专题08 二次函数中线段、周长、面积最值问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题08二次函数中线段、周长、面积最值问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数中求线段最值的问题 类型二、二次函数中求线段和最值的问题 类型三、二次函数中求周长最值的问题 类型四、二次函数中求面积最值的问题 压轴专练 典例详解 类型一、二次函数中求线段最值的问题 知识点：1.平面直角坐标系中线段长度计算，如平行于坐标轴的线段用坐标差的绝对值表示，一般线段 用两点间距离公式。2.二次函数的最值性质：开口方向决定顶点是最大值或最小值点，可通过配方法或 顶点公式求最值。 解题技巧：1.转化线段长度为二次函数表达式，如将动点坐标代入长度公式，整理成关于自变量的二次 函数。2.结合函数开口方向和自变量取值范围（由动点位置限制确定），求二次函数的最值，即线段的最 值。 例1.(25-26九年级上·安徽阶段练习)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点 C,直线1与抛物线交于A-6,0),D(-1,5)两点，点P是直线AD上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m ,过点P作PE垂直于AD于点E. (1)求抛物线的函数表达式： (②)当PE的长最大时，求线段PE的最大值及此时点P的坐标； 【变式1-1】(25-26九年级上安微毫州阶段练习)如图，抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A,B两点(A在 B的左侧)，与y轴交于点C,顶点为D. 1/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B O 备用图 (I)请求出点A,C,D的坐标： (②)若P是第二象限的抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴交AC于点E,求线段PE长度的最大值. 【变式12】(25-26九年级上江苏苏州阶段练习)已知二次函数y=-3x+bx+c图象与y轴交于点 4 A(0,3),与x轴交于点B和C(4,0)(点B在点C的左侧)，点P是该图象位于第一象限的一动点， VA B (备用图) (1)求该二次函数的表达式： (2)过点P作PH∥y轴，交AC于点H,当点P在何处时，HP的值最大，最大值是多少？ 【变式1-3】(25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习)如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(a, b,c为常数，a≠0)与x轴相交于A,B两点，其中点A的坐标为(-3,0)，且点(2,5)在抛物线 y=a.x2+bx+c上. x=-1i B (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)点C为抛物线与y轴的交点： ①点P在抛物线上，且S.Poc=4SBoc,求点P点坐标； ②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值。 2/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、二次函数中求线段和最值的问题 知识点：1.两点间距离公式及平面几何中线段和的性质，如对称点到两点距离相等。2.二次函数图象上 点的坐标特征，动点坐标可表示为含自变量的代数式，便于转化线段和为函数表达式。 解题技巧：1.利用对称转化，将折线和化为直线距离（如作某点关于对称轴或坐标轴的对称点，转化为 两点间线段最短)。2.建立函数模型，用动点坐标表示线段和，结合二次函数最值性质（顶点或端点）求 解，注意自变量取值范围对结果的限制。 例2.(25-26九年级上·重庆长寿·阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+2x+3的图象与 x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点P在线段BC上. (1)求出点A,B,C的坐标； (2)求PA+P0的最小值 【变式2-1】(25-26九年级上·江苏苏州阶段练习)如图，已知抛物线的对称轴1为直线x=1,抛物线与y轴 交于点C,与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为-1,0)，点C的坐标为0,3)，P是对称轴上的一个动 点 B (1)求抛物线的解析式： (2)当PA+PC的值最小时，求点P的坐标. 【变式2-2】(25-26九年级上山东阶段练习)抛物线y=-x2+2x+c与x轴交于A(-1,0),B两点，与y轴 2 交于点C. 3/14 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式： QP是抛物线上x轴上方的一个动点，当aPAB的面积为？时，求点P的坐标， (3)点M是抛物线对称轴上一点，当MA+MC的值最小时，求点M的坐标 【变式2-3】(25-26九年级上·山东滨州阶段练习)如图，已知抛物线的顶点为A1,4),拋物线与y轴交于 点B(0,3),与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧），点P是抛物线对称轴上的一个动点. 2￥ B D (1)求此抛物线的解析式； (②)当-2<x<3时，y的取值范围是-： (3)F是抛物线上x轴上方的一个动点，当△FCD的面积为7时，求点F的坐标： (4)当PC+PB的值最小时，求点P的坐标. 类型三、二次函数中求周长最值的问题 知识点：1.平面图形周长的构成，由多条线段长度之和组成，需明确各边与二次函数图象上点的坐标关系。 2.二次函数的最值性质及坐标与线段长度的转化，如平行坐标轴线段用坐标差，一般线段用距离公式。 解题技巧：1分解周长为已知固定线段与可变线段之和，转化为求可变线段和的最值。2.利用对称或几何 模型（如两点之间线段最短）转化可变线段和，结合二次函数表达式求最值，注意动点坐标的取值范围 限制。 例3.(24-25九年级上甘肃武威阶段练习)如图，抛物线y=)x+x-2与x轴交于小B两点，与y轴交 于C点，且A(-1,0). 4/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标及△ACM的周长. 【变式3-1】(2025·甘肃武威一模)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0,B(-3,0)两点， V (1)求该抛物线的解析式； (2)求(1)中抛物线的对称轴及顶点坐标： (3)设(1)中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△OAC的周长最小？若存 在，求出？点的坐标；若不存在，请说明理由。 【变式32】25-26九年级上江苏苏州阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x-1+?与 x轴交于点A,B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,点P为第一象限内抛物线上的动点，PG⊥BC于 点G,PH∥y轴交BC于点H,交x轴于点M. VA A M B (I)求直线BC的解析式： (②)设点P的横坐标为t,试用含t的式子表示线段PH的长； (3)求△PGH的周长的最大值。 【变式3-3】(25-26九年级上·黑龙江绥化阶段练习)如图a,抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A(-3,0)和 5/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点B,交y轴于点C(0,3). 图a 图b (1)求抛物线的函数表达式； (②)若点P在抛物线对称轴上，是否存在一点P,使△PCB的周长最小？若存在求出周长的最小值；若不存在 说明理由. (3)如图b,设点Q是线段AC上的一动点，作D2⊥x轴，交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值. 类型四、二次函数中求面积最值的问题 知识点：1.平面图形面积计算公式（如三角形底乘高除以2、梯形上下底和乘高除以2），及坐标法求面 积（割补法转化为规则图形）。2.二次函数动点坐标特征，可表示为含自变量的代数式，将面积转化为二 次函数表达式。 解题技巧：1.用动点坐标表示图形的底和高，结合面积公式列出关于自变量的二次函数。2.确定自变量 取值范围，根据二次函数开口方向，求顶点或端点处的最值，注意利用割补法简化面积计算。 例4.(25-26九年级上·天津南开阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c经过点 A(-2,0)和点B(4,0),且与直线I:y=-x-1交于D,E两点（点D在点E的右侧），M为直线1上的一动 点，设点M的横坐标为t VA (①)求抛物线对应的函数解析式. (2)过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N.若0<1<4，求△NED面积的最大值 6/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式4-1】(24-25九年级上·甘肃武威期末)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象过点A3,0、C(-1,0). (1)求二次函数的解析式： (②)如图，二次函数的图象与y轴交于点B,二次函数图象的对称轴与直线AB交于点P,求P点的坐标； V (3)在第一象限内的抛物线上有一点Q,当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标。 【变式4-2】(25-26九年级上·山东·阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，己知抛物线 y=ax+bx+c(a≠0)与x轴交于A-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3),连接BC. B 备用图 (①)求该抛物线的函数表达式： (2)若P点是抛物线对称轴上的一点，求点P的坐标，使PA+PC值最小： (3)若M是抛物线上位于直线BC上方的一个动点，求△BCM的面积的最大值及此时点M的坐标. 【变式4-3】(25-26九年级上·福建福州阶段练习)如图，对称轴为直线x=-1的抛物线 y=ax2+bx+ca≠0)与x轴相交于A,B两点，其中点A的坐标为-3,0)，且点(2,5)在抛物线 y=ax2+bx+c上. x=-1 ()求抛物线的解析式： 7/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)点C为抛物线与y轴的交点； ①点P在抛物线上，且SPoc=4SBoc,求点P点坐标； ②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D,求S。4D的最大值和此时点D坐标. 压轴专练 一、解答题 1.(25-26九年级上·安徽铜陵期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bxr+4(a≠0)经过点 包)与X轴交于A、B两点，与卫轴交于点C,拉物线的称轴是直线xD R 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD∥y轴，交BC于点D.点M是y轴上的一动点， 连接PM,DM,当线段PD长度取得最大值时，求△PDM周长的最小值； 2.(25-26九年级上·安徽芜湖期中)如图，抛物线y=x2+2x-3与x轴交于点A,B（点A在点B的左侧)， 与y轴交于点C,N是抛物线上一个动点且在第三象限，设点N的横坐标为m,过点N作x轴的垂线，交x 轴于点M,交AC于点P. M B 8/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)用含m的代数式表示线段PN的长度，并求出其最大值： (2若P1 PM2,求点P的坐标. 3.(25-26九年级上新疆哈密·期中)如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的 抛物线交x轴于另一点C(3,0). B (1)求A、B的坐标： (②)求抛物线的解析式： (3)在抛物线的对称轴上求一点P,使得△PAB的周长最小，并求出最小值. 4.(25-26九年级上山东济南期中)如图，过点D(1,3)的抛物线y=-x2+k顶点为A,与x轴交于B、C两 点 (1)求抛物线的解析式： (②)若点P是y轴上一点，则当PC+PD取得最小值时，求点P的坐标 5.(25-26九年级上河南商丘期中)如图，抛物线y=ax2+bx-3过A1,0),B(-3,0)两点，直线AD交抛 物线于点D,点D的横坐标为-2，P(m,n是线段AD上的动点. 9/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求直线AD及抛物线的解析式： (②)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q,求线段PQ的长度1与m的关系式，m为何值时，PQ最长？ 6.(25-26九年级上福建厦门期中)如图，己知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，与y 轴交于点C,其中A-2,0),C(0,-2. 1)求二次函数的表达式； (②)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D,△PDB的面积是△CDB的 面积的2倍. ①求点P的坐标. ②抛物线的对称轴上有一动点Q,求△PAQ的周长最小值. 7.(25-26九年级上云南红河期中)如图，直线y=x+2与抛物线y=ar2+bx+6(a≠0)相交于A) (22/和 B(4,m,点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C B x (1)求抛物线的解析式： (2)求△B0E的面积； (3)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由： 8.(25-26九年级上黑龙江齐齐哈尔·期中)综合与探究 如图，抛物线y=-x2+bx+c与y轴交于点D,与某一次函数的图象交点为A(-1,0),C(2,3),连接CD,AD 10/14 专题08 二次函数中线段、周长、面积最值问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数中求线段最值的问题 类型二、二次函数中求线段和最值的问题 类型三、二次函数中求周长最值的问题 类型四、二次函数中求面积最值的问题 压轴专练 类型一、二次函数中求线段最值的问题 知识点：1.平面直角坐标系中线段长度计算，如平行于坐标轴的线段用坐标差的绝对值表示，一般线段用两点间距离公式。2.二次函数的最值性质：开口方向决定顶点是最大值或最小值点，可通过配方法或顶点公式求最值。 解题技巧：1.转化线段长度为二次函数表达式，如将动点坐标代入长度公式，整理成关于自变量的二次函数。2.结合函数开口方向和自变量取值范围（由动点位置限制确定），求二次函数的最值，即线段的最值。 例1．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于，两点，点P是直线上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m，过点P作垂直于于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的长最大时，求线段的最大值及此时点P的坐标； 【答案】(1) (2)点P的坐标为：，PE的最大值为 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）把和代入到进行求解即可； （2）过点P作轴于点，交于点N，设直线的表达式为，再把和代入求解一次函数，进而可得为等腰直角三角形，则，设点P的坐标为和点为，表达出，即可得到解答． 【详解】（1）解：∵和在抛物线上， ∴， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：过点P作轴于点，交于点N， 设直线的表达式为， ∵和在直线上， ∴， 解得， ∴直线的表达式为：， 当时，则， ∴直线与y轴交于点， 又∵点为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴直线和x轴的正半轴的夹角为， ∴， ∴， 设点P的坐标为，点， ∴ ， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴点P的坐标为， 又∵， ∴的最大值为． 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为． (1)请求出点，，的坐标； (2)若是第二象限的抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数综合应用，解题关键是能够熟练运用数形结合的数学思想解决问题． （1）令抛物线解析式中，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标； （2）先求出直线的解析式，设，则，可求，然后根据二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点B和（点B在点C的左侧），点P是该图象位于第一象限的一动点． (1)求该二次函数的表达式； (2)过点P作轴，交于点H，当点P在何处时，的值最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)为时，的最大值为3 【分析】本题考查待定系数法求一次函数和二次函数解析式、求二次函数的最值： （1）将A和C的坐标代入二次函数解析式列方程组求解即可； （2）求出直线的解析式，设出P点和H点的坐标，表示出，利用二次函数性质求出其最大值即可． 【详解】（1）解：把代入， 得，解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：设直线解析式为， 将代入，得，解得， 则直线解析式为． 设，，则， ，， ∴当时，取得最大值，最大值为3， 当时，， ∴， ∴为时，的最大值为3． 【变式1-3】（25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)点C为抛物线与y轴的交点； ①点P在抛物线上，且，求点P点坐标； ②设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为． (2)①点P的坐标为或；②最大值为 【分析】（1）因为抛物线的对称轴为，点与在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式得到点C坐标，然后设点P坐标为，根据列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；②先运用待定系数法求出直线的解析式，再设点Q坐标为，则点D坐标为，然后用含x的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为，点A坐标为，与在抛物线上， ∴． 解得． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点坐标为． （2）解：①∵抛物线的解析式为， 令，则， ∴抛物线与y轴交点坐标为． ∴． 设点P坐标为， ∵， ． ∴． 当时， ， 当时， ． ∴点P的坐标为或． ②设直线的解析式为， 将代入， 得． 解得． ∴直线的解析式为． 设点Q坐标为， 则点D坐标为． ∴． 当时，有最大值． 类型二、二次函数中求线段和最值的问题 知识点：1.两点间距离公式及平面几何中线段和的性质，如对称点到两点距离相等。2.二次函数图象上点的坐标特征，动点坐标可表示为含自变量的代数式，便于转化线段和为函数表达式。 解题技巧：1.利用对称转化，将折线和化为直线距离（如作某点关于对称轴或坐标轴的对称点，转化为两点间线段最短）。2.建立函数模型，用动点坐标表示线段和，结合二次函数最值性质（顶点或端点）求解，注意自变量取值范围对结果的限制。 例2．（25-26九年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在线段上． (1)求出点的坐标； (2)求的最小值． 【答案】(1)，，， (2)5 【分析】（1）令，分别求出，，； （2）过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两线交于点T，连接，证明四边形是正方形，且，即有点O与点T关于直线对称，则有，当A、P、T三点共线时最小，即最小，最小值为，问题随之得解． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 当时，， 解得：，， ∴，， （2）由（1）知，，； 过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两线交于点T，连接，如图， ∴，， ∵，， ∴四边形是正方形，且， ∴点O与点T关于直线对称， ∴， ∴， ∴当A、P、T三点共线时最小，即最小，最小值为， ∵，， ∴的最小值． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，考查了二次函数与坐标轴交点的问题，轴对称的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，证明四边形是正方形，且，得出点O与点T关于直线对称，是解题的关键． 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴l为直线，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为是对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题． （1）根据题意得，利用待定系数法即可求得n的值，继而求得抛物线的解析式； （2）首先连接交抛物线对称轴l于点P，则此时的值最小，然后利用待定系数法求得直线的解析式，继而求得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点，点的坐标为， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小， 令，则， 解得或， ∴点， 设直线的解析式为：， ∵点，点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴当的值最小时，点的坐标为． 【变式2-2】（25-26九年级上·山东·阶段练习）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是抛物线上轴上方的一个动点，当的面积为时，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点的坐标代入抛物线中可得的值，从而可得抛物线的解析式； （2）根据的面积为列方程可得点的坐标； （3）求解抛物线的对称轴为直线，可得，当共线时，最小，即，求解直线为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：把点的坐标代入抛物线中得： ， 抛物线的解析式为：. （2）解：当时，， 解得，， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， . （3）解：抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 当共线时，最小，即， 当时，， ∴， ∵， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，， ∴. 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查的是二次函数综合运用，涉及待定系数法，三角形的面积，轴对称的性质，一元二次方程的解法，轴对称的性质等知识，掌握以上基础知识是解本题的关键． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，已知拋物线的顶点为，拋物线与轴交于点，与轴交于C、D两点（点在点D的左侧），点P是抛物线对称轴上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是 ； (3)是抛物线上轴上方的一个动点，当的面积为7时，求点F的坐标； (4)当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可得离对称轴越远，函数值越小，推出时的函数值小于时的函数值，即可得到答案； （3）先求出点D的坐标，进而根据三角形面积计算公式推出点F的纵坐标，进而可求出点F的坐标； （4）连接，由对称性可得，则当P、B、D三点共线时，有最小值，即此时有最小值；求出直线解析式即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把点B的坐标代入中得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小； 在中，当时，， ∵， ∴时的函数值小于时的函数值， ∴当时，的取值范围是； （3）解：在中，当时，解得或， ∴， ∴； ∵的面积为7，且点F在x轴上方， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，解得或， ∴点F的坐标为或； （4）解：如图所示，连接， 由对称性可得， ∴， ∴当P、B、D三点共线时，有最小值，即此时有最小值； 在中，当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴点P的坐标为． 类型三、二次函数中求周长最值的问题 知识点：1.平面图形周长的构成，由多条线段长度之和组成，需明确各边与二次函数图象上点的坐标关系。2.二次函数的最值性质及坐标与线段长度的转化，如平行坐标轴线段用坐标差，一般线段用距离公式。 解题技巧：1.分解周长为已知固定线段与可变线段之和，转化为求可变线段和的最值。2.利用对称或几何模型（如两点之间线段最短）转化可变线段和，结合二次函数表达式求最值，注意动点坐标的取值范围限制。 例3．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标及的周长． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而转化为顶点式求出点的坐标； （）作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点，可得，由两点之间线段最短，可知当点共线时，取最小值，此时的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，把代入求出的值可得点的坐标，再利用两点间距离公式可求出的周长． 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，轴对称最短线段问题等，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴点的坐标为； （2）解：如图，作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点， 则， ∴， 由两点之间线段最短，可知当点共线时，取最小值，此时的周长最小， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴， 此时的周长． 【变式3-1】（2025·甘肃武威·一模）如图，抛物线与轴交于两点， (1)求该抛物线的解析式； (2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)对称轴是直线，顶点坐标为 (3)存在， 【分析】本题考查了二次函数的图形及性质、待定系数法求解析式以及利用对称轴性质解决最短路径： （1）用待定系数法求解析式即可； （2）将解析式化为顶点式，根据顶点式求出对称轴及顶点坐标； （3）利用轴对称的性质，将求周长最小值问题转化为求两点之间线段最短的问题，点在对称轴上，而点和点关于对称轴对称，因此，的周长，当三点共线时，最小，其值为线段的长度，因此，点是直线与对称轴的交点． 【详解】（1）解：将代入抛物线中，得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为：． （2）， 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为． （3）存在． 解：连接交对称轴于点，连接， 两点关于抛物线的对称轴对称， 直线与的交点即为点，此时的周长最小， ，抛物线交轴于点， 当时，，即， 设直线的解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， 的解析式为：， 在对称轴上， 当时，，即． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点为第一象限内抛物线上的动点，于点，轴交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)设点的横坐标为，试用含的式子表示线段的长； (3)求的周长的最大值． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)； (3)的周长最大值为． 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数图象的性质以及解直角三角形． （1）先求得，，，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）设点的坐标为，点的坐标为，列式计算求得线段的长； （3）判断是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，求得的周长，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 令，则， 解得或， ∴，，， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：， 设点的坐标为， ∵轴交于点， ∴点的坐标为， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的周长 ， ∵， ∴当时，的周长有最大值， 最大值． 【变式3-3】（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点在抛物线对称轴上，是否存在一点，使的周长最小？若存在求出周长的最小值；若不存在说明理由． (3)如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)存在，的周长最小值为 (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，周长与线段的最值问题； （1）把点、的坐标分别代入函数解析式，解方程组即可得到结论； （2）根据轴对称的性质，，则当在上时，的周长最小，求得直线的解析式，代入，即可求解； （3）先求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）把，代入，得：， 解得：， 故该抛物线的解析式为：； （2）存在，理由如下， ∵，对称轴为直线， ∵点在抛物线对称轴上，关于对称， ∴， ∴ 当在直线上时，的周长最小 ∵设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得：， 即直线的解析式为． ∴当时， ∴ 当时， 解得： ∴ ∴的周长最小值为： （3）∵直线的解析式为． 设点坐标为，则点坐标为， ， ∴当时，有最大值． 类型四、二次函数中求面积最值的问题 知识点：1.平面图形面积计算公式（如三角形底乘高除以2、梯形上下底和乘高除以2），及坐标法求面积（割补法转化为规则图形）。2.二次函数动点坐标特征，可表示为含自变量的代数式，将面积转化为二次函数表达式。 解题技巧：1.用动点坐标表示图形的底和高，结合面积公式列出关于自变量的二次函数。2.确定自变量取值范围，根据二次函数开口方向，求顶点或端点处的最值，注意利用割补法简化面积计算。 例4．（25-26九年级上·天津南开·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线：交于D，E两点（点D在点E的右侧），M为直线上的一动点，设点M的横坐标为． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及三角形面积问题，熟练掌握二次函数的性质，准确的计算是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可； （2）根据题意，联立抛物线与直线解析式，求得点D，E的横坐标，表示出的长，可得，再根据二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：把和点代入，得 ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：联立， 解得或， ∴，, ∵M为直线上的一动点，点M的横坐标为， ∴， ∴点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， ∴面积的最大值是． 【变式4-1】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线交于点P，求P点的坐标； (3)在第一象限内的抛物线上有一点Q，当的面积最大时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数的性质、二次函数与面积的综合等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）将A、C的坐标代入函数解析式，解方程组求出b、c的值即可得到函数的解析式； （2）先求得二次函数的对称轴，令求出B点坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，再在直线解析式中令即可求得点P坐标； （3）设，的面积为S，连接，则，用含m的代数式表示S，然后利用二次函数的最值即可求出点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：把点代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为， 在中，当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． （3）解：∵，， ∴， 设，的面积为S，连接， 则， ， ， ∴当时S最大，此时， ∴． 【变式4-2】（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若P点是抛物线对称轴上的一点，求点P的坐标，使值最小； (3)若M是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，. 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）写出两点式，待定系数法进行求解即可； （2）连接，求出的解析式，根据对称性得到当点在线段上时的值最小，进行求解即可； （3）作轴，交于点，设出点的坐标，利用的面积等于，转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴设抛物线的解析式为，把代入，得：， 解得， ∴； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∵点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点在线段上时的值最小， ∵， ∴当时，， ∴当时，的值最小； （3）作轴，交于点，设，则：， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大为，此时． 【变式4-3】（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为，且点（2，5）在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求的最大值和此时点坐标． 【答案】(1)． (2)①或；②，． 【分析】本题考查了二次函数—几何综合，解题关键是熟练掌握二次函数的图象及性质． （1）因为抛物线的对称轴为点坐标为与在为抛物线上，代入为物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标； ②先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值，进一步求出的最大值和点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为点坐标为与在抛物线上，则∶ 解得∶． ∴抛物线的解析式为． （2）①抛物线的解析式为， 抛物线与y轴交点坐标为， ， 设点坐标为， ∵ ， ． 当时，， 当时，． 点的坐标或， ②设直线的解析式为，将代入， 得， 解得∶． 即直线的解析式为． 如图， 设点坐标为，则点坐标为，， 当时，有最大值． 此时的最大值为， 当时，， ∴点坐标为． 一、解答题 1．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点．