6.3&6.4线段的长短比较&线段的和差（6大题型提分练）（题型专练）数学新教材浙教版七年级上册

（浙教版）七年级上册数学《第6章 图形的初步知识》 6.3&6.4 线段的长短比较&线段的和差 知识点一 比较两条线段的长短 ◆比较两条线段的长短 方法一：度量法：分别测量线段AB、CD的长度，再进行比较； 方法二：叠合法：将点A与点C重合，再进行比较； 利用尺规作图把其中的一条的线段移到另一条线段上作比较 图1 图2 图3 ①如图1若点 A 与点 C 重合，点 B 落在C，D之间，那么 AB ＜CD. ②如图2若点 A 与点 C 重合，点 B 与点 D重合，那么 AB = CD. ③如图3若点 A 与点 C 重合，点 B 落在 CD 的延长线上，那么 AB＞ CD. 知识点二 两点之间线段最短 ◆1、线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短 . ◆2、两点之间的距离的定义：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离. 知识点三 作一条线段等于已知线段 ◆1、用尺规作图的方法可以将一条线段移到另一条线段上.在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. ◆2、线段的画法：作一条线段（AB）等于已知线段（a）的作法： ①画射线AC；②在射线AC上截取AB=a. ◆3、线段的和、差、倍、分 （1）线段的和、差的意义及画法 在直线上画出线段AB=a，再在AB的延长线上画线段BC=b，线段AC就是 a与 b的和，记作AC= a＋b ，如果在AB上画线段BD=b，那么线段AD就是a 与b 的差，记作AD= a－b. （2）线段倍、分的意义：如图，线段AB上有M、N、P三点，它们的长度关系是： AM＝ MN ＝NP=PB，则AN=2AM，AP=3AM，MN= AN，NP=AP等. 知识点四 线段的中点及等分点的概念 ◆1、线段的中点： 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点. ◆2、等分线段 （1）把一条线段分成三条相等的线段的点，叫做线段的三等分点. 如图点M、N是线段AB三等分点,则 AM ＝MN ＝BN ＝ AB . （2）类似的，把一条线段分成四条相等的线段的点，叫做线段的四等分点. 如图点M、N、P是线段AB四等分点，则AM＝ MN ＝NP＝PB＝ AB . 题型一 线段的长度比较 解题技巧提炼 方法一：度量法：分别测量线段AB、CD的长度，再进行比较； 方法二：叠合法：将点A与点C重合，再进行比较； 利用尺规作图把其中的一条的线段移到另一条线段上作比较 1．（2023秋•安新县期末）如图，用圆规比较两条线段AB和A′B′的长短，其中正确的是（　　） A．A′B′＞AB B．A′B′＝AB C．A′B′＜AB D．没有刻度尺，无法确定 2．（2023秋•凤山县期末）用“叠合法”比较两条线段AB，CD的大小，其中正确的方法是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•裕华区校级期中）借助圆规，可得图中最长的线段是（　　） A．线段AB B．线段AC C．线段AD D．线段AE 4．（2023•南皮县校级三模）如图，用圆规比较两条线段的长短，正确的是（　　） A．AB＞AC B．AB＝AC C．AB＜AC D．无法确定 5．（2023秋•桥西区期末）体育课上，小明在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（　　） A．M B．N C．P D．Q 6．（2023秋•都昌县期末）点C为线段AB的延长线上的一点，则下列各式中成立的是（　　） A．BC＞AB B．AB＞BC C．AB＝BC D．AC＞AB 7．在直线l上顺次取不重合的A，B，C，D四点，则下列不一定正确的是（　　） A．AD＞BC B．AC＞BC C．AB＜CD D．CD＜BD 题型二 线段的基本事实的应用 解题技巧提炼 1、线段的性质：两点之间线段最短 2、线段公理：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 简单说成：两点之间，线段最短． 1．（2023秋•罗庄区期末）如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．经过一点有无数条直线 2．（2023秋•晋州市期中）如图所示，从学校到公园有①②③④四条路线可走，其中最短的路线是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 3．（2023秋•遵化市期中）下列说法中，不能用“两点之间，线段最短”来解释的有（　　） ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线； ③把弯曲的公路改直就能缩短路程． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．（2023秋•官渡区期末）下面现象，可以用两点之间线段最短来解释的是（　　） A． 平板弹墨线 B． 建筑工人砌墙 C． 会场把茶杯摆直 D． 弯河道改直 5．（2023秋•襄城县期末）如图，把三角形剪去一个角，所得四边形的周长比原三角形的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．四边形周长小于三角形周长 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线 6．（2024春•垦利区期末）下列生活、生产现象： ①把弯曲的公路改直，就能缩短路程； ②用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上； ③从A到B铺设水管，总是尽可能沿线段AB铺设； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上． 可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有 　 　． 7．（2024•船营区一模）如图，利用隧道，把弯曲的公路改直，就能缩短两地的路程，这其中蕴含的数学道理是 　 　． 8．（2023秋•安乡县期末）如图，从教室到图书馆总有少数同学不走人行道而横穿草坪，虽然明知不对，可他们还是要这样做，用我们所学的数学知识可以解释他们的动机：　 　． 题型三 线段的尺规作图问题 解题技巧提炼 1、尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 2、做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． 1．（2023秋•碑林区校级期末）如图，已知线段a,b,请用尺规求作线段AB，使得AB=2a+b（不写作法，保留作图痕迹）． 2．（2023秋•灞桥区校级期中）尺规作图：如图，已知线段a，b，请用尺规做一条线段MN， 使MN＝2b﹣a． 3．尺规作图：如图，已知线段a,b（a＞2b），求作线段AB，使得AB=a﹣2b.（不写作法，但要保留作图痕迹） 4．（2023秋•灞桥区校级期中）尺规作图：如图，已知线段a，b，请用尺规做一条线段MN，使MN＝2b﹣a． 5．如图，平面上有射线AP和点B，C，请用尺规按下列要求作图： （1）连接AB，并在射线AP上截取AD＝AB； （2）连接BC，并延长BC到E，使CE＝2BC． 题型四 线段的和、差、倍、分 解题技巧提炼 1、线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点． 2、线段的和、差、倍、分 如图，AC＝BC，C为AB中点，ACAB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DBCBAB， AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分． 1．（2024•滦南县校级模拟）如图AB＝CD，则AC与BD的大小关系是（　　） A．AC＞BD B．AC＜BD C．AC＝BD D．无法确定 2．（2023秋•铁西区期末）如图，C是线段AB的中点，D是线段CB上一点，下列说法错误的是（　　） A．CD＝AC﹣BD B．CD＝AD﹣BC C．CDBC D．CDAB﹣BD 3．（2023秋•柘城县期末）如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB上任意一点，则下列表示线段关系的式子不正确的是（　　） A．AB＝2AC B．AC+CD+DB＝AB C．CD＝ADAB D．AD（CD+AB） 4．（2023秋•官渡区期末）已知A、B、C三点在同一条直线上，则下列：①AC+BC＝AB；②ACAB；③AC＝BC；④AB＝2BC．可以判断点C是线段AB中点的有（　　） A．③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 5．（2023秋•定远县期末）如图，点C是AB的中点，点D是BC的中点，则下列等式中成立的有（　　） ①CD＝AD﹣BD；②CD＝AD﹣BC；③2CD＝2AD﹣AB；④CDAB A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 6．如图，C，D是线段AB上两点，M，N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：①若AM＝BN，则AC＝BD；②若AB＝3BD，则AD＝BM；③AB﹣CD＝2MN；④AC﹣BD＝3（MC﹣DN）．其中正确的结论是 　（填序号）． 7．（2023秋•正定县期末）如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：①若AD＝BM，则AB＝3BD；②AC＝BD，则AM＝BN；③AC﹣BD＝2（MC﹣DN）；④2MN＝AB﹣CD．其中正确的结论是 　（填序号）． 题型五 与线段有关的计算问题 解题技巧提炼 1、求线段的长，通常先将待求线段转化成其它线段的和或差，在转化时尽可能向已知长度的线段或与中点相 关联的线段. 2、当已知几条线段之间的比的关系或倍、分关系时，通常采用设未知数列方程的方法求解线段的长. 3、当点的位置不确定时，我们要分情况画图分类讨论，确定所有可能的情况，然后根据中点的概念以及图形进行相关计算． 1．（2023秋•兴隆县期中）如图所示，点C是线段AB上的一点，点D是线段BC的中点，若AB＝10，AC＝6，则CD＝（　　） A．4 B．2 C．3 D．1 2．已知线段AB＝8cm，点P在直线AB上，AP＝2cm，则线段BP的长是（　　） A．6cm B．10cm C．12cm D．6cm或10cm 3．（2023秋•深圳期末）如图所示，若C为线段AB的中点，D在线段CB上，DA＝6，DB＝4，则CD的长度是 　 　． 4．（2023秋•前郭县期末）线段AB被分成2：3：4三部分，第一部分与第三部分中点的距离为4.2cm，则最长部分的长为　 　cm． 5．（2023秋•滕州市校级期末）在直线l上取A、B、C三点，使得AB＝4cm，BC＝3cm，如果点O是线段AC的中点，则线段OC的长度为 　 　cm． 6．（2023秋•文山市期末）如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点． （1）若AM＝1，BC＝4，求MN的长度． （2）若AB＝6，求MN的长度． 7．（2023秋•播州区期末）如图，在直线上作线段AB＝a，再在线段AB上作线段BC＝b． （1）用含a，b的式子表示出线段AC的长； （2）若M是AC的中点，N是BC的中点，求线段MN的长． 8．（2023秋•伊川县期末）线段AB＝12cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点． （1）若点C恰好是AB中点，求DE的长？ （2）若AC＝4cm，求DE的长． 9．（2023秋•路桥区期末）如图，C是线段AB上的一点，且AB＝8，AC＝3BC，D为AB的中点，E为BC的中点． （1）线段BC的长为 　 ； （2）求线段DE的长． 10．（2023秋•河池期末）如图，已知点C为线段AB上一点，AC＝12cm，CB＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点．求： （1）求AD的长度； （2）求DE的长度； （3）若M在直线AB上，且MB＝6cm，求AM的长度． 题型六 动点运动问题 解题技巧提炼 解决线段的动点运动问题关键是化动为静，以不变应万变，查找突破口（动点速度，运动的路程等），设出未知数，建立所求的的等量关系式，求出未知数等等，有时还需要分类讨论.一般的步骤：①画图形；②表线段；③列方程；④求正解. 1．如图，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是﹣4，﹣2，3． （1）若使C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍，则需将点C向左移动　 　个单位； （2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒a个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒： ①点A、B、C表示的数分别是　 　、　 、　 （用含a、t的代数式表示）； ②若点B与点C之间的距离表示为d1，点A与点B之间的距离表示为d2，当a为何值时，5d1﹣3d2的值不会随着时间t的变化而改变，并求此时5d1﹣3d2的值． 2．（2023•大庆开学）如图，P是线段AB上一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为t． （1）当t＝2时，PD＝2AC，请求出AP的长； （2）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请求出AP的长； （3）在（2）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQ的长． 3．如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒． （1）当PB＝2AM时，求x的值； （2）当P在线段AB上运动时，2BM﹣BP＝　 　，请填空并说明理由； （3）如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MA+PN的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值． 4．（2023秋•广州期末）如图，线段AB＝20cm，C为AB的中点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿线段AB向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段AB向左运动，到点A停止．若P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（x＞0）s． （1）AC＝　 cm． （2）是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． 5．（2023秋•渝北区期末）如图1，点A，C在射线OM上，OA＝10cm，AC＝35cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度向右匀速运动，点Q从点C出发，在线段CO上向左匀速运动，两点同时出发． （1）若点Q运动速度为8cm/s，当点P和点Q都运动到线段OA上，且点Q恰好为线段PA的中点时，求点Q运动的时间； （2）如图2，若点B也为射线OM上一点，且AB＝30cm，当PA＝2PB时，点Q运动到线段AB上且恰好满足，求点Q的运动速度． 6．（2023春•罗湖区校级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB＝10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒， （1）写出数轴上点B所表示的数　 　； （2）点P所表示的数　 　；（用含t的代数式表示）； （3）M是AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长． 7．如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”． （1）一条线段的中点 　 　这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）． （2）【深入研究】 如图2，点A表示数﹣10，点B表示数20．若点M从点B的位置开始．以每秒3cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动．设运动的时间为t秒． ①点M在运动的过程中表示的数为 　 　（用含t的代数式表示）． ②求t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”． ③同时点N从点A的位置开始．以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止．请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）七年级上册数学《第6章 图形的初步知识》 6.3&6.4 线段的长短比较&线段的和差 知识点一 比较两条线段的长短 ◆比较两条线段的长短 方法一：度量法：分别测量线段AB、CD的长度，再进行比较； 方法二：叠合法：将点A与点C重合，再进行比较； 利用尺规作图把其中的一条的线段移到另一条线段上作比较 图1 图2 图3 ①如图1若点 A 与点 C 重合，点 B 落在C，D之间，那么 AB ＜CD. ②如图2若点 A 与点 C 重合，点 B 与点 D重合，那么 AB = CD. ③如图3若点 A 与点 C 重合，点 B 落在 CD 的延长线上，那么 AB＞ CD. 知识点二 两点之间线段最短 ◆1、线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短 . ◆2、两点之间的距离的定义：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离. 知识点三 作一条线段等于已知线段 ◆1、用尺规作图的方法可以将一条线段移到另一条线段上.在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. ◆2、线段的画法：作一条线段（AB）等于已知线段（a）的作法： ①画射线AC；②在射线AC上截取AB=a. ◆3、线段的和、差、倍、分 （1）线段的和、差的意义及画法 在直线上画出线段AB=a，再在AB的延长线上画线段BC=b，线段AC就是 a与 b的和，记作AC= a＋b ，如果在AB上画线段BD=b，那么线段AD就是a 与b 的差，记作AD= a－b. （2）线段倍、分的意义：如图，线段AB上有M、N、P三点，它们的长度关系是： AM＝ MN ＝NP=PB，则AN=2AM，AP=3AM，MN= AN，NP=AP等. 知识点四 线段的中点及等分点的概念 ◆1、线段的中点： 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点. ◆2、等分线段 （1）把一条线段分成三条相等的线段的点，叫做线段的三等分点. 如图点M、N是线段AB三等分点,则 AM ＝MN ＝BN ＝ AB . （2）类似的，把一条线段分成四条相等的线段的点，叫做线段的四等分点. 如图点M、N、P是线段AB四等分点，则AM＝ MN ＝NP＝PB＝ AB . 题型一 线段的长度比较 解题技巧提炼 方法一：度量法：分别测量线段AB、CD的长度，再进行比较； 方法二：叠合法：将点A与点C重合，再进行比较； 利用尺规作图把其中的一条的线段移到另一条线段上作比较 1．（2023秋•安新县期末）如图，用圆规比较两条线段AB和A′B′的长短，其中正确的是（　　） A．A′B′＞AB B．A′B′＝AB C．A′B′＜AB D．没有刻度尺，无法确定 【分析】根据比较线段的长短进行解答即可． 【解答】解：由图可知，A′B′＜AB； 故选：C． 【点评】本题主要考查了比较线段的长短，解题的关键是正确比较线段的长短． 2．（2023秋•凤山县期末）用“叠合法”比较两条线段AB，CD的大小，其中正确的方法是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“叠合法”比较两条线段的方法进行判断即可． 【解答】解：根据用“叠合法”比较两条线段的方法以及各个选项所表达的操作过程可知， 选项C的方法是正确的， 故选：C． 【点评】本题考查比较线段的长短，掌握“叠合法”比较两条线段的方法以及操作过程是正确判断的关键． 3．（2024秋•裕华区校级期中）借助圆规，可得图中最长的线段是（　　） A．线段AB B．线段AC C．线段AD D．线段AE 【分析】用圆规量出四条线段，再进行比较即可． 【解答】解：通过用圆规比较图中的四条线段，其中最长的DA， 故选：C． 【点评】此题考查了比较线段的长短，会用圆规度量各线段是本题的关键． 4．（2023•南皮县校级三模）如图，用圆规比较两条线段的长短，正确的是（　　） A．AB＞AC B．AB＝AC C．AB＜AC D．无法确定 【分析】根据题意即可得到答案． 【解答】解：如图用圆规比较两条线段的长短：AB＜AC， 故选：C． 【点评】本题考查比较线段的长短，掌握方法是解题关键． 5．（2023秋•桥西区期末）体育课上，小明在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（　　） A．M B．N C．P D．Q 【分析】比较线段OM、ON、OP、OQ的长短即可． 【解答】解：由点M、N、P、Q所在扇形区域中的位置可知， OP＞ON＞OQ＞OM， 故选：C． 【点评】本题考查比较线段的长短，掌握线段长短的比较方法是解决问题的关键． 6．（2023秋•都昌县期末）点C为线段AB的延长线上的一点，则下列各式中成立的是（　　） A．BC＞AB B．AB＞BC C．AB＝BC D．AC＞AB 【分析】画图即可得出结论． 【解答】解： 由图可知，AB与BC的大小无法确定， 因为AC＝AB+BC，所以AC＞AB， 故选：D． 【点评】本题考查了线段的大小比较，关键是画出正确的图形． 7．在直线l上顺次取不重合的A，B，C，D四点，则下列不一定正确的是（　　） A．AD＞BC B．AC＞BC C．AB＜CD D．CD＜BD 【分析】根据题意，画出图形，根据线段的比较大小可得答案． 【解答】解：如图： 根据图形可知：AD＞BC，AC＞BC，AB不一定小于CD，CD＜BD， 故选：C． 【点评】此题考查的是比较线段的长短，根据题意画出图形是解决此题的关键． 题型二 线段的基本事实的应用 解题技巧提炼 1、线段的性质：两点之间线段最短 2、线段公理：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 简单说成：两点之间，线段最短． 1．（2023秋•罗庄区期末）如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．经过一点有无数条直线 【分析】根据线段的性质解答即可． 【解答】解：用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小， 能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短， 故选：B． 【点评】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短． 2．（2023秋•晋州市期中）如图所示，从学校到公园有①②③④四条路线可走，其中最短的路线是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】应用两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．进行判定即可得出答案． 【解答】解：根据题意可得， 从学校到公园有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是③． 故选：C． 【点评】本题主要考查了线段的性质，熟练掌握线段的性质进行求解是解决本题的关键． 3．（2023秋•遵化市期中）下列说法中，不能用“两点之间，线段最短”来解释的有（　　） ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线； ③把弯曲的公路改直就能缩短路程． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】3个现象依据是两点之间，线段最短和两点确定一条直线，据此作出判断． 【解答】解：用“两点之间，线段最短”来解释的有③；①②的依据是两点确定一条直线． 故选：A． 【点评】本题主要考查了线段的性质：两点之间线段最短定理的应用，正确确定现象的本质是解决本题的关键． 4．（2023秋•官渡区期末）下面现象，可以用两点之间线段最短来解释的是（　　） A． 平板弹墨线 B． 建筑工人砌墙 C． 会场把茶杯摆直 D． 弯河道改直 【分析】根据两点之间，线段最短以及直线的性质分别分析得出答案． 【解答】解：A、平板弹墨线，根据两点确定一条直线解释，故此选项错误； B、建筑工人砌墙，根据两点确定一条直线解释，故此选项错误； C、会场把茶杯摆直，根据两点确定一条直线解释，故此选项错误； D、弯河道改直是根据两点之间，线段最短解释，正确； 故选：D． 【点评】本题考查的是线段的性质以及直线的性质，掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 5．（2023秋•襄城县期末）如图，把三角形剪去一个角，所得四边形的周长比原三角形的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．四边形周长小于三角形周长 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线 【分析】根据两点之间，线段最短进行解答． 【解答】解：如图，把三角形剪去一个角，所得四边形的周长比原三角形的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 故选：C． 【点评】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短． 6．（2024春•垦利区期末）下列生活、生产现象： ①把弯曲的公路改直，就能缩短路程； ②用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上； ③从A到B铺设水管，总是尽可能沿线段AB铺设； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上． 可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有 　 　． 【分析】根据两点之间线段最短，过两点只有且只有一条直线，可得答案． 【解答】解：①把弯曲的公路改直，就能缩短路程； ②用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上； ③从A到B铺设水管，总是尽可能沿线段AB铺设； ④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上． 可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有①③． 故答案为：①③． 【点评】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键． 7．（2024•船营区一模）如图，利用隧道，把弯曲的公路改直，就能缩短两地的路程，这其中蕴含的数学道理是 　 　． 【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短，解答即可． 【解答】解：由线段的性质可知： 两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 【点评】本题主要考查了线段的性质，即两点之间线段最短． 8．（2023秋•安乡县期末）如图，从教室到图书馆总有少数同学不走人行道而横穿草坪，虽然明知不对，可他们还是要这样做，用我们所学的数学知识可以解释他们的动机：　 　． 【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短进行解答． 【解答】解：从教室到图书馆总有少数同学不走人行道而横穿草坪，虽然明知不对，可他们还是要这样做，用我们所学的数学知识可以解释他们的动机：两点之间线段最短； 故答案为：两点之间线段最短． 【点评】此题主要考查了线段的性质，题目比较简单． 题型三 线段的尺规作图问题 解题技巧提炼 1、尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 2、做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． 1．（2023秋•碑林区校级期末）如图，已知线段a,b,请用尺规求作线段AB，使得AB=2a+b（不写作法，保留作图痕迹）． 【分析】作射线AM，在射线AM上截取线段AC=2a,CB=b即可． 【解答】解：如图，线段AB即为所求． 【点评】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 2．（2023秋•灞桥区校级期中）尺规作图：如图，已知线段a，b，请用尺规做一条线段MN， 使MN＝2b﹣a． 【分析】先在射线MP上依次截取MA＝AB＝b，然后在BM上截取BN＝a，则线段MN满足条件． 【解答】解：如图，MN为所作． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 3．尺规作图：如图，已知线段a,b（a＞2b），求作线段AB，使得AB=a﹣2b.（不写作法，但要保留作图痕迹） 【分析】作射线AM，在射线AM上截取AC，使得AC=a,在线段CA上取一点B，使得CB=2b,线段AB即为所求． 【解答】解：如图，线段AB即为所求． 【点评】本题考查作图-复杂作图，线段的和差定义等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 4．（2023秋•灞桥区校级期中）尺规作图：如图，已知线段a，b，请用尺规做一条线段MN，使MN＝2b﹣a． 【分析】先在射线MP上依次截取MA＝AB＝b，然后在BM上截取BN＝a，则线段MN满足条件． 【解答】解：如图，MN为所作． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 5．如图，平面上有射线AP和点B，C，请用尺规按下列要求作图： （1）连接AB，并在射线AP上截取AD＝AB； （2）连接BC，并延长BC到E，使CE＝2BC． 【分析】（1）由题意画出图形即可； （2）由题意画出图形即可． 【解答】解：（1）连接AB，并在射线AP上截取AD＝AB； 如图1所示： （2）连接BC，并延长BC到E，使CE＝2BC． 如图2所示． 【点评】本题考查了线段的画法；熟练掌握尺规作图是解题的关键． 题型四 线段的和、差、倍、分 解题技巧提炼 1、线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点． 2、线段的和、差、倍、分 如图，AC＝BC，C为AB中点，ACAB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DBCBAB， AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分． 1．（2024•滦南县校级模拟）如图AB＝CD，则AC与BD的大小关系是（　　） A．AC＞BD B．AC＜BD C．AC＝BD D．无法确定 【分析】根据AB＝CD两边都加上线段BC得出AB+BC＝CD+BC，即可得出答案． 【解答】解：∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， ∴AC＝BD， 故选：C． 【点评】本题考查了比较线段的长度的应用，主要考查学生的推理能力． 2．（2023秋•铁西区期末）如图，C是线段AB的中点，D是线段CB上一点，下列说法错误的是（　　） A．CD＝AC﹣BD B．CD＝AD﹣BC C．CDBC D．CDAB﹣BD 【分析】根据CD＝BC﹣BD和CD＝AD﹣AC两种情况和AC＝BC对各选项分析后即不难选出答案． 【解答】解：∵C是线段AB的中点， ∴AC＝BCAB， A、CD＝BC﹣BD＝AC﹣BD，正确； B、CD＝AD﹣AC＝AD﹣BC，正确； C、D不一定是BC的中点，故CDBC不一定成立； D、CD＝BC﹣BDAB﹣BD，正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查线段中点的定义和等量代换，只要细心进行线段的代换便不难得到正确答案． 3．（2023秋•柘城县期末）如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB上任意一点，则下列表示线段关系的式子不正确的是（　　） A．AB＝2AC B．AC+CD+DB＝AB C．CD＝ADAB D．AD（CD+AB） 【分析】根据线段中点的定义对A进行判断；根据图形直接对B进行判断；根据ACAB，则CD＝AD﹣AC＝ADAB可对C进行判断；根据AD＝AC+CDAB+CD可对D进行判断． 【解答】解：A、由点C是线段AB的中点，则AB＝2AC，正确，不符合题意； B、AC+CD+DB＝AB，正确，不符合题意； C、由点C是线段AB的中点，则ACAB，CD＝AD﹣AC＝ADAB，正确，不符合题意； D、AD＝AC+CDAB+CD，不正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了比较线段的长短：线段上一点把这条线段分成两条线段，这两条线段的和等于原线段．也考查了线段中点的定义． 4．（2023秋•官渡区期末）已知A、B、C三点在同一条直线上，则下列：①AC+BC＝AB；②ACAB；③AC＝BC；④AB＝2BC．可以判断点C是线段AB中点的有（　　） A．③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】根据线段中点的定义逐项分析可得答案． 【解答】解：①当AC+BC＝AB时，点C不一定是AB中点，故①错误； ②当ACAB时，点C不一定在线段AB上，故②错误； ③当AC＝BC时，点C一点是AB的中点，故③正确； ④当AB＝2BC时，点C不一定在线段AB上，故④错误． 故选：A． 【点评】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义是解题关键． 5．（2023秋•定远县期末）如图，点C是AB的中点，点D是BC的中点，则下列等式中成立的有（　　） ①CD＝AD﹣BD；②CD＝AD﹣BC；③2CD＝2AD﹣AB；④CDAB A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【分析】根据线段中点的性质、结合图形解答即可． 【解答】解：∵点C是AB的中点，点D是BC的中点， ∴AC＝BCAB，CD＝BDBC， 则CD＝AD﹣AC＝AD﹣BC，①不符合题意；②符合题意； 2AD﹣AB＝2AC+2CD﹣AB＝2CD，③符合题意； CDAB，④不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是两点间的距离，掌握线段中点的概念和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 6．如图，C，D是线段AB上两点，M，N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：①若AM＝BN，则AC＝BD；②若AB＝3BD，则AD＝BM；③AB﹣CD＝2MN；④AC﹣BD＝3（MC﹣DN）．其中正确的结论是 　（填序号）． 【分析】根据线段中点的定义与线段的和差结合图形进行分析． 【解答】解：∵M，N分别是线段AD，BC的中点， ∴AD＝2AM，BC＝2BN， ∵AM＝BN， ∴AD＝BC， ∴AD﹣CD＝BC﹣CD， 即AC＝BD； ①正确； ∵M是线段AD的中点， ∴AM＝MD， ∵AB＝3BD， ∴AM＝MD＝BD， ∴AD＝BM， 故②正确； ∵2MN＝2MC+2CN，MC＝MD﹣CD， ∴2MN＝2（MD﹣CD）+2CN， ∵MDAD，CNBC， ∴2MN＝2（ADBC﹣CD）＝AD﹣CD+BC﹣CD＝AB﹣CD， 故③正确； ∵AC﹣BD＝AD﹣BC， ∴AC﹣BD＝2MD﹣2CN＝2（MC﹣DN），故④错误． 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了两点间的距离，能够利用中点的性质求解一些线段之间的关系是解题的关键． 7．（2023秋•正定县期末）如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：①若AD＝BM，则AB＝3BD；②AC＝BD，则AM＝BN；③AC﹣BD＝2（MC﹣DN）；④2MN＝AB﹣CD．其中正确的结论是 　（填序号）． 【分析】根据线段中点的定义与线段的和差结合图形进行分析． 【解答】解：如图 ∵AD＝BM， ∴AD＝MD+BD， ∴ADAD+BD， ∴AD＝2BD， ∴AD+BD＝2BD+BD，即AB＝3BD，故①正确； ∵AC＝BD， ∴AD＝BC， ∴ADBC， ∵M、N分别是线段AD、BC的中点， ∴AM＝BN，故②正确； ∵AC﹣BD＝AD﹣BC， ∴AC﹣BD＝2MD﹣2CN＝2（MC﹣DN），故③正确； ∵2MN＝2MC+2CN，MC＝MD﹣CD， ∴2MN＝2（MD﹣CD）+2CN， ∵MDAD，CNBC， ∴2MN＝2（ADBC﹣CD）＝AD﹣CD+BC﹣CD＝AB﹣CD，故④正确， 故答案为：①②③④． 【点评】本题考查了两点间的距离，能够利用中点的性质求解一些线段之间的关系是解题的关键． 题型五 与线段有关的计算问题 解题技巧提炼 1、求线段的长，通常先将待求线段转化成其它线段的和或差，在转化时尽可能向已知长度的线段或与中点相 关联的线段. 2、当已知几条线段之间的比的关系或倍、分关系时，通常采用设未知数列方程的方法求解线段的长. 3、当点的位置不确定时，我们要分情况画图分类讨论，确定所有可能的情况，然后根据中点的概念以及图形进行相关计算． 1．（2023秋•兴隆县期中）如图所示，点C是线段AB上的一点，点D是线段BC的中点，若AB＝10，AC＝6，则CD＝（　　） A．4 B．2 C．3 D．1 【分析】因为点D是线段BC的中点，所以CDBC，而BC＝AB﹣AC＝10﹣6＝4，即可求得． 【解答】解：∵AB＝10，AC＝6， ∴BC＝AB﹣AC＝10﹣6＝4， 又∵点D是线段BC的中点， ∴CDBC4＝2． 故选：B． 【点评】准确解决此类问题的关键是数形结合，提高读图能力和分析能力． 2．已知线段AB＝8cm，点P在直线AB上，AP＝2cm，则线段BP的长是（　　） A．6cm B．10cm C．12cm D．6cm或10cm 【分析】根据题意，显然此题要分情况讨论：点P在线段AB上，点P在线段AB的延长线上．因为AB大于AP，所以点P不可能在线段BA的延长线上． 【解答】 解：（1）当点P在线段AB上时，则BP＝AB﹣AP＝6；（上图1） （2）当点P在线段AB的延长线上时，BP＝AB+AP＝10；（上图2） 故选：D． 【点评】要根据题意正确画出图形，然后根据线段的和与差计算即可． 3．（2023秋•深圳期末）如图所示，若C为线段AB的中点，D在线段CB上，DA＝6，DB＝4，则CD的长度是 　 　． 【分析】由已知条件知AB＝DA+DB，AC＝BCAB，故CD＝AD﹣AC可求． 【解答】解：∵线段DA＝6，线段DB＝4， ∴AB＝10， ∵C为线段AB的中点， ∴AC＝BC＝5， ∴CD＝AD﹣AC＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了两点间的距离．利用中点性质转化线段之间的长短关系是解题的关键． 4．（2023秋•前郭县期末）线段AB被分成2：3：4三部分，第一部分与第三部分中点的距离为4.2cm，则最长部分的长为　 　cm． 【分析】根据题意，画出图形，设末知量为X，AC：CD：BD＝2：3：4，点M是AC的中点，点N是BD的中点，则CMAC、DNBD，故MN＝CM+CD+DN，从而得到X的值．比较后可得最长部分的值． 【解答】 解：如图，AC：CD：BD＝2：3：4，点M是AC的中点，点N是BD的中点 设AB＝9X，则AC＝2X，CD＝3X，BD＝4X ∴CMAC＝X，DNBD＝2X ∴MN＝CM+CD+DN＝6X＝4.2 ∴X＝0.7 ∴BD是最长的部分，为4X＝2.8cm． 【点评】作出图形后，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． 5．（2023秋•滕州市校级期末）在直线l上取A、B、C三点，使得AB＝4cm，BC＝3cm，如果点O是线段AC的中点，则线段OC的长度为 　 　cm． 【分析】根据题意，分情况讨论： ①当点C在线段AB的延长线上时，AC＝7，如果点O是线段AC的中点，则线段OCAC可求； ②当点C在线段AB上时，AC＝4﹣3＝1，如果点O是线段AC的中点，则线段OCAC可求． 【解答】解：①当点C在线段AB的延长线上时，AC＝7cm， ∵O是线段AC的中点，∴OCAC＝3.5cm； ②当点C在线段AB上时，AC＝4﹣3＝1cm， ∵O是线段AC的中点，∴OCAC＝0.5cm． 故答案为：0.5或3.5． 【点评】首先注意此类题要分情况讨论，还要根据中点的概念，用几何式子表示线段的长．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键． 6．（2023秋•文山市期末）如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点． （1）若AM＝1，BC＝4，求MN的长度． （2）若AB＝6，求MN的长度． 【分析】（1）由已知可求得CN的长，从而不难求得MN的长度； （2）由已知可得AB的长是NM的2倍，已知AB的长则不难求得MN的长度． 【解答】解：（1）∵N是BC的中点，M是AC的中点，AM＝1，BC＝4 ∴CN＝2，AM＝CM＝1 ∴MN＝MC+CN＝3； （2）∵M是AC的中点，N是BC的中点，AB＝6， ∴NM＝MC+CNAB＝3． 【点评】本题主要考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性，此类题还要注意不要漏掉单位． 7．（2023秋•播州区期末）如图，在直线上作线段AB＝a，再在线段AB上作线段BC＝b． （1）用含a，b的式子表示出线段AC的长； （2）若M是AC的中点，N是BC的中点，求线段MN的长． 【分析】（1）根据AC＝AB﹣BC，列出代数式即可； （2）根据中点，求出CN、CM的长，根据MN＝CN+CM，进行计算即可． 【解答】解：（1）∵AB＝a，BC＝b， ∴AC＝AB﹣BC＝a﹣b； （2）∵AC＝a﹣b，BC＝b，M是AC的中点，N是BC的中点， ∴CMAC（a﹣b），CNBCb， ∴MN＝CN+CMb（a﹣b）a． 【点评】本题考查的是与线段中点有关的计算，找准线段之间的和差关系是解题的关键． 8．（2023秋•伊川县期末）线段AB＝12cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点． （1）若点C恰好是AB中点，求DE的长？ （2）若AC＝4cm，求DE的长． 【分析】（1）根据题意和图形可以求得DC和CE的长，从而可以求得DE的长； （2）根据题意和图形可以求得DC和CE的长，从而可以求得DE的长． 【解答】解：（1）∵AB＝12cm，点C恰好是AB中点， ∴AC＝BC＝6cm， ∵点D、E分别是AC和BC的中点， ∴CD＝3cm，CE＝3cm， ∴DE＝CD+CE＝6cm， 即DE的长是6cm； （2）∵AB＝12cm，AC＝4cm， ∴CB＝8cm， ∵点D、E分别是AC和BC的中点， ∴DC＝2cm，CE＝4cm， ∴DE＝DC+CE＝6cm， 即DE的长是6cm． 【点评】本题考查两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 9．（2023秋•路桥区期末）如图，C是线段AB上的一点，且AB＝8，AC＝3BC，D为AB的中点，E为BC的中点． （1）线段BC的长为 　 ； （2）求线段DE的长． 【分析】（1）根据AC+BC＝AB，AB＝8，AC＝3BC得3BC+BC＝8，据此可得BC的长； （2）根据AB＝8，D为AB的中点得DBAB＝4，再由（1）可知BC＝2，则DC＝DB﹣BC＝2，然后根据E为BC的中点得CEBC＝1，由此可得DE的长． 【解答】解：（1）∵C是线段AB上的一点， ∴AC+BC＝AB， 又∵AB＝8，AC＝3BC， ∴3BC+BC＝8， ∴BC＝2， 故答案为：2． （2）∵AB＝8，D为AB的中点， ∴DBAB＝4， 由（1）可知：BC＝2， ∴DC＝DB﹣BC＝4﹣2＝2， 又∵E为BC的中点， ∴CEBC＝1， ∴DE＝DC+CE＝3． 【点评】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键． 10．（2023秋•河池期末）如图，已知点C为线段AB上一点，AC＝12cm，CB＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点．求： （1）求AD的长度； （2）求DE的长度； （3）若M在直线AB上，且MB＝6cm，求AM的长度． 【分析】（1）直接根据D是AC的中点可得答案； （2）先求出AB的长，然后根据E是AB的中点求出AE，做好应AE﹣AD即为DE的长； （3）分M在点B的右侧、M在点B的左侧两种情况进行计算即可． 【解答】解：（1）由线段中点的性质，ADAC＝6（cm）； （2）由线段的和差，得AB＝AC+BC＝12+8＝20（cm）， 由线段中点的性质，得AE10（cm）， 由线段的和差，得DE＝AE﹣AD＝10﹣6＝4（cm）； （3）当M在点B的右侧时，AM＝AB+MB＝20+6＝26（cm）， 当M在点B的左侧时，AM＝AB﹣MB＝20﹣6＝14（cm）， ∴AM的长度为26cm或14cm． 【点评】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键． 题型六 动点运动问题 解题技巧提炼 解决线段的动点运动问题关键是化动为静，以不变应万变，查找突破口（动点速度，运动的路程等），设出未知数，建立所求的的等量关系式，求出未知数等等，有时还需要分类讨论.一般的步骤：①画图形；②表线段；③列方程；④求正解. 1．如图，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是﹣4，﹣2，3． （1）若使C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍，则需将点C向左移动　 　个单位； （2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒a个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒： ①点A、B、C表示的数分别是　 　、　 、　 （用含a、t的代数式表示）； ②若点B与点C之间的距离表示为d1，点A与点B之间的距离表示为d2，当a为何值时，5d1﹣3d2的值不会随着时间t的变化而改变，并求此时5d1﹣3d2的值． 【分析】（1）由AB＝2，结合数轴即可得出点C向左移动的距离； （2）①结合路程＝时间×速度写出答案； ②先求出d1＝3t+5，d2＝3t+2，从而得出d1﹣d2＝2． 【解答】解：（1）由数轴可知：A、B两点的距离为2，B点、C点表示的数分别为：﹣2、3， 所以当C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍时，需将点C向左移动1或9个单位； 故答案为：1或9； （2）①点A表示的数是﹣4﹣at；点B表示的数是﹣2+2t；点C所表示的数是3+5t． 故答案为：﹣4﹣at；﹣2+2t；3+5t； ②∵点A以每秒a个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动， ∴d1＝3t+5，d2＝（a+2）t+2， ∴5d1﹣3d2＝5（3t+5）﹣3[（a+2）t+2]＝（9﹣3a）t+19， 9﹣3a＝0， 解得a＝3， 故当a为3时，5d1﹣3d2的值不会随着时间t的变化而改变，此时5d1﹣3d2的值为19． 【点评】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 2．（2023•大庆开学）如图，P是线段AB上一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为t． （1）当t＝2时，PD＝2AC，请求出AP的长； （2）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请求出AP的长； （3）在（2）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQ的长． 【分析】（1）由题意，当t＝1时，BD＝4，PC＝2，则BD+PD＝2（PC+AC），可得PB＝2AP，由AB＝AP+PB即可求解； （2）由PD＝2AC，BD＝2PC可知，BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP，即可求解； （3）分类讨论，当点Q在线段AB上时和点Q在AB的延长线上时，分别求解即可． 【解答】解：（1）根据C、D的运动速度知：BD＝4cm，PC＝2cm，则BD＝2PC， ∵PD＝2AC， ∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP， ∴AB＝12cm，AB＝AP+PB， ∴12＝3AP，则AP＝4cm； （2）根据C、D的运动速度知：BD＝2PC， ∵PD＝2AC， ∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP， ∴AP＝4cm； （3）当点Q在线段AB上时， ∵AQ﹣BQ＝PQ， ∴AQ＝PQ+BQ； ∵AQ＝AP+PQ， ∴AP＝BQ， 又∵PB＝2AP， ∴； 当点Q在AB的延长线上时， AQ﹣BQ＝PQ＝AB＝12cm． 综上所述，PQ＝4cm或12cm． 【点评】本题考查线段的和差运算，动点问题，数形结合，理解图形中的等量关系式解题的关键． 3．如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒． （1）当PB＝2AM时，求x的值； （2）当P在线段AB上运动时，2BM﹣BP＝　 　，请填空并说明理由； （3）如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MA+PN的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值． 【分析】（1）根据 PB＝2AM建立关于 x 的方程，解方程即可； （2）将 BM＝24﹣x，PB＝24﹣2x代入2BM﹣BP 后，化简即可得出结论； （3）利用 PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x﹣24，PN＝；PB＝x﹣12，分别表示出 MN 及 MA+PN 的长度，即可作出判断． 【解答】解：（1）M 是线段AP的中点， ∴AMAP＝x， PB＝AB﹣AP＝24﹣2x． ∴PB＝2AM， ∴24﹣2x＝2x， 解得 x＝6； （2）∵AM＝x，BM＝24﹣x，PB＝24﹣2x， 2BM﹣BP＝2（24﹣x ）﹣（24﹣2x）＝24，即2BM﹣BP为定值； 故答案为：24． （3）当P在AB延长线上运动，当点P在B点右侧， ∵PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x﹣24，PN PB＝x﹣12， ①MN＝PM﹣PN＝x﹣（x﹣12）＝12是定值； ②MA+PN＝x+x﹣12＝2x﹣12，是变化的． 【点评】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度． 4．（2023秋•广州期末）如图，线段AB＝20cm，C为AB的中点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿线段AB向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段AB向左运动，到点A停止．若P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（x＞0）s． （1）AC＝　 cm． （2）是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据线段AB＝20cm，C为AB的中点即可得AC的长； （2）依题意得：AP＝2x cm，BQ＝x cm，AC＝BC＝10cm，然后分三种情况讨论如下：①当点C为PQ的中点时，②当点P为CQ的中点时，③当点Q为PC的中点时，再根据每一种情况画出图形，利用线段中点的定义列出方程求出x即可． 【解答】解：（1）∵线段AB＝20cm，C为AB的中点， ∴AC＝BCAB20＝10（cm）， 故答案为：10． （2）存在． 依题意得：AP＝2x cm，BQ＝x cm， 由（1）可知：AC＝BC＝10cm， 分三种情况讨论如下： ①当点C为PQ的中点时：则PC＝QC，如图1所示： ∵PC＝AC﹣AP＝（10﹣2x）cm，QC＝BC﹣BQ＝（10﹣x）cm， ∴10﹣2x＝10﹣x， 解得：x＝0（不合题意，舍去）； ②当点P为CQ的中点时，则PC＝PQ，如图1所示： ∵PC＝AP﹣AC＝（2x﹣10）cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（20﹣2x）cm， ∴PQ＝BP﹣BQ＝20﹣2x﹣x＝（20﹣3x）cm， ∴2x﹣10＝20﹣3x， 解得：x＝6； ③当Q为PC的中点时，则PC＝2CQ，如图2所示： ∵PC＝AP﹣AC＝（2x﹣10）cm，CQ＝BC﹣BQ＝（10﹣x）cm， ∴2x﹣10＝2（10﹣x）， 解得：x＝7.5． 综上所述：当x＝6s或7.5s时，C，P，Q三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点． 【点评】此题主要考查了两点间的距离，线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，根据线段中点的定义进行分类讨论，并列出方程是解决问题的关键． 5．（2023秋•渝北区期末）如图1，点A，C在射线OM上，OA＝10cm，AC＝35cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度向右匀速运动，点Q从点C出发，在线段CO上向左匀速运动，两点同时出发． （1）若点Q运动速度为8cm/s，当点P和点Q都运动到线段OA上，且点Q恰好为线段PA的中点时，求点Q运动的时间； （2）如图2，若点B也为射线OM上一点，且AB＝30cm，当PA＝2PB时，点Q运动到线段AB上且恰好满足，求点Q的运动速度． 【分析】（1）设运动时间为t秒，表示出AQ和AP，根据列出方程，解之即可； （2）设点Q的运动速度为x cm/s，运动时间为t秒，分P在线段AB上和P在射线BM上两种情况，分别求解． 【解答】解：（1）设运动时间为t秒， 由题意可得： OP＝t，CQ＝8t， 则AQ＝CQ﹣AC＝8t﹣35，AP＝OA﹣OP＝10﹣t， ∴，即， 解得：， 即点Q运动的时间为； （2）设点Q的运动速度为x cm/s，运动时间为t秒， 当P在线段AB上时， t﹣10＝2（10+30﹣t）， 解得：t＝30， ∵， ∴， 解得：； 当P在射线BM上时， t﹣10＝2（t﹣10﹣30）， 解得：t＝70， ∵， ∴， 解得：； 综上：点Q的运动速度为或． 【点评】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程，数轴上两点之间的距离，解题的关键是能用未知数表示出相应线段的长度． 6．（2023春•罗湖区校级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB＝10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒， （1）写出数轴上点B所表示的数　 　； （2）点P所表示的数　 　；（用含t的代数式表示）； （3）M是AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长． 【分析】（1）由已知得OA＝6，则OB＝AB﹣OA＝4，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数； （2）动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为6t，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是6﹣6t； （3）可分两种情况，通过计算表示出线段MN的长都为AB，所以得出结论线段MN的长度不发生变化． 【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6， ∴OA＝6， 则OB＝AB﹣OA＝4， 点B在原点左边， 所以数轴上点B所表示的数为﹣4， 故答案为：﹣4； （2）点P运动t秒的长度为6t， ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：6﹣6t， 故答案为：6﹣6t； （3）线段MN的长度不发生变化， 理由： 分两种情况： ①当点P在A、B两点之间运动时，如图 MN＝MP+NPBPPAAB＝5 ②当点P运动到B的左边时，如图 MN＝MP﹣NPAPPBAB＝5 综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5…（10分） 【点评】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题关键． 7．如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”． （1）一条线段的中点 　 　这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）． （2）【深入研究】 如图2，点A表示数﹣10，点B表示数20．若点M从点B的位置开始．以每秒3cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动．设运动的时间为t秒． ①点M在运动的过程中表示的数为 　 　（用含t的代数式表示）． ②求t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”． ③同时点N从点A的位置开始．以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止．请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值． 【分析】（1）可直接根据“二倍点”的定义进行判断； （2）①点M向左运动，运动的路程为3t，表示的数为20﹣3t； ②用含t的代数式分别表示出线段AM、BM、AB，然后根据“二倍点”的意义，分三种情况讨论即可； ③用含t的代数式分别表示出线段AN、NM、AM，然后根据“二倍点”的意义，分三种情况讨论即可． 【解答】解：（1）因为线段的中点把该线段分成相等的两部分，该线段等于2倍的中点两侧的小线段的长， 所以一条线段的中点是这条线段的二倍点． 故答案为：是． （2）①点M向左运动，运动的路程为3t，表示的数为20﹣3t， 故答案为：20﹣3t； ②当AM＝2BM时，30﹣3t＝2×3t，解得：t； 当AB＝2AM时，30＝2×（30﹣3t），解得：t＝5； 当BM＝2AM时，3t＝2×（30﹣3t），解得：t； 答：t为或5或时，点M是线段AB的二倍点； ③当AN＝2MN时，2t＝2[2t﹣（30﹣3t）]，解得：t； 当AM＝2NM时，30﹣3t＝2[2t﹣（30﹣3t）]，解得：t； 当MN＝2AM时，2t﹣（30﹣3t）＝2（30﹣3t），解得：t； 答：t为或或时，点M是线段AN的二倍点． 【点评】本题考查了两点间的距离，一元一次方程的解法、线段的和差，题目需根据二倍点的定义分类讨论，做到不重不漏是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！31 学科网（北京）股份有限公司 $$