专题11 二次函数中的角度存在性问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级下册

专题11 二次函数中的角度存在性问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数中的等角存在性问题 类型二、二次函数中的倍角存在性问题 类型三、二次函数中的特殊角存在性问题 压轴专练 类型一、二次函数中的等角存在性问题 知识点：1. 二次函数图像性质，如对称轴、顶点坐标、单调性，用于确定点的位置关系；2. 等角的几何判定，包括等腰三角形性质（等边对等角）、平行线性质（同位角/内错角相等）、全等/相似三角形对应角相等。 解题技巧：1. 构造辅助线，如作对称点、平行线或垂线，转化等角为已知角或易求角；2. 代数化处理，设点坐标，利用三角函数（正切值相等）或斜率表示角的关系，列方程求解。 例1．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．其中，． (1)直接写出该抛物线的解析式； (2)如图2，连接，在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合—角度问题，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将代入解析式计算得出，即可得解； （2）先求出，结合题意可得，作轴于，设，则，求出，，再由正切的定义计算即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得：，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵在第三象限内抛物线上找点，使， ∴， 如图，作轴于， 设，则 ∴，， ∴， 整理可得：， 解得：或（不符合题意）， 经检验，是所列分式方程的解且符合题意，此时， ∴． 【变式1-1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数； (2)若，点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)，，， (2)或 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是学会分类讨论． （1）令，解方程可得，两点坐标，令，可得点的坐标，证明，可得； （2）分两种情况，即点在轴上方或点在轴下方，利用等腰三角形的判定和性质即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 解方程，得，， 点在点的左侧，且， ，， 当时，， ， ， ， ； （2）解：当时，，，，， 当点在轴上方时，如图，过点作的垂线段交于点， ，，， ， 设， ， 解得， ； 当点在轴下方时，如图，过点作的垂线段交于点， ， 同理可得， 设， ，即 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与 轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在点M，使得的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线的顶点为，连接．抛物线上是否存在一点，使得 ？ 若存在，求点的坐标； 若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）根据题意得出的面积与的面积相等，先求出直线的解析式为，进而得到经过点A且与直线平行的直线解析式为，再由平行线间间距相等且和有公共边，因此当点在直线上时，满足题意，据此联立，解方程即可得到答案； （3）分两种情况①根据题意得出的坐标，进而得出是直角三角形，再过点作垂直于，连接，且，求出，进而得出直线解析式，即可得出点坐标；②先求出直线解析式，根据只要，则有，设直线为，代入点坐标，求出直线解析式为，联立：，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴点在x轴上或x轴下方的抛物线上，的面积与的面积相等， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴设经过A点且与直线平行的直线解析式为， 则，解得：， ∴， ∴当点在直线上时，满足题意， 联立， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，理由如下：①连接， ∵函数的解析式为：， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， 过点作垂直于，且，连接， ∵， ， 过点作轴于点，则， ∴， 在和中， ， ∴， 则， 此时与抛物线的交点就是满足条件的点， 设直线的解析式为：， 则， 解得：． ∴直线解析式为：， ， 解得：（不合题意舍去），， ， ∴点坐标为：； ②设直线解析式为，代入坐标，得， 解得：， ∴直线为， 只要，则有， 设直线为，代入点坐标： 则， 直线解析式为， 联立：， ， 解得：（舍去 ），， 把代入解析式可得，， ， 综上所述：点坐标为：或． 【变式1-3】（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，正切的定义，等腰三角形的性质与判定； （1）当时，二次函数的图象与轴交于，设二次函数的交点式为，展开后得到求解即可得到答案； （2）根据解析式求得点，进而勾股定理求得，作的角平分线交轴于点，则，，进而得出，根据角平分线的定义得出，求得，进而可得，从而求得点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解． （3）先找到临界值，当时，，此时得出重合，根据题意可得是第四象限的点，则当时，即可求解； （4）根据题意得出是等腰直角三角形，进而根据已知得出，取得出是等腰直角三角形，进而求得，即可得出的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，二次函数的图象与轴交于， ∴设二次函数的交点式为， ，， ∴， 解得， ∴函数的解析式为； （2）解：对于二次函数， 令，可得，则点的坐标为，则 ∵， ∴， ∵ ∴， 如图，作的角平分线交轴于点，则， ∴， 设到的距离为，则， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，则， ∴． ∴． 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式． （3）解：当时，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴，则重合，重合， 又∵是第四象限的点， ∴当时，则，． ∴要使得成立， 的取值范围为； （4）解：∵， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 在中，． 如图所示，取． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． 即． 类型二、二次函数中的倍角存在性问题 知识点：1. 三角函数倍角公式（如tan2α=2tanα/(1-tan²α)），通过角的正切值关系转化代数等式；2. 几何构造中倍角与等腰三角形关系（如外角等于不相邻内角2倍）。 解题技巧：1. 代数法：设点坐标表示角的正切值，代入倍角公式列方程求解；2. 几何法：构造含倍角的等腰三角形，利用对称性或全等转化角的关系，结合函数图像找点。 例2．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接交于点Q，过点P作轴于点D． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接BC，当时，求直线的解析式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）设与y轴交于点E，设，则，，运用勾股定理可求得，得出，再利用待定系数法即可求出答案． 【详解】（1）解：∵的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：如图，设与y轴交于点E， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 令，得， ∴，， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得 ， ∴， 设所在直线表达式为 ， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为． 【变式2-1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线 与x轴分别交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一点，且 ，求点的坐标； (3)点为抛物线第一象限上一点，连、，若 ，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法运算求解即可； （2）解：将绕点顺时针旋转得到，取的中点，连接并延长交抛物线于点，则，利用中点坐标公式求出的坐标从而得到直线的表达式，再联立二次函数的解析式运算求解即可； （3）连接并延长交轴于点，连接，分析出点在的垂直平分线上，设点，求出的解析式，得到点的坐标，再利用列式运算即可． 【详解】（1）解：把代入可得：， ∴， ∵， ∴,， ∴，， 把，代入可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：将绕点顺时针旋转得到，取的中点，连接并延长交抛物线于点，则如图所示： ∵，，即点可由点向下平移个单位，向左平移个单位得到，故， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把，分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立与可得：， 解得：或， ∴把代入可得：， ∴； （3）解：当时，连接并延长交轴于点，连接， ∵， ∴， 点在的垂直平分线上， ∴， 设， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入可得：， 整理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴解得：或（第一象限舍去）， ∴把代入可得：， ∴． 【变式2-2】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，抛物线过三点，点是抛物线上动点． (1)试求抛物线的表达式； (2)如图，当在第一象限时，过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求点的坐标； (3)当点P运动到使时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的表达式和直线的表达式，从而求得抛物线的对称轴； （2）结合（1）求得抛物线的对称轴为直线，根据待定系数法即可求得直线的表达式；设，，，进而得，由得，解，即可得解； （3）先求得点关于直线的对称点为，过点作平分交抛物线于点，交于点，再求得，从而求得设直线的解析式，联立直线为：与抛物线解析式为即可求解；同理，作点关于的对称点，运用待定系数法得到直线的解析式，联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线：， ∵，在上， ∴， 解得， ∴直线为：； 由点是第一象限内抛物线上的动点，点的横坐标是，且，设， ∵轴，轴，抛物线的对称轴为直线，直线为：， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）， 当时，， ∴； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线，，，， ∴、两点关于直线成轴对称，设点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∴点关于直线的对称点为， ∵、两点关于直线成轴对称，点关于直线的对称点为，连接， ∴与关于直线成轴对称， ∴， 过点作平分交抛物线于点，交于点，则，点为所求的点， ∵，，， ∴，， ∴， ∵平分交抛物线于点，交于点， ∴，， ∴，， ∴，即， 设直线为：， ∵直线为：过，， ∴， 解得， ∴直线为：， 联立直线为与抛物线解析式为得， ， 解得或（舍去）， ∴； 同理，作点关于轴的对称点， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立方程组得，， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 类型三、二次函数中的特殊角存在性问题 知识点：1. 特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值（如tan45°=1、sin30°=0.5），用于建立线段比例关系；2. 二次函数与坐标几何结合，如两点间距离公式、直线斜率与倾斜角关系。 解题技巧：1. 几何构造：过动点作坐标轴垂线，构造含特殊角的直角三角形，利用边角比表示坐标关系；2. 代数转化：设点坐标，用斜率或距离公式表示角的三角函数值，结合函数解析式列方程求解。 例3．（2025·江苏常州·三模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线与直线l的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值； (3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为；直线l的函数表达式为 (2)的面积最大值为， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线和直线的解析式即可； （2），过点作轴交于，设，则，表示出，从而可得，再由二次函数的性质即可得解； （3），将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于，则为等腰直角三角形，证明，得出，，求得，待定系数法求出直线的解析式为，当时，，即；作点关于直线的对称点，连接交轴于，由轴对称的性质可得，，证明出点为的中点，即可得出，同理可得，直线的解析式为，当时，，即，由此即可得解． 【详解】（1）解：将、、代入二次函数的解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 设直线l的函数表达式为， 将、代入解析式可得， 解得：， ∴直线l的函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴交于， ∵点P是抛物线上的点且在直线l上方， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，为，此时； （3）解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于， 则为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵轴于，轴于，、， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即； 作点关于直线的对称点，连接交轴于， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵，即， ∴，即点为的中点， ∴， 同理可得，直线的解析式为， 当时，，即， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点为直线下方抛物线上一点，连接并交于点，若分的面积为两部分，请求出点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得，若存在，请求出点．的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的三角函数，平行线的性质是解题的关键． （1）求出、点坐标后代入，即可求解； （2）设，过点作轴交于点，过点作轴交于点，，求出直线的解析式和直线的解析式，再联立方程组，求出点坐标，由题意可知或，求出的值即可求解； （3）在轴上取点，当N在y轴负半轴时，证明，然后根据相似三角形的性质可求出；当N在y轴正半轴时，根据轴对称性求解即可． 【详解】（1）解：， ，， 将点、代入， ， 解得， ； （2）解：令， 解得或， ， 如图，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得， ， 分的面积为两部分， 或， ， ， 当时，， 可得， 解得或， 或； 当时，， 可得， 此时方程无解， 综上所述，或； （3）解：存在一点，使得，理由如下： 在轴上取点， 当N在y轴负半轴时，如图， ，， ，，， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， ， 当N在y轴正半轴时，记为，如图， 则和N关于x轴对称， ∴ 综上，N的坐标为或． 【变式3-2】（2025·江苏无锡·二模）已知平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上一点，若，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作，垂足为点F，若 ，求平移后抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线，结合得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）过点作于点，过点作轴的垂线交轴于点，交过点和轴的平行线于点，则为等腰直角三角形，得出，设点的坐标为，证明，得出，，即且，求出，，即可得出，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，求解即可； （3）求出，设抛物线向左平移了个单位，则点，新抛物线的解析式为，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点，由（2）可得，，求出直线的解析式为，设点的坐标为，证明，得出，解直角三角形可得，从而可得， 求出，，，，代入式子计算得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），且， ∴，， 将代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作于点，过点作轴的垂线交轴于点，交过点和轴的平行线于点， ， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即且， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴； （3）解：∵，抛物线的顶点为D， ∴， 设抛物线向左平移了个单位，则点，新抛物线的解析式为， 如图，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， ， 由（2）可得，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴新抛物线的解析式为． 一、解答题 1．（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）如图，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，是抛物线上的一点，连接． (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)求的面积； (3)在第一象限内的抛物线上是否存在点P，使，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】（1）点代入，解方程即可得抛物线解析式． （2）设抛物线的对称轴与直线交于点，与轴交于点，作于点，求出，直线的解析式，求出，由计算即得； （3）假设存在符合题意的点，过点P作轴于点M，求出直线的解析式，得，根据，可得，得，得，解方程，即可求得P点坐标． 【详解】（1）解：（1）∵抛物线与轴交于点， ，解得， ∴抛物线的解析式为， ∵． ∴顶点． （2）解：如图，由（1）知，， ∴抛物线的对称轴为直线， 设对称轴与直线交于点，与轴交于点，作于点， 点在抛物线上，且横坐标为， ∴代入中，得， ，， 设直线的解析式为，∵， ∴， 解得：，∴直线， 令，得，∴． ， ， 即的面积为； （3）假设存在满足条件的点，作轴于点，直线与轴交于点． 设直线的解析式为,把，代入，得 , ∴， ∴（舍去），， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 轴， ， ∴， 又， ， ． ， 化简，得， 解得或0（舍） 由（2）知当时，， ． 即在第一象限内的抛物线上存在点，使． 【点睛】本题综合考查了二次函数与一次函数的综合应用．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，与三角形面积问题综合，等腰三角形的判定和性质，与角度问题综合，是解题的关键． 2．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． (1)求的值； (2)连接，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标； (3)如图，点是直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用待定系数法求出值，进而即可求解； （）由二次函数解析式可得，进而得到，即得，再利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，可得，即得到，求出的值即可求解； （）设直线交轴于，可证，得到，得到，即得直线解析式为，联立一次函数和二次函数解析式，求出方程组的解即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（）得抛物线的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图，设直线交轴于， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 由，解得或， ∵点是直线上方的抛物线上一动点， ∴． 3．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，抛物线经过三点． (1)求此拋物线的解析式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点（不与点B、C重合），过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，作于点，当动点在什么位置时，线段的长最大，求线段的最大值，并求此时点的坐标； (3)抛物线上一点，当时，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2)， (3)点的横坐标为或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）利用等腰直角三角形性质可得，即越大，越大，利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，，证明，求出，再运用二次函数的性质即可求得答案； （3）分两种情况:当点M在x轴上方时，当点M在x轴下方时，分别求得直线的解析式，与抛物线的解析式联立即可求得答案. 【详解】（1）解：拋物线过， 设抛物线表达式为， 将代入上式，， ， ； （2）设， 设直线表达式为， 将代入上式，得 解得， ， 轴，交于点， 当时，有最大值， 此时； （3）点的横坐标为或 理由：如图，当点在直线上方的抛物线上时，作于点， 设，则， 在Rt中， （舍去）， 当点在直线下方的抛物线上时，设直线交轴于点， 在Rt中， 设直线表达式为， 将代入上式， 解得， 由，得 （舍去）， 综上所述，点M的横坐标为或 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质、二次函数的图象和性质、勾股定理等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏 4．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线． (1)求此抛物线的函数表达式． (2)将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点，在直线上方的抛物线上是否存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点是抛物线上一动点，且满足，若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)或 【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式中，求得a的值，即可求得解析式； （2）过点D作轴交于点E，交于点G，过点D作于F，由B、C的坐标知是等腰直角三角形，则，求出直线的解析式，则可得直线的解析式：设，则可得点E的坐标，求得的最大值，即可求得点D的坐标； （3）分两种情况考虑：在直线的下方；在直线的上方；分别求出直线的解析式，联立方程组求解即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：把代入，可得： 解得， 把代入， 得到抛物线的函数表达式为． （2）解：存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大； 如图1，过点作轴交于点，交于点，过点作于； 令，解得：，； 令，则， ， ， ， .， ， ∴，， ， 即是等腰直角三角形，则； 设直线的解析式为， 则有，解得， 即直线的解析式为； 直线向下平移个单位长度得直线， 直线的解析式为； 设，则的坐标为， ∴， ∴， ∵， 当时，取得最大值，的最大值为， 此时点的坐标为； 存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大． （3）解：①当在直线的下方时，如图2， 在轴正半轴上取点，连接交抛物线于点， ， ， ，， 在与中， ， ， ， ， 设直线解析式为，则有， ∴直线解析式为， 联立直线解析式与抛物线解析式得， 解得，，舍去， ∴； ②在直线的上方时，如图3， 作点关于直线的对称点，连接，直线交抛物线于点， 由对称得：，，， ， 设直线的解析式为，则有， ∴， 直线解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，解得，舍去， ． 综上,满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，直线的平移，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，对称的性质，解决本题的关键是注意分类讨论，作出图像，防止漏解． 5．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，二次函数的图像与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，直线是过点且平行于y轴的直线，在直线上是否存在点Q？使得的长度最短．若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P为二次函数图像上的一个动点，且．求P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据二次函数的图像与x轴交于点，代入函数求解即可； （2）由（1）可知，则直线是过点且平行于y轴的直线，作点关于直线的对称点，连接与直线交点是Q，此时的长度最短，设直线的表达式为，代入点的坐标求解即可； （3）在y轴上取点D，使得，则 设，得，在中，根据勾股定理得，解得，可得，由，可得，连接，作轴于点，点在函数上，设，则 ，可得，列出，分类讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于点． ∴ ∴ ∴该二次函数的表达式为． （2）解：∵C在y轴上， ∴当时，，则， 如图，直线是过点且平行于y轴的直线，作点关于直线的对称点，连接与直线交点是Q，连接， 则，即， ∴当三点共线时，的长度最短， ∵点是点关于直线的对称点，直线是过点且平行于y轴的直线， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得 ， ∴直线的表达式为， 设， ∵在直线上， ∴， ∴； （3）解：如图，在y轴上取点D，使得， 则，， ∴ ， 设， ∵， ∴ ， 在中，根据勾股定理得，解得， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 连接，作轴于点， ∵点在函数上，设，则 ， ∴在中， ， ∴ ， 即：， 整理得：， ①当取正时，即在轴上方时，， 解得或（舍去不合题意）， 当时，， ∴， ②当取负时，即在轴下方时，， 解得或（舍去不符合题意）， 当时，， ∴ ， 综上所述：的坐标为或. 【点睛】本题考查了二次函数的综合与解直角三角形，勾股定理，两点之间线段求最小值的证明，以及倍角关系，在于会作辅助线，难度偏大，中考常考题型，熟练各个知识点是解题关键. 6．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图①，抛物线与轴交于和点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的面积是面积的时，求点的坐标； (3)如图②，点是在直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求解的面积是，设直线解析式为，可得直线解析式为，设，则，求解，可得，再进一步即可求出结果； （3）设直线交轴于，证明，求得D的坐标，同理得直线解析式为，联立方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】（1）解：把，代入中得， ， ， 抛物线解析式为； （2）解：在中， 当时， ， 如图，连接， ，，， ∴， ∵的面积是面积的， ∴的面积是， 设直线解析式为， ， 直线解析式为， 设，则， ． ∴， 解得：， 此时； （3）解：如图，设直线交轴于， ，，， ， ， ， 同理可得：直线解析式为． 联立， 解得或（不符合题意舍去）， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，全等三角形的性质和判定等知识，熟练掌握二次函数的相关知识是解答本题的关键． 7．（2025·内蒙古通辽·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于点和，交y轴于点C．点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是在第二象限内抛物线上一个动点，连接，，，当的面积最大时，求点P的坐标和的面积最大值； (3)抛物线上是否存在一点E，使得，若存在，求点E坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)，最大值是8 (3)或 【分析】（1）由点和在抛物线上可设设抛物线解析式为：，再进一步求解即可； （2）求解直线解析式为：．过P做轴交直线于点Q，设，，结合，再进一步求解即可； （3）作的垂直平分线交x轴于F，可得，求解，在x轴上B点的左侧取点M，使得，再作直线垂直x轴，并且截取，可得，可得，再分两种情况讨论：当N在x轴上方时，，当N在x轴下方时，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象交x轴于点和， ∴设抛物线解析式为：． ∵， ∴， ∴ ∴抛物线解析式为：． （2）解：连接，∵，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线解析式为：． 过P作轴交直线于点Q， 设，， ∴ ∵， ∴当时，有最大值，最大值是8． 此时， ； （3）解：作的垂直平分线交x轴于F， ∴， ∴， ∴， 设，则． 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在x轴上B点的左侧取点M，使得，再作直线垂直x轴，并且截取， ∴， ∴， 当N在x轴上方时，， 此时，，， ∴同理可得：直线的解析式为：． ∴， 解得或， ∴； 当N在x轴下方时，， 此时，，， ∴同理：直线的解析式为：． 此时， ∴， 解得或， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与图形面积以及角度问题，锐角三角函数的应用，难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； (3)是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． (4)在抛物线对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， (4)存在，点M的坐标为或 【分析】（1）将，代入，利用待定系数法确定函数解析式； （2）根据图形得到，求出点B坐标，可得，则，然后设，利用三角形面积公式求出或，然后可得点的坐标； （3）过点作轴于点，根据得到，然后根据可知，推出，进而即可求解； （4）求出抛物线的对称轴为，设，然后利用勾股定理构建方程，求出n的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴， 当时，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或， ∴或； （3）解：存在，点的坐标是． 过点作轴于点，    ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴， 整理得， 解得或（不符合题意）， ∴； （4）存在，点M的坐标为或； ∵抛物线的对称轴为， ∴设， ∵，，是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， ∴点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用；熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 9．（2025·广东惠州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点的横坐标为，点为轴上一点，抛物线经过，，三点，点为抛物线的顶点，为第一象限内一动点．过点作轴，垂足为点．已知点到定点的距离与到定直线的距离相等． (1)求抛物线的解析式与点，点的坐标； (2)求证：抛物线必经过点； (3)连接、，当时，求点的坐标． 【答案】(1)；， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，解直角三角形，两点距离公式； （1）已知抛物线顶点坐标，可设抛物线的顶点式，再把代入顶点式求出，进而得到抛物线解析式，再令求出点坐标，令求出点坐标； （2）设，根据点到定点的距离与到定直线的距离相等，用距离公式，即可得证． （3）连接，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，根据得出的坐标，进而求得直线的解析式，联立抛物线进而求得点的坐标，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线顶点坐标， 设 ∵抛物线过原点， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 令，即，，解得或 ∴ 当时，，则 ∴， （2）设， ∵已知点到定点的距离与到定直线的距离相等． 则 ∴ 整理得， ∴ ∴抛物线必经过点； （3）解：如图，连接，过点作交的延长线于点，过点作轴于点， 当时，，则 ∵， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形，则 ∵ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立     解得：或 ∴ 10．（2025·湖北武汉·二模）已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图1，D为第一象限抛物线上一点，连接交于点T，若，求点D的横坐标； (3)平移抛物线使它的顶点在原点，如图2，过点P的两直线，（均不与y轴平行）分别与抛物线有唯一公共点E，F，交y轴于点G，连接交抛物线于另一点Q，若轴，试探究线段与的数量关系． 【答案】(1) (2)点D的横坐标为 (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）在上取点H，连接，使，过点D作轴于G，可证得∽，利用相似三角形性质建立方程求解即可； （3）设E、F的横坐标分别为m，n，分别得出直线、的解析式，可得点G的坐标，联立求得点P的横坐标，进而得出点Q的坐标，再运用待定系数法可得出直线的解析式，求得点G的坐标，建立方程求解可得，过点P、E分别作y轴的垂线，垂足分别为M、N，利用相似三角形性质即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ， 解得：， 抛物线经过点， ， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得：，， ，， ，， ， 在上取点H，连接，使，过点D作轴于G，如图1， 则， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ， ， ，即， ， ， 设，则，， ， 解得：舍去或， 点D的横坐标为； （3）解：平移抛物线使它的顶点在原点， 新抛物线的解析式为， 设E、F的横坐标分别为m，n，直线的解析式为， 联立得：， 整理得：， 直线与抛物线有唯一公共点E， ，， ，， 直线的解析式为， 当时，， ， 同理可得：直线的解析式为， 联立得：， 解得：， 即点P的横坐标为， 轴， 点Q的横坐标为， ， 又， 直线的解析式为， 当时，， ， ， 整理得：， ， ， ， ， 点P的横坐标为， 如图2，过点P、E分别作y轴的垂线，垂足分别为M、N， 则，， ， ， ， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数关系的应用，平移变换的性质，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键． 11．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． (3)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，点是线段上的一动点，过点作轴，垂足为点，连结，求的最小值． 【答案】(1) (2)抛物线上存在点，使，的坐标为 (3)的最小值为 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据抛物线的对称轴为直线，得出则二次函数解析式为代入，得出，即可求解； （2）设，根据点的坐标可得，，分量种情况讨论，①当在直线的下方时，以为斜边在的下方作等腰直角三角形，设关于的对称点为，则，验证可得点与点重合，得出，当在的上方时，作点关于的对称点，即，即可求解； （3）在上取一点，使得，得出，在上取一点，使得，垂足为，则，作关于的对称点，连接交于点，根据轴对称的性质可得当在上时取得最小值，最小值为的长，等面积法求得，则，进而得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即 ∴二次函数解析式为 将代入得， 解得：， ∴二次函数关系式为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴， 当时，，则 ∴，， 设，则 ①当在直线的下方时， 如图，以为斜边在的下方作等腰直角三角形， ∴，， 设关于的对称点为，则， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴点与点重合， ∴ 当在的上方时，作点关于的对称点 ∵都是等腰直角三角形， ∴在轴上，（不合题意，舍去） 综上所述，抛物线上存在点，使，的坐标为 （3）解：如图，在上取一点，使得 ∴ 设，则 在中， ∴，即 解得： ∴ ∴ ∵， 在上取一点，使得，垂足为， ∴ ∴ 即, 如图，作关于的对称点，连接交于点 ∴ ∴当在上时取得最小值，最小值为的长， 在中， ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴的最小值为． 12．（24-25九年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，与y轴交于点A，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点H，点M为抛物线对称轴上一点，过点M作轴，垂足为N，连接，当线段取最大值时，求P的坐标和的最小值； (3)如图2，将抛物线向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新抛物线y＇，点E为新抛物线与x轴的左交点，连接AE，点M是新抛物线上的一个动点，连接，当满足时，写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点M的坐标，写出求解过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）可求出，得到；求出直线解析式为；过点P作轴交于T，则，解直角三角形得到；设，则，，当时，有最大值，此时有最大值，则可求出；过点P作且使得，连接，作点C关于x轴的对称点，连接，证明四边形是平行四边形，得到，由轴对称的性质可得，根据，得到当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为，据此利用两点距离计算公式求解即可； （3）先求出平移后的抛物线解析式为中，则可求出；可证明，则；取点，可证明，；在上取一点R，使得，过点R和点L分别作y轴的垂线，垂足分别为V、W，可求出；由，可得，则直线与抛物线的交点（不是E）即为点M的一个位置；如图所示，在直线取一点S使得，则点A为的中点，则，同理可证明直线与抛物线的交点（不是E）即为点M的一个位置，据此求解即可． 【详解】（1）解；∵抛物线过点和点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 如图2-1所示，过点P作轴交于T， ∴， ∵， ∴； 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∵， ∴当有最大值，有最大值， ∴此时点P的横坐标为， ∴， ∴； 如图2-2所示，当时，过点P作且使得，连接，作点C关于x轴的对称点，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由轴对称的性质可得， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵轴， ∴， ∴； ∵， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的最小值为； （3）解；∵将抛物线向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新抛物线y＇， ∴平移后的抛物线解析式为； 在中，当时，解得或， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，取点， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 如图所示，在上取一点R，使得，过点R和点L分别作y轴的垂线，垂足分别为V、W，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴直线与抛物线的交点（不是E）即为点M的一个位置， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点M的坐标为； 如图所示，在直线取一点S使得，则点A为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线与抛物线的交点（不是E）即为点M的一个位置， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，一次函数与几何综合，轴对称的性质，两点距离计算公式，平行四边形的性质与判定等等，解（2）的关键在于把求出的最大值转换成求的最大值，以及构造平行四边形；解（3）的关键在于构造． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11二次函数中的角度存在性问题的四类综合题型 月录 典例详解 类型一、二次函数中的等角存在性问题 类型二、二次函数中的倍角存在性问题 类型三、二次函数中的特殊角存在性问题 压轴专练 典例详解 类型一、二次函数中的等角存在性问题 知识点：1.二次函数图像性质，如对称轴、顶点坐标、单调性，用于确定点的位置关系；2.等角的几 何判定，包括等腰三角形性质（等边对等角）、平行线性质（同位角/内错角相等）、全等/相似三角形对 应角相等。 解题技巧：1.构造辅助线，如作对称点、平行线或垂线，转化等角为已知角或易求角；2.代数化处理， 设点坐标，利用三角函数（正切值相等）或斜率表示角的关系，列方程求解。 例1.(25-26九年级上福建福州阶段练习)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交 于点C,顶点为D.其中A(-3,0),D(-1,-4). 图1 图2 (1)直接写出该抛物线的解析式： (2)如图2，连接BC,在第三象限内抛物线上找点E,使∠ABE=∠OCB,求点E的坐标. 【变式1-1】(25-26九年级上江苏苏州阶段练习)如图，二次函数y=-x2+(m-1)x+m(m是常数，且 m>0)的图象与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C. 1/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6 (I)求A,B,C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠ABC的度数： (2)若m=4,点P在抛物线上，且∠PAB=∠ABC,求点P的坐标， 【变式1-2】(25-26九年级上江苏阶段练习)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y 轴的正半轴交于C点，且0B=0C=30A=3. D C BAO (1)求抛物线的表达式： (②)在直线BC下方的抛物线上是否存在点M,使得△MBC的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存在， 请说明理由 (3)抛物线的顶点为D,连接BC、BD.抛物线上是否存在一点P,使得∠PCB=∠CBD？若存在，求P点 的坐标；若不存在，说明理由： 【变式1-3】(2025·西藏.中考真题)已知抛物线y=ax2+bx-4过点A(-1,0),B(m,0),与y轴交于点C.点 B是x轴正半轴上的动点，点F是抛物线在第四象限图象上的动点，连接BC,AF,且AF交y轴于点D, 交BC于点E, 图1 图2 (①)当m=3时，求抛物线的解析式； 2/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图1，在(1)的条件下，若∠CDE=∠CED,求直线AF的解析式； (3)要使得LDCE=∠DEC成立，请探索m的取值范围（直接写出结果）： (4)如图2，∠DCE=∠DEC,当m为何值时，0D的长度等于1？ 类型二、二次函数中的倍角存在性问题 知识点：1.三角函数倍角公式（如tam2a=2tama/(1-tam2a)),通过角的正切值关系转化代数等式；2. 几何构造中倍角与等腰三角形关系（如外角等于不相邻内角2倍）。 解题技巧：1.代数法：设点坐标表示角的正切值，代入倍角公式列方程求解；2.几何法：构造含倍角 的等腰三角形，利用对称性或全等转化角的关系，结合函数图像找点。 例2.(2025九年级上浙江·专题练习)二次函数y=x2+bx+4a≠0)的图象经过点A(-4,0),B(1,0),与 y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC交于点Q,过点P作PD⊥x轴于点D. VA 图1 图2 (1)求二次函数的表达式： (2)如图1，连接BC,当∠DPB=2LBC0时，求直线BP的解析式： 【变式2-1】(25-26九年级上湖北武汉阶段练习)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A、B两 点，与y轴交于点C,且OC=0B=30A. VA 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)点P为抛物线上一点，且∠CAP=45°，求点P的坐标： (3)点9为抛物线第一象限上一点，连AQ、CQ,若∠CQA=2∠QAB,求点Q的坐标. 2 【变式2-2】(25-26九年级上重庆阶段练习)如图，抛物线y=ax2+二x+c过A,B(6,0),C(0,8)三点， 3 3/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点P是抛物线上动点. B O (①)试求抛物线的表达式； (2)如图，当P在第一象限时，过点P作PN∥y轴并交BC于点N,作PM∥x轴并交抛物线的对称轴于点M, 若PM=PN,求点P的坐标： 3 ③)当点P运动到使∠PAB=】∠ABC时，请直接写出P点的坐标. 类型三、二次函数中的特殊角存在性问题 知识点：1.特殊角(30°、45°、60°)的三角函数值（如tam45°=1、sn30°=0.5)，用于建立线段比 例关系；2.二次函数与坐标几何结合，如两点间距离公式、直线斜率与倾斜角关系。 解题技巧：1.几何构造：过动点作坐标轴垂线，构造含特殊角的直角三角形，利用边角比表示坐标关系： 2.代数转化：设点坐标，用斜率或距离公式表示角的三角函数值，结合函数解析式列方程求解。 例3.（2025江苏常州三模)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A-2,0)、B(6,0)两点，与y轴交于 点C.直线1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E,点D的坐标为4,3). D D (备用图) (1)求抛物线与直线1的函数表达式： (②)若点P是抛物线上的点且在直线1上方，连接PA、PD,求当△PAD面积最大值时点P的坐标及该面积 的最大值； (3)若点Q是y轴上的点，且∠ADQ=45°，求点Q的坐标 【变式3-1】(25-26九年级上江苏苏州阶段练习)如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B（点 A在点B的左侧)，与y轴交于点C,OA=OC=4. 4/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 】 B A B 备用图 (1)求抛物线的函数表达式： (2)若点P为直线AC下方抛物线上一点，连接BP并交AC于点Q,若AC分aABP的面积为3：5两部分，请 求出点P的坐标； (3)在y轴上是否存在一点N,使得LBC0+∠BN0=45°，若存在，请求出点N,的坐标；若不存在，请说 明理由。 【变式3-2】(2025·江苏无锡·二模)已知平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax-3(a≠0)与x轴交于点 A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,且AB=4. (I)求抛物线的解析式： (2)点P是线段BC上一点，若LPAC=45°，求点P的坐标； (3)在(2)的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作EF1AP,垂足为点F,若 am∠PEF=号，求平移后抛物线的表达式。 压轴专练 一、解答题 1.(25-26九年级上湖北成宁期中)如图，抛物线y=-x2+bx+3与x轴交于点A(-1,0),B两点，与y轴 交于点C,D是抛物线的顶点，E 3"是抛物线上的一点，连接AD,DE,AE. 5/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 VA B 备用图 (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标： (2)求ADE的面积； (3)在第一象限内的抛物线上是否存在点P,使∠APC=2∠PAB,若存在，求点P的坐标，若不存在，请说 明理由. 2.(25-26九年级上·安徽毫州期中)如图1，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A(-4,0),B(1,0),与y轴 交于点C,点P是直线AC下方抛物线上的点 图1 图2 (1)求a+b的值： ②连接AP,CP,BC,过点P作PF上x轴于点F,交AC于点E,若SPC=Sc,求点P的坐标： 5 (3)如图2，点M是直线AC上方的抛物线上一动点，当∠MA0=∠0AC时，求点M的坐标， 3.(25-26九年级上山东济南·期中)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过三点A(-1,0),B(3,0),C(0,3). 备用图 (1)求此抛物线的解析式； 6/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F,交直线 BC于点E,作PD⊥BC于点D,当动点P在什么位置时，线段PD的长最大，求线段PD的最大值，并求 此时P点的坐标： (3)抛物线上一点M,当∠BCM=15时，请直接写出点M的横坐标. 4.(25-26九年级上·福建福州期中)如图，已知抛物线y=ax2-2ax+3与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y 轴交于点C,连接AC,过B、C两点作直线. B B 备用图 (①)求此抛物线的函数表达式. (2)将直线BC向下平移m(m>O)个单位长度，交抛物线于B、C两点，在直线B'C'上方的抛物线上是否存 在定点D,无论m取何值时，都是点D到直线B'C'的距离最大.若存在，请求出点D的坐标；若不存在， 请说明理由 (3)若点P是抛物线上一动点，且满足∠PBC+LAC0=45°，若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不 存在，请说明理由 5.(24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习)如图，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A1,0)、B3,0)两 点，与y轴交于点C. B (图1)》 (图2) ()求这个二次函数的表达式； 7/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图1，直线MN是过点(3,0)且平行于y轴的直线，在直线MN上是否存在点Q?使得QA+QC的长度 最短.若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由： (3)点P为二次函数图像上的一个动点，且.∠PAB=2∠ACO,求P点的坐标. 6.(24-25九年级上·山东滨州期末)如图①，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(-4,0)和点B(1,0),与y轴 交于点C,点P是直线下方抛物线上的点， 图① 图② (1)求抛物线的解析式： (2)当aPAC的面积是ABC面积的！时，求P点的坐标， (3)如图②，点M是在直线AC上方的抛物线上一动点，当∠MA0=∠OAC时，求点M的坐标. 7.(2025内蒙古通辽·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4的图象交x轴于点A-4,0) 和B(1,0),交y轴于点C.点D(0,2),连接AD. D (1)求抛物线的解析式： (②)点P是在第二象限内抛物线上一个动点，连接AC,PC,PA,当PCA的面积最大时，求点P的坐标 和PCA的面积最大值； (3)抛物线上是否存在一点E,使得∠ABE=2∠DAB,若存在，求点E坐标；若不存在，说明理由. 8.（24-25九年级上江苏扬州阶段练习)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A4,0),C(-1,0)两点，与y轴 交于点B,P为第一象限抛物线上的动点，连接AB,BC,PA,PC,PC与AB相交于点Q. 8/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)求抛物线的解析式： (2)设△AP2的面积为S,△BCQ的面积为S2,当S,-S2=5时，求点P的坐标： (3)是否存在点P,使∠PAB+∠CBO=45°，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由 (4)在抛物线对称轴上是否存在一点M，使△MBC是以BC为斜边的直角三角形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。 9.(2025广东惠州三模)如图，在平面直角坐标系中，点A的横坐标为-1，点B为x轴上一点，抛物线L 经过A,B,O三点，点D(L,-I)为抛物线L的顶点，C为第一象限内一动点.过点A作AE⊥x轴，垂足为 点￡，已知点C到定点1-)的距离与到定直线y=-的距离相等。 D 备用图 (1)求抛物线的解析式与点A,点B的坐标； (2)求证：抛物线L必经过点C; (3)连接AB、AC,当an∠BAC=时，求点C的坐标. 10.(2025湖北武汉·二模)己知抛物线y=-二x2+bx+c的对称轴是直线x=1,与x轴交于A,B两点（点 A在点B的左边)，与y轴交于点cQ引 9/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A O 图1 图2 (1)直接写出抛物线的解析式： (2)如图1，D为第一象限抛物线上一点，连接AD交BC于点T,若∠DTB=3LABC，求点D的横坐标； (3)平移抛物线使它的顶点在原点，如图2，过点P的两直线PE,PF(均不与y轴平行)分别与抛物线有 唯一公共点E,F,PE交y轴于点G,连接FG交抛物线于另一点Q,若PQ∥y轴，试探究线段EG与PG 的数量关系 11.(2025四川遂宁中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c(b、c为常数)的图 像与x轴交于A(-1,0)、B两点，交y轴于点C,对称轴为直线x=1. (备用图) (①)求二次函数关系式， (②)连接AC、BC,抛物线上是否存在点P,使LCBP+∠AC0=45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在， 说明理由， (3)在x轴上方的抛物线上找一点Q，,作射线AQ,使∠BAQ=2∠ACO,点M是线段AQ上的一动点，过点 M作MN⊥x轴，垂足为点N,连结BM,求BM+MN的最小值. 12.(24-25九年级下·重庆·期中)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过点B(-1,0)和点 C(3,0),与y轴交于点A,连接AB,AC. 10/11