点是轴上的一动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)周长的最小值为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，轴对称的最短路径问题，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法解答即可； （）利用抛物线的解析式求得点，，的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，设，则，表示的长并配方，利用二次函数的性质求得的最大值为； 取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，由轴对称可知此时最小，，再利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得： ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， ∴或， ∴，， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ∴， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时，， ∴， 取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，如图， ∵点是轴上的一动点， ∴此时最小，， ∴， ∵，， ∴， ∴周长的最小值为． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，N是抛物线上一个动点且在第三象限，设点N的横坐标为m，过点N作x轴的垂线，交x轴于点M，交于点P． (1)用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值； (2)若，求点P的坐标． 【答案】(1)，最大值为 (2)点P的坐标为 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的结合，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）根据二次函数的解析式求出抛物线与坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式，表示出点的坐标，然后表示出线段的长度，最后根据二次函数的性质求出最值即可； （2）根据线段的数量关系列出一元二次方程，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ． 当时，有， 解得：，． ，． 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为． 点N的横坐标为m， ，． ， ， ， 当时，取最大值； （2）解：轴，， ． ， 或（舍去）． 此时点P的坐标为． 3．（25-26九年级上·新疆哈密·期中）如图，直线交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点． (1)求A、B的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在抛物线的对称轴上求一点P，使得的周长最小，并求出最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，解题的关键是熟练运用函数性质、待定系数法及轴对称求最短路径． （1）分别令直线方程中和，求出、坐标． （2）设抛物线的交点式，代入点坐标求出解析式． （3）利用轴对称性质，找到点关于对称轴的对称点，连接与对称轴的交点即为，此时周长最小，通过计算线段长度求和得到最小值． 【详解】（1）解：对于直线， 令，得到；令，得到， 则，； （2） 由，，设抛物线解析式为， 把代入得：，即， 则抛物线解析式为； 抛物线解析式为 （3）连接，与抛物线对称轴交于点，连接， 由对称性得，此时周长最小， 由抛物线解析式，得到对称轴为直线， 设直线解析式为， 将，代入得：， 解得：，，即直线解析式为， 联立得：， 解得：， 即， 根据两点间的距离公式得： ，， 则， 周长为． 周长最小值为 4．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，过点的抛物线顶点为，与轴交于、两点 (1)求抛物线的解析式； (2)若点是轴上一点，则当取得最小值时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，最短路径问题，线段垂直平分线的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入抛物线中，得出的值，解析式即可得出； （2）利用轴是抛物线的对称轴得到关于轴的对称点是，连接，与轴的交点就是点，此时能取得最小值． 【详解】（1）解：把，代入，得 ，解得， ． （2）解：当时，， ，． 如图，连接，设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为． 点是轴上一点，点，两点关于轴对称， ． ． 当点在直线上时，取得最小值． 当时，， ． 5．（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，抛物线过，两点，直线交抛物线于点，点的横坐标为，是线段上的动点． (1)求直线及抛物线的解析式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段的长度l与m的关系式，m为何值时，最长？ 【答案】(1)，直线的解析式为 (2)当时，线段的长度有最大值 【分析】本题考查二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得点坐标，再次根据待定系数法，可得直线的解析式； （2）根据平行于轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得：， ∴拋物线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：∵在线段上， ∴， ∴， ∴， ∴ 即， ∴当时，线段的长度有最大值． 6．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求二次函数的表达式； (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段交x轴于点D，的面积是的面积的2倍． ①求点P的坐标． ②抛物线的对称轴上有一动点Q，求的周长最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等. （1）根据待定系数法求解即可； （2）①过点P作轴于E，则，根据，即可求出；②先求出，抛物线的对称轴为直线，可得A点与B点关于对称轴对称，由题意得直线与对称轴交点为Q，此时最小，求出，，，，，即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数过，两点，则， ∴， 解得， ∴； （2）解：①过点P作垂直x轴于E，则， ∵． ∴，即， ∵， ∴， 令， 解得，（P在第二象限舍去）， ∴； ②∵抛物线与x轴相交于A、B两点， ∴令， 解得，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴A点与B点关于对称轴对称， ∵点Q在对称轴上运动， ∴直线与对称轴交点为Q，此时最小； ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴周长的最小值为． 7．（25-26九年级上·云南红河·期中）如图，直线与抛物线相交于和，点P是线段上异于A、B的动点，过点P作轴于点D，交抛物线于点C (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)； (2)6 (3)线段最大为． 【分析】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用． （1）已知在直线上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值； （2）求得点的坐标，利用三角形面积公式求解即可； （3）设出P点横坐标，根据直线和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出的最大值． 【详解】（1）解：∵在直线上， ∴， ∴， ∵，在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则，解得， ∴， ∴的面积； （3）解：设动点P的坐标为，则C点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，线段最大为． 8．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）综合与探究 如图，抛物线与轴交于点，与某一次函数的图象交点为，，连接,． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)点是抛物线与轴的另一个交点，在对称轴上找一点，使的值最小，点的坐标为________； (3)点是轴上的动点，连接，当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点，二次函数与面积综合，对称的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识，灵活利用数形结合思想解决问题． （1）结合题意利用待定系数法求解，即可得到抛物线的解析式，进而当时，求出函数值，即可得到点D的坐标； （2）根据题意得出，连接交对称轴于点P即为所求，再由待定系数法确定直线所在直线的函数解析式为，即可确定点P的坐标； （3）根据题意得出，设，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与某一次函数的图象交点为，， ， 解得， ， 当时，， ； （2）解：由（1）得， 令， ∴， 解得：， ∴， 连接交对称轴于点P即为所求， ∵D、C关于抛物线对称轴对称， ∴， ∴，此时最小， 设直线所在直线的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴直线所在直线的函数解析式为， 根据题意得：抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∴， 故答案为：； （3）解：，， ， ， 设， ， ， 解得， ， 点的坐标为或． 9．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点D为直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点D作y轴的平行线，交于点P，小明认为当点D为抛物线顶点时，此时最大，试判断小明的说法是否正确，并说明理由． (3)求三角形面积的最大值． 【答案】(1) (2)不正确，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了用待定系数法求函数表达式，二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，设，则，则，由此即可求出答案； （3）根据求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与x轴交于，两点， ∴抛物线解析式可设为， 即， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：小明的说法不正确． 理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，，则， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴当，最大， 而抛物线的顶点坐标为， ∴小明的说法不正确． （3）解：由（2）知， ∴ ， ∴当，最大，最大值为． 10．（25-26九年级上·重庆綦江·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点，其中点，其对称轴． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若为第一象限内抛物线上一点，连接、，求面积的最大值，及此时点的坐标． (3)在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点M，使得的周长最小，若存在，请直接写出M点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)最大值；点P的坐标为 (3)M 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式等知识，解题的关键是： （1）由二次函数的对称轴公式以及过点，待定系数法即可求解； （2）先求出直线的解析式，过点作轴，交于点，则，设点为，则点为，求出的长度，利用三角形面积列出函数解析式，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，进一步即可求出点的坐标； （3）可求抛物线对称轴为直线，连接，，，根据对称性得出，则，故当A、M、P三点共线时，最小，则的周长最小，根据待定系数法求出直线的解析式为，然后把代入求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过，其对称轴为， ∴， 解得：， ∴； （2）解：由， 当时，， 则， 设直线的解析式为，则把点、代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为； 过点作轴，交于点，如图： 设点P 为，则点D为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取最大值； ∴， ∴点P的坐标为； （3）解：∵， ∴对称轴为直线， 连接，，， ∵A、B关于直线对称， ∴， ∴， ∴当A、M、P三点共线时，最小，则的周长最小， 当时，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴． 11．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其中，． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在直线上方抛物线上找一点 Q，使三角形面积最大，求面积最大时 Q 的坐标及最大面积； (3)在抛物线的对称轴上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，在对称轴上找一点 N，使最大．写出点 M、点 N 的坐标； 【答案】(1)，； (2)，最大面积为； (3),． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的应用-面积问题，求函数解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法分别求出二次函数与一次函数的解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设点，则， 求出，利用二次函数性质即可求解； （3）连接与对称轴的交点即为,此时,距离之和最小，把代入中，求得，即可得出的坐标，由,得到当三点共线时，此时最大，求出直线的解析式为，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵对称轴为直线，且抛物线经过， ∴点， 设直线的解析式为，把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴，交于点, 设点，则， ∴， ∴， 对于二次函数，，对称轴为， ∴当时，， 此时点的纵坐标为， ∴，最大面积为； （3）解：∵抛物线对称轴为，点关于对称轴的对称点为, ∴连接与对称轴的交点即为,此时,距离之和最小，如图： 把代入中，得， ∴, 根据, ∴当三点共线时，此时最大， 如图，连接并延长，交直线于点， 设直线的解析式为，把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴． 12．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线．    (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)点的坐标是 (3)四边形面积的最大值是，此时点的坐标是 【分析】本题主要考查了二次函数与几何的综合，用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、将军饮马原理、最短路径． 利用一次函数的解析式求出点、的坐标，根据抛物线的对称轴是，可得关于、、的三元一次方程组，解方程组求出、、的值，即可得到抛物线的解析式； 根据将军饮马原理可知，当的值最小时，点是直线与对称轴的交点，即可求出点的坐标； 设点的坐标为 ，点的坐标为，结合和，则，利用二次函数的性质化简为顶点式求得最大值即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 当时， 可得：， 点的坐标是， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 抛物线经过点，， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：如图，设直线交于点，连接、和，    直线， 当时，， ， 直线垂直平分， ，， 的周长， ， 当点与点重合时，，此时的周长最小， 点的坐标是，点的坐标是， ，， ∵直线， ∴点的坐标是， ∴， ∵，，此时的值最小， 当的值最小时，的周长最小为，点的坐标是； （3）解：如图，作轴于点，交于点，    点的横坐标为， 点的坐标为 ，点的坐标为， ， ∴点的坐标是， ∴， ，， 则， 当时，，此时， 则四边形面积的最大值是，此时点的坐标是． 13．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标； (3)若点P是抛物线上的一点，当点P在直线上方的抛物线上运动时，的面积是否存在最大值？ 【答案】(1) (2) (3)存在，面积的最大值为8 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）点B关于抛物线的对称点为点A，则交抛物线对称轴于点D，则此时，的值最小，进而求解； （3）过点P作轴交于点H，由题意可设点，则点，接着由，结合二次函数最值即可求解． 【详解】（1）∵，∴点A、C的坐标分别为：， 则，解得：， 抛物线的表达式为：； （2）点B关于抛物线的对称点为点A，则交抛物线对称轴于点D， 则此时，的值最小，理由：为最小， 由点A、C的坐标得，直线的表达式为：， 抛物线的对称轴为直线， 当时， ， 即点D的坐标为：， 故答案为：； （3）过点P作轴交于点H， 由点A、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则面积 ， 则面积的最大值为8，此时，点． 14．（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点在点的左侧，点的纵坐标为3，且．    (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点； (3)点的坐标为或 【分析】本题是二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图像与性质、利用轴对称求最短距离、坐标与图形等知识，熟练掌握相关知识的联系与运算，利用数形结合思想是解答的关键． （1）先求得，再利用待定系数法求解抛物线的函数解析式即可； （2）先根据二次函数的性质得到对称轴为直线．，．连接，交直线于点Q，连接．利用对称性得到此时最小，最小值为的长．求出直线的函数解析式为，进而求解即可； （3）先求得，设点，利用坐标与图形，结合面积共线得到，然后解方程求得t的值即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点C，点C的纵坐标为3， 点． ， 点． 将点，代入解析式， 得， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为， 对称轴为直线． 令，则，解得，． ，． 如图，连接，交直线于点Q，连接． 点A关于直线的对称点是点B， ． C，B，Q三点共线，故此时最小，最小值为的长． 设直线的函数解析式为．将点代入， 得，解得， 直线的函数解析式为． 令，得， 点； （3）解：存在点，使得． 点，， ， 设点， ， ， ，即． 当时，整理得，，方程无实数根． 当时，整理得， 解得或， 点的坐标为或； 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 15．（20-21九年级上·河北承德·期中）如图，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图②，点M是线段上的点（不与B，C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m． ①请用m的代数式表示的长； ②连接，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在点P，使得的周长最小，周长的最小值为，理由见解析 (3)①；②存在m，使的面积最大，，理由见解析 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）在和中，分别利用勾股定理求得的长，根据线段垂直平分线的性质，可得对称轴上的点到线段两端点的距离相等，根据两点之间线段最短，可得答案； （3）①设的解析式为，利用待定系数法求解出的解析式，设M点的坐标为，N点的坐标为，根据轴，可得答案； ②根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）解：将的坐标分别代入中得： ， 解得， 则抛物线的解析式为； （2）存在点P，使得的周长最小，理由如下： 如图： 在中，， 在中，， 由关于对称得：， 由两点之间线段最短可知：当三点共线时，最小 ， 则在抛物线的对称轴上存在点P，使得的周长最小，周长的最小值为； （3）如图：连接， ①设的解析式为， 将分别代入可得：， 解得， 则的解析式为， 设M点的坐标为，N点的坐标为， 轴， ； ②存在m，使的面积最大，理由如下： ， 则存在m，使的面积最大，且当时，的面积最大． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $