精品解析：重庆市第三十七中学校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

重庆市第三十七中学校初2024级 2025-2026学年度（上）期期中测试 数学试卷 （本卷共25题，满分150分，120分钟完卷） 一、单选题 1. 以下四个数中，无理数是（ ） A. B. C. 0 D. 3 2. 以下列各数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，2 B. 1，，2 C. 4，5，6 D. 2，，3 3. 若点在第二象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 估算的取值范围（ ） A. 6和7之间 B. 8和9之间 C. 9和10之间 D. 10和11之间 5. 下列从左到右的变形不一定正确的是（） A. B. C. D. 6. 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 若正比例函数经过第二、四象限，则下列关于函数的图象正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为（　　） A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 米 9. 国庆假期，芳芳与小雯两家各自驾驶甲、乙两车从宣城出发匀速行驶至上海，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开宣城的距离与两车行驶的时间之间的函数关系如图所示，下列判断错误的是（ ） A. 乙车的速度是 B. 乙车比甲车晚出发，却早到 C. 乙车出发后追上甲车 D. 当甲、乙两车相距时，或 10. 如图，在平面直角坐标系中，△，△，△，△，，都是等腰直角三角形，且点，，，，的坐标分别为，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标为（） A. （2，25） B. （2，26） C. （，） D. （，） 二、填空题 11. 化简：＝_______． 12. 若是关于x的正比例函数，则m的值是______． 13. 甲、乙两人各自记录了自己从家到学校所用的时间（单位：min）． 甲：15 12 15 13 16 14 13 14 乙：16 20 12 22 13 25 13 19 从四分位数和箱线图比较，从家到学校所用时间较稳定的是_______． 14. 如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，则这块地的面积为______平方米． 15. 如图，直线与 交点的横坐标为1，则关于、 的二元一次方程组的解为_____________． 16. 若一个四位数满足的千位数字与百位数字的和与它们的差的积恰好是的后两位数字组成的两位数，则称这个四位数为“和差数”，则最大的“和差数”为______；将和差数的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到的新数记为，记，当、均为整数时，则满足条件的所有的最小值为______． 三、解答题 17. （1）计算：； （2）计算：． 18. 解方程组 （1） （2） 19. 如图，已知点在的边上，且． （1）用直尺和圆规作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，判断与的位置关系，并把证明过程补充完整． 判断： ① ，理由如下： ∵（已知） ∴ ② （ ③ ） 又∵平分（已知） ∴（ ④ ） 又∵ ∴（等量代换） ∴ ⑤ （ ⑥ ） 20. 为了解甲、乙两校学生英语口语的学习情况，每个学校随机抽取20个学生进行测试，测试后对学生的成绩进行了整理和分析，绘制成了如下两幅统计图．（数据分组为：组：，组：，组：，组：） a．甲校学生的测试成绩在组的是：80，82.5，82.5，82.5，85，85，85.5，89，89.5 b．甲、乙两校成绩的平均数，中位数，众数如表： 平均数 中位数 众数 甲校 83.2 82.5 乙校 80.6 81 80 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中________，扇形统计图中组所在的圆心角度数为________度，乙校学生的测试成绩位于组的人数为________人． （2）在此次测试中，甲校小明和乙校小华的成绩均为82.5分，则两位同学在本校测试成绩中的排名更靠前的是________（填“小明”或“小华”），理由：______（至少写一条）． （3）假设甲校学生共有400人参加此次测试，估计成绩超过86分的人数． 21. 在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）请画出关于y轴对称的（其中，，分别是A，B，C的对应点）； （2）写出，，三点的坐标：______，______，______； （3）平面内一点关于y轴对称的点的坐标为______，点关于x轴对称的点的坐标为______； 22. 2025年1月7日西藏定日县发生6.8级地震，自治区应急、交通等部门给予大力帮助．针对灾区房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查，现安排甲、乙两种货车从某医药公司仓库运输物资到地震灾区，两种货车的情况如表： 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨 第一次 3 4 27 第二次 4 5 35 （1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ （2）据了解，这次运输中，每辆车都装满，甲种货车拉每吨货物耗费100元，乙种货车拉每吨货物耗费150元，有5辆车参与运货，其中甲种货车辆．求货车所需总费用与之间的函数关系式；当所需总费用为2350元，该如何安排拉货？ 23. 如图，在矩形中，，，点为线段的中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着运动，连接，，设点的运动时间为，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质： （3）已知，请结合函数图象，直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，且与正比例函数的图象交于点． （1）求m的值及一次函数的表达式； （2）若P是x轴上一点，且的面积是6，求点P的坐标． 25. 我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形． （1）如图1，四边形为垂美四边形，若，，，，求证：． （2）如图2，在长方形中，，分别交，于点F，E，，求的长． （3）在（2）的条件下，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第三十七中学校初2024级 2025-2026学年度（上）期期中测试 数学试卷 （本卷共25题，满分150分，120分钟完卷） 一、单选题 1. 以下四个数中，无理数是（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的概念是解题的关键；根据“无限不循环小数是无理数”进行求解即可． 【详解】解：是无理数，而其他选项都不符合无理数的概念； 故选B． 2. 以下列各数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，2 B. 1，，2 C. 4，5，6 D. 2，，3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果两条较小边的平方和等于最大边的平方，此时的三角形是直角三角形，此为本题解题的关键． 利用勾股定理逆定理逐一判断即可． 【详解】解：A、，，，故不能构成直角三角形， B、，，，故能构成直角三角形， C、，，，故不能构成直角三角形， D、，，，故不能构成直角三角形， 故选：B． 3. 若点在第二象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查象限点的概念，熟悉各象限点的特征是解题的关键． 由题知，解得，接着得到，再根据象限点的特征判断即可． 【详解】解：因为点在第二象限， 所以，解得， 所以，又， 所以点在第三象限． 故选：C． 4. 估算的取值范围（ ） A. 6和7之间 B. 8和9之间 C. 9和10之间 D. 10和11之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算以及无理数的估算，熟练掌握运算法则是解题关键；通过分配律简化表达式，再判断其整数范围． 【详解】解：∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 取值范围在10和11之间． 故选：D． 5. 下列从左到右的变形不一定正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根的性质．选项A、B、C在满足条件时总是成立，而选项D中，即使左边有意义，右边也可能无意义（当且时），因此变形不一定正确． 【详解】解：∵平方根的被开方数必须非负， A、左边要求且，此时右边也有意义且等式成立，故变形正确； B、对任意实数a成立，故变形正确； C、当，成立，变形正确； D、左边要求，但当且时，左边有意义，右边无意义，等式不成立，故变形不一定正确． 故选：D． 6. 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中线的性质，得△ABE的面积是△ABD的面积的一半，△ABD的面积是△ABC的面积的一半，由此即可解决问题； 【详解】解：∵AD是△ABC的中线， ∴， ∵CE是△ABD的中线， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线的性质等知识，解题的关键是掌握三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分． 7. 若正比例函数经过第二、四象限，则下列关于函数的图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，一次函数的图象，一次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键． 先根据题意得出，进而可得出结论． 【详解】解：正比例函数经过第二、四象限， ， ，， 函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：D． 8. 如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为（　　） A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，解题关键是把长方体展开后用了勾股定理求出对角线的长度．昆虫有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）两个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的路径． 【详解】解：由题意得， 路径一： ； 路径二： ； 路径三： ； ∵， ∴5为最短路径． 故选：C． 9. 国庆假期，芳芳与小雯两家各自驾驶甲、乙两车从宣城出发匀速行驶至上海，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开宣城的距离与两车行驶的时间之间的函数关系如图所示，下列判断错误的是（ ） A. 乙车的速度是 B. 乙车比甲车晚出发，却早到 C. 乙车出发后追上甲车 D. 当甲、乙两车相距时，或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键． 先设甲的函数关系式为，乙的函数关系式为，再根据函数图象进行求解并逐一判断即可． 【详解】解：设甲的函数关系式为，乙的函数关系式为， 由函数图象得，将代入到甲的函数关系式中，代入到乙的函数关系式中， ∴，， 解得， ∴甲的函数关系式为，乙的函数关系式为， A、乙车速度为，该选项正确，不符合题意； B、乙车在时出发，在到达，甲车在时出发，在到达，则乙车比甲车晚出发，却早到，该选项正确，不符合题意； C、联立两个函数解析式得， 解得， ∵乙车在时出发， ∴乙车出发后追上甲车，该选项正确，不符合题意； D、当乙出发前：， 解得，选项中没有； 乙出发后到甲到达前(：， 解得或； 乙到达后： 解得，选项中也没有，故该选项错误，符合题意； 故选D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，△，△，△，△，，都是等腰直角三角形，且点，，，，的坐标分别为，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标为（） A. （2，25） B. （2，26） C. （，） D. （，） 【答案】B 【解析】 【分析】由题意根据图形可知脚码除以4余1与3的点在x轴上，余2的点在第一象限内，没有余数的在第四象限内，再观察其坐标数的规律便可得解． 【详解】解：根据题意可得，A2的坐标（2，1）， A6的坐标（2，2）， A10的坐标（2，3）， …， ∵102=25×4+2， ∴A102的纵坐标为（102+2）÷4=26， ∴A102的坐标（2，26）． 故选：B． 【点睛】本题考查点的坐标规律的变化，仔细观察图形，先确定点A102是属于脚码除以4，余数为2的点，在第一象限的点，再确定这些点它的横坐标都为2不变，纵坐标为（n+2）÷4． 二、填空题 11. 化简：＝_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 12. 若是关于x的正比例函数，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义， 一般地，形如（k是常数，且）的函数叫做正比例函数，据此求解即可． 【详解】解：∵是关于x的正比例函数， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 甲、乙两人各自记录了自己从家到学校所用的时间（单位：min）． 甲：15 12 15 13 16 14 13 14 乙：16 20 12 22 13 25 13 19 从四分位数和箱线图比较，从家到学校所用时间较稳定的是_______． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查数据的稳定性分析，掌握通过观察数据的离散程度，结合四分位数和箱线图判断数据稳定性是解题的关键． 要判断从家到学校所用时间较稳定的是谁，需分析甲、乙两人数据的离散程度，可通过四分位数和箱线图的特征，即数据的波动情况来判断． 【详解】解：甲的数据排序为，数据个数， ； ； ； 箱线图的箱体长度： 乙的数据排序为， ； ； ； 箱线图的箱体长度： 甲的箱体长度2小于乙的箱体长度8，说明甲的数据离散程度更小，结合箱线图，甲的数据波动更小，所以从家到学校所用时间较稳定的是甲． 故答案为：甲． 14. 如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，则这块地的面积为______平方米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积，勾股定理的逆定理，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∴（负值已舍去）， 在中，，， ∴， ∴， ∴则这块地的面积为： ． 故答案为： 15. 如图，直线与 交点的横坐标为1，则关于、 的二元一次方程组的解为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：直线与交点的横坐标为1， 纵坐标为， 两直线交点坐标， 关于，的方程组的解为． 16. 若一个四位数满足的千位数字与百位数字的和与它们的差的积恰好是的后两位数字组成的两位数，则称这个四位数为“和差数”，则最大的“和差数”为______；将和差数的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到的新数记为，记，当、均为整数时，则满足条件的所有的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，代数式求值，根据“和差数”的定义计算即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：当千位数字取，百位数字取时，得，此时所得“和差数”最大， ∴最大的“和差数”为； ∵，为整数， ∴是的倍数，且， 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，符合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，符合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，符合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； ∴符合题意的有，，， ∴最小值为， 故答案为：，． 三、解答题 17. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】， 【解析】 【分析】（1）先化简为最简二次根式，然后计算加减法即可； （2）利用平方差公式计算乘法，同时计算除法，然后计算加减即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】题目主要考查二次根式的混合运算及平方差公式，熟练掌握运算法则是解题关键． 18. 解方程组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能选择恰当的方法进行求解是解题的关键． （1）先用加减消元法求出，将代入①求出，即可求解； （2）原方程组可化为，将方程组的第二个方程化为，用代入消元法进行求解即可． 【小问1详解】 解：①得， ③， ②③得， ， 解得：， 将代入①得， ， 解得：， 原方程组的解为； 【小问2详解】 解：原方程组可化为， 由②得， ③， 将③代入①得， ， 解得：， 将代入③得， ， 原方程组的解为． 19. 如图，已知点在的边上，且． （1）用直尺和圆规作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，判断与的位置关系，并把证明过程补充完整． 判断： ① ，理由如下： ∵（已知） ∴ ② （ ③ ） 又∵平分（已知） ∴（ ④ ） 又∵ ∴（等量代换） ∴ ⑤ （ ⑥ ） 【答案】（1） 解：即为所求作的的平分线，如图所示： （2）；；等边对等角；角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】（1）先以点D为圆心，任意长为半径画弧，与、交于两点，再以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接D与该点，交与点E，即可得出的平分线； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出，证明，根据平行线的判定得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵（已知）， ∴（等边对等角）， 又∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 又∵， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；等边对等角；角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题主要考查了作一个角的平分线，平行线的判定，等腰三角形的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行． 20. 为了解甲、乙两校学生英语口语的学习情况，每个学校随机抽取20个学生进行测试，测试后对学生的成绩进行了整理和分析，绘制成了如下两幅统计图．（数据分组为：组：，组：，组：，组：） a．甲校学生的测试成绩在组的是：80，82.5，82.5，82.5，85，85，85.5，89，89.5 b．甲、乙两校成绩的平均数，中位数，众数如表： 平均数 中位数 众数 甲校 83.2 82.5 乙校 80.6 81 80 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中________，扇形统计图中组所在的圆心角度数为________度，乙校学生的测试成绩位于组的人数为________人． （2）在此次测试中，甲校小明和乙校小华的成绩均为82.5分，则两位同学在本校测试成绩中的排名更靠前的是________（填“小明”或“小华”），理由：______（至少写一条）． （3）假设甲校学生共有400人参加此次测试，估计成绩超过86分的人数． 【答案】（1），144 ，4 （2） 解：小明的成绩为82.5分，在甲校中位数85.25分以下，而小华的成绩82.5分，在乙校中位数81分以上，因此小华的成绩排名在前． （3）180 【解析】 【分析】此题主要考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体等知识，理解中位数的概念，掌握“”是解答本题的关键． （1）根据中位数的定义即可求解；求出乙校组所占的百分比即可求出相应的圆心角度数；根据组的人数及所占的百分比即可求出调查人数，进而求出组的人数； （2）根据甲、乙两个学校的中位数以及小明、小华的成绩进行判断即可； （3）求出甲校成绩在分以上的学生所占的百分比，进而求出整体中成绩在分以上的学生人数． 【小问1详解】 解：将甲校的名学生的成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为，即， ，人， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：人， 答：甲校学生中成绩超过分的大约有人． 21. 在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）请画出关于y轴对称的（其中，，分别是A，B，C的对应点）； （2）写出，，三点的坐标：______，______，______； （3）平面内一点关于y轴对称的点的坐标为______，点关于x轴对称的点的坐标为______； 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握关于轴，轴对称的点的特征，是解题的关键； （1）找点，描点，连线画出即可； （2）根据点的位置，写出点的坐标即可； （3）根据关于轴，轴对称的点的特征进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图可知：； 【小问3详解】 由题意，点关于y轴对称的点的坐标为，关于x轴对称的点的坐标为． 22. 2025年1月7日西藏定日县发生6.8级地震，自治区应急、交通等部门给予大力帮助．针对灾区房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查，现安排甲、乙两种货车从某医药公司仓库运输物资到地震灾区，两种货车的情况如表： 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨 第一次 3 4 27 第二次 4 5 35 （1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ （2）据了解，这次运输中，每辆车都装满，甲种货车拉每吨货物耗费100元，乙种货车拉每吨货物耗费150元，有5辆车参与运货，其中甲种货车辆．求货车所需总费用与之间的函数关系式；当所需总费用为2350元，该如何安排拉货？ 【答案】（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货5吨、3吨． （2）；安排甲种货车2辆，乙种货车3辆参与运货 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以写出货车所需总费用w与a之间的函数关系；由解方程即可解答． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种货车每辆分别能装货m吨、n吨， 由表格可得：， 解得． 答：甲、乙两种货车每辆分别能装货5吨、3吨． 【小问2详解】 解：设甲种货车a辆，则乙种货车辆， 由题意可得：， 即货车所需总费用w与a之间的函数关系是； 当时，由得， ， 故当所需总费用为2350元，安排甲种货车2辆，乙种货车3辆参与运货． 23. 如图，在矩形中，，，点为线段的中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着运动，连接，，设点的运动时间为，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质： （3）已知，请结合函数图象，直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1） （2）性质：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大 （3）或 【解析】 【分析】本题为一次函数综合题目，考查了矩形的性质，三角形的面积，一次函数的图象和性质，动点问题，解决本题的关键是掌握一次函数的性质． （1）分两种情况：当点P在边上运动时，当点P在边上运动时，分别表示的面积即可； （2）结合（1）画出函数的图象，进而写出该函数的性质即可； （3）分别联立，和，，求出交点坐标，结合（2）的函数图象，即可写出满足的x的取值范围． 【小问1详解】 解：在矩形中，，，点为线段的中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发， (秒)，． 时，点B和点P重合，不能构成三角形． ∴当点P在边上运动时，． ，． ∴的面积为； 当点P在边上运动时， (秒)， 点为线段的中点， ． 由题意可知， ∴的面积为； 综上所述，y关于x的函数表达式为 【小问2详解】 解：画出函数的图象，如图 由图可知，性质：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大； 【小问3详解】 解：画出函数、的图象，如图 当点P在边上运动时， 解得 当点P在边上运动时， 解得 由图象可知时x的取值范围是或 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，且与正比例函数的图象交于点． （1）求m的值及一次函数的表达式； （2）若P是x轴上一点，且的面积是6，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． （1）将点代入可得，进而得点．将点、代入即可求得解析式； （2）设点，则，据此即可求解； 【小问1详解】 解：将点代入得：， 解得：； ∴点． 将点、代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：设点， 则， 解得：或， ∴点P的坐标为或 25. 我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形． （1）如图1，四边形为垂美四边形，若，，，，求证：． （2）如图2，在长方形中，，分别交，于点F，E，，求的长． （3）在（2）的条件下，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为垂美四边形， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 同理：， ∴； （2）5 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理即可证明； （2）连接，设，则，，由（1）的结论建立方程即可求得x的值，从而求得； （3）在中由勾股定理求得，利用面积相等即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由于四边形是长方形，则， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去负值） 即； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $