专题6.3 线段的长短比较+6.4 线段的和差（课堂同步）-2025-2026学年七年级数学上册同步课堂与核心专题特训（浙教版2024）

本讲义聚焦线段的长短比较与和差运算核心知识点，系统梳理叠合法与度量法比较线段、两点之间线段最短公理、两点间距离、线段和差作图、中点及n等分点计算，以及动态问题等内容，形成从基础概念到综合应用的学习支架。 资料通过9个分层考点设计，结合生活实例（如公园跑道路径、外卖配送路线）培养数学眼光，以分类讨论和动态问题训练数学思维，规范作图语言与符号表达强化数学语言。课中助力教师系统授课，课后通过变式题与综合练习帮助学生查漏补缺。

专题6.3 线段的长短比较+6.4 线段的和差 1、经历叠合法比较两条线段的大小关系的过程，并会用数学符号表示它们的大小关系； 2、会用直尺、圆规等学习工具画线段，初步体会用作图语言叙述画法； 3、能用线段表示和差倍分关系，并能计算线段的数量关系； 4、理解中点定义，并进行相关的计算； 5、理解并掌握线段公理（两点之间线段最短）、两点之间距离公式。 2 考点1.线段的长短比较 2 考点2.两点之间线段最短的应用 3 考点3.两点之间的距离 5 考点4.作一条线段等于已知线段（线段和差作图） 6 考点5.线段和差的相关计算 7 考点6.线段和差的相关计算（分类讨论） 9 考点7.线段的中点相关计算问题 11 考点8.线段的n等分问题 13 考点9.线段的动态问题 15 20 考点1.线段的长短比较 线段的长短比较： ①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短； ②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短； ③估算法（目测法）。 例1．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图，用圆规比较两条线段和的长短，可知 ．（填写“”，“”，“”） 变式1．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 变式2．（25-26七年级上·浙江·课后作业）如图所示，比较线段和线段的长度，结果正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 变式3．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图．我们可借助圆规判断线段和的长短，由图可知（　　） A． B． C． D．无法确定 考点2.两点之间线段最短的应用 基本事实：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 即：如图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的。 例1．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图是某公园跑道的部分平面图，从处到处的直线距离为，而实际沿跑道走约为，从数学知识角度考虑合理的是（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．平行线间的距离相等 D．两点确定一条直线 变式1．（24-25七年级上·云南昆明·期末）武汉长江大桥横跨长江，连接了汉口和武昌两岸，使得原本被长江隔断的天堑变通途，极大地促进了南北交通与经济发展．用所学数学知识解释这一现象恰当的是（　　） A．过一点可以画多条直线 B．连接两点间线段的长度是两点间的距离 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 变式2．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）小海同学计划到距家直线距离为12.9公里的天竺山森林公园游玩．他通过导航软件发现有三条可选路线，如图所示，长度分别为15.8公里，15.4公里，18.4公里．能解释这一现象的数学知识是 ． 变式3．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在送外卖时，外卖小哥往往会将每个配送点看作一个点，将配送点之间的路径看作线段，然后找到最佳的配送路线，在最短时间内完成配送任务．外卖小哥这样做的依据是 ． 考点3.两点之间的距离 两点之间的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点之间的距离． 例1．（24-25七年级下·山东德州·月考）下列语句中，定义“两点间的距离”正确的是 （填序号）． ①连接两点的线段；  ②连接两点的直线；③连接两点的线段的长度；  ④连接两点的直线的长度． 变式1．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）A，B两点间的距离是指（   ） A．连接A，B两点的线段 B．连接A，B两点的直线 C．连接A，B两点的线段的长度 D．连接A，B两点的线的长度 变式2．（24-25七年级上·浙江·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．过A、B两点的直线的长度是A、B两点间的距离 B．线段AB就是A、B两点间的距离 C．线段AB的长度就是A、B两点间的距离 D．火车从上海到北京通过的路程为，则上海站与北京站之间的距离是 变式3．（2024·吉林·二模）台湾省，简称“台”，是中华人民共和国省级行政区，省会为台北市．在地图上如果把城市看作一点，下列城市与台北市之间的距离最大的是（    ） A．吉林市 B．西安市 C．海口市 D．福州市 考点4.作一条线段等于已知线段（线段和差作图） “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 例1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）尺规作图： 已知：如图，线段a，b．求作：线段，使． 变式1．（25-26七年级上·浙江·课后作业）如图，已知线段a，b，c，用圆规和直尺作线段，使它等于． 变式2．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图所示，点A、B表示的数分别是a、b． 用刻度尺或圆规作图：在数轴上画出表示的点；（用两种方法，写出必要的文字说明） 方法一： 方法二： 变式3．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知线段、．求作：线段，使它等于．（保留作图痕迹，不写作法） 考点5.线段和差的相关计算 线段的和与差： 1）如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段就叫作另两条线段的和； 如图，有AC＝AB+BC，或AC＝a+b。 2）如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫作另两条线段的差； 如图，有AD＝AB-BD，或AD＝a-b。 例1．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图A、B、C、D四个车站的位置顺次在一条直线上，A，C两站之间的距离，B，C两站之间的距离，B，D两站之间的距离．若A，B两站之间的距离，则C，D两站之间的距离为 ． 变式1．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）点P在线段上，，则等于（  ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为5，点在点的右侧，点在点的左侧，且，，求、两点间的距离． 考点6.线段和差的相关计算（分类讨论） 例1．（2025七年级上·浙江·专题练习）一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D的左侧）．将，分别沿C，D两点翻折（翻折处长度不计），A，B两点分别落在上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，求的长． 变式1.（24-25七年级上·河北廊坊·期末）在一条马路边上有间距为10米的甲、乙两棵树，现要在距离甲树4米的地方立一根电线杆，且电线杆与甲、乙两树在同一条直线上，那么电线杆与乙树的距离为（　　） A．6米 B．14米 C．6米或14米 D．4米或6米 变式2．（25-26七年级上·北京·期中）已知A，B，C为直线l上的三点，如果线段，那么A，C两点间的距离为 ． 变式3．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（　　） A． B． C．或 D．或 考点7.线段的中点相关计算问题 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图，有：. ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. 例1．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．(1)求的长度；(2)求的长度． 变式1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）线段，点在线段上，是线段的中点，是线段的中点．    (1)求线段的长度；(2)老师说：其它条件不变，无论长度怎么改变，线段和始终满足一个不变的数量关系，请你直接写出来． 变式2．（25-26七年级上·浙江·课后作业）A，B，C三点在一条直线上，，，的中点是M，的中点是N，求线段的长． 变式3．（2025七年级上·浙江·专题练习）如图，已知线段，P是的中点，C、D分别是线段、上的点，且，，求线段的长． 考点8.线段的n等分问题 除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等. 如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点，则有. 例1．（24-25七年级上·浙江·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______； (2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． 如图，，分别是，的中点，则______； 如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长； 若，分别是，的等分点，即，，则______． 变式1．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，点C为线段AB的中点，． (1)求BC的长；(2)在射线AB上有一点M，，求线段CM的长． 变式2．（24-25七年级上·广东惠州·期末）如图，已知线段，点C是线段的中点，延长线段到点D，使． (1)求线段的长．(2)点E是线段的一个三等分点，求线段的长． 变式3．（2025七年级上·浙江·专题练习）如图，C是线段的中点，D是线段的三等分点且在点C的左侧．设线段的长为a，若F是直线上一点，且，求线段的长． 考点9.线段的动态问题 例1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图①，点M在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“二倍点”． (1)一条线段的中点 这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； (2)如图②，若，点N是线段的二倍点，则 ；（用含a的代数式表示） (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止移动，设移动的时间为，求当t为何值时，点Q恰好是线段的二倍点． 变式1．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，点P是线段上一点，且满足，点C，D分别在线段，上．(1)若，探究线段，的数量关系；(2)若点Q是直线上一动点，且，求的值；(3)若E是线段上的一个动点，点M，N分别是，的中点，以下两个结论：①的值不变，②的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 变式2．（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则． (1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______． (2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为． ①请用含有的代数式分别表示和．②当为何值时，． ③若线段的中点为，直接写出时的值． 1.（24-25七年级上·重庆万州·期末）A、B两个村庄直线距离相距500米，B、C两个村庄直线距离相距300米，那么A、C两个村庄之间的直线距离为（    ）． A．800米 B．200米 C．800米或200米 D．无法确定 2.（25-26七年级上·河北唐山·期中）在以下生活场景中，用到“两点之间，线段最短”的数学事实的是（　　） A．为了缩短路程，将弯曲的小路改直 B．用两颗钉子将木条固定在墙上 C．沿着与起跳线垂直的方向测量跳远成绩 D．为了把墙砌直，在两端用木条拉一条参照线 3．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，要在直线上找一点，使它到点的距离之和最小，则该点的位置（　　） A．在点处 B．在点处 C．在点处 D．不能确定 4．（21-22六年级下·山东威海·期中）已知线段AB＝10cm，有下列说法： ①不存在到A，B两点的距离之和小于10cm的点； ②线段AB上存在无数个到A，B两点的距离之和等于10cm的点； ③线段AB外存在无数个到A，B两点的距离之和大于10cm 的点．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5.（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．过两点有一条或两条直线 B．连接两点的线段叫这两点的距离 C．两点之间，直线最短 D．直线和直线表示同一条直线 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）在直线上顺次取不重合的，，，四点，则下列不一定正确的是(  ) A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（   ） A． B． C．或 D．或 8.（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）小明进行了如下操作，下列说法中错误的是（   ） ①作射线；②在射线上依次截取； ③在线段上截取；④分别找到线段的中点E， A． B．      C．      D． 9．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期末）如图，点，在线段上，且，，下列结论正确的是（   ） A．点是线段的中点 B．点是线段的中点 C．点是线段的三等分点 D．点是线段的三等分点 10．（24-25七年级上·浙江·期末）如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 11．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）如果A，B，C在同一条直线上，线段，，则A，C两点间的距离是 ． 12．（2025七年级上·浙江·专题练习）定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则____ ． 13．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）直线上有A、B、C三点，线段，M是的中点，则 ． 14．（25-26七年级上·浙江·课后作业）如图，嘉淇设计了一个电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线l上有等距分布的A，B，C，D四点，当出现光点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，光点P就会发出红光，则从光点P沿直线l从点A出发移动到终点D的过程中，发出红光的次数最多有 次． 15．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，已知线段，若点M为中点，则线段的长为 ． 16．（24-25七年级上·广东汕头·期末）如图，已知点M、N为线段的三等分点，点P为线段的中点，若，则线段的长度是 ． 17．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）在方格纸中，已知点、、、都在格点上，每个小正方形的边长都为1．用直尺、圆规按要求作出相应的图形．（不写作法，保留作图痕迹） (1)按要求画图：①画直线；②画射线； (2)连接，在射线上作线段，使； (3)在直线上确定一点，使的和最小； (4)比较线段大小：__________．（填“”或“”或“”） 18．（24-25七年级上·北京西城·期末）如图，已知三点，作直线． (1)用语句表述图中点与直线的关系：______； (2)用直尺和圆规完成以下作图（保留作图痕迹）：连接，在线段的延长线上作线段，使． (3)连接，比较线段与线段的长短，并将下面的推理补充完整： ，，， ______，（______）（填推理的依据）______． 19．（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知，C、D为线段上任意两点． (1)如图1，图中共有_____条线段；(2)如图2，若，，，求的长； (3)如图3，M为线段上一点，，C、D分别为中点，求的长． 20．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，，，点C是线段的中点，点D，E分别在线段、上．(1)若，试说明点C是的中点；(2)若，求线段的长． 21．（25-26七年级上·河北邢台·期中）一个点在有公共端点的两条线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”． 请解答以下问题： (1)如图所示，当时，点在线段 上； (2)若为线段的中点，，求的长度． 22.（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，已知点B、C在线段上，线段，，且m，n满足． (1)_____，_____；(2)若M是的中点，N是的中点（如下图）． ①的长度为_____；②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 23．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长； (3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 24．（24-25七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 线段的长短比较+6.4 线段的和差 1、经历叠合法比较两条线段的大小关系的过程，并会用数学符号表示它们的大小关系； 2、会用直尺、圆规等学习工具画线段，初步体会用作图语言叙述画法； 3、能用线段表示和差倍分关系，并能计算线段的数量关系； 4、理解中点定义，并进行相关的计算； 5、理解并掌握线段公理（两点之间线段最短）、两点之间距离公式。 2 考点1.线段的长短比较 2 考点2.两点之间线段最短的应用 3 考点3.两点之间的距离 5 考点4.作一条线段等于已知线段（线段和差作图） 6 考点5.线段和差的相关计算 7 考点6.线段和差的相关计算（分类讨论） 9 考点7.线段的中点相关计算问题 11 考点8.线段的n等分问题 13 考点9.线段的动态问题 15 20 考点1.线段的长短比较 线段的长短比较： ①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短； ②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短； ③估算法（目测法）。 例1．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图，用圆规比较两条线段和的长短，可知 ．（填写“”，“”，“”） 【答案】 【详解】解：用圆规比较两条线段和的长短，可知，故答案为：． 变式1．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【详解】解：如图可知，用圆规的两个脚分别对准线段，的两个端点， ∵对准线段的圆规张口大于对准线段的圆规张口，∴，故选：C． 变式2．（25-26七年级上·浙江·课后作业）如图所示，比较线段和线段的长度，结果正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】解：由图可知，，，∴，故选：． 变式3．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图．我们可借助圆规判断线段和的长短，由图可知（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：由图可得，，故选A． 考点2.两点之间线段最短的应用 基本事实：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 即：如图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的。 例1．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图是某公园跑道的部分平面图，从处到处的直线距离为，而实际沿跑道走约为，从数学知识角度考虑合理的是（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．平行线间的距离相等 D．两点确定一条直线 【答案】B 【详解】解：从处到处的直线距离为，而实际沿跑道走约为，从数学知识角度考虑合理的是两点之间线段最短，故选：B． 变式1．（24-25七年级上·云南昆明·期末）武汉长江大桥横跨长江，连接了汉口和武昌两岸，使得原本被长江隔断的天堑变通途，极大地促进了南北交通与经济发展．用所学数学知识解释这一现象恰当的是（　　） A．过一点可以画多条直线 B．连接两点间线段的长度是两点间的距离 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 【答案】D 【详解】解：用数学知识解释这一现象恰当的是：两点之间线段最短．故选：D． 变式2．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）小海同学计划到距家直线距离为12.9公里的天竺山森林公园游玩．他通过导航软件发现有三条可选路线，如图所示，长度分别为15.8公里，15.4公里，18.4公里．能解释这一现象的数学知识是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【详解】解：能解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短．故答案为：两点之间，线段最短． 变式3．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在送外卖时，外卖小哥往往会将每个配送点看作一个点，将配送点之间的路径看作线段，然后找到最佳的配送路线，在最短时间内完成配送任务．外卖小哥这样做的依据是 ． 【答案】两点之间线段最短 【详解】解：在送外卖时，外卖小哥往往会将每个配送点看作一个点，将配送点之间的路径看作线段，然后找到最佳的配送路线，在最短时间内完成配送任务．外卖小哥这样做的依据是：两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短． 考点3.两点之间的距离 两点之间的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点之间的距离． 例1．（24-25七年级下·山东德州·月考）下列语句中，定义“两点间的距离”正确的是 （填序号）． ①连接两点的线段；  ②连接两点的直线；③连接两点的线段的长度；  ④连接两点的直线的长度． 【答案】③ 【详解】解：连接两点的线段的长度叫做两点间的距离；故答案为：③． 变式1．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）A，B两点间的距离是指（   ） A．连接A，B两点的线段 B．连接A，B两点的直线 C．连接A，B两点的线段的长度 D．连接A，B两点的线的长度 【答案】C 【详解】解∶ A，B两点间的距离是指连接A，B两点的线段的长度．故选：C 变式2．（24-25七年级上·浙江·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．过A、B两点的直线的长度是A、B两点间的距离 B．线段AB就是A、B两点间的距离 C．线段AB的长度就是A、B两点间的距离 D．火车从上海到北京通过的路程为，则上海站与北京站之间的距离是 【答案】C 【详解】解：因为直线无法度量，所以选项A不正确； 根据两点间距离的定义，可知选项B错误而C正确； 因为从上海到北京的铁路不是笔直的，所以上海站与北京站间的距离小于，选项D错误，故选：C． 变式3．（2024·吉林·二模）台湾省，简称“台”，是中华人民共和国省级行政区，省会为台北市．在地图上如果把城市看作一点，下列城市与台北市之间的距离最大的是（    ） A．吉林市 B．西安市 C．海口市 D．福州市 【答案】A 【详解】解：在地图上如果把城市看作一点，与台北市之间的距离最大的是吉林市，故选：A． 考点4.作一条线段等于已知线段（线段和差作图） “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 例1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）尺规作图： 已知：如图，线段a，b．求作：线段，使． 【答案】见解析 【详解】解：如图，线段即为所作． 变式1．（25-26七年级上·浙江·课后作业）如图，已知线段a，b，c，用圆规和直尺作线段，使它等于． 【答案】见解析 【详解】解：（1）作射线； （2）在射线上顺次截取，； （3）在线段上截取，线段即为所求． 变式2．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图所示，点A、B表示的数分别是a、b． 用刻度尺或圆规作图：在数轴上画出表示的点；（用两种方法，写出必要的文字说明） 方法一： 方法二： 【答案】见解析 【详解】解：方法一：如图，以点A为圆心，为半径画弧交原点左侧数轴点D，则点D即为所求； 方法二：如图，以原点O为圆心，为半径画弧交原点左侧数轴于点D，则点D即为所求． 变式3．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知线段、．求作：线段，使它等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【详解】解：作射线，在上依次截取，在线段上依次截取，如图： 线段即为所求． 考点5.线段和差的相关计算 线段的和与差： 1）如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段就叫作另两条线段的和； 如图，有AC＝AB+BC，或AC＝a+b。 2）如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫作另两条线段的差； 如图，有AD＝AB-BD，或AD＝a-b。 例1．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图A、B、C、D四个车站的位置顺次在一条直线上，A，C两站之间的距离，B，C两站之间的距离，B，D两站之间的距离．若A，B两站之间的距离，则C，D两站之间的距离为 ． 【答案】269 【详解】A，B两站之间的距离； ， ，，． 答：C，D两站之间的距离是．故答案为：269． 变式1．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）点P在线段上，，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴设，， 则，∴．故选：D． 变式2．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴，故选：A． 变式3．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为5，点在点的右侧，点在点的左侧，且，，求、两点间的距离． 【答案】3 【详解】解：因为点在点的右侧，点在点的左侧，，， 所以点表示的数为，点表示的数为， 所以、两点间的距离为． 考点6.线段和差的相关计算（分类讨论） 例1．（2025七年级上·浙江·专题练习）一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D的左侧）．将，分别沿C，D两点翻折（翻折处长度不计），A，B两点分别落在上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，求的长． 【答案】或 【详解】解：当时，如图， 由于翻折，则，由图知， ∴，∴； 当时，如图， 则，即， ∴，∴； 综上，的长为或． 变式1.（24-25七年级上·河北廊坊·期末）在一条马路边上有间距为10米的甲、乙两棵树，现要在距离甲树4米的地方立一根电线杆，且电线杆与甲、乙两树在同一条直线上，那么电线杆与乙树的距离为（　　） A．6米 B．14米 C．6米或14米 D．4米或6米 【答案】C 【详解】解：若电线杆在甲、乙两棵树之间，如图一， 那么电线杆与乙树的距离为（米）, 若电线杆在甲、乙两棵树之外，如图二， 那么电线杆与乙树的距离为（米）.故选：C 变式2．（25-26七年级上·北京·期中）已知A，B，C为直线l上的三点，如果线段，那么A，C两点间的距离为 ． 【答案】或 【详解】解：分两种情况： 当点B在点A和点C之间时，； 当点A在点B和点C之间时，，故答案为：或． 变式3．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ①当A、C或B、D重合，且剩余两端点在重合点同侧时， 由图可得：； ②当B、C或A、D重合，且剩余两端点在重合点两侧时， 由图可得：； ∴两根木条的小圆孔之间的距离是或．故选：C． 考点7.线段的中点相关计算问题 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图，有：. ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. 例1．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．(1)求的长度；(2)求的长度． 【答案】(1)的长度为(2)的长度为 【详解】（1）解：∵，，∴． ∵是的中点，∴． 答：的长度为． （2）解：∵是的中点，∴． 由（1）知，∴． 答：的长度为． 变式1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）线段，点在线段上，是线段的中点，是线段的中点．    (1)求线段的长度；(2)老师说：其它条件不变，无论长度怎么改变，线段和始终满足一个不变的数量关系，请你直接写出来． 【答案】(1)线段的长度为；(2)． 【详解】（1）解：∵点在线段上，是线段的中点，是线段的中点， ∴，，∴， ∵，∴，∴线段的长度为． （2）解：∵点在线段上，是线段的中点，是线段的中点， ∴，∴． 变式2．（25-26七年级上·浙江·课后作业）A，B，C三点在一条直线上，，，的中点是M，的中点是N，求线段的长． 【答案】线段的长为或 【详解】解：当点C在线段上时， ∵，，∴， ∵的中点是M，∵； 当点C在线段的延长线上时， ∵，，∴， ∵的中点是M，∴；故线段的长为或． 变式3．（2025七年级上·浙江·专题练习）如图，已知线段，P是的中点，C、D分别是线段、上的点，且，，求线段的长． 【答案】 【详解】解：∵，P是的中点，∴， ∵C、D分别是线段上的点，且，， ∴，，∴． 考点8.线段的n等分问题 除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等. 如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点，则有. 例1．（24-25七年级上·浙江·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______； (2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． 如图，，分别是，的中点，则______； 如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长； 若，分别是，的等分点，即，，则______． 【答案】(1)；(2)；；． 【详解】（1）解：因为，，， 点、分别是、的中点，，， ；故答案为：； （2）因为、分别是、的中点， ，，， ，；故答案为：； ，，，，， ，； ，，，， ， ，，故答案为：． 变式1．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，点C为线段AB的中点，． (1)求BC的长；(2)在射线AB上有一点M，，求线段CM的长． 【答案】(1)(2)CM长为3或7 【详解】（1）∵C是AB的中点，，∴； （2）∵，∴ 当点M在点B的左侧时，∵，∴； 当点M在点B的右侧时，∵，∴． 综上所述，CM长为3或7． 变式2．（24-25七年级上·广东惠州·期末）如图，已知线段，点C是线段的中点，延长线段到点D，使． (1)求线段的长．(2)点E是线段的一个三等分点，求线段的长． 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）解：∵线段，点C是线段的中点∴， ∵，∴，∴ （2）解：当点为靠近点D的三等分点时，如图： 则，∴； 当点为靠近点A的三等分点时，如图： 则，∴，∴的长为或． 变式3．（2025七年级上·浙江·专题练习）如图，C是线段的中点，D是线段的三等分点且在点C的左侧．设线段的长为a，若F是直线上一点，且，求线段的长． 【答案】的长为a或 【详解】解：根据题意得：点F位于点A的左侧或点B的右侧， 当点F位于点A的左侧时，如图， ∵，∴，即，∴， ∵，D是线段的三等分点且在点C的左侧．∴，∴； 当点F位于点B的右侧时，如图， ∵，∴，即，∴， ∵，D是线段的三等分点且在点C的左侧． ∴，∴；综上所述，的长为a或． 考点9.线段的动态问题 例1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图①，点M在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“二倍点”． (1)一条线段的中点 这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； (2)如图②，若，点N是线段的二倍点，则 ；（用含a的代数式表示） (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止移动，设移动的时间为，求当t为何值时，点Q恰好是线段的二倍点． 【答案】(1)是(2)或或(3)为或时，点恰好是线段的二倍点 【详解】（1）解：根据题意得：一条线段的中点是这条线段的“二倍点”，故答案为：是； （2）解：设，则， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：， 综上所述，或或，故答案为：或或； （3）解：(秒)，(秒)， 当时，，，， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得（不符合题意，舍去）， 答：当为或时，点恰好是线段的二倍点． 变式1．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，点P是线段上一点，且满足，点C，D分别在线段，上．(1)若，探究线段，的数量关系；(2)若点Q是直线上一动点，且，求的值；(3)若E是线段上的一个动点，点M，N分别是，的中点，以下两个结论：①的值不变，②的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【答案】(1)(2)或(3)①不正确；②正确， 【详解】（1）解：设，，则，，， ，； （2）解：当在线段的延长线上时，， ，，； 当在线段上时， ，，，， ，， ，，， ，，；故答案：或； （3）解：当、在在左侧时， 点M，N分别是，的中点，，， ，， ， 的值不确定，的值不确定，故①不正确； ，，故②正确； 当、在在两侧时， 点M，N分别是，的中点，， ， ，的值不确定，故①不正确； ，，故②正确； 当、在在右侧时， 点M，N分别是，的中点，， ， ，， 的值不确定，的值不确定，故①不正确； ，，故②正确； 综上所述：①不正确；②正确，． 变式2．（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则． (1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______． (2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为． ①请用含有的代数式分别表示和．②当为何值时，． ③若线段的中点为，直接写出时的值． 【答案】(1)2(2)①，或；②或；③或 【详解】（1）解：①为数轴的原点，点，表示的数分别为和， ∴，即∴ （2）解：①依题意，，或 ∴，或 ②∵∴或解得：或； ③相遇时， 当时，都在线段上，如图所示， ∵，∴ ∴∴ ∵∴ 解得： 当时，如图所示，都在线段上，如图所示， ∵，∴ ∴∴ ∵∴ 解得：（舍去） 点的速度大于的速度，当时， 当点在点的右侧时，如图所示， ∵，∴ ∴ ∴ ∵∴解得：（舍去） 当点在点的左侧时，如图所示， ∵，∴ ∴∴ ∵∴．解得：．综上所述，的值为或． 1.（24-25七年级上·重庆万州·期末）A、B两个村庄直线距离相距500米，B、C两个村庄直线距离相距300米，那么A、C两个村庄之间的直线距离为（    ）． A．800米 B．200米 C．800米或200米 D．无法确定 【答案】D 【详解】解：因为A，B，C三个村庄不一定在同一条直线上，所以AC之间的直线距离无法确定．故选：D． 2.（25-26七年级上·河北唐山·期中）在以下生活场景中，用到“两点之间，线段最短”的数学事实的是（　　） A．为了缩短路程，将弯曲的小路改直 B．用两颗钉子将木条固定在墙上 C．沿着与起跳线垂直的方向测量跳远成绩 D．为了把墙砌直，在两端用木条拉一条参照线 【答案】A 【详解】解：∵“两点之间，线段最短”指连接两点的所有线中，线段长度最短． A、将弯曲小路改直，使路径成为线段，缩短路程，符合公理． B、用两颗钉子固定木条，是利用两点确定一条直线，不涉及线段最短． C、垂直测量跳远成绩，是利用垂线段最短，但不是两点之间的线段． D、拉参照线砌墙，是利用两点确定一条直线，不涉及线段最短．∴正确答案是A．故选：A． 3．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，要在直线上找一点，使它到点的距离之和最小，则该点的位置（　　） A．在点处 B．在点处 C．在点处 D．不能确定 【答案】B 【详解】解：连接交直线于点，则该点的位置在点处．故选：B． 4．（21-22六年级下·山东威海·期中）已知线段AB＝10cm，有下列说法： ①不存在到A，B两点的距离之和小于10cm的点； ②线段AB上存在无数个到A，B两点的距离之和等于10cm的点； ③线段AB外存在无数个到A，B两点的距离之和大于10cm 的点．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：已知AB＝10cm，①不存在到A，B两点的距离之和小于10cm的点，正确，符合题意； ②线段AB上存在无数个到A、B两点的距离之和等于10cm的点，正确，符合题意； ③线段AB外存在无数个到A、B两点的距离之和大于10cm的点，正确，符合题意，故选：D． 5.（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．过两点有一条或两条直线 B．连接两点的线段叫这两点的距离 C．两点之间，直线最短 D．直线和直线表示同一条直线 【答案】D 【详解】解：A、经过两点有一条直线，并且只有一条直线，则此项错误，不符合题意； B、连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离，则此项错误，不符合题意； C、两点之间线段最短，则此项错误，不符合题意； D、直线和直线表示同一条直线，则此项正确，符合题意；故选：D． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）在直线上顺次取不重合的，，，四点，则下列不一定正确的是(  ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图： 根据图形可知：，，不一定小于，，故选：C． 7．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：设，则， ①当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段， 则绳子最长时，，解得：；即绳子的原长是； ②当为对折点，则剪断后，有长度为，，， 则绳子最长时，，解得：；即绳子的原长是； 这根绳子原来的长度为或，故选：C 8.（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）小明进行了如下操作，下列说法中错误的是（   ） ①作射线；②在射线上依次截取； ③在线段上截取；④分别找到线段的中点E， A． B．      C．      D． 【答案】D 【详解】解：由作图可知，，， ， ∵点E是的中点，点F是的中点，∴， ∴， 因此，选项A、选项B、选项C不符合题意，选项D符合题意．故选：D． 9．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期末）如图，点，在线段上，且，，下列结论正确的是（   ） A．点是线段的中点 B．点是线段的中点 C．点是线段的三等分点 D．点是线段的三等分点 【答案】D 【详解】解：∵点在线段上，且，∴点是线段的中点，故B选项说法错误； ∵点在线段上，且，∴点是线段的中点，故A选项说法错误； 即，∴，∴，， 即点是线段的三等分点，故D选项说法正确； 点是线段的四等分点，故C选项说法错误．故选：D． 10．（24-25七年级上·浙江·期末）如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：设，则，故， 点D是的中点，故，点E是的三等分点，故，， ∴，此时，结论①成立； ，而，故，结论②成立； ，，故，结论③不成立； ，故，结论④成立， ∴正确的结论为①②④．故选：B ． 11．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）如果A，B，C在同一条直线上，线段，，则A，C两点间的距离是 ． 【答案】4或8 【详解】解：分两种情况：当点在点的右侧时， ， ∵线段，，∴， 当点在点的左侧时， ， ∵线段，，∴， 综上所述，A，C两点间的距离是或，故答案为：4或8． 12．（2025七年级上·浙江·专题练习）定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则____ ． 【答案】或 【详解】解：由题知，当点P在线段之间时，如图所示， 点P是点M关于点N的“半距点”， 当点P在的反向延长线上时，如图所示， 因为点P是点M关于点N的“半距点”， 综上所述，或 ．故答案为：或． 13．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）直线上有A、B、C三点，线段，M是的中点，则 ． 【答案】或 【详解】解：当点C在点B右侧时，， 由M是的中点，； 当点C在点B左侧时，， 由M是的中点，；故答案为：或． 14．（25-26七年级上·浙江·课后作业）如图，嘉淇设计了一个电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线l上有等距分布的A，B，C，D四点，当出现光点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，光点P就会发出红光，则从光点P沿直线l从点A出发移动到终点D的过程中，发出红光的次数最多有 次． 【答案】5 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候，光点P就会发出红光， ∵图中共有线段，它们共有6个中点，其中线段和的中点重合， ∴最多亮5次红灯．故答案为：5． 15．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，已知线段，若点M为中点，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∵点M为中点，∴，∴．故答案为：． 16．（24-25七年级上·广东汕头·期末）如图，已知点M、N为线段的三等分点，点P为线段的中点，若，则线段的长度是 ． 【答案】 【详解】解：∵点M、N为线段的三等分点，∴， ∵点P为线段的中点，∴， ∴，∵，∴．故答案为：12． 17．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）在方格纸中，已知点、、、都在格点上，每个小正方形的边长都为1．用直尺、圆规按要求作出相应的图形．（不写作法，保留作图痕迹） (1)按要求画图：①画直线；②画射线； (2)连接，在射线上作线段，使； (3)在直线上确定一点，使的和最小； (4)比较线段大小：__________．（填“”或“”或“”） 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)． 【详解】（1）解：如图所示，直线；射线，即为所求 （2）解：如图所示，线段，即为所求 （3）解：设交于点，根据两点之间线段最短可得 的和为的长，此时最小 （4）解：根据网格可得    ∴，故答案为：． 18．（24-25七年级上·北京西城·期末）如图，已知三点，作直线． (1)用语句表述图中点与直线的关系：______； (2)用直尺和圆规完成以下作图（保留作图痕迹）：连接，在线段的延长线上作线段，使． (3)连接，比较线段与线段的长短，并将下面的推理补充完整： ，，， ______，（______）（填推理的依据）______． 【答案】(1)点在直线外；(2)见解析(3)；两点之间，线段最短； 【详解】（1）解：点与直线的关系为：点在直线外， 故答案为：点在直线外； （2）解：作出图如图所示；     （3）解：，，， ，（两点之间，线段最短）     ，故答案为：；两点之间，线段最短；． 19．（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知，C、D为线段上任意两点． (1)如图1，图中共有_____条线段；(2)如图2，若，，，求的长； (3)如图3，M为线段上一点，，C、D分别为中点，求的长． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：图中有，共条线段，故答案为：； （2）解：∵，∴，∴， ∵，，，∴； （3）解：∵，∴， ∵C、D分别为中点，∴， ∴． 20．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，，，点C是线段的中点，点D，E分别在线段、上．(1)若，试说明点C是的中点；(2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析(2)5 【详解】（1）解：∵，，∴，解得， ∵点C是线段的中点，∴， ∵，∴，∴，∴，即点C是的中点； （2）解：∵，，∴， ∵，∴，， ∵点C是线段的中点，∴，∴． 21．（25-26七年级上·河北邢台·期中）一个点在有公共端点的两条线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”． 请解答以下问题： (1)如图所示，当时，点在线段 上； (2)若为线段的中点，，求的长度． 【答案】(1)(2)的长度为或 【详解】（1）解：∵是折线的“折中点”，且， ∴点在线段上．故答案为：． （2）解：为线段的中点，， ， 当点在上时，如图所示： ，，； 当点在上时，如图所示： ，，； 综上分析可知：的长度为或． 22.（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，已知点B、C在线段上，线段，，且m，n满足． (1)_____，_____；(2)若M是的中点，N是的中点（如下图）． ①的长度为_____；②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【答案】(1)10，6(2)①8；②同意他的说法，理由见解析 【详解】（1）解：∵点B、C在线段上，线段，，且m，n满足， ∴，，∴，，故答案为：10，6； （2）解：①当点B在线段上，点C在射线上运动时： ∵，，∴， ∵M是的中点，N是的中点，∴，， ∴． ②同意他的说法，理由： 当点B在射线上，点C在射线上运动时： ∵，，∴， ∵M是的中点，N是的中点，∴，， ∴． ∴线段的长度不变． 23．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长； (3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 【答案】(1)(2)5厘米(3) 【详解】（1）解：∵M，N分别是，的中点，， ∴， ∴，故答案为：； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴． 24．（24-25七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)；(2)(3)(4)或1 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，，∴，∴，， 故答案为：；． （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵，∴；故答案为：； （3）解：根据C、D的运动速度知：， ∵，∴，即， ∵，∴，∴，故答案为：； （4）解：①当点N在线段上时，如图1，      ∵，又∵∴， ∴∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2，    ∵，又∵，∴，∴；综上所述：或1． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $