专题07 二次函数的实际应用问题四类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级下册

专题07 二次函数的实际应用问题四类综合题型 目录 典例详解 类型一、增长率、销售问题 类型二、拱桥、投球、喷水问题 类型三、图形问题 类型四、图形的运动问题 压轴专练 类型一、增长率、销售问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 例1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）国庆期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 50 60 售出电影票数量y（张） 132 92 (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； (3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)(，且是整数) (2)() (3)定价41元/张或42元/张时，每天获利最大，最大利润是4888元 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用． （1）根据表格数据，利用待定系数法求一次函数解析式； （2）根据利润为票房收入减去运营成本，得到二次函数解析式； （3）通过二次函数的性质，在自变量取值范围内求最大利润． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 由表格数据，当时，；当时，， 得方程组： 解得： 所以与之间的函数关系式为 (，且是整数)； （2）解：由题意得， 所以与之间的函数关系式为 ()； （3）解：， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值，顶点横坐标， ∵，且是整数， ∴当或时，最大，， ∴最大利润为4888元． 答：该影院将电影票售价定为41元或42元时，每天获利最大，最大利润是4888元． 【变式1-1】（25-26九年级上·四川资阳·阶段练习）某水果店经销一种水果，原价为每千克50元，连续两次降价后为每千克32元，已知每次降价的百分率相同． (1)求每次降价的百分率； (2)若该水果店售卖的水果每千克盈利10元，每天可售出500千克，在进价不变的情况下，水果店决定采取适当的涨价措施，经市场调查发现，每千克涨价1元，日销售将减少20千克．现该水果店要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ (3)在（2）题中“现该水果店要保证每天盈利6000元”，这6000元是商家获得的最大利润吗？请判断并说明理由． 【答案】(1)每次降价的百分率为 (2)每千克应涨价元 (3)这6000元不是商家获得的最大利润，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解； （2）设每千克应涨价元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解； （3）设商场每天的盈利为元，则，再结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为， 由题意可得：， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴每次降价的百分率为； （2）解：设每千克应涨价元， 由题意可得：， 整理可得：， 解得或， ∵为了尽快减少库存， ∴， ∴每千克应涨价元； （3）解：这6000元不是商家获得的最大利润，理由如下： 设商场每天的盈利为元， 由（2）可得：， ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴这6000元不是商家获得的最大利润． 【变式1-2】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）2025年五一假期期间，定西凤凰城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产的进价为50元/件，B类特产的进价为60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买4件A类特产和7件B类特产需744元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价． (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x 元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时，总利润w最大，最大利润是多少元．（利润售价进价） 【答案】(1)A售价60元，B售价72元 (2) (3)；降价2元，最大利润1840元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、一次函数的应用以及二次函数的应用． 根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； 根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； 结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． （2）由题意得 ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． ∴． （3） ． ∴当时，w有最大值1840． ∴A类特产每件降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 【变式1-3】（2025·贵州·一模）某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第天的售价与日销售量的相关信息如下表： 时间x（天） 售价（元） 60 日销售量 已知这种商品的进价为20元/kg，设销售这种商品的日销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ (3)公司在销售的前28天中，每销售1kg这种商品就捐赠元（）给希望工程，若每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2)第25天；2450元 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，解题的关键是根据不同取值范围确定函数关系式，再结合函数性质（二次函数的顶点、单调性，一次函数的单调性）求解最值和参数范围． （1）根据“日销售利润（售价－进价）日销售量”，分和两种情况，分别推导与的函数关系式； （2）分别分析两种函数关系式的最值：二次函数用顶点式求最大值，一次函数）根据增减性求最大值，再比较得出最终最大利润及对应天数； （3）先列出扣除捐赠后的利润函数，再根据二次函数的单调性（对称轴与取值范围的关系），确定的取值范围． 【详解】（1）解：当时， 当时， ； （2）解：当时， ， 当时，， 当时， ∴随的增大而减小， 当时，， ∴在第25天的销售利润最大，最大日销售利润为2450元； （3）解：设每天扣除捐赠后的日销售利润为元， ∴对称轴为直线， ∵随的增大而增大，为整数， 解得， 类型二、拱桥、投球、喷水问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 例2．（2025·陕西·模拟预测）赛龙舟是中国端午节的主要习俗，也是民间传统水上体育娱乐项目，2011年被列入国家级非物质文化遗产．在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面部分的主桥拱的示意图，其形状可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上各点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．据测量，水面两端点的距离，主桥拱距离水面的最大高度为． (1)求主桥拱所在抛物线的函数表达式； (2)据测量，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量． 【答案】(1) (2)4条 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法确定函数表达式、解一元二次方程等知识，读懂题意，准确求出二次函数表达式是解决问题的关键． （1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的顶点式，将代入求解即可得到答案； （2）由（1）知，抛物线的表达式为，，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为（为常数，且）， 将点的坐标代入得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为， 当时，， 解得或， 可设计赛道的宽度为， ， 最多可设计龙舟赛道的数量为4条． 【变式2-1】（2025·湖北·一模）阅读以下材料，完成项目主题任务： 【项目主题】圆形喷水池喷射形状和高度探究． 【项目背景】寻找生活中的数学，九年级（1）班分成四个小组，开展数学项目式实践活动，获得数据共享，对圆形喷水池喷射形状建立数学模型． 【项目任务】 如图①是一个圆形喷水池，其以喷出的水流呈抛物线型，水流的高度h（单位：）与水流运动时间t（单位：）之间的关系式为：，请你解决以下问题： 任务一：当时，求水流从喷出到落地需要的时间，并在图②中画出函数的图象； 任务二：根据设计需求，水流从喷出到落地的时间需保持在及以上，求v的最小值； 任务三：为了喷水池的美观以及安全考虑，园方要求水流喷出的最大高度h的范围为，求水流速度的取值范围． 【答案】任务一：时间为，图象见解析；任务二：；任务三：水流速度的取值范围为． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据二次函数的性质即可求解，再作图即可． （2）把代入二次函数解析式中，可得，进一步即可求解． （3）根据最大高度为时或者最大高度，分别求出水流速度即可求解． 【详解】解：任务一： 当时，， 令， 解得（舍去），， ∴水流从喷出到落地需要的时间为．画出函数图象如图所示； 任务二： 令， 则， 即v随t的增大而增大， ∴当时，； 任务三： ∵， ∵， 当最大高度为米时，有， 解得（不合题意，舍去）或； 当最大高度为米时，有， 解得：（不合题意，舍去）或； 故水流速度的取值范围为． 【变式2-2】（2025·江西赣州·一模）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线、攻球员位于O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，已知，． 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为、水平距离s（水平距离水平速度时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表．守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … 9 12 15 18 21 … … 5 … (1)求h关于s的函数表达式． (2)若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． (3)求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度． 【答案】(1) (2)若守门员选择原地接球，不能防守成功，理由见解析； (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解表格中的数据求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）计算出当时h的值即可得到答案； （3）当守门员刚好接到球时，则，求出此高度下s的值，进而求出球运动的时间，进而求出守门员运动的最小路程，即可求出最小速度． 【详解】（1）解：由表格中的数据可知当和当时，h的值相同， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴h关于s的函数表达式为； （2）解：若守门员选择原地接球，不能防守成功，理由如下： 在中，当时，， ∵， ∴若守门员选择原地接球，不能防守成功； （3）解：当守门员刚好接到球时，则， 把代入中得：， 解得， ∴此时球的飞行时间为， ∴守门员选择面对足球后退，能够防守成功，那么运动员在内肯定要到达能够刚好接球的位置，即守门员在内的路程要大于等于， ∴守门员的速度要大于等于， ∴守门员的最小速度为． 【变式2-3】（25-26九年级上·广东珠海·期中）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一如图，运动员通过助滑道后在点处起跳，经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分这里表示起跳点到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端到点的水平距离建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离单位：与他在水平方向上移动的距离单位：近似满足函数关系已知，，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是． (1)求与的函数表达式； (2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；当他在点着陆时，飞行时间为． 求与的函数表达式； 当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间的值． 【答案】(1)与的函数关系式为 (2)； 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意得，，，据此利用待定系数法求解即可； （2）①利用待定系数法求解即可；②求出直线的解析式为，如图，设运动员飞行过程中的某一位置为，过作轴交于点，设，则，则，求出的最大值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 将，代入，得： 解得 与的函数关系式为； （2）解：设， 落点到的水平距离是，， 在点着陆时坐标为 将代入，得： 解得， ． 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得， 直线的解析式为， 如图，设运动员飞行过程中的某一位置为，过作轴交于点， 设，则 ， ∵ 当时，最大，此时． 类型三、图形问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的． 例3．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，花园的面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到50平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)，． (2)当时，满足条件的花园面积能达到50平方米； (3)当时，最大，最大面积为200平方米． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用、一元二次方程的求解及二次函数的最值问题，熟练掌握“根据实际问题列函数关系式、结合自变量范围分析函数的取值与最值”是解题的关键． （1）根据栅栏总长表示出BC的长度，再结合矩形面积公式列函数关系式，同时根据墙长确定自变量取值范围． （2）将面积50代入函数关系式，解方程并结合自变量范围判断是否可行． （3）将函数关系式化为顶点式，结合自变量取值范围求最大值． 【详解】（1）解：∵，三边栅栏总长40， ∴． ∴，即． ∵墙长20， ∴， 解得． （2）解：令，则， 整理得， 解得． ∵， ，（舍去）， ∴， ∴当时，满足条件的花园面积能达到50平方米； （3）解：， 化为顶点式：． ∵， ∴当时，最大，最大面积为200平方米． 【变式3-1】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）某公园要铺设广场地面，其图案设计如图，矩形地面的长，宽，四周各角留一个矩形花坛，中心建设一个正方形景观空地，其边长等于四个角上每个矩形花坛的宽的4倍，图中阴影处铺设地砖．已知矩形花坛的长比宽多，设每个矩形花坛的宽均为． (1)用的式子表示：每个矩形花坛的长为_______m；铺设地砖的面积为________． (2)若铺设地砖的面积为，则求正方形景观空地的面积； (3)若四个角的矩形花坛面积之和为，则求出当面积最大时，矩形花坛的长和宽各是多少m？ 【答案】(1)， (2)正方形景观空地的面积为 (3)矩形的长为，宽为 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出方程和函数解析式，是解题的关键： （1）根据矩形花坛的长比宽多，求出矩形花坛的长，分割法求出铺设地砖的面积即可； （2）令（1）中铺设地砖的面积等于，列出方程进行求解即可； （3）根据矩形的面积列出二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，每个矩形花坛的长为，中间正方形的边长为， 故铺设地砖的面积为； 故答案为：，； （2）由题意，， 解得（不合题意，舍去）； ∴正方形景观空地的边长为， ∴正方形景观空地的面积为； （3）由题意，， 由图可知：， 解得， ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，最大，此时； 故当矩形的长为，宽为时，最大． 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的门（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少？最大面积是多少？ 【答案】(1)10米 (2)与墙平行的边的长度为23米时，花圃的面积最大，是平方米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求面积S最大值t时的值． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得，解得 答：与墙垂直的边的长度为10米； （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 当时，有最大值， 答：当与墙平行的边的长度为23米时，花圃的面积最大，是平方米. 【变式3-3】（25-26九年级上·河南·期末）综合与实践 【问题背景】 我们在初学二次函数时，遇到这样一个问题：用总长为的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃．怎样围才能使花圃的面积最大？ 【尝试探究】 （1）如图，设围成的矩形花圃为．我们先列举一些不同的围法，观察矩形花圃的面积是怎样变化的．请补充完整如表格： 的长（） 的长（） 面积（） 【观察发现】 （2）设的长为，矩形的面积为，我们发现：是的函数． ①请写出与的函数关系式为：_______________（整理成一般形式）； ②自变量的取值范围是：_______________； 【问题解决】 （3）请将与的函数关系式配成顶点式，求出矩形面积的最大值； 【拓展探究】 （4）用总长为米的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃．当与墙垂直的一边长度为___________时，围成的花圃的面积最大，最大面积为___________． 【答案】（1）表格见详解；（2）①；②；（3），最大值为；（4）． 【分析】本题考查二次函数的应用、解题的关键是明确题意，建立二次函数模型再利用二次函数的性质． （1）根据矩形的面积公式解析计算完成填表即可求解； （2）①根据矩形的面积公式可以得到y与x的函数关系式 ②根据矩形即可求出自变量的取值范围； （3）根据题意化为顶点式，根据二次函数的性质求得最大值； （4）根据（2）的方法列出解析式，进而化为顶点式，求得最大值，即可求解． 【详解】解：（1）列表如下， 的长（） 的长（） 面积（） 42 （2）①； 故答案为： ②∵， ∴， 故答案为：． （3）， ∵， ∴当时，最大值为； （4）设与墙垂直的一边长度为，围成的花圃的面积为， 依题意，， ∴当时，最大值为； 故答案为：． 类型四、图形的运动问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的． 例4．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为秒，阴影部分的面积为． (1)的长为______cm（用含t的代数式表示）； (2)写出S与t的函数解析式及t的取值范围； (3)当t为何值时，阴影部分的面积最小？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查列代数式，二次函数与实际问题，二次函数的性质． （1）根据路程速度时间就可以表示出，再根据求出； （2）根据点Q运动到点C时，两点停止运动得到，根据列出函数解析式； （3）根据（2）的函数解析式，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：当运动t秒时，， ∴． 故答案为： ． （2）解：∵点P从点A运动到点B，需要时间为， 点Q从点B运到到点C，需要时间为， 又点Q运动到点C时，两点停止运动， ∴． ∵，，，，， ∴， ， ∴， ∴S与t的函数解析式为． （3）解：∵， ∵， ∴当时，阴影部分的面积S最小，为． 【变式4-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，P在边上，于D，点E在P的右侧． (1)若设为x，则的面积是多少． (2)若P是边上的动点，P从点A出发，沿方向运动，始终有，当E到达点B时，P停止运动，求整个运动过程中，阴影部分面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的实际应用，熟记相关定理内容是解题关键． （1）根据勾股定理求出，设边上的高为h，，用三角形面积法求出h，然后证明，对应边成比例可以求出，进而用三角形面积公式即可解决问题； （2）结合（1）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：由题意得：； 设边上的高为h， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴,即 ∴， ∴的面积； （2）解：由（1）可知：； ∴， ∵， ∴当时，阴影部分面积有最小值，且最小值为； 【变式4-2】（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图（1），在中，，点P从点A出发以的速度沿路线运动，点Q从点A出发以的速度沿运动，，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．以为边在的上方作平行四边形，设运动时间为，平行四边形的面积为（当点A，P，Q重合或在一条直线上时，不妨设）．探究S与t的关系． (1)当点P由点A运动到点C时， 若，______； S关于t的函数解析式为______． (2)当点P由点C运动到点B时，经探究发现S关于t的函数解析式为，其图象如图（2）所示． m的值为______； 求S关于t的函数解析式． 【答案】(1)； (2)16； 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查动点的函数图象，含30度角的直角三角形，待定系数法求函数解析式，正确求出函数解析式是解题的关键， （1）①作于点E，求出的长，根据平行四边形的性质，求出面积即可； ②同①法计算即可； （2）①把代入（1）①中的解析式，计算即可； ②待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】（1）解：①点P从点A出发以的速度沿路线运动，点Q从点A出发以的速度沿运动．设运动时间为， 当时，，， 作于点E，如图1， ， ， 平行四边形的面积为：； 故答案为：； ②由题意，得：，， ， ， 故答案为：； （2）解：①由图象可知，当时，此时点P恰好运动到点C，由（1）②可知：， 故， 故答案为：16； ②由图象和①可知，抛物线过，，将两点坐标分别代入，得： ， 解得， 关于t的函数解析式为． 【变式4-3】（2024九年级下·广东·专题练习）综合运用 在中，，D为边上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，在三角形的三边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，试探究S与t的关系． (1)如图1，当点P由点C运动到点B时，求S关于t的函数表达式． (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数表达式及线段的长． (3)若存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等． ①求的值； ②当时，求正方形的面积． 【答案】(1) (2)， (3)①4；② 【分析】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先求出，进而求出，则； （2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案； （3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案． 【详解】（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在上匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形，且其面积为S， ∴； （2）解：由图2可知当点P运动到B点时，， ∴， 解得或（舍去）； ∴当时，， 由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设当点P由点B运动到点A时，S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴当点P由点B运动到点A时，S关于t的函数解析式为， 在中，当时，解得或（舍去）， ∴，且， ∴，； （3）解：①∵点P在上运动时，，点P在上运动时， ∴可知函数可以看作是由函数向右平移4个单位长度得到的， 设是函数上的两点，则点和点是函数上的两点， ∴，， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴； ②由（3）①得， ∵， ∴， ∴， ∴．    一、单选题 1．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 【详解】解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 2．（25-26九年级上·山东淄博·期中）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故选：A． 3．（2025·天津·一模）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积不能为．其中正确的是（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系，准确的列出函数解析式和一元二次方程是解题的关键． 设的边长为，则的边长为，根据列出方程，解方程求出的值，根据取值范围判断①；根据菜园的面积为，解方程求出的值，可以判断②；设矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求函数的最值可以判断③． 【详解】解：边长为，则边长为， 当时，， 解得， ∵的长不能超过，， 故①正确； ∵菜园面积为， ∴， 整理得， 解得或， ∵ ∴的长有一个值满足菜园面积为， 故②错误； 设菜园面积为， 根据题意得， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， 菜园面积不能为， 故③正确； ∴正确的结论有个， 故选：B． 4．（25-26九年级上·山东威海·期中）某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论： ①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个； ②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元； ③宾馆每天的最大利润为12250元． 其中，错误结论的是（   ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，理解题意，根据等量关系列出算式是解题的关键． 根据每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲列式即可判断①；设定价增加元，则定价为元，房间数为个，根据利润（每间房定价每间房成本）居住的房间数，列出方程求解，结合每间房不得高于360元，即可判断②；设利润为w，列出算表达式，然后根据二次函数的性质求解即可判断③． 【详解】解：①：∵定价每增加10元，空闲房间数增加1个， ∴增加30元对应空闲3个，即居住房间数为个，故①结论正确； ②：设定价增加元，则定价为元，房间数为个． 根据题意得，， 解得或 ∵市场监管部门规定每间房价不得高于360元， 当时，对应定价为元， 当时，对应定价为元， ∴只有当每个房间的定价为320元时，满足该宾馆某天利润为12000元，故②结论错误； ③：设定价增加元，利润为w，根据题意得， ， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∵市场监管部门规定每间房价不得高于360元，即， ∴， ∴当，w取得最大值，最大值为， ∴最大利润为元，故③结论错误． 综上，错误结论的是②③． 故选：C． 5．（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图①，A，B是上的两定点，圆上一动点P从点A出发，按逆时针方向匀速运动到点B，运动时间是，线段的长度是，图②是y关于x的函数图象，最高点，且经过、和点，下列说法错误的是（） A． B． C．点在该函数图象上 D． 【答案】D 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据所给选项判断出点P在圆上的具体位置是解决本题的关键．根据所给选项，判断出点P运动到点C，D，E，F处时分别在圆O的什么位置，进而判断出相应的时间和AP的长即可判断所给选项是否正确． 【详解】解：延长交于点，连接，如图1， ∴最高点， ∴此时点运动3秒，点在的延长线与的交点处， ∴函数图象经过点， ∴此时点在点处，且， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故A正确，不符合题意； ∴函数图象过， ∴此时，如图2， ∴点走一个半圆需要3秒，从走到点需要2秒， ∴从走到需要1秒， ∴从走到需要1秒， ∴， 故B正确，不符合题意； 当时，如图3，点运动到处，连接， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在该函数图象上， 故C正确，不符合题意； 当时，点P在的中点处，如图 4， ∴， ∴， ∴， 故D错误，符合题意． 故选：D． 6．（25-26九年级上·山西忻州·期中）如图1，质量为m的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧被压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性变形），小球的速度v（）和弹簧被压缩的长度x（）之间的函数关系（可近似看作二次函数）图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（    ） A．该二次函数的图象开口向下，其顶点横坐标对应弹簧被压缩长度的最小值 B．随着弹簧被压缩长度x逐渐增大，小球速度v不断减小 C．若弹簧被压缩长度大于时，小球速度v一定大于 D．当弹簧被压缩长度为时，小球速度为 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数的图象，解题关键是读懂题意，用数形结合思想解决问题．根据图象给出的信息分析出小球何时开始减速，小球下落的最低点时弹簧的长度，小球速度最大时弹簧的长度，即可得出答案． 【详解】解：A、由图象可知，其顶点横坐标对应的不是弹簧被压缩长度的最小值或最大值，是速度的转折点，故此选项不符合题意； B、由图象可知，随着弹簧被压缩长度x逐渐增大，小球速度v先增大，再减小，故此选项不符合题意； C、由图象可知，若弹簧被压缩长度大于时，小球速度v先大于，到最大后，再逐渐减小，会有小于，故此选项不符合题意； D、由图象可知，当弹簧被压缩长度为时，小球速度为，故此选项符合题意． 故选：D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·山东临沂·期中）某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶O到水面的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：水面宽为， 的横坐标为， 把代入， 得：， ， 此时拱顶到水面的距离为， 故答案为：4． 8．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式为雕塑的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键．解题思路是明确求雕塑的高即求抛物线与y轴交点的纵坐标，将代入抛物线解析式计算即可． 【详解】解： 将代入抛物线解析式， ． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，排球运动员站在点处练习发球，球从点正上方的处发出，其运行的高度与水平距离满足关系式．已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．下列判断：①球运行的最大高度是；②球不会过球网；③球会过球网且不会出界；④球会过球网且会出界．其中正确的是 ．（填写序号） 【答案】①④ 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，理解题意根据题意列式是解题的关键； 根据顶点式的特点可知，排球运行的最大高度为，由此即可判断①；求出当时，的值，再与进行比较，即可判断②；求出当时，的值，再与比较，即可判断③、④． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴球运行的最大高度为，故①正确； ∵在中，当时，， ∴球会过球网，故②错误； ∵在中，当时，， ∴球会过球网且会出界，故③错误；④正确； 故答案为：①④． 10．（25-26九年级上·山东泰安·期中）“天问”探火、“墨子”传信、“蛟龙”深潜、“天眼”观星、“雪龙”探极．新中国成立多年来，众多科技成果彰显中国力量．某网店为满足科技爱好者需求，推出了科技模型．已知该模型每件成本18元，按每件22元出售，每日可售出30件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少3件，每件模型应涨价 元，才能使每日利润最大． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，二次函数的性质，正确求函数解析式是解题的关键．设每件模型涨价元时，日销量为件，每日的利润为元，先求出日销量与的函数关系式，再求出日销量与的关系式，最后利用函数的性质求解即可． 【详解】解：设每件模型涨价元时，日销量为件，每日的利润为元，则， ，即：， ， 当时，有最大值． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·全国·期中）用长为的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图围出的苗圃是五边形，，，．设，五边形的面积为，则S的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质、矩形的判定、含的直角三角形的性质和性质和二次函数的图象和性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 根据已知条件，可以求出五边形的各个角的度数，连接，则是等腰三角形，四边形为矩形，在中作，依据三线合一定理以及含的直角三角形的性质就可以用表示出的长；再根据总长是，用x表示，将五边形的面积写成与矩形的面积和，把面积表示成x的函数，根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：连接，作，垂足为F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴，，， ∴ ， ∴当时，， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图1，在中，，点在边上，动点在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为S．当点由点运动到点时，S是一个关于的二次函数，图象如图2所示，则的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的应用．结合图形得到动点P在各个拐点时S与t的值是解决本题的关键． 当点P在上时，易得，整理可得S与t的函数关系式，求得当时，t的值，即可求得当点P在点B时时，．进而根据图2中的顶点坐标为，用顶点式表示出图2中S与t的关系式，把代入可得a的值，进而取．求得t的值，得到点P在点A时面积为，进而求出t的值，则可以求得的长，根据勾股定理可得的长，则可求得的周长． 【详解】解：当点P在上时，在中，，， ． 当时，． 解得 (取正值)， ． 图2中的抛物线经过点． 由图象可知，图2中的抛物线顶点为． 设抛物线解析式为：． 将代入，得，解得：． ． 当时，， 解得或 (舍去)． ． 在中，由勾股定理得：． 的周长为． 故答案为；． 三、解答题 13．（25-26九年级上·广东汕头·期中）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加50件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)降价元时，最大利润为元 【分析】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的最值问题。 （1）设月平均增长率为，根据三月份和五月份的销售量关系列方程求解； （2）设降价元，根据利润=（售价进价）销售量建立二次函数关系，利用二次函数的顶点公式求最大利润． 【详解】（1）设平均每月增长率为， 由题意得，三月份销售件，五月份销售件， ， ， ， 或（舍去）， ； 月平均增长率为． （2）设降价元，则售价为元，销售量为件， 利润， ， 有最大值， 顶点横坐标， ， 降价元时，利润最大，最大利润为元． 14．（25-26八年级上·上海·期中）如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问： (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，五边形的面积最小?最小值是多少？ 【答案】(1)2或4 (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出解析式是解题的关键． （1）设运动时间为秒，则,，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可； （2）由（1）知，，该函数图象开口向下，有最大值，根据顶点坐标公式求出顶点坐标，五边形的面积最小值等于矩形面积减去的面积的最大值，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，则, 则， 即， 解得或 答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米； （2）解：设运动时间为秒，则, 则， 当时，有最大值，最大值为， 则五边形的面积最小值为：， 答：经过3秒时,五边形的面积最小，最小值是． 15．（25-26九年级上·山东临沂·期中）现有一台乒乓球发球器，球台中点处球网（E点）到发球器下方（O点）的距离为，高度约为．乒乓球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线的一部分，从第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线的一部分．如图是发球器（A为发球口），其中一次发射的乒乓球的运动轨迹，以球台所在直线为x轴，发球器所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，得到直线和抛物线．已知乒乓球第一次接触台面（B点）到发球器下方（O点）的距离为，第二次接触台面（C点）到发球器下方（O点）的距离为，且乒乓球在段运动的最高点距乒乓球台面的距离． (1)求抛物线的解析式； (2)当乒乓球运动到E点正上方时，求乒乓球距F点的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是确定B，C坐标，用待定系数法求出函数解析式． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）求出时的函数值，然后减去的长度即可． 【详解】（1）解：由题可知 ． 设抛物线的解析式为 ∵顶点 又 解得 ； （2）解：由题意可知， 当时，， ， ， ∴当乒乓球运动到点E正上方时，乒乓球距F点的距离为． 16．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的河流边打造喷水景观，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入河流中．如图是其截面图，已知绿道路面宽米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以喷水口为原点，路面为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线的函数解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 【答案】(1) (2)不会喷射到护栏上，见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键； （1）设该抛物线的函数表达式为，根据该抛物线经过原点，得出，即可求解； （2）将得出，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 该抛物线经过原点， ，解得． 该抛物线的函数表达式为． （2）水柱不会喷射到护栏上 理由如下： 当时，， ， 水柱不会喷射到护栏上． 17．（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，在四边形中，，截取．已知，，． (1)求图中阴影部分的面积关于的函数表达式和的取值范围． (2)当为的中点时，图中阴影部分的面积为多少？ (3)（求最值，用配方法）当为何值时，图中阴影部分的面积有最小值？这个最小值是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)不存在最小值． 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，表示出各部分面积是解题关键． （1）首先可寻找四边形与题中图形之间的关系，读图可得，，据此即可求出四边形的面积关于的函数表达式，再由、、的值求取的取值范围； （2）把代入（1）中的式子即可得到结论； （3）把（1）中所得的二次函数化为顶点式的形式，再根据实际情况求解． 【详解】（1）解： ， ，且，，， ， 函数表达式是； （2）解：为的中点， ， ； （3）解：， 由于不在的取值范围内，而也取不到， 则面积的最小值不存在； 18．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）某校组织跳长绳体育锻炼．某科技小组开展了以“摇绳中的数学”为主题的综合实践活动． 研究背景  甲，乙摇绳机的手柄高度相同，绳子摇到最高处的形状近似看作抛物线的一部分． 建立方法  以甲，乙摇绳机所在地面直线为x轴，甲摇绳机手柄A处作垂直于地面的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 收集信息  摇绳时，甲，乙摇绳机手柄A，B之间的水平距离是，手柄A，B离地面的高度，都是．当绳子上D点与原点O的水平距离是时，其离地面的高度是．学生跳绳时，为了安全，学生正上方的绳子距其头顶至少高． 建立模型  求该抛物线的解析式． 应用模型 （1）小明跳绳时，其头顶离地面的高度为，能否让他参加跳绳活动？请说明理由； （2）某跳绳小组成员站成一排同时跳绳，他们跳绳时头顶离地面的高度都是，要求小组相邻成员之间的水平距离不低于，不超过，直接写出同时跳绳人数t的取值范围． 【答案】建立模型：；应用模型：（1）不能邀请小明参加跳绳活动，理由见解析；（2）（t为整数） 【分析】本题考查待定系数求二次函数解析式，二次函数解决实际问题； 建立模型：设抛物线解析式为，依据题意得，甲摇绳机A坐标，乙摇绳机B坐标，D点坐标，代入点的坐标即可求出解析式； 应用模型：（1）依据题意得，绳子高度>小明头顶高度+，可得，又顶点，最高高度为，故，从而绳子最高处仍低于安全要求高度，进而可以判断得解；（2）依据题意得，绳子高度>，可令，从而求出，，进而有效跳绳水平范围为，总长度为，结合间隔数为，需满足且，最后可以判断得解. 【详解】建立模型 解：设抛物线解析式为，将，，代入得， 解得 ∴y与x的函数解析式是． 应用模型 解：（1）∵， ∴当时，y有最大值2.25． ∵， ∴不能邀请小明参加跳绳活动． （2）令，即 解得，， ∴小组成员两端之间的水平距离为 ∴ ∴（t为整数）． 19．（25-26九年级上·安徽六安·期中）2025年7月26日至8月10日，霍邱县马店镇隆重举行了首届龙虾音乐节，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的养殖成本相同，放养10天的总成本为83000元，放养30天的总成本为89000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为，销售单价为y元/，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为，y与t的函数关系如图所示． （总成本养殖成本收购成本；利润销售总额总成本） (1)求这批小龙虾的收购成本和每天养殖成本； (2)求y与之间的函数表达式； (3)如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)收购成本为80000元，每天养殖成本为300元 (2) (3)该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养25天后一次性出售所得利润最大，最大利润是54250元 【分析】（1）设这批小龙虾的收购成本为m元，每天养殖成本为n元，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到与的值即可； （2）根据图象，分类利用待定系数法求出当时，当时，y与t之间的关系式即可； （3）根据，分别写出当时，当时，与的函数解析式，然后利用一次函数与二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设这批小龙虾的收购成本为m元，每天养殖成本为n元，根据题意得： ，解得： 答：这批小龙虾的收购成本为80000元，每天养殖成本为300元． （2）解：当时，设y与t之间的函数表达式为：， 由图可知：当时，；当时，；即， 解得：， ∴y与t之间的函数表达式为：； 当时，设y与t之间的函数表达式为：， 由图可知：当时，；当时，；即， 解得：， ∴y与t之间的函数表达式为：； 综上所述，y与t之间的表达式为：； （3）解：由题意可得：， 当时，，即， ∵， ∴时，W最大，； 当时，， 即 ∵， ∴时，W最大，． 答：该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养25天后一次性出售所得利润最大，最大利润是54250元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二元一次方程组，待定系数法确定函数解析式，利用二次函数的性质确定最值，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 20．（2025九年级上·全国·专题练习）如图三角形，，是边上的高．分别是边上的点，是上的点，连接，交于． (1)若四边形是正方形，求的长（图一）； (2)若四边形是矩形，且．求的长（图二）； (3)若四边形是矩形，求当矩形面积最大时，求最大面积和的长． 【答案】(1) (2)， (3)最大面积是，， 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设正方形的边长为，由正方形的性质得出，推出，再由相似三角形的性质计算即可得出答案； （2）设则，由矩形的性质得出，推出，再由相似三角形的性质计算即可得出答案； （3）由矩形的性质得出，推出，设，矩形的面积为，则，，表示出，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设正方形的边长为， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ， 解得， ． （2） 解：设，则， ∵四边形为矩形， ∴， ， ∴，即 ， 解得， ，． （3） 解：∵四边形是矩形， ， ∴， ∵是高， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴，． 设，矩形的面积为， 则 ，， ∴，， ∴， ∴当时，的最大值为， ∴当时，矩形的面积最大，最大面积是； 此时，，． 答：最大面积是，，． 21．（25-26九年级上·广东广州·期中）6月中旬，荔枝相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解荔枝的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处荔枝园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A荔枝园 第x天的单价、销售量与x的关系如下表： 单价（元/箱） 销售量（箱） 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 ．．． ．．． ．．． 第x天 已知A荔枝园每天的固定成本为745元． B荔枝园 第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图：    (1)求A荔枝园第1天的利润； (2)求B荔枝园第x天的利润（元）与x（天）的函数关系式； (3)设两处荔枝园的利润之和为w，求第几天w有最大值，最大值是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)第天有最大值，最大值为 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，并考查了待定系数法求解二次函数表达式，二次函数最值问题求解，实际问题中运用函数关系正确表示利润是解答的关键． （1）根据利润销量单价成本，化简表达式即可得到函数解析式，然后代入即可求解得到第一天的利润； （2）根据待定系数法，将根据，代入方程，求得的值，进而得到二次函数的表达式； （3）根据前面所求求出的结果，再利用二次函数的性质，在顶点处取得最大值，进而完成求解． 【详解】（1）解：由题意知，， 第一天的利润（元）． 答：荔枝园第天的利润为元． （2）解：把，代入得， ， 解得， ∴． 答：函数关系式为． （3）解：∵，， ∴利润之和， ∴， ∴， ∵（为正整数）， ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：第天有最大值，最大值为． 22．（25-26九年级上·湖北宜昌·期中）如图1，在中，，，，于，点在的延长线上，连接，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度匀速运动，到达点时停止．连接，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，以正方形的面积为，探究与的关系． (1)如图1，当点由点运动到点时． ①当时，______． ②关于的函数解析式为______． (2)如图2，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图3所示的图像．请根据图像信息，求关于的函数解析式及线段的长． 【答案】(1)①12；②； (2)， 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、求二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）①由勾股定理和三角形的面积可得、，，由当时，，即点P和点D重合，即，然后根据三角形面积公式求解即可；②由题意可知：，然后分当P在上和上两种情况，分别运用线段的和差以及勾股定理求得，然后利用正方形的面积公式求解即可； （2）设，将代入（1）所得的解析式可得，即；再利用对称性可得，然后把代入求得a的值即可确定关于的函数解析式；如图：当时，，此时点P和点E重合且可得，从而确定的长． 【详解】（1）解：①∵在中，，，， ∴根据勾股定理得， ∵， ∴根据三角形面积公式，可得， ∴， 当时，，即点P和点D重合， ∴， ∴． ②由题意可知：， 如图：当P在上，即时， ∴， ∴， ∴； 如图：当P在上，即时， ∴， ∴， ∴； 综上，． （2）解：设， 当时，，即 由对称性可得∶ 把代入得：，解得：， ∴． ∵如图：当时，，此时点P和点E重合， ∴，即． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07二次函数的实际应用问题四类综合题型 月录 典例详解 类型一、增长率、销售问题 类型二、拱桥、投球、喷水问题 类型三、图形问题 类型四、图形的运动问题 压轴专练 理 典例详解 类型一、增长率、销售问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： (1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 (2)在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 例1.(25-26九年级上江苏苏州阶段练习)国庆期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为 2000元，该影院每天售出的电影票数量y(单位：张)与售价x(单位：元/张)之间满足一次函数关系 (30≤x≤80，且x是整数)，部分数据如下表所示： 电影票售价x(元/张) 50 60 售出电影票数量y(张 132 92 (I)请求出y与x之间的函数关系式： (②)设该影院每天的利润（利润=票房收入一运营成本）为w(单位：元)，求w与x之间的函数关系式： (3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【变式1-1】(25-26九年级上·四川资阳阶段练习)某水果店经销一种水果，原价为每千克50元，连续两 次降价后为每千克32元，已知每次降价的百分率相同. (1)求每次降价的百分率； 1/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)若该水果店售卖的水果每千克盈利10元，每天可售出500千克，在进价不变的情况下，水果店决定采取 适当的涨价措施，经市场调查发现，每千克涨价1元，日销售将减少20千克.现该水果店要保证每天盈利 6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ (3)在(2)题中“现该水果店要保证每天盈利6000元”，这6000元是商家获得的最大利润吗？请判断并说明 理由。 【变式1-2】(25-26九年级上·甘肃定西期中)2025年五一假期期间，定西凤凰城景区某特产店销售A,B 两类特产.A类特产的进价为50元/件，B类特产的进价为60元/件.己知购买1件A类特产和1件B类特 产需132元，购买4件A类特产和7件B类特产需744元. (I)求A类特产和B类特产每件的售价。 (②)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件，市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件 (每件售价不低于进价).设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写 出自变量x的取值范围. (3)在(2)的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这两 类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时，总利润w最大，最 大利润是多少元.（利润=售价-进价） 【变式1-3】(2025·贵州一模)某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第 x(1≤x≤48)天的售价与日销售量的相关信息如下表： 时间x(天) 1≤x<30 30≤x≤48 售价（元） x+30 60 日销售量(kg) -2x+120 己知这种商品的进价为20元kg,设销售这种商品的日销售利润为y元. (I)求y与x的函数关系式： (2)第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ (3)公司在销售的前28天中，每销售1kg这种商品就捐赠元(n<9)给希望工程，若每天扣除捐赠后的日 销售利润随时间x的增大而增大，求的取值范围. 2/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、拱桥、投球、喷水问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： (1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 (2)在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 例2.(2025陕西·模拟预测)赛龙舟是中国端午节的主要习俗，也是民间传统水上体育娱乐项月，2011年 被列入国家级非物质文化遗产.在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面 部分的主桥拱的示意图，其形状可看作抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系xOy,桥拱上各 点到水面的竖直高度y(单位：m)与到点O的水平距离x(单位：m)近似满足二次函数关系.据测量， 水面两端点的距离0A=60m,主桥拱距离水面的最大高度为9m. ◆y/m 拱桥 龙舟、 3m 2m 水面 A x/m 图1 图2 (I)求主桥拱所在抛物线的函数表达式： (2)据测量，龙舟最高处距离水面2m,为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m,要 设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9m,求最多可设计龙舟赛道的数量. 【变式2-1】(2025湖北一模)阅读以下材料，完成项目主题任务： 【项目主题】圆形喷水池喷射形状和高度探究. 【项目背景】寻找生活中的数学，九年级(1)班分成四个小组，开展数学项目式实践活动，获得数据共享， 对圆形喷水池喷射形状建立数学模型。 【项目任务】 如图①是一个圆形喷水池，其以vms喷出的水流呈抛物线型，水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t (单位：s)之间的关系式为：h=vt-52,请你解决以下问题： 任务一：当v=30s时，求水流从喷出到落地需要的时间，并在图②中画出函数的图象； 任务二：根据设计需求，水流从喷出到落地的时间需保持在4s及以上，求v的最小值； 任务三：为了喷水池的美观以及安全考虑，园方要求水流喷出的最大高度h的范围为20≤h≤25，求水流速 度的取值范围. 3/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ◆h/m 60 40 38 10 0 123456ts 图① 图② 【变式2-2】(2025·江西赣州一模)鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某 一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2)，足球的飞行轨迹可看成抛物线、攻球员位 于O,守门员位于点A,OA的延长线与球门线交于点B,且点A,B均在足球轨迹正下方，己知OB=28m, AB 8m h/m个 B s/m 图1 图2 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为15m/s、水平距离s(水平距离=水平速度×时间)与离地高度h 的鹰眼数据如下表.守门员的最大防守高度为 m.守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员 25 位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功. s/m … 9 12 15 h/m 4.2 4.8 5 (I)求h关于s的函数表达式. (②)若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通 过计算说明理由， (3)求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度， 【变式2-3】(25-26九年级上广东珠海期中)跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一如图，运动员通过 助滑道后在点A处起跳，经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的 一部分这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O 的水平距离建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员到地面OB的竖直距离（单 窗：m)与他在水平方向上移动的距离x(单位：m)近似满足函数关系y二)x+bx+C已知04=70m 0C=60m,落点P到0C的水平距离是30m,到地面OB的竖直高度是37.5m. 4/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (I)求y与x的函数表达式： (2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离x(m)与飞行时间t(s)具备一次函数 关系，当运动员在起跳点腾空时，t=0,x=0;当他在点P着陆时，飞行时间为5s. ①求x与t的函数表达式： ②当运动员与着陆坡BC在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值， 类型三、图形问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相 似、最大（小面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等 坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决解这类问题的关键就是要 善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的. 例3.(25-26九年级上·湖北黄冈期中)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩 形花园ABCD,花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）.若设花园的AB边长为x米， 花园的面积为y平方米。 ()求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到50平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由： (3)当x是多少时，矩形场地面积y最大？最大面积是多少？ 【变式3-1】(25-26九年级上·湖北武汉·期中)某公园要铺设广场地面，其图案设计如图，矩形地面ABCD 5/18 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的长AD=50m,宽AB=32m,四周各角留一个矩形花坛，中心建设一个正方形景观空地，其边长等于四 个角上每个矩形花坛的宽的4倍，图中阴影处铺设地砖.已知矩形花坛的长比宽多7m,设每个矩形花坛的 宽均为xm, D 9 R ()用x的式子表示：每个矩形花坛的长为 m；铺设地砖的面积为 m2. (2)若铺设地砖的面积为1168m2,则求正方形景观空地的面积； (3)若四个角的矩形花坛面积之和为Sm,则求出当面积s最大时，矩形花坛的长和宽各是多少m? 【变式3-2】(25-26九年级上，安微阜阳·期中)综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开 展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为40m的栅栏围成，兴趣小组设计 了以下两种： 方案一 方案二 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分 如图1，围成一个面积为200m的矩形 隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花雨两侧各留一 花雨。 个宽为3m的门（此处不用栅栏）. 墙 ∠lllltlee∠L∠ 墙 花圃 花圃 3m 区域1 区域2 3m 图1 图2 ()求方案一中与墙垂直的边的长度； (②)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少？最大面积是多少？ 【变式3-3】(25-26九年级上·河南期末)综合与实践 【问题背景】 我们在初学二次函数时，遇到这样一个问题：用总长为20m的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃.怎 样围才能使花圃的面积最大？ 6/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【尝试探究】 (1)如图，设围成的矩形花圃为ABCD.我们先列举一些不同的围法，观察矩形花圃的面积是怎样变化的. 请补充完整如表格： AB的长(m) 1 BC的长(m) 18 16 12 面积(m2) 18 32 48 【观察发现】 (2)设AB的长为x,矩形的面积为y,我们发现：y是x的函数. ①请写出y与x的函数关系式为： (整理成一般形式)： ②自变量x的取值范围是： 【问题解决】 (3)请将y与x的函数关系式配成顶点式，求出矩形面积的最大值； 【拓展探究】 (4)用总长为Q米的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃.当与墙垂直的一边长度为 时， 围成的花圃的面积最大，最大面积为 AB的长(m) 2 4 BC的长(m) 18 16 14 12 面积(m2) 18 32 42 类型四、图形的运动问题 次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相 7/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 似、最大（小）面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等 坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决解这类问题的关键就是要 善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的. 例4.(25-26九年级上·河北廊坊期中)如图，在ABC中，AB=5cm,BC=6cm,∠B=90°，点P从点A 出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动，同时点Q从点B出发沿BC以2cms的速度向点C移动，当点Q运 动到点C时，两点停止运动.设运动时间为(t>0)秒，阴影部分的面积为Scm2. A P Bh Q (I)PB的长为 cm(用含t的代数式表示)： (2)写出S与t的函数解析式及t的取值范围： (3)当t为何值时，阴影部分的面积最小？ 【变式4-1】(25-26九年级上浙江杭州期中)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,P在AB边 上，PD⊥AC于D,点E在P的右侧 (1)若设PD为x,则△APD的面积是多少. (②)若P是AB边上的动点，P从点A出发，沿AB方向运动，始终有PE=1,当E到达点B时，P停止运动， 求整个运动过程中，阴影部分面积S+S的最小值 【变式4-2】(25-26九年级上江西南昌·期中)如图(1)，在ABC中，∠A=30°，点P从点A出发以 2cm/s的速度沿路线A→C→B运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度沿AB运动，P,Q两点同时出发， 当某一点运动到点B时，两点同时停止运动.以AQ,PQ为边在AB的上方作平行四边形ADPQ,设运动时 间为s,平行四边形ADPQ的面积为Scm2(当点A,P,Q重合或在一条直线上时，不妨设S=0).探究S 与t的关系. 8/18 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AS m 2 B 0410t 图(1) 图(2) ()当点P由点A运动到点C时， ①若t=1,S= ②S关于t的函数解析式为 (2)当点P由点C运动到点B时，经探究发现S关于t的函数解析式为S=at2+b1(4≤1≤10)，其图象如图(2) 所示. ①m的值为： ②求S关于t的函数解析式. 【变式4-3】(2024九年级下·广东.专题练习)综合运用 在Rt△ABC中，∠C=90°，D为边AC上一点，CD=√2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发， 在三角形的三边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时 间为ts,正方形DPEF的面积为S,试探究S与t的关系. S 18 Mi D 6 2 B C 04: 图1 图2 (I)如图1，当点P由点C运动到点B时，求S关于t的函数表达式. (②)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于1的二次函数，并绘制成如图2所示的图象.请根据 图象信息，求S关于t的函数表达式及线段AB的长. (3)若存在3个时刻，t2,，专(t<t2<t)对应的正方形DPEF的面积均相等. ①求t+t的值； 9/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②当，=4t,时，求正方形DPEF的面积. 压轴专练 一、单选题 1.(2025·甘肃中考真题)如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置0M,喷头M向外喷 水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y()与 > 水平距离x(m)之间的关系式是y=-x2+2x+（x>0),则水流喷出的最大高度是() 4 y/m M x/m A.3m B.2.75m C.2m D.1.75m 2.(25-26九年级上山东淄博期中)图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传 统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化.“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2.已 知其底部宽度AB为80m,高度为200m,则离地面150m处的水平宽度（即CD的长）为() 200m 150m 480m->B 图1 图2 A.40m B.45m c.50m D.55m 3.(2025天津.一模)如图，要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m,其 余的三边AB,BC,CD用篱笆，且这三边的和为40m,有下列结论：①AB的长可以为9m;②AB的长有 两个不同的值满足菜园ABCD面积为168m2;③菜园ABCD面积不能为220m2.其中正确的是()个 10/18