专题09 二次函数中的等腰三角形、直角三角形存在性问题的三类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级下册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09二次函数中的等腰三角形、直角三角形存在性问 题的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数中的等腰三角形存在性问题 类型二、二次函数中的直角三角形存在性问题 类型三、二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 压轴专练 典例详解 类型一、二次函数中的等腰三角形存在性问题 1解题思路：先设动点坐标（含参数），结合二次函数表达式确定顶点、交点等关键坐标；再分三种情况 (两腰为已知边、一动一静边、两动边)讨论等腰三角形构成。 2.解题技巧：用两点间距离公式将边长转化为含参数的代数式，简化计算；利用二次函数对称性减少分类 结合图形范围验根防漏解。 3解题方法：以代数方程法为主，列边长相等的方程求解参数；辅以几何法（如垂直平分线性质）快速定 位可能点，最后结合函数定义域确定有效解。 例1.(24-25九年级上广东广州期中)如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点， B (I)求出A,B,C点的坐标； (②)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△BCQ是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的Q点坐标； 若不存在，请说明理由. 1/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-1】(25-26九年级上·黑龙江佳木斯阶段练习)如图，已知抛物线y=a(x-h2+k与x轴的一个交 点为A(-1,0,另一个交点为B,与y轴的交点为C(0,-3),其顶点为D,对称轴为直线x=1. (1)求抛物线的解析式： (2)求△BCD的面积； (3)在y轴上是否存在一点M,使CDM为等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说 明理由 【变式1-2】(25-26九年级上湖北阶段练习)如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于 点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C. V B (1)求抛物线对应的二次函数表达式： (②)点P在抛物线对称轴上，当△BCP是以BC为底的等腰三角形时，求点P的坐标； (⊙)在整物线上存在点Q,使得S。-c,直接写出Q的坐标 【变式1-3】(25-26九年级上湖北襄阳阶段练习)如图，己知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点， 与y轴交于点C,顶点为点E,己知点B的坐标为1,0)，经过点B的直线与抛物线另一个交点D的坐标为 -2,-3,连接AD. 2/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)求抛物线及直线BD的解析式： (2)若点F在x轴上，则当EF+CF的值最小时，求点F的坐标； (3)若点P是y轴上的一点，使得△ACP为等腰三角形，求点P的坐标. 类型二、二次函数中的直角三角形存在性问题 1.解题思路：先确定抛物线与坐标轴交点等定点（如A、B),设抛物线上动点Pc,y),分∠A-90°、∠B90 。、∠P-=90°三类讨论直角顶点。 2.解题技巧：用勾股定理(PA+PB2=AB2等)或斜率乘积为-1（垂直)列方程，借抛物线表达式消y,结 合x范围验根。 3解题方法：代数法为主，列坐标方程求解；辅以几何法（过A、B作垂线交抛物线得P),结合图形验证 直角合理性。 例2.(25-26九年级上湖北襄阳·阶段练习)如图，顶点为M的抛物线y=a(x+1)2-4分别与x轴相交于点 A,B(点A在点B的右侧)与y轴相交于点C(0,-3. y (1)求抛物线的解析式： (2)判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由： (3)求四边形ABMC的面积. 【变式2-1】(25-26九年级上·安徽阶段练习)如图，抛物线的顶点为D,其坐标为1,4)，抛物线交x轴于 3/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A,B两点，交y轴于点C,已知OC=3. B (1)求抛物线的表达式： (2)连接CD,BD,判断△BCD的形状； (3)若点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE,求△BCE面积的最大值 【变式2-2】(24-25九年级上广西梧州期末)如图，己知抛物线y=ax2+bx+5与x轴相交于 A(-1,0),B(5,0)两点，与y轴相交于点C. V (①)求抛物线的表达式： (②)点P为抛物线上的一个动点，且在直线BC的上方，试求△PBC面积的最大值； (3)点E是线段BC上异于B,C的动点，过点E的直线EN⊥x轴于点N,交抛物线于点M.当aECM为直 角三角形时，求点M的坐标. 【变式2-3】(25-26九年级上天津武清·阶段练习)如图，己知抛物线y=-x2+bx+c与一条直线相交于 A(-1,0),C(2,3)两点，与y轴交于点N,其顶点为D. (1)求抛物线及直线AC的函数表达式； 4/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)点P为对称轴上一动点，求当PA+PN最小时点P坐标，并求出最小值， (3)在抛物线对称轴上是否存在一点M，使以A,N,M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写 出M点的坐标，若不存在，请说明理由. 类型三、二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P,分∠A、∠B、∠P为直角顶点三类，每类需满足“直 角”+“两直角边相等”。 2.解题技巧：用坐标表边长，结合勾股定理（直角）与距离相等（等腰）列方程，借抛物线消y;利用斜 率（垂直时积为-1）简化计算，结合图形限x范围。 3.解题方法：代数法联立直角与等腰方程求解；几何法构造全等（如过P作横纵垂线，使直角边等长）， 验证交点合理性。 例3.(25-26九年级上·湖南长沙阶段练习)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点A(-1,0)和点 B2,0. (①)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标： (2)在抛物线上有一点P,过点P作x轴的垂线交x轴于点Q,若△APQ是等腰直角三角形，求点P的坐标. 【变式3-1】(25-26九年级上·安微合肥阶段练习)如图，抛物线y=x2+bx+c(b,c为常数)与x轴交于 A(-1,O),B两点，与y轴交于点C(O,-4),作直线BC.若点P在线段BC上运动（点P不与点B,C重合）， 过点P作x轴的垂线，分别交抛物线于点E,交x轴于点F. 备用图 (1)求该抛物线的表达式； (②)若PE=PF,求此时点P的坐标； 5/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)连接CE,若△CPE是等腰直角三角形，求点P的坐标， 【变式3-2】(2025九年级上浙江·专题练习)二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于点A(-1,0),点B(4,0) 两点，交y轴于点C.动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x 轴交直线BC于点N,交抛物线于点D,连接AC,设运动的时间为t秒. D 备用图 (1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式： Q连接BD,当1号时，求△DN的面积： 3)在直线MW上存在一点P,当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标. 【变式3-3】(2024广东模拟预测)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A,B两点，与y轴交 于点C(0,3),且OB=OC.直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E,点Q是抛物线的顶点， 设直线AD上方的抛物线上的动点P的横坐标为m, 备用图 (①1)求该抛物线的解析式及顶点Q的坐标. (2)连接CQ,直接写出线段CQ与线段AE的数量关系和位置关系. 3)连接PA、PD,当m为何值时Sm)SaMB? (④)在直线AD上是否存在一点H,使△PQH为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存 在，请说明理由. 6/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 压轴专练 一、解答题 1.（25-26九年级上辽宁葫芦岛期中)如图，抛物线y=ax2+4ax-5a(a为常数，a≠0)与x轴交于点A ,B两点，点C为抛物线的顶点，且该二次函数有最大值，最大值不超过5. (1)求a的取值范围： (2)若ABC为等腰直角三角形，求a的值. 2.(20-21九年级上广西柳州阶段练习)己知：如图一次函数y=,x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于 点B,二次函数y=x+br+c的图象与这个一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D 点坐标为1,0). B A OD E (I)直接写出B点坐标并求二次函数的解析式： (2)在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P,若不 存在，请说明理由 3.(25-26九年级上，江西宜春阶段练习)已知，如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与x轴 交于点C,OA=OC=3,顶点为D. 7/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3 2 1 B 4-1 -210 D 5 (1)求此函数的解析式： (2)判断aACD的形状，并说明理由； (3)在对称轴上找一点P,使。BCP的周长最小，求出P点坐标. 4.(25-26九年级上江西上饶期中)如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线L:y=x2+ax+b与x轴交于 A-1,0,B(3,0)两点，与y轴交于点C,点P是直线BC下方的抛物线上一动点. VA B 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)过P点作y轴的平行线交直线BC于点E,求线段PE的最大值； (3)在直线BC找一点Q,使得△QOC为等腰三角形，直接写出Q点坐标. y A ③当QC=OC=3时，过点0作QE⊥OB于点E,如图， P 5.(25-26九年级上黑龙江齐齐哈尔月考)如图，抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点， 8/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 与y轴交于点C(0,3). B (1)求抛物线的解析式： (2)点P是抛物线上一动点，过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,当PE=2时，求点P的坐标： (3)在(2)的条件下，是否存在点Q,使得以点P、E、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直 接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 6.(25-26九年级上·青海西宁.期中)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交 于点A(-1,0、B(3,0),交y轴于点C. 珠 B (1)求此二次函数的解析式： (②)若点M是该二次函数图象上第一象限内一点，作MD⊥x轴交直线BC于点N,求线段MN长度的最大值. (3)在二次函数图象的对称轴上是否存在一点P使△BCP是以BC为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由； 若存在，请直接写出点P的坐标 7.(24-25九年级上江苏苏州月考)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(3,0),B(0,1, C2,2)三点. 9/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 备用图 (1)求二次函数y=ax2+bx+c的解析式； 2)设点D6 1在二次函数的图象上，将∠ACB绕点C按顺时针方向旋转至∠FCE,使得射线CE与y轴 的正半轴交于点E,且经过点D,射线CF与线段OA交于点F.求证：BE=2F0; 27 (3)是否存在点H n. 使得点A、D、H构成的△ADH是直角三角形？若存在，有几个符合条件的点H? 10 (画出草图，直接回答，不必说明理由) 8.(25-26九年级上·山东烟台期中)如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A,B两点（点A在点B 的左侧)，与y轴交于点C,OA=2,OB=6,D是直线BC上方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线交 BC于点E,垂足为F,连接CD D E (1)求抛物线的表达式： (2)设点D横坐标为t, ①用含有t的代数式表示线段DE的长度； ②是否存在点D,使△CDE是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说 明理由， 9.(25-26九年级上·甘肃张掖月考)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交 于点C(0,3). 10/14 专题09 二次函数中的等腰三角形、直角三角形存在性问题的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数中的等腰三角形存在性问题 类型二、二次函数中的直角三角形存在性问题 类型三、二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 压轴专练 类型一、二次函数中的等腰三角形存在性问题 1.解题思路：先设动点坐标（含参数），结合二次函数表达式确定顶点、交点等关键坐标；再分三种情况（两腰为已知边、一动一静边、两动边）讨论等腰三角形构成。 2.解题技巧：用两点间距离公式将边长转化为含参数的代数式，简化计算；利用二次函数对称性减少分类，结合图形范围验根防漏解。 3.解题方法：以代数方程法为主，列边长相等的方程求解参数；辅以几何法（如垂直平分线性质）快速定位可能点，最后结合函数定义域确定有效解。 例1．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求出，，点的坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)、、； (2)或或或或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，等腰三角形的性质，勾股定理； （1）对于，当时，，令，则或，即可求解； （2）当时，则，即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：对于，当时，，令，则或， 即，，点的坐标分别为：、、； （2）存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，设点， 由、、的坐标得，，，， 当时，则，则， 即点或； 当或时， 同理可得：或，则或， 即点或或； 综上，或或或或． 【变式1-1】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为，其顶点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在，点M的坐标为或或或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，得到，再把点，代入解析式，求出a，k的值，即可解答； （2）根据二次函数的图象及对称性得到顶点D的坐标为，与x轴的另一个交点为B的坐标为，根据两点间距离公式求出，，，得到，从而是直角三角形，根据三角形的面积公式求解即可； （3）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标为， ∵抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为B的坐标为， ∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴． （3）解：存在，理由如下，分三种情况讨论： ①当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴或． ②当时，为等腰三角形， 过点D作轴于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，为等腰三角形， 设， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上所述，在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，点M的坐标为或或或． 【变式1-2】（25-26九年级上·湖北·阶段练习）如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线对应的二次函数表达式； (2)点P在抛物线对称轴上，当是以为底的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)在抛物线上存在点Q，使得，直接写出Q的坐标______． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或或或． 【分析】（1）由交点式可直接得出抛物线的解析式； （2）设，根据列出方程，进而求得点坐标； （3）过点作轴于点，交于点，求得直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，根据题意得到，列方程求出m的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ， ； （2）解：， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴， 设， ， ， ， ； （3）解：过点作轴于点，交于点，如图所示， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， 当， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点Q的坐标为或； 当， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点Q的坐标为或； ∴点Q的坐标为或或或． 【变式1-3】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点E，己知点B的坐标为，经过点B的直线与抛物线另一个交点D的坐标为，连接． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若点F在x轴上，则当的值最小时，求点F的坐标； (3)若点P是y轴上的一点，使得为等腰三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为；直线的解析式为 (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）可求出，顶点E的坐标为；，作点C关于x轴的对称点G，连接，则，，可证明当三点共线时，有最小值，即此时有最小值；求出直线的解析式，进而求出直线与x轴的交点坐标即可得到答案； （3）求出点A坐标，进而求出的长，再分，和三种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点B和点D的坐标代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴； ∵抛物线解析式为， ∴顶点E的坐标为； 如图所示，作点C关于x轴的对称点G，连接，则，， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点F的坐标为； （3）解：在中，当时，解得或， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，则点P的坐标为或； 当时，∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 类型二、二次函数中的直角三角形存在性问题 1.解题思路：先确定抛物线与坐标轴交点等定点（如A、B），设抛物线上动点P(x,y)，分∠A=90°、∠B=90°、∠P=90°三类讨论直角顶点。 2.解题技巧：用勾股定理（PA²+PB²=AB²等）或斜率乘积为-1（垂直）列方程，借抛物线表达式消y，结合x范围验根。 3.解题方法：代数法为主，列坐标方程求解；辅以几何法（过A、B作垂线交抛物线得P），结合图形验证直角合理性。 例2．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，顶点为的抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧）与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)判断是否为直角三角形，并说明理由： (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，勾股定理及其逆定理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把点C坐标代入解析式中计算求解即可； （2）根据（1）所求可求出B、M的坐标，再利用两点距离计算公式可推出，则由勾股定理的逆定理可得结论； （3）根据可知，只需要求出的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；是直角三角形，理由如下： ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点M的坐标为， 在中，当时，或， ∴， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：由（2）可得是直角三角形，且，， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）如图，抛物线的顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，判断的形状； (3)若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)直角三角形 (3) 【分析】（1）设抛物线的表达式为，再把点C的坐标代入，即可求解； （2）先求出点B的坐标，可得到，，的长，然后勾股定理逆定理解答即可； （3）求出直线的表达式，设，作轴交于点，则，可得到，进而可用m表示出面积，再结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的表达式为． 又， 点的坐标为， 代入表达式，得， 解得， 抛物线的表达式为，即； （2）解：令，则， 解得， 点的坐标为， ， ， 是直角三角形； （3）解：设直线的表达式为， 将点，点的坐标代入，得： ， 解得， 直线的表达式为； 设， 如图，作轴交于点，则， ， ， 当时，有最大值为． 【变式2-2】（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定，二次函数的性质等知识点，正确用坐标差表示线段的长是解题的关键． （1）将点代入关系式求得a、b的值即可解答； （2）如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D，设点P的横坐标为m，则，求出，再根据二次函数的最值即可； （3）分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质以及二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴相交于两点， 则，解得：， ∴抛物线的关系式为． （2）解：∵抛物线与y轴相交于点C，即当时，， ∴点． 设直线的关系为， 将点B，点C的坐标分别代入得： ，解得：， ∴． 如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D， 设点P的横坐标为m，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，的最大值为． （3）解： 如图2，当时，轴， ∴点C与点M关于对称轴直线对称， ∴点． 如图3，当，过点M作轴，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则点， ∴，解得：（不合题意，舍去），， ∴点． 综上所述，点M的坐标为或． 【变式2-3】（25-26九年级上·天津武清·阶段练习）如图，已知抛物线与一条直线相交于两点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)点P为对称轴上一动点，求当最小时点P坐标，并求出最小值． (3)在抛物线对称轴上是否存在一点，使以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的最小值为，此时点P的坐标为 (3)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求，可得，则可求出；由抛物线的对称性可得，则当P、B、N三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；求出直线解析式为，对称轴为直线，据此可得答案； （3）分是斜边、是斜边、是斜边三种情况，结合勾股定理列方程，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与一条直线相交于两点， ∴， 解得 ∴抛物线的函数表达式为． 设直线的函数表达式为， 将、分别代入中可得， 解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：设抛物线与x轴的另一个交点为B， 在中，当时，， 当时，，解得或， ∴， ∴， ∴； 如图所示，连接， 由抛物线的对称性可得， ∴， ∴当P、B、N三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； 同理可得直线解析式为， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 在中，当时，， ∴的最小值为，此时点P的坐标为； （3）解：由（2）可知对称轴为直线， 设点， ∵，，， ∴，， ． 当是斜边时，则，解得； 当是斜边时，可得：或2； 当是斜边时，可得：． ∴点的坐标为或或或． 类型三、二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P，分∠A、∠B、∠P为直角顶点三类，每类需满足“直角”+“两直角边相等”。 2.解题技巧：用坐标表边长，结合勾股定理（直角）与距离相等（等腰）列方程，借抛物线消y；利用斜率（垂直时积为-1）简化计算，结合图形限x范围。 3.解题方法：代数法联立直角与等腰方程求解；几何法构造全等（如过P作横纵垂线，使直角边等长），验证交点合理性。 例3．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于点和点． (1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标； (2)在抛物线上有一点，过点作轴的垂线交轴于点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)，抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为； (2)点的坐标为或． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）利用待定系数法求出解析式，然后配成顶点式即可； （）由是等腰直角三角形，则有，设点的坐标为，则点，则，，得出，然后解方程即可． 【详解】（1）∵抛物线与轴相交于点和点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵； ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为； （2）解：如图，∵轴于点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点在抛物线上， ∴设点的坐标为，则点， ∴，， ∴， ∴或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点的坐标为或． 【变式3-1】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，抛物线（b，c为常数）与x轴交于，B两点，与y轴交于点，作直线．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，分别交抛物线于点E，交x轴于点F．      (1)求该抛物线的表达式； (2)若，求此时点P的坐标； (3)连接，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得解； （2）求出，从而即可求出直线的表达式为， 设点，则，，表示出，．再根据，得出方程，求解即可； （3）设点，分两种情况：当时，；当时，过点C作于点H，则有，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得． ∴该抛物线的表达为； （2）解：由（1）得：抛物线的表达式为． 当时，，解得，， ∴， 设直线的表达式为， 代入和，得． 解得． ∴直线的表达式为， 设点，则，． ∴，． ∵， ∴， 整理，得，解得，（舍去）． 当时，． ∴点P的坐标为； （3）解：∵，， ∴． ∴． ∵轴， ∴轴． ∴． 由（2）知直线的表达式为， 设点． 如答图1．当时，． ∴，即，解得，（舍去）． ∴此时； 如答图2，当时，过点C作于点H，则有， ∴，解得，（舍去）． ∴此时． 综上，点P的坐标为或． 【变式3-2】（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数的图象交轴于点，点两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，当时，求的面积； (3)在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）依据二次函数经过点和两点，代入到解析式中计算即可得出结果； （2）由题意可知，面积为，分别计算出和的长度即可得出结果； （3）首先，在等腰中，利用勾股定理得到点到或点的距离，然后，运用两点距离公式建立等式，计算得到点横坐标，由于点横坐标与点横坐标相等，所以将坐标代入二次函数解析式即可得到结果． 【详解】（1）解：二次函数，过点，点， 点坐标代入解析式可得： ， 解得： ， 二次函数解析式为． （2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动， 当时，点坐标为， 将点和代入到直线中可得， ，， 直线． 直线， 令，代入直线可得， 同理，代入二次函数中得到， ，， 面积为． （3）设直线上存在一点，使得是以为直角的等腰直角三角形， 点和，由两点距离公式可知， ， 在等腰中，应用勾股定理可知， ， ， 利用两点距离坐标公式可知， ， ， 将可得， ， 将式代入式可得， ， 整理得： 解得：或． 点横坐标为或， 点与点横坐标相同， 点横坐标为或， 分别代入二次函数解析式可得， 或， 点的坐标为或． 【变式3-3】（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系． (3)连接、，当为何值时？ (4)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)，且 (3)或 (4)存在，点的坐标为或 【分析】（1）直线与抛物线交于、两点，可得点和点坐标，再求出点、的坐标分别为：、，利用待定系数法即可求解； （2）分别求出和的长，根据待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）根据题意将的面积和的面积表示出来，令，即可解出的值； （4）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：直线与抛物线交于、两点，则点、点． ∵，， ∴点的坐标为， 故抛物线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴顶点的坐标为． （2）解：，且，理由： ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的解析式为； ∵、点， ∴， 故； ∵直线的解析式为，直线的解析式为， 故将直线向上平移个单位得到直线， ∴， 故，且． （3）解：∵， 解得，， ∴点的坐标为． 如图，过点作轴的平行线，交于点， 设点，则点， ∴． 解得或． （4）解：存在，点的坐标为或． 设点，点，，而点， ①当时， 如图，过点作轴的平行线，过点、点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点、， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即，， 解得． 当时，， 解得，（舍去）， ∴点． ②当时，如图： 此时，则点、关于抛物线的对称轴对称， 点在抛物线上， 由抛物线的对称性可知，点在抛物线上， 又点在直线上， 点与点重合，此时纵坐标为3， ∴点． ③当时， 当点在抛物线对称轴的右侧时，如图， 点在的下方，与题意不符，舍去； 当点在抛物线对称轴的左侧时，如图，同理可得， 解得（舍去），． 故点． 综上可得，点的坐标为或． 一、解答题 1．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，抛物线（为常数，）与轴交于点，两点，点为抛物线的顶点，且该二次函数有最大值，最大值不超过5． (1)求的取值范围； (2)若为等腰直角三角形，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解答本题的关键． （1）根据二次函数有最大值可得，将二次函数解析式配成顶点式，根据最大值不超过5可得，即可求出的取值范围； （2）分别求出三点坐标即可得出结论． 【详解】（1）解：，       ∵二次函数有最大值， ∴， ∵函数最大值不超过5， ， 解得： ， （2）解：当时，， 解得：，， ， ，      过点作轴于点 ， 为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， 解得： ∴的值为． 2．（20-21九年级上·广西柳州·阶段练习）已知：如图一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象与这个一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为． (1)直接写出B点坐标并求二次函数的解析式； (2)在x轴上是否存在点P，使得是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将代入，求出，然后将，的坐标代入求解即可； （2）假设存在符合条件的P点，连接、，过C作轴于F，若，则，可设出点P的坐标，分别表示出、的长，根据相似三角形所得比例线段即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：将代入，可得， ∴， 将，的坐标代入， 得：， 解得， ∴解析式为：； （2）解：设符合条件的点P存在，令， 如图所示，当P为直角顶点时，连接、，过C作轴于F， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 整理得， 解得或， ∴所求的点P的坐标为或． 【点睛】此题考查了一次函数和二次函数综合，待定系数法求出二次函数解析式，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（25-26九年级上·江西宜春·阶段练习）已知，如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，顶点为． (1)求此函数的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在对称轴上找一点，使的周长最小，求出点坐标． 【答案】(1) (2)为直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，勾股定理的逆定理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可求出点A和点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求把解析式化为顶点式求出点D的坐标，则可证明，据此可得结论； （3）连接，可证明当P、A、C三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，求出直线解析式，即可求出此时点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，且点A在x轴负半轴，点C在y轴负半轴， ∴， 把点A和点B的坐标代入抛物线解析式中得， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：是直角三角形，理由如下： 如图所示，连接， ∵抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为； ∵，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：如图所示，连接， 由对称性可得， ∴的周长， ∵的长为定值， ∴当P、A、C三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴点P的坐标为． 4．（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求线段的最大值； (3)在直线找一点，使得为等腰三角形，直接写出点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图，求解，设，，求解直线的解析式为．可得，可得，再进一步求解即可； （3）分情况讨论：①当点与点重合时，满足为等腰三角形，②当时，过点作于点，如图，③当时，过点作于点，如图，过点作于点，如图，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：根据题意， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，当时，， ∴， 点是直线下方的抛物线上一动点， 设，， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为． 过点作轴的平行线交直线于点， ， ， ， 当时，有最大值为． 线段的最大值为． （3）解：①， ， ， 当点与点重合时，满足为等腰三角形， ； ②当时，过点作于点，如图， ，， ， 点的纵坐标为， 点在直线上， ， ． ； ③当时，过点作于点，如图， ， ，． ， ， ， ； 当时，过点作于点，如图， ， ． ∴， ， ， ， ∴． 综上，在直线找一点，使得为等腰三角形，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，求解二次函数的与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，切线的分类讨论是解本题的关键． 5．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，是否存在点Q，使得以点P、E、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)P(1，4)、(2，3)、(，)、(，) (3)存在，Q坐标为：，，，．， ，，；，，，． 【分析】本题主要考查二次函数，等腰直角三角形； （1）采用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）根据题意得到直线解析式为，设，得到，计算求解即可； （3）根据P点坐标，和等腰直角三角形的性质，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：中，代入、得： ， 解得， ∴． （2）解：∵、， ∴直线解析式为， 设， ∴， 解得或或， 把或或，代入， 得或或， ∴点坐标为 、、； （3）解：存在， ∵，且以点P、E、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形， 当，时， ∴Q横坐标是点横坐标加减2，Q点纵坐标与点纵坐标相同； 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为： ， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当，时， 当点坐标为时，， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为： ， 当点坐标为时，， Q坐标为：， 当点坐标为时，， Q坐标为：， 当，时， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， 当点坐标为时， Q坐标为：， ∴Q坐标为：，，，．， ，，；，，，． 6．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、，交轴于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)若点是该二次函数图象上第一象限内一点，作轴交直线于点，求线段长度的最大值． (3)在二次函数图象的对称轴上是否存在一点使是以为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）用待定系数法求出直线的表达式为：，设点，则，求出，利用二次函数的性质即可求解； （3）先求出二次函数的对称轴为直线，设，求出，，，令或，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点、， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设直线的表达式为， 将代入得： 解得， 直线的表达式为， 如图，设点，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值； （3）解：二次函数的对称轴为直线， 设， 将代入，则， ∴， ∵， ∴， ∵点的水平距离为，竖直距离为， ∴由勾股定理得，， 同理，得， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时，则，即， 解得或， ∴点的坐标为或； 当时，则，即， 解得或， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题为二次函数综合题，涉及二次函数的解析式，二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等，分类求解是本题解题的关键． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）如图，已知二次函数的图象经过，，三点． (1)求二次函数的解析式； (2)设点在二次函数的图象上，将绕点C按顺时针方向旋转至，使得射线与y轴的正半轴交于点E，且经过点D，射线与线段交于点F．求证：； (3)是否存在点，使得点A、D、H构成的是直角三角形？若存在，有几个符合条件的点H？（画出草图，直接回答，不必说明理由） 【答案】(1)； (2)见解析 (3)4个 【分析】本题考查二次函数的解析式求解以及几何图形的旋转与全等证明，解题的关键是利用待定系数法求二次函数解析式，通过作辅助线、证明三角形全等进行几何推导． （1）利用待定系数法，将、、三点坐标代入二次函数，解方程组求出、、的值，得到解析式． （2）先求出点坐标，再求出直线的解析式，确定点坐标，结合全等三角形的性质，得出，进而推导出． （3）根据题意画出符合条件的点H即可 【详解】（1）解：把代入， 得 ∴二次函数的解析式为； （2）解：过点C作于点轴于点， ， ， ， ， ∵将绕点按顺时针方向旋转至， ， 即， 又 ∵， ， ， ∵二次函数的解析式为， 当时，， ， 设直线，把代入得 ， ∴直线 ， ． （3）如图，有四个符合条件的H点，使得点A，D，H构成的是直角三角形； 过D作，交直线于点； 过A作，交直线于点； 以为直径画圆，交直线于； ∴存在4个符合条件的点H，使得点A，D，H构成的是直角三角形 8．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线交于点E，垂足为F，连接 (1)求抛物线的表达式； (2)设点D横坐标为t， ①用含有t的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或． 9．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (4)设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点P坐标为 (4)当是直角三角形时，点M的坐标为或或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）根据二次函数的图象和性质可知当时，y取得最大值为4，再分别求出当时和当时对应的y值，结合函数图象即可得出答案． （3）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （4）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：由（1）可知， 则抛物线开口向下，且当时，y取得最大值为4， 当时，， 当时，， 故当时，． （3）解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． （4）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 10．（25-26九年级上·云南昭通·期中）已知抛物线与x轴的左右交点分别为点A、点B，与y轴交点为点C，若将此抛物线向下平移4个单位长度后，其顶点坐标为． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)设点P在该抛物线的对称轴上运动，是否存在点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)设点M在该抛物线的对称轴上运动，当是直角三角形时，求出所有满足条件的点M的坐标． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)不存在，理由见解析 (3)点的坐标为或或或 【分析】本题主要考查了平移的性质、二次函数的综合题、勾股定理、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据平移的定义即可解答； （2）由（1）可知抛物线的顶点坐标为，据此列方程组可得，即该抛物线的解析式为；再求得即．易得当时，的周长最小，此时点的坐标为，但此时不能构成三角形，据此即可解答； （3）如图，设的坐标为，易得，、，然后分、、三种情况，分别利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线向下平移4个单位长度后，其顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：不存在，理由如下： 由（1）可知抛物线的顶点坐标为 ，解得 ∴该抛物线的解析式为． ∵抛物线与轴的左右交点分别为点、点 令，解得或 ， ． ∵点在抛物线的对称轴上， ∴设点的坐标为． 又∵点关于对称轴对称， ． 的周长为， 又， 的周长为， ∴当时，的周长最小，此时点的坐标为， 又∵点在轴上，不能构成三角形， ∴不存在点，使的周长最小． （3）解：如图，设的坐标为， 由勾股定理得，，，， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即，解得：， ∴点的坐标为； ②当时，有，即，解得：， ∴点的坐标为或； ③当时，有，即，解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，当是直角三角形时，点的坐标为或或或． 11．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A和点，交y轴于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形的面积（请在图1中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式，进一步得出结果； （2）连接，将二次函数的解析式配方求得顶点的坐标，令求得的坐标，从而求得，，的长，再根据求得结果； （3）设，表示出和，进而分来讨论，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ； （2）解：如图，连接， ， ， ，， 由得，，， ， ； （3）解：令， 解得或， ， 设， ∵， 则，，， 当时，则， ， ， ； 当时，则， ， 解得， 或； 当时，则， ， 解得， 或； 综上，坐标为或或或或． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 12．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，已知抛物线与x轴相交于点、，且、是方程的两根，与y轴相交于点C．连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①请说明点C在以为直径的上，并直接写出与抛物线的另一交点坐标； (3)如图②若平行于x轴的动直线l与线段交于点E，与线段交于F．点是x轴上的动点．问：是否存在直线l，使是等腰直角三角形？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在直线使是等腰直角三角形；点的坐标为或或． 【分析】（1）先解方程，求出，从而求得，再用待定系数法求解即可； （2）连接CM，，先求得，，从而得到，即可判断点在以为直径的上；再利用圆与抛物线的对称性求出圆与抛物线另一交点坐标即可； （3）分三种情况：①当，且时，②当，且时，③当，时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵、是方程的两根，， ， ， ∵抛物线与x轴相交于点， ， ， ； （2）解：如图①，连接， 抛物线与轴相交于点， 当时，得， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴点在以为直径的上； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴在直线上， ∴与抛物线的交点关于直线对称， ∴点关于直线对称点坐标为， ∴与抛物线的另一交点坐标为； （3）解：设直线解析式为，将点，点的坐标分别代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， 设直线解析式为，将点，点的坐标分别代入得： ，解得， ∴直线解析式为， 设， ∵轴， ∴点与点纵坐标相同， ∴把代入，得： ， 解得：, ∴， ∴， 分三种情况： ①当，且时，如图， ∵，， ∴， ∴, 解得：， ∴； ②当，且时，如图， 同理， ∵， ∴, 解得：， ∴； ③当，时，如图， 过点作于， ∵， ∴， ∴是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 化简得， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴． 综上所述，存在直线使是等腰直角三角形；点的坐标为或或． 【点睛】本题考查解一元二次方程，待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，二次函数的图象与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 13．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图1（注：与图2完全相同），在平面直角坐标系中，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)P是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小时点P坐标（请在图1中探索）； (3)在抛物线对称轴上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）． 【答案】(1)抛物线的解析式为，对称轴为直线 (2) (3)存在，，，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式，再根据抛物线的轴对称公式即可求解； （2）根据抛物线的对称性可得，分析可得当三点共线时，的值最小，连接交抛物线的对称轴于点，利用待定系数法求出直线的解析式，再代入到直线的解析式，即可求出点P坐标； （3）设，分三种情况讨论：①；②；③，分别利用勾股定理列出方程，求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，设抛物线的解析式为， 代入得，， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵P是抛物线对称轴上的一点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 如图1，连接交抛物线的对称轴于点， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点P坐标为； （3）解：存在， ∵， ∴， 设， 则，， ①若，则， 解得：， ∴； ②若，则， 解得：， ∴或； ③若，则， 解得：， ∴或； ∴综上所述，符合条件的点M的坐标为，，，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，勾股定理，运用数形结合的思想是解题的关键． 14．（2023·青海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且直线经过点，点与点关于轴对称，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当四边形为平行四边形时，求点坐标； (3)在（2）的条件下探究抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）先求解，的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可． （2）设，，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．可得，结合，再建立方程求解即可． （3）求解抛物线的对称轴为直线，设，表示，，，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴当时，解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 解得：， ∴二次函数为：． （2）解：由（1）得：，， ∴， 设，，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． ∴，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴． （3）解：存在，理由如下： 由（2）得：，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设， ∴， ， ， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴或， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上：或或或． 【点睛】本题考查的是求解抛物线的解析式，平行四边形的性质，一元二次方程的解法，抛物线与特殊三角形，清晰的分类讨论是解本题的关键． 15．（2025·宁夏·模拟预测）已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标； (2)如图，若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与B，C重合），过点M作y轴的平行线，交直线于点N； ①设点M的横坐标为m，用含m的式子表示出的长，并求出的最大值及此时点M的坐标； ②过点M作，交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出点M的横坐标m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2)①点M的坐标为；②存在，点M的横坐标m的值为或 【分析】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，其中（2）要分类求解，避免遗漏． （1）由抛物线的对称轴是直线，解出a的值，即可求得抛物线解析式，在令其y值为零，解一元二次方程即可求出A和B的坐标； （2）①易求点C的坐标为，设直线的解及此时M点的坐标析式为，将，代入，解出k和b的值，即得直线的解析式；设点M的坐标为，则点N的坐标为，表示出的长得出关于m的二次函数，从而求得其最值及此时M点的坐标； ②由得中，，可得当时为等腰直角三角形，分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧，根据得出关于m的方程，从而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． 令，得， 解得， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． （2）解：①当时，， ∴点C的坐标为． 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为． 设点M的坐标为，则点N的坐标为， ∴， ∴当时，的最大值是4． ∵点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与B，C重合）， ∴， ∴此时点M的坐标为． ②当点M在对称轴右侧时，如图： ∵，交抛物线于点D，轴，抛物线的对称轴是直线，点M的横坐标为m， ∴， ∴当时，为等腰直角三角形． ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当点M在对称轴左侧时，如图： ∵，交抛物线于点D，轴，抛物线的对称轴是直线，点M的横坐标为m， ∴， ∴当时，为等腰直角三角形． ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 综上，存在，点M的横坐标m的值为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $