精品解析：天津市河西区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

九年级数学 本试卷分为第I卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回祝各位考生考试顺利！ 第I卷（选择题共36分） 注意事项： 每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个正方体的表面积为，则这个正方体的边长为（ ） A. 10 B. 6 C. D. 2. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，可以看作中心对称图形的个数为（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 函数的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 如图，过平行四边形对角线的交点O的一条直线，分别交边于点E，F，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 与全等 D. 四边形与四边形的面积相等 6. 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，以点C为中心，将顺时针旋转得到，边DE与边AC相交于点F，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象过点，和点，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点是正六边形的边与轴的交点，，点在第一象限．将绕点顺时针旋转后点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 该函数图象过点 B. 该函数图象的对称轴是直线 C. 该函数图象与x轴有两个交点，且两交点间的距离为4 D. 该函数图象可以看作是将向下平移3个单位 11. 如图，中，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为D，E，连接．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，四边形的对角线互相垂直，，有下列结论： ①当对角线与互相平分时，四边形是菱形； ②当的长度为或时，四边形的面积均为； ③四边形面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 写出在抛物线上的一个点________． 14. 如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，，则_______° 15. 一个矩形的面积为，且长比宽多，则这个矩形的周长为__________． 16. 已知函数，当时的取值范围是______． 17. 如图，在边长为4的正方形中，点E是上一点，将线段绕点A逆时针旋转，使得点E的对应点F落在的延长线上，若平分，交于点G． （Ⅰ）的度数为_______． （Ⅱ）若，则的长度为_______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别落在格线上． （Ⅰ）当O为所在小正方形一边的中点，A为四等分点（距右方格点近）时，则AO的长度为_______； （Ⅱ）以A为顶点的矩形ABCD，满足点O为对角线的交点．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点B，点C和点D，并简要说明这三个点的位置是如何找到的（不要求证明）_______． （注意：点A与点O不再满足（I）中的条件） 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 请你利用“配方”和“因式分解”两种方法求解方程． （1）配方法： （2）因式分解法： 20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）若点D落在边上，画出旋转后的图形；并求出点D的坐标； （2）若旋转角为，直接写出点D的坐标_______，点E的坐标_______． 21. 在二次函数中，x与y的几组对应值如下表所示． x … 0 4 … y … 0 4 0 … （1）求该二次函数的表达式（写成一般式）； （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出函数的草图； （3）若将该函数图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移之后的图形所表示的函数解析式为__________（写成一般式，直接写出答案即可）． 22. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，的延长线与边BC相交于点D，连接． （1）若旋转角为，则的度数为_______（用含的式子表示）； （2）若，求的长度． 23. 优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它做出重要贡献．优选法中有一种方法应用了约等于的黄金分割数．下面我们以“雕像设计”题目为例，求一下黄金分割数． 如图，为了增加视觉美感，在设计人体雕像时，将雕像分为上下两部分，要使雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全身的高度比．这个高度比就叫做黄金分割数，其中C为的黄金分割点． 设，根据题意，回答下列问题： （1）填空（用含x的式子表示）： ①可以表示为_______； ②与的高度比可以表示为_______； ③与的高度比可以表示为_______； （2）由题目中的等量关系，请你列出方程，求出黄金分割数．（结果保留根号） 24. 如图，在四边形中，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t s． （1）当时，判断线段与的长度是否相等，并说明理由； （2）当点M在边上运动时，求面积的最大值； （3）是否存在t的值，使得的面积为？若存在，直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 25. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（a为常数，）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），，与y轴交于点C，作交该抛物线对称轴于点D，且点D关于x轴的对称点为E． （1）求点B的坐标； （2）延长交抛物线于点P，当的面积为6时，求a的值； （3）沿x轴平移线段至，点A、D的对应点分别是点F、G，当取最小值时，求a的值和点G的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 本试卷分为第I卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回祝各位考生考试顺利！ 第I卷（选择题共36分） 注意事项： 每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个正方体的表面积为，则这个正方体的边长为（ ） A. 10 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，几何体的表面积，正确计算是解题的关键．正方体的表面积由6个相同的正方形面组成，已知表面积，可通过除以6再开平方求边长． 【详解】解：设正方体的边长为 ， ∵表面积公式为 ， ∴， ∴ （）． 故选：D． 2. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，可以看作中心对称图形的个数为（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称，正确理解中心对称图形的定义是解题关键． 中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． 【详解】对于第一个图案，它是中心对称图形，符合题意； 对于第二个图案，它是中心对称图形，符合题意； 对于第三个图案，它是中心对称图形，符合题意； 对于第四个图案，中间的扇子部分旋转后并不能重合，因此它不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 3. 函数的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值．该函数为二次函数，由于二次项系数为正，函数图像开口向上，故有最小值，且最小值在顶点处取得，即可作答． 【详解】解：∵函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向上，函数有最小值， ∴顶点横坐标， 当时，， ∴ 函数的最小值为1． 故选：B． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5. 如图，过平行四边形对角线的交点O的一条直线，分别交边于点E，F，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 与全等 D. 四边形与四边形的面积相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质是解题的关键．由题意得，，证得，即可判断D正确； 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：四边形与四边形的面积相等，故D正确； A、B、C根据现有条件，均不能推导出； 故选：D 6. 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数该景区2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设年平均增长率为x， 可得方程， 解得或（舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 故选：B 7. 如图，在中，以点C为中心，将顺时针旋转得到，边DE与边AC相交于点F，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质得出，，由三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】解：∵将顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 故选：B． 8. 二次函数的图象过点，和点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，求得对称轴，然后根据对称轴和增减性即可判断． 【详解】解：二次函数的图象过点，点和点， 对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ，， ， ， 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点是正六边形的边与轴的交点，，点在第一象限．将绕点顺时针旋转后点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质与坐标旋转变换，解题的关键是先确定点的位置，再利用旋转求对应点坐标． 先根据正六边形的边长和角度性质找出点的位置，再依据绕原点顺时针旋转的坐标，计算出点旋转后的对应点坐标． 【详解】解：由、可知， 正六边形的中心在原点，边长为4，即 正六边形的中心角为，点在第一象限， 旋转到，如图所示， 此时，， 在中，，， 在第四象限， 旋转后对应点坐标为． 故选D． 10. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 该函数图象过点 B. 该函数图象的对称轴是直线 C. 该函数图象与x轴有两个交点，且两交点间的距离为4 D. 该函数图象可以看作是将向下平移3个单位 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，将代入，得，令，解得，，可知该函数图象过点，，；该函数图象的对称轴是直线；该函数图象与轴有两个交点，且两交点间的距离为；根据，可知该函数图象可以看作是将向右平移1个单位，向下平移4个单位． 【详解】解：将代入， 得， 该函数图象过点． 令， 解得，， 该函数图象过点，． 故选项不正确，不符合题意； 该函数图象的对称轴是直线， 故选项不正确，不符合题意； 该函数图象过点，， 该函数图象与轴有两个交点，且两交点间的距离为， 故选项正确，符合题意； ， 该函数图象可以看作是将向右平移1个单位，向下平移4个单位， 故选项不正确，不符合题意． 故选：C． 11. 如图，中，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为D，E，连接．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，全等三角形的判定与性质． 由旋转证明即可得到，即可判断A，而B、C、D不能证明，即可求解． 【详解】解：由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确，符合题意； 而BCD选项均不能证明，故不符合题意， 故选：A． 12. 如图，四边形的对角线互相垂直，，有下列结论： ①当对角线与互相平分时，四边形是菱形； ②当的长度为或时，四边形的面积均为； ③四边形面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，菱形的判定和面积求法，关键是掌握二次函数的性质， 先判断出四边形是菱形，再根据菱形的面积公式，二次函数的性质进行判断求解． 【详解】解：因为四边形的对角线互相垂直，所以当对角线与互相平分时，四边形是菱形，故①正确； 因为，所以当的长度为或时，四边形的面积均为 ，故②正确； 设，则，所以，因为，所以当时，四边形的面积有最大值，最大值为，故③错误. 综上所述，正确的个数为2. 故选：C. 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 写出在抛物线上的一个点________． 【答案】（0，﹣4）(答案不唯一） 【解析】 【分析】把（0，﹣4）点的横坐标代入函数式，比较纵坐标是否相符，即可解答． 【详解】将（0，﹣4）代入， 得到 ， 故（0，﹣4）在抛物线上， 故答案为（0，﹣4）. 【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于把点代入解析式. 14. 如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，，则_______° 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查了图形旋转的性质，三角形的内角和定理，平角的意义，根据三角形内角和定理以及旋转的性质可得，然后根据平角的定义，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到， ∴． ∵点恰好落在的延长线上， ∴． 故答案为：60． 15. 一个矩形的面积为，且长比宽多，则这个矩形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，设矩形的宽为，则长为 ，根据面积公式列出一元二次方程，求解得到宽和长，再计算周长； 【详解】解：设矩形的宽为，则长为 ， 由题意得，整理得； 解得或（舍去负值）； ∴宽为8，长为， ∴矩形的周长为； 故答案为： 16. 已知函数，当时的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．先化为顶点式，求得开口方向与对称轴，进而得出最小值，根据x的范围得出时，求得函数的最大值，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当时， 当时，y的最小值为， 当时，y的值为， 当时，y的值为， ∴y的取值范围是， 故答案为：． 17. 如图，在边长为4的正方形中，点E是上一点，将线段绕点A逆时针旋转，使得点E的对应点F落在的延长线上，若平分，交于点G． （Ⅰ）的度数为_______． （Ⅱ）若，则的长度为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可知，，再结合正方形的性质，可以证出，则．等量替换后得，，结合角平分线的条件，可得的度数； （2）在（1）的基础上，进一步证明，所以．可以设，则，，直角三边满足勾股定理，列方程后解出x即可． 【详解】解：（1）∵由旋转得到， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∴（）， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为： ． （2）在和中， ∴， ∴， 设， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵正方形边长为4， ∴，， 在直角中，， 代入得，， 解得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，角平分线的定义，正方形的性质，全等三角形和勾股定理，利用旋转的性质构造全等是解题关键． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别落在格线上． （Ⅰ）当O为所在小正方形一边的中点，A为四等分点（距右方格点近）时，则AO的长度为_______； （Ⅱ）以A为顶点的矩形ABCD，满足点O为对角线的交点．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点B，点C和点D，并简要说明这三个点的位置是如何找到的（不要求证明）_______． （注意：点A与点O不再满足（I）中的条件） 【答案】 ①. ②. 如图，矩形即为所求． 方法：取格点，连接交网格线于点，连接，延长交网格线于点，连接，延长交网格线于点，连接，，，，四边形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （Ⅰ）利用勾股定理求解； （Ⅱ）取格点，连接交网格线于点，连接，延长交网格线于点，连接，延长交网格线于点，连接，，，，四边形即为所求． 【详解】解：（Ⅰ）． 故答案为：； （Ⅱ）略 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 请你利用“配方”和“因式分解”两种方法求解方程． （1）配方法： （2）因式分解法： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握 “配方法”和“因式分解法”解一元二次方程的步骤． （1）先将常数项移至等号右边，然后在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开平方法求解； （2）等号左边直接十字相乘进行因式分解，化为两个一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解： 或 ∴，； 【小问2详解】 解： 或 ∴，． 20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）若点D落在边上，画出旋转后的图形；并求出点D的坐标； （2）若旋转角为，直接写出点D的坐标_______，点E的坐标_______． 【答案】（1） 如图所示，矩形即为所求， 点D的坐标为， （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，矩形的性质，勾股定理.解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意作出图形；根据矩形的性质得到，根据旋转的性质得到，由勾股定理即可得到结论； （2）作轴于点H，作于点M，结合旋转求出，进而求出即可求出点D坐标；求出，即可求出，进而求出结论． 【小问1详解】 ∵点，点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形是由矩形旋转得到， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：作轴于点H，作于点M， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点横坐标为 ， ， 故答案为：． 21. 在二次函数中，x与y的几组对应值如下表所示． x … 0 4 … y … 0 4 0 … （1）求该二次函数的表达式（写成一般式）； （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出函数的草图； （3）若将该函数图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移之后的图形所表示的函数解析式为__________（写成一般式，直接写出答案即可）． 【答案】（1） （2）， 如图： （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解二次函数解析式，画二次函数图象，求顶点坐标以及二次函数图象的平移问题． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先配方成顶点式，再写出顶点坐标，然后列表、描点、连线即可作图； （3）利用“左加右减，上加下减”求出平移后的顶点式，再化为一般式即可． 【小问1详解】 解：由表格得，， 解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：， ∴顶点坐标为， 列表为： x … 0 4 6 … y … 0 4 0 … 描点，连线作图： 【小问3详解】 解：抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位， 得到，即， ∴一般式为 22. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，的延长线与边BC相交于点D，连接． （1）若旋转角为，则的度数为_______（用含的式子表示）； （2）若，求的长度． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等面积法等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，，再利用四边形内角和即可求解． （2）连接AD，交于点O，易得，进而可利用等面积求解． 【小问1详解】 解：由旋转可得：，， ∴ 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，连接AD，交于点O， 由旋转的性质得：， ， 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 又， ， ． 23. 优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它做出重要贡献．优选法中有一种方法应用了约等于的黄金分割数．下面我们以“雕像设计”题目为例，求一下黄金分割数． 如图，为了增加视觉美感，在设计人体雕像时，将雕像分为上下两部分，要使雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全身的高度比．这个高度比就叫做黄金分割数，其中C为的黄金分割点． 设，根据题意，回答下列问题： （1）填空（用含x的式子表示）： ①可以表示为_______； ②与的高度比可以表示为_______； ③与的高度比可以表示为_______； （2）由题目中的等量关系，请你列出方程，求出黄金分割数．（结果保留根号） 【答案】（1）； ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，注意计算的准确性即可； （1）由题意得：；即可求解； （2）由题意，即， 即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得：； ∴，； 【小问2详解】 解：由题意，即， ，两边同时乘以x，得， 解得（舍去）， 黄金分割数为． 24. 如图，在四边形中，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t s． （1）当时，判断线段与的长度是否相等，并说明理由； （2）当点M在边上运动时，求面积的最大值； （3）是否存在t的值，使得的面积为？若存在，直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）相等． 当时，点在边上， 此时，，， 则； （2）． （3）． 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的应用，一元二次方程的应用， （1）当时，点在上，求出、即可； （2）利用三角形面积公式求出△的面积，利用二次函数的性质计算求解； （3）分两种情况：当点在上时，点在上，结合△的面积为列出方程，求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，点在边上， 此时，，， 则， 当 时，△的面积取最大值，为； 【小问3详解】 当时，点在边上，△的面积最大值为33.75，不满足， 当时，点在边上， 过点作垂直于射线，交射线于点， 则， ∴， ∴边上的高， ， 此时，， 令， 解得或9.5（舍去）． 综上，，使得△的面积为． 25. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（a为常数，）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），，与y轴交于点C，作交该抛物线对称轴于点D，且点D关于x轴的对称点为E． （1）求点B的坐标； （2）延长交抛物线于点P，当的面积为6时，求a的值； （3）沿x轴平移线段至，点A、D的对应点分别是点F、G，当取最小值时，求a的值和点G的坐标． 【答案】（1） （2） （3），． 【解析】 【分析】（1）先求出对称轴，再根据对称性可得点坐标； （2）由题易得，进而可得点、、坐标，进而可证出，所以三角形的面积和三角形的面积相等，据此求解； （3）由题易得，．作点关于直线的对称点为，点在直线上，四边形和四边形是平行四边形，则，所以，当，，三点共线时，取得最小值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数， 对称轴为直线， 点和点关于对称轴对称，， ； 【小问2详解】 将点代入抛物线得：， 点的坐标为． 如图， ，且点在该抛物线对称轴上， 点的坐标为． 点关于轴的对称点为， 点的坐标为． 点，关于对称， 与互相平分． 四边形是平行四边形． ． 三角形的面积和三角形的面积相等． 且， ； 【小问3详解】 点关于轴的对称点为，点在轴上， ． 同理，． 作点关于直线的对称点为，点在直线上， ．点的坐标为． ． 又， 四边形是平行四边形． ． 沿轴平移线段至， ，且， 四边形也是平行四边形． ， ， 当，，三点共线时，取得最小值． ，且， 解得：． ， 解得：． ，， 直线的解析式为， 点的坐标为．． 将点向右平移个单位长度可得点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数点的坐标特征、平行四边形的判定和性质、二次函数的几何变换等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $