市高考数学第5题】已知f（x）2，则f﹣1（1）＝　　　　． 9．（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数　　 A． B． C． D． 10．(2018年上海市高考数学第7题)已知α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝　　　　． 11．(上海市高考数学（理科）)若f（x），则满足f（x）＜0的x的取值范围是 　　　　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题05 二次函数和幂函数 知识点一、幂函数的定义 1、定义：一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 知识点二、幂函数的图象和性质 1、常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 2、形如y＝x或y＝x－(m(m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断 形如y＝x或y＝x－(m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断：当m，n都为奇数时，幂函数在定义域上为奇函数；当m为奇数，n为偶数时，幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当m为偶数，n为奇数时，幂函数在定义域上为偶函数. 知识点三、二次函数及其应用 1、二次函数解析式的三种形式 ①一般式：； ②顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. ③零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 2、二次函数的图象与性质：二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性 3、一元二次方程的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 3、二次函数在闭区间上的最值问题 二次函数在闭区间上的最值：二次函数在闭区间上必有最大值和最小值. 它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值. 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动. 不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍. 4、有关二次函数的问题，关键是利用图像. （1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论. （2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负. 考点一 幂函数的定义 题型01：求幂函数的解析式 【名师点拨】判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为（是常数）的形式，即满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1．只有同时满足这三个条件的函数才是幂函数，对于形如等函数都不是幂函数。 【例1】（2022宝山二模）若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为　　． 答案： 【跟踪训练】 1．若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为f（x）＝　　． 【分析】设此幂函数的表达式为f（x）＝xα，从而可得，求解即可． 【解答】解：设此幂函数的表达式为f（x）＝xα， 依题意可得，，即，解得α＝4， 所以此幂函数的表达式为f（x）＝x4． 故答案为：x4． 【点评】本题主要考查幂函数的定义，属于基础题． 2．（2024•崇明区二模）已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，4），则f（3）＝　　． 【分析】设出幂函数y＝f（x）的解析式，根据其图象经过点（2，4），求函数的解析式，再计算f（3）的值． 【解答】解：设幂函数y＝f（x）＝xα（α∈R）， 其图象经过点（2，4）， ∴2α＝4， 解得α＝2， ∴f（x）＝x2； ∴f（3）＝32＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了求幂函数的解析式以及利用函数的解析式求函数值的应用问题，是基础题目． 题型02：幂函数的定义域和值域 【名师点拨】确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的. 【例2】(2024普陀区一模）已知幂函数f（x）＝xα满足f （3），则该幂函数的定义域为　　． 【解题思路】根据幂函数f（x）＝xα满足f （3），可求出α，然后根据偶次方根被开发数大于等于0，分式分母不等于0，求法f（x）的定义域． 【解答过程】解：因为幂函数f（x）＝xα满足f （3）， 所以f （3）＝3α，解得α， 所以f（x），该幂函数的定义域为（0，+∞）． 故答案为：（0，+∞）． 【例3】（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 【答案】 【分析】根据幂函数定义代入点可得，即可得函数值域. 【详解】设幂函数， 代入点可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 【跟踪训练】 1．求函数y的定义域和值域． 【解题思路】把y化为根式的形式，容易写出它的定义域和值域． 【解答过程】解：∵函数y， ∴x≠0，且y＞0； ∴函数y的定义域是{x|x≠0}，值域是{y|y＞0}． 2.（2024上海高三阶段练习）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，定义域和值域均为，符合题意； 时，定义域为，值域为，故不合题意； 时，定义域为，值域为，符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意； 时，定义域为R，值域为，不符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意. 故选：C 考点二 幂函数的图象及应用 题型03：依据图象高低判定幂指数大小 【例4】（2025上师大附中高三阶段练习）若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　) A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c 【答案】B 【解析】观察图象联想y＝x2，y＝x，y＝x－1在第一象限内的图象，可知c<0，d<0,0<b<1<a. 由图象可知2c>2d，所以c>d.综上知a>b>c>d. 【跟踪训练】 1．（2025七宝中学高三阶段练习）如图是幂函数（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，，，已知它们具有性质： ①都经过点（0，0）和（1，1）；     ②在第一象限都是增函数． 请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________． 【答案】α越大函数增长越快 【解析】 【分析】 根据幂函数的图象与性质确定结论． 【详解】 解：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y＝x对称；⑧当α＞1时，图象在直线y＝x的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y＝x的下方． 从上面任取一个即可得出答案． 故答案为：α越大函数增长越快． 2．（2024上海高三阶段练习）幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断； 【详解】根据幂函数的性质， 在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大， 所以由图像得：， 故选：D 题型04：图象的识别 【例5】（2025延安中学高三阶段练习）已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（       ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 【答案】D 【解析】 【分析】 根据给定函数的图象分析函数的性质，即可得出p、q的取值情况. 【详解】 因函数的图象关于y轴对称，于是得函数为偶函数，即p为偶数， 又函数的定义域为，且在上单调递减，则有0， 又因p、q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确. 故选：D 【跟踪训练】 1．（2025奉贤中学高三开学考试）函数的图像大致为（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的幂函数的值域排除两个选项，再利用函数图象在第一象限的特征判断作答. 【详解】由得，函数的图象在x轴及上方，B、D都不正确， 函数的图象是曲线，在时，该曲线在直线的下方，且增长速度逐渐变慢，C不正确，A满足条件. 故选：A 考点三 幂函数的性质及其应用 题型05：由幂函数的单调性求参数 【名师点拨】依据当α＞0时，幂函数f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递增； 当α＜0时，幂函数f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递减． 【例6】（2025金山中学高三期中）已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【解析】因为是幂函数，所以，解得或，又因为在上单调递减，则. 故选：A 【例7】（2025上师大附中高三阶段练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（       ） A． B．0或2 C．0 D．2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数为幂函数求出，再验证单调性可得. 【详解】 因为是幂函数，所以，解得或， 当时，在上为减函数，不符合题意， 当时，在上为增函数，符合题意， 所以. 故选：D. 【跟踪训练】 1．（2023秋·高三课时练习）幂函数在上单调递减，则实数的值为_______ 【答案】2 【分析】根据幂函数建立等式，解出，将代入函数检验，看是否在上单调递减即可确定答案. 【详解】解：因为是幂函数，所以， 解得或，因为函数在上单调递减， 当时，函数化为，符合题意， 当时，，不符合题意，综上. 故答案为：2 2．（2023春上海高三校考阶段练习）已知幂函数在上单调递增． (1)求m的值及函数的解析式； (2)若函数在上的最大值为3，求实数a的值． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据幂函数及其区间单调性列方程、不等式求参数，进而写出解析式； （2）由（1）及已知得，结合二次函数性质及其区间最值，讨论对称轴与区间位置关系求参数值. 【详解】（1）幂函数在上单调递增， 故，解得，故； （2）由（1）知：， 所以， 所以函数的图象为开口向下的抛物线，对称轴为直线； 由于在上的最大值为3， ①当时，在上单调递增，故，解得； ②当时，在上单调递减，故，解得； ③当时，在上单调递增，在上单调递减，故，解得（舍去）或（舍去）． 综上所述，． 题型06：由幂函数的单调性解不等式 【例8】（2025复旦附中高三阶段练习）已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】 先求得幂函数的解析式，根据函数的奇偶性、单调性来求得的取值范围. 【详解】 设， 则， 所以， 在上递增，且为奇函数， 所以. 故答案为： 【跟踪训练】 1．（2024上海高三阶段练习）若，试求的取值范围. 【答案】 【分析】根据幂函数的定义域，将分成：同时大于零、同时小于零、三种情况，结合幂函数的单调性列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】∵，∴或或解得或.故的取值范围是. 【点睛】本小题主要考查幂函数的定义域和单调性的运用，考查分类讨论的数学思想方法，考查不等式组的解法，属于中档题. 2．（2024上海高三阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】解：因为是定义在上的增函数，又， 所以，解得， 因为由可推出，而由无法推出， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 题型07：由幂函数的单调性比较大小 【例9】（2023·天津·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数，幂函数的性质即可判断，，再对，进行取对数，结合对数函数的性质即可判断，进而即可得到答案． 【详解】由，，， 则，， 又，， 则，即， 所以． 故选：D． 【跟踪训练】 1．已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指，对，幂函数的单调性，即可比较大小. 【详解】函数单调递减，所以， 函数在上单调递增，所以， 单调递减，， 所以，即. 故选：C 2．已知幂函数的图象过点．设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义求出函数解析式，再利用幂函数的单调性比较大小而得解. 【详解】因幂函数的图象过点，则，且， 于是得，，函数，函数是R上的增函数， 而，则有， 所以. 故选：D 题型08：幂函数奇偶性的应用 【名师点拨】为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数. 【例10】（2025上海市第二中学高三期中）幂函数是偶函数，则________ 【答案】 【分析】根据幂函数的定义建立关于的方程,解出方程,再由是偶函数确定值. 【解析】解:因为是幂函数,所以,所以或, 当时,为奇函数,不满足条件; 当时,为偶函数,满足条件; 当时,为偶函数,满足条件; 因为是偶函数,所以. 故答案为:. 【点睛】本题考查了幂函数的定义和函数的奇偶性,考查了方程思想,属基础题. 【例11】（2024上海高三阶段练习）下列函数中，值域是且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性和值域确定正确选项. 【详解】的值域为，不符合题意，A选项错误. ，当时等号成立，不符合题意，B选项错误. 的定义域为，是非奇非偶函数，不符合题意，C选项错误. 令，其定义域为，，所以是偶函数， 且，即的值域为，符合题意，D选项正确. 故选：D 【跟踪训练】 1．（2024上海高三阶段练习）已知幂函数为偶函数，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．1或2 【答案】C 【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论． 【详解】幂函数为偶函数， ，且为偶数， 则实数， 故选：C 2．（2024上海高三阶段练习）若幂函数的图像关于y轴对称，则实数______． 【答案】 【分析】根据幂函数的概念和性质计算即可 【详解】由幂函数可得，解得或， 又因为函数图像关于y轴对称，则a为偶数，所以． 故答案为： 3．（2024上海高三阶段练习）设，则使函数的定义域为，且该函数为奇函数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．、或 【答案】A 【分析】由幂函数的相关性质依次验证得解. 【详解】因为定义域为，所以，， 又函数为奇函数，所以，则满足条件的或. 故选:A 题型9：幂函数性质的综合应用 【例12】（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（       ） A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 【答案】D 【解析】设幂函数的解析式为， 将点的坐标代入解析式得，解得， ∴，函数的定义域为,是非奇非偶函数，且在上是增函数， 故选：D. 【例13】（2022杨浦二模）下列函数中，既是偶函数，又在区间上严格递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用奇偶性定义判断各函数的奇偶性，再由指对幂函数的性质判断区间单调性，即可得答案. 【详解】由且，故为偶函数，在上递减，A符合； 由的定义域为，故为非奇非偶函数，B不符合； 由定义域为，又，故为偶函数，在上递增，C不符合； 由的定义域为，，故为偶函数，在上递增，D不符合. 故选：A 【跟踪训练】 1．（2024上海高三阶段练习）已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则__________. 【答案】-1 【分析】根据幂函数在上为严格减函数，可得，再由幂函数奇函数即可得答案. 【详解】解：因为幂函数在上为严格减函数， 所以， 所以， 又因为幂函数奇函数，且， 所以， 故答案为：-1 2．（2024上海高三阶段练习）“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案. 【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数， 则，解得：，当时，，， 则，所以函数为奇函数，即充分性成立； “函数为奇函数”， 则，即， 解得：，故必要性不成立， 故选：A． 3．（2024上海高三阶段练习）已知幂函数在区间上是减函数． (1)求函数的解析式； (2)讨论函数的奇偶性和单调性； (3)求函数的值域． 【答案】(1)或或 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）依题意可得，求出的取值范围，再根据，即可得到，再代入求出函数解析式； （2）根据（1）中的解析式及幂函数的性质得出结论； （3）根据（1）中的解析式及幂函数的性质得出结论； 【详解】（1）解：依题意，即，解得，因为，所以或或，所以或或 （2）解：若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减； 考点四 幂函数的综合问题 题型10：幂函数的综合题 【名师点拨】解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 【例14】（2024上海高三阶段练习）已知幂函数在上单调递增，函数，，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据幂函数的性质得到，分别求出函数和在区间的值域，再结合题意即可得到答案. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 所以，即. ，则的值域为， 又因为函数在上为增函数， 所以，的值域为， 因为，，使得成立， 所以，解得. 故选：A 【跟踪训练】 1.（2024上海高三阶段练习）已知函数． (1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由已知可得的定义域为， 任取，且， 则， 因为，，， 所以，即， 所以在上是单调递增函数． （2）， 令，则当时，， 所以． 令，， 则只需． 当，即时，在上单调递增， 所以，解得，与矛盾，舍去； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； 当即时，在上单调递减， 所以，解得，与矛盾，舍去． 综上，实数的取值范围是． 2．（2024上海高三阶段练习）已知函数， （1）当时，求的值域； （2）若对，成立，求实数的取值范围； （3）若对，，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）[0,9]；（2）；（3）. 【分析】（1）由二次函数的性质得出值域； （2）将问题转化为求在的最小值大于或等于1，再根据指数函数的单调性得出实数的取值范围； （3）将问题转化为在的最大值小于或等于在上的最大值9，从而得出实数的取值范围． 【详解】（1）当时，函数， 的值域 （2）对，成立，等价于在的最小值大于或等于1． 而在上单调递减，所以，即 （3）对，，使得成立， 等价于在的最大值小于或等于在上的最大值9 由， 考点五 二次函数的图象与性质 题型11：二次函数的图象 【例15】（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）函数，且与函数在同一坐标系内的图象不可能的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数及二次函数的性质逐项分析即得. 【详解】对于A，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项A可能； 对于B，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项B可能； 对于C，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为>1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项B可能； 对于D，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项D不可能. 故选：D. 【跟踪训练】 1．（2024上海高三阶段练习）在下列四个图形中，二次函数与指数函数的图象不可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据的关系与各图形一个个检验即可判断． 【详解】当时，A正确；当时，B正确； 当时，D正确；当时，无此选项． 故选：C． 2．（2024上海高三阶段练习）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】由二次函数图象可得，然后利用排除法结合指数函数的性质分析判断即可 【详解】由函数（其中）的图象可得， 所以，所以排除BC， 因为，所以为增函数，所以排除A， 故选：D 题型12：二次函数的单调性 【例16】（2024上海高三阶段练习）“函数在区间上不单调”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性以及充分且必要条件的概念可得答案. 【详解】由函数在区间上不单调，可得，即； 由，得，得函数在区间上不单调， 所以“函数在区间上不单调”是“”的充分且必要条件. 故选：C 【跟踪训练】 1．（2024上海高三阶段练习）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围________. 【答案】 【分析】求出函数的对称轴，根据对称轴在区间内得到不等式组，解得即可. 【详解】解：因为，所以函数的对称轴为， 因为函数在区间上不是单调函数， 所以，解得，即实数的取值范围为. 故答案为： 2．（2024上海高三阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性，结合幂函数与二次函数的单调性即可得解. 【详解】由题意，得，解得或， 所以函数的定义域为， 令，则开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：D. 3．已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复合函数单调性及定义域可求解. 【详解】由复合函数单调性的规律和函数定义域可知： 函数在上单调递增且在上恒成立， 则有，解得，则a的取值范围为. 故选：D 题型13：二次函数在闭区间上的最值 【名师点拨】“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 【例17】（2023·江西·统考模拟预测）已知函数. (1)求函数在区间上的最大值； (2)若为整数，且关于的不等式恒成立，求整数的最小值. 【答案】(1) (2)最小值为2 【分析】（1）讨论m的取值范围，结合二次函数的对称轴与区间的位置关系，即可求得答案； （2）将不等式恒成立，转化为函数的最值问题，即设，利用导数求其最值，分类讨论，即可求得答案. 【详解】（1）若时，在区间上单调递减， 所以. 若，则二次函数图象对称轴， 当，即时，1离对称轴近，2离对称轴远， 所以. 当，即时，1离对称轴远，2离对称轴近， . 若，对称轴在区间上单调递减， 综上，. （2）因为恒成立， 即恒成立， 令, 所以, 当时，因为，所以， 所以在上是单调递增函数. 又因为，所以关于的不等式不能恒成立. 当时，, 令得，所以当时，；当时，. 因此函数在上是增函数，在上是减函数. 故函数的最大值为. 令，因为. 又因为在上是减函数，所以当时，, 即关于的不等式恒成立， 所以整数的最小值为2. 【点睛】方法点睛：解答关于的不等式恒成立问题，需将问题转化求函数最值，因此利用导数结合分类讨论，求解函数最值即可解决. 【跟踪训练】 1．（2024上海高三阶段练习）已知函数． (1)若，求的最大值； (2)若的最大值为，求的最小值． 【答案】(1)4 (2)4 【分析】（1）由是偶函数，求时的最大值，即函数的最大值； （2）写出分段函数的解析式，分类讨论a取不同值时函数分别在两段上的最大值，比较大小得函数的最大值，再求的最小值. 【详解】（1）由题意得， 当时，， 因为，所以是偶函数， 故的最大值为4． （2）由题意得， ①若，则当时，在上单调递增，， 当时，． 因为， 所以． ②若，则当时，， 当时，． 因为，所以当时，， 当时，． ③若，则当时，， 当时，在上单调递减，． 因为，所以． 综上所述，当时，，当时，． 故的最小值为4． 【点睛】分段函数求最值，先求函数在每一段上的最值，再进行大小比较，得整个函数的最值；多项式的大小比较可以使用作差法. 题型14：二次方程根的分布 【名师点拨】结合二次函数的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围. 【例18】（2022·重庆·模拟预测）已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】二次函数，对称轴为，开口向上，在上单调递减，在上单调递增， 要使二次函数的两个零点都在区间内，需，解得 故实数a的取值范围是故选：C 【例19】（2022·黑龙江）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方程有解，有解， 令，则可化为有正根， 则在有解，又当时，所以，故选：． 【跟踪训练】 1．（2023春·河北保定·高三河北省唐县第二中学校考阶段练习）若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有一个正根和一个负根可得判别式大于零以及两根之积小于零，列不等式组即可求解. 【详解】因为一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，设两根为， 则，解得， 故选：A 2．（2024上海高三阶段练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______． 【答案】. 【分析】求出方程的解，然后由解满足的条件求参数范围． 【详解】方程   方程两根为， 若要满足题意，则，解得， 故答案为：. 3．（2024上海高三阶段练习）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于，分为三种情况，即可得解. 【详解】方程对应的二次函数设为： 因为方程恰有一根属于，则需要满足： ①，，解得：； ②函数刚好经过点或者，另一个零点属于， 把点代入，解得：， 此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去 把点代入，解得：， 此时方程为，两根为，，而，故符合题意； ③函数与x轴只有一个交点，，解得， 经检验，当时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内; 综上：实数m的取值范围为 故选：D 题型15：二次函数中的恒成立问题 【例20】（2024上海高三阶段练习）已知为正的常数，若不等式对一切非负实数恒成立，则的最大值为________. 【答案】 【分析】令，将带有根式的不等式问题转化成整式不等式的问题，然后结合二次函数性质处理. 【详解】原不等式即 ① ，令，，则， 将代入①式，则有， 对一切恒成立，对恒成立， 即，根据二次函数的性质，在时单调递增，故， 所以，又为正的常数，则的最大值为. 故答案为： 【跟踪训练】 1．（2024上海高三阶段练习）已知二次函数（a，且），． (1)若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间； (2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围． 【答案】(1)，减区间（−∞，−1]，增区间 [−1，＋∞） (2) 【分析】（1）根据函数的最小值为，可得，且，可得的值，从而得到的解析式，根据对称轴和开口方向写单调区间； （2）分离参数,求解二次函数在区间上的最小值，即可得的范围． 【详解】（1）由题意知，且， ∴． ∴， 因为函数对称轴，开口向上， ∴单调减区间为（−∞，−1]，单调增区间为[−1，＋∞）； （2）在区间上恒成立， 转化为在上恒成立． 设， 则在上递减． ∴． ∴， 即的取值范围为． 1． （2025上海春季高考）已知幂函数y=在（0，+上是严格减函数，且经过点（-1，-1），则的值可能是（ ） A.- B. - C. D.3 【答案】B 2.（2024年上海市高考数学第2题）已知则 ． 【答案】 【详解】因为故， 故答案为：. 3.(2024年上海市高考数学第4题)已知，，且是奇函数，则 ． 【答案】 【详解】因为是奇函数，故即， 故， 故答案为：. 4．（2024上 海春季高考）已知，求g（x）≤2﹣x的x的取值范围 　　． 【分析】根据已知求得，再分x≥0以及x＜0分别求解即可． 【解答】解：根据题意知， 所以当x≥0时，g（x）≤2﹣x⇒x2+x﹣2≤0，解得x∈[0，1]； 同理当x＜0时，g（x）≤2﹣x⇒﹣x2+x﹣2≤0，解得x∈（﹣∞，0）； 综上所述：x∈（﹣∞，1]． 故答案为：（﹣∞，1]． 【点评】本题主要考查分段函数的相关知识，考查不等式的求解，考查计算能力，属于中档题． 5．（2022·上海数学春考））下列幂函数中，定义域为R的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】幂函数的概念与表示 【解析】【解答】解：对于A， 的定义域为{x|x≠0}，故A错误； 对于B， 的定义域为{x|x>0}，故B错误； 对于C， 的定义域为R，故C正确； 对于D， 的定义域为{x|x>0}，故D错误. 故答案为：C 【分析】根据函数的定义域，结合幂函数的定义求解即可. 6．（2021•新高考Ⅰ）已知函数是偶函数，则　　． 【解析】函数是偶函数， 为上的奇函数， 故也为上的奇函数， 所以， 所以． 法二：因为函数是偶函数， 所以， 即， 即， 即， 所以． 故答案为：1． 7．（2023•上海）已知，，函数． （1）若，求函数的定义域，并判断是否存在使得是奇函数，说明理由； （2）若函数过点，且函数与轴负半轴有两个不同交点，求此时的值和的取值范围． 【解析】（1）若，则， 要使函数有意义，则，即的定义域为， 是奇函数，是偶函数， 函数为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数，使得是奇函数． （2）若函数过点，则（1），得，得， 此时，若数与轴负半轴有两个不同交点， 即，得，当时，有两个不同的交点， 设， 则，得，得，即， 若即是方程的根， 则，即，得或， 则实数的取值范围是且且， 即，，． 8．【2021年上海市高考数学第5题】已知f（x）2，则f﹣1（1）＝　　　　． 【答案】﹣3 【解答】解：因为f（x）2， 令f（x）＝1，即2＝1，解得x＝﹣3， 故f﹣1（1）＝﹣3． 故答案为：﹣3． 9．（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数　　 A． B． C． D． 【解析】在上单调递减且为奇函数，符合题意； 因为在上是增函数，不符合题意； ，为非奇非偶函数，不符合题意； 故选：． 10．(2018年上海市高考数学第7题)已知α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝　　　　． 【答案】﹣1 【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}， 幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减， ∴a是奇数，且a＜0， ∴a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 11．(上海市高考数学（理科）)若f（x），则满足f（x）＜0的x的取值范围是 　　　　． 【答案】（0，1） 【解答】解：f（x），若满足f（x）＜0， 即， ∴， ∵y是增函数， ∴的解集为：（0，1）． 故答案为：（0，1）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$