精品解析：江苏省苏州市星湾学校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年第一学期期中调研 八年级数学试卷 一、选择题（共10小题，每题2分，共20分） 1. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是一组勾股数的是（ ） A. 1，1， B. ，， C. 6，8，10 D. 5，13，13 3. 若分式有意义，则x满足的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 下列分式中，与分式结果相等的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则的值为（ ） A. 80 B. 96 C. 192 D. 240 6. 如图，在中，垂直平分斜边，交于点 D，E为垂足，连接，若 ，，则的长是（ ） A. B. C. D. 4 7. 下列条件中，不能判定是直角三角形的是 A. B. C. D. 8. 在的边上找一点，使得．下面找法正确的是（ ） A. 如图①以为圆心，为半径画弧，交于点，点为所求 B. 如图②以为圆心，为半径画弧，交于点，点为所求 C. 如图③作的垂直平分线交于点，点为所求 D. 如图④作的垂直平分线交于点，点为所求 9. 如图，图1是数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．标上字母绘成图2所示，记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，点为边上一点，连接，将沿翻折，使点落在点处，点为边上一点，连接，将沿翻折，点恰好与点重合．，则下列结论：①点是的中点；②是等腰三角形；③与互补；④的长是1；⑤的面积是2．其中结论正确的有（ ）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二．填空题（共8小题，每题2分，共16分） 11. 因式分解：________． 12. 当的值为________时，分式的值为零． 13. 如图，在中，是斜边上的中线，，则___________． 14. 最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是 _____． 15. 如图，已知，点在边上，，点在边上，，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 16. 如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是75，则的周长为________． 17. 如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．已知、两点都在格点上，如果点也在图中网格中的格点上且满足是等腰三角形，那么符合条件的点共有________个． 18. 如图，在中，，，，点是边上的一个动点（不与、重合），将沿翻折，点的对应点是点．若以、、为顶点的三角形是直角三角形，则的长度为________． 三．解答题（共9小题，共64分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 分解因式： （1）； （2）． 21. 如图所示，在中，，的垂直平分线分别交于D，E，垂足分别是M，N． （1）若，求的周长； （2）若，求的度数． 22. 如图，一根长的竹竿，斜靠在一竖直的墙上，这时为，杆子的顶端沿墙下滑． （1）求梯子底端外移的距离（的长）； （2）试判断梯子底端外移的距离与顶端下滑距离的大小关系，并说明理由． 23. 如图，中，，，． （1）尺规作图：在边上找一点，使点到的距离等于点到点的距离（请用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若边的垂直平分线与边交于点，求的长． 24. 阅读下列材料，然后解答下列问题： ； ； ； 以上这种化简的方法叫分母有理化． （1）________； （2）（为正整数）________； （3）化简：________； （4）化简下列式子的值：． 25. 借助勾股定理，我们可以在数轴上找到一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，等腰直角三角形的直角边长为1个单位长度，以原点为圆心，斜边长为半径画弧与数轴交于点，则点对应的数为． 拓展思考：如图2，改变图1中三角形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段，其中仍在原点，点在原点的左侧，可由线段的长得到点所表示的无理数，按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点． 任务： （1）点表示的数为______． （2）把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图3中画出裁剪线，并在图4的框中画出所拼得的大正方形的示意图 （3）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图5，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由． 26. 如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接交于． （1）当时，证明：是直角三角形； （2）若，，则______； （3）在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化请说明理由． 27. 已知，如图：在中，，，动点在直线上，过点作，且，连接，探究并解决下列问题： （1）如图①，若点在线段上，且，，则：______；______；______ （2）如图②，若点在的延长线上，猜想，，三者之间的数量关系，并请你给出证明过程； （3）若动点满足，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中调研 八年级数学试卷 一、选择题（共10小题，每题2分，共20分） 1. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义逐项判断即可，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是整式，不符合题意； 、是分式，符合题意； 、是整式，不符合题意； 、是整式，不符合题意； 故选：． 2. 下列各组数中，是一组勾股数的是（ ） A. 1，1， B. ，， C. 6，8，10 D. 5，13，13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握勾股数的定义是解决本题的关键． 根据勾股数的定义，需满足三个正整数且两较小数的平方和等于最大数的平方，由此判断选项即可． 【详解】解：A．不是正整数，不符合勾股数要求； B．，，中均为分数，不是正整数，不符合勾股数要求； C．，是勾股数； D． ，不符合勾股数要求． 故选：C． 3. 若分式有意义，则x满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件：分母不等于0． 4. 下列分式中，与分式结果相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分子分母同乘以一个非零数，分式的值不变是解题关键．根据分式的性质将各选项变形比较即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则的值为（ ） A. 80 B. 96 C. 192 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出，，然后将整式因式分解化简整体带入求解即可 【详解】解：∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为12， ∴，， 则． 故选：B． 【点睛】本题主要考查利用整体代入法求代数式的值，因式分解，理解题意是解题关键． 6. 如图，在中，垂直平分斜边，交于点 D，E为垂足，连接，若 ，，则的长是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，勾股定理．由勾股定理求出，由垂直平分线的性质可得，则，再由勾股定理可得到的长． 【详解】解：∵ 在 中，， ， ∴， ∵ 是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴在 中，， 故选： A． 7. 下列条件中，不能判定是直角三角形的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．根据三角形内角和定理可分析出A、D的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、C的正误． 【详解】解：A、，， ， 为直角三角形，故此选项不合题意； B、∵ ∴设 ， 为直角三角形，故此选项不合题意； C、，即， ， 为直角三角形，故此选项不合题意； D、∵， ∴设，，， ∵ ∴， 解得：， 则， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 8. 在的边上找一点，使得．下面找法正确的是（ ） A. 如图①以为圆心，为半径画弧，交于点，点为所求 B. 如图②以为圆心，为半径画弧，交于点，点为所求 C. 如图③作的垂直平分线交于点，点为所求 D. 如图④作的垂直平分线交于点，点为所求 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，作线段；根据题意得到，根据线段垂直平分线的判定、尺规作图判断即可． 【详解】解：A、由作图知，不会得到，故该选项不正确，不符合题意； B、由作图知，不会得到，故该选项不正确，不符合题意； C、由作图知点在线段的垂直平分线上， ， ，故该选项正确，符合题意； D、由作图知点在线段的垂直平分线上， ， 不会得到，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 9. 如图，图1是数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．标上字母绘成图2所示，记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．根据题意所求阴影部分面积为，再根据所给条件求面积即可． 【详解】解：如图， ，， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选：A． 10. 如图，在中，，，点为边上一点，连接，将沿翻折，使点落在点处，点为边上一点，连接，将沿翻折，点恰好与点重合．，则下列结论：①点是的中点；②是等腰三角形；③与互补；④的长是1；⑤的面积是2．其中结论正确的有（ ）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，得，，，，得到，可判定①正确；结合，可判定②正确；根据折叠的性质，可证，判定③正确；设，由勾股定理，得,解得，判定④⑤错误，解答即可． 本题考查了折叠的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，四边形内角和定理，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据折叠的性质，得，， ，， ∴， ∴点是的中点， 故①正确； ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， 故②正确； 根据折叠的性质，得，，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴与互补， 故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设， ∴， 根据勾股定理，得， ∴, 解得， ∴的长是， ∴的面积是， 故④⑤错误； ∴结论正确的有3个， 故选：C． 二．填空题（共8小题，每题2分，共16分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】． 故答案为：． 12. 当的值为________时，分式的值为零． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴分子，解得， 且分母，即 ． 当 时，分母，满足条件． 故答案为：2． 13. 如图，在中，是斜边上的中线，，则___________． 【答案】70 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题关键．首先根据“直角三角形两锐角互余”可解得的值，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，可证明，即可获得答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴． 故答案为：70． 14. 最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】先将化成最简二次根式，据同类二次根式的定义得出3a-4=2，求出即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，， ∴3a-4=2， 解得：a=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出3a-4=2是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式． 15. 如图，已知，点在边上，，点在边上，，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求线段长，涉及等腰三角形性质、含的直角三角形性质等知识，过点作，如图所示，先由等腰三角形三线合一的性质可知，，，再由含的直角三角形性质求出，数形结合表示出求解即可得到答案，熟记等腰三角形性质、含的直角三角形性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，如图所示： ，， 由等腰三角形三线合一的性质可知，，， 在中，，则， ， ， ， 故选：B． 16. 如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是75，则的周长为________． 【答案】50 【解析】 【分析】连接，过点O作于点E，，作于点F，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形面积公式计算即可得解； 本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键． 【详解】解：连接，过点O作于点E，作于点F， 由，分别平分，，于点，． 故， 故， ， 解得， 故答案为：50． 17. 如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．已知、两点都在格点上，如果点也在图中网格中的格点上且满足是等腰三角形，那么符合条件的点共有________个． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握判定和定理是解题的关键． 根据题意，，根据和进行格点探寻即可． 【详解】解：根据题意，，根据和进行格点探寻，结果如下： 所以符合题意的点C有7个， 故答案为：7． 18. 如图，在中，，，，点是边上的一个动点（不与、重合），将沿翻折，点的对应点是点．若以、、为顶点的三角形是直角三角形，则的长度为________． 【答案】或3 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理及直角三角形的分类讨论，解题的关键是利用折叠得对应边相等，分的直角顶点为或两种情况，结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：设，则，由折叠性质得，． ①当时，过作于，连接，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴，即， 在中，由勾股定理， 解得． ②当时， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，又， ∴． 综上，的长度为或． 故答案为：或． 三．解答题（共9小题，共64分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握各运算法则是关键； （1）先计算二次根式的除法与乘法，再计算减法即可； （2）分别利用完全平方公式与平方差公式展开，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解； （2）展开后利用完全平方公式因式分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 如图所示，在中，，的垂直平分线分别交于D，E，垂足分别是M，N． （1）若，求的周长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）的周长为12 （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用，等边对等角等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）线段垂直平分线的性质得出，，从而可得的周长，进而求得的周长为12； （2）先根据三角形内角和定理求得，再根据等边对等角得出，，从而可求得，进而根据求解． 【小问1详解】 解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，（线段垂直平分线的性质）， ∴的周长， ∵， ∴的周长为12； 【小问2详解】 在中，， ∴， ∵，， ∴，（等边对等角）， ∴（等量代换）， ∴． 22. 如图，一根长的竹竿，斜靠在一竖直的墙上，这时为，杆子的顶端沿墙下滑． （1）求梯子底端外移的距离（的长）； （2）试判断梯子底端外移的距离与顶端下滑距离的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） 梯子底端B外移的距离小于顶端下滑的距离， 理由：，理由要比较与的大小， 只需比较与的大小，即比较与的大小， ∵，，且， ∴， ∴，即． 答：梯子底端B外移的距离小于顶端下滑的距离． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是利用勾股定理求水平距离，通过平方比较无理数的大小来判断长度关系． （1）先在中求，再求下滑后的长度，在中求，由得外移距离； （2）通过比较与的平方大小，推导与的大小关系． 【小问1详解】 解：在中，，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴． 答：梯子底端外移的距离为． 【小问2详解】 略 23. 如图，中，，，． （1）尺规作图：在边上找一点，使点到的距离等于点到点的距离（请用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若边的垂直平分线与边交于点，求的长． 【答案】（1）则点P即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线，交于点，即可得解； （2）设，则，根据勾股定理，得，计算即可． 本题考查了线段的垂直平分线的性质，勾股定理，角的平分线基本作图和性质，点到直线的距离的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：作的角平分线，交于点． 【小问2详解】 解：由， 得， 设，则， 根据勾股定理，得， 解得， ∴． 24. 阅读下列材料，然后解答下列问题： ； ； ； 以上这种化简的方法叫分母有理化． （1）________； （2）（为正整数）________； （3）化简：________； （4）化简下列式子的值：． 【答案】（1） （2） （3）6 （4）4 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算： （1）利用分母有理化进行计算即可； （2）利用分母有理化，进行计算即可； （3）先进行分母有理化，再进行计算即可； （4）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 25. 借助勾股定理，我们可以在数轴上找到一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，等腰直角三角形的直角边长为1个单位长度，以原点为圆心，斜边长为半径画弧与数轴交于点，则点对应的数为． 拓展思考：如图2，改变图1中三角形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段，其中仍在原点，点在原点的左侧，可由线段的长得到点所表示的无理数，按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点． 任务： （1）点表示的数为______． （2）把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图3中画出裁剪线，并在图4的框中画出所拼得的大正方形的示意图 （3）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图5，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由． 【答案】（1） （2）如同： （3） 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片， 理由：正方形纸片的面积为，故其边长为． 设长方形的宽为，则长为， 由面积得：，即，解得， ∴长方形的长为． ∵，，且， ∴，即长方形的长超过了正方形的边长． 答：小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、数轴上无理数的表示，解题的关键是结合图形构造的线段长度，确定数轴上点对应的数． （1）根据图2中直角三角形的边长，结合圆弧的圆心与半径，确定点B表示的数； （2）由小正方形总面积确定大正方形边长，进行裁剪拼接； （3）通过计算长方形与正方形的边长，判断能否裁出． 【小问1详解】 解：图2中，构造的直角三角形直角边长为1，由勾股定理得斜边长为， 以数轴上表示1的点为圆心，为半径画弧，交原点左侧的数轴于点B， 则点B表示的数为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：5个小正方形的总面积为，故大正方形的边长为． 裁剪线：在图3中，将右上角小正方形沿对角线裁剪为两个直角三角形，再分割左侧的正方形（裁剪线如下图左所示）； 拼接示意图：将裁剪后的部分拼接成边长为的正方形（如下图右所示）． 【小问3详解】 略 26. 如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接交于． （1）当时，证明：是直角三角形； （2）若，，则______； （3）在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）4 （3）线段的长不会发生变化，且 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，等腰三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． （1）根据题意，，结合， 证明，根据，可证即可证明是直角三角形； （2）根据，结合，证明是直角三角形；再利用直角三角形的性质解答即可； （3）设，则，过点P作交于点F，证明 是等边三角形，得，证明， 得到，结合，解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4； 【小问3详解】 解：线段的长不会发生变化，且，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 过点P作交于点F， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故线段的长不会发生变化，且为． 27. 已知，如图：在中，，，动点在直线上，过点作，且，连接，探究并解决下列问题： （1）如图①，若点在线段上，且，，则：______；______；______ （2）如图②，若点在的延长线上，猜想，，三者之间的数量关系，并请你给出证明过程； （3）若动点满足，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，得，结合，得到，利用勾股定理求的长即可； （2）根据题意，证明，等量代换解答即可． （3）分点P在线段上，的延长线上和反向延长线上三种情况，利用三角形全等，勾股定理解答即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：，，的关系为，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：当点P在的延长线上时， ∵， 不妨设， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴，（舍去）， 根据（2）证明，得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在上时， ∵， 不妨设， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴，（舍去）， 根据（2）证明，得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在的反向延长线上时，不成立； 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $