专题6.1 线段的双中点和双角平分线模型（核心专题）-2025-2026学年七年级数学上册同步课堂与核心专题特训（浙教版2024）

专题6.1.线段的双中点和双角平分线模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点（双角平分线）模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段（角度）和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型1.线段的双中点模型 1 模型2.线段的多中点模型 4 模型3.双角平分线模型 8 模型4.双角平分线模型与角n等分线模型 12 15 模型1.线段的双中点模型 1）线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 例1（24-25七年级上·浙江·期末）如图，已知点C在线段的延长线上，线段，M，N分别是的中点，则线段的长为 ． 例2（24-25七年级上·福建厦门·期末）已知数轴上三点表示的数分别为，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为的中点，点始终为的中点，点在从点运动到点的过程中，则线段的长度为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 例3（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图，数轴上的点A，B分别表示数，5，C，D分别是线段的中点，则点D表示的数是（   ）    A． B． C． D． 例4（24-25七年级上·河北沧州·期末）如图，、是线段上两点，、分别是线段，的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③．其中正确的结论是（   ） A．① B．② C．①③ D．①②③ 例5（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图， 直线上从左到右依次有A， B， C， D四点． M，N分别是线段，的中点， 且，， 则线段的长为 ． 例6（24-25七年级上·山东青岛·期末）已知，点是直线上的一点，使得，、分别是线段的中点与的中点，则线段的长度是 ． 模型2.线段的多中点模型 2）线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 例1（24-25·湖北襄阳·七年级期末）点是线段上任意一点，分别是线段上靠近点的三等分点，若，则线段的长是____． 例2（2020·四川凉山·中考真题）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段，则线段BD的长为（ ） A．10cm B．8cm C．8cm或10cm D．2cm或4cm 例3（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点连续这样操作2024次，则线段的长度为 ． 例4（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，点P从距原点2个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此不断跳动下去，则第12次跳动后，该点到A点的距离为（    ） A． B． C． D． 例5（24-25七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为，所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 例6（24-25·四川成都·七年级统考期末）（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长；    （2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）， ①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长； ②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值． 模型3.双角平分线模型 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 例1（24-25七年级上·广东东莞·期末）如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，点在直线上，、分别是、的平分线．若，则的度数为 ． 例3（24-25·湖北七年级期中）如图，已知，，平分，平分，则的度数是 ．    例4（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）如图，点O为直线上一点，当直角在如图所示位置时，平分，平分，若，则的度数为 例5（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，是平角，分别是的平分线．(1)当时， ；(2)当时，求的度数； (3)若设度时，求的度数． 例6（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，平分，过点作射线，使得，则度数是（    ）． A． B．或 C．或 D．或 模型4.双角平分线模型与角n等分线模型 1）角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 例1（24-25七年级上·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 例2（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，，射线是的角平分线，射线是的角平分线，射线是的角平分线……以此类推，请借助所给图形思考的度数为 ． 例3（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 1.（2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 2．（2025·河北沧州·模拟预测）有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是(    ) A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对 3．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）已知在一直线上有A、B、C三个点，且线段，，点M是线段的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（   ） A．4 B．20或10 C．10 D．20或4 5．（24-25河南信阳·七年级期末）若线段AB＝12cm，点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，则线段BD的长为（　　） A．2cm或4cm B．8cm C．10cm D．8cm或10cm 6．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点在线段上，且，分别是，的中点．则下列结论：①；②是的中点；③；④；⑤若，则图中所有线段之和为50．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（24-25·山东滨州·七年级期中）如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° 8.（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 9．（24-25七年级上·山东烟台·期末）将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·四川广元·期末）如图，是的平分线，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 11.（24-25七年级上·上海·阶段练习）一条直线上依次有、、、四个点，如果，，和分别是和的中点，那么 ； 12．（24-25七年级上·山东·期末）已知：如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，，…，连续这样操作5次，则 ．    13.（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 14.（2024·江苏南京·中考真题）如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ． 15．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫作这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则是的一条三分线． （1）若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且．若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 16．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，画射线，使，平分，平分，则 ． 17．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,， (1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长； (2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长． 18．（24-25七年级上·重庆·期末）已知，，，四点在同一直线上，线段，点在线段上． (1)如图1，点是线段的中点，，求线段的长度； (2)若点是直线上一点，且满足，，求线段的长度． 19．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）已知线段，点C为线段上的一个动点（点C不与A、B重合），点D、E分别是和的中点 (1)若，求的长；(2)若点C恰好是的中点，且，求的长． 20．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长；(3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 21．（24-25七年级上·四川巴中·期末）【实例】求值： 解：设① 将等式两边同时乘2，得：② 将②式减去①式，得：， 即 【运用】（1）_______________﹔ 【拓展】（2）计算：； 【迁移】（3）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点、；第三次操作：分别取线段和的中点、；连续这样操作次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和的值为多少 22．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和 (1)若，，求的度数 (2)请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？（直接写答案） (3)如图，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果） 23．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）线段和角在概念和结构上存在某种对应，它们的相关计算问题也存在着某种意义上的联系，其解题方法可以相互借鉴． 【线段计算】（1）如图1，已知线段，C，D分别是，的中点，则_______；一般地，若线段，C，D分别是，的中点，则_______． 【角度计算】（2）如图2，已知在的内部，射线和射线分别平分和． ①若，则的度数为_______． ②一般地，请你猜想和之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【思想提炼】（3）在以上问题的解决过程中，你使用的数学思想方法有_______． A．转化思想    B．数形结合    C．分类讨论    D．类比思想 24.（24-25七年级上·陕西·校考期末）【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线． 【问题再现】（1）若，为的二倍分线，且，求的度数； 【问题推广】（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）． ①若，求的度数；②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． 【拓展提升】（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1.线段的双中点和双角平分线模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点（双角平分线）模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段（角度）和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型1.线段的双中点模型 1 模型2.线段的多中点模型 4 模型3.双角平分线模型 8 模型4.双角平分线模型与角n等分线模型 12 15 模型1.线段的双中点模型 1）线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 例1（24-25七年级上·浙江·期末）如图，已知点C在线段的延长线上，线段，M，N分别是的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵M，N分别是的中点，∴， ∴，故答案为：． 例2（24-25七年级上·福建厦门·期末）已知数轴上三点表示的数分别为，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为的中点，点始终为的中点，点在从点运动到点的过程中，则线段的长度为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【详解】解；设运动时间为t，点P的运动速度为v，则点P表示的数为， ∵点始终为的中点，点始终为的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴，故选：A． 