专题05 二次函数的图象和性质的六类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级下册

专题05 二次函数的图象和性质的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数的图象和性质 类型二、画二次函数y=ax²+bx+c的图象 类型三、已知二次函数上对称的两点求对称轴 类型四、利用二次函数的性质比较大小 类型五、根据二次函数的增减性求最值 类型六、二次函数图象和性质的综合问题 压轴专练 类型一、二次函数的图象和性质 1. 二次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 （） （） 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 2. 二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 3. 二次函数的最值 函数 （） （） 最值 当时，有最小值， 无最大值； 当时，有最大值， 无最小值. 例1．已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先将配方成顶点式，再根据二次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：，， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、B、D正确，不符合题意；C错误，符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．顶点坐标为 B．对称轴是直线 C．与轴交于正半轴 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据，可知其开口向上，对称轴为，其顶点坐标为，当时，随的增大而增大，从而判断出答案． 【详解】解：，， 其开口向上，对称轴为，其顶点坐标为，故A、B正确； 当时，随的增大而增大，故D错误； 当时，，与轴交于正半轴，故C正确； 故选：D． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．对称轴是直线 B．对称轴是直线 C．对称轴是直线 D．对称轴是直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的对称轴为直线，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴是直线 故选：A 【变式1-3】（25-26八年级上·安徽·阶段练习）已知二次函数，则下列说法错误的是（　　） A．该二次函数的图象与轴有交点 B．该二次函数的图象的对称轴与轴交于正半轴 C．若点在该二次函数的图象上，则 D．若点，都在的图象上，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，由判断A，由对称轴公式判断B，根据抛物线上点的坐标特征判断C、D． 【详解】解：A、令，则， ∵， ∴图象与x轴有两个交点，故A正确，不符合题意； B、∵抛物线的对称轴且， ∴，故B正确，不符合题意； C、∵点在的图象上， ∴， 若，则， ∵， ∴，故C不正确，符合题意； D、∵点、都在的图象上，， ∴，， ∵， ∴，故D正确，不符合题意． 故选：C． 类型二、画二次函数y=ax²+bx+c的图象 1. 列表取值：先确定二次函数y = ax2+bx + c（a≠0），选取关于对称轴x=-对称的自变量x的值，代入函数计算出对应的y值，形成坐标点列表。 2. 描点连线：将列表中的坐标点在平面直角坐标系中准确描出，再用平滑曲线按自变量从小到大顺序依次连接各点，得到二次函数图象。图象是抛物线，a>0开口向上，a<0开口向下 。 例2．（25-26九年级上·广东·阶段练习）已知二次函数 (1)用配方法将化成的形式写出过程； (2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线； x … ______ ______ ______ ______ ______ … y … ______ ______ ______ ______ ______ … (3)结合图象直接回答：当时，则y的取值范围是______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用配方法将函数解析式进行转换即可； （2）根据题意用描点法画出此抛物线；先列表，然后描点、连线即可； （3）根据二次函数图象的性质即可解答． 本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，找到顶点及对称轴，根据对称轴取点是画图的关键一步． 【详解】（1）解： ， 即； （2）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0      0 3 … 描点、连线： （3）由图象知，时，函数值y随x的增大而增大，时，函数值y随x的增大而减小， 故当时，函数值y的取值范围是； 故答案为：． 【变式2-1】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知二次函数，完成下列任务． (1)完成下表，并画出该函数的图象： x ．．． 0 ．．． y ．．． 3 3 ．．． (2)根据图象，完成下列填空： ①当x 时，y随x的增大而增大． ②当时，y的取值范围是 ． 【答案】(1)，  画图见解析 (2)①  ② 【分析】本题考查了求二次函数的函数值，画二次函数的图象，二次函数的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）分别将的值代入函数解析式求出值，再描点，连线作出图象； （2）观察图象即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时， ， 描点画出函数图象如图： 故答案为：，； （2）解：①根据图象可得时，y随x的增大而增大； 故答案为：； ②根据图象可得当时，y的取值范围是， 故答案为：． 【变式2-2】（25-26九年级上·福建·阶段练习）已知二次函数 … … … … (1)在方格纸中画该函数的图象（注意对称）； (2)根据图象，完成下列填空： ①当时，的取值范围是________ ②当时，的取值范围是________ (3)若方程有两个不相等的正数根，的取值范围是________ (4)将该函数图象沿轴翻折，所得新图象的函数表达式为________． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了画二次函数图形，二次函数图象的翻折，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）先列表格，再描点、连线即可； （2）根据函数图象即可得解； （3）根据函数图象即可得解； （4）根据二次函数沿轴翻折，二次项、一次项、常数项的系数都要变成相反数即可得解． 【详解】（1）解：二次函数 … … … … 描点、连线，如图： （2）解：由图象可得：①当时，的取值范围是； ②当时，的取值范围是； （3）解：∵方程有两个不相等的正数根， ∴结合函数图象可得：； （4）解：将该函数图象沿轴翻折，所得新图象的函数表达式为． 【变式2-3】（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段练习）方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，函数则研究变量间的关系，借助函数可以认识方程与不等式.观察表格： … 0 1 2 3 … … 1 4 7 10 … … 0 4 3 0 … (1)【数学观察】根据表中信息填空：______； (2)【实践操作】在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形网格的边长为1），已经画出了一次函数的图象，请你在同一坐标系中画出二次函数的图象； (3)【独立思考】 ①二次函数与一次函数图象的交点坐标是______； ②方程的解为______； (4)【归纳总结】若二次函数的图象与一次函数的图象相交，则交点的______坐标可以看成关于的方程的解； (5)【巩固应用】若二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点，则关于的方程的解是______．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)见解析 (3)①或  ②或 (4)横 (5) 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到一次函数和二次函数的图象和性质，熟悉函数和不等式的关系是解题的关键． （1）把代入求出值即可； （2）根据表格数据描点连线绘制图象即可； （3）①根据表格信息得到交点坐标即可； ②根据交点坐标得到方程的解即可； （4）由（3）知，若两个函数交点的横坐标为方程的解； （5）联立两个函数表达式得 ，即可得到，求出，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：根据表格数据描点连线绘制图象如下： （3）解：①二次函数 与一次函数 图象的交点坐标是或， 故答案为：或； ②方程 的解为：或， 故答案为：或； （4）解：由（3）知，若二次函数的图象与一次函数的图象相交，则交点的横坐标可以看成关于的方程的解， 故答案为：横； （5）解：联立两个函数表达式得：，整理得， 由题意得， 则， 故方程为：，则， 故答案为：． 类型三、已知二次函数上对称的两点求对称轴 二次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 （） （） 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 例3．（25-26九年级上·北京西城·阶段练习）二次函数（）的对称轴是 ． 【答案】直线 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点问题，求对称轴，先确定抛物线与轴的交点为，即可写出对称轴． 【详解】解：∵二次函数解析式为， 当时， 解得： ∴抛物线与轴的交点为 ∴该抛物线的对称轴为：直线． 故答案为：直线． 【变式3-1】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）若抛物线与轴只有一个交点，且过点，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的对称性，二次函数图像上点的坐标，根据对称点求出抛物线的对称轴为，然后得到抛物线的解析式为，然后把点的坐标代入计算即可． 【详解】解：∵抛物线过点，， ∴对称轴为直线， 又∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得， 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级上·安徽淮南·阶段练习）已知方程的两根分别为，则二次函数的图象的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键；由题意易得二次函数与x轴的交点坐标为，然后根据二次函数的对称性可进行求解． 【详解】解：令时，则有， ∵方程的两根分别为， ∴二次函数与x轴的交点坐标为， ∴二次函数的对称轴为直线； 故答案为． 【变式3-3】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）在平面直角坐标系中，设二次函数，其中． （1）此二次函数的对称轴为直线 ； （2）已知点和在此函数的图象上，若，则t的取值范围是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）令，可求出函数与x轴交点的横坐标，由二次函数的对称性可求出对称轴； （2）因为抛物线开口向上，所以抛物线上的点离对称轴越远函数值越大，若，则，据此解答即可． 【详解】（1）∵二次函数， 令，即， ， ∴函数经过和是对称点， ∴对称轴为直线， 故答案为：． （2）∵二次函数， ∴二次项系数为， ∴函数图象开口向上， 又∵和在此函数的图象上，对称轴为直线， ∴， ∴， 故答案为：． 类型四、利用二次函数的性质比较大小 二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 例4．（25-26九年级上·内蒙古·阶段练习）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，函数的对称性及增减性，解题的关键是利用对称性求解． 利用函数的对称性和增减性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线上的点距离对称轴越近，纵坐标越大， 根据得， 对称轴为直线， 距离对称轴的距离为； 距离对称轴的距离为； 距离对称轴的距离为； ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】（25-26九年级上·陕西·阶段练习）若二次函数（为常数）的图象过，，三点，则，，的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，先确定二次函数的开口方向和对称轴，计算各点到对称轴的距离，再根据二次函数的增减性判断即可． 【详解】解：二次函数的开口方向向下，对称轴是， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 点距离对称轴的距离为：， 点距离对称轴的距离为：， 点距离对称轴的距离为：， 到对称轴的距离大于到对称轴的距离大于对称轴的距离， 二次函数的开口方向向下， 点到对称轴的距离越远，函数值越小， ． 故答案为：． 【变式4-2】（25-26九年级上·浙江·阶段练习）已知点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系（用“”连接） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 根据二次函数的对称轴及增减性求解即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式4-3】（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知点在二次函数的图象上，则 ．（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象性质；确定对称轴，理解对称性是解题的关键． 根据二次函数的图象性质，得对称轴，结合对称性判断． 【详解】解：∵二次函数为， ∴对称轴为， ∵， ∴离函数对称轴距离越远则函数值越大， ∵， ∴． 故答案为：． 类型五、根据二次函数的增减性求最值 二次函数的最值 函数 （） （） 最值 当时，有最小值， 无最大值； 当时，有最大值， 无最小值. 例5．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值问题，根据二次函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，，函数有最小值为时，， 当时，函数有最大值为， ∴； 故答案为： 【变式5-1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． 根据解析式可知，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，由二次函数的图象和性质，结合的取值范围，可得当时，函数值最小，当时，函数值最大，代入计算可得最大值和最小值，从而可得的取值范围． 【详解】解：二次函数，开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随着增大，减小，当时，随着增大，增大， ∵，， ∴当时，取最小值，最小值为， 又∵， ∴当时，取最大值，最大值为， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：． 【变式5-2】（25-26九年级上·黑龙江·阶段练习）已知二次函数，当时，有最小值，则的值为 ． 【答案】5或 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是分情况讨论的正负，根据二次函数的单调性求出最小值． 先将二次函数化为顶点式，确定对称轴，再分和两种情况，根据二次函数的单调性，结合给定的的取值范围，求出的最小值，进而得到的值． 【详解】解：将二次函数化为顶点式：，所以其对称轴为直线． 时，二次函数图象开口向上，在对称轴处取得最小值， 已知当时，有最小值，所以，解得， 当时，二次函数图象开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小． 所以在这个区间内，时，取得最小值． 把代入函数中，可得． 因为的最小值为，所以，解得． 综上，的值为5或． 故答案为：5或． 【变式5-3】（25-26八年级上·北京·阶段练习）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，则实数a的值为 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为，和三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【详解】解：∵， ∴二次函数对称轴为：直线， ∴在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而减小； ①当时，即，则最小值为，最大值为， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴， 解得（舍）， ②当时，即， 时，则最小值，最大值， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴， 解得（舍）或， 时，则最小值，最大值， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴， 解得或（舍）， ③当时，即，则最大值为，最小值为， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴， 解得（舍）， 综上所述，或， 故答案为：或． 类型六、二次函数图象和性质的综合问题 1. 二次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 （） （） 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 2. 二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 3. 二次函数的最值 函数 （） （） 最值 当时，有最小值， 无最大值； 当时，有最大值， 无最小值. 例6．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）已知二次函数（）的图象经过点． (1)若，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，点，在该函数图象上，且，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）代入条件可求得的值，进而求出顶点坐标； （2）代入，可得到，求出其对称轴，根据开口方向即可解题． 【详解】解：（1）若，则， 代入得：， 解得：， ∴， ∴顶点坐标为； （2）代入点，可得：， 整理得：， ∴， 对称轴为：直线， ∵时，图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小， 若使，则点距离对称轴更远， 则应有：， 解得：或． 【变式6-1】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知抛物线． (1)若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值； (2)该抛物线一定经过的定点为____________； (3)当时，求证：该抛物线的对称轴一定在直线的右侧． 【答案】(1) (2)和 (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）根据顶点坐标公式，以及轴上点的纵坐标为求解即可； （2）将函数解析式变形为，由于抛物线过定点，则与无关，即可得到，再解方程即可求解； （3）根据抛物线对称轴公式即可证明． 【详解】（1）解：∵该抛物线的顶点在x轴上， 解得， ∴a的值为； （2）解：， ∵抛物线过定点， ∴， 解得或， 当；当， ∴抛物线过定点和， 故答案为：和； （3）证明：当时，抛物线的对称轴为：， ∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧． 【变式6-2】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知抛物线． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的对称轴； ②当时，y的最大值为6，求抛物线的函数表达式； (2)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】(1)①直线；② (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）①将点代入函数表达式求得b的值，再把原式化为顶点式求解即可；②根据二次函数的开口方向和对称轴方程可得函数在时的最大值为，结合题意求得c的值，即可得到函数表达式； （2）先得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据题意分当时、当时和三种情况，分别利用二次函数的性质得到最大值和最小值，再根据最大值与最小值的差列方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线； ②由①可知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，当，y有最大值，最大值为， ∵当时，y的最大值为6， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴该抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴， ∵ ∴①当时，即， 当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得， ∵， ∴舍去； ②当时，即， 当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得， ∵， ∴舍去； ③当时，即， 当时，函数取得最大值为，当时，函数取得最小值为， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得， 综上所述，当，最大值与最小值的差为时，b的值为． 【变式6-3】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知点是二次函数图象上的点． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的最大值与最小值的和； (3)当时，若函数的最大值与最小值的和为10，求的值． 【答案】(1) (2)8 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标； （2）根据二次函数图象上点的坐标特征，即可得到当时，，当时，，从而求得结论； （3）先求出点关于对称轴的对称点为，分三种情况讨论：当时；当时；当时．分别求出最大值和最小值，根据最大值与最小值的和为10，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵已知是二次函数图象上的点， ∴， 解得， ∴此二次函数的解析式为：， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当时， ∴当时，有最小值，当时，有最大值， ∴当时，函数的最大值与最小值的和为； （3）解： 当时，， 当时，， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，顶点坐标为，点关于对称轴的对称点为， 分以下三种情况讨论： 当时，当时，随的增大而减小，当时，有最小值，当时，有最大值， ∴， 解得， ∴，； 当时，当时，有最小值，当时，有最大值， ，不符合题意； 当时，当时，有最大值，当时，有最小值， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，的值为或． 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西太原·月考）对于抛物线，下列结论错误的有（   ）个 （1）该函数图象开口向上；（2）对称轴是；（3）当时，取得最大值； （4）顶点坐标是；（5）当时，随的增大而减小； （6）当时，的取值范围是； （7）当时，的取值范围是． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象性质，对于抛物线 ，通过分析二次函数的性质（开口方向、对称轴、顶点、单调性等）逐一判断各结论的正误即可． 【详解】解：∵ 抛物线为 ，其中 ，，， ∴ 开口向下，对称轴为 ，顶点为 ，最大值为 ； 故（1）错误；（2）正确；（3）错误；（4）错误； 当 时， 随 增大而减小；故（5）正确； 当 时， 的取值范围是 ；故（6）错误； 当时，，解得：，当时，，解得：， ∴根据二次函数图象得到当时，x的取值范围为： 或 ， 故（7）错误； ∴ 错误结论共 5 个； 故选：C． 2．（25-26九年级上·山东日照·期中）抛物线上有三点，，，则满足的关系式为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，求抛物线的对称轴，利用开口向上时离对称轴越近的点对应的纵坐标越小的性质，比较三点与对称轴的距离即可得出大小关系． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越近，其纵坐标越小， ∵，，， ∴点在对称轴上，点离对称轴最远， ∴． 故选：D 3．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）关于抛物线，下列结论正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．函数的最大值为 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、增减性和最值．通过二次函数的一般形式，确定、、的值，进而判断各选项． 【详解】解： 二次函数 中，, , ， ，抛物线开口向下， 故选项A错误； 抛物线的对称轴为直线 ， 故选项B错误； 抛物线开口向下，对称轴为 ， 当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小。 选项C中 ，属于 的范围， 随 增大而增大， 故选项C错误； 函数的最大值在顶点处，当 时， 可得：， 故最大值为， 故选项D正确． 故选：D． 4．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … c 2 2 … 下列说法正确的是（    ） A．若，则函数图象的开口向上 B．关于的方程的两个根是和3 C．点在一次函数的图象上 D．代数式的最大值为 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，根据表格中点(1,2)和(2,2)的y值相同，可得抛物线对称轴为，进而求得，，逐一验证各选项即可． 【详解】解：∵ 点和在抛物线上，且y值相同， ∴ 对称轴为， ∴， 将代入函数：， ∴，即， 若，则， 解得：， ∴抛物线开口向下， ∴A错误； 由表格可得：当时，， 又∵对称轴， ∴的另一个解为， ∴B错误； ∵， ∴点即， 将代入中，则， ∴C正确； ∵， ∴当时， 的最大值为， ∴D错误， ∴故选：C． 5．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知，，抛物线（）顶点在线段上运动，形状保持不变，与轴交于，两点（在的右侧），下列结论错误的是（   ） A． B．当时，随的增大而增大 C．若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为 D．当四边形为平行四边形时， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，涉及顶点运动、函数值范围、单调性、与轴交点，平行四边形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据顶点在线段上，，利用抛物线的开口方向和顶点纵坐标即可判断A选项；根据二次函数的增减性即可判断B选项；设抛物线顶点式为，令，即，进而可表示出、，根据点横坐标的最小值为，以及抛物线形状不变，即可确定点的横坐标的最大值，即可判断C选项；根据平行四边形的对边平行且相等可得，列出方程求解即可判断D选项． 【详解】解：抛物线（）顶点在线段上运动，，， 抛物线开口向上，顶点纵坐标为， ，故A正确，不符合题意； 对称轴为直线，其中， 当时，始终在对称轴右侧，随增大而增大，故B正确，不符合题意； 设抛物线顶点式为，其中， 令，即，解得， 在的右侧， ，， 若最小值为，则此时对称轴为直线， ， ， ， 当对称轴为直线时，点的横坐标为， 点的横坐标最大值为，故C正确，不符合题意； 当四边形为平行四边形时，且， ， ， ，解得，故D不正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·广东湛江·月考）二次函数的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式， 根据二次函数的顶点式 ，直接写出顶点坐标． 【详解】解：函数 的顶点坐标为 ． 故答案为． 7．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）二次函数的图象关于直线对称，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的对称轴性质，解题的关键是掌握二次函数对称轴的计算公式． 利用二次函数的对称轴公式，代入与对称轴，计算求解的值． 【详解】解：对于二次函数，其对称轴为； 已知，对称轴为，则； 化简得，解得． 故答案为：4． 8．（25-26九年级上·河南许昌·期中）已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则它与轴的另一个交点的横坐标为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的对称轴公式求出对称轴，再根据抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称的性质，由已知交点坐标求另一个交点的横坐标． 【详解】解：二次函数的对称轴为． 由于图象与轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为，设另一个交点的横坐标为，则， 解得． 故答案为：3． 9．（25-26九年级上·山东泰安·期中）当时，二次函数的最大值为8，则b的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数配方成顶点式，确定对称轴和顶点坐标．由于抛物线开口向上，在闭区间上的最大值出现在端点处．分别令左右端点的函数值为8，解方程得到可能的b值，再验证区间内函数最大值是否为8． 【详解】解：二次函数 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ． 若时函数值为8，即 ， 整理得 ， 解得 或 ． 若 时函数值为8，即 ， 整理得 ， 解得 或 ． 验证各b值对应的区间： 当 时，左端点函数值为 ，不符合； 当 时，右端点函数值为 ，不符合； 当 时，左端点函数值为 ，右端点函数值为 ，符合； 当 时，右端点函数值为 ，左端点函数值为 ，符合． 故b的值为或． 故答案为：或． 10．（25-26九年级上·山东日照·期中）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的顶点式、根据开口方向结合自变量范围确定最值是解题的关键． 先将二次函数化为顶点式，确定对称轴，再分和两种情况，结合的范围求函数的最大值与最小值，根据差值为8列方程求解的值． 【详解】解：将二次函数化为顶点式：， ∴对称轴为直线， 当时， ∵抛物线开口向上，在中，时取最小值，时取最大值， ∴最小值，最大值 ∵最大值与最小值之差为8， ∴， 解得：， 当时， ∵抛物线开口向下，在中，时取最大值，时取最小值， ∴最大值，最小值， ∵最大值与最小值之差为8， ∴， 解得：， 综上，的值为或 故答案为：或 三、解答题 11．（25-26九年级上·吉林长春·月考）已知二次函数的表达式为：，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)开口方向： ； (2)对称轴： ； (3)顶点坐标： ． 【答案】(1)向上 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数顶点式性质解答即可﹒ （1）根据，即可得到抛物线开口向上； （2）由抛物线顶点式即可得到对称轴为直线； （3）由抛物线顶点式即可得到顶点坐标为﹒ 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线开口向上﹒ 故答案为：向上； （2）解：由抛物线解析式可得到抛物线对称轴为直线﹒ 故答案为：； （3）解：由抛物线解析式可得到抛物线顶点坐标为﹒ 故答案为： 12．（25-26九年级上·广东潮州·期中）已知函数是二次函数． (1)求的值，并写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)，对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键； （1）根据二次函数的定义，得到，求出的值，进而写出函数解析式，化为顶点式求出对称轴和顶点坐标即可； （2）根据增减性，求出时，函数的最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得； ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）∵， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最大为； 当时，函数值最小为； ∴． 13．（25-26九年级上·山东泰安·期中）已知：二次函数． (1)将化成的形式； (2)求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)对称轴：直线，顶点为 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）用配方法将表达式化为顶点式即可； （2）利用（1）得到的顶点式即可求解； （3）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得y的取值范围． 【详解】（1）解： ； （2）由（1）知，且， ∴开口向上，对称轴为直线，顶点； （3）∵中，，对称轴为直线， ， ∴当时，， 又∵顶点为：， ∴当时，函数y的取值范围为：． 14．（25-26九年级上·山东泰安·期中）已知抛物线：． (1)求抛物线的对称轴； (2)当时，直接写出该抛物线关于轴对称的新抛物线的表达式； (3)若抛物线的顶点在轴上，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了抛物线的解析式、对称轴、顶点坐标及关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将抛物线化为顶点式，即可求出对称轴； （2）根据关于轴对称，函数值互为相反数，即可求解； （3）将抛物线化为顶点式，由抛物线的顶点在轴上，即可求出的值． 【详解】（1）解：， 抛物线的对称轴为； （2）解：当时，， 该抛物线关于轴对称的新抛物线的表达式， 则新抛物线的表达式为； （3）解：，抛物线的顶点在轴上， ， ． 15．（25-26九年级上·浙江温州·期中）在直角坐标系中，已知抛物线 (1)当时． ①求抛物线的对称轴和顶点坐标； ②将抛物线向下平移m个单位，若平移后的抛物线经过点和，求m的值． (2)已知点，都在抛物线上，且，求n的取值范围． 【答案】(1)①抛物线的对称轴为直线，顶点为 (2) 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，掌握二次函数的性质是解题关键． ①把解析式化成顶点式即可求得抛物线的对称轴和顶点坐标； ②将抛物线向下平移m个单位，得到，代入点和，利用待定系数法即可求得m的值； 由题意抛物线开口向上，对称轴为直线，交y轴于点，根据，即可得到点在x轴的下方，即，解得． 【详解】（1）解：当时，则抛物线为， ①：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点为； ②将抛物线向下平移个单位，得到， ∵平移后的抛物线经过点和， 解得； （2）解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，交轴于点， ， ∴点在轴的下方，如图， ∵点都在抛物线上， ， ． 16．（25-26九年级上·山东泰安·期中）已知二次函数． (1)若二次函数的图像过点 ①求该抛物线的表达式，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出图像与坐标轴的交点坐标及该函数图象的顶点坐标； ②当时，求的取值范围； (2)若在时，二次函数有最小值，求的值． 【答案】(1)①，图像见详解，图像与x轴的交点坐标为，与y轴交点坐标为，顶点坐标为；② (2)的值为或 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解及对给定区间最值问题的分析，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用分类讨论的思想解决区间最值是解题的关键． （1）①直接代入点即可；②根据图形即可求出的取值范围； （2）需结合开口方向及顶点位置，分两种情况分析最值． 【详解】（1）解：①把代入， 得， 解得， 抛物线的表达式为； 图像如下， ， 图像与x轴的交点坐标为，与y轴交点坐标为，顶点坐标为； ②当时，的最小值为， 当时，取最大值，此时， 则当时，； （2）解：二次函数， 对称轴为直线， ①当，抛物线开口向上， 时，取最小值， 即， 解得，； ②当，抛物线开口向下， 对称轴为直线， 在内，当时，取最小值， 即， 解得，， 综上所述，的值为或． 17．（25-26九年级上·吉林长春·月考）已知二次函数． (1)用配方法将化成的形式：________． (2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)认真观察图象，回答下列问题： ①当时，y的取值范围是________ ②当函数时，x的取值范围是________ ③已知点，，都在此二次函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②或；③ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，把二次函数解析式化为顶点式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）先列表，再描点，连线画出函数图象即可； （3）①根据函数图象即可得到答案；②根据函数图象可得答案；③根据（1）（2）所求可得开口方向向上，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：列表如下： 0 1 2 3 4 画函数图象如下所示： ； （3）解：①由函数图象可知，当时，； ②由函数图象可知，当时，或； ③由（1）可知抛物线的对称轴为直线， 由函数图象可知，函数图象开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点，，都在此二次函数的图象上，且， ∴． 18．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点． 根据图象回答问题： (1)______； (2)当时，二次函数的取值范围为______； (3)若一次函数的图象经过点，当时，的取值范围为______． 【答案】(1)15 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）求得点A、B、C的坐标，然后根据三角形的面积公式，即可解答； （2）把二次函数的解析式化为顶点式，得到该抛物线的顶点坐标为，最大值为9，结合当和时的函数值，即可解答； （3）先利用待定系数法求得该一次函数的表达式，再联立两个解析式，求得该一次函数和二次函数的另一个交点的横坐标，然后结合图象找到二次函数的图象在一次函数的图象的上方时，x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 令，则， 解得，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：15； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，最大值为9， 由（1）可知，当时，，当时，， ∴当时，的取值范围为， 故答案为：； （3）解：∵一次函数的图象经过点， ∴，即， ∴一次函数的解析式为， ， 解得，， ∴一次函数与二次函数的另一个交点的横坐标为， 由图象可知，当时，二次函数的图象在一次函数的图象的上方， ∴当时，的取值范围为， 故答案为：． 19．（25-26九年级上·广西崇左·期中）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求点C的坐标； (2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)P是第四象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时P点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)的最大值为，此时． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，三角形的周长及面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）令，求得，即可得出点的坐标； （2）连接交对称轴于点，先求出抛物线的对称轴为直线，根据关于对称轴对称，得到，则，得到当三点共线时，的周长最小，再求出直线的解析式为，即可求出答案； （3）过点作轴交于点，设点坐标为，则，则，得到，∴当时，的最大值为，此时． 【详解】（1）解：当时 ， ∴； （2）解：连接交对称轴于点，如图： 抛物线的对称轴为直线， 关于对称轴对称， ， ， 当三点共线时，的周长最小， ， 设直线的解析式为， ， ， 当时，， ； （3）解：过点作轴交于点，如图： 设点坐标为，则， ， ， 当时，的最大值为， 此时． 20．（25-26九年级上·甘肃临夏·期中）数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)列表：下表是x，y的几组对应值，其中______，______； x … 0 1 2 3 4 … y … 9 0 m 3 n 0 9 … (3)在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，补全该函数的图象，并写出其一条性质：____________． 【答案】(1)x为任意实数； (2)，； (3)见解析，函数图象是轴对称图形（答案不唯一）． 【分析】题目主要考查函数的基本性质，理解题意，结合表格求解是解题关键． （1）根据函数解析式即可得出结果； （2）将x的值代入计算求解即可； （3）根据表格数据，描点画图即可，然后结合函数图象写出一条性质即可． 【详解】（1）解：函数的自变量x的取值范围是任意实数， 故答案为：x为任意实数； （2）当时，， 当时，， 故答案为：；； （3）补全函数图象如图所示：函数图象是轴对称图形（答案不唯一）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05二次函数的图象和性质的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数的图象和性质 类型二、画二次函数yFax2+bx+c的图象 类型三、已知二次函数上对称的两点求对称轴 类型四、利用二次函数的性质比较大小 类型五、根据二次函数的增减性求最值 类型六、二次函数图象和性质的综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、二次函数的图象和性质 ,二次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 y=ax+bx+c (a>0) y=ax-+bx+c (a<0) 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 s、b 直线”2a 直线2a b 4ac-b2 b 4ac-b2 顶点坐标 2a 4a 2a 4a 2.二次函数的增城性 函数 y=ax +bx+c (a>0) y=ax +bx+c (a<0) 增减性 b b x<- X<- 当2a时，y随x的增大而城小： 当2a时，y随x的增大而增达： 1/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b b x> x> 当2a时，y随x的增大而增大： 当2a时，y随x的增大而减小： 3.二次函数的最值 函数 y=ax +bx+c (a>0) y=ax +bx+c (a<0) b 4ac-b x=- 、b 4ac-b2 当 4a 2a时，y有最大值4a 最值 2a时，y有最小值 无最大值： 无最小值 例1.已知抛物线=r+4r-7 下列结论错误的是() A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线x=-2 C.当>-2时，y随x的增大而减小 D.抛物线的顶点坐标为 -2,-110 【变式1-】(25-26九年级上辽宁阶段练习)关于抛物线’=x-6x+9 下列说法错误的是() 3,0 A.顶点坐标为 B.对称轴是直线=3 C.与y轴交于正半轴 D.当x>3时，y随x的增大而减小 【变式1-2】(25-26九年级上浙江嘉兴阶段练习)关于抛物线'=-2+4r+1, 下列说法正确的是 () A.对称轴是直线x=1 B.对称轴是直线x=-1 1 C.对称轴是直线x= 4 D.对称轴是直线x= 2 【变式1-3】(2526八年级上安微阶段练习)已知二次函数=--16>刘，则下列说法错误的是 () A.该二次函数的图象与x轴有交点 B.该二次函数的图象的对称轴与x轴交于正半轴 C.若点m列 在该二次函数的图象上，则n之-1 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.若点3，，2都在=r--的图象上，则>为 类型二、画二次函数y=ax2+bx+c的图象 1. 列表取值：先确定二次函数y=ar2+bx+c(a≠0)，选取关于对称轴x 对称的自变量x的 2a 值， 代入函数计算出对应的y值，形成坐标点列表。 2. 描点连线：将列表中的坐标点在平面直角坐标系中准确描出，再用平滑曲线按自变量从小到大顺序 依次连接各点，得到二次函数图象。图象是抛物线，>0开口向上，a<0开口向下。 例2.(25-26九年级上广东阶段练习)已知=次函数”=-4r+3 ()用配方法将少=r-4+ 化成y=ar-)2+ 的形式写出过程； (2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线： 5 3 2 4-3-2-1012345 3 (3)结合图象直接回答：当0<x<3时，则y的取值范围是 0 2 4 y 3 0 -1 0 3 y=-x2-2x+3 【变式2-1】(25-26九年级上·安徽阶段练习)已知二次函数 完成下列任务. ()完成下表，并画出该函数的图象： -4 -3 -2 1 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y -5 3 5-4-32-1⊙12345x 3 5 (2)根据图象，完成下列填空： ①当x时，y随x的增大而增大. ②当-3<x<0时，y的取值范围是_。 【变式2-2 】(25-26九年级上·福建阶段练习)已知二次函数y=-2x-3=(x-12-4 y A 0 (I)在方格纸中画该函数的图象（注意对称）； (2)根据图象，完成下列填空： y<-3 ①当 时，的取值范围是 ②当-1<x<2时，y的取值范围是 2-2x-3=k (3)若方程 有两个不相等的正数根，“的取值范围是 (4)将该函数图象沿x轴翻折，所得新图象的函数表达式为 4/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -1 0 2 3 y 0 -3 -4 -3 0 …… 【变式2-3】 (25-26九年级上·甘肃平凉·阶段练习)方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，函数 则研究变量间的关系，借助函数可以认识方程与不等式观察表格： x -1 … -2 0 1 3 3x+1 -5 -2 1 4 1 10 -x2+2x+3 -5 0 (I)【数学观察】根据表中信息填空：m= _； (2)【实践操作】在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形网格的边长为1），已经画出了一次函数 y=3x+1 y=-x+2x+3 的图象，请你在同一坐标系中画出二次函数 的图象： 5 3 -5-4-3-2-1 012345x (3)【独立思考】 y=-x2+2x+3 ①二次函数 与一次函数 =3x+1 图象的交点坐标是 ②方程+2x+3-3x+1 解为一： ④【归纳总结】若二次函数'=+r+©a≠0的图象与一次函数'=c+bk≠0) 的图象相交，则交点 的 坐标可以看成关于的方程+br+c=:+b(a≠0，k≠0) 的解； 【现固皮用】若=次函致’-4+3的图象与一次所贵=2x+ 的图象只有一个交点，则关于的 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2-4x+3=2x+b 方程 的解是 ·(直接写出结果) 类型三、已知二次函数上对称的两点求对称轴 二次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 y=ax +bx+c (a>0) y=ax +bx+c (a<0) 图象的开口方向 向上 向下 b 对称轴 X=一 直线2a ts、 b 直线2a b 4ac-b2 b 4ac-b2 顶点坐标 2a’4a 2a’4a 例3。(2526九年级上北京西喷阶段练习)三次函数'=a-2+(“20)的对称销是 【变式3-1】(2526九年级上安微安庆阶段练习若抛物线=广+6r+(与”轴只有一个交点，且过点 4m川，Bm-2,川，则n=一 【使式】（2526人年级上安微准南阶段练习》已知方程r+加+C=0的两限分别为-为-5 则二次函数y=ar+bx+c 的图象的对称轴为直线一· 【变式3-3】(25.26九年级上安徽阶段练习)在平面直角坐标系中，设二次函数"=(x+4x-a-6, 其中a≠0 (1)此二次函数的对称轴为直线x=一： (2)已知点P6m和(7，m 在此函数的图象上，若m≤”，则t的取值范围是一· 6/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型四、利用二次函数的性质比较大小 次函数的增减性 函数 y=ax +bx+c (a>0) y=ax +bx+c (a<0) b b x<- x<- 当 2a时，y随x的增大而诚小： 当 2a时，y随x的增大而增大： 增减性 b x>- b 当 2a时，y随x的增大而增大； x>- 当 2a时，y随x的增大而减小； 例4.(25-26九年级上内蒙古阶段练习)点 P(-1,)B(3,)B(6) 均在二次函数 y=-(x-2+1的图象上，则”，为，为的大小关系是一 【变式41】(2526九年级上陕西阶段练习)若二次函数'=-？+6x-7+mm为常数)的图象过 A-山，B(2),C6,)三点，则”，片，乃的大小关系是一·（用“<”连接） 【变式4-2】(2526九年级上浙江阶段练习)已知点-2，川、B05,⅓）、C2在二次函数 y=2x2-4x+ 的图象上，则片、少、少的大小关系（用“<”连接）一 【变式4-3】(25-26九年级上北京阶段练习)已知点-1m2,m在二次函数'=r-2r+3a>0的 图象上，则mn.(填“>”“<”或“=”). 类型五、根据二次函数的增减性求最值 次函数的最值 函数 y=ax +bx+c (a>0) y=ax+bx+c (a<0) 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b Aac-b2 b Aac-b2 x= x=- 当2a时，y有最大值4a 最值 当2a时，y有最小值4a 无最大值； 无最小值. 例5.(25.26九年级上山东滨州阶段练习)已知二次函数=r+6x-5,当1≤x≤4时，函数值y的取 值范围是一 【变式51】(2526九年级上渐江杭州阶段练习)已知二次函数=2+8x+13,当3≤x≤0时，'的 取值范围是一· 【变式5-2】(25-26九年级上黑龙江阶段练习)已知二次函数"=mr+2mx+1m≠0，当2≤x≤2时， y有最小值4，则m的值为一· 【变式5-3】(25-26八年级上北京阶段练习)当0≤r≤a+2时，二次函数 =x2+2a-3 的最大值与最 小值的差为4，则实数a的值为一 类型六、二次函数图象和性质的综合问题 二次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 y=ax+bx+c (a>0) y=ax +bx+c (a<0) 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 xs、b 直线2a 直线2a b 4ac-b2 b 4ac-b2 顶点坐标 2a 2a Aa 2.二次函数的增减性 函数 y=ax+bx+c (a>0) y=ax +bx+c (a<0) 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b b X<- x<- 增减性 当 2a时，y随x的增大而域小： 当 2a时，y随x的增大而增达： b b x>- 2a时，y随x的增大而增达； x>- 当 当 2a时，y随x的增大而域小； 3.二次函数的最值 函数 y=ax +bx+c (a>0) y=ax +bx+c (a<0) b b 4ac-b2 4ac-b2 x= x= 当 当 最值 2a时，y有最小值 4a 2a时，y有最大值4a 无最大值； 无最小值 例6.(2526九年级上河南商丘阶段练习)已知二次函数'=m+br-5(a≠0)的图象经过点 -4,-5) (1)若a=1,求该函数图象的顶点坐标」 (2)若a<0, 点4-W),Bm,在该函数图象上，且少之为，求m的取值范围. 【变式6-1】(25-26九年级上安徽：阶段练习)已知抛物线'=a-(3a+1x+3a≠0) (I)若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值： (2)该抛物线一定经过的定点为 3 (③)当a>0时，求证：该抛物线的对称轴一定在直线x=的右侧. 【变式6-2】(25-26九年级上安徽阶段练习)已知抛物线’=r-4rx+c」 四若点8g 在抛物线上. ①求抛物线的对称轴： ②当1≤x≤4时，y的最大值为6，求抛物线的函数表达式： 5 (2)当0≤x≤1时，y=x2-4brx+c(0<b<1)最大值与最小值的差为4，求b的值. 【变式6-3】(25.26九年级上浙江绍兴阶段练习)已知点2，-3到是二次函数)+2m-)x-2”图象 上的点 (1)求二次函数图象的顶点坐标： 9/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)当-1≤x≤4时，求函数的最大值与最小值的和： (3)当-1≤x≤t时，若函数的最大值与最小值的和为10，求t的值. 压轴专练 一、单选题 1.(24-25九年级上山西太原月考)对于抛物线》=-2×+4 ,下列结论错误的有()个 （①)该函数图象开口向上：(2)对称轴是“=0：(3)当=0时，取得最大值”4： y=4 (4)顶点坐标是(0,4)：(5)当x>0时，y随x的增大而减小： (6)当2<xs1 ≤1时，'的取值范围是 4<y≤2 0<y<2 (7)当 时，X的取值范围是1<<0 A.3 B.4 C.5 D.6 2.（2526九年级上-山东日照期中)抛物线=-2+m上有三点4-5，），BL,C(12,5）,则 必满足的关系式为() A.片<为<为B.片<%<乃 C.片<乃<乃 D.片<y<为 y=-x2+2x+3 3.(25-26九年级上·江苏徐州期中)关于抛物线 ，下列结论正确的是() A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是直线x=-1 C.当x<-1时，y随x的增大而减小 y=-x2+2x+3 D.函数 的最大值为4 10/15