专题06 二次函数图象和性质与系数的四类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06二次函数图象和性质与系数的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数中含参数的图像和性质 类型二、一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题 类型三、二次函数图像与各项系数符号问题 类型四、二次函数中含参数的综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、二次函数中含参数的图像和性质 1.参数对图象形状与位置的影响：二次项系数a决定开口方向(a>0向上，a<0向下)和宽窄(a越大 b 越窄)；一次项系数b和a共同影响对称轴(x= )：常数项c决定图象与y轴交点(0，c)。 2a 2.参数与函数性质的关联：结合a、b、c可确定顶点坐标（2 b 4ac-b),进而分析最值(a>0有 Aa 最小值，a<0有最大值)及增减区间（以对称轴为界）。 3.含参问题的常见类型：含参二次函数与坐标轴交点问题（判别式△=b2-4c的应用）、区间最值讨论 (需考虑对称轴与区间位置关系)等。 例1，《2526九年级上重庆阶段练习》若抛物线y=2+mr+3经过，川和3m两点，将该抛物线向 上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到新抛物线，则关于新抛物线下列说法正确的是() A.开口向下 B.图象过点02) C.在-2≤x≤2时，y的最小值为-3 D.当x>-1时，y随x增大而减小 【变式1-】(25-26八年级上·安徽阶段练习)已知二次函数'=r-r-1b>1 则下列说法错误的是 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.该二次函数的图象与x轴有交点 B.该二次函数的图象的对称轴与x轴交于正半轴 C.若点m,”在该二次函数的图象上，则”之-】 D.若点-3，，(2，都在y=-r-的图象上，则>为 【变式1-2】(25-26九年级上江苏苏州阶段练习)已知二次函数”=r+a-2-2(“为常数，且 口≠0).下列五个结论：①该函数图象经过点L,0:②若4=-1，则当x>-时，y随'的增大面减小： ⑧该函数图象与轴有两个不同的公共点：④若“>2，则关于x的方程r+a-2)x-2=0 有一个根大于 0且小于1，⑥若a>2,则关于x的方程r+(a-2到x-2=2的正数根只有一个.其中正确的是() A.①④ B.②③⑤ C.①②③④ D.②④⑤ 【变式1-3】(25-26九年级上广东阶段练习)关于二次函数'=m心+4mx-5m≠0) 有下列三个结论： ①若M-a-7,少），N0+3,是该二次函数图象上任意的两个点，则= 5 ②当4<m<0时，该二次函数的图象与轴始终没有交点： ®若该二次函数的图象与轴交于p,O两点，且P0<8,则>1或m<一 4 以上结论正确的个数是() A.3 B.2 C.1 D.0 类型二、一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断问题 1.各函数图象特征：一次函数y=kx+b(k≠0)是直线，k定倾斜方向（正增负减），b定与y轴交点： 反比例函数y=k/x(k≠0)是双曲线，k正分布一三象限，负分布二四象限；二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)是抛物线，a定开口，对称轴和顶点影响位置。 2.参数关联性判断：同一坐标系中多函数共存时，需通过参数符号（如k、正负）匹配图象位置，排 除矛盾情况（如k正的一次函数与k负的反比例函数同存）。 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.交点与范围分析：利用函数交点坐标满足多解析式，结合图象高低判断函数值大小关系，辅助验证图 象正确性。 y=bx-a 例2.(25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习)在同一平面直角坐标系中，一次函数 (a,b为常数， 且a≠0)的图象与二次函数'=r-r 的图象可能是() 【变式2-1】(25-26九年级上重庆阶段练习)已知反比例函数y=a≠0)的图象如图所示，则函数 y=ax2-a 的大致图象为() B 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-2】(25-26九年级上·安徽阜阳阶段练习)二次函数y=k2-k与反比例函数y-k≠0在同 一平面直角坐标系中的大致图象是() 【变式2-3】(2425九年级上湖南岳刚阶段练习)一次函数y=心+6与反比例函数y-在同平面直角 坐标系中的图象如图所示，则二次函数'=+br+c 的图象在平面直角坐标系中的位置可能是() 类型三、二次函数图象与各项系数符号问题 1.单个系数符号判断：a由抛物线开口方向决定（上正下负）；c是抛物线与y轴交点纵坐标（交y轴正 半轴为正，负半轴为负)；b的符号需结合对称轴X=- 与a的符号判断（对称轴在y轴左，a、b同 2a 号；右则异号)。 2.特殊点与系数关系：当x=1时，y=a+b+c,其值正负对应抛物线在(1，y)的位置；x=-1时，y=a-b+c,同 理可判断该表达式符号。 3.判别式与交点关系：判别式△=b2-4ac的符号决定抛物线与x轴交点个数（△>0有两个，=0一个，<0 无)，间接反映系数间关系。 例3。(25-26九年级上浙江绍兴阶段练习)已知二次函数'=r+br+c(a≠0) 的图象如图所示，对称轴 4/12 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为直线x=1.有下列5个结论：①abc>0;②a-b+c<0;③4a+2b+c>0;④3a+c>0;⑤ 川am+)>a+b,(”为实数且”≠l)其中正确的结论有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式3-I】(25-26九年级上重庆阶段练习)如图是二次函数'=m+hx+c(a≠0 图象的一部分，对称 轴为x=2且经过点(2,0).下列说法：①bc<0:②-2b+c=0:③4a+2b+c<0:④若 是抛物线上的两点，则<g⑤0+>mam+创其中@对》 .1 其中说法正确的是 () X- A.①②④⑤ B.①②④ C.②④⑤ D.③④⑤ 【变式3-2】(25.26九年级上湖北阶段练习)如图，二次函数'=a+r+ca+0) 的函数图象经过点 (L2),且与轴交点的横坐标分别为，，其中1<<01<6<2，下列结论：①c>0,②2a+6>0。 ③4a-2b+c>0,④当=m<m<2)时，m+m<0+b :其中正确的有()个 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 A.1 B.2 C.3 D.4 【变式3-3】(25-26九年级上：安徽安庆阶段练习)如图，二次函数"=+hr+C的图象经过点1-，0) 点B3,0)、点C(4),若点D,是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数'=++C的 最小值为4，②3动-2c>0,③若156≤4，则0≤%≤50，@若为>%，则5>4： ,则 ;⑤一元二次方 程cx2+br+a=0的两个根为-1和3·其中正确结论的个数是（) 3 A.1 B.2 C.3 D.4 类型四、二次函数中含参数的综合问题 1.参数对图象与性质的影响：含参二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，a、b、c的符号决定开口方向、对 称轴位置、顶点坐标及与坐标轴交点，需结合参数分析增减性、最值等。 2.分类讨论与转化思想：针对参数取值范围，讨论对称轴与给定区间的位置关系（同侧、异侧），确定 区间最值；将含参问题转化为方程（如交点问题）或不等式（如取值范围）求解。 3.综合应用与关联知识：常结合一次函数、几何图形（如三角形、四边形面积），利用函数交点坐标、 韦达定理及数形结合，解决存在性、最值等综合问题。 例4。(25-26九年级上·浙江杭州阶段练习)在平面直角坐标系中，抛物线'=(x-a(x+a-2-a 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)当a=1时，求抛物线与x轴交点坐标： (2)求抛物线的对称轴，以及顶点纵坐标的最大值： 考点44，点B3,为在抛物线上，且<.求的取值范围。 【变式4=】(2526九年级上安徽蚌路阶段练习》已知二次函数”=-m+5引x+2m+6(m为常数). (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点： (2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？ 【变式4-2】(25-26九年级上·福建龙岩阶段练习)已知二次函数”=r-2mx+m+2 (m是常数)的图象 是抛物线， (I)若抛物线与x轴只有一个公共点，求m的值： 22(m,川为该抛物线上一点，当2m+”取得最大值时，求点Q的坐标： 【变式4-3】(25-26九年级上·浙江杭州阶段练习)已知二次函数 =ar-4r+30（“为常数，a≠0) )的 图象为抛物线C. (1)求证：不论a为何值，抛物线C与x轴总有两个不同的交点； 2≤x≤6，y<5 (2)当 时， ,求的取值范围： 3)设点E1,5)、F4,5 ,若抛物线C与线段EF只有一个交点，结合函数图象，直接写出“的取值范围。 压轴专练 一、单选题 1.（25-26九年级上河南驻马店期中)在函数'=r+2-2a<0的图象上有三点，4-2，川， 7/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4(-山)，4，，则下列各式中，正确的是（) A.y<5<yB.为<5<y C.乃<乃<为 D.5<出<5 2.（25-26九年级上云南昭通期中)对于二次函数'=-x+2m-)x+1,当<3时，y随x的增大而增 大，则m的取值可以为() A.1 B.2 C.3 D.4 3.(25-26九年级上山东临沂期中)二次函数+加+C的部分阁象图所示，其对称错为=2 且图象经过点6,0，则下列结论错误的是（) 2 6 A.abc<0 B.5a+c>0 C.若-l）,(3,)两点都在抛物线y=ar+br+c的图象上，则<y D.若+=+且名，则+6=4 4。(25-26九年级上山东烟台期中)已知二次函数y=-x-a°- 的图象如图所示，则反比例函数 y=- x与一次函数y=ax-b的图象可能是() 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26九年级上陕西滑南期中)已知二次函数'=ar+x+C(“,6,c为常数，且a≠0)的图象 经过-山m,(3,m两点，则下列说法中错误的是) A.该函数图象的对称轴为直线x=1 B.无论m取何值，均满足3a+c=m C.函数y=ar2+bx+c 在x=引处取得最值 D.若6W为该函数图象上的点，则当<-时，%<m一定成立 二、填空题 6。(25.26九年级上四川广元期中)当m=一时，函数”=m-4r+m-3到+3是=次函数，图 象的对称轴是一，顶点是一，当x=0时，y有最小值一 7.(25-26九年级上·重庆·月考)已知点 cldo. 都在二次函数y=3x2-6x+m的图象 上，则必片的大小关系是一·（用“<”连接起来） 8.（2526九年级上河南新乡期中)已知二次函数"=m+m-m刚x+2(x是自变量)的图象关于y轴 对称，则m=一 9。(25:26九年级上·山东日照期中)已知二次函数'=r-4ar+3,s 3,当≤≤4时，函数的最大值与最小 值之差为8，则a的值为一· 10.(25-26九年级上湖北省直辖县级单位月考)如图，已知二次函数”=+x+c(“,6,c为常数， 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 且a≠0)的图象顶点 P1m,经过点 2,1 ,有以下结论：①abc>0,②4a+2b+c=1:③x>l时， y随x的增大而减小；④对于任意实数t,总有at2+bt≤a+b,其中结论正确的是一， y体 P(1,m) A(2,1) 三、解答题 1.(25-26九年级上江西宜春期中)已知=m+3列x+(2-mx-5是'关于x的=次函数. (1)求m的值. 1 2)当x=2时，y的值为多少？ 12.(25-26九年级上江西上饶阶段练习设抛物线”=+4r+20,其中“为常数. (I)求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）； (2)将抛物线y=r+4ar+2 向上平移2个单位长度，求所得抛物线的顶点的纵坐标的最大值. 13.(25-26九年级上江苏苏州期中)已知二次函数=ar+4+a (其中“为常数)· (1)若该二次函数有最大值，则a的取值范围是 (2)若该二次函数的最大值是3，求a的值. 14。(25-26九年级上·山东临沂期中)已知二次函数'=P+hr+C】 P(-2,c) (1)若点 在该函数图象上，求此函数图象的对称轴： (2)在(1)的基础上，若C=-3,当-5≤x≤1时，求二次函数的最大值： (3)若该函数在x≤1时，y随x增大而减小；在x≥3时，y随增大而增大，请求出b的取值范围. 13.