专题02 解直角三角形的应用（6大题型）（专项训练）数学苏科版九年级下册

专题03 解直角三角形的应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、仰角俯角问题 1 题型二、坡度坡比问题 5 题型三、方向角问题 9 题型四、坡度坡比与仰角俯角综合问题 15 题型五、解直角三角形应用之特殊三角形问题 22 题型六、解直角三角形应用之特殊四边形问题 26 B综合攻坚・能力跃升 题型一、仰角俯角问题 1.（24-25九年级上·河南周口·期末）2024年12月，西安电子科技大学电子工程学院李龙教授课题组在无线能量传输和无线定位领域取得突破性进展，实现了自适应追踪的无线能量传输，能够让动态无线充电更高效，其未来应用有望让无人机边飞边充电．如图，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点A处，测得点A与地面的距离为，测得点C的俯角；控制无人机水平移动至点D，测得，楼顶C点的俯角．点A，B，C，D在同一平面内，求大楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到） 【答案】约为 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用．延长交于点F，分别在和中，利用正切定义求出，，可构建关于的方程，求解即可． 【详解】解：延长交于点F， 根据题意，得，， 在中，， 在中，， ，解得， ， 答：大楼的高度约为． 2.（2025·浙江杭州·二模）如图，高层大楼前面建有一层地上车库，车库的对面有一幢低层楼房．某校数学实践活动小组想要测量高层大楼的高度，他们在楼房的窗户口点处测得车库地面边缘点的俯角为，测得大楼顶端D的仰角为．已知，车库长度（点B，F，C在同一水平直线上，参考数据：，，，结果精确到） 【答案】高层大楼的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——俯角仰角问题．过点E作于点H，在中，解直角三角形求出，继而求出，在中，根据三角函数的定义求出，即可求出. 【详解】解：过点E作于点H，则四边形是矩形， 由题意得： ，，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵,， ∴， ∴ 答：高层大楼的高度约为． 3.（2025·湖南长沙·模拟预测）在校园科技节中，小星和小麓设计了“制作测角仪，测量旗杆高度”的探究活动．如图，小星在处测得旗杆顶端的仰角为，小麓在处测得旗杆顶端的仰角为，已知两人所处位置的水平距离米，处距地面的垂直高度米，处距地面的垂直高度米，点在同一条直线上． (1)求的长度； (2)求旗杆的高度．(结果保留根号) 【答案】(1)（米） (2)旗杆的高度为米 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，理解图示，掌握解直角三角形的计算是关键． （1）根据题意得到四边形和四边形为矩形，结合图形即可求解； （2）根据题意，设长为x米，则（米），根据，，分别求出，结合列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴四边形和四边形为矩形， 米，米， （米）； （2）解：设长为x米，则（米）， ，，， ， ，， ， 由（1）得四边形和四边形为矩形， ， 米， ， 解得， 米， 答：旗杆的高度为米． 4.（2025·江西·模拟预测）如图1，滕王阁，江南三大名楼之一，位于江西省南昌市，始建于唐朝永徽四年，因初唐诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．数学实践小组要测量滕王阁的高度，如图2，小组成员甲在点A 处测得滕王阁最高点 C 的仰角，再沿正对滕王阁方向前进至 B 处测得最高点C的仰角，小组成员乙在点G处竖立标杆，点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，． (1)求滕王阁的高度；(结果精确到1m ，参考数据： (2)求乙同学与滕王阁之间的距离． 【答案】(1)滕王阁的高度约为58 m (2)乙同学与滕王阁之间的距离约为m 【分析】本题考查解直角三角形和相似三角形的应用，解题关键是利用仰角构造直角三角形，结合三角函数的定义以及相似三角形的判定与性质来建立等式求解． （1）在中，因为，根据等腰直角三角形的性质，可得．已知，所以．在中，利用正切函数，将代入，得到关于的方程，进而求解出的长度． （2）由题意可知，且，所以可判定．根据相似三角形的性质，对应边成比例，即，将已知的，，代入，求出的长度，最后用即可得到的长度． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ． 在 中，， 解得： 答：滕王阁的高度约为58 m； （2）由题意知，，， ∴， 即 解得 ． ， 答：乙同学与滕王阁之间的距离约为m． 题型二、坡度坡比问题 5.（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，某超市门口要修建一座跨度为24米的人行天桥即米，，天桥架空高度为6米与之间的距离为6米，若天桥两边的斜坡，的坡度均为，求人行天桥的桥面的长度． 【答案】人行天桥的桥面的长度为6米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键；作出辅助线，根据坡度比例，进行计算可得米，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点D作于点E，过点C作于点F， 由题意得：，米， ∵天桥两边的斜坡，的坡度均为， ∴, ∴米， ∵米， ∴米， ∴人行天桥的桥面的长度为6米． 6.（2024·广东·二模）阳光下，电线杆落在一段斜坡和水平地面上的影子分别是和，小亮量得，斜坡的坡度为，小亮的身高，此时他在水平地面上的影子长为，求电线杆的长度（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，三角函数，相似三角形的应用，利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即在同一时刻物高与影长的比相等．过点D作交的延长线于点E，于F， 根据坡度的定义可得，再根据三角函数可得，再根据相似三角形的性质可得，即可得解． 【详解】解：过点D作，交的延长线于点E，于F， 则， 四边形为矩形， ， 在中，斜坡的坡度为， 则， ， ，， ， ∵小亮的身高，此时他在水平地面上的影子长为， ， ， ， 答：电线杆的长度为． 7.（2025·山东·模拟预测）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米． (1)请求出的长； (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 【答案】(1)2.6米 (2)该车库入口的限高数值为2.4米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线． （1）根据，得出，即，求出米，得出（米）； （2）过点D作于H，证明，得出，设，，根据勾股定理求出，根据米，得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴米．　　 ∵米， ∴（米）； （2）解：过点D作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵米， ∴， 解得， ∴（米）， 答：该车库入口的限高数值为2.4米 8.（2025·湖南长沙·三模）今年“五一”假期，某教学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下A点出发沿斜坡到达B点，再从B点沿斜坡到达山顶C点，路线如图，斜坡的长为米，斜坡的长为米，坡度是，已知A点海拔121米，C点海拔721米． (1)求斜坡的坡度； (2)为了方便上下山，若在A到C之间架设一条钢缆，求钢缆的长度． 【答案】(1) (2)1000米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度问题，勾股定理的应用，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键． （1）根据题意，结合图形，利用斜坡的坡度，求出，的长，结合已知条件，得到，的长，从而得到结果； （2）根据题意，得到，的长，利用勾股定理得到结果． 【详解】（1）解：作于点，作 于点，作于点，连接， 斜坡的长为米，坡度是， ，， 米， 点海拔121米，点海拔721米， 米， （米， 斜坡的长为米， （米， ， 即斜坡的坡度是； （2）解：米，（米）， （米）， 答：钢缆的长度是1000米． 题型三、方向角问题 9.（25-26九年级上·重庆·阶段练习）中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，作出辅助线并正确地进行计算是解题关键． （1）如图，过D作于H，过C作于E，证明四边形为矩形，分别求解，，，，可得答案； （2）如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米，连接，过点M作于点F，分别用含x的代数式表示出、、，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：过D作于H，过C作于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴千米，， 根据题意得，，，而千米， ∴（千米）， ∴千米，（千米）， ∵， ∴千米， ∴（千米）； （2）解：如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点M作于点F， 由（1）可得千米， ∴千米，在左边， ∵， ∴千米，千米， ∴千米， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴千米； 即小南出发千米后恰好与小开相距千米． 10.（2025·广东深圳·模拟预测）如图为某景区五个景点、、、、的平面示意图，点、在的正东方向，点在点的正北方向，、在的北偏西方向上，在的西北方向上，、相距，在的中点处． (1)求景点、之间的距离； (2)求景点、之间的距离(结果保留根号)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用问题，通过作适当的辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题解决；解直角三角形中，三角函数的概念、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识要熟练掌握． （1）利用角的正弦即可求得的长，从而易得的长； （2）过点作于点，在中利用三角函数可求出、的长，在等腰中即可求得． 【详解】（1）解：由题意得，，，． ， ， ． 点在的中点处， （m）； （2）解：如图，过点作于点． 在中， ． 在中，， (m)． 11.（25-26九年级上·重庆·阶段练习）“梨花风起正清明，游子寻春半出城”．如图，某校在公园开展了寻春活动，小依和小钟同时从公园大门（A地）步行出发，约定在停车场（D地）汇合．小依先沿北偏东的方向走到达和善亭（B地），然后继续向东北方向走到达和雅亭（C地），到达C地后停留了3分钟整理沿途采集的植物，整理完毕后再到停车场（D地），D地在C地的南偏东方向．小钟从A地出发后，先沿正东方向到达和志亭（E地），再沿北偏东方向到达D地，E地恰在C地的正南方向． (1)请求出的长度：（结果保留根号） (2)若小依步行的速度为，小钟步行的速度为，请问小依和小钟谁先到达停车场（D地）？通过计算说明．（计算结果保留到整数，参考数据：） 【答案】(1) (2)小依先到停车场，说明见过程 【分析】本题考查了解直角三角形，正确做出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点B作于点E，过点B作于点G，则四边形是矩形，解直角三角形求得即可解答； （2）延长交于点I，过点E作于点H，解直角三角形求得小依和小钟走过的路程，再计算时间即可． 【详解】（1）解：过点B作于点F，过点B作于点G，则四边形是矩形， ∴， 根据题意得：， 在中，， 在中，， ∴； （2）解：小依先到停车场，说明如下： 如图，延长交于点I，过点E作于点H， 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 则小依走过的路程为， ∴小依所用的时间约为， 小钟走过的路程为， ∴小钟所用的时间约为， ∵， ∴小依先到停车场． 12.（2025·山西临汾·模拟预测）如图，，是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在点处遇险发出求救信号，此时测得点位于观测点的北偏东方向上，同时位于观测点的北偏西方向上，且测得点与观测点的距离为海里． (1)求观测点与点之间的距离； (2)有一艘救援船位于观测点的正南方向且与观测点相距海里的点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为海里小时，求救援船到达点需要的最少时间． 【答案】(1)海里 (2)小时 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义． （1）过点作于点，根据题意可得，海里，根据勾股定理可得海里，由，即可得结论； （2）作于点，证明四边形是矩形，可得海里，海里，根据勾股定理求出的长，进而可得救援船到达点需要的最少时间． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 根据题意可知：，海里， 海里， ， 海里， 海里． 答：观测点与点之间的距离为海里； （2）解：如图，作于点， ，，， 四边形是矩形， 海里，海里， 海里， 在中，根据勾股定理，得 海里， 小时． 答：救援船到达点需要的最少时间是小时． 题型四、坡度坡比与仰角俯角综合问题 13.（2025九年级·四川宜宾·专题练习）校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，， ，，） (1)求点B距水平地面的高度； (2)求广告牌的高度． 【答案】(1)6米 (2)米 【分析】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段． （1）过点B作，垂足分别为M、N，由坡度的含义可求得，由含30度角的直角三角形的性质即可求得结果； （2）先推导出，在中可求得的长，从而可得；再由，可得，进而得的长；在中由三角函数知识可求得，根据即可求得的长． 【详解】（1）解：如图，过点作，，垂足分别为， ∴， ∵， ∴， ∴米， 即点距水平地面的高度为6米； （2）由（1）及题意，得， ∴四边形是矩形， ∴米， （米）， ∴米， ∵， ∴米， ∴米， 在中，，米， ∴（米）， ∴ （米） 答：广告牌的高约8.4米． 14.（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌．该校九年级班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡的坡角为，参考数据：，，，；精确到米 (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 【答案】(1)综合楼的高度为 (2)宣传牌的高度为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正切的定义求出； 过点B作于F，，交的延长线于G，解求出，进而求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】（1）解：在中，，米， ， ， 答：综合楼的高度约为； （2）解：如图，过点B作于F，，交的延长线于G， 则四边形为矩形， ，， 由题意得，而米， ∴在中，， ， ，， ， ， 答：宣传牌的高度约为． 15.（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号 (2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 【答案】(1)米 (2)米 【分析】此题是解直角三角形的应用—仰角，俯角问题，主要考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． （1）利用坡度和直接求出点距水平面的高度； （2）借助（1）得出的结论，可求出的长，在直角三角形中，可求出的长，进而可求出的长，在直角三角形中可求出的长，利用计算即可． 【详解】（1）如图，过点作于， 在中，坡面米，山坡的坡度， ， ， 米，米； 点距水平面的高度为米． （2）如图，过点作于， 由（1）知，米，则米， 米，， 米， 米， ， 米， 米， 答：条幅的长度是米． 16.（2025·四川广元·模拟预测）如图，信号塔坐落在山丘的一侧，某维护人员为了测量信号塔的高度，他在山脚下的点处测得塔尖的仰角为，再沿着坡度为的斜坡向上走了米到达点处，此时测得塔尖的仰角为．(图中各点均在同一平面内) (1)求点到地面的距离； (2)求信号塔的高度(结果保留根号)； (3)若维护人员从点处沿水平方向前行一段距离到点处，测得塔尖的仰角为，求的长度． 【答案】(1)米 (2)米 (3)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键； （1）过点作，垂足为，根据得出，进而根据．即可求解； （2）设米，得出)米，米，解，即可求得的长； （3）解，得出米，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为． 坡度，米， ， ． 在中． 米． （2）由（1）可得，米． 如图，过点作，垂足为． 设米， ， 米． )米，米． 在中，， 米． （3）在中，， 即 米． 由（2）可得(米)． (米)． 题型五、解直角三角形应用之特殊三角形问题 17．（23-24九年级上·河北保定·期末）小明同学用木板制作一个带有卡槽的三角形支架，如图所示，已知，，，小明的平板宽度为17cm，卡槽与等长，小明同学能否将平板放入卡槽内？请说明你的理由．（提示：，，） 【答案】能，理由见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．作于点，解直角三角形得，，进而利用勾股定理得，比较，即可得解． 【详解】解：小明同学能将手机放入卡槽内． 理由如下： 如图所示，过点A作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴小明同学能将手机放入卡槽内． 18．（2024·安徽合肥·一模）华为手机自带测量工具，用手机就能测量长度和身高，测距的原理可以简单概括为三角形测量法．如图①为学校外墙上的浮雕像，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准浮雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出浮雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者与浮雕像垂直于地面，若手机显示，，，求浮雕像的高度．（结果精确到，参考数据，，，） 【答案】浮雕像的高度约为2.0米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，将解直角三角形与实际问题结合，需要构造合适的直角三角形．过点于F点，在中，求出，即可得到，再利用勾股定理即可求出． 【详解】.解：过点于F点， 在中，，， ，， ， ∴在中， . 答：浮雕像的高度约为． 19．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，一扇窗户打开后可以用窗钩将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边上，且，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽上移动，、、构成一个三角形．当窗钩端点与点之间的距离是的位置时（如图，即），窗户打开的的度数为．（参考数据：，，） (1)求点到的距离的长； (2)求窗钩的长度． 【答案】(1)点到的距离的长为； (2)窗钩的长度约等于． 【分析】（）在中, 根据即可求得； （）在中，根据，再根据，求出，然后根据勾股定理即可求出； 本题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 【详解】（1）解：根据题意，可知，，，， 在中，， ∴点到的距离的长为； （2）解：在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴窗钩的长度约等于． 20．（2025·辽宁沈阳·二模）图1和图2为某品牌手机支架的宣传海报． (1)如图1，宣传海报中介绍该产品“强力支撑不晃动”是因为该产品设计具有三角形结构，这样设计的依据是什么? (2)如图2，宣传海报中介绍该产品“5挡调节，轻松解决多种角度需求”是指该手机支架提供至之间的五个角度挡位． 图3为该手机支架位于角度挡位时的示意图，将其抽象得到图4，手机固定板和底板形成的，和的长度均为，挡位点位于底板中点处，此时支撑板与底板形成的，求支撑板的长． (3)如图5，当该手机支架位于角度挡位时，支撑板底端卡在点处，手机固定板和支撑板的长度不变，手机固定板和底板形成的，点A和点到的距离分别为， 的长，手机固定板顶端由点A的位置变化到点的位置，高度差记为，求h的值．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1)三角形具有稳定性 (2) (3) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）根据三角形的稳定性，可得到结论； （2）利用勾股定理求出长，在中利用三角函数求出，即可得到结果； （3）根据题意，结合图形，在中求出，在中求出，即可得到结果． 【详解】（1）解：三角形具有稳定性． （2）解：由题意可知． 过点O作， ∴． ∵，点为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴支撑板的长约为． （3）解：如图，在中，，， ∵， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 题型六、解直角三角形应用之特殊四边形问题 21.（2025九年级下·江西·专题练习）如图（1）是一座塑像，图（2）是它正面的抽象示意图，它是由三个全等的平行四边形组成的（部分重叠），已知水平地面，，，，， (1)求此塑像正面抽象示意图的周长（含段）； (2)求此塑像的高．（结果保留1位小数）（参考数据： ，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用和平行四边形的判定与性质，利用辅助线构造出对应的平行四边形和直角三角形是解题的关键． （1）延长交于点T，延长交的延长线于点R，由此可得四边形是平行四边形，再由，可得，根据，，，可得，即可求解出此塑像正面抽象示意图的周长； （2）过点G作于点M，则，由可得，由（1）易得，根据即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长交于点T，延长交的延长线于点R， 塑像由三个全等的平行四边形组成， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， ，，    ，， ， ， ，，， ， ， 此塑像正面抽象示意图的周长为； （2）如上图，过点G作于点M，则， ， ， ， 由（1）可知：，， ， ， 答：此塑像的高约为． 22.（2025·湖南岳阳·一模）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） (1)______，______． (2)求的长； (3)该充电站有20个停车位，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由矩形的性质得到，，故，，即可作答． （2）先由矩形的性质得到，再解得到，接着解直角三角形得到，进而求出，据此可得答案； （3）解得到，解得到，再根据有20个停车位计算出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵矩形是其中一个停车位． ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， （3）解：在中，， 在中，， ∵该充电站有20个停车位， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 23.（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）某数学小组用五个全等的菱形设计一个左右对称的无人机模型，如图所示的是该无人机模型的两种设计方案的俯视图，其中A，D，F，G四点始终在同一条直线上，图形关于直线对称． (1)如图1，若B，C，D，E四点在同一条直线上，连接，__________； (2)如图2，若菱形的边长为，，求点N到点G的距离，（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，进而得出，，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）连接交于点P，首先得出，然后根据对称的性质得到，，，然后解直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：∵五个菱形两两全等， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图所示，连接交于点P ∵菱形的边长为， ∴， ∵A，D，F，G四点始终在同一条直线上， ∴， ∵图形关于直线对称， ∴点N和点G关于直线对称， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴． 24.（2025·吉林松原·模拟预测）图①是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图②，并测得正方形与正方形的面积相等，且，，求的长（参考数据：0.91，）． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质以及解直角三角形，解题的关键是利用正方形的性质和三角函数来求解线段长度． 根据正方形与正方形的面积相等，得到，由于，证明四边形是平行四边形，得到，，作于点，在中，根据三角函数的定义，求得，从而计算出的长度． 【详解】解：正方形与正方形的面积相等， ，， 四边形是平行四边形， ， 作于点，则， 在中， ， ， 解得， 一、单选题 1．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，小丽从点A出发，沿坡度为的坡道向上走，若她沿垂直方向升高了20米到达点B，则她在水平方向走了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：米， ， 米 她在水平方向走了米， 故选：A． 2．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）为测量小河的宽度，小明在河两岸，测得大楼楼顶的仰角分别为，．若大楼的高为，则的长可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解直角三角形分别求出的长，则可求出的长． 【详解】解：由题意得，， 在中，， 在中，， ∴， 故选：C． 3．（25-26九年级上·山东济宁·期中）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解直角三角形的方位角应用．过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为． ， ， ． ， 在中， ， ． ， 依题意， 则 在中， ， ， ． 故选：C 4．（25-26九年级上·广西贵港·期中）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度约是___________．（结果精确到0.1m，参考依据： ，（　　） A．2.1 B．1.9 C．1.8 D．1.6 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数的定义求出顶端离地面的高度，再与选项对比得出答案． 【详解】解：过点作于点． ∵ ，， ∴ 是直角三角形，． 在中，，， ∵ ， ∴ ． 故选：C． 5．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足的折射定律如图1所示：折射率（代表入射角，代表折射角）．小明为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不到物块．图3是实验的示意图，点，，在同一直线上，测得，，．则光线从空气射入水中的折射率的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，勾股定理．过D作于G，则四边形是矩形，利用勾股定理求出，可得，，求解，；代入计算即可． 【详解】解：，，， ， 过D作于G，则四边形是矩形， ，， ， ， ； 折射率． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26九年级上·陕西西安·期中）河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡度为（坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长是 ． 【答案】米 【分析】本题考查了坡度的定义，解题的关键是根据坡度的定义（铅直高度与水平宽度的比）建立比例关系． 根据坡度的定义“坡度”，已知米，代入比例式，计算得的长． 【详解】解：迎水坡的坡度为， 米， 米， 故答案为：米． 7．（25-26九年级上·上海·期中）如图，一艘船从处向北偏西的方向行驶3海里到处，再从处向正东方向行驶5海里到处，此时这艘船与出发点处相距 海里. 【答案】 【分析】此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数得出，解答． 根据直角三角形的三角函数得出，，进而得出，利用勾股定理得出即可． 【详解】解：如图： ， ， ，海里， 海里，海里， （海里）， （海里）， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·上海·期中）校园安全体现在每个方面，校园安全无小事．校内相关部门提醒校内行车司机；为了安全请勿超速；并在进一步完善各类监测系统．如图，在校内某直线路段内限速16米/秒，为了检测车辆是否超速，在路旁设立了观测点，从观测点测得一小车从点到达点行驶了14秒钟，已知米，则此车 （“有”或者“没有”）超速； 【答案】没有 【分析】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出的长是解题关键． 根据题意结合锐角三角函数关系得出的长，进而求出汽车的速度，进而得出答案． 【详解】解：此车没有超速．理由如下： 过点作于点， ， ， ∵，米， 则， 解得：米， ， ∴车速为． ∵， ∴此车没有超速， 故答案为：没有． 9．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）丹凤朝阳是座落于唐山市南湖景区的一座巨型雕塑．在某校科技小组实践活动中，淇淇借助无人机测量雕塑的高度，采用如下的测量方案： 如图，淇淇在离雕塑水平距离为的台阶上升起无人机，无人机首次悬停在点正上方的点处，测得雕塑的顶部处的俯角的正切值是，此时无人机离地面的高度为，之后无人机沿水平方向匀速飞行至点．已知淇淇的眼睛离地面的高度． （1）雕塑的高度为 ； （2）若无人机的速度为，飞行时间为秒．则无人机被雕塑遮挡离开淇淇视线时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形——仰角和俯角，相似三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）延长交于点，四边形为矩形，设米，则米，根据正切值的定义得出，，即可得关于的方程，解方程即可； （2）当无人机运动到时，连接，当刚好过点时，无人机被雕塑遮挡离开淇淇视线，过点作交于点，易证，然后利用相似三角形的性质，求得，结合题意求得此时的值，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图，延长交于点， 由题意得，， ∴四边形为矩形， 米，米，， 设米，则米， 顶部处的俯角的正切值是， ， ， ， 解得， 雕塑的高度为米； 故答案为：70； （2）如图，当无人机运动到时，连接，当刚好过点时，无人机被雕塑遮挡离开淇淇视线，过点作交于点， 则， 四边形是矩形， 米，米， 米，米， 四边形为矩形， ， 又， ， ， ，即， 米， 米， 此时秒， 当时，无人机被雕塑遮挡离开淇淇视线． 故答案为：． 10．（2025·福建·模拟预测）手机支架已经很广泛的应用于生活当中，如图是手机支架，如图是手机支架的侧面示意图，人俯看手机，点为观测点，线段长度保持不变，绕点逆时针进行转动可以调整视角，在支架示意图中，水平观测点，观测点到的距离为，则观测点到直线的距离长为 ；若线段，当从铅锤位置第一次转到位置时，视线恰好经过点，则相对点上升了 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理．过点A作于点G，则，，利用，可得，，从而得到，在中，利用勾股定理可得，从而得到；连接，过点作于点H，则点B、、D三点共线，可得，可设，，在中，利用勾股定理可得（舍去），从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点G，则，， 在中，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 如图，连接，过点作于点H，则点B、、D三点共线， 在中，，， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴可设， ∴， 在中，，， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∵， ∴． 即相对点上升了． 故答案为：32； 三、解答题 11．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）苏州水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点，，在同一条直线上） (1)求两滑梯的高度差； (2)两滑梯的底端分别为，求的长．（结果精确到．参考数据：，tan40°） 【答案】(1)两滑梯高度差为； (2)长． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用． （1）通过解，求出，再通过即可求出两滑梯的高度差． （2）通过解，求出，通过解，求出，再通过 ，代入数值计算即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∴， 答：两滑梯高度差为； （2）解：在中 ， ，， ∴， 在中， ，， ∴， ∴ 答：长． 12．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，B地位于A地的正东方向，D地位于B地正北方，且位于A地北偏东，D与A相距1800m．C地位于B地北偏东方向上，且C与B地相距800m，E地位于D地南偏东方向上，且位于C地正北方． (1)请求出C、E两地间的距离．（结果保留根号） (2)甲以每分钟90米的速度从D出发，沿路线D→A→B跑步前进，与此同时，乙以每分钟60米的速度从D出发，沿路线D→E→C→B步行前进，通过计算说明，甲、乙两人谁先到达B地．（结果精确到）（参考数据：，，） 【答案】(1)C、E两地间的距离为 (2)甲先到达B地 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，掌握作辅助线构造适当的图形是解题的关键． （1）先证是等腰直角三角形，求出的长度，再过E点作交于点F，得到等边和平行四边形，利用边的转换即可求解． （2）利用路程除以速度得到甲乙两人前进的时间，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可知， 是等腰直角三角形， m， 如图，过E点作交于点F， 又， 四边形是平行四边形， ， 是等边三角形， ， ． （2）根据题意，可知 甲所需时间为（分）， 乙所需时间为（分）， ， 甲先到达B地． 13．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）“大搬快聚”让老百姓过上了幸福的生活．如图①是丽水市政府给某贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，） (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求这栋房屋高． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． （1）根据题意得到，，，解直角三角形即可得到结论； （2）过作于，设，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）解：房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，， ，，， 在中，，， ，， （米）； 答：屋顶到横梁的距离约为米； （2）过作于， 设， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 米， ， 解得：， ∴米， （米）， 答：房屋的高约为米． 14．（2025·广东东莞·一模）如图1是一款厨房常用的防烫取盘器，图2是其侧面示意图．经测量：支架，托盘器外沿．支架可绕点A转动，，．经调研发现，当时，操作人员手势自然． (1)当点D和点E重合时，求的度数； (2)若一圆形盘盘口的直径为，请判断此时操作人员用该取盘器手势是否自然． （参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2)此时操作人员取盘手势不自然 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）根据题意连接，结合图形，分别在和中，求出、的度数，从而得到结果； （2）连接，过A点作于点H，在中，求出的度数，从而得到的度数，即可得到结果． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ， ∵在中，，， ， ． 同理可得，， 点D，E重合， ． （2）解：如图，连接，过A点作于点H， ，， ， 在中， ， ， ， ， 此时操作人员取盘手势不自然． 15．（25-26九年级上·浙江·月考）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为为支杆，它可绕点B旋转，其中长为为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：） (1)如图2，当B、C、D三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点D距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，如图3所示，且点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键． （1）如图所示，过点D作，过点B作于点E，则，由题意得到，在中，，可得，再根据，即可求解； （2）如图所示，过点D作，过点C作，交于点K，H，则，，在中，由，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点D作，过点B作于点E，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴端点D距离地面的高度为； （2）解：如图所示，过点D作，过点C作，交于点K，H， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 16．（25-26九年级上·河北唐山·期中）图1是某云梯消防车停在地面上演练救援的场景，图2是其侧面示意图，车身高米（），为车身长，且，云梯可绕点O旋转，点O、D、B在同一直线上，可伸缩，套管米，液压杆底端C为上的固定点，米．在现在工作状态下，．求此时： (1)救援高度点B到地面的距离是多少米； (2)的值． （参考数据：，结果精确到0.1） 【答案】(1)救援的高度为13.7米 (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解答本题的关键． （1）过点B作，延长交于点Q，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答； （2）过点D作于点P，依次求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图作，延长交于点Q． ∴． ∵， ∴． ∴四边形为矩形． ∴． 在中， ∵， ∴． ∴． ∴． 此时救援的高度为13.7米． （2）解：作， ∴． ∵， ∴． 在中， ∵， ∴． ∴． ∴． 17．（2025·江西吉安·二模）某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（结果精确到） (1)求点G到支撑脚的垂直距离． (2)如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为，求背垫旋转的度数． （参考数据：，，，）． 【答案】(1) (2)背垫旋转的度数为 【分析】此题考查三角函数的实际应用， （1）过点G作于点H，利用正弦公式求出即可； （2）过点G作，交的延长线于点M，由题意得，得到，在中，根据余弦求出，由此得到，进而得到背垫旋转的度数 【详解】（1）解：过点G作于点H， 在中，， ∴， ∴ ∴点G到支撑脚的垂直距离约为． （2）过点G作，交的延长线于点M， 由题意得 ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴背垫旋转的度数为 18．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）图1是一款落地式三杆折叠晾衣架，该晾衣架固定杆，，，的长度都相同，加粗杆，的长度也都相同，使用中，加粗杆始终与水平地面垂直，晾衣架的宽度最宽可拉伸到，最窄可拉伸到，点，始终在加粗杆的相同高度上，且，图2是其最窄状态下的示意图，此时固定杆与加粗杆的夹角，．（固定杆及加粗杆的厚度忽略不计） (1)求固定杆的长度． (2)将晾衣架从最窄拉伸到最宽，此时，求，两点之间缩短的距离． （计算过程和结果都精确到；参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，求出，判断四边形是矩形，得， 由正弦定义即得的长度约为． （2）当晾衣架最宽时，，，由勾股定理求出；当晾衣架从最窄时，，由正切定义求出．即得E、F之间的距离大约缩短了． 【详解】（1）解：连接． 由题意知，，． ∴． ∵垂直于， ∴． ∴ ∵A，E始终在加粗杆的相同高度上， ∴． ∴四边形是矩形． ∴． ∴． ∴． 答：固定杆的长度约为． （2）当晾衣架从最宽时， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 当晾衣架最窄时， ∵， ∴． ∴E、F间缩短的距离为． ∴． 答：E、F之间的距离大约缩短了． 【点睛】本题考查了解直角三角形应用．熟练掌握矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，按比例分配，平行线判定和性质，单位之间的换算，是解题的关键． 19．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）阅读理解：如图1，在中，，，分别是，，的对边，，其外接圆半径为．根据锐角三角比的定义：，，可得，即（规定）． 探究活动：如图2，在锐角中，，，分别是，，的对边，其外接圆半径为，如图，过点作直径交于点，连接， ，， ， ， 根据上面的思路，试探究： （用，或连接）． 初步应用：事实上，以上结论适用于任意三角形．在中，，，分别是，，的对边，，，，求． 综合应用：如图3，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼的高度，在处用测角仪测得地面点处的俯角为，点处的俯角为，，，在一条直线上，且，两点的距离为100米，求楼的高度．（结果保留根号）（参考数据：）． 【答案】探究活动：，；初步应用；综合应用 【分析】本题主要考查了圆周角定理，锐角三角函数等知识，读懂材料，并能熟练运用结论是解题的关键． 探究活动：由锐角三角函数可得，可得解； 初步应用：将数值代入可求解； 综合应用：由锐角三角函数即可求解． 【详解】解：探究活动：如图，过点C作直径交于点D，连接， ∴， ∴， ∴， 同理可证：，， ∴， 故答案为：，； 初步应用： ∵，，，， ∴， ∴， ∴； 综合应用： 如图， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 设楼，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴楼的高度约为． 20．（25-26九年级上·福建泉州·期中）便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命．通过对桥梁的试验监测，可以了解其使用性能和承载能力，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料．某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，如图，为的中点． 桥梁模型展示状态一（空水桶）状态二（水桶内加一定量的水） (1)该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是__________． A．三角形具有稳定性  B．两点确定一条直线  C．两点之间线段最短 (2)在图1的水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变．若其他因素忽略不计，测得，请计算此时水桶下降的高度． （参考数据：） 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了三角形的稳定性，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解答本题的关键． （1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）根据题意可证是等腰直角三角形，则可以设，再在中利用锐角三角函数的关系即可求解． 【详解】（1）解：综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性． 故选A． （2）解：根据题意知，，是的中点， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， 设，则， 在中，， ，即， 解得， ， 此时水桶下降的高度为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03解直角三角形的应用 目录 A题型建模·专项突破 题型一、仰角俯角问题 .1 题型二、坡度坡比问题 … 题型三、方向角问题… .5 .9 题型四、坡度坡比与仰角俯角综合问题 .15 题型五、解直角三角形应用之特殊三角形问题 22 题型六、解直角三角形应用之特殊四边形问题.… 26 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、仰角俯角问题 1.(24-25九年级上·河南周口·期末)2024年12月，西安电子科技大学电子工程学院李龙教授课题组在无线 能量传输和无线定位领域取得突破性进展，实现了自适应追踪的无线能量传输，能够让动态无线充电更高效， 其未来应用有望让无人机边飞边充电.如图，某人利用无人机测量大楼BC的高度，无人机在空中点A处， 测得点A与地面的距离为70m,测得点C的俯角∠EAC=15°；控制无人机水平移动至点D,测得 AD=15m,楼顶C点的俯角LEDC=45°.点A,B,C,D在同一平面内，求大楼的高度BC.(参考数据： sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，√2≈1.41，结果精确到0.1m) A D B台 777777777777777T77777 2.(2025浙江杭州·二模)如图，高层大楼CD前面建有一层地上车库，车库的对面有一幢低层楼房AB.某 校数学实践活动小组想要测量高层大楼CD的高度，他们在楼房AB的窗户口点E处测得车库地面边缘点F 的俯角为20°，测得大楼CD顶端D的仰角为60°.已知BE=6m,车库长度CF=15m(点B,F,C在同一 水平直线上，参考数据：cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，√5≈1.73，结果精确到0.1) D 3.(2025·湖南长沙模拟预测)在校园科技节中，小星和小麓设计了“制作测角仪，测量旗杆高度”的探究活 1/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 动.如图，小星在A处测得旗杆顶端C的仰角为30°，小麓在B处测得旗杆顶端C的仰角为45°，己知两人 所处位置的水平距离MN=33米，A处距地面的垂直高度AM=4米，B处距地面的垂直高度BN=3米，点 M,F,N在同一条直线上. 30° 45B M N (I)求DE的长度； (2)求旗杆CF的高度.（结果保留根号） 4.(2025·江西模拟预测)如图1，滕王阁，江南三大名楼之一，位于江西省南昌市，始建于唐朝永徽四年， 因初唐诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.数学实践小组要测量滕王阁的高度， 如图2，小组成员甲在点A处测得滕王阁最高点C的仰角∠CAE=45°，再沿正对滕王阁方向前进至B处 测得最高点C的仰角∠CBE=58°，AB=21.6m,小组成员乙在点G处竖立标杆FG,点D、标杆顶F、最高 点C在一条直线上，FG=1.6m,GD=2m B E 图1 图2 (1)求滕王阁的高度CE;(结果精确到1m,参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60) (2)求乙同学与滕王阁之间的距离EG. 题型二、坡度坡比问题 5.（24-25九年级上陕西咸阳·期末)如图，某超市门口要修建一座跨度为24米的人行天桥即AB=24米， CD∥AB,天桥架空高度为6米(CD与AB之间的距离为6米)，若天桥两边的斜坡AD,BC的坡度均为 2:3,求人行天桥的桥面CD的长度. D C A B 6.(2024广东·二模)阳光下，电线杆AB落在一段斜坡和水平地面上的影子分别是CD和BC,小亮量得 CD=8m,BC=20m,斜坡CD的坡度为1：√3，小亮的身高1.65m,此时他在水平地面上的影子长为3.3m, 求电线杆的长度（结果保留根号）. 2/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A 7.(2025山东·模拟预测)如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长CD与AB交于E点，己知坡道AB 的坡比i=1:2.4,AC的长为7.2米，CD的长为04米。 B E (I)请求出DE的长： (②)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到 AB的距离) 8.(2025·湖南长沙三模)今年“五一”假期，某教学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下A点出发沿 斜坡AB到达B点，再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图，斜坡AB的长为200V3米，斜坡BC的 长为200√2米，坡度是1：1，已知A点海拔121米，C点海拔721米. A M (①)求斜坡AB的坡度； (2)为了方便上下山，若在A到C之间架设一条钢缆，求钢缆AC的长度. 题型三、方向角问题 9.(25-26九年级上·重庆·阶段练习)中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆.中秋佳节将至，明月湖公园设置 了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方 向，D在A的北偏东30°方向且在C的北偏西45°方向，DC=22千米，BC=1千米. 北 西个→东 南 459 30% A: B 3/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (①)求AB的长度；（结果保留根号） (2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以2km/h的速度从D打卡点沿D→A方向步行至A打卡 点，小开以4km/h的速度从A打卡点沿A→B方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米 后恰好与小开相距2√3千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：√2≈1.41，√5≈1.73） 10.(2025广东深圳模拟预测)如图为某景区五个景点A、B、C、D、E的平面示意图，点B、A在C的 正东方向，点D在点C的正北方向，D、E在B的北偏西30°方向上，E在A的西北方向上，C、D相距 10003m,E在BD的中点处. →东 45o, Bi Ai (I)求景点B、E之间的距离； (2)求景点B、A之间的距离（结果保留根号）. 11.(25-26九年级上·重庆阶段练习)“梨花风起正清明，游子寻春半出城”.如图，某校在公园开展了寻春活 动，小依和小钟同时从公园大门(A地)步行出发，约定在停车场(D地)汇合.小依先沿北偏东60°的方 向走600√2m到达和善亭(B地)，然后继续向东北方向走200m到达和雅亭(C地)，到达C地后停留了3 分钟整理沿途采集的植物，整理完毕后再到停车场(D地)，D地在C地的南偏东30方向.小钟从A地出 发后，先沿正东方向到达和志亭(E地)，再沿北偏东15°方向到达D地，E地恰在C地的正南方向. 45 B 159 609 (1)请求出CE的长度：（结果保留根号） (②)若小依步行的速度为1.5m/s,小钟步行的速度为1.2/s,请问小依和小钟谁先到达停车场(D地)？通 过计算说明.（计算结果保留到整数，参考数据：√2≈1.41，√5≈1.73，√6≈2.45） 12.(2025·山西临汾模拟预测)如图，A,B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇 险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上， 且测得C点与观测点A的距离为25√2海里. 4/17 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 15 60° B D (1)求观测点B与C点之间的距离： (2)有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立 即前往营救，其航行速度为60海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间. 题型四、坡度坡比与仰角俯角综合问题 13.(2025九年级四川宜宾.专题练习)校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动.如图，大楼的顶部竖 有一块广告牌CD,小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到 B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1:√3，AB=12米，AE=24米.（测角器的高 度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：2141,31,73，sim53P,cos8*,an53” 3 D >45 口n口u口 53 A E (I)求点B距水平地面AE的高度； (2)求广告牌CD的高度， 14.(24-25九年级上·辽宁阜新·期末)如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传 牌CD.该校九年级1)班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角 为56°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，AB=8米，AE=16米，已知斜坡AB的坡 角为45°，（参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.5，√2≈1.41；精确到0.01米） C 5/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求综合楼的高度DE; (2)求宣传牌的高度CD. 15.(25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试)如图，大楼AN上悬挂一条幅AB,小颖在坡面D处测得条幅 顶部A的仰角为30，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部 B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米.己知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1:√3（即 tan∠DEM=1:V3),且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，E、C、N在同一条直线上. B 大 楼 D30° 6459 M C (I)求D点距水平面EN的高度？（保留根号） (2)求条幅AB的长度？（结果精确到1米）（参考数据：√5≈1.73，√2≈1.41） 16.(2025四川广元模拟预测)如图，信号塔CD坐落在山丘的一侧，某维护人员为了测量信号塔的高度， 他在山脚下的点A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿着坡度为i=1√3的斜坡向上走了100米到达点B处，此 时测得塔尖D的仰角为60°.（图中各点均在同一平面内） 0 B609 30° 45 A ()求点B到地面的距离： (2)求信号塔CD的高度（结果保留根号）： (3)若维护人员从点A处沿水平方向前行一段距离到点F处，测得塔尖D的仰角为30°，求AF的长度. 题型五、解直角三角形应用之特殊三角形问题 17.(23-24九年级上河北保定·期末)小明同学用木板制作一个带有卡槽的三角形支架，如图所示，已知 AC=20cm,BC=18cm,∠ACB=53°，小明的平板宽度为17cm,卡槽与AB等长，小明同学能否将平板 4 放入卡槽AB内？请说明你的理由.（提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈二） 3 6/17 厨学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 18.(2024安徽合肥一模)华为手机自带AR测量工具，用手机就能测量长度和身高，测距的原理可以简单 概括为三角形测量法，如图①为学校外墙上的浮雕像，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准浮雕 像底部按键，再对准顶部按键即可测量出浮雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者AB与浮雕像CD垂 直于地面BE,若手机显示AC=1.75m,AD=2.45m,∠CAD=53°，求浮雕像CD的高度.（结果精确到 0.1,参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，√2≈1.41) D A B E ① ② 19.(24-25九年级上陕西榆林·期末)如图1，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A 固定在窗户底边OE上，且OA=20cm,窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽OF上移动，AB、BO、 A0构成一个三角形.当窗钩端点B与点0之间的距离是7cm的位置时（如图2，即OB=7cm),窗户打开 的∠A0B的度数为37°，（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） E A O BF 0 B 图1 图2 (I)求点A到OF的距离AD的长： (2)求窗钩AB的长度， 20.（2025·辽宁沈阳·二模)图1和图2为某品牌手机支架的宣传海报. 7/17 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 强力支撑不晃动轻松解决多种角度需求 三角形结构 5档调节 -BO∠ MM H M MG 图1 图2 图3 图4 图5 ()如图1，宣传海报中介绍该产品“强力支撑不晃动”是因为该产品设计具有三角形结构，这样设计的依据是 什么？ (2)如图2，宣传海报中介绍该产品“5挡调节，轻松解决多种角度需求”是指该手机支架提供30°至75°之间的 五个角度挡位 图3为该手机支架位于75°角度挡位时的示意图，将其抽象得到图4，手机固定板OA和底板OB形成的 ∠A0B=75°，OA和OB的长度均为132mm,75°挡位点M1位于底板OB中点处，此时支撑板QM与底板 OB形成的∠CM,O=45°，求支撑板☑M的长. (3)如图5，当该手机支架位于30°角度挡位时，支撑板底端卡在点M2处，手机固定板OA和支撑板☑M的长 度不变，手机固定板OA'和底板OB形成的LA'OB=30°，点A和点A到OB的距离分别为AH,A'G的长， 手机固定板顶端由点A的位置变化到点A的位置，高度差记为hmm,求h的值.（结果精确到0.lmm,参考 数据：√2≈1.41，√6≈2.45，sin75°≈0.97) 题型六、解直角三角形应用之特殊四边形问题 21.(2025九年级下·江西·专题练习)如图(1)是一座塑像，图(2)是它正面的抽象示意图，它是由三个 全等的平行四边形组成的（部分重叠），已知水平地面PQ川BC‖DE‖FG,∠G=115°，FG=3m, GH =6m,CD=EF=-EK,BC=DE=IFG 图(1) 图(2) (①)求此塑像正面抽象示意图的周长（含AN段）： (2)求此塑像的高.（结果保留1位小数）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47) 22.(2025·湖南岳阳·一模)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新 能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中 8/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一个停车位.经测量，∠ABQ=60°，AB=5.4m,CE=1.6m,GH1CD,GH是另一个车位的宽，所有 车位的长宽相同，按图示并列划定， D G N 根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.lm,参考数据√3≈1.73） (I)DE=,∠DEB=· (2)求PQ的长： (3)该充电站有20个停车位，求PN的长 23.（24-25九年级下·辽宁抚顺阶段练习)某数学小组用五个全等的菱形设计一个左右对称的无人机模型， 如图所示的是该无人机模型的两种设计方案的俯视图，其中A,D,F,G四点始终在同一条直线上，图形 关于直线AM对称 图1 图2 (I)如图1，若B,C,D,E四点在同一条直线上，连接MF,∠AMF= (2)如图2，若菱形的边长为5cm,∠CAD=53°，求点N到点G的距离，（结果精确到0.1cm,参考数据： sm37°*亏，cos37°*行，am37子sin26,5”s045,c0926,5°090，an26,5°s050) 3 4 3 24.(2025·吉林松原·模拟预测)图①是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为 平面图形得到图②，并测得正方形ABCD与正方形EFGH的面积相等，且AB=I00cm, CD∥EF,∠CDE=140°，∠CGF=25°，求CG的长（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）. D F C 图① 图② 9/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26九年级上·山东泰安期中)如图，小丽从点A出发，沿坡度为10°的坡道向上走，若她沿垂直方 向升高了20米到达点B,则她在水平方向走了() B 丁10° 20 A. an10°米 B. 20 in10°米 C.20tanl0°米 D.20sin10°米 2.(25-26九年级上·上海浦东新期中)为测量小河的宽度CD,小明在河两岸C,D测得大楼AB楼顶A的 仰角分别为a,B.若大楼AB的高为h,则CD的长可表示为() 000000 D A.（tana-tanβ）h B.sina-sinβh h h hh C. D. tand tanβ sina sinβ 3.(25-26九年级上山东济宁.期中)某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A点为出发点，途中设置两 个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A)B→C→A,B点在A点的南偏东25°方向3V2km处，C点 在A点的北偏东80°方向，∠ABC=45°.则检查点B和C之间的距离()k 东 80° 25 S A.2+2V2 B.3+2√2 C.3+V5 D.2+2V5 4.(25-26九年级上·广西贵港·期中)人字梯为现代家庭常用的工具.如图，若AB、AC的长都为2m,当 a=65°时，人字梯顶端离地面的高度约是 m,(结果精确到0.lm,参考依据：sin65°≈0.91， cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)() 10/17