专题02 相似三角形的判定（6大题型）（专项训练）数学苏科版九年级下册

专题02 相似三角形的判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、两角对应相等，两个三角形相似 1 题型二、两边成比例且夹角相等，两个三角形相似 3 题型三、三边对应成比例，两个三角形相似 5 题型四、判断两三角形是否相似 8 题型五、添一个条件使两个三角形相似 10 题型六、相似三角形的判定和性质 12 B综合攻坚・能力跃升 题型一、两角对应相等，两个三角形相似 1．如图，在矩形中，E是上一点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定，由矩形的性质可得，结合，可得，根据两组对角相等即可证明． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在和中，， ． 2．如图，为的对角线，若点E、F分别是边上的点，连接，若，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，正确利用平行四边形的性质及题中所给条件，找到证明相似所需要的条件是解题的关键． 由得，得，由得，由得，即可证明结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 又，   ，         ， ， ． 3．如图，在中，，点在上，的延长线交的外接圆于点，与相似吗？为什么？ 【答案】相似，见解析 【分析】先利用等腰三角形得出，进而得到一组角相等；再结合圆周角定理找到另一组角相等，依据“两角分别相等的两个三角形相似”来判断与是否相似 ．本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形性质以及相似三角形的判定，熟练掌握圆周角定理和相似三角形判定定理（两角分别相等的两个三角形相似 ）是解题的关键． 【详解】解：与相似．理由如下∶ ， ， ． ∵， ∴， 在和中， ，， （两角分别相等的两个三角形相似）． 4．如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查相似三角形，平行四边形的知识，解题是掌握相似三角形的判定，平行四边形的性质，根据相似三角形的判定，平行四边形的性质，进行解答，即可． （1）根据题意，则，根据，等量代换，根据等边对等角，得到，再根据三角形的内角和为，即可； （2）根据，得到，再根据等边对等角，可得，根据相似三角形的判定，即可． 【详解】（1）解：证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型二、两边成比例且夹角相等，两个三角形相似 5．如图，在和中，，．求证：； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由已知条件得出，再结合其夹角的对应边成比例即可得出. 【详解】证明：， ， ， 又， 则， ． 6．如图，已知是边上的中线，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定． 根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似进行解答即可． 【详解】证明：∵是边上的中线，， ∴， ∵，， ∴，且，     ∴． 7．如图，点分别在正方形的边，上，连接和，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相关性质和判定是解题的关键．根据已知条件求出，再证明，又由正方形的性质，得，根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”即可证明出结论． 【详解】证明：四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， ， ， △△． 8．如图、已知，，，，，． (1)求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定． （1）在中，根据勾股定理求出，再用即可求出的长； （2）先求出的长，得到，再根据，即可证明． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 题型三、三边对应成比例，两个三角形相似 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理；解决问题的关键是熟练掌握勾股定理，证明三边成比例． 根据正方形的性质和勾股定理求出的长，得出 ，再根据相似三角形的判定方法即可证明． 【详解】证明：由题意可知，．由勾股定理，得． 10．（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定，先计算出三角形的各个边的长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似证明即可． 【详解】证明：由图知：，，， ，，． ， ． 11．（24-25九年级上·广西·期中）如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）取格点G，连接，，根据勾股定理得到，，得到是等腰直角三角形，求出，进而求出根据勾股定理即可求出； （2）首先根据勾股定理求出与各边长，然后得到，即可证明出． 【详解】（1）解：如图所示，取格点G，连接，， 由网格得，点G，A，C三点共线 ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴； 由勾股定理得，； （2）解：∵在中，，，， ∵在中，，， ∴ ∴． 12．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由： (1)，，，，，； (2)，，，． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定、三角形内角和定理；熟练掌握相似三角形的判定方法，通过计算得出三边成比例或两角对应相等是解决问题的关键． （1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论； （2）由三角形内角和定理求出，得出，，即可得出结论． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，，， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， ，， ，， ． 题型四、判断两三角形是否相似 13．在和中，，根据下列条件，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定是解题的关键．根据三角形相似的判定定理判断即可． 【详解】解：A、满足“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”，所以选项A正确，不符合题意； B、虽然两边对应成比例，但不满足这两边的夹角相等，所以选项B错误，符合题意； C、满足“两对对应角分别相等的两个三角形相似”，所以选项C正确，不符合题意； D、满足“两对对应角分别相等的两个三角形相似”，所以选项D正确，不符合题意． 故选：B． 14．下列各组条件中，一定能推得与相似的是（    ） A．且 B．∠A＝∠B且； C．且 D．且 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，根据三角形相似的判定方法：①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案． 【详解】解：如图， A、和是同一个三角形的内角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误； B、不是两个三角形对应相等的角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误； C、由可以根据两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可以判断出与相似，故此选项正确； D、且，不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误； 故选：C． 15．能判定的条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键. 【详解】解：选项A：有对应边成比例，缺少条件成比例的两对应边的夹角相等，即，错误，不符合题意； 选项B：有对应边成比例，且角相等的条件为夹角，正确，符合题意； 选项C：对应边成比例，但是角是同一个三角形内的角相等，错误，不符合题意 选项D：对应边成比例，但角不是给出成比例对应边的夹角，错误，不符合题意 故选：B ． 16．根据下列条件，可以判定与相似的条件有（   ） ①，，； ②，，，，，； ③，，，，，； ④和都是有一个角为的等腰三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】①，， ， ，符合题意； ②，， ，符合题意； ③， 符合题意，； ④当中的三个角为，，，中的三个角为，，时，两三角形不相似，不符合题意． 综上所述，能判定与相似的条件有3个． 故选：. 题型五、添一个条件使两个三角形相似 17．如图，请添加一个条件，使与相似，那么这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理进行求解． 【详解】解：由图可知：， ∴当添加或时，则可根据“两个三角形的两组角对应相等，则这两个三角形相似”判定； 当添加时，则可根据“两组边对应成比例且夹角相等，则这两个三角形相似”判定； 故答案为（答案不唯一）． 18．已知，如图，是的边上一点，要使则还需具备一个条件是 （只需填一个）．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的证明，已知和，即可证明，即可解题． 【详解】证明：∵和， ∴， 故添加条件即可证明， 故答案为：． 19．在和中，．要使，还需添加一个条件，那么这个条件可以是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】已知两边对应成比例，结合相似三角形的判定规则添加条件即可. 【详解】解：已知， 若添加条件，则满足 “两边成比例且夹角相等”， 可判定. 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键. 20．如图，．添加一个条件后，能够判定，这个条件可以是 （不添加辅助线和字母）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似和两边成比例且夹角相等的两个三角形相似去添加证相似缺失的条件. 【详解】解：∵， ， ， ∵有两组角对应相等的两个三角形相似， ∴若，则 故答案为： ． 题型六、相似三角形的判定和性质 21．如图，在中，直径与弦相交于点，连接、． (1)求证：； (2)连接，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查了相似三角形的判定，圆周角定理，含角的直角三角形，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据同弧所对的圆周角相等可知，再结合对顶角相等，即可证明； （2）根据直径所对的圆周角是直角得到，再利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得的半径． 【详解】（1）证明：，， ； （2）解：，， ， 是的直径， ， 在中，， 的半径为． 22．四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． (1)若，求的长； (2)如果，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，由平行线分线段成比例定理得，继而得到，根据平行四边形性质得，推出，可得结论； （2）根据中点的定义及已知得，由（1）知，推出，即可得证． 【详解】（1）解：如图，连接交于点， ∵点和点分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴的长为； （2）证明：∵为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点．掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定是解题的关键． 23．如图，已知等边，点D在的延长线上，，交的延长线于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点F，当时，写出图中所有与相似的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据等边三角形的性质，推出，角的和差关系，推出，即可得证； （2）根据相似三角形的判定方法证明，，进而推出，再证明，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵等边， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 由（1）知：， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即：， 又∵， ∴， ∵， ∴； 综上：与相似的三角形有，，，． 24．如图，在四边形中，是的中点，和交于点，，． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）证明是的中位线，得，，继而推出，，根据相似三角形的判定即可得证； （2）由（1）知：，根据平行四边形的判定即可得证； （3）根据三角形中位线的性质推出，，继而得到，，由平行四边形的性质得，最后利用勾股定理可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴； （2）由（1）知：，即， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （3）解：∵，，， ∴， 由（1）知：，， ∴，， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， 在中，， ∴的长为． 一、单选题 1．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，小正方形的边长均为，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．在中，，，，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可． 【详解】解：在中，，，， 在B、C、D选项中的三角形都没有，而在A选项中，三角形的钝角为，它的两边分别为和， 因为， 所以A选项中的三角形与相似． 故选：A． 2．（25-26九年级上·北京·课后作业）下列条件：①，，，，，；②，，，，，；③，，，，其中能判定与相似的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：①由，，可判定，故①符合题意； ②由，，可判定，故②符合题意； ③由，可判定，故③符合题意． ∴能判定与的有3个． 故选：D． 3．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，已知中，D为边上一点，P为边上一点，，，，当的长度为（　　）时，和相似． A．9 B．6 C．4或9 D．6或9 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解决问题的关键． 分别根据当时，，当时，，求出的长即可． 【详解】解：， 当时，， ，，， ， ； 当时，， ， ， 的长度为4或9时，和相似． 故选：C． 4．（2025·浙江·模拟预测）如图，在的正方形方格中，的顶点，都在边长为1的小正方形的顶点上，边上的点也在小正方形的顶点上，则的面积等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练利用网格中的平行线判定相似是解题的关键．由图，利用，判定，得出，即可求出，则可求出，再利用，即可求解． 【详解】解：如图， 由图可知，，，，，，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， 故选：A． 5．（2025·江苏常州·二模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形是“全相似四边形”．如图，和关于直线对称，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似图形，全等三角形的判定和性质．如图，连接交于点O．证明，推出，，再证明当时符合题意即可． 【详解】解：如图，设交于点O． ∵和关于直线对称， ∴， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，同法可证，故选项B符合题意． 当或或时都不符合题意． 故选：B． 二、填空题 6．（2025·山东济宁·二模）如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使． 【答案】（或或或）（答案不唯一） 【分析】本题考查两个相似三角形的判定定理，涉及两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定即可得到答案．熟记两个相似三角形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：在和中，， 是的一个外角， ， 即，且， ， 当时，；或当时，；或当时，； 故答案为：（或或或）（答案不唯一）． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt （填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 【详解】解：∵在Rt中，． ∴ ∴， ∴， ∵， ∴. 故答案为：相似 ． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知的三边长分别为，的两边长分别为1和．当的第三边长为 时，与相似． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，解决问题的关键是熟知相似三角形的对应边成比例． 设第三边长为,应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，解题即可． 【详解】解：的三边长分别是， 三边长的比为． ，且的两边长分别是1和需要分情况进行讨论: ①若，解得； ②若，∵，∴该情况不成立 ③若，解得 经检验，当时，与的三边对应成比例，两三角形相似；当时，与的三边对应不成比例，两三角形不相似； 故答案为：． 9．如图，已知为圆O的直径，和圆O相切于点B，，，交圆O于点D，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定， 作，根据切线的性质得，根据勾股定理求出，接下来说明，可求，，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】解析：如图，过点D作于点E． ∵是的切线， ∴. ∵，，根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 根据勾股定理，得． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，已知中，，，，是的中点，是边上一个动点．将沿折叠，使点落在处，如果与原相似，那么的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，分当时，当时，再根据相似三角形的性质即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， 为中点， ∴， ∴， ∴；   当时，， ∴， ∴， 综上，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题 11．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）如图，相交于点O，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】证明：∵交于点O， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上： (1)则 ， ； (2)判断与是否相似，若相似，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用图象法以及勾股定理解决问题即可． （2）结论：．根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可． 【详解】（1）解：观察图象可知，，． 故答案为：，； （2）解：结论：． 理由：，，，， ， ， ． 13．如图．，，． (1)若，证明： (2)若，，在（1）的条件下．求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）根据垂线的定义得到，进而可证； （2）根据相似三角形的性质得到，将，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 14．（2025·上海徐汇·一模）如图，在梯形中，是梯形对角线，．    (1)求证：； (2)以为一边作交边于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）证明，得到，结合，即可得证． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ； （2）作交边于点 ，    由（1）得， ， 又， ， ， ， 又， ． 15．如图，E是矩形的边上的一点，于点F． (1)证明：； (2)若，，，则点A到直线的距离为______． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，证得是解题的关键， （1）由四边形是矩形，得到，由得出，由同角的余角可得出，进而即可得解； （2）根据勾股定理得到，通过，得到，列方程求解即可得到结果； 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ，即， 点到直线的距离， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，在矩形中，点E在边上，点F在对角线上，连接交于点O，且． (1)求证：； (2)判断与是否相似，并说明理由； (3)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)与相似，理由见解析 (3) 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）与相似， 理由是：∵， ∴； （3）延长交于点G， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ 17．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图所示，和中，，，且平分． (1)求证：； (2)点E是边的中点，连接和，和交于点F，若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）由直角三角形斜边中线可得，然后可得，则有，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵点E是边的中点，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．如图，是四边形的外接圆，直径与弦交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）结合圆周角定理，证明，利用相似三角形性质即可证明； （2）作于点，延长交于点，利用等腰三角形性质得到，，再结合弧、弦、圆心角之间的关系，以及垂径定理“知二推三”推出，过圆心，最后结合等腰三角形性质，以及弧、弦、圆心角之间的关系，即可证明； （3）连接，过点作于点，结合圆周角定理，证明，利用相似三角形的性质，得到，设，则，利用勾股定理得到，进而算出，再利用勾股定理建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：作于点，延长交于点， ， ，， ， 过圆心， ， ， ， ； （3）解：连接，过点作于点， ，， ， ， ， 由（2）知，，， ， ， ∴ ， 设，则， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， 解得（负值舍去）， 则． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形性质和判定，弧、弦、圆心角之间的关系，垂径定理，等腰三角形性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02相似三角形的判定 月录 A题型建模·专项突破 题型一、两角对应相等，两个三角形相似.1 题型二、两边成比例且夹角相等，两个三角形相似… .3 题型三、三边对应成比例，两个三角形相似.5 题型四、判断两三角形是否相似… 8 题型五、添一个条件使两个三角形相似… .10 题型六、相似三角形的判定和性质12 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、两角对应相等，两个三角形相似 1.如图，在矩形ABCD中，E是AB上一点，连接CE,DE,∠CED=90°，求证：△DAE∽△EBC. D A B 2.如图，AC为口ABCD的对角线，若点E、F分别是CD、BC边上的点，连接AE,AF,若 ∠EAF=∠CAB,AC=BC,求证：△ABF∽AACE. D A B 3.如图，在ABC中，AB=AC,点D在BC上，AD的延长线交ABC的外接圆于点E,△ABE与△CDE 相似吗？为什么？ E 4.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O,点E在边BC的延长线上，且OE=OB,连接DE. 1/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B C E (I)求证：DE⊥BE; (2)若OE⊥CD,求证：△BDE∽△DCE. 题型二、两边成比例且夹角相等，两个三角形相似 5.如图，在ABC和△DEC中，CD·BC=CE·AC,∠BCE=∠ACD.求证：△ABC△DEC; D B 6.如图，已知CD是ABC边AB上的中线，且AC=2√2，AB=4,求证：△ACD∽△ABC. D B 7.如图，点E,F分别在正方形ABCD的边AD,CD上，连接BE和EF,AB=9,AE=3,DF=2.求证： △ABE∽△DEF. A B E D 8.如图、己知∠B=∠E=90°，AB=6,BF=3,CF=5,DE=15,DF=25. D B E 2/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)求CE的长 (2)求证：△ABC∽△DEF. 题型三、三边对应成比例，两个三角形相似 9.(25-26九年级上·全国·课后作业)如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形AEFD.求证： △BCE∽△BED. B 10.(24-25九年级下·上海·假期作业)如图，在边长为1个单位的方格纸上，有ABC与△DEF.求证： △ABC∽△FDE. B C F E 11.(24-25九年级上广西·期中)如图所示，在5×8的网格中，ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正 方形的顶点上 (I)填空：∠BAC= ，EF= (2)判断ABC与ADEF是否相似？并证明你的结论， 12.(2425九年级上·安徽黄山期中)根据下列条件，判断ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由： (1)AB=10 cm,BC=12cm,AC=15 cm,A'B'=150 cm,B'C'=180cm,A'C'=225 cm: (2)∠A=70°，∠B=48°，∠A'=70°，∠C'=62°. 题型四、判断两三角形是否相似 13.在ABC和△DEF中，∠A=∠D,根据下列条件，不能判定ABC和△DEF相似的是() A.ABAC B.ABBC C.LB=∠E D.∠C=∠F DEDE DE EF 14.下列各组条件中，一定能推得ABC与△DEF相似的是() A.∠A=∠E且∠D=∠F B.∠A=∠B且∠D=∠F; 3/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.LA=∠B且B-EF AC ED D.LA=∠E且BFD BC DE 15.能判定△ABC∽△A'B'C'的条件是() A.AB、AC B.AB 4'B' A'B'A'C AcAC且∠A=∠H 提g且8=0 C. D得怨且=6a 16.根据下列条件，可以判定ABC与△A'B'C'相似的条件有() ①∠C=C'=90°，∠A=25°，LB'=65°； ②∠C=90°，AC=6cm,BC=4cm,∠C'=90°，A'C'=9cm,B'C'=6cm; 3AB =10cm,BC =12cm,AC =15cm,A'B'=150cm B'C'=180cm,A'C'=225cm ④ABC和△A'B'C'都是有一个角为80°的等腰三角形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型五、添一个条件使两个三角形相似 17.如图，请添加一个条件，使ABC与ADE相似，那么这个条件可以是 18.己知，如图，D是ABC的AB边上一点，要使△ABC∽△ACD则还需具备一个条件是」 (只需填 一个). D 19.在c和：9C中，把仁.要俊348C8sC,还添加一个条作，郑么这个客件可以 是 (写出一种情况即可) 20.如图，∠1=∠2.添加一个条件后，能够判定△ABC∽△ADE,这个条件可以是」 (不添加 辅助线和字母). 4/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 题型六、相似三角形的判定和性质 21.如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E,连接AC、BD. D E B (I)求证：△AEC∽aDEB; (2)连接AD,若AD=3,∠C=30°，求⊙O的半径. 22.四边形ABCD为平行四边形，点E和点F分别为边AD,AB的中点，连接EF、CF,EF交对角线 AC于点G. B (I)若AC=8,求AG的长： (2)如果AB=AC,求证：△AFG∽△ACF. 23.如图，已知等边ABC,点D在BC的延长线上，∠ADE=60°，DE交AB的延长线于点E. A E 图1 图2 (I)如图1，求证：△ACD∽△DBE; (②)如图2，延长AC交DE于点F,当AF⊥DE时，写出图中所有与CDF相似的三角形， 24.如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB和CE交于点F,DF=FB,AF∥DC· 5/10 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B E (I)求证：△BEF∽△BAD; (2)求证：四边形ADCF为平行四边形； (3)若DB⊥CE,AD=4,BF=3EF,求BC的长. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26九年级上北京·课后作业)如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与 △ABC相似的是() B A 2.(25-26九年级上·北京·课后作业)下列条件：①∠A=45°，AB=12,AC=15,∠A'=45°，A'B'=16, A'C'=20;②∠A=47°，AB=1.5,AC=2,∠B'=47°，A'B′=2.8，B'C'=2.1;③AB=BC=2, AC=3,A'B'=B'C'=4,A'C'=6,其中能判定ABC与△A'B'C'相似的有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.(25-26九年级上·北京课后作业)如图，已知ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点， AB=12,AC=8,AD=6,当AP的长度为()时，△ADP和ABC相似. B A.9 B.6 C.4或9 D.6或9 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(2025浙江·模拟预测)如图，在4×4的正方形方格中，ABC的顶点A,B都在边长为1的小正方形的 顶点上，边BC上的点D也在小正方形的顶点上，则ABC的面积等于() 4.6 9, 3 e D.5 5.(2025江苏常州·二模)定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形， 那么称这样的四边形是“全相似四边形”.如图，ABC和△ADC关于直线AC对称，下列条件能使四边形 ABCD成为“全相似四边形”的是() B A.∠BAD=90° B.∠ABC=90° C.∠BCD=60 D.∠CDA=609 二、填空题 6.(2025山东济宁·二模)如图，ABC中，P是AB上一点，连接CP.请你补充一个条件，使 △ABC∽△ACP. B 7.(25-26九年级上全国·课后作业)在Rt ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=8,若在RtaA'B'C'中， ∠C'=90°，B'C'=4,AC'=3,则Rt ABC与Rt△A'B'C (填“相似”或“不相似”) 8.(25-26九年级上·全国·课后作业)已知ABC的三边长分别为3，√5，√5，△A,B,C,的两边长分别为1和 √5.当△AB,C,的第三边长为 时，ABC与△AB,C,相似. 9.如图，已知AB为圆O的直径，BC和圆O相切于点B,AB=6,BC=4,CO交圆O于点D,则 AD= 7/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 10.(24-25九年级上山东枣庄期中)如图，已知ABC中，AB=8,BC=7,AC=6,E是AB的中点， F是AC边上一个动点，将△AEF沿EF折叠，使点A落在A处，如果△AEF与原ABC相似，那么EF的 长为 B 三、解答题 11.(23-24九年级上广东广州阶段练习)如图，AC,BD相交于点O,∠A=∠D,求证：△A0B∽△D0C B A 12.(25-26九年级上全国·课后作业)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点， ABC和aDEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上： B 0 F (I)则∠ABC=_°，BC=; (②)判断ABC与aDEF是否相似，若相似，请说明理由. 13.如图.AC⊥BC,BD⊥BC,AC>BC>BD. 8/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)若∠A=∠BCD,证明：△ABC∽aCDB (2)若DB=3,BC=4,在(1)的条件下.求AC的长度 14.(2025·上海徐汇一模)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,BD是梯形ABCD对角线，BD2=AD·BC. D (1)求证：AD·CD=AB·BD; (②)以CD为一边作∠CDE=∠ADB,DE交边BC于点E,求证： CD2 CE BD2 AD 15.如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F. D E B (I)证明：△AFD∽△DCE; (2)若AB=3,AD=2,CE=1,则点A到直线DE的距离为 16.(24-25九年级上广西贵港期末)如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，点F在对角线DB上，连 接DE,AF交于点O,且∠ADE=∠BAF, D E (I)求证：AF⊥DE; (2)判断△AOE与△AED是否相似，并说明理由； (3)若AD=4,AB=6,DF=2FB,求BE的长. 17.(24-25九年级上安徽马鞍山期末)如图所示，Rt△ABC和Rt△ADC中，∠ACB=90°，∠ADC=90°， 且AC平分∠BAD. 9/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C E (1I)求证：AC2=AD·AB; ②点E是边AB的中点，连接DE和CE,DE和4C交于点R,若AB=6,子，求4D的长 18.如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E,AB=AC. D EO B (1)求证： DE CE AE BE (2)求证：BC=2AD; (3)当AE=3,CE=5时，求BC的长. 10/10