(2526九年级上山东日照期中)在平面直角坐标系0中，点0,4，(4，在抛物线 10/12 专题06 二次函数图象和性质与系数的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数中含参数的图像和性质 类型二、一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题 类型三、二次函数图像与各项系数符号问题 类型四、二次函数中含参数的综合问题 压轴专练 类型一、二次函数中含参数的图像和性质 1.参数对图象形状与位置的影响：二次项系数a决定开口方向（a>0向上，a<0向下）和宽窄（|a|越大越窄）；一次项系数b和a共同影响对称轴（x=-）；常数项c决定图象与y轴交点（0,c）。 2.参数与函数性质的关联：结合a、b、c可确定顶点坐标（-，），进而分析最值（a>0有最小值，a<0有最大值）及增减区间（以对称轴为界）。 3.含参问题的常见类型：含参二次函数与坐标轴交点问题（判别式Δ=b²-4ac的应用）、区间最值讨论（需考虑对称轴与区间位置关系）等。 例1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）若抛物线经过和两点，将该抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到新抛物线，则关于新抛物线下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．图象过点 C．在时，的最小值为 D．当时，随增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象，二次函数的性质，二次函数的平移，解决本题的关键是得到新抛物线的解析式． 先根据和求得二次函数对称轴，再利用平移的性质得到新函数解析式，根据二次函数的性质，逐一判断即可． 【详解】解：抛物线经过和两点， 抛物线对称轴为直线， 则， ， 将该抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到新抛物线， 新抛物线解析式为， ， 故抛物线开口向上，故A错误； 当时，， 故抛物线不经过，故B错误； 抛物线对称轴为直线， 在时，在顶点处取最小值，为，故C正确； 当时，随增大而增大，故D错误， 故选：C． 【变式1-1】（25-26八年级上·安徽·阶段练习）已知二次函数，则下列说法错误的是（　　） A．该二次函数的图象与轴有交点 B．该二次函数的图象的对称轴与轴交于正半轴 C．若点在该二次函数的图象上，则 D．若点，都在的图象上，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，由判断A，由对称轴公式判断B，根据抛物线上点的坐标特征判断C、D． 【详解】解：A、令，则， ∵， ∴图象与x轴有两个交点，故A正确，不符合题意； B、∵抛物线的对称轴且， ∴，故B正确，不符合题意； C、∵点在的图象上， ∴， 若，则， ∵， ∴，故C不正确，符合题意； D、∵点、都在的图象上，， ∴，， ∵， ∴，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论：①该函数图象经过点：②若，则当时，随的增大而减小；③该函数图象与轴有两个不同的公共点；④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1；⑤若，则关于的方程的正数根只有一个．其中正确的是（   ） A．①④ B．②③⑤ C．①②③④ D．②④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点问题，利用二次函数确定一元二次方程的根，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，把代入函数解析式，求出值，判断①；求出二次函数的对称轴，判断出增减性，判断②，根据判别式，判断③；求出方程的根，判断④，图象法确定⑤即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， 只有当时。，该函数图象才经过点， 故①错误； 当时，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； ∵， ∴， ∴抛物线与轴有1个或2个交点，故③错误； 当时， 当时，， ∵函数图象经过点， ∴的一个根为， ∴由根与系数的关系可知：方程的另一个根为， ∵， ∴，即：关于的方程有一个根大于0且小于1；故④正确； ∵， ∴当时，， 由④可知，当时，抛物线与轴的两个交点分别为，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴在轴的左侧， ∴当时，抛物线与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限， 故有一个正根， 当时，抛物线与直线有两个交点，一个为，一个在对称轴的左侧，即在第三象限， 故，则关于的方程的正数根只有一个；故⑤正确． 故选：D． 【变式1-3】（25-26九年级上·广东·阶段练习）关于二次函数．有下列三个结论： ①若，是该二次函数图象上任意的两个点，则； ②当时，该二次函数的图象与轴始终没有交点； ③若该二次函数的图象与轴交于，两点，且，则或． 以上结论正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数及其图象的性质，二次函数的图象与x轴的交点与一元二次方程之间的关系等知识，①根据抛物线的对称轴和点的对称性得出结果；②根据方程的根的判别式的取值得出结果； ③根据得出抛物线与x轴有两个公共点，设抛物线与x轴的交点是，，根据得出，进而求得m的范围，两者结合得出结果． 【详解】解：①抛物线的对称轴是直线， ， ，故①正确； ②令，可得， ， 令，即， 解得， 该二次函数的图象与轴始终没有交点，故②正确； ③该二次函数的图象与轴交于，两点， ， ， 或， 设抛物线与轴的交点是，， ， ， ， 或， 或时，，故③不正确． 故选：B． 类型二、一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断问题 1.各函数图象特征：一次函数y=kx+b（k≠0）是直线，k定倾斜方向（正增负减），b定与y轴交点；反比例函数y=k/x（k≠0）是双曲线，k正分布一三象限，负分布二四象限；二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）是抛物线，a定开口，对称轴和顶点影响位置。 2.参数关联性判断：同一坐标系中多函数共存时，需通过参数符号（如k、a正负）匹配图象位置，排除矛盾情况（如k正的一次函数与k负的反比例函数同存）。 3.交点与范围分析：利用函数交点坐标满足多解析式，结合图象高低判断函数值大小关系，辅助验证图象正确性。 例2．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象性质和二次函数的图象性质与系数的关系，根据每个选项中的图象特征判断一次函数和二次函数中系数之间的关系即可． 【详解】解：A项：由二次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，故选项A错误，不符合题意； B项：由二次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，故选项B错误，不符合题意； C项：由二次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，故选项C正确，符合题意； D项：由二次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 【变式2-1】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，以及二次函数的图象和性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键． 根据反比例函数图象可得，进而分析出二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点，确定函数图象即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 函数的图象开口向上，对称轴为轴，与轴交于负半轴， 故选：A． 【变式2-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，分，讨论即可． 【详解】解：当时，二次函数的图象开口向上，顶点在y轴的负半轴， 反比例函数的图象在第一、三象限， 故选项A，B，C，D都不符合题意； 当时，二次函数的图象开口向上，顶点在y轴的正半轴， 反比例函数的图象在第二、四象限，故选项C符合题意． 故选：C． 【变式2-3】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）一次函数与反比例函数在同平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一次函数和反比例函数图象经过的象限求参数，二次函数图象与其系数的关系，根据一次函数与反比例函数图象经过的象限可得，，则可得到二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，且对称轴在y轴右侧，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴， ∵对称轴为直线， ∴二次函数的对称轴在y轴右侧， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 类型三、二次函数图象与各项系数符号问题 1. 单个系数符号判断：a由抛物线开口方向决定（上正下负）；c是抛物线与y轴交点纵坐标（交y轴正半轴为正，负半轴为负）；b的符号需结合对称轴x=-与a的符号判断（对称轴在y轴左，a、b同号；右则异号）。 2. 特殊点与系数关系：当x=1时，y=a+b+c，其值正负对应抛物线在(1,y)的位置；x=-1时，y=a-b+c，同理可判断该表达式符号。 3. 判别式与交点关系：判别式Δ=b²-4ac的符号决定抛物线与x轴交点个数（Δ>0有两个，=0一个，<0无），间接反映系数间关系。 例3．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线．有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（为实数且）其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象和性质的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据抛物线开口方向和对称以及与y轴的交点情况可以对①进行判断；根据时，，可对②进行判断；利用抛物线的对称轴可得时，，可对③进行判断；由对称轴为直线可得b与a的关系，将代入可判断④；利用二次函数的最值则可对⑤进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴， 故①正确； ②当时，， ∴， 故②错误； ③∵抛物线的对称轴为直线， ∴与的函数值相同， ∴时，，即， 故③错误； ④∵， ∴， 将代入得， 故④正确； ⑤∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， 当时，， ∴， ∴（为实数且）， 故⑤正确． 综上，正确的有①④⑤，一共3个． 故选：C． 【变式3-1】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为且经过点．下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则⑤其中，其中说法正确的是（   ） A．①②④⑤ B．①②④ C．②④⑤ D．③④⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象及其性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，抛物线与轴的交点在轴上方，得到，则可对①进行判断；利用抛物线经过点，得到，则可对③进行判断；同时得到，则可对②进行判断；通过比较点到直线的距离和点到直线的距离大小可对④进行判断；利用当时，函数值最大，可对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线经过点， ∴，所以③错误； ∵， ∴，∴， ∴，所以②正确；∵点到直线的距离比点到直线的距离大， ∴，所以④正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，函数值最大， ∴， 即，其中，所以⑤正确； 正确的有①②④⑤． 故选：A ． 【变式3-2】（25-26九年级上·湖北·阶段练习）如图，二次函数的函数图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①；②；③；④当（）时，；其中正确的有（  ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，不等式的性质，根据二次函数的图象和性质，由函数图象可得，，，根据函数图象可知，对称轴，可得，进行判断①和②，当，，可判断③，当，则，推出，根据题意，二次函数的函数图象经过点，可得，，得到，进行判断，即可． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴 ∴，， ∵对称轴在轴和直线之间， ∴， ∴， ∴，，故①②错误； 由函数图象可知，当时，，故③错误； 由函数图象可知，当，， ∴， ∵二次函数的函数图象经过点， ∴当时，，即， ∴， ∵，对称轴在轴和直线之间， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有1个， 故选：A． 【变式3-3】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，二次函数的图象经过点、点、点，若点是抛物线上任意一点，有下列结论：二次函数的最小值为；；若，则；若，则；⑤一元二次方程的两个根为和 ．其中正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；根据、两点写出抛物线的交点式化简得，再配成顶点式，即可判断①；由和，即可判断②；当时，，根据二次函数的性质，即可判断③；利用二次函数的对称性及增减性即可判断④；由可知，，则可化为，，解方程即可判断⑤． 【详解】解：抛物线解析式化成交点式为， 即， 配成顶点式得， 当时，二次函数有最小值为，所以①正确； ∵对称轴为直线， ∴ ∴， 由得到， ∴ 故②错误， 当时，， 当，，所以③错误； 点的坐标为，点关于直线的对称点为， 若，则或，所以④错误； 由可知，，则可化为， ， 方程整理得：， 解得，，所以⑤正确． 综上分析可知：正确的有2个． 故选：B． 类型四、二次函数中含参数的综合问题 1.参数对图象与性质的影响：含参二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）中，a、b、c的符号决定开口方向、对称轴位置、顶点坐标及与坐标轴交点，需结合参数分析增减性、最值等。 2.分类讨论与转化思想：针对参数取值范围，讨论对称轴与给定区间的位置关系（同侧、异侧），确定区间最值；将含参问题转化为方程（如交点问题）或不等式（如取值范围）求解。 3.综合应用与关联知识：常结合一次函数、几何图形（如三角形、四边形面积），利用函数交点坐标、韦达定理及数形结合，解决存在性、最值等综合问题。 例4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线， (1)当时，求抛物线与x轴交点坐标； (2)求抛物线的对称轴，以及顶点纵坐标的最大值； (3)若点，点在抛物线上，且．求n的取值范围． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点纵坐标的最大值为 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）先求出抛物线的解析式，令，进行求解即可； （2）根据抛物线的对称轴公式和顶点坐标公式，求出对称轴和顶点纵坐标，再利用二次函数求最值即可； （3）根据增减性，进行求解即可． 【详解】（1）解：， 当，则：， 当时，解得或， ∴抛物线与x轴交点坐标为； （2）∵， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴当时，顶点纵坐标的最大值为． （3）∵，对称轴为直线， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越远函数值越大， ∵点，点在抛物线上，且， ∴， 解得． 【变式4-1】（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知二次函数（为常数）． (1)求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点； (2)当取什么值时，该函数的图象与轴的交点在轴的上方？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数图象与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）由可得该函数的图象与x轴总有公共点；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标． （1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出≥0，根据判别式的意义即可证明； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标，令其大于0即可求出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ∴无论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2）解：∵当时，， ∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为， ∴当， 解得， 即时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方． 【变式4-2】（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知二次函数（m是常数）的图象是抛物线． (1)若抛物线与x轴只有一个公共点，求m的值； (2)为该抛物线上一点，当取得最大值时，求点Q的坐标； 【答案】(1)m的值为或 (2)点Q的坐标为 【分析】本题考查二次函数的性质（与x轴的交点、二次函数的最值）．解题用到的思想是代数方程思想，方法是利用判别式解决抛物线与x轴的交点问题，利用二次函数的顶点式求最值；解题关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，以及二次函数最值的求解方法；易错点是在计算判别式和二次函数最值时，容易因符号或运算错误导致结果出错． （1）根据抛物线与x轴只有一个公共点时判别式，先确定二次函数中a、b、c的值，代入判别式公式列出方程，进而求解m的值． （2）先将点代入抛物线解析式得到n关于m的表达式，再将其代入得到关于m的二次函数，最后根据二次函数的性质求出其最大值对应的m、n的值，从而得到点Q的坐标． 【详解】（1）由题意得，在函数中，，，，则： 令，即， 得， 解得或． （2）因为在抛物线上，所以将，代入，得： 则． 这是一个关于m的二次函数，开口向下，其最大值在顶点处取得． ． 将代入，得： ． 所以点Q的坐标为． 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（为常数，）的图象为抛物线． (1)求证：不论为何值，抛物线与轴总有两个不同的交点； (2)当时，，求的取值范围； (3)设点、，若抛物线与线段只有一个交点，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，解题的关键是利用数形结合的思想求解． （1）根据根的判别式证明即可； （2）先确定对称轴为直线，然后分两种情况讨论，根据二次函数的图象与性质分析求解； （3）令，问题转化为该函数在上与轴只有一个交点，然后分类讨论，画图分析即可求解． 【详解】（1）证明：当，则 ∴， ∴不论为何值，抛物线与轴总有两个不同的交点； （2）解：对于二次函数， 对称轴为直线， ①当时，在时，随着的增大而增大， ∴当时，函数取得最大值，即， ∴要使得当时，，则， ∴， ∴； 当时，在时，随着的增大而减小， ∴当时，函数取得最大值，即， ∴要使得当时，，则， ∴， ∴， ∴当时，，的取值范围为或； （3）解：与联立得， 问题化为方程在只有一个实数根， 令，即该函数在上与轴只有一个交点， 当时，；时，， ①当时，如图： ∵抛物线经过， ∴只能是抛物线对称轴右侧的图象与轴交点在个范围内， ∴当时， ∴； ②当时，时，，如图： ∴只能顶点在轴上符合题意， ∴， ∴， 综上：的取值范围是或 一、单选题 1．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）在函数的图象上有三点，，，，则下列各式中，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 由于，则二次函数开口向下，对称轴为，点在对称轴上，最大，点和在对称轴两侧，通过比较距离对称轴的远近，得出函数值的大小即可． 【详解】解：函数的对称轴为， 由于， 则二次函数开口向下，在处取得最大值，即为最大值， 由于点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， 则点离对称轴更近，函数值更大， 因此， 故选：D． 2．（25-26九年级上·云南昭通·期中）对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．先确定抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质得当时，y随x的增大而增大，可得，即可求解． 【详解】解：∵ 二次函数的二次项系数， ∴ 抛物线开口向下，在对称轴左侧函数递增， 对称轴为， 由题意，当时，y随x的增大而增大， ∴， 解得， ∴， ∴ 选项中只有D选项满足， 故选：D． 3．（25-26九年级上·山东临沂·期中）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为，且图象经过点，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．若，两点都在抛物线的图象上，则 D．若且，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，对称轴，根据二次函数的图象判定式子的取值范围，正确掌握相关性质内容是解题的关键．观察函数图象，得出开口方向向下，函数与轴的正半轴相交，对称轴为直线再结合图象经过点，得出图象经过，则，因为，整理得，则，因为，所以，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得出开口方向向下，即， 观察函数图象，得出函数与轴的正半轴相交，即， ∵对称轴为， 故 ∴， ∵， ∴， 故， ∴A选项不符合题意； ∵ ∴， ∵， ∴关于直线对称， ∴， 即， 故D选项不符合题意； ∵其对称轴为，且图象经过点， ∴ ∴图象经过， 则 ∵， ∴ 整理得 ∴ 则， ∵ ∴ 即， 故B选项不符合题意； ∵抛物线的对称轴为，开口向下， ∴越靠近对称轴的值所对应的函数值越大， ∵，两点都在抛物线的图象上，且 则， ∴C选项符合题意， 故选：C 4．（25-26九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据二次函数的图象找出，．解决该题型题目时，熟记各函数图象的性质是解题的关键． 观察二次函数图象，找出，，再结合反比例函数、一次函数图象与系数的关系，即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标在第四象限， ∴， ∴，． ∵反比例函数中， ∴反比例函数图象在第二、四象限； ∵一次函数，，， ∴一次函数的图象过第一、三、四象限． 只有B符合． 故选：B． 5．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）已知二次函数（，，为常数，且）的图象经过，两点，则下列说法中错误的是（） A．该函数图象的对称轴为直线 B．无论取何值，均满足 C．函数在处取得最值 D．若为该函数图象上的点，则当时，一定成立 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像与性质．根据两点纵坐标相同，可得对称轴；代入点坐标和对称轴关系可推导出系数关系；最值在顶点处取得；函数值大小比较需考虑开口方向． 【详解】解：∵二次函数图像经过点和， ∴对称轴为直线，故A正确． ∵对称轴， ∴， 代入点得，即， ∴，即，故B正确． ∵对称轴为， ∴函数在处取得最值，故C正确． 对于D，当时，开口向上，时；当时，开口向下，，故不一定成立，D错误． 故选：D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·四川广元·期中）当 时，函数是二次函数，图象的对称轴是 ，顶点是 ，当时，有最小值 ． 【答案】 3 3 【分析】本题考查二次函数的定义和其图象的性质，二次函数的定义条件是：、、为常数，，自变量的最高次数为2． 根据二次函数的定义，指数部分必须为2，且二次项系数不为零，求解的值；然后根据二次函数的性质求对称轴、顶点和最值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且． 解方程得： 或 ，解不等式得：， ∴． 此时函数为 ， ∴对称轴为 ，顶点坐标为 ， 当 时，函数有最小值，最小值为． 故答案为：3，， ，3． 7．（25-26九年级上·重庆·月考）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是 ．（用“＜”连接起来） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，通过计算二次函数在各点的函数值，比较大小关系．由于二次项系数大于零，抛物线开口向上，但直接计算函数值即可比较． 【详解】解：二次函数为 ． 计算点 的函数值： ． 计算点 的函数值： ． 计算点 的函数值： ． 比较函数值：， 因此 ． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·河南新乡·期中）已知二次函数（是自变量）的图象关于轴对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称轴公式，即可求解． 【详解】解：∵二次函数（是自变量）的图象的对称轴为轴， ∴ 解得： 故答案为：． 9．（25-26九年级上·山东日照·期中）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的顶点式、根据开口方向结合自变量范围确定最值是解题的关键． 先将二次函数化为顶点式，确定对称轴，再分和两种情况，结合的范围求函数的最大值与最小值，根据差值为8列方程求解的值． 【详解】解：将二次函数化为顶点式：， ∴对称轴为直线， 当时， ∵抛物线开口向上，在中，时取最小值，时取最大值， ∴最小值，最大值 ∵最大值与最小值之差为8， ∴， 解得：， 当时， ∵抛物线开口向下，在中，时取最大值，时取最小值， ∴最大值，最小值， ∵最大值与最小值之差为8， ∴， 解得：， 综上，的值为或 故答案为：或 10．（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·月考）如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图象顶点为，经过点，有以下结论：；；时，随的增大而减小；对于任意实数，总有，其中结论正确的是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线开口向下，可知，根据对称轴是，可知，根据抛物线与轴的交点在轴的正半轴，可知，可知；因为当时，，可知；根据抛物线的对称轴是，可知当时，随的增大而减小；因为当时，有最大值，可知对于任意实数，总有． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的顶点为， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ， ， 故错误； 抛物线经过点， ， 故正确； 抛物线的顶点为， 抛物线的对称轴是， 当时，随的增大而减小， 故正确； 抛物线的顶点为， 当时，函数有最大值， 当时，函数值为， ， ， 故正确； 综上所述，结论正确的是． 故答案为：②③④． 三、解答题 11．（25-26九年级上·江西宜春·期中）已知是关于的二次函数． (1)求的值． (2)当时，的值为多少？ 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． （1）根据二次函数的定义列式计算，得到答案； （2）把代入二次函数即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，， 解得， 的值为； （2）解：当时，， 把代入可得． 12．（25-26九年级上·江西上饶·阶段练习）设抛物线，其中为常数． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)将抛物线向上平移个单位长度，求所得抛物线的顶点的纵坐标的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象的平移以及配方的应用，解决本题的关键是综合利用二次函数的图象和性质． （）运用配方法将抛物线解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标； （）求出平移后的抛物线的顶点的纵坐标，再配方，求出最大值即可． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）将抛物线向上平移个单位长度后， 所得抛物线解析式为 ∴抛物线的顶点坐标为； ∴抛物线的顶点的纵坐标为： ∵二次项系数， ∴这个二次函数的图象开口向下，顶点处取得最大值， 当时，纵坐标的最大值为． 13．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数（其中为常数）． (1)若该二次函数有最大值，则的取值范围是________； (2)若该二次函数的最大值是3，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为二次函数有最大值，得，即可作答． （2）先求出对称轴为直线，结合该二次函数的最大值是3，故顶点坐标为，，代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数有最大值， ∴开口向下，在对称轴处取得最大值，即； （2）解：依题意，二次函数的对称轴为直线， ∵该二次函数的最大值是3， ∴二次函数的开口向下，二次函数的顶点坐标为， 故，， ∴， 解得（舍去）， ∴． 14．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知二次函数． (1)若点在该函数图象上，求此函数图象的对称轴； (2)在（1）的基础上，若，当时，求二次函数的最大值； (3)若该函数在时，y随x增大而减小；在时，y随增大而增大，请求出b的取值范围． 【答案】(1) (2)12 (3) 【分析】本题考查二次函数的性质（对称轴、最值、增减性），解题的关键是掌握二次函数对称轴公式及开口方向对增减性的影响． （1）利用二次函数过的两点，结合对称轴公式求对称轴； （2）代入参数得到函数解析式，根据开口方向和区间距离对称轴的远近求最值； （3）根据增减性确定对称轴的范围，进而求解的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴当时，， 即二次函数过点， 又点在该函数图象上， ∴此函数图象的对称轴为直线； （2）解：由（1）可知对称轴为直线， ， 又， ， ， ∴该二次函数开口向上， 又， ∴当时，，二次函数有最大值为， ∴当时，二次函数有最大值为12； （3）解：∵二次函数， ∴此函数图象的对称轴为直线， ， ∴抛物线开口向上， ∵在时，y随x的增大而减小， ， 解得， ∵在时，y随x的增大而增大， ， 解得， ． 15．（25-26九年级上·山东日照·期中）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)若，当自变量的值满足时，函数的最小值等于2，求b的值； (3)当时，点，在抛物线上．若，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求对称轴，含字母的绝对值的问题，直接开平方法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，结合点，都在抛物线上，则对称轴为直线，即可作答． （2）先分析得函数的开口方向向上，离对称轴越近的自变量所对应的函数值越小，再求出，以及对称轴为，因为当自变量的值满足时，函数的最小值等于2，所以进行分类讨论，结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答． （3）当时，则的开口方向向上，离对称轴越近的自变量所对应的函数值越小，根据点，在抛物线上．得对称轴为直线，又因为点，在抛物线上．且，得，再解出的取值范围，即可作答． 【详解】（1）解：点，在抛物线上，且当时， ∴点，都在抛物线上， 则抛物线的对称轴为直线， （2）解：∵， ∴， 此时函数的开口方向向上，离对称轴越近的自变量所对应的函数值越小， ∵点在抛物线上． ∴， ∴， 即， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当自变量的值满足时，函数的最小值等于2， ∴当时，即， 此时离对称轴近，离对称轴远， 则时，， 故把，代入， 得， 解得； ∴当时，即， 此时在对称轴处取得最小值， 故把，代入， 得， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴； ∴当时，即， 此时离对称轴远，离对称轴近， 则时，， 故把，代入， 得， 解得； ∵ ∴舍去， 综上：满足题意的b的值为或； （3）解：当时，则的开口方向向上，离对称轴越近的自变量所对应的函数值越小， ∵点在抛物线上． ∴， ∴， ∴， ∵点，在抛物线上． ∴对称轴为直线 ∵点，在抛物线上．且， ∴，且 ∴，且 解得． 16．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数（为常数）图象经过点． (1)求的值． (2)若二次函数的图象经过点，求的最小值． (3)若二次函数在时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3)的取值范围是 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质. （1）将代入即可求出的值； （2）将代入中，再利用二次函数的性质即可求出的最小值. （3）先求出的对称轴，再根据时，即可求出的取值范围. 【详解】（1）解：的图象经过， ∴， ∴； （2）解：由（1）得 的图象经过， ， ， ∴的最小值为； （3）解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为. ∵时，， ∴， 当时， ， 解得， ∴， ∴的取值范围是． 17．（25-26九年级上·青海西宁·期中）综合与实践：综合与实践数学活动课上，老师给出了这样一个问题：已知二次函数，当时，则的取值范围是多少？ 【问题初探】 经探究发现：对于求二次函数区间范围内的最值时，需要对二次函数图象的对称轴与自变量的取值范围的位置关系（区间在对称轴左侧、对称轴右侧以及对称轴在区间内）进行讨论；再通过“数形结合”思想找出在区间取值范围内的最大值与最小值． 【问题解决】 （1）首先确定的对称轴为___________；并通过，2和对称轴的大小关系，分别确定了最大值和最小值，则的取值范围为___________． 【类比探究】 （2）二次函数，当时，的取值范围为___________； （3）二次函数，当时，函数的最小值为，的取值范围为___________． 【拓展应用】 （4）已知二次函数，当时，其对应的函数值的最小值为3，求常数的值． 【答案】（1）对称轴为，的取值范围为 （2）的取值范围为 （3）的取值范围为 （4）的值为或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，包括对称轴公式、二次函数在区间内的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，根据对称轴与区间的位置关系分类讨论是解题的关键． （1）先根据二次函数对称轴公式求出对称轴，再判断对称轴与给定区间的位置关系，分别计算区间端点和对称轴处的函数值，从而确定的取值范围． （2）先求对称轴，判断其与区间的位置关系，再计算区间端点和对称轴处的函数值，确定的取值范围． （3）先求对称轴，找到函数最小值为时的值，再根据区间确定的取值范围． （4）根据二次函数顶点式的性质，分对称轴在区间左侧、内部、右侧三种情况讨论，求出的值． 【详解】解：（1）∵， ∴对称轴为直线， 当时，； 当时，； 当时，． ∵， ∴的取值范围为， 故答案为：直线，； （2）∵， ∴对称轴为直线， 当时，； 当时，； 当时，． ∵， ∴的取值范围为． （3）， ∴对称轴为直线， 当时，． ∵当时，函数最小值为， ∴． （4）二次函数的顶点为，且，抛物线开口向上． 当时，在上，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值，即， ， ， 解得或（舍去，因为）． 当时，的最小值为，不符合题意． 当时，在上，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，即， ， ， 解得或（舍去，因为）． 综上，的值为或． 18．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线过点和点，直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且． (1)求抛物线的对称轴； (2)求的值； (3)直线绕点以每秒的速度顺时针旋转秒后得到直线，当时，直线交抛物线于，两点．求的值； 【答案】(1)直线 (2) (3)15 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，一次函数的性质，坐标与图形周长，对称的性质，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． （1）利用对称轴公式进行求解即可； （2）根据得出线段之间的关系，假设，根据对称轴列出方程组，然后利用待定系数法求解即可； （3）根据，得出，然后列出方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线； （2）解：如图所示 ∵直线过点， ∴， ∵直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且， ∴在的左边，， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴， ∴， 假设， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：如图所示， 当时，直线交抛物线于，两点， 由（2）得直线， ∴， ∴， 解得， ∴的值为15． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $