2026年中考数学一轮复习学案 --方程（组）与不等式（组））--分式方程

分式方程—综合测试拔高卷 细目表 一级目录 二级目录 三级目录 题号 题型 知识点 一、选择题 1 单选题 运用平方差公式进行运算、解分式方程（化为一元一次）、等式的性质 2 单选题 列分式方程 3 单选题 解分式方程（化为一元一次） 4 单选题 分式方程的行程问题 5 单选题 根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 6 单选题 分式方程的经济问题 7 单选题 根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 8 单选题 分式方程的经济问题 9 单选题 根据分式方程解的情况求值 10 单选题 分式方程的其它实际问题 11 单选题 根据分式方程解的情况求值 12 单选题 解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值 13 单选题 根据分式方程解的情况求值 14 单选题 分式方程的经济问题 15 单选题 分式方程无解问题 16 单选题 列代数式、分式方程和差倍分问题 二、填空题 17 填空题 分式方程的行程问题 18 填空题 分式方程的行程问题 19 填空题 根据分式方程解的情况求值 20 填空题 分式方程和差倍分问题 三、解答题 21 解答题 根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题、解分式方程（化为一元一次） 22 解答题 新定义下的实数运算、解分式方程（化为一元一次）、二次根式的除法、二次根式的加减运算 23 解答题 异分母分式加减法、分式方程无解问题、求使分式值为整数时未知数的整数值 24 解答题 分式方程的行程问题 25 解答题 新定义下的实数运算、分式方程的其它实际问题、通过对完全平方公式变形求值 26 解答题 分式方程的经济问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 27 解答题 二元一次方程的解、分式方程的经济问题 试卷内容 一、选择题 1．在解一个分式方程时，老师设计了一个接力游戏，规则是：每人只能看见前一个人给的式子，进行一步计算后将结果传递给下一个人，最后完成计算．下面是其中一个组的解答过程，老师给甲，甲一步计算后写出结果给乙，乙一步计算后写出结果给丙，丙一步计算后写出结果给丁，丁最后算出结果． 老师：． 甲：． 乙：． 丙：． 丁：解得，． 在接力中，出现计算错误步骤的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题（椽—装于屋顶以支持屋顶材料的木杆）． 设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 3．对于非零实数，规定：．若，则的值为（   ） A． B． C． D．不存在 4．一个人步行从地出发，匀速向地走去；同时另一个人骑摩托车从地出发，匀速向地驶去．两人在途中相遇，如果骑摩托车者立即把步行者送到地，再向地驶去，这样他在途中所用的时间是他从地直接驶往地所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者与步行者的速度比是（   ） A． B． C． D． 5．关于的分式方程有解，则字母的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 6．某校计划投资80000元建设几间新教室．为了保证教学质量，实际每间教室的建设费用增加了，并比原计划多建设了一间教室，总投资追加了40000元．根据题意，原计划每间教室的建设费用是（   ） A．16000元 B．18000元 C．20000元 D．24000元 7．有一分式方程．若该方程有增根，则m的值是（   ） A．-5 B． C． D．0 8．某服装店用4000元购进一批某品牌的文化衫若干件，很快售完，该店又用6300元购进第二批这种文化衫，所进的件数比第一批多，每件文化衫的进价比第一批每件文化衫的进价多10元，则购进的第一批文化衫的件数（    ） A．46件 B．48件 C．50件 D．52件 9．已知关于的方程有整数解，且，则所有满足条件的整数的和是（    ） A． B． C． D． 10．为了改善生态环境，防止水土流失；某村计划在荒坡上种480棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种，结果提前4天完成任务．则原计划每天种树（    ） A．30棵 B．28棵 C．25棵 D．20棵 11．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 12．已知关于的分式方程，对于该方程的解，甲、乙两人有以下说法：甲：若方程的解是负数，则；乙：当时，方程的解是正数．关于甲、乙两人的说法，正确的是（    ） A．甲、乙都对 B．只有甲对 C．只有乙对 D．甲、乙都错 13．若是整数，且关于的方程有整数根，则的值是（    ） A．3或5 B．或5 C．或3 D．或 14．欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家．在欧拉的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖的钱数相同，第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称），”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖个克罗索．”此题中第一个农妇的每个鸡蛋价格是（    ） A．个克罗索 B．个克罗索 C．个克岁索 D．个克罗索 15．若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 16．现有若干防疫口罩，疫情防控人员计划将这些口罩分为两批，分别在两周内分发完毕．第一周将第一批口罩数量按照1：3：4的比例分发给、、三个小区且全部分完．第二周先拿出第二批口罩数量的20%分发给社区工作人员，再将剩余口罩的分发给小区，则小区两周收到的口罩数量与三个小区两周收到的口罩数量之和的比为2：9.若、小区两周收到的口罩数量之比为3：4，则小区第二周收到的口罩数量与口罩总数量之比为（　　） A．8：41 B．9：43 C．8：43 D．9：41 二、填空题 17．甲、乙两列客车的长分别为150米和200米，它们相向匀速行驶在平行的轨道上，已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒，那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是 秒． 18．八年级数学教师邱龙从家里出发，驾车去离家的风景区度假，出发一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原速的1.5倍匀速行驶，并提前40分钟到达风景区；第二天返回时以去时原计划速度的1.2倍行驶回到家里.那么来回行驶时间相差 分钟. 19．若方程的解不大于13，则的取值范围是 ． 20．某中学假期后勤中的一项工作是请名木工制作把椅子和张课桌，已知一名工人在单位时间内可以制作把椅子或张课桌，将这名工人分成两组，一组制作课桌，一组制作椅子，两组同时开工．应分配 人制作课桌，才能使完成此项工作的时间最短． 三、解答题 21．已知关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 22．对于任意两个非零实数a，b，定义运算如下：． 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： （1） ， ； （2）如果，那么x ＝ ； （3）如果，求x的值． 23．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 24．某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）． （1）扶梯露在外面的部分有多少级？ （2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？ 25．阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于x的方程的解为． (1)理解应用：方程的解为：　　，　　； (2)知识迁移：若关于x的方程的解为，求的值； (3)拓展提升：若关于x的方程的解为，求的值． 26．在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区某驻村干部组织村民依托著名电商平台“拼多多”组建了某土特产专卖店，专门将进货自本地各家各户的A、B两款商品销售到全国各地．2020年10月份，该专卖店第一次购进A商品40件，B商品60件，进价合计8400元；第二次购进A商品50件，B商品30件，进价合计6900元． （1）求该专卖店10月份A、B两款商品进货单价分别为多少元？ （2）10月底，该专卖店顺利将两次购进的商品全部售出．由于季节原因，B商品缺货，该专卖店在11月份和12月份都只能销售A商品，且A商品11月份的进货单价比10月份上涨了m元，进价合计49000元；12月份的进货单价又比11月份上涨了0.5m元，进价合计61200元，12月份的进货数量是11月份进货数量的1.2倍．为了尽快回笼资金，A商品在11月份和12月份的销售过程中维持每件150元的售价不变，到2021年元旦节，该专卖店把剩下的50件A商品打八折促销，很快便售完，求该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为多少元？ 27．根据以下素材，探索完成任务 设计购买欲兑换方案 素材1 小明在同学家尝到米鸭蛋（松花粉馅的青团）非常好吃，特意打听它的价格，同学妈妈说：“具体价格我忘记了，只记得米鸭蛋的单价是咸青团单价的2倍，当时我买了米鸭蛋和咸青团两种，我用40元买米鸭蛋的数量比30元买咸青团的数量少了4个．” 素材2 小明妈妈准备花200元购买两种青团给小明和亲友吃，这两种青团的数量都不少于20个，且咸青团的数量是10的倍数． 素材3 小明妈妈按素材2中方案支付200元买青团时，获赠五一促销活动的兑换券（）张，兑换后，米鸭蛋数量与咸青团数量相同    问题解决 任务1： 探求两种青团的单价 请求出米鸭蛋和咸青团的单价 任务2： 探究购买方案 探究小明妈妈购买两种青团的所有方案 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定的值，并说明小明妈妈的兑换方式 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《分式方程—综合测试拔高卷》参考答案： 1．B 【分析】本题考查了解分式方程，等式的性质，单项式乘多项式，平方差公式，合并同类项法则等知识点，根据等式的性质，去括号法则，平方差公式，整式的乘法逐个判断即可． 【详解】解：出现错误的是乙同学，应为． 故选：B． 2．D 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程．根据如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，列出方程即可． 【详解】解：∵如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， ∴可列方程为：； 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了解分式方程，根据新定义将所求式子化为普通方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了行程问题在分式方程中的应用．如果设步行者的速度为1，骑摩托车者的速度为，两地相距，那么根据时间路程速度，可知骑摩托车者从地直接驶往地原计划所用时间为，而实际他在途中所用的时间可看作三段时间的和．当他骑摩托车从地出发，匀速向地驶去，与步行者在途中相遇用去时间；他把步行者送到地又用去时间；他再向地驶去又用去时间，这三段时间的和是骑车者原计划所用时间的2.5倍，即，根据这个等量关系列出方程，求出的值即可． 【详解】解：设步行者的速度为1，骑摩托车者的速度为，两地相距． 由题意，有， ， 解得， 经检验是原方程的根， ． 即骑摩托车者的速度与步行者速度的比是． 故选：B． 5．C 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据方程有解得到，则且． 【详解】解： 去分母得：， 移项，合并同类项得， ∵关于的分式方程有解， ∴， ∴且， 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系． 设原计划每间教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为，根据“实际每间建设费用增加了，并比原计划多建设了一间教室，总投资追加了4000元”列出方程求解即可． 【详解】解：设原计划每间教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， 答：原计划每间教室的建设费用是20000元， 故选：C． 7．D 【分析】由该方程有增根，可得：或，代入分式方程的解，即可求出m的值，本题考查了分式方程的增根，方程解的情况，解题的关键是：熟练掌握根据分式方程解的情况求参数的值． 【详解】解：， 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项得： 当时，方程无解， 当时，， 方程有增根， 或，即：或， 或，解关于的方程，得：无解或， 故选：． 8．C 【分析】本题考查了分式方程的应用，设第一批购进文化衫x件，根据数量总价单价结合第二批每件文化衫的进价比第一批每件文化衫的进价多10元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论 【详解】解：设第一批购进文化衫x件，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 即：第一批购进文化衫50件． 故选：C 9．D 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，先求出分式方程的解，根据分式方程有整数解及，可得整数，，，又根据可得，进而得到满足条件的整数的值为，，据此即可求解，根据题意求出满足条件的整数的值是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵方程有整数解，且， ∴整数，，， 又∵， ∴， ∴， ∴满足条件的整数的值为，， ∴所有满足条件的整数的和为， 故选：． 10．A 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设原计划每天种树棵，则实际每天种树棵，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前4天完成任务，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设原计划每天种树棵，则实际每天种树棵， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 原计划每天种树30棵． 故选：A 11．B 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解分式方程得，由关于x的分式方程的解为非负数，可得，，计算求解，然后判断作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， ∵关于x的分式方程的解为非负数， ∴，， 解得，且， 故选：B． 12．C 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．根据解分式方程的方法可得，根据正负数，可得，由此即可求解． 【详解】解：， 去分母得，，且， ∴，且， 当时，，且， ∴且， ∴当方程的解为负数时，且， ∴甲的说法错误； 当时，， ∴， ∴当时，方程的解为正数， ∴乙的说法正确； ∴甲说法错误、乙说法正确， 故选：C． 13．A 【分析】本题主要考查解分式方程，解分式方程，用含m的代数式表示x，根据整数的意义可得m的值．解题的关键是将分式方程转化为整式方程，求出方程的解． 【详解】解： 去分母得： 化简得： 当时， 方程有整数根，的值是整数， 当时，，方程的根； 当时，，方程的根（增根，舍去）； 当时，，方程的根； 当时，，方程的根（增根，舍去）． 故选：A． 14．B 【分析】本题考查列分式方程解应用题．根据两人卖鸡蛋的钱数相等，列分式方程求得这两名农妇各带来多少个鸡蛋，再计算出第一个农妇每个鸡蛋的单价即可． 【详解】解：设第一个农妇带来个鸡蛋，第二个妇女带了个．由题意得： ． 解得：， 检验：当时，，符合题意． ． 即第一个农妇带了40个鸡蛋，第二个农妇带了60个鸡蛋． ∴第一个农妇的鸡蛋价格为：个克罗索． 故选：B． 15．D 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，正确理解分式方程的无解的含义是解答本题的关键．此分式方程无解的含义包含两种情况，其一是使得分母为零的根，是原方程的增根，在去分母后，将使分母为零的根分别代入，可求得m的值；其二是去分母后的方程无解，即方程左边为零，右边不为零，可求得m的值． 【详解】去分母，得， 整理得， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，，方程无解； 综上所述，满足题意的的值为或或， 故选D． 16．B 【分析】先设出相应的量，利用题意表示出它们的关系，再列式求解即可． 【详解】解：设第一批和第二批口罩数量分别为a和b，小区第二周收到的口罩数量为x，由题意可得如下信息： A B C 三个小区口罩总量 第一周 第二周 ∵小区两周收到的口罩数量与三个小区两周收到的口罩数量之和的比为2：9， ∴， ∴， 由、小区两周收到的口罩数量之比为3：4， ∴、、三个小区两周收到的口罩数量之和的比为， ∴即， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了列代数式的应用，解题关键是正确理解题意，根据其中的比例关系正确表示出第一周和第二周的A和B两个小区的口罩数量，以及求出a和b的数量关系，本题较为抽象，学生在审题上易出现困难． 17．7.5 【分析】坐在甲车上的某乘客看见乙车驶过窗口，此时路程为乙车的长度，速度为甲乙两车速度之和；坐在乙车上的乘客看见甲车驶过窗口，此时路程为甲车长度，速度为两人速度之和．等量关系为：乙车长度÷坐在甲车上的乘客看见乙车驶过窗口的时间=甲车长度÷坐在乙车上的乘客看见甲车驶过窗口所用的时间，列方程求解即可． 【详解】解：设乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是秒 由题意知， 解得 经检验，是原方程的解 ∴乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是7.5秒 故答案为：7.5． 【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题的关键在于根据题意列正确的方程． 18．10 【分析】设从家到风景区原计划行驶速度为xkm/h，根据“实际时间=计划时间－”得出方程，求出原计划的行驶速度，进而计算出从家到风景区所用的时间以及回家所用的时间，即可得出结论． 【详解】设从家到风景区原计划行驶速度为xkm/h，根据题意可得： 1， 解得：x=60， 检验得：x=60是原方程的根． ∴第一天所用的时间=(小时)， 第二天返回时所用时间=180÷(60×1.2)=2.5(小时)， 时间差=2.5－=(小时)=10(分钟)． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确得出方程是解答本题的关键． 19．且k≠±1. 【分析】通过去分母去括号，移项，合并同类项，求出，结合条件，列出关于k的不等式组，即可求解. 【详解】 方程两边同乘以(x-6)(x-5)，得：， 去括号，移项，合并同类项，得：， 解得：， ∵方程的解不大于13，且x≠6，x≠5， ∴且， ∴且k≠±1. 故答案是：且k≠±1. 【点睛】本题主要考查含参数的分式方程的解法，掌握分式方程的解法，是解题的关键. 20． 【分析】设制作课桌的工人为名，则制作椅子的工人有名，分别表示出制作椅子和课桌所需要的时间，列出分式方程求解． 【详解】解：设制作课桌的工人为名，则制作椅子的工人有名， 则制作把椅子所需时间， 制作张课桌所用的时间为， 令， 当值最小时，表示工人分别完成两项工作的时间最接近，此时完成此项工作时间最短， 当时，即， 解得不符合实际， 当时，， 当时，， 即当时，完成此项工作时间最短． 故答案是：13． 【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是找出等量关系列出分式方程求解． 21．(1) (2)或时，分式方程无解； (3)满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值． 【详解】（1）解：把，代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原分式方程的解为：； （2）解：把代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， ①当即时，原分式方程无解； ②当时，得， Ⅰ.时，原分式方程无解， 即，此时b不存在； Ⅱ.时，原分式方程无解， 即时， 此时； 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得， 解得：， ∵b为正整数，x为非负整数， ∴必为40的因数，， ∴或或或， 对应地，方程的解或2或12或32， 又为分式方程的增根，故应舍去， 对应地，b只可以取1或4或5， ∴满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握． 22．（1），；（2）；（3）． 【分析】（1）根据新定义的运算进行计算即可求解； （2）根据得到，解分式方程即可求解； （3）根据-2＜0，得到=-2+x，对分大于0和小于0两种情况讨论，得到方程，解方程并对答案进行验证，问题得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， 故答案为：，； （2）∵， ∴=， ∴ ， 解得， 经检验，是方程的解， 故答案为：-1； （3）∵-2＜0， ∴=-2+x． ①当时， ， 解得：， 经检验是原方程的解，但不符合， ∴舍去． ②当时， ， 解得：．     经检验是原方程的解，且符合． ∴． 【点睛】本题考查了新定义问题，二次根式的运算，解分式方程等知识，综合性较强，理解定义的新运算是解题关键，注意第（3）问要分类讨论． 23．(1)A与B是互为“和整分式”， “和整值”； (2)①；② (3)的值为：或． 【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． ∴A与B是互为“和整分式”， “和整值”； （2）①∵，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数， ∴或， ∴（舍去）； （3）由题意可得：， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵方程无解， ∴或方程有增根， 解得：， 当，方程有增根， ∴， 解得：， 综上：的值为：或． 【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． 24．（1）扶梯露在外面的部分有48级；（2）在楼梯上，176级 【分析】（1）如果扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为2a级，扶梯每分钟向上运动b级．题中有两个等量关系，甲走24级的时间等于扶梯走（2a＋b）级的时间；乙走16级的时间等于扶梯走（a＋b）级的时间，据此列出方程组，求出x的值即可； （2）如果设甲第一次追上乙时走过自动扶梯m遍，走过楼梯n遍，那么乙走过自动扶梯（m−1）遍、走过楼梯（n−1）遍．根据两人所走的时间相等，列出方程．将（1）中求得的y与x的关系式y＝2x代入，可得6n＋m＝16．由已知条件可知m、n中一定有一个是正整数，且0≤m−n≤1．通过试验可以求出m，n的具体值，进而求出结果． 【详解】解：（1）设扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为级，扶梯每分钟向上运动级， 由题意得：， ①÷②得：， 整理得：， 代入②得． 答：扶梯露在外面的部分有48级； （2）设追上乙时，甲扶梯走了遍，楼梯走了遍，则乙走扶梯遍，走楼梯遍． 由题意得：， 整理得：， 这里，中必有一个是整数，且． ①若为整数，则． ∴（不合，舍去），（不合，舍去）（符合条件） （不合，舍去）（不合，以后均不合，舍去） ②若n为整数，， ∴，，，…，这些均不符合要求， ∴，此时，甲在楼梯上． ∴（级）． 【点睛】本题考查分式方程在行程问题中的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题属于竞赛题型，有一定难度．难点在于自动扶梯在上升，具有一定的速度，同时甲、乙也在上楼梯，变化量较多．解题时要善于抓住不变量，只有不变量才是列方程的依据．另外，本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题． 25．(1)5， (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得或； （2）由题意可得，再由完全平方公式可得； （3）方程变形为，则方程的解为或，则有，整理得，再将所求代数式化为，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵的解为， ∴的解为或， 故答案为：5，； （2）∵方程， ∴， ∴； （3）方程可化为， 设，方程变形为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键． 26．（1）该店A、B两款商品进货单价分别为90元和80元；（2）该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为163500元． 【分析】（1）设每件A种商品的进价为x元，每件B种商品的进价为y元，根据“若购进A种商品40件，B种商品60件，需要8400元；若购进A种商品50件，B种商品30件，需要6900元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据题意，可以得到相应的分式方程，从而可以得到m的值，然后即可计算出商店销售这两批A商品的销售总金额． 【详解】（1）设10月份A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，由题意得： ， 解得， ， 答：该店A、B两款商品进货单价分别为90元和80元； （2）由题意可得， ， 解得，m=8， 经检验，m=8是原分式方程的解， 故11月份购进的A商品数量为（件）， 12月份购进的A商品数量为500×1.2=600（件）， （500+600-50）×150+150×0.8×50=163500（元）． 答：该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为163500元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和分式方程，注意分式方程要检验． 27．任务1：米鸭蛋的单价为5元/个，咸青团的单价为2.5元/个；任务2：小明妈妈购买两种青团的方案有三种：A方案咸青团20个，米鸭㿿30个；B方案咸青团30个，米鸭蛋25个；C方案咸青团40个，米鸭蛋20个；任务三：当总计有5张兑换券时即，用5张兑换券㛟10个咸青团或5个米鸭蛋；当总计有8张兑换券时即，用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，或者用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋 【分析】任务1：设咸青团的单价为元/个，则米鸭蛋的单价为元个，列分式方程，解方程即可求解； 任务2：设小明妈妈准备买咸青团个，米鸭蛋个，根提素材2可列方程：，再结合，都不少于20，且是10的倍数，即可作答； 任务3：根据1张兑换券可兑换1个米鸭蛋或2个咸青团，有兑换券（）张，设用其中的t张兑换个咸青团，余下的张兑换个米鸭蛋，即：，根据任务二中的购买方案，结合兑换后，米鸭蛋与咸青团个数相等，可以列出二元一次方程，再结合，，，，m、t均为正整数，即可作答． 【详解】解：任务1：设咸青团的单价为元/个，则米鸭蛋的单价为元个， 根据素材1可列方程；，解得 经检验，是原方程的解， ∴（元/个） 答：米鸭蛋的单价为5元/个，咸青团的单价为2.5元/个． 任务2：设小明妈妈准备买咸青团个，米鸭蛋个， 根提素材2可列方程：， ∴， ∵，都不少于20，且是10的倍数， ∴，，． 答：小明妈妈购买两种青团的方案有三种：A方案咸青团20个，米鸭㿿30个；B方案咸青团30个，米鸭蛋25个；C方案咸青团40个，米鸭蛋20个； 任务3：根据1张兑换券可兑换1个米鸭蛋或2个咸青团，有兑换券（）张， 设用其中的t张兑换个咸青团，余下的张兑换个米鸭蛋， 即：， 结合任务2可知， 对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时， 可列方程：， 即：， ∵，，，m、t均为正整数， ∴当时，，即用5张兑换券换10个咸青团，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 当时，，，即用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时， 可列方程：， 即， ∵，，，，m、t均为正整数， ∴当时，，即用5张兑换券换5个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 当时，，，即用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时， 可列方程：， 即，不符合题意舍去； 综上：小明妈妈的兑换方式有四种：当总计有5张兑换券时即，用5张兑换券㛟10个咸青团或5个米鸭蛋；当总计有8张兑换券时即，用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，或者用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用等知识，明确题意，正确列式，是解答本题的关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $