精品解析：安徽省皖南片区2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

皖南片区2025～2026学年度第一学期第二次月考 高二数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 直线的倾斜角是，则的值是（    ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的直线求出，再利用和角的正切计算得解. 【详解】直线的倾斜角是，得， 所以. 故选：C 2. 等差数列中，，则数列的公差为（ ） A. 2 B. 6 C. 1 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本量法求解即可. 【详解】因为等差数列中，， 所以公差. 故选：B. 3. 等比数列中，已知，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式及已知可得，再由即可求值. 【详解】若等比数列的公比为， 由题设，则，即， 由. 故选：A 4. 正方体中，点是侧面的中心，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算直接计算即可. 【详解】 ， 则、、，则， 故选：B 5. 已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由累加法及等比数列前和公式可得，即可得到. 【详解】由，知， 所以，即， 故，又适合上式，故． 故选：C. 6. 过双曲线上一点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，.若的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到直线的距离求出，再由三角形面积公式求出面积，解方程得出，即可求出离心率. 【详解】如图， 设， 因为点在双曲线上，所以，即， 因为双曲线的两条渐近线的方程为， 所以， 设渐近线的倾斜角为， 此时，易知， 因为，所以， 所以的面积， 解得，则双曲线的离心率. 故选：A 7. 已知数列满足，则“数列是递增数列”的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用递增数列满足，即可求解. 【详解】因为，所以 由，得到，所以“数列是递增数列”的充要条件是， 故选：B. 8. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点在圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的焦距为1 B. 椭圆的短轴长为 C. 的最小值为 D. 过点的圆的切线斜率为 【答案】D 【解析】 【分析】对，由椭圆的长轴长与圆的直径长相等，可得，再由椭圆定义及的最小值，结合点到圆上点距离的最值，可得；对B，根据关系及短轴长定义可得；对C，由三角形性质及点到圆上点距离的最值可判断；对D，由直线与圆相切可求. 【详解】对于A，因为椭圆的长轴长与圆的直径长相等，所以，即，设椭圆的左焦点，由椭圆的定义可知，所以，所以，解得或5，因为，所以，即椭圆的焦距为，故A错误； 对于B，由，得椭圆的短轴长为，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，若过点的直线的斜率不存在，则直线方程为，圆心到直线的距离为4，不符合题意；设过点的切线方程为，即，则，解得，故D正确. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记等差数列的前项和为，则根据下列条件能够确定的值的是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，结合等差数列的前项和公式，以及等差数列前项和公式的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由等差数列的前项和公式，可得， 对于A，若，可得，A符合题意； 对于B，由，不能确定的值，B不符合题意； 对于C，由，可得，不能确定的值，C不符合题意； 对于D，由等差数列前项和的性质，可得构成等差数列， 即构成等差数列，所以，解得，D符合题意. 故选：AD 10. 下列有关数列的说法正确的是（ ） A. 数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B. 数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C. 在数列1，，，2，，....，第8个数是 D. 数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据数列的定义作出判断；B选项，，B正确；C选项，观察得到第8个数是；D选项，，故D错误. 【详解】A选项，数列，0，4中，， 数列4，0，中，，不是同一个数列，A错误； B选项，，则110是该数列的第11项，B正确； C选项，在数列，，，，，....，第8个数是，C正确； D选项，，故通项公式不为，D错误. 故选：BC 11. 如图，在棱长为1的正方体中，下列结论中正确的有（ ） A. 异面直线与所成的角为60° B. 直线与平面所成的角为45° C. 二面角的正切值为2 D. 四面体的外接球的体积为 【答案】AD 【解析】 【分析】把异面直线与所成的角转化为直线与所成的角，在等边中，可判定A正确；证得平面，得到为直线与平面所成的角，再直角中，求得，可得判定B不正确；证得和，得到为二面角的平面角，在直角中，求得，可判定C不正确；根据四面体的外接球与正方体的外接球为同一个球，结合正方体的性质和球的体积公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，连接，在正方体中，可得， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角， 在等边中，可得， 所以异面直线与所成的角为，所以A正确； 对于B中，连接与交于点，连接， 在正方体中，可得平面， 因为平面，所以， 在正方形中，可得， 又因为，且平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 在直角中，，所以， 此时，所以B不正确； 对于C中，由B项知：平面，因为平面，所以， 又因为，所以为二面角的平面角， 在直角中，，可得，所以C不正确； 对于D中，四面体的外接球与正方体的外接球为同一个球， 设正方体的外接球的半径为， 因为正方体的棱长为，可得，所以， 所以四面体的外接球的体积为，所以D正确. 故选：AD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则____. 【答案】 【解析】 【分析】根据数列与的性质确定数列是以为首项，为公差的等差数列，从而可得通项，即可得的值. 【详解】解：数列与分别是以为公差，为首项的等差数列， 则新的数列是以为首项，为公差的等差数列，所以， 故. 故答案为：. 13. 如图，已知正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，不妨设在坐标原点，根据正方形和抛物线的对称性，得到点和点关于轴对称，求得点的坐标，代入计算，即可求解. 【详解】因为正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上， 根据抛物线和正方形的对称性，不妨设在坐标原点，则点和点关于轴对称， 由正方形的边长为2，所以，， 所以，解得. 故答案为：. 14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若，记数列的前项和为，则______． 【答案】4725或4746 【解析】 【分析】根据给定的运算法则，逆推进出前4项，再结合数列周期性求出. 【详解】由，得，或， 若，则数列是周期数列，其周期为3， 因此； 若，则数列去掉前3项后是周期数列，其周期为3， 因此. 故答案为：4725或4746 【点睛】思路点睛：由“角谷猜想”的运算法则，利用逆推的方法求出前4项，再利用周期性求和. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 数列中， （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明. 【答案】（1） （2） 由题意. 所以 【解析】 【分析】（1）利用累加法计算可得； （2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可得证. 【小问1详解】 因为，即， 所以当时，， 将以上各式相加，得，则， 当时也符合上式，故. 【小问2详解】 略 16. 已知双曲线C：的实轴长为2. （1）若双曲线C的渐近线方程为，求双曲线方程； （2）设、是C的两个焦点，P为C上一点，且，的面积为9，求C的标准方程 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合双曲线的渐近线方程求，即可得方程； （2）根据题意结合双曲线的定义求，即可得方程； 【小问1详解】 因为双曲线C：的实轴长为2， 即，则， 又因为双曲线一条渐近线方程为，即，可得， 所以双曲线方程为. 【小问2详解】 双曲线定义可得：， 由知，且的面积为9， 则，即， 又因为， 可得，即， 所以，因此， 故双曲线C的标准方程为：. 17. 三棱柱的底面ABC是等边三角形，的中点为，底面，与底面所成的角为，点D在棱上，且． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦绝对值． 【答案】（1） 连接， 底面，底面， 且与底面所成的角为，即， 在等边中，因为，易求得， 在中，由余弦定理，得， 又，则，即 又 又，平面，平面， 平面， 又平面，， 又，平面，平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）要证明平面，就要证明与平面内的两条相交直线垂直，所以根据线面角和边长，以及余弦定理求长，根据勾股定理证明，再根据侧棱平行证明一组垂直，根据条件易证明这样就证明了与平面内的两条相交直线垂直; （2）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，分布求两个平面的法向量，根据公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如下图所示，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 故， 由（1）可知，可得点的坐标 平面的一个法向量 设平面的法向量，则 令则则 ， 二面角的余弦绝对值是 18. 设数列的前项和为，已知，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求满足的正整数的最小值． 【答案】(1)；(2)6． 【解析】 【分析】 (1)利用求通项公式； (2)把拆项为，然后求和． 【详解】(1)因为，则， 当时，，即，即． ∵，取，则，对也成立． 所以是首项和公比都为2的等比数列，从而，所以． (2)由题设，， 则． 由，得，即，即，则. 所以正整数的最小值为6． 【点睛】数列求和常用方法： (1)公式法； (2)倒序相加法；(3)裂项相消法； (2)错位相减法． 19. 已知椭圆的离心率是，，分别是的上、下顶点，且． （1）求的方程； （2）已知直线与交于，两点（，异于点，），若直线与的斜率分别为，，且，证明：直线过定点； （3）点在上且位于轴左侧，点在直线上，为的右焦点，若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 证明：由题意直线的斜率存在，设：，，， 联立，故，， 则，又， 故， 所以，所以， 所以，化简得， 即， 当时，直线过定点，不合题意； 当时，，直线的方程为， 所以直线恒过点. 综上，直线恒过点. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意有，，根据列式即可求解； （2）设：，，，联立与椭圆方程消元后，利用韦达定理可得坐标关系，利用两点式斜率公式，将韦达定理代入化简即可证明； （3）设出点的坐标，利用与列式求出坐标，进而求出边长，即可求出面积. 【小问1详解】 依题意有，，所以，所以，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对于椭圆，其右焦点，设， 因为点在上且位于轴左侧，所以， 又点在直线上，故设， 因为，所以，即， 又，所以①， 又，所以，所以， 所以，所以②， 由①②消去得， 所以，解得或（舍去）或（舍去）， 所以，所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 皖南片区2025～2026学年度第一学期第二次月考 高二数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 直线的倾斜角是，则的值是（    ） A. B. C. D. 1 2. 等差数列中，，则数列的公差为（ ） A. 2 B. 6 C. 1 D. 14 3. 等比数列中，已知，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 4. 正方体中，点是侧面的中心，若，则（ ）． A. B. C. D. 5. 已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 6. 过双曲线上一点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，.若的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，则“数列是递增数列”的充要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点在圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的焦距为1 B. 椭圆的短轴长为 C. 的最小值为 D. 过点的圆的切线斜率为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记等差数列的前项和为，则根据下列条件能够确定的值的是（ ） A. B. C. ， D. ， 10. 下列有关数列的说法正确的是（ ） A. 数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B. 数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C. 在数列1，，，2，，....，第8个数是 D. 数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，下列结论中正确的有（ ） A. 异面直线与所成的角为60° B. 直线与平面所成的角为45° C. 二面角的正切值为2 D. 四面体的外接球的体积为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则____. 13. 如图，已知正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上，则______. 14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若，记数列的前项和为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 数列中， （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明. 16. 已知双曲线C：的实轴长为2. （1）若双曲线C的渐近线方程为，求双曲线方程； （2）设、是C的两个焦点，P为C上一点，且，的面积为9，求C的标准方程 17. 三棱柱的底面ABC是等边三角形，的中点为，底面，与底面所成的角为，点D在棱上，且． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦绝对值． 18. 设数列的前项和为，已知，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求满足的正整数的最小值． 19. 已知椭圆的离心率是，，分别是的上、下顶点，且． （1）求的方程； （2）已知直线与交于，两点（，异于点，），若直线与的斜率分别为，，且，证明：直线过定点； （3）点在上且位于轴左侧，点在直线上，为的右焦点，若，且，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $