第6章 图形的相似（必备知识+10大题型+分层训练）（复习讲义）数学苏科版九年级下册

该初中数学《图形的相似》复习讲义通过框架图系统梳理知识体系，从成比例线段、比例性质到相似三角形判定与性质、位似作图，按“概念-性质-应用”逻辑呈现，突出相似与全等的联系、位似与相似的区别等重难点，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层题型设计，每种知识点配套例题与变式，如“补充条件使三角形相似”培养推理能力，“利用相似测高”强化应用意识。通关测分基础巩固与能力提升，适配不同学生，教师可据此实施精准教学，助力学生系统掌握相似知识。

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第6章图形的相似（复习讲义) 单元目标聚焦·明核心 1.了解成比例线段、比例性质、平行线分线段成比例、相似三角形、位似等概念的意义，体会图形相似相 关知识之间的整体联系。 2.能用比例的基本性质、和比性质等进行比例运算；能利用平行线分线段成比例定理及其推论解决线段比 例问题；能运用相似三角形的判定和性质解决相关问题；能利用位似变换作图（放大或缩小图形）。 3.理解并利用相似三角形的性质测量河的宽度、计算不能直接测量的物体高度或深度等实际问题。 知识图谱梳理·图基础 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外 两条线段的比 【知识点01】成比例线段 1.基本性质；2和比性质；3.更比性质；4，反比性 质；5等比性质 【知识点02】比例的性质 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行 线所截，所得的对应线段成比例 【知识点03】平行线分线段成比例 推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线 相交，截得的对应线段成比例 图形的相似 1)相似三角形和相似比的橱念 2)相似三角形的判定 【知识点04】相似三角形的相关概念、判定和性质 3)相似三角形的性质 利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能 直接测量的物体的高度或深度 【知识点05】利用相似三角形测高 1、位似的概念及性质 2、利用位似变换作图（放大或缩小图形） 【知识点06】位似及位似作图 3、图形的变换与坐标 教材要点精析•夯重点 【知识点01】成比例线段 1/24 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。 1)若四条线段a、b、C、d成比例，则记作2=C或a:b=c:d。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。 b d 2)四条线段a、b、C、d的单位应一致（有时为了计算方便，a、b的单位一致，C、d的单位一致也 可以) 3)判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第 二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。 【知识点02】比例的性质 1)比例的重要性质： 基本性质：若2=C ,则ad=bc;反之，也成立。 b d 和比性质：若。=S,则a±b=c±d b d 更比性质：若=S，则“-b 反比性质：若=C, b d ,则 b d 'cd b d a c 等比牲质：若2=仁=…-m b d (b+d+…+n≠0)，则a+c+…+m=a n b+d+…+nb 2)拓展：0比例式中，号=号或(e:b=心4)中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前题，、d b d 叫后项，如果b=c,那么b叫做a、d的比例中项。 ②把线段AB分成两条线段AC和BC,使AC?=AB·BC,叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金 分割点。 【知识点03】平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。 【知识点04】相似三角形的相关概念、判定和性质 1)相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。 三角形相似具有传递性。 2)相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。 3)相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。 若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一 种特例。 4)相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 2/24 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。 5)相似三角形的性质 ①对应角相等，对应边的比相等： ②拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 ③相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似 多边形的面积比等于相似比的平方。) 【知识点05】利用相似三角形测高 1、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。 2、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是 其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。 【知识点06】位似及位似作图 1、位似的概念及性质 (1)两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位 似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 (2)相似图形与位似图形的区别与联系：区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位 似图形的对应边互相平行，相似图形没有。 联系：位似图形是特殊的相似图形。 (3)位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 (4)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。 2、利用位似变换作图（放大或缩小图形） 利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于 1,则通过位似变换把原图形缩小。 画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延 长)；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。 3、图形的变换与坐标 (1)平移：①图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移个单位时，横坐标 应相应地加个单位，反之则减：②图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标上 加、下减。 3/24 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)轴对称：①图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；②图形沿y 轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。 (3)以原点为位似中心的位似变换 在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等 于k(对应点在位似中心同侧)或者一k(对应点在位似中心异侧)。即：若设原图形的某一点的坐标为 m,n,则其位似图形对应点的坐标为km,k或-km,-kn。 考点题型突破•拓思维 题型一判断是否是成比例线段 【例1】下列各组数中，不成比例的是() A.1,-2,3,-6 B.1,2,3,4 C.5,o,5,6 n.25. 【变式1-1】下列各组的四条线段a,b,c,d是成比例线段的是() A.a=4,b=6,c=5,d=10 B.a=1,b=2,c=3,d=4 C.a=V2,b=3,c=2,d=V3 D.a=2,b=5,c=6,d=15 【变式1-2】下列四条线段成比例的是() A.a=4,b=6,c=5,d=10 B.a=V2,b=3,c=2,d=V3 C.a=2,b=5,c=V15,d=25 D.a=12,b=8,c=15,d=11 【变式1-3】下列四个数，不能组成比例的是() A.2,6,4,12 C.02, 5,25,1.2 D.4.5,2.5,5,9 题型二比例的性质 6侧6 【例2】已知9-3」 的值为 34 【变式2-1】己知2= 6,则3a+2b a-b 【变式22】已知g-S-b+d≠0)，则a+C的值为 b d 3 b+d 【变式23】已知号-名=≠0，且a+b-c=2,则a= 234 4/24 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型三由平行判断成比例的线段 【例3】如图，直线AB∥CD∥EF,则() B C 0 E F A. AC_BD B. AC、BD c. AC BD AE BF AE DE CE BF D.、 AC DF CE BD 【变式3-1】如图，已知AB∥CD∥EF,它们依次与直线l,交于点A、D、F和点B、C、E,则DF的 对应线段是() B D A.AB B.BC C.CE D.CD 【变式3-2】如图，AB∥CD∥EF,AF与BE相交于点G,且AG=2,GD=1,DF=5,则下列结论错 误的是() B F A. BC 3 CE 5 AB=2 c得 0.01 BE 【变式3-3】如图，平行四边形ABCD中，连接BD,在CD的延长线上取一点E,点G为BC的中点，连接 EG,交AD、BD分别为点F、点K,则下列结论错误的是()· 5/24 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E A D K B G A. ED_EF B. FD_DK AB FG GC BK C. FK EF D. CG CD KG EG CB CE 题型四由平行截线求相关线段的长或比值 【例4】如图△ABC中点DE分别在边AB,BC上，DEI‖AC,若DB=4,AB=6,BE=3,则EC的长 是」 D 【变式4-1】如图，直线AC、DF被平行线I、I所截，交点分别为A、D、B、E、C、F,且AB=3, BC=5,EF=4,则DE=一 B E F 【变式4-2】如图，在ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E,若 BF:FD=3:1,BC=8,则CE的长为一 A F E 6/24 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式4-3】如图，点D、E在ABC的边AB、AC上，且DE∥BC,过点A作AF∥BC,分别交 ∠AED、∠ACB的平分线于点F、G.若BD=2AD,CG平分线段BD,则FG:BC= G 题型五补充条件使两个三角形相似 【例5】如图，已知∠1=∠2，请添加一个条件，使得△ABC∽△ADE. D 【变式5-1】如图，线段BE、CD相交于点A,连接DE、BC,请添加一个条件，使△ADE∽△ABC,这个 条件可以是 (写出一个条件即可) E D B 【变式5-2】如图，ABC中，D、E分别是AB、AC边上一点，连接DE,请你添加一个条件，使 △ADEAACB,则你添加的这一个条件可以是_一（写出一个即可）· B 【变式5-3】如图，在ABC中，P是AB上一点.下列四个条件中：“①LACP=∠B;②LACP=∠A;③ AC2=AP.AB;④AB·CP=AP.CB”,一定能满足△APC与△ACB相似的条件是_一，（只填序号) 7124 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 题型六利用相似三角形的性质求解 【例6】已知△ABC∽△DEF,AB:DE=1:2,则ABC与△DEF的相似比是 ;△DEF与ABC 的相似比是 变式6】若△ABC∽△4BC,且片=则ABC与△4BG的周张之比为 【变式6-2】如图，在ABC中，D,F是AB的三等分点，DE∥FG∥BC. D E G B (1)若DE=2,则BC=」 (2)SA4DE:S△AFG:S△ABC= 【变式6-3】如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=5,该三角形的两条高BD与AE交于点F,连接CF, 点P为射线AE上一个动点，连接BP,若AD=3,当△ABP与△BFC相似时，AP的长为， 题型七求位似图形的坐标 【例7】如图，AOB与△ACD关于点A位似，点C的坐标为3,4)，若AOB与△ACD的面积比为4：1， 则点A的坐标为 8/24 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 0 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，AOB的顶点A的坐标为(-3,6)，若以原点O为位似中心，位似 比为：，把A0B缩小，则点A的对应点（的坐标是 【变式7-2】如图，将A0B以坐标原点O为位似中心放大，得到△0CD,已知A(1,2)、B(3,0)、D(4,0), 则点C的坐标为 A BD 12 34 【变式7-3】如图，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，相似比为1：3，点A, B,E在x轴上，若点A的坐标为(1,0)，则点F的坐标为 y B 9/24 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型八在平面直角坐标系中作位似图形 【例8】如图，ABC在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),C(2,2) (1I)画出ABC向下平移4个单位长度得到的△AB,C,点C的坐标是_ (2)以点B为位似中心，在平面直角坐标系中画出△4，B,C2,使△A,B,C,与ABC位似，且相似比为2：1，点 C,的坐标是_· (3)△4，B,C的面积是_ 【变式8-1】如图，在12×12的正方形网格中，△CAB的顶点坐标分别为点C1,)、A(2,3)、B(4,2). (I)以点CL,)为位似中心，按2：1在位似中心的同侧将△CAB放大为△CA'B',放大后点A,B的对应点分别 为A,B,画出△CA'B',并写出点A,B的坐标； (2)在(1)中，若P(a,b)为线段AB上任意一点，请直接写出变化后点P的对应点P的坐标. 【变式8-2】如图，平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别是A1,-1)、B(4,-3、C(4,-1). 10/24 第6章 图形的相似（复习讲义） 1. 了解成比例线段、比例性质、平行线分线段成比例、相似三角形、位似等概念的意义，体会图形相似相关知识之间的整体联系。 2. 能用比例的基本性质、和比性质等进行比例运算；能利用平行线分线段成比例定理及其推论解决线段比例问题；能运用相似三角形的判定和性质解决相关问题；能利用位似变换作图（放大或缩小图形）。 3. 理解并利用相似三角形的性质测量河的宽度、计算不能直接测量的物体高度或深度等实际问题。 【知识点01】成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。 1）若四条线段、、、成比例，则记作或。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。 2）四条线段、、、的单位应一致（有时为了计算方便，、的单位一致，、的单位一致也可以） 3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。 【知识点02】比例的性质 1）比例的重要性质： 基本性质：若，则；反之，也成立。 和比性质：若，则； 更比性质：若，则； 反比性质：若，则； 等比性质：若，则。 2）拓展：比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。 把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。 【知识点03】平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。 【知识点04】相似三角形的相关概念、判定和性质 1）相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。 三角形相似具有传递性。 2）相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。 3）相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。 若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。 4）相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。 5）相似三角形的性质 ①对应角相等，对应边的比相等； ②拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 ③相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。） 【知识点05】利用相似三角形测高 1、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。 2、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。 【知识点06】位似及位似作图 1、位似的概念及性质 （1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 （2）相似图形与位似图形的区别与联系：区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。 联系：位似图形是特殊的相似图形。 （3）位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 （4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。 2、利用位似变换作图（放大或缩小图形） 利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。 画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。 3、图形的变换与坐标 （1）平移：①图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移n个单位时，横坐标应相应地加n个单位，反之则减；②图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标上加、下减。 （2）轴对称:①图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；②图形沿y轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。 （3）以原点为位似中心的位似变换 在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为，则其位似图形对应点的坐标为或。 题型一 判断是否是成比例线段 【例1】下列各组数中，不成比例的是（    ） A． B．1，2，3，4 C． D． 【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如  （即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，由此逐项判断即可． 【详解】解：A.，成比例，故不符合题意； B.，不成比例，故符合题意； C.，成比例，故不符合题意； D.，成比例，故不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】成比例线段 【分析】此题考查了比例线段，根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，，故符合题意； 故选：D． 【变式1-2】下列四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】成比例线段 【分析】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、， ∴四条线段不成比例； B、， ∴四条线段不成比例； C、， ∴四条线段成比例； D、， ∴四条线段不成比例． 故选：C． 【变式1-3】下列四个数，不能组成比例的是（    ） A．2，6，4，12 B．，2，3， C．0.2，，2.5，1.2 D．4.5，2.5，5，9 【答案】C 【知识点】成比例线段 【分析】此题考查了比例的性质．找出四个数字中的最大数与最小数，求出乘积，剩下两数也求出乘积，比较判断即可． 【详解】解：A、，能组成比例，不符合题意； B、，能组成比例，不符合题意； C、，不能组成比例，符合题意； D、，能组成比例，不符合题意． 故选：C． 题型二 比例的性质 【例2】已知，则的值为 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】此题考查了比例的性质，根据设，且，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴设，且， ∴ 故答案为： 【变式2-1】已知，则 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，由得，则设，得到，，然后把，代入中进行分式的运算即可． 【详解】解：， ， 设，则，， ． 故答案为：． 【变式2-2】已知，则的值为 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是正确设出未知数是解题关键． 直接利用已知条件设出相应未知数，进而代入化简即可． 【详解】设，， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-3】已知，且，则 ． 【答案】4 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解答本题的关键．设，则，代入，求出k的值即可得到a的值． 【详解】解：设，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 题型三 由平行判断成比例的线段 【例3】如图，直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：∵， ∴，， 观察四个选项，选项A正确，符合题意， 故选：A． 【变式3-1】如图，已知，它们依次与直线交于点、、和点、、，则的对应线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据夹在平行线中的线段是对应线段，即可求解． 【详解】解：依题意，的对应线段是， 故选：C． 【变式3-2】如图，，与相交于点，且，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【详解】解：A． ，则，正确，故本选项不符合题意； B．，则，正确，故本选项不符合题意； C．，则，错误，故本选项符合题意； D．，则，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式3-3】如图，平行四边形中，连接，在的延长线上取一点，点为的中点，连接，交、分别为点、点，则下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解、由平行判断成比例的线段 【分析】利用平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴故A正确，不符合题意； ∵， ∴， 又∵． ∴，故B正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵与不一定相等，不一定等于， 而，故D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】考核知识点∶ 相似三角形的判定与性质．理解性质是关键． 题型四 由平行截线求相关线段的长或比值 【例4】如图中点分别在边上，，若，则的长是 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由中，点分别在边上，，根据平行线分线段成比例定理，可得，又由，即可求得答案，注意掌握各比例线段的对应关系是解此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 【变式4-1】如图，直线被平行线所截，交点分别为，且，，，则 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理可得，据此即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】解：∵直线被平行线所截， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到等式，计算即可． 【详解】解：过点作，交于， 则，， ， ， ． 故答案为：． 【变式4-3】如图，点D、E在的边上，且，过点A作，分别交的平分线于点F、G．若平分线段，则 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、角平分线的有关计算 【分析】设交于点H，结合BD=2AD可得BH=DH=AD；由平行线分线段成比例定理可得，即有，再证明，进一步可得，易知AF=23BC，可得，即可获得答案． 【详解】解：如下图，设交于点H， ∵平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、平行线的判定、角平分线的定义等知识，熟练运用平行线分线段定理是解题关键． 题型五 补充条件使两个三角形相似 【例5】如图，已知，请添加一个条件 ，使得．    【答案】或或（答案不唯一） 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．熟练掌握有两组角分别对应相等的三角形相似是解题的关键． 【详解】解：添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵, ∴，即， ∵， ∴； 故答案为：或或（答案不唯一）． 【变式5-1】如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是 ．（写出一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法．根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：． 【变式5-2】如图，中，分别是边上一点，连接，请你添加一个条件，使，则你添加的这一个条件可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 利用有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件． 【详解】解：， ∴当时，． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式5-3】如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是 ．（只填序号） 【答案】①③ 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用“两角对应相等，两三角形相似”，“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”去判断． 【详解】解：①，而， ∴，故①正确； ②，只能得到，故②错误； ③由， 得， 又∵， ∴，故③正确， ④由， 得到， 不满足两边对应成比例且夹角相等，故④错误， 故答案为：①③． 题型六 利用相似三角形的性质求解 【例6】已知，，则与的相似比是 ；与的相似比是 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查求相似比，掌握相似三角形对应边的比等于相似比是解题的关键． 根据相似三角形对应边的比等于相似比解答即可． 【详解】解：，， 与的相似比，与的相似比， 故答案为：；． 【变式6-1】若，且，则与的周长之比为 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据且，可得的周长与的周长的比为，求解即可． 【详解】解：∵且， ∴的周长与的周长的比为， 故答案为：． 【变式6-2】如图，在中，，是的三等分点，. （1）若，则 ； （2） . 【答案】 6 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．求出三个相似三角形的相似比是解决本题的关键． （1）由于，那么，根据及相似三角形的性质可得结果． （2）由相似三角形的性质可得结果． 【详解】解：（1）， ， ， ，是的三等分点， ， ， ， 故答案为：6； （2）， ，是的三等分点， ， ， ； 故答案为：． 【变式6-3】如图，等腰三角形中，，该三角形的两条高与交于点，连接，点为射线上一个动点，连接，若，当与相似时，的长为 ． 【答案】或 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质；分两种情况讨论，①时，；②时，，分别根据相似三角形的性质，构造方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵，该三角形的两条高与交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，设， 在中，， 解得：，即， 又， 如图所示， ①当时，； ∴， ∴， 解得：； ②当时，， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，或， 故答案为：或． 题型七 求位似图形的坐标 【例7】如图，与关于点A位似，点C的坐标为，若与的面积比为，则点A的坐标为 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查位似变换、相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，可得，则．根据位似的性质可得，进而可得．由题意可得，，即可得，，从而可得答案． 【详解】解：过点A作轴于点E，过点C作轴于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C的坐标为， ∴，． ∵与关于点A位似，与的面积比为， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点A的坐标为． 故答案为：． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心，位似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是 ．    【答案】或 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了利用位似求对应点的坐标．利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以或，求出结果即可． 【详解】解：点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小， 则点A的对应点的坐标是或，即或， 故答案为：或． 【变式7-2】如图，将以坐标原点O为位似中心放大，得到，已知、、，则点C的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】此题考查了求位似图形的对应坐标．注意根据题意求得其位似比是关键． 由将以坐标原点O为位似中心扩大到，、，即可求得其位似比，继而求得答案． 【详解】解：∵、， ∴， ∵将以坐标原点O为位似中心扩大到， ∴位似比为：， ∵， ∴点C的坐标为：， 故答案为：． 【变式7-3】如图，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若点A的坐标为，则点F的坐标为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了位似变换、坐标与图形性质、正方形的性质．掌握位似变换的基本性质是解题的关键． 根据位似变换的性质得到，且，根据，得到，得到，得到，根据相似三角形的性质求出即可得到答案． 【详解】∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∵相似比为， ， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点F的坐标为． 故答案为：． 题型八 在平面直角坐标系中作位似图形 【例8】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出向下平移个单位长度得到的，点的坐标是 ． (2)以点B为位似中心，在平面直角坐标系中画出，使与位似，且相似比为，点的坐标是 ． (3)的面积是 ． 【答案】(1)作图见解析，； (2)作图见解析， ； (3)． 【知识点】平移(作图)、在坐标系中画位似图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查作图平移变换、位似变换、三角形的面积，熟练掌握平移和位似的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作出、、，顺次连接即可得出答案； （2）根据位似的性质作出、、，顺次连接即可得出答案； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，向下平移个单位长度得到的， ∴是所求作三角形， ∴由图可知， 故答案为：． （2）∵与位似，且相似比为， ∴延长，，使得，，如图所示， ， ∴是所求作三角形， ∴由图可知， 故答案为：． （3）的面积， 故答案为：10． 【变式8-1】如图，在的正方形网格中，的顶点坐标分别为点、、． (1)以点为位似中心，按在位似中心的同侧将放大为，放大后点A，B的对应点分别为，，画出，并写出点，的坐标； (2)在（1）中，若为线段上任意一点，请直接写出变化后点P的对应点的坐标． 【答案】(1)图见解析，， (2) 【知识点】在坐标系中画位似图形、求位似图形的对应坐标 【分析】本题主要考查作图位似变换，解题的关键是熟练掌握位似变换的定义及性质． （1）根据题目的叙述，正确地作出图形，然后确定各点的坐标即可； （2）根据（1）中变换的规律，即可写出变化后点的对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求，其中，； （2）解：根据（1）中，变换的规律可得，． 【变式8-2】如图，平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是、、．    (1)画出关于x轴成轴对称的； (2)在第一象限内，画出以点O为位似中心并扩大到原来的3倍的； (3)写出点、的坐标． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)点，点 【知识点】坐标与图形、画轴对称图形、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查了位似变换，轴对称作图，掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）分别作出三顶点关于轴的对称点，再顺次连接即可得； （2）根据位似性质找到，，，分别连接起来即可得到答案； （3）根据（2）图即可得、 的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求作    （2）解：如图，即为所求作    （3）解：由作图知，点，点． 【变式8-3】在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为、、，位置如图所示． (1)将绕点O顺时针旋转 得到，作出，并写出点的坐标 ． (2)将的三个顶点坐标分别乘以，得到对应的点、、，请画出，并判断与具有怎样的位置关系？并请直接写出与的位似中心的坐标以及相似比． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析，与位似，位似中心为原点，相似比为 【知识点】在坐标系中画位似图形、画旋转图形 【分析】本题考查的是画旋转图形，位似图形的含义； （1）分别确定绕点O顺时针旋转 后的对应点，再顺次连接即可；再根据的位置可得其坐标； （2）先将的三个顶点坐标分别乘以，描出对应的点、、，再顺次连接，结合位似图形的含义可得答案； 【详解】（1）解：如图，即为所求做的三角形； ∴ （2）解：由题意得：， 如图，即为所要求做的三角形． 与位似，位似中心为原点，相似比为． 题型九 相似三角形的判定和性质的综合问题 【例9】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，已知是的直径，点D在上，过点D作的切线，连接，，，，且． (1)求证：； (2)若点E在的延长线上，且，的半径为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接．利用切线的性质得到，然后利用平行线的性质证明．接着利用等腰三角形的性质证明，由此即可； （2）过点D作，垂足为H．利用角平分线的性质可以证，接着利用全等三角形的性质得到．设，则，．最后利用勾股定理建立方程模型即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵是的切线， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：如图，过点D作，垂足为H． 由（1）可知，平分，且， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， 设，则，． 在中，， 在中，． ∴， 解得或（舍去）， ∴． 【变式9-1】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图①，一张等腰三角形纸片，底边，高．在这张纸片中剪出一个正方形，使其一边在边上，点、分别在边，上，且与交于点． (1)求证：； (2)求正方形的边长； (3)若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，如图②所示，阴影部分为正方体展开图，直接写出该正方体的棱长． 【答案】(1)见解析 (2)正方形的边长为 (3)该正方体的棱长为 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）根据即可证明； （2）如图设与交于点，首先证明四边形是矩形，设正方形边长为，再利用，得，列出方程即可解决问题； （3）根据矩形和相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，即，， 设正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边长为； （3）解：如图， 由题意可得，四边形是矩形，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设该正方体的棱长为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该正方体的棱长为． 【变式9-2】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，，，如果点由点出发沿方向向点匀速运动，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为，连接，设运动时间为（），解答下列问题： (1)用含的代数式表示 ， ； (2)设的面积为，当为何值时，取得最大值，的最大值是多少？ (3)如图，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形是菱形时，求的值． 【答案】(1)，； (2)秒，最大值为平方厘米； (3)秒． 【分析】（）由勾股定理求出，再根据题意即可列出代数式； （）过点作于，可证得，得到，由三角形面积可得，根据二次函数性质即可求解； （）连接，交相交于点，当四边形为菱形时，可得，，由得到，进而得到，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵点由点出发沿方向向点匀速运动，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为， ∴，， 故答案为：，； （2）解：如图，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴的面积， ∴当时，取最大值，最大值是； （3）解：如图，连接，交相交于点，当四边形为菱形时，垂直平分，即，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∵， ∴当四边形是菱形时，的值为． 【变式9-3】（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）在平行四边形中，对角线交于点是线段上一个动点（不与点、点重合），过点分别作的平行线，交于点，交于点，连接． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，，且与相似，请补全图形，并求的值： (3)如图3，如果，且射线过点．请补全图形，并求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质证出，得出则可得出结论； （2）证明，设，那么，，得出，求出，则可得出答案； （3）由题意画出图形，证明平行四边形为菱形，设，，求出得出，证明.设，那么.求出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵过点作、的平行线交于点，交、于点、， ， ， ， ， ， 在平行四边形中，， ， 又， ， ，即， 又∵， ； （2） ∵如图，在平行四边形中， ∴平行四边形为长方形， ， ， 又，且， ， ∴此时有， 设，那么， ∴， ∵， ， ； （3）如图： ， ∴平行四边形为菱形， 设，， ， ， ∴， ， ， ， ， (负根已舍)， ， ， ， ， ， ∴设，则∠， ， ， ∴． 题型十 相似三角形的判定和性质的综合问题 【例10】（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）定义：有一组对角为直角的四边形称为准矩形． (1)如图1，准矩形中，，若，，，求的长； (2)如图2，边长为3的正方形中，点E、F分别是边上的动点，且四边形是准矩形． ①当时，求的长． ②点F从点D运动到点C的过程中，E随之运动，求E运动的路径长． 【答案】(1) (2)①的长是；②点E运动的路径长为 【分析】根据题意和勾股定理可以求得的长； ①易得，，再证∽，即可得解； ②由题可知点E的运动路径长为的长，利用∽，求出最大值即可． 【详解】（1）如图，连接， 准矩形中，，若，，， ，， ， 故答案为：； （2）①边长为3的正方形中，点E、F分别是边上的点，且四边形是准矩形， ，， ， ， ， ，， ， 又， ∽， ， ， ， 即的长是； ②设，， ，， ∽， ，即， 化简，得； 当时，，即最大值为， 点E运动的路径长为 【点睛】本题考查四边形综合题、三角形相似、勾股定理、特殊角的三角函数值，这是一道综合性题目，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和二次函数的性质解答． 【变式10-1】（2026·湖北·模拟预测）新定义：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点，则称点为函数图象上的“美点”，例如：直线上存在的“美点”是． (1)求抛物线上存在的“美点”； (2)若抛物线上存在两个“美点”，两个“美点”之间的距离为，求k的值； (3)若关于x的二次函数的图象上存在唯一的“美点”，且，连接，构成．是边的中点，现将点绕着点按逆时针方向旋转（）角度得到点，若点落在中位线所在直线上，直接写出点到的距离． 【答案】(1)或 (2) (3)或或 【分析】本题考查了“美点”的定义，一元二次方程根的判别式，二次函数与几何综合，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得 ，即，解得或，即可得到答案； （2）根据题意得方程有两个根，即方程有两个根，推出两个“美点”的坐标分别为，得到，求出； （3）根据题意求出，，求出分三种情况讨论，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得 ，即， 解得：或， 抛物线上存在的“美点”是或； （2）解：根据题意得方程有两个根，即方程有两个根， ， ，， 两个“美点”的坐标分别为， 两个“美点”之间的距离为， ； 解得； （3）解：根据题意得方程，即方程只有一个根， ， 解得， ， ，即 解得：， ， ，， ，，， ，， 是直角三角形， ， 为的中点， ， ， 如图，点在中位线上时，作 ，， ， 根据旋转的性质得， ， 点到的距离为； 当点在中位线上时， 点到的距离为； 如图，当点在中位线上时， 点到的距离为， 综上所述，点到的距离为或或． 【变式10-2】（2025·广东中山·三模）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”． 如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“比中项妙点”． (1)①在中，，于点D，则点D ______填“是”或“不是”中边上的“比中项妙点”； ②如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“比中项妙点”点的中点除外 (2)如图3，平行四边形中，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项妙点”． ①求证：点F也是中边上的“比中项妙点”； ②连接并延长交于点G，若点F是中边上的“比中项妙点”，且，求的值． 【答案】(1)①是；②见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质． （1）①证明，推出可得结论； ②取格点J，连接交于点M，点M即为所求，此时，则，得到推出； （2）①先根据点F恰好是中边上的“比中项妙点”，推出，再根据平行四边形的性质得，则，进而推出即可； ②首先证明，再证明即可． 【详解】（1）①解：如图， 在中，，于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D是中边上的“比中项妙点”． 故答案为：是； ②解：如图2中，点M即为所求； （2）①证明：∵点F恰好是中边上的“比中项妙点”， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F也是中边上的“比中项妙点”； ②解：如图3中， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F是中边上的“比中项妙点”， ∴点F是中边上的“比中项妙点”（同①证明）， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式10-3】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）新定义：如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在中，于点E，交于点F，若F为的中点，则是垂中平行四边形，E是垂中点．    (1)如图1，在垂中平行四边形中，E是垂中点．若，，则_____；_____； (2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，于点，，． ①请画出以为边的垂中平行四边形，使得为垂中点，点在垂中平行四边形的边上；（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母） ②将沿翻折得到，若射线与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点，连接，请直接写出的长． 【答案】(1)1， (2)．证明见解析 (3)①画图见解析；②的长为或 【分析】（1）根据题意可推出，得到，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得； （2）根据题意可推出，得到，设，则，，再利用勾股定理得到，从而推出、，即可求得答案； （3）①分情况讨论，第一种情况，作的平行线，使，连接，延长交于点；第二种情况，作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接；第三种情况，作，交的延长线于点，连接，在延长线上取点F，使，连接； ②根据①中的三种情况讨论： 第一种情况，根据题意可证得是等腰三角形，作，则，可推出，从而推出，计算可得，最后利用勾股定理即可求得； 第二种情况，延长、交于点，同理可得是等腰三角形，连接，可由，结合三线合一推出，从而推出，同第一种情况即可求得； 第三种情况无交点，不符合题意． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：1；； （2）解：，理由如下： 根据题意，在垂中平行四边形中，，且为的中点， ，； 又， ， ； 设，则， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：①第一种情况： 作的平行线，使，连接， 则四边形为平行四边形； 延长交于点， ， ， ， ，， ，即， 为的中点； 故如图1所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第二种情况： 作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接， 故为的中点； 同理可证明：， 则， 则四边形是平行四边形； 故如图2所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第三种情况： 作，交的延长线于点，连接，在延长线上取点F，使，连接， 则为的中点， 同理可证明，从而， 故四边形是平行四边形； 故如图3所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： ②若按照图1作图， 由题意可知，， 四边形是平行四边形， ， ， 是等腰三角形； 过P作于H，则， ，， ，， ， ； ，， ， ，即   ∴ 若按照图2作图， 延长、交于点， 同理可得：是等腰三角形， 连接， ， ， ， ， ； 同理，， ，，， ，即，   ， 若按照图3作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意） 故答案为：或． 【点睛】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题意并作出合适的辅助线是解题的关键． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）下列线段能成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查线段成比例的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．依次对每组的四条线段长度按从小到大顺序排列好，然后分别计算前两项的比值和后两项的比值，如果两个比值相等，则说明四条线段成比例，否则不成比例． 【详解】解：A、，故四条线段不成比例，不符合题意； B、，故四条线段成比例，符合题意； C、，故四条线段不成比例，不符合题意； D、，故四条线段不成比例，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法逐一判断即可，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， 由，不能证明，符合题意； 故选：． 3．（20-21九年级上·山西晋城·期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项B，C，D错误， 故选：A． 4．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查位似及相似三角形的性质，熟练掌握位似及相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】解：由与是以点为位似中心的位似图形，可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴与的面积比为； 故选B． 5．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，AD是角平分线，BE是中线，，且，垂足为F，G为DC的中点，连接DE，EG．下列结论错误的是（   ） 如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F， A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，先运用是角平分线，证明，得，证明，故，结合是中线，G为的中点，得是中位线，故，代入数值整理得，在和中，为公共角，但和，和均不相等，相应边不成比例，故和，即可作答． 【详解】解：∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故B选项正确，不符合题意； ∵是中线， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴是中位线， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故C选项正确，不符合题意； 在和中，为公共角， 但和，和均不一定相等，相应边不成比例， 故和不相似， 故D选项错误，符合题意， 故选：D． 二、填空题 6．（2025·湖南株洲·模拟预测）已知，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的求值，比例的性质，将已知转化为，再代入，然后约分即可．掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（2022·四川成都·三模）如图，在中，是边上的一点，若则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形性质，熟记相似三角形中对应线段成比例是解决问题的关键．由得到相似比，将已知线段长度代入求值即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ，解得， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，利用标杆测量楼高，已知，标杆，，，则楼高 ． 【答案】 【分析】根据题意过点A作，垂足为M，交于点N，得出，进而求出的长，进而得出答案． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点A作，垂足为M，交于点N， 则四边形都是矩形， 故， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，点是的四等分点，点是的三等分点（），则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形相似的判定及性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． 求出，，过作交于，根据平行线得出相似，根据相似得出比例式，求出，，推出，即可得出答案． 【详解】解:∵点是的四等分点（），点是的三等分点（）， ∴，， 过作交于Z， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ， 故答案为． 10．（24-25九年级上·河南漯河·期末）矩形中， ，．点在矩形的对角线上，点在边上，满足 ，若 是等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形相似的性质． 根据勾股定理求出，分、两种情况，根据相似三角形的性质计算． 【详解】∵四边形 为矩形，， ∴，， ∴， 当时，， ∵， ∴，即， 解得， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点， ∴， 故答案为：或． 三、解答题 11．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知． (1)如果，求a的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键． （1）设，然后代入求出k，进而可求出a； （2）设，然后代入化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴设， ∴． 12．（25-26九年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点为位似中心，在第一象限内，对进行位似变换，得到（点A，，分别对应点，，），且与的相似比为．其中点坐标为． (1)画出． (2)点E的坐标为______． (3)线段上一点经过变换后对应的点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是位似变换的性质， （1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，再由在第一象限确定D、E、F的坐标，描出D、E、F，再顺次连接D、E、F即可； （2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此可得答案； （3）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵与关于原点位似，且相似比为， ∴点E的坐标为， 故答案为：； （3）解：∵与关于原点位似，且相似比为， ∴线段上一点经过变换后对应的点的坐标为 ， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出边长． 根据矩形的性质可知，根据两直线平行，内错角相等，可知，根据矩形的四个角都是直角，可知，根据两个角对应相等的三角形相似可证结论成立； 根据，可得：，利用勾股定理可以求出，所以可得，根据比例的性质即可求出的长度． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ，是的中点， ， 在中，， ， ， ． 14．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，直径垂直于弦，垂足为点E，连接、，延长交于点F． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用垂径定理得出，利用线段垂直平分线定理得出，利用等腰三角形三线合一性质得出，利用等边对等角得出，等量代换得出，可证，再利用相似三角形的性质即可得证； （2）由，，，得，，由，得，求得，，所以，则，根据相似三角形的性质得，则，由，得，求得． 【详解】（1）证明：连接， ∵直径垂直于弦， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的长是． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，若， ，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．根据得到，根据平行线分线段成比例得到，根据即可求出的长． 【详解】解：∵ ， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 2．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）在平面直角坐标系中，点，以原点O为中心，将缩小为原来的，缩小后图形与在点O同侧，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换的性质，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．本题中缩放前后图形在位似中心的同侧，因此对应点的坐标的比等于k，由此可解． 【详解】解：以原点O为中心，将缩小为原来的，缩小后图形与在点O同侧， 点的对应点的坐标为，即， 故选A． 3．（2025·广东深圳·三模）如图，在中，对角线与相交于点，是延长线上的一点，连接交于点已知，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定及性质，此题难度适中，注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．取的中点，连接，证明，然后由相似三角形的对应边成比例，即可得出答案． 【详解】解：取的中点，连接， 四边形是平行四边形，对角线与相交于点，，， ，，， ，， 点在的延长线上，， ， ， ， ． 故选：C． 4．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，在正方形中，点是的中点，点是上一点，， 点在上， 若， 延长交于点H，若， 则的长为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，由相似三角形的判定和性质，勾股定理得到，设，则，，如图所示，过点作于点，则是矩形，在中，，代入计算得到，由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， ∵点是延长线上一点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点，则是矩形， ∴，，则， ∴， 在中，， ∴，整理得，， 解得，， ∴， ∴， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，等角对等边，相似三角形的判定和性质，勾股定理等值的综合运用，掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质是关键． 5．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，过点D作交的延长线于点C，连接交于点O．下列结论中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④；⑤． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，可求出，由旋转的性质可得，，，可证明四边形是矩形，得到；可证明，得到，，故①正确；可证明，得到，故②错误；证明，，则可证明，故③正确；由全等三角形的性质可得，设，则，由勾股定理得，则，可得；证明，得到，据此可判断④；由全等三角形的性质可得，则，故⑤正确； 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由旋转的性质可得，，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故③正确； ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，即，故④正确； ∵， ∴， ∴ ，故⑤正确； 故选：A． 二、填空题 6．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）若，则 ；若m是5和4的比例中项，则 【答案】 【分析】本题考查了比例的基本性质，比例中项，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据，通过设法表示，再代入求值即可；根据比例中项的定义得到，再利用平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， 设， ∴， 故答案为： ∵m是5和4的比例中项， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在四边形中，平分，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据两个角对应相等的两个三角形相似，证明，然后根据相似三角形的性质得到，再将代入计算，即得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25九年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，、两点被池塘隔开，在外取一点，连结、，在上取点，使，作交于点，量得，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形的判定与相似三角形对应边成比例的性质．先由，得出，再根据相似三角形对应边成比例计算即可得解． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为： 9．（23-24九年级下·全国·期末）如图，在中，，，正方形 的顶点 D，G 分别在边上， 在边 上、则点 C 到 的距离为 ； 的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形面积公式、相似三角形的性质及应用．解题关键是利用数形结合思想，将几何图形的性质与代数方程结合，逐步推导．利用勾股定理求出直角三角形的另一条直角边长度，通过三角形面积的不同表达方式求出点C到的距离；再通过构造辅助线，利用正方形的性质和相似三角形的对应边成比例关系，建立方程求解正方形的边长． 【详解】解：在中，，由勾股定理， ， ， ， ， 解得， 过点C作于点M，交于点N， 四边形是正方形， ， ，且， ， ， 设，则，， ， 解得， 10．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，于点B，于点D，，点P在上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则 ． 【答案】2或12或 【分析】此题考查了相似三角形的性质．注意分类讨论思想的应用是解此题的关键． 分两种情况：与若，再根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】解：若， ∴，即， 解得或12； ②若， ∴，即， 解得． ∴或12或． 故答案为：2或12或． 三、解答题 11．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，，，且． (1)求的值； (2)若线段，，满足，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查比例性质，熟练掌握比例性质是解答的关键． （1）由已知得到，进而代值求解即可； （2）由已知设，，，然后列方程解得，进而求得a、b、c，最后代值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设，，， ∵， ∴，解得， ∴，，， ∴ ． 12．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，． (1)以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，画出． (2)在所给图形中，以原点为位似中心，位似比为，画出放大后的图形； (3)与的周长比是___________；面积比是___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)； 【分析】本题考查坐标与图形变换-旋转，熟练掌握作旋转图形，旋转的性质，作位似图形是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图求解即可； （2）根据位似的性质作图即可； （3）根据位似图形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作： （2）解：如图，即为所求作： （3）解：∵与的位似比为， ∴与的周长比是，面积比是． 故答案为：；． 13．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，已知是的外接圆，是的直径，D为外一点，平分，且． (1)求证：； (2)求证：与相切． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由角平分线的定义得出，再根据即可得出； （2）连接，由相似三角形的性质可得出，然后利用等腰三角形的性质和等量代换得出，从而有，根据平行线的性质即可得出，则结论可证． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴与相切． 14．（24-25九年级下·全国·期末）如图1，在中，点为中点，点在上，、交于点，． (1)写出与相等的角：　　　　　． (2)若，求的值． (3)如图2，若，，，求（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）通过三角形内角和为，等量代换即可得； （2）过点作交于，证，可得，根据相似三角形的判定得，根据相似三角形的性质得出结果， （3），点为中点，得，在直角三角形中，由勾股定理可得结果． 【详解】（1）解：． ． ， 即， 故答案为； （2）过点作交于，如图， ．， 在和中， ， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ，即， 设，， 则，， 解得， ， ； （3），点为中点， ， ， 由（2）知， 得， ． 15．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足． (1)【基础运用】如图，当四边形为矩形时，求证：； (2)【类比探究】如图，当四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由； (3)【拓展迁移】如图，已知，为的中点，，，，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）由四边形为矩形，，可得，，结合，即可求解， （2）由已知可得，进而得到，由，可得，通过等量代换，即可求解， （3）作等腰梯形，利用相似三角形的判定和性质得出，，设，用含的代数式，表示出，，，列出等量关系，即可求解， 本题考查了，矩形的性质、平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练应用相似三角形的线段比，进行求解． 【详解】（1）解：四边形为矩形，， ， ， ， ， ， ， ， ， （2）解：仍然成立，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， （3）解：在线段上取一点，使得， 则四边形为等腰梯形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为中点，， ， 设，则， ， ，，， ， ，， 过点作，交于点， ∴， ， ， 延长交延长线于带你E，如图所示： ， ， 为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ， ， ， （舍去），， ． 16．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，的直径垂直于弦于点E，点P是延长线上异于点D的一个动点，连接交于点，连接交于点，连接，． (1)求证：； (2)若， ①若，求CQ的长； ②若，求与x之间的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2)①；②． 【分析】本题考查了圆的有关性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键根据相似表示出相关线段的长． （1）连接，利用圆周角定理，垂直的意义，通过等量代换得出； （2）①通过证明，可得，即可求解； ②分别求出，，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①如图，连接， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ②∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与是等高的三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为． 17．（2025·江苏连云港·二模）综合与实践 【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的纸是一个长与宽的比为的矩形． 【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为，则这个四边形为类矩形． 【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类矩形？ 【分析并解决问题】 （1）学习小组利用一张纸（）对折一次，使与重合，折叠过程如图1所示，求证：四边形是类矩形； （2）学习小组利用一张正方形纸片折叠2次，展开后得折痕，，再将其沿折叠，使得点B与点E重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形是类矩形； 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形纸片中，垂直平分，，，点E，F，G，H分别是边上的点，将四边形纸片沿折叠，使得点B的对应点落在上，再沿折叠，使得点C，D的对应点分别落在上，若四边形是类矩形，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【分析】本题是四边形的综合题，解题的关键是掌握折叠的性质，矩形的性质和判定，新定义类矩形的理解和运用，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，掌握折叠的性质和新定义的运用是解本题的关键． （1）先证明，再证明四边形是矩形，即可得结论； （2）如图2，由折叠得：，先证明四边形是矩形，如图3，设，，则，根据折叠的性质和等腰直角三角形的性质表示，的长，即可解答； （3）设与交于点，分两种情况：或，①如图4，当时，，根据，，列比例式即可得结论；②如图5，当时，，同理可得结论． 【详解】（1）证明：设，则， 由折叠得，， ，四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是矩形， 四边形是类矩形； （2）证明：如图2，由折叠得：， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是矩形， 如图3，设，，则， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， 四边形是类矩形； （3）设与交于点， 垂直平分， ， 四边形纸片沿折叠，使得点的对应点落在上， ， 同理得：，， 四边形是类矩形， 或， ①如图4，当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图5，当时，， 由①同理得：，， ，即， ， ， ，即， ， ， ， ， ； 综上，的长为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $