专题10 二次函数中的特殊四边形存在性问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10二次函数中的特殊四边形存在性问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数中的平行四边形存在性问题 类型二、二次函数中的矩形存在性问题 类型三、二次函数中的菱形存在性问题 类型四、二次函数中的正方形存在性问题 压轴专练 物 典例详解 类型一、二次函数中的平行四边形存在性问题 1解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P、Q,分以AB为边或对角线两类，利用平行四边形 对边平行且相等或对角线互相平分性质分析。 2解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）列方程，结合抛物线表达式消元；借向量平行（坐标差 相等)简化关系，注意动点范围。 3解题方法：代数法联立中点或向量方程求解；辅以几何法（平移定点得动点轨迹），验证四点不共线及 图形合理性。 例1.（25-26九年级上·黑龙江阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴 4 分别交于点A、B、C，直线y=-5x+4经过点B,与y轴交点为D,M(3,-4)是抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式. (2)己知点N在对称轴上，且AN+DN的值最小.求点N的坐标. 1/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)在(2)的条件下，在坐标平面内是否存在点P,使以A、B、N、P为顶点的四边形是平行四边形？若 存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由 【变式1-1】(25-26九年级上：广东·阶段练习)如图，直线y=-x-2交x轴于点A,交y轴于点B,抛物 线y=ax-h的顶点为A,且经过点B, (1)求该抛物线对应的函数解析式。 2)若点Cm,-2 在该抛物线上，求m的值. (3)若点D(-4,n)在抛物线上，求S。D· (④在对称轴上是否存在一点Q,使以Q,A,O,B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出 点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式1-2】(25-26九年级上山东东营阶段练习)二次函数y=x2+bx+c的图象过A-1,0),B(3,0)两点， 与y轴相交于点C. 图1 备用图 (1)求二次函数的解析式； (②)若点P是第四象限内抛物线上的一动点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标； (3)若点M是平面内一点，是否存在以A,C,B,M为顶点的平行四边形，若存在，请求出点M的坐标，若 不存在，请说明理由， 2/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、二次函数中的矩形存在性问题 1解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P、Q,分以AB为边或对角线，利用矩形“对角线互 相平分且相等”或“平行四边形+一角为直角”的性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）和勾股定理（对角线等长）列方程，借抛物线表达式消 元；结合斜率（垂直时积为-1）验直角，限定动点范围。 3解题方法：代数法联立对角线条件方程求解；先证平行四边形再验证直角（斜率法），结合图形验合理 性。 例2.(2025青海西宁.中考真题)如图，在平面直角坐标系x0y中，以P为顶点的抛物线的解析式为 y=ax2-4ax(a<0),点A的坐标是(-1,0)，以原点为中心，把点A顺时针旋转90°，得到点A. (1)直接写出A点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当3≤x≤5时，y有最大值为1-2a,求抛物线的解析式： (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点4，P,M,N为顶点的四边形是 矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式2-1】(2025江苏二模)如图，已知二次函数y=m2x2-2mx-3(m是常数，m>0)的图象与x轴分别 相交于点A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C,对称轴为直线1.点C关于1的对称点为D,连 接AD.点E为该函数图象上一点，AB平分∠DAE. (1)①线段AB的长为 3/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (②)设M是该函数图象上一点，点N在1上，探索：是否存在点M.使得以A、E、M、N为顶点的四边形是 矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由 【变式2-2】(2025湖北模拟预测)如图，抛物线y=x2+6x+5经过A、B两点，顶点为M,对称轴1与x 轴交于点D,与直线AC交于点E. M (I)将抛物线沿直线AB平移，使得点A落在点B处记为，此时点C的对应点为C,求点C的坐标，判断 四边形AA'CC'的形状，并说明理由 (②)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时.求点G的坐标 (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G,使得以A、C、G、K为顶点的 四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由. 类型三、二次函数中的菱形存在性问题 1解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P、Q,分以AB为边（邻边相等）或对角线（对角线 垂直平分)两类，利用菱形“四边相等”或“平行四边形+邻边相等”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式表边长（四边相等），中点坐标公式（对角线平分），斜率乘积-1（对角线垂直） 列方程，结合抛物线消元，限定动点范围。 3解题方法：代数法联立平行四边形与邻边相等方程；先证平行四边形，再验四边相等或对角线垂直，结 合图形验合理性。 例3.(2025湖北二模)如图.二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A,B,交y轴于点C,点B的坐 标为1,0)，对称轴是直线x=-1,点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M.交抛物线于点N 4/16 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M (①)求这个二次函数的解析式： (2)若点P在线段AO上运动（点P与点A,点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值.并求出此时点P的 坐标； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上存在点Q,使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形.请直接写出 所有满足条件的点Q的坐标. 【变式3-1】(25-26九年级上广东阶段练习)如图，二次函数y=-x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为 B(4,0),另一个交点为A,且与y轴相交于C点. AO B 备用图 (1)求m的值及C点坐标. (②)P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q,当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标. (3)连接BC，在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M,使得四边形ABMC的面积最大，若存在，求出此 时M点坐标；若不存在，请简要说明理由 【变式3-2】(24-25九年级下·甘肃武威阶段练习)如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点 C(0,3),与x轴分别交于点A,点B(3,0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点. 5/16 厨学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求二次函数y=ax2+2x+c的表达式： (②)连接PO,PC,并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP'C,若四边形POP'C为菱形，请求出此时点 P的坐标； (3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标 类型四、二次函数中的正方形存在性问题 1解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P、Q,分以AB为边（邻边等且垂直）或对角线（对 角线等且垂直平分)，利用正方形“四边等+四角直”或“菱形+矩形”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式（边等）、斜率积-1（垂直）、中点重合（对角线平分）列方程，借抛物线消元， 结合图形限动点范围。 3.解题方法：代数法联立邻边等与垂直方程：先证矩形再验邻边等，或先菱形再验直角，结合图形验合理 性。 例4.(24-25九年级上·福建莆田·阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，点A(2,4在抛物线y=ax2上， 过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B,点C,D在线段AB上，分别过点C,D作x轴的垂线，交抛 物线于E,F两点. A ()求抛物线对应的函数解析式： (②)当四边形CDFE为正方形时，求线段CD的长. 【变式4-1】(2025西藏模拟预测)如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线 y=a(x-2)2+k经过A、B两点，并与x轴交于另一点C. 6/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (①)求此抛物线的函数解析式： (2)若抛物线的对称轴上有一点Q,使得△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标： (3)在抛物线及其对称轴上分别取点M,N,使得以A,C,M,N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长。 【变式4-2】(24-25九年级上·安徽阜阳期末)如图，在平面直角坐标系中，点A0,2,C(-1,0),以AC为 直角边，在第二象限作等腰直角三角形ABC,LACB=90°，抛物线y=a2+ax-2经过点B. D (①)求抛物线的解析式. (②)设抛物线的顶点为D,连接BD,CD,求△BDC的面积. (3)在抛物线上是否还存在两点G,H,使四边形ACGH为正方形？若存在，请求出点G,H的坐标；若不存 在，请说明理由。 压轴专练 一、解答题 1.(25-26九年级上·吉林期中)如图，抛物线y=ax2+bx-3经过点A(2,-3),与x轴负半轴交于点B,与 y轴交于点C,且0C=30B. 7/16 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式： (2)当-5<x<2时，直接写出y的取值范围； (3)抛物线的对称轴上有一点P,当PB+PC的值最小时，求点P的坐标； (④点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由。 2.(25-26九年级上·四川广安期中)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交 于A-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,-3),M是抛物线上的一个动点. 备用图 (1)求该二次函数的解析式. (2)若点M在直线BC的下方，则当点M运动到什么位置时，△MBC的面积最大？请求出此时点M的坐标 以及△MBC的面积的最大值. (3)若N是x轴上的一动点，是否存在点M,使以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请 直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由 3.(25-26九年级上江苏徐州期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A1,0 ,B(3,0)两点，与y轴交于点C,顶点为D,抛物线的对称轴交直线BC于点E. 8/16 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A B E (1)求抛物线y=-x2+bx+c的表达式； (2)若点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，当点P在何处时，△BCP的面积最大？求出△BCP面积的最 大值及此时点P的坐标； (3)M是(1)中抛物线上一点，N是直线BC上一点.是否存在以点D,E,M,N为顶点的四边形是平 行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 4.(24-25九年级上重庆永川月考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点 A(3,0),B(0,-3),，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,设点P的横坐标为t. B (1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式； (2)若点P在第四象限，求线段PM最大值； (3)是否存在这样的点P,使得以点P,M,B,O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由. 4 5.(25-26九年级上辽宁大连阶段练习)如图，已知直线y=x+4与x轴交于点4，与y轴交于点C,抛 物线y=a2+bx+4经过A,C两点，且与x轴的另一个交点为B,对称轴为直线x=-1. 9/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B O ! (备用图) (①)求抛物线的表达式： (②)D是第二象限内抛物线上的动点，求△ACD面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，点Q在平面上，以点A,C,P,Q为顶点作菱形，请直接写出符合题意的P 点的坐标 6.(25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象y=x2+bx+c与 x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为3,0)，与y轴交于C(0,-3)点，点P是直线BC下 方的抛物线上一动点， (1)求b,c的值. (②)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C,那么是否存在点P,使四边形POP'C为菱 形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由. (3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面 积. 7.(24-25九年级上广东韶关阶段练习)如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点 A-1,0),C(3,O),与y轴交于点B,点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ∥y轴，交直线 BC于点Q,过点P作BC的垂线，垂足为H. 10/16 专题10 二次函数中的特殊四边形存在性问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数中的平行四边形存在性问题 类型二、二次函数中的矩形存在性问题 类型三、二次函数中的菱形存在性问题 类型四、二次函数中的正方形存在性问题 压轴专练 类型一、二次函数中的平行四边形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线两类，利用平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）列方程，结合抛物线表达式消元；借向量平行（坐标差相等）简化关系，注意动点范围。 3.解题方法：代数法联立中点或向量方程求解；辅以几何法（平移定点得动点轨迹），验证四点不共线及图形合理性。 例1．（25-26九年级上·黑龙江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别交于点、、，直线经过点，与轴交点为，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)已知点在对称轴上，且的值最小．求点的坐标． (3)在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)点的坐标为或或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，对称性，平行四边形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先确定出点坐标，最后用待定系数法即可得出结论； （2）先判断出点是直线与对称轴的交点，即可得出结论； （3）设出点坐标，分三种情况利用用平行四边形的两条对角线互相平分和中点坐标公式求解即可得出结论． 【详解】（1）解：对于直线， 令，则， ， ， 是抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 点在抛物线上， ， ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为， 点，关于抛物线对称轴对称，且的值最小． 直线与对称轴的交点即为点， 当时，， ； （3）解：设， ，，， 当为对角线时，与互相平分， ，， ，， ； 当为对角线时，，， ，， ； 当为对角线时，，， ，， ， 即：满足条件的点的坐标为或或． 【变式1-1】（25-26九年级上·广东·阶段练习）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求的值． (3)若点在抛物线上，求． (4)在对称轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1或 (3)4 (4)或 【分析】（1）利用轴上的点纵坐标为，轴上的点横坐标为代入直线的表达式求出点的坐标，再利用顶点坐标式待定系数法求出抛物线的表达式； （2）把时，代入抛物线的表达式求出； （3）先求出点，然后根据三角形面积公式进行计算即可； （4）根据抛物线的对称轴为直线，设点Q的坐标为，根据以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，，，得出，求出t的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：对于，当时，；当时，， ， 抛物线的顶点为， ， 又抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线对应的函数解析式为． （2）解：点在抛物线上， ， 解得， 的值为1或． （3）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∵， ∴． （4）解：存在； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设点Q的坐标为， ∵，，， ∴当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：， ∴点Q的坐标为或． 【变式1-2】（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）二次函数的图象过，两点，与y轴相交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)若点是第四象限内抛物线上的一动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标； (3)若点是平面内一点，是否存在以为顶点的平行四边形，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）作于点Q，作于点N，交于点M，先求出直线的解析式为，设点，则点，，利用面积法可得，化为顶点式，即可求出取最大值时t的值，将t的值代入二次函数解析式即可求出点P的坐标； （3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，利用中点坐标公式，列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过，两点， ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：如图所示，作于点Q，作于点N，交于点M， 由（1）知二次函数的解析式为， 令，得， 点C的坐标为， 设直线的解析式为，将，代入， 得：， 解得， 直线的解析式为． 设点，则点， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，取最大值， 此时，， 点P的坐标为； （3）解：设，，，， 当为对角线时，， 解得：， ∴此时； 当为对角线时，， 解得：， ∴此时； 当为对角线时，， 解得：， ∴此时； 综上可知，点M的坐标为或或． 类型二、二次函数中的矩形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线，利用矩形“对角线互相平分且相等”或“平行四边形+一角为直角”的性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）和勾股定理（对角线等长）列方程，借抛物线表达式消元；结合斜率（垂直时积为-1）验直角，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立对角线条件方程求解；先证平行四边形再验证直角（斜率法），结合图形验合理性。 例2．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；， 【分析】本题考查旋转的性质，二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，二次函数的对称轴公式进行计算即可； （2）根据二次函数的增减性，列出方程求出的值即可； （3）分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标是， ∴， ∵以原点为中心，把点A顺时针旋转， ∴， 此时点在轴正半轴上， ∴； ∵， ∴对称轴为直线； （2）∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，有最大值为， ∴， ∴； （3）存在； ∵， ∴当时，， ∴， 设，， 由（1）知：； 当以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况： ①当为对角线时，则为以为顶点的直角三角形，，即轴，， ∴轴， ∴轴， ∴，； ②当以为对角线时，则：，解得， ∴，， ∵， ∴，解得； ∴； ③当以为对角线时，要满足，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足是以为直角的直角三角形，即轴，与题意不符；故此种情况不存在； 综上：或． 【变式2-1】（2025·江苏·二模）如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，对称轴，勾股定理，矩形的性质，解本题的关键是用角平分线得到直线解析式． （1）①令，求出抛物线与轴的交点坐标； ②根据抛物线解析式确定出对称轴，和轴交点坐标； （2）先设出点的坐标，分两种情况计算，利用矩形的对角线互相平分来确定出点的坐标，再用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：①令，则， 或， ，， ， 故答案为：； ②二次函数， ，对称轴， ， 平分， 点关于轴的对称点，在直线上， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，， 点是抛物线和直线的交点， ． （2）解：设， ，． 以、、、为顶点的四边形是矩形， ①以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去，或， ， ②以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去或 ， ③以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ，此方程无解， 即：存在，或． 【变式2-2】（2025·湖北·模拟预测）如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E． (1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由． (2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标． (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析； (2)或或； (3)存在，或或或 【分析】此题考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）证明，即可得到是平行四边形； （2）①若为的对角线时，则与互相平分，② 若为的对角线，则与互相平分，③ 若为的对角线，则与互相平分，分三种情况进行解答即可； （3）要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形，分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵抛物线与y轴交于点C， 令，则， ∴点， 令，则， 解得， ∴，， ∴由平移的性质可知， ∵， ∴是平行四边形； （2）∵抛物线的解析式为， ∴点， 设点， ∵，， ①若为的对角线时，则与互相平分， ∴    ∴ 解得   ∴ ② 若为的对角线，则与互相平分， ∴    ∴ 解得   ∴ ③ 若为的对角线，则与互相平分 ∴    ∴ 解得   ∴ 综上所述，点G的坐标为或或； （3）存在， 要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形， ∵点G在对称轴上， ∴设点G的坐标为， 由勾股定理，得，， ①若，则 即， 得， 此时点G的坐标为， ② 若，则， 解得， 此时点G的坐标为， ③ 若，则， 解得， 此时点G的坐标为或， 综上可知，点G的坐标为或或或． 类型三、二次函数中的菱形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边相等）或对角线（对角线垂直平分）两类，利用菱形“四边相等”或“平行四边形+邻边相等”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式表边长（四边相等），中点坐标公式（对角线平分），斜率乘积-1（对角线垂直）列方程，结合抛物线消元，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立平行四边形与邻边相等方程；先证平行四边形，再验四边相等或对角线垂直，结合图形验合理性。 例3．（2025·湖北·二模）如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值是，此时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由抛物线对称轴是直线，可求出，再根据点的坐标为，求出，即可求解； （2）连接，设，则，可得，再求出点，，得到，，，由可得，根据二次函数的性质可得答案； （3）求出直线的解析式为，设，，则，，由知，，是菱形的一组对边；分两种情况：①当、为对角线时，、的中点重合，且，②当、为对角线时，、的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴是直线， ， ， 点的坐标为， ， ， 二次函数的解析式为； （2）解：如图，连接， 设，则， ， 在中，令，则，令，则， 解得：或， ，， ，， ， ， ， ， 当时，四边形的面积取最大值，四边形面积的最大值是，此时； （3）解：在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设，，则，， ， 当以、、、为顶点的四边形是菱形时，，是一组对边； ①当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（此时、与重合，舍去）或， ； ②当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（舍去）或 或， 或； 综上所述，点的坐标为或或． 【变式3-1】（25-26九年级上·广东·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为A，且与y轴相交于C点．    (1)求m的值及C点坐标． (2)为抛物线上一点，它关于直线的对称点为Q，当四边形为菱形时，求点P的坐标． (3)连接，在直线上方的抛物线上是否存在一点M，使得四边形的面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由． 【答案】(1)，； (2)或 (3) 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式． （1）用待定系数法求出抛物线解析式； （2）先判断出四边形是菱形时，点P是线段的垂直平分线，利用该特殊性建立方程求解． （3）设点，首先推导出，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 解得，， 二次函数解析式为， 令，得， ； （2）解：如图，   点P在抛物线上， 设， 当四边形是菱形时，点P在线段的垂直平分线上， ，， 线段的垂直平分线的解析式为， ， ， 或； （3）解：过点M作y轴的平行线交于点H，如图，    令，解得或， ， ． ． ， 所以当的面积有最大值时，则四边形的面积最大， 设直线的解析式为 将点B、C的坐标代入得：， 解得 直线的解析式为， 设点，则点， ， 故当时，有最大值，此时四边形的面积最大值为， 故点 【变式3-2】（24-25九年级下·甘肃武威·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点，与x轴分别交于点A，点．点P是直线上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，并把沿y轴翻折，得到四边形，若四边形为菱形，请求出此时点P的坐标； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时P点的坐标 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，连接，由菱形的性质可得垂直平分，从而可得点的纵坐标为，令，则，计算即可得解； （3）连接、、，求出，则，计算可得，直线的解析式为，作轴交直线于，设，则，，表示出，再由二次函数的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：将，代入二次函数的解析式， 得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， 如图，连接， ， ∵四边形为菱形， ∴垂直平分， ∴点的纵坐标为， ∵点P是直线上方的抛物线上一动点， ∴令，则， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：如图，连接、、， ， 在中，当时，，解得：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 作轴交直线于， ∵点P是直线上方的抛物线上一动点， ∴设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，最大，最大为， 当时，，即． 类型四、二次函数中的正方形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边等且垂直）或对角线（对角线等且垂直平分），利用正方形“四边等+四角直”或“菱形+矩形”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式（边等）、斜率积-1（垂直）、中点重合（对角线平分）列方程，借抛物线消元，结合图形限动点范围。 3.解题方法：代数法联立邻边等与垂直方程；先证矩形再验邻边等，或先菱形再验直角，结合图形验合理性。 例4．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)当四边形为正方形时，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键． （1）将点代入抛物线中求出解析式为； （2）设，进而求得E点坐标为，代入中即可求解． 【详解】（1）将点代入抛物线中，得 解得， ∴抛物线解析式为； （2）设、分别与轴交于点M和点N， 当四边形为正方形时，设，则，， ∴E点坐标为，代入抛物线中， 得到：， 解得，（负值舍去）， ∴． 【变式4-1】（2025·西藏·模拟预测）如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过A、B两点，并与轴交于另一点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)若抛物线的对称轴上有一点，使得是以为底边的等腰三角形，求点的坐标； (3)在抛物线及其对称轴上分别取点，使得以为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出A、B坐标，代入抛物线的解析式即可求出a、k，进而得到答案； （2）过点作对称轴于点，设，根据并结合勾股定理求出t即可； （3）作出图象，可知以为顶点的四边形为正方形时，和分别为对角线，利用对称性和勾股定理即可求解． 本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、勾股定理解三角形、正方形的性质等，作出合理的辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于两点， 当时，； 当时，． 抛物线经过点， ∴，解得， ， 即抛物线的函数解析式为； （2）解：如图1，过点作对称轴于点， 设抛物线的对称轴与轴交于点，则， 设，则， 解得 ； （3）解：如图2， 由正方形的性质可知，且平分， 易求， ， 解得， 即正方形的边长为． 【变式4-2】（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，以为直角边，在第二象限作等腰直角三角形，抛物线经过点． (1)求抛物线的解析式． (2)设抛物线的顶点为，连接，求的面积． (3)在抛物线上是否还存在两点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）过点作轴于点，则．证明，则，则，得到点．把点代入，解得，即可求出答案； （2）求出抛物线的顶点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式为．设直线和轴的交点为，得到点的坐标为，则，即可求出答案； （3）延长至点，使，过点作轴于点，证明进一步得到点．过点作为垂足，且使，连接，则四边形为正方形．过点作轴于点，证明，进一步得到点．验证两点都在抛物线上，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，则． ∴ ∵， ∴ ． 在和中， ∵， ， ， ， 点． 把点代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）由， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将点代入， 得， 解得， 直线的解析式为． 设直线和轴的交点为， 当时，，解得 ∴点的坐标为， ， ． （3）存在．如图，延长至点，使，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 点． 过点作为垂足，且使，连接，则四边形为正方形． 过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， 点． 当时，， 当时，， ∴两点都在抛物线上， 在抛物线上存在两点，使四边形为正方形． 一、解答题 1．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，抛物线经过点，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)抛物线的对称轴上有一点P，当的值最小时，求点P的坐标； (4)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3) (4)存在，满足条件的点M的坐标为或或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，对称性，平行四边形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先确定出点B坐标，进而将点B，C坐标代入解析式中，建立方程组求解，即可得出结论； （2）将原抛物线化为顶点式，进而求出当时y的最值即可； （3）先判断出点P是直线与抛物线对称性的交点，再用待定系数法求出直线的解析式，即可得出结论； （4）设出点M，N坐标，利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴当时，， ∵当时，， 当时，， ∴当时，； （3）解：由（2）知，抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 由（1）知， ， 即， ∵， ∴点A，C关于抛物线对称轴直线对称， ∴直线与对称轴直线的交点为点P， 设直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴； （4）解：设点， ∵， ①当与为对角线时，与互相平分， ∴， ∴， ∴； ②当与为对角线时，与互相平分， ∴， ∴， ∴， ③当与为对角线时，与互相平分， ， ∴， ∴； 即：满足条件的点M坐标为或或． 2．（25-26九年级上·四川广安·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的一个动点． (1)求该二次函数的解析式． (2)若点在直线的下方，则当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出此时点的坐标以及的面积的最大值． (3)若是轴上的一动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，有面积最大值，此时点的坐标为； (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，解一元二次方程等知识点，灵活运用相关性质是解题的关键． （）直接运用待定系数法求解即可； （）过点作轴的平行线交直线于点，连接，再求得直线的解析式为，设 ，，则，进而用表示出的面积，最后运用二次函数的性质即可解答； （）由题意可得: ，，设，，然后分为对角线，分别根据平行四边形对角线相互平分解答即可． 【详解】（1）解：由二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点， 将点，点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴二次函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线交直线于点，连接， 设直线的解析式为，将点，点坐标分别代入，得， 解得：， ∴直线得解析式为， 设，， 则 ∵ ， ∵， ∴当时，面积有最大值，此时点的坐标为； （3）解：存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形；理由如下： 由题意可得：，， 设，， 当为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分， 由中点坐标公式可得：， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴点的坐标为； 当为对角线时，同理可得：， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴点的坐标为； 当为对角线时，同理可得：， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或． 3．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴交直线于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线上方抛物线上的一个动点，当点在何处时，的面积最大？求出面积的最大值及此时点的坐标； (3)是（1）中抛物线上一点，是直线上一点．是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积能取的最大值，此时点坐标为 (3)存在，或或或 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合应用、平行四边形的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求解； （2）由题意得，求的表达式为：；设点， 过点P作轴并延长交于点H，然后结合图形得出关于三角形面积的函数关系式求解即可； （3）设，根据平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，，解得：， ∴． （2）令中，得，， ∴； 设的表达式为：， 将，代入得， ， 解得：； ∴的表达式为：； 设点， 过点P作轴并延长交于点H，如图所示：    ∴， ∴， ∴设的面积为S， ∴， ∴当时，的面积最大为，， ∴点坐标为； （3）存在，理由如下： 将代入中得， ①当为平行四边形的一条边时， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∴设，， 当时，解得：，（舍去）， ∴， 当时，解得：， ∴或； ②当DE为平行四边形的对角线时，设，， ∵D、E的中点坐标为：， ∴M、N的中点坐标为：， ∴， 解得：，（舍去）， ∴此时点N的坐标为； 综上分析可知，点N的坐标为：或或或． 4．（24-25九年级上·重庆永川·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，设点的横坐标为． (1)分别求出直线和这条抛物线的解析式； (2)若点P在第四象限，求线段最大值； (3)是否存在这样的点P，使得以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式是；抛物线的解析式是 (2)线段最大值为 (3)P点的横坐标是或 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数及一次函数表达式、二次函数综合题， （1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把分别代入与，得到两个方程组，解方程组即可； （2）设点P的坐标是，则，用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到的长，然后根据二次函数的最值得到结论即可； （3）根据，则当时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，再分情况：当P在第一象限或当P在第四象限或当P在第三象限，分别求出结论即可． 【详解】（1）解：把代入， 得 ，解得 ， 所以抛物线的解析式是． 设直线的解析式是， 把代入， 得 ，解得， 所以直线的解析式是； （2）解：设点P的坐标是，则， 因为点P在第四象限， 所以， ， 所以当时，线段最大值为； （3）存在，理由如下： ∵轴，轴， ， ， ， ∴当时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，如下图： 当P在第四象限时：，最长时只有， 所以不可能有，即此种情况不存在； 当P在第一象限时：，则， 解得（不合题意，舍去）， 所以P点的横坐标是； 当P在第三象限：，则， 解得（舍去），， 所以P点的横坐标是， 综上所述可知所以P点的横坐标是或． 5．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，点Q在平面上，以点A，C，P，Q为顶点作菱形，请直接写出符合题意的P点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或或或 【分析】（1）先求得，，三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质分别进行分类讨论，即以为对角线或以为边这两个情况，进而求得点的坐标即可． 【详解】（1）解：当时，，， 当时，由得， ， 对称轴为直线， ， 设抛物线的表达式为， ， ， 抛物线的表达式为； （2）解：如图1， 作于，交于， ，， ， ， ∵，， 当时，S取最大值，最大值为， 当时，， ； （3）解：∵点在抛物线对称轴上， ∴设， ∵以点，，，为顶点作菱形， ∴①当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ，即， ， ， ； ②当以，，，为顶点的四边形是以、为邻边的菱形， ，即， ， ， 或； ③当以，，，为顶点的四边形是以、为邻边的菱形， ，即， ， ， 或 综上：或或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的面积综合，待定系数法解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，勾股定理，三角形的面积，菱形性质等知识，解题的关键是熟练掌握知识点及分类讨论思想的运用． 6．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求b，c的值． (2)连接，并把沿翻折，得到四边形， 那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点P运动到什么位置时，四边形 的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形的最大面积． 【答案】(1) (2)存在点P，使四边形为菱形，P点的坐标为 (3)P点的坐标为，四边形的面积的最大值为 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据菱形的性质，轴对称的性质，设，得，解方程求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点， 得 解得： 故二次函数的表达式为：． （2）存在点P，使四边形为菱形，P点的坐标为． 理由如下： 由沿翻折，得到四边形， 得，垂足为点E， 则，轴， ∵四边形为菱形，， ∴, ∴， 根据题意，设， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， 故存在点P，使四边形为菱形，且P点的坐标为． （3）解：过点P作轴于点F，交直线于点Q， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，，的面积最大，且最大值为． 又， 故四边形的面积的最大值为，此时． 7．（24-25九年级上·广东韶关·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点，与轴交于点，点是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，过点作的垂线，垂足为． (1)求该二次函数的解析式． (2)求线段的最大值． (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，是平面内的一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，，， 【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式． （2）设，，利用两点间的距离公式得到，利用配方法求得最值．可证明为等腰直角三角形，则最大时，最大，求解即得到答案． （3）由题意，以、、、为顶点的四边形是菱形，即为等腰三角形，分三种情况讨论：①，②，③，借助于方程求得点的坐标，进而求得坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过，， ， 解得， 此二次函数表达式为； （2）设直线为，因其经过，， ， 解得，， 直线的表达式为， 设，， ， ， ， ∴的最大值为， ，， 为等腰直角三角形， ， 轴， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 随增大而增大， 当的最大值为时， ； （3）答：存在以、、、为顶点的四边形是菱形； 解：若以、、、为顶点的四边形是菱形，即为等腰三角形， 二次函数的对称轴为，，， 在中由勾股定理可得，． 设，则，． 分三种情况讨论： 若， 则，解得， ； 此时四边形为菱形， ∵菱形对角线互相平分，由中点公式知： ， 即， 若，，得， ，； 此时四边形为菱形， 同理求得或， 若，，得或， ，． 、、三点共线， 舍去． 此时四边形为菱形， 此时 的坐标为：，，，． 8．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点为第一象限抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求的最大值； (3)如图2，点是抛物线上一动点且位于对称轴左侧，交对称轴于点，将线段绕点旋转得到点的对应点．是否存在的位置，使点落在轴上？若存在，请求出满足条件的点坐标，若不存在，请说明理由； (4)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值是 (3)或 (4)或或或或． 【分析】（1）根据，，得，，，再由待定系数法即可求出解析式； （2）作轴于点F，交于点E，用含m的式子表示出D、E的坐标，进而表示出，根据，列出S关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）由题意知，，设对称轴与轴交点为点，过点作对称轴的垂线交于点，可证明，得到，再根据线段顺时针或逆时针旋转，分情况讨论，分别求出点坐标，再求出直线解析式，与抛物线联立求交点即可； （4）分为边和为对角线两种情况，根据菱形的邻边相等以及对角线中点坐标相同讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∴可设抛物线的表达式为， 把代入得，，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：作轴于点，交于点， 设直线的解析式为， ∴ ∴， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为，且点D在抛物线上， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值是； （3）解：由题意知，， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设对称轴与轴交于点， 如图，过点作交直线于Q， ①当线段顺时针旋转得到线段时， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点P的坐标为； ②当线段逆时针旋转得到线段时， 同理可证， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或； （4）解：设， 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，旋转的性质，两点距离公式，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，中点坐标，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 9．