例3（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图，数轴上的点A，B分别表示数，5，C，D分别是线段的中点，则点D表示的数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵数轴上的点A、B分别表示数、5，∴， ∵C、D分别是线段的中点，∴，， ∴点D表示的数是，故选：D． 例4（24-25七年级上·河北沧州·期末）如图，、是线段上两点，、分别是线段，的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③．其中正确的结论是（   ） A．① B．② C．①③ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：，，， 是线段的中点，，，，故①正确； ，，， 、分别是线段，的中点，，，，故②正确； 、分别是线段，的中点，，， ， ，故③正确； 综上所述，正确的有①②③．故选：D． 例5（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图， 直线上从左到右依次有A， B， C， D四点． M，N分别是线段，的中点， 且，， 则线段的长为 ． 【答案】10 【详解】解：∵M，N分别是线段，的中点，∴，， ∵，又， ∴，即：，∴，故答案为：10． 例6（24-25七年级上·山东青岛·期末）已知，点是直线上的一点，使得，、分别是线段的中点与的中点，则线段的长度是 ． 【答案】或 【详解】解：当点在线段的延长线上时，如图， ∵，, ，∴， ∵、分别是线段的中点与的中点， ∴，∴； 当点在线段上时，如图， ∵，,，∴， ∵、分别是线段的中点与的中点， ∴，∴， 综上所述，线段的长度是或，故答案为：或． 模型2.线段的多中点模型 2）线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 例1（24-25·湖北襄阳·七年级期末）点是线段上任意一点，分别是线段上靠近点的三等分点，若，则线段的长是____． 【答案】 【详解】解：如图：由题意得，∴EC=AC，FC=BC， ∴EF=EC+CF=AC+BC=(AC+BC)=AB=，故答案为． 例2（2020·四川凉山·中考真题）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段，则线段BD的长为（ ） A．10cm B．8cm C．8cm或10cm D．2cm或4cm 【答案】C 【详解】如图，∵点C是线段AB的中点，∴AC=BC=AB=6cm 当AD=AC=4cm时，CD=AC-AD=2cm∴BD=BC+CD=6+2=8cm； 当AD=AC=2cm时，CD=AC-AD=4cm∴BD=BC+CD=6+4=10cm；故选C． 【点睛】此题主要考查线段之间的关系，解题的关键是熟知线段的和差关系． 例3（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点连续这样操作2024次，则线段的长度为 ． 【答案】 【详解】解：是和的中点，， 是和的中点，， 是和的中点，，， 发现规律：，当时，，故答案为：． 例4（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，点P从距原点2个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此不断跳动下去，则第12次跳动后，该点到A点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵A表示的数是2，原点表示的数是0， ∴表示的数是，表示的数是，表示的数是，由此得到表示的数是， 故第12次跳动后，该点到A点的距离为，故选C． 例5（24-25七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为，所以， 两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 【答案】(1)①；② (2)(3) 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）因为，所以． 两式相加，得．所以； （3），随着取中点次数的不断增大的长最终接近的值是． 故答案为：． 例6（24-25·四川成都·七年级统考期末）（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长；    （2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）， ①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长； ②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【详解】解：（1）∵M，N分别是，的中点∴ ∵∴ （2）①∵∴ ∵∴； ② ． 模型3.双角平分线模型 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 例1（24-25七年级上·广东东莞·期末）如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵分别平分和， ， ，故选：C． 例2（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，点在直线上，、分别是、的平分线．若，则的度数为 ． 【答案】/29度 【详解】解：是的平分线，， ，， 是的平分线，．故答案为：． 例3（24-25·湖北七年级期中）如图，已知，，平分，平分，则的度数是 ．    【答案】 【详解】解：∵，，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴，故答案为：． 例4（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）如图，点O为直线上一点，当直角在如图所示位置时，平分，平分，若，则的度数为 【答案】/77度 【详解】解：∵平分，，∴， ∵是直角，即，∴，∴， ∵平分，∴，故答案为：． 例5（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，是平角，分别是的平分线．(1)当时， ；(2)当时，求的度数； (3)若设度时，求的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：，， 分别是的平分线，， ；故答案为： （2）解：，分别是的平分线， ，，； （3）解：，， 分别是的平分线，， ，． 例6（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，平分，过点作射线，使得，则度数是（    ）． A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：∵，平分，，∴， ①当射线在内时，如图，； ②当射线在内时，如图，； ∴度数是或．故选：B． 模型4.双角平分线模型与角n等分线模型 1）角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 例1（24-25七年级上·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，则，，； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，，； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，，； 综上，为或或，故选：C． 例2（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，，射线是的角平分线，射线是的角平分线，射线是的角平分线……以此类推，请借助所给图形思考的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵，射线是的角平分线，∴， ∵射线是的角平分线，∴， ∵射线是的角平分线，∴， ∴，则．故答案为：． 例3（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【答案】(1)(2)①；②， 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，∴，故答案为：； （2）解：①∵，，∴， ∵平分，平分．∴， ∴，∴； ②∵的度数是，的度数是，∴， ∵平分，平分．∴， ∴， 又∵平分，平分， ∴，∴， 同理，， ∴， ∴． 1.（2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】A 【详解】解：①当点C在线段上时，如图所示： ∵，，∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，，∴（）． ②当点C在线段的延长线上时，如图所示： ∵，，∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，，∴（）． 综上所述，线段的长度是8．故选：A． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是(    ) A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对 【答案】A 【详解】解：①“延长线段到，使”，则点是线段中点，故嘉嘉说法正确； ②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”，如图，如果线段，那么线段或，故淇淇说法错误．故选：A．           3．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）已知在一直线上有A、B、C三个点，且线段，，点M是线段的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：如图，当点在点左侧时，可有， ∵点是线段的中点，∴； 如图，当点在点右侧时，可有， ∵点是线段的中点，∴； 综上：的长为或；故选：C． 4．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（   ） A．4 B．20或10 C．10 D．20或4 【答案】D 【详解】解：当点在线段上时，如图： 由题意，得：，，∴，∴； 当点在线段上时，如图：则，， ∵，∴，∴；综上，线段的长是20或4．故选：D． 5．（24-25河南信阳·七年级期末）若线段AB＝12cm，点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，则线段BD的长为（　　） A．2cm或4cm B．8cm C．10cm D．8cm或10cm 【答案】D 【详解】解：∵C是线段AB的中点，AB＝12cm， ∴AC＝BC＝AB＝×12＝6（cm），点D是线段AC的三等分点， ①当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD＝BC+AC＝6+4＝10（cm）； ②当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD′＝BC+AC＝6+2＝8（cm）． 所以线段BD的长为10cm或8cm，故选：D． 6．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点在线段上，且，分别是，的中点．则下列结论：①；②是的中点；③；④；⑤若，则图中所有线段之和为50．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【详解】解：①、由，得：，故正确； ②、由E是的中点，，得，则是的中点，故正确； ③、由D，E分别是的中点，得：，故正确； ④、由上述结论，得：，故正确； ⑤、由，，得到，又，则，，，， ，，， 图中所有线段之和为，故正确，综上所述，正确的结论共有5个，故选：D 7．（24-25·山东滨州·七年级期中）如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° 【答案】D 【详解】∵OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°， ∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD=∠COE=×60°=30°， ∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°．故选D． 8.（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线，∴． ∵，∴，． ∵平分，∴，∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线，∴． ∵，∴，． ∵平分，∴，∴； 综上可知或．故选：A． 9．（24-25七年级上·山东烟台·期末）将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵平分，平分，∴，， ∴ ， 又，，∴，故选：C． 10．（24-25七年级上·四川广元·期末）如图，是的平分线，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，，， 是的平分线，．故选：C． 11.（24-25七年级上·上海·阶段练习）一条直线上依次有、、、四个点，如果，，和分别是和的中点，那么 ； 【答案】 【详解】解：如图， ∵在一条直线上且依次排列∴， ∵，，∴，即， ∵M、N分别是、的中点，∴，． ∴ ．故答案为：6． 12．（24-25七年级上·山东·期末）已知：如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，，…，连续这样操作5次，则 ．    【答案】4 【详解】解：根据题意可得，∵，∴， ∴，∴， ∴，……依次类推， ，∴，故答案为：4． 13.（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 【答案】40或80 【详解】解：∵，，N是线段的中点，∴，， ①若，如图1所示： ∵，∴，∵，∴∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，，∴； ②若，如图：∴， ∵，∴，∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴；故答案为：40或80． 14.（2024·江苏南京·中考真题）如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∵是的平分线，∴， ∴，∴， ∵是的平分线，， ∴；故答案为： 15．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫作这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则是的一条三分线． （1）若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且．若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 【答案】 或 【详解】解：（1）∵，， ∴，∴，故答案为：； （2）∵是的一条三分线，，且， ∴，，∴， ∵将顺时针旋转（）得到，∴， 分两种情况：如图，当是的三分线，且时， ∴，∴， ∴，∴，即的值为； 如图2，当是的三分线，且时， ∴，∴，∴，即的值为； 综上所述，的值为或． 16．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，画射线，使，平分，平分，则 ． 【答案】或 【详解】解：当射线在内时，如图1， ∵，，∴，， ∵平分，平分，∴，， ∴. 当射线在外时，如图2，∵，， ∴，， ∵平分，平分，∴，， ∴.综上所述：或故答案为：或． 17．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,， (1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长； (2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长． 【答案】(1)41(2)49 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴； （2）∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴． ∵，∴． 18．（24-25七年级上·重庆·期末）已知，，，四点在同一直线上，线段，点在线段上． (1)如图1，点是线段的中点，，求线段的长度； (2)若点是直线上一点，且满足，，求线段的长度． 【答案】(1)5(2)线段的长度为或 【详解】（1）解：，点是线段的中点，， 又，，，； （2）解：①当点在线段上时，如图， ，，，； ②当点在点的右侧时，如图， ，，，； ③当点在点的左侧时，此时，不存在符合题意的点．综上，线段的长度为或． 19．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）已知线段，点C为线段上的一个动点（点C不与A、B重合），点D、E分别是和的中点 (1)若，求的长；(2)若点C恰好是的中点，且，求的长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图：∵点D、E分别是和的中点，∴，， ， ∵，∴； （2）解：∵点C恰好是的中点，∴， ∵点D、E分别是和的中点，∴，， ∴，∴． 20．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长；(3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 【答案】(1)(2)5厘米(3) 【详解】（1）解：∵M，N分别是，的中点，， ∴， ∴，故答案为：； （2）解：∵，∴； （3）解：∵， ∴． 21．（24-25七年级上·四川巴中·期末）【实例】求值： 解：设① 将等式两边同时乘2，得：② 将②式减去①式，得：， 即 【运用】（1）_______________﹔ 【拓展】（2）计算：； 【迁移】（3）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点、；第三次操作：分别取线段和的中点、；连续这样操作次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和的值为多少 【答案】（1）；（2）；（3） 或 【详解】解：（1）设① 将等式①的两边同时乘以2得： ② 将②式减去①式，得：，∴．故答案为：． （2）设① 将等式两边同时乘3，得：② 将②式减去①式，得 ∴，即 （3）∵，、是线段和的中点， ∴，同理可得…… ∴ 设① ∴② 将①式减去②式，得 ∴ 22．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和 (1)若，，求的度数 (2)请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？（直接写答案） (3)如图，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果） 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵射线和射线分别平分和． ， ． （2）解：，∵射线和射线分别平分和． ， ，即； （3）解：，， 又 ∵，， ． 23．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）线段和角在概念和结构上存在某种对应，它们的相关计算问题也存在着某种意义上的联系，其解题方法可以相互借鉴． 【线段计算】（1）如图1，已知线段，C，D分别是，的中点，则_______；一般地，若线段，C，D分别是，的中点，则_______． 【角度计算】（2）如图2，已知在的内部，射线和射线分别平分和． ①若，则的度数为_______． ②一般地，请你猜想和之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【思想提炼】（3）在以上问题的解决过程中，你使用的数学思想方法有_______． A．转化思想    B．数形结合    C．分类讨论    D．类比思想 【答案】（1）22；；（2）①；②，理由见解析；（3）D 【详解】解：（1）C，D分别是，的中点， ， ，又， ，， ； C，D分别是，的中点，， ，又， ，， ，故答案为：22；； （2）①由条件可知， ， ，， ，． ②，理由如下：， ； （3）在以上问题的解决过程中，我们会发现角的规律和线段的是一样的，所以运用了类比思想，故选：D． 24.（24-25七年级上·陕西·校考期末）【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线． 【问题再现】（1）若，为的二倍分线，且，求的度数； 【问题推广】（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）． ①若，求的度数；②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． 【拓展提升】（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数． 【答案】（1）；（2）①；②不变，见解析；（3） 【详解】解：（1）因为，为的二倍分线，且， 所以，，所以．所以． （2）①因为，分别为和的三倍分线（，）， 所以，， 因为，所以，所以，， 所以，，所以． ②不变．理由如下：因为，分别为和的三倍分线，，， 所以，， 所以； （3）设，因为，所以， 因为所在射线恰好分别为和的三倍分线，，， 所以，， 因为，所以， 所以，所以，，所以． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $