专题06：指数运算与指数函数（5大考点+16大题型）讲义-2026届高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题06 指数运算与指数函数 知识点一、有理数指数幂 正整数指数幂： 零指数幂： 负整数指数幂：________________ 分数指数幂：________________________ 知识点二、指数函数 1、概念：一般地，函数____________________叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 2、指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 增函数 减函数 (1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：__________________________ (2)指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为__________________ 由此我们可得到以下规律：_________________________________． 考点一 指数幂的运算 题型01：指数幂的运算 【名师点拨】(1)( )n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围． (2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性． 【例1】(2024上海高三阶段练习）化简计算： (1) （2）(a>0，b>0). (3)． 【例2】(2024上海高三阶段练习）已知，，求. 考点二 指数函数的概念 题型02：求指数函数的解析式 【名师点拨】 1、指数函数的定义：(1)底数的值是否符合要求．(2)ax前的系数是否为1.(3)指数是否符合要求． 2、求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键． 3、求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式． 【例3】(2024上海高三阶段练习）若函数是指数函数，则等于（       ） A．或 B． C． D． 【跟踪训练】 1.(2024上海高三阶段练习）若函数（a＞0，且a≠1）是指数函数，则实数m的值为_______ 2．(2024上海高三阶段练习）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 题型03：求指数型函数的定义域和值域 【名师点拨】函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 【例4】(2024上海高三阶段练习）求下列函数的定义域和值域： (1)；(2)；(3)；(4)． 【跟踪训练】 1．（2024复旦附中开学考试）函数的定义域是_______． 2．（2025上师大附中开学考）函数的定义域是___________． 3．（2025上海高三专题练习）已知f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是______． 4．（2025上海高三专题练习）函数的值域为______． 考点三 指数函数的图象及应用 题型04：判断指数函数图象的形状 【名师点拨】画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，． 【例5】（2025上海高三专题练习）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（    ） A．，，， B．，，， C．，，，， D．，，，， 【跟踪训练】 1．（2025延安中学月考）如图所示，函数的图像是（       ） A．B．C． D． 2.（2025复兴高级中学月考）已知实数a,b满足等式3a＝6b,则下列不成立的关系式为(　　) A.a＝b B.0<b<a C.a<b<0 D.0<a<b 题型05：根据指数型函数图象判断参数的范围 【例6】（2024松江二中期末）若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为____________. 【跟踪训练】 1．（2023秋·陕西西安·高三统考期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（2025上海高三专题练习）函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型06：指数型函数恒过定点问题 【名师点拨】(1)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象以x轴为渐近线；y＝ax＋b恒过定点(0，1＋b)，且以y＝b为渐近线. 【例7】（2025闵行中学开学考试）函数（其中，）的图象恒过的定点是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（2021·上海奉贤区致远高级中学高三阶段练习）已知过定点P，且P点在直线上，则的最小值=______________． 题型07：指数函数图像的应用 【例8】（2023春·四川绵阳·高三校考开学考试）若直线与函数，且的图象有两个公共点，则的范围是________ 【跟踪训练】 1.（2025闵行中学开学考试）若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点,则实数b的取值范围是　　　　.  2．（2025上海高三专题练习）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点四 指数函数的性质及应用 题型08：判断函数的单调性 【名师点拨】1、如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0．在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 2、指数型复合函数的单调性 (1)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y＝f(φ(x))的单调性． (2)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． 【例9】（2025徐汇中学开学考试）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（    ）． A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2025金山中学开学考试）函数的单调递增区间为______. 题型09：比较指数式的大小与解不等式 【名师点拨】1、当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． 2、当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． 3、比较幂值大小的常见类型及解决方法 同底不同指 利用指数函数单调性进行比较 同指不同底 利用幂函数单调性进行比较 既不同底 又不同指 常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小 4、简单的指数不等式的解法 利用指数函数的单调性，将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系. (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式． (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)． 【例10】设a，b满足0＜a＜b＜1，则下列不等式中正确的是(　　) A．aa＜ab B．ba＜bb C．aa＜ba D．bb＜ab 【例11】若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________． 【例12】已知函数f(x)＝2|x|,则f(2－x)>f(2x＋3)的解集为　　　　　　.  【跟踪训练】 1．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 2.（2021·上海·曹杨二中高三期中）设，，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 4.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则关于的不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 题型10：由函数的单调性求参数 【例13】已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________． 【例14】（2025上海高三专题练习）若函数，在R上为严格增函数，则实数的取值范围是（    ） A．（1，3）； B．（2，3）； C．； D．； 【跟踪训练】 1．（2025上海高三专题练习）若函数(且)在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2025上海高三专题练习）已知函数在上单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型11：已知函数奇偶性求解析式或求值 【例15】（2023秋·贵州黔东南·高三统考期末）已知函数，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【例16】（2025上海高三专题练习）函数是R上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三对口高考）已知函数，，是奇函数，且当时，，则时，________． 2．（2025上海高三专题练习）若定义在 R 上的偶函数和奇函数满足，求. 题型12：已知函数的奇偶性求参数 【名师点拨】指数函数与的图象关于轴对称． 【例17】（2023·上海静安·统考二模）已知函数为偶函数，则函数的值域为___________. 【跟踪训练】 1．（2025上海高三专题练习）已知函数为奇函数，则实数a＝__，函数f（x）在[1，3]上的值域为__． 2．（2025河北）已知函数，则“”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型14：指数函数的最值 【例18】（2025上海高三专题练习）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.若函数在区间上的最大值比最小值大4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025上海高三专题练习）已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是________. 3．（2023·全国·模拟预测）已知函数存在最大值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型15：函数的奇偶性与单调性的综合 【例19】（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是_________. 【跟踪训练】 1．（2023秋·吉林松原·高三前郭尔罗斯县第五中学校考期末）已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为___________. 2．（2025上海高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为___________. 考点五 指数函数的综合问题 题型16：指数函数的综合题 【例20】已知函数f(x)＝. (1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值． 【例21】（2025·上海黄浦·二模）已知． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 【跟踪训练】 1．（2025·上海浦东新·二模）已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 2．（2025·上海黄浦·二模）已知． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 3．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 1. （2024新高考数学I卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 2．【2023年上海市高考数学第5题】已知函数f（x），则函数f（x）的值域为 　　　　． 3．（2023•新高考Ⅰ）设函数在区间单调递减，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 4．【2023年上海市高考数学第18题】已知a，c∈R，函数f（x）． （1）若a＝0，求函数的定义域，并判断是否存在c使得f（x）是奇函数，说明理由； （2）若函数过点（1，3），且函数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和a的取值范围． 5．（2022·上海数学春考））已知函数 的反函数为 ，则 　 　 6．【2021年上海市高考数学第13题】以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（　　　　） A．y＝﹣3x B．y＝x3 C．y＝log3x D．y＝3x 7．（2019•上海）下列函数中，值域为，的是　　 A． B． C． D． 8．【2018年上海市高考数学第11题】已知常数a＞0，函数f（x）的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q＝36pq，则a＝　　　　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题06 指数运算与指数函数 知识点一、有理数指数幂 正整数指数幂： 零指数幂： 负整数指数幂： 分数指数幂： 知识点二、指数函数 1、概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 2、指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 增函数 减函数 (1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1). (2)指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b. 由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． 考点一 指数幂的运算 题型01：指数幂的运算 【名师点拨】(1)( )n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围． (2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性． 【例1】(2024上海高三阶段练习）化简计算： (7) （2）(a>0，b>0). (3)． 【详解】（1）原式=. （2）原式＝. （3）原式． 【例2】(2024上海高三阶段练习）已知，，求. 【答案】-12. 【解析】由，利用平方差公式和完全平方公式，分别求得，的值代入即可. 【详解】∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∵， ∴， ∴. 考点二 指数函数的概念 题型02：求指数函数的解析式 【名师点拨】 1、指数函数的定义：(1)底数的值是否符合要求．(2)ax前的系数是否为1.(3)指数是否符合要求． 2、求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键． 3、求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式． 【例3】(2024上海高三阶段练习）若函数是指数函数，则等于（       ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，解得.故选：C. 【跟踪训练】 1.(2024上海高三阶段练习）若函数（a＞0，且a≠1）是指数函数，则实数m的值为_______ 【知识点】根据函数是指数函数求参数 【分析】运用指数函数概念可解. 【详解】若函数（a＞0，且a≠1）是指数函数，则满足， 解得或. 2．(2024上海高三阶段练习）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【答案】D 【知识点】根据函数是指数函数求参数 【分析】由指数函数的定义可得且，，解方程验证可得． 【详解】解：因为函数是指数函数， 且，， 由解得或， ， 故选：D. 题型03：求指数型函数的定义域和值域 【名师点拨】、函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 【例4】(2024上海高三阶段练习）求下列函数的定义域和值域： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)定义域为R，值域为 (3)定义域为，值域为 (4)定义域为R，值域为 【解析】(1)由题意知，∴，∴函数的定义域为． ∵，∴，∴函数的值域为． (2)由题意知函数的定义域为R．∵，∴， ∴函数的值域为． (3)由题意知，∴，∴，∴函数的定义域为． ∵，∴，又，∴，∴，∴，∴函数的值域为． (4)由题意知定义域为R．∵，∴． 又，∴函数的值域为． 【跟踪训练】 1．（2024复旦附中开学考试）函数的定义域是_______． 【答案】. 【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，即可求得结果. 【详解】由题意得， 解得且， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 2．（2025上师大附中开学考）函数的定义域是___________． 【答案】且 【分析】根据题意得到求解即可. 【详解】由题知：且. 故答案为：且. 3．（2025上海高三专题练习）已知f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是______． 【答案】[-1，0] 【分析】把f（x）的定义域为R转化为0对任意x∈R恒成立，即x2+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立，再由判别式小于等于0求解． 【详解】∵f（x）的定义域为R， ∴0对任意x∈R恒成立， 即恒成立， 即x2+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立， ∴△＝4a2+4a≤0，则﹣1≤a≤0． 故答案为[﹣1，0]． 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题． 4．（2025上海高三专题练习）函数的值域为______． 【答案】 【分析】用含的式子表达出，得到，求出值域. 【详解】， 故，即，解得：或， 故值域为 故答案为： 考点三 指数函数的图象及应用 题型04：判断指数函数图象的形状 【名师点拨】画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，． 【例5】（2025上海高三专题练习）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（    ） A．，，， B．，，， C．，，，， D．，，，， 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系. 【详解】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而. 故选：C． 【跟踪训练】 1．（2025延安中学月考）如图所示，函数的图像是（       ） A．B．C． D． 【答案】B 【解析】，时，时，.故选：B. 2.（2025复兴高级中学月考）已知实数a,b满足等式3a＝6b,则下列不成立的关系式为(　　) A.a＝b B.0<b<a C.a<b<0 D.0<a<b 【答案】D 【解析】由题意,在同一平面直角坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象,如图所示, 由图象知,当a＝b＝0时,3a＝6b＝1,故选项A正确； 作出直线y＝k,当k>1时,若3a＝6b＝k,则0<b<a,故选项B正确； 作出直线y＝m,当0<m<1时,若3a＝6b＝m,则a<b<0,故选项C正确； 当0<a<b时,易得2b>1,则3a<3b<2b·3b＝6b,故选项D错误. 题型05：根据指数型函数图象判断参数的范围 【例6】（2024松江二中期末）若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为____________. 【答案】 【分析】图象不经过第一象限,只需,代入解析式,解出不等式即可. 【详解】解:由题知, 若函数单调递减，其图象不经过第一象限,必有图象与y轴交点不在y轴正半轴上， 只需即可, 即, 解得: . 故答案为: 【跟踪训练】 1．（2023秋·陕西西安·高三统考期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】观察到函数是一个指数型的函数，不妨作出其图象，从图象上看出其是一个减函数，并且是由某个指数函数向下平移而得到的，故可得出结论． 【详解】解：如图所示，图象与轴的交点在轴的负半轴上（纵截距小于零），即，且， ，且． 故选：． 2．（2025上海高三专题练习）函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由函数的单调性得到的范围，再根据函数图像平移关系分析得到的范围. 【详解】由函数的图像可知，函数在定义域上单调递减，，排除AB选项； 分析可知： 函数图像是由向左平移所得，，.故D选项正确. 故选：D 题型06：指数型函数恒过定点问题 【名师点拨】(1)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象以x轴为渐近线；y＝ax＋b恒过定点(0，1＋b)，且以y＝b为渐近线. 【例7】（2025闵行中学开学考试）函数（其中，）的图象恒过的定点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令可得定点. 【详解】令，即，得， 函数（其中，）的图象恒过的定点是. 故选：B. 【跟踪训练】 1.（2021·上海奉贤区致远高级中学高三阶段练习）已知过定点P，且P点在直线上，则的最小值=______________． 【答案】 【分析】先求出定点，代入直线方程，最后利用基本不等式求解. 【详解】经过定点，代入直线得， ， 当且仅当时等号成立 故答案为： 题型07：指数函数图像的应用 【例8】（2023春·四川绵阳·高三校考开学考试）若直线与函数，且的图象有两个公共点，则的范围是________ 【分析】分类讨论作出两函数的图象，数形结合可得． 【详解】由题意，直线与函数，且的图象有两个公共点， 当时，的图象如图（1）所示， 由已知得，； 当时，的图象如图（2）所示， 由已知可得， ，结合可得无解． 综上可知的取值范围为． 故选：． 【跟踪训练】 1.（2025闵行中学开学考试）若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点,则实数b的取值范围是　　　　.  【答案】(0,2) 【解析】在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象,如图所示. ∴当0<b<2时,两函数图象有两个交点,从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点. ∴实数b的取值范围是(0,2). 2．（2025上海高三专题练习）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数有两个不同的零点，可转化为函数与直线有两个交点，作出函数图象，数形结合可得实数的取值范围. 【详解】函数有两个不同的零点， 即为函数与直线有两个交点， 函数图象如图所示： 所以， 故选：D. 考点四 指数函数的性质及应用 题型08：判断函数的单调性 【名师点拨】1、如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0．在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 2、指数型复合函数的单调性 (1)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y＝f(φ(x))的单调性． (2)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． 【例9】（2025徐汇中学开学考试）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性和单调性性质即可求解. 【详解】A：一次函数的性质知在上是减函数，不合题意． B：定义域为R且，为非奇非偶且是减函数，不合题意； C：定义域为R且，为偶函数且在R上不单调，不合题意． D：定义域为R且，为奇函数且在上是增函数，符合题意. 故选：D． 【跟踪训练】 1．（2025金山中学开学考试）函数的单调递增区间为______. 【答案】 【分析】令，求出的单调区间，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】令，则在上单调递减，在上单调递增， 又在定义域上单调递减， 所以的单调递增区间. 故答案为： 题型09：比较指数式的大小与解不等式 【名师点拨】1、当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． 2、当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． 3、比较幂值大小的常见类型及解决方法 同底不同指 利用指数函数单调性进行比较 同指不同底 利用幂函数单调性进行比较 既不同底 又不同指 常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小 4、简单的指数不等式的解法 利用指数函数的单调性，将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系. (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式． (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)． 【例10】设a，b满足0＜a＜b＜1，则下列不等式中正确的是(　　) A．aa＜ab B．ba＜bb C．aa＜ba D．bb＜ab 【答案】C 【解析】指数函数y＝ax(0＜a＜1)为减函数，因为a＜b，所以aa＞ab，A错误；指数函数y＝bx(0＜b＜1)为减函数，因为a＜b，所以ba＞bb，B错误；幂函数y＝xa(0＜a＜1)在(0，＋∞)上为增函数，又a＜b，所以aa＜ba，C正确；由幂函数y＝xb(0＜b＜1)在(0，＋∞)上为增函数，又a＜b，所以bb＞ab，D错误． 【例11】若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________． 【答案】：{x|x>4或x<0} 【解析】：因为f(x)为偶函数， 当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4. 所以f(x)＝ 当f(x－2)>0时，有或 解得x>4或x<0. 所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}． 【例12】已知函数f(x)＝2|x|,则f(2－x)>f(2x＋3)的解集为　　　　　　.  【答案】 【解析】由函数f(x)＝2|x|,可得其定义域为R, 且f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x), 所以f(x)＝2|x|为偶函数, 当x∈[0,＋∞)时,f(x)＝2x, 可得f(x)＝2|x|在[0,＋∞)上单调递增, 根据偶函数的性质,不等式f(2－x)>f(2x＋3), 即为f(|2－x|)>f(|2x＋3|), 可得|2－x|>|2x＋3|, 整理得3x2＋16x＋5<0, 解得－5<x<－ 所以f(2－x)>f(2x＋3)的解集为. 【跟踪训练】 1．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合指数、对数函数的单调性，对选项A、B和C逐一分析判断，即可求解；对于D，利用不等式的性，即可求解. 【详解】对于选项A，由，得到，即，所以可得，故选项A错误， 对于选项B，由，得到，所以可得，故选项B错误， 对于选项C，由，得到，即，所以推不出， 但可以得出，故选项C正确， 对于选项D，由，得到， 又，当且仅当时取等号，显然不满足题意， 则，即， 又当，有，所以是的充要条件，故选项D错误， 故选：C. 2.（2021·上海·曹杨二中高三期中）设，，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】由指数函数单调性可得，探讨与的关系，结合充分必要条件的定义即可判断作答. 【详解】因函数在R上单调递增，则由得，即， 当时，不一定有，如：，不成立， 当时，也不一定有，如，即，不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件 故选：D 3.已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 【答案】A 【解析】因为a＝2，b＝4＝2，由函数y＝2x在R上为增函数知，b<a；又因为a＝2＝4，c＝25＝5由函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数知，a<c.综上得b<a<c.故选A. 4.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则关于的不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由是R上的奇函数求出a值，并求出时，函数的解析式，再分段讨论解不等式作答. 【详解】 因函数是定义在R上的奇函数，且当时，， 则，解得，即当时，， 当时，，则， 而当时，，则当时，，即， 变形得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 题型10：由函数的单调性求参数 【例13】已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________． 【答案】(－∞，4] 【解析】　令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]． 【例14】（2025上海高三专题练习）若函数，在R上为严格增函数，则实数的取值范围是（    ） A．（1，3）； B．（2，3）； C．； D．； 【答案】D 【分析】直接根据分段函数减函数的定义构造不等式组，解不等式组即可求出参数的取值范围. 【详解】在上为严格增函数，，解得. 即实数的取值范围是. 故选：D 【跟踪训练】 1．（2025上海高三专题练习）若函数(且)在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，则可得在上递减，在上递增，然后分和两种情况求出的增区间，使为增区间的子集，从而可求出实数的取值范围. 【详解】令，则， 的对称轴为， 则在上递减，在上递增， 当时，在定义域内递减，所以在上递增，在上递减， 因为在上单调递增，所以，不等式无解， 当时，在定义域内递增，所以在上递减，在上递增， 因为在上单调递增，所以，解得， 综上，实数的取值范围为， 故选：C 2．（2025上海高三专题练习）已知函数在上单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在上的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】的开口向下，对称轴是直线， 所以函数在上单调递增， 依题意可知，在上单调递增， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 题型11：已知函数奇偶性求解析式或求值 【例15】（2023秋·贵州黔东南·高三统考期末）已知函数，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】设，则可得是奇函数，利用可得可得答案. 【详解】，设，则，即是奇函数， 故，即，即， 因为，所以. 故选：B. 【例16】（2025上海高三专题练习）函数是R上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性即可求解. 【详解】解：由题意得： 当时，， 函数是R上的奇函数，故 故选：C 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三对口高考）已知函数，，是奇函数，且当时，，则时，________． 【答案】 【分析】由奇函数性质得，再根据奇函数求解析式即可. 【详解】解：因为为上的奇函数，当时，， 所以，解得． 所以当时，． 当时，． 所以． 所以． 所以，时， 故答案为： 2．（2025上海高三专题练习）若定义在 R 上的偶函数和奇函数满足，求. 【答案】 【分析】将代入，结合奇偶性化简再解方程组即可 【详解】因为为偶函数，为奇函数，所以，，因为①，所以，所以②，由①②式消去，得. 题型12：已知函数的奇偶性求参数 【名师点拨】指数函数与的图象关于轴对称． 【例17】（2023·上海静安·统考二模）已知函数为偶函数，则函数的值域为___________. 【答案】 【分析】利用偶函数的定义求出，则，设，利用基本不等式，即可求出结果． 【详解】函数（）是偶函数， ， ，易得， 设， 则， 当且仅当即时，等号成立， 所以， 所以函数的值域为． 故答案为：． 【跟踪训练】 1．（2025上海高三专题练习）已知函数为奇函数，则实数a＝__，函数f（x）在[1，3]上的值域为__． 【答案】 【分析】由是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数可得f（﹣x）＝﹣f（x），代入可求出实数a；再判断数f（x）在[1，3]上单调性，即可求出答案. 【详解】解：∵f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是奇函数， ∴f（﹣x）＝﹣f（x）， 即aa， 即aa， 则2a1， 则a， 则f（x）在[1，3]为减函数， 则f（3）≤f（x）≤f（1）， 即f（x）， 即函数的值域为[，]， 故答案为：；[，] 2．（2025河北）已知函数，则“”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】函数定义域为R，函数为偶函数， 则,， 而不恒为0，因此，，解得或， 所以“”是“函数为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A 题型14：指数函数的最值 【例18】（2025上海高三专题练习）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，则，根据二次函数性质得到最值. 【详解】设，，则， 当，即时，函数有最大值为. 故选：. 【点睛】本题考查了指数型函数的最值，换元可以简化运算，是解题的关键. 【跟踪训练】 1.若函数在区间上的最大值比最小值大4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由指数函数的单调性可得最大值和最小值，列方程可得结果. 【详解】∵在R上单调递增，∴在 上单调递增， ∴当x=2时，取得最小值为4；当x=a时，取得最大值为 ， ∴，解得：a=3. 故选：C. 2．（2025上海高三专题练习）已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是________. 【答案】． 【分析】利用换元法把目标式转化为二次函数问题，结合二次函数的单调性和最值情况可得答案. 【详解】令 因为在区间上是增函数， 所以 因此要使在区间上恒成立，应有，即所求实数m的取值范围为． 故答案为：. 3．（2023·全国·模拟预测）已知函数存在最大值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分段函数在两段上的单调性，确定每一段上函数的取值范围后比较可得． 【详解】易知在上单调递增，所以当时，； 在上单调递增，所以当时，. 所以要使函数存在最大值，只需(易错：注意等号能否取到)，解得. 故选：C. 题型15：函数的奇偶性与单调性的综合 【例19】（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是_________. 【答案】 【分析】首先判断函数的单调性，根据偶函数的性质及单调性原不等式等价于，解得即可. 【详解】解：因为是定义在上的偶函数，且当时，， 即在上单调递增，所以在上单调递减， 则不等式等价于，即，解得， 即. 故答案为： 【跟踪训练】 1．（2023秋·吉林松原·高三前郭尔罗斯县第五中学校考期末）已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为___________. 【答案】 【分析】由函数的奇偶性与单调性转化后求解， 【详解】由函数与均在上单调递增， 故在上单调递增， 而为上的奇函数，故在上单调递增， 等价于，得， 故答案为： 2．（2025上海高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为___________. 【答案】 【分析】分析出函数为偶函数，且在上为增函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】函数的定义域为，， 所以，函数为偶函数， 当时，为增函数， 因为，则， 所以，，所以，，所以，， 因为，故恒成立， 由可得，解得. 因此，原不等式的解集为. 故答案为：. 考点五 指数函数的综合问题 题型16：指数函数的综合题 【例20】已知函数f(x)＝. (1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值． 【解】(1)当a＝－1时，f(x)＝， 令u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7. 则u在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝在R上单调递减， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝， 由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1， 因此必有解得a＝1， 即当f(x)有最大值3时，a的值为1. (3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0. 【例21】（2025·上海黄浦·二模）已知． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在实数，使函数是奇函数. 【分析】（1）利用换元法将含有指数的方程转化为一元二次方程，再根据指数函数的性质求解. （2）利用奇函数在处的特殊性质求出的可能值，再将的值代回函数，根据奇函数的定义证明即可. 【详解】（1）由题意，， 令，则有，即，得，解得或（舍去）， 所以，则. （2）假设存在实数，使函数是奇函数， 则时，，解得. 时，函数，定义域为. 设函数. 对任意，，故函数为奇函数. 综上，存在实数，使函数是奇函数. 【跟踪训练】 1．（2025·上海浦东新·二模）已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义，即可求解答案； （2）根据分离参数转化为利用单调性求函数的最值，即可求解答案. 【详解】（1）因为函数是奇函数， 的定义域关于原点对称， 由，则， 所以. （2）对任意实数，不等式恒成立，即恒成立， 设， 对任意实数且， ， 因为，所以，所以 所以函数在上单调递减； ，所以 . 2．（2025·上海黄浦·二模）已知． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在实数，使函数是奇函数. 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数、指数函数y=2x和y=(1/2)x的图像和性质 【分析】（1）利用换元法将含有指数的方程转化为一元二次方程，再根据指数函数的性质求解. （2）利用奇函数在处的特殊性质求出的可能值，再将的值代回函数，根据奇函数的定义证明即可. 【详解】（1）由题意，， 令，则有，即，得，解得或（舍去）， 所以，则. （2）假设存在实数，使函数是奇函数， 则时，，解得. 时，函数，定义域为. 设函数. 对任意，，故函数为奇函数. 综上，存在实数，使函数是奇函数. 3．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上是递减函数，证明见解析 (3). 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数不等式恒成立问题、判断指数函数的单调性、由奇偶性求参数 【分析】（1）利用奇函数的定义列式求出值. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）利用奇函数及单调性脱去法则“f”，再分离参数并利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，得， 则， 所以. （2）由（1）知，函数在上是递减函数， 任取，且，， 由，得，则，，即， 所以是定义在上的递减函数. （3）由，得， 由（2）知，是上的递减函数，则，即， 依题意，对任意的恒成立， 而，则，当且仅当，即时取等号， 因此，所以实数的取值范围是. 1. （2024新高考数学I卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 2．【2023年上海市高考数学第5题】已知函数f（x），则函数f（x）的值域为 　　　　． 【答案】[1，+∞）． 【解答】解：当x≤0时，f（x）＝1， 当x＞0时，f（x）＝2x＞1， 所以函数f（x）的值域为[1，+∞）． 故答案为：[1，+∞）． 3．（2023•新高考Ⅰ）设函数在区间单调递减，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】设，对称轴为，抛物线开口向上， 是的增函数， 要使在区间单调递减， 则在区间单调递减， 即，即， 故实数的取值范围是，． 故选：． 4．【2023年上海市高考数学第18题】已知a，c∈R，函数f（x）． （1）若a＝0，求函数的定义域，并判断是否存在c使得f（x）是奇函数，说明理由； （2）若函数过点（1，3），且函数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和a的取值范围． 【答案】（1）a＝0时，f（x）的定义域为{x|x≠0}，不存在c使得f（x）是奇函数． （2）（，）∪（，+∞）． 【解答】解：（1）若a＝0，则f（x）x1， 要使函数有意义，则x≠0，即f（x）的定义域为{x|x≠0}， ∵y＝x是奇函数，y＝1是偶函数， ∴函数f（x）＝x1为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数c，使得f（x）是奇函数． （2）若函数过点（1，3），则f（1）3，得3a+2+c＝3+3a，得c＝3﹣2＝1， 此时f（x），若数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点， 即f（x）0，得x2+（3a+1）x+1＝0，当x＜0时，有两个不同的交点， 设g（x）＝x2+（3a+1）x+1， 则，得，得，即a， 若x+a＝0即x＝﹣a是方程x2+（3a+1）x+1＝0的根， 则a2﹣（3a+1）a+1＝0，即2a2+a﹣1＝0，得a或a＝﹣1， 则实数a的取值范围是a且a且a≠﹣1， 即（，）∪（，+∞）． 5．（2022·上海数学春考））已知函数 的反函数为 ，则 　 　 【答案】3 【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系 【解析】【解答】解：∵函数 的反函数为 ， ∴令x3=27，得x=3 即 3 故答案为：3 【分析】根据反函数的定义直接求解即可. 6．【2021年上海市高考数学第13题】以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（　　　　） A．y＝﹣3x B．y＝x3 C．y＝log3x D．y＝3x 【答案】A 【解答】解：y＝﹣3x在R上单调递减且为奇函数，A符合题意； 因为y＝x3在R上是增函数，B不符合题意； y＝log3x，y＝3x为非奇非偶函数，C不符合题意； 故选：A． 7．（2019•上海）下列函数中，值域为，的是　　 A． B． C． D． 【解析】，的值域为，故错 ，的定义域为，，值域也是，，故正确． ，的值域为，故错 ，的值域为，，故错． 故选：． 8．【2018年上海市高考数学第11题】已知常数a＞0，函数f（x）的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q＝36pq，则a＝　　　　． 【答案】6 【解答】解：函数f（x）的图象经过点P（p，），Q（q，）． 则：， 整理得：1， 解得：2p+q＝a2pq， 由于：2p+q＝36pq， 所以：a2＝36， 由于a＞0， 故：a＝6． 故答案为：6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$