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)连接，若点是抛物线上的动点，当时，求点的坐标； (3)若点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，点在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)满足条件的点有两个，其坐标分别为或 【分析】（1）由，得到，运用待定系数法即可求出抛物线解析式，将其化为顶点式，即可得到顶点D的坐标； （2）过作轴于点，设，则．证明，得到，即，分两种情况求解即可； （3）设对角线交于点，由点关于抛物线对称轴对称，且四边形为正方形，得到设，则坐标为．将点M代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵抛物线过点， ， 解得：， 抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为； （2）解：如图，在抛物线上任取一点，过作轴于点， 设， 则． ， ． ， ， ， ， ， 当点在轴上方时，有， 解得：或（舍去）， 此时点的坐标为， 当点在轴下方时，有， 解得：或（舍去）， 此时点的坐标为， 综上可知点的坐标为或； （3）解：如图，设对角线交于点， 点关于抛物线对称轴对称，且四边形为正方形， 点为抛物线对称轴与轴的交点，点在抛物线的对称轴上， 设，则坐标为． 点在抛物线的图象上， ， 解得：或， 满足条件的点有两个，其坐标分别为或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 10．（2025·四川眉山·模拟预测）如图，二次函数图象交x轴于点，，交y轴于点C，点P是ⅹ轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点P在线段上运动（点P与点A，点B不重合），若，求出点N的坐标． (3)点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E，使以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)N点的坐标可以为：或． (3)存在E点坐标为或或或或 【分析】（1）把代入中求出b，c的值即可； （2）分M在N点上方，M在N下方，两种情况计算即可； （3）先求出顶点的坐标，设，分为菱形的对角线、为菱形的对角线和为菱形的对角线三种情况，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：把代入中，得 ， 解得 ∴； （2）有两种情况： ①当M在N上方时，如图，连接，过B点作，交于H， ∵二次函数解析式为：， ∴点坐标为：， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得， ∴ ②当M在N下方时，如图，连接，过点作与x轴交于点，过点作垂足为， 由①已知，，，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴综上N点的坐标可以为：或． （3）解：存在． ∵， ∴， 设， ①当为菱的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， ∴或； ②当为矩形的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得， ∴； ③当为矩形的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， ∴或； 综上，存在E点坐标为或或或或使得以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解直角三角形，勾股定理，菱形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 11．（2025·山东济南·二模）在平面直角坐标系内，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点平行于轴的直线交该抛物线于点． (1)求抛物线的对称轴及点的坐标； (2)设直线与抛物线对称轴的交点为，若，求的值； (3)坐标平面内有两点，且点在点左侧，以线段为边向上作正方形． ①若，求正方形的边与抛物线的交点坐标； ②当时，若正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到轴的距离之差为时，求的值． 【答案】(1)对称轴为直线， (2) (3)①；② 【分析】（1）根据抛物线对称轴公式，对于抛物线，其中，，可求出对称轴．因为点与点关于对称轴对称，先求出点坐标（令），再根据对称性求出点坐标． （2）通过作辅助线平行于轴，利用平行线分线段成比例得到，进而求出的值，确定点坐标，最后将点坐标代入抛物线解析式求出． （3）①当时，先确定抛物线、、点坐标，进而得到正方形顶点坐标，判断是否在抛物线上，再求出所在直线解析式，联立抛物线方程求出交点坐标．②当时，根据与横坐标相同及确定是抛物线与交点，结合时情况判断、与抛物线无交点，设出抛物线与、交点、，根据两个交点到轴距离之差求解． 【详解】（1）解：抛物线解析式为， 抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ， 过点作轴的平行线交该抛物线于点， 关于抛物线对称轴对称， ； （2）解：过点作平行于轴，交轴于点，则与对称轴平行， 设对称轴与轴交点为 点， 将点代入中，得 ，解得， （3）解：①当时，抛物线解析式为， ， ， 将代入得 点落在抛物线上 所在直线解析式为， 令， 解得或， 正方形的边与抛物线的交点坐标为 ②点与点横坐标都为，且 抛物线与的交点为； 由①知，当时，边与抛物线的交点为，当时，抛物线开口变大，正方形边长变小， 边与抛物线没有交点． 当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点时，设抛物线与分别交于，如图， 与这两个交点到轴的距离之差为， 点的纵坐标为， ， ， 解得（舍去）或； 综上所述， 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，包括对称轴公式的应用，函数与坐标轴交点坐标的求法．同时涉及到平行线分线段成比例定理，以及利用点的坐标求解函数解析式中的参数．解题关键在于熟练运用二次函数的基本性质，通过合理作辅助线构建比例关系，结合图形特点分析点与函数的位置关系，准确求解坐标及参数值． 12．（2025·江苏无锡·二模）已知二次函数的图象与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，交轴于点为抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求点的坐标； (3)若点是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)点Q的横坐标是或4或或． 【分析】（1）先根据对称轴公式，可得，再将点B的坐标代入抛物线的解析式中可得，即可解答； （2）分两种情况：①点P在的下方时，先利用待定系数法可得的解析式，联立抛物线和直线的解析式，解方程可得点P的坐标；②点P在的上方时，证明，可得，即可解答； （3）设点P的坐标为，分三种情况：①如图3，过点P作轴于F，则，②如图4，过点P作轴于G，则，③如图5，，即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将点代入中得：， ∴， ∴这个二次函数的表达式为：； （2）解：分两种情况： ①点P在的下方时，如图1， 当时，， ∴，， 设的解析式为：， ∴， ∴， ∴的解析式为：， ∴， 解得：（舍），， ∴点P的坐标为； ②点P在的上方时，如图2，设直线交x轴于E， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， 同理，的解析式为：， ∴， ∴，即， ∴，， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， 分三种情况： ①如图3，过点P作轴于F，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴点P的横坐标为， ∵，， ∴由平移得点Q的横坐标为； ②如图4，过点P作轴于G，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴或1， ∴点P的横坐标为1， ∵，， ∴由平移得点Q的横坐标为4； ③如图5，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍），，， ∵，， ∴点Q的横坐标是或； 综上，点Q的横坐标是或4或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，利用待定系数法求函数的解析式，三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 13．（24-25九年级下·四川资阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），经过点的直线：与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且． (1)求、两点的坐标及抛物线的对称轴； (2)求直线的函数表达式（其中、用含的式子表示）； (3)点是直线上方的抛物线上的动点，若的面积的最大值为，求的值； (4)设是抛物线对称轴上的一点，点在抛物线上，以点、、、为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，，抛物线的对称轴为直线 (2) (3) (4)能成为矩形，此时点的坐标为或 【分析】（1）求出当时，的值即可得点的坐标，将抛物线的解析式化成顶点式即可得抛物线的对称轴； （2）过点作轴于点，先证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得点的横坐标为4，代入抛物线的解析式可得点的纵坐标，然后根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （3）过点作轴的平行线，交直线于点，设点的坐标为，则，，再分两种情况：和，利用三角形的面积公式求出面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解即可得； （4）设点的坐标为，点的坐标为，分三种情况：①当为矩形的一条边时，则对角线与互相平分且相等，②当为矩形的一条边时，则对角线与互相平分且相等，③当为组成的矩形的对角线时，则与互相平分且相等，先利用点坐标的中点公式求出点的坐标（用表示），再根据对角线相等建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：对于抛物线， 当时，， 解得或， ∵抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）， ∴，， 将抛物线化成顶点式为， ∴抛物线的对称轴为直线． （2）解：如图，过点作轴于点， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为4， 将代入得：， ∴， 将点和代入得：，解得， 所以直线的函数表达式为． （3）解：如图，过点作轴的平行线，交直线于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵， ∴的边上的高为， 将代入直线得：，即， 当时，的边上的高为， 则面积为 ； 当时，的边上的高为， 则面积为 ； 综上，当时，的面积为， ∵， ∴由二次函数的性质可知，当时，的面积取得最大值，最大值为， 又∵的面积的最大值为， ∴， 解得． （4）解：由上已得：，，抛物线的对称轴为直线， ∴可设点的坐标为， 设点的坐标为． ①当为矩形的一条边时，则对角线与互相平分且相等， ∴，解得， 将代入得：， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即，方程没有实数根，舍去； ②当为矩形的一条边时，则对角线与互相平分且相等， ∴，解得， 将代入得：， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 解得或， ∴， 所以此时点的坐标为； ③当为组成的矩形的对角线时，则与互相平分且相等， 则，解得， 将代入得：， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 解得或， ∴， 所以此时点的坐标为； 综上，以点、、、为顶点的四边形能成为矩形，此时点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用、相似三角形的判定与性质、一次函数的应用、矩形的性质、一元二次方程的应用等知识，综合性较强，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 14．（24-25九年级下·上海普陀·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，顶点为，与轴负半轴交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)点为抛物线对称轴上的一点，，求点的坐标： (3)抛物线沿射线平移至第一象限，顶点为，与原抛物线交于点．在原抛物线上是否存在点，使四边形为矩形，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设顶点式，再代入原点坐标即可求解； （2）设对称轴与x轴交于点D，在轴上方对称轴上取点，使得，联结，构造，即可求解； （3）先求出直线的表达式为，设，则平移后的抛物线表达式为，与抛物线的联立求得，过点M作y轴的平行线，过点N、P作平行线的垂线，垂足分别为G、H，可得，则，解得：，故，，由点的平移求得，再验证点在原抛物线上即可． 【详解】（1）解：∵顶点为， ∴设解析式为：， 又∵抛物线经过原点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设对称轴与x轴交于点D，在轴上方对称轴上取点，使得，联结， ∵顶点为， ∴对称轴为直线，， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设直线的表达式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 设， ∴平移后的抛物线表达式为， 与抛物线的联立得：， 解得：， ∴， 过点M作y轴的平行线，过点N、P作平行线的垂线，垂足分别为G、H， ∴.， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∵矩形，， ∴， ∴，， ∴， 将代入原抛物线解析式得：， ∴点Q在原抛物线上， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与相似三角形的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，函数图像的平移，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键在于构造相似三角形． 15．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与轴交于点．经过原点的抛物线交直线于点，，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段上一点，是抛物线上一点，当轴，且时，求点的坐标； (3)是抛物线上一动点，是平面直角坐标系内一点．是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)点的坐标为或或 (3)存在，满足条件的点的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）求出直线的表达式为，设，则，得到，结合，列方程求出，即可求解； （3）画出图形，分是四边形的边和是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理、相似三角形的判定与性质、函数图像的交点、平移等知识点进行解答即可得出答案． 【详解】（1）解：抛物线过原点， ， 将代入抛物线中，得， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设， 是抛物线上一点，轴， ， ， ， ， 解得：，（舍去），，， 点的坐标为或或； （3）存在，满足条件的点的坐标有4个． ①如图，若是四边形的边， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， 拋物线的对称轴与直线相交于点，， 联立， 解得：或， ， 过点，分别作直线的垂线交抛物线于点，， ，，， ，，． ， ． ． 点与点重合． 当，时，四边形是矩形． 向右平移个单位，向上平移个单位得到． 向右平移个单位，向上平移个单位得到， 此时直线的解析式为． 直线与平行且过点， 直线的解析式为． 点是直线与拋物线的交点， ， 解得：，（舍去）． ． 当，时，四边形是矩形， 向左平移个单位，向上平移个单位得到． 向左平移3个单位，向上平移3个单位得到． ②如图，若是四边形的对角线， 当时．过点作轴，垂足为，过点作，垂足为． 可得，． ． ． 设， ． 点不与点，重合， 和． ． ，． 如图，满足条件的点有两个．即，． 当，时，四边形是矩形． 向左平移个单位，向下平移个单位得到． 向左平移个单位，向下平移个单位得到． 当，时，四边形是矩形． 向右平移个单位，向上平移个单位得到． 向右平移个单位，向上平移个单位得到． 综上，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式、勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件的图形、进行分类讨论是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $