第2章 学案21 直线的一般式方程-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

直线的一般式方程 学案21 学案21直线的一般式方程 听 昆学习任务 记 1.理解直线的一般式方程的特，点，以及与其他方程形式的区别与联系.（逻辑推理、数学抽象） 2.掌握直线的一般式方程与其他方程形式之间的相互转化，进一步掌握求直线方程的方法.（数学运 算、逻辑推理)》 (4)直线的一般式方程能表示所有的直线方程，： 课堂活动 在求直线方程时，最后结果一般都化成一般式 活动一掌握直线的一般式方程 方程. 2.直线方程五种形式的比较 阄新知导学 名称 已知条件 标准方程 适用范围 阅读教材P87一88，完成下列问题. 问题1y=3x十2是二元一次方程吗？方程5x 点P1(x1,y1) 不垂直于x 点斜式 十2y一7=0可以表示一条直线吗？ 和斜率 轴的直线 斜率k和在y 不垂直于x 斜截式 轴上的截距b 轴的直线 点P1(x1,y1) y-yi 不垂直于 问题2直线与二元一次方程有何关系？ y2一y1 两点式和点P2（x2, x,y轴的 x一x1 y2)(x1≠x2) 直线 x2-x1 在x轴上的截 不垂直于 后新知生成 距为a,在y轴 x+义=1 x,y轴的直 截距式 上的截距为b, e b 线，不过原 1.直线的一般式方程 且截距不为零 点的直线 关于x,y的二元一次方程Ax十By十C=0 (A,B不能同时为0，即A2+B2≠0)表示为直 A,B不同时 线的方程.我们把Ax十By十C=0称为直线的 般式两个独立的条件 为零 一般式方程. (1)A,B不能同时为0，即A2+B2≠0. 提醒：(1)直线一般式方程的结构特征 (2)适用范围 ①方程是关于x,y的二元一次方程. 平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般 ②方程中等号的左侧自左向右一般按x,y,常 式表示。 数的先后顺序排列 (3)系数的几何意义 ③x的系数一般不为分数和负数」 ④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需 ①当B≠0时则一合-6（斜率）.一合=6心 两个独立的条件即可求得直线的方程， 轴上的截距)； (2)直线方程Ax+By十C=0的系数A,B,C ②当B=0,A≠0时，则一分-a(z轴上的截 对直线Ax十By十C=0的位置的影响 ①当A=0,B≠0，C为任意实数时，方程表示 距)，此时斜率不存在。 的直线与y轴垂直. 6511 人教B版数学选择性必修第一册 听 ②当A≠0，B=0,C为任意实数时，方程表示 同新知生成 的直线与x轴垂直. ③当C=0,A,B不同时为0时，方程表示的直 a=(B,-A)为直线Ax+By十C=0(A2+ 记 B2≠0)的一个方向向量. 线过原点。 v=(A,B)为直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0) ④当C≠0，A,B不同时为0时，方程表示不过 的一个法向量. 原点的直线。 新知应用】 今新知应用 求下列直线的一般式方程： 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一 (1)经过点(2,1)，且一个法向量为v=(2,一3)； 般式： (2)经过点(2，一3)，且一个方向向量为a=(2,4). (1)直线的斜率为2，且经过点A(1,3); (2)斜率为√3，且在y轴上的截距为4： (3)经过两点A(2,-3),B(-1,-5): (4)在x,y轴上的截距分别为2，一4； (5)经过点B(4,2),且平行于x轴. 「方法总结」已知直线的方向向量或法向量求 直线方程的思路 (1)若已知直线的法向量的坐标为(m,n),可直接 设直线的方程为mx十ny十C=0,然后代点求C. (2)若已知直线的方向向量，可先求直线的斜率， 然后利用点斜式求直线的方程，但需要考虑斜率 不存在的情况，或转化为求直线的法向量. !「方法总结」求直线一般式方程的策略 活动三直线的一般式方程的应用 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常 用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求 仓新知应用 方程，然后转化为一般式. 设直线l的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+ 活动二理解直线的法向量与一般式方程 m-1)y+6-2m=0. 的关系 (1)已知直线1在x轴上的截距为-3，求m 的值； 阄新知导学 (2)已知直线l的斜率为1，求m的值. 阅读教材P88,完成下列问题. 问题3如何用直线的一般式方程的系数表示直 线的方向向量和法向量？ 1166 直线的一般式方程学案21 母题变式(1)：对于本题中的直线1的方程，若直 线1与y轴平行，求m的值. 七课堂达标 课 1.在平面直角坐标系中，直线x十√3y一3=0的 记 倾斜角是 ) ( A.30 B.60° C.150° D.120° 2π 2.已知直线1过点A(3,4),且倾斜角为3，则直 线1的一般式方程为 ( 母题变式(2)：对于本题(2)中的直线1的方程，求 A.√5x-y-4-33=0 直线l在y轴上的截距. B.W3x+y-4-3W3=0 C.x-√3y-4-3√3=0 D.x+√3y-4-3√3=0 3.直线l的一个法向量为v=(3,2)且过点(2,3)， 则直线！的方程为 4.直线2x十y-3=0的一个方向向量为a=(m, 「方法总结」含参数的直线方程的研究策略 一6)，则m=」 (1)若方程Ax十By十C=0表示直线，则需满足 5.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-m+1=0 A,B不同时为0. 表示一条直线，则m的取值范围是 (2)令x=0,可得直线在y轴上的截距.令y=0, 6.设直线l的方程为(a十1)x十y十2-a=0(a∈R). 可得直线在x轴上的截距.若确定直线斜率存 (1)若1在两坐标轴上的截距相等，求1的： 在，可将一般式化为斜截式. 方程； (3)解分式方程要注意验根. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值 七课堂小结 范围. 1.知识清单： (1)直线的一般式方程. (2)直线的一般式方程与其他四种形式的区别 与联系以及相互转化。 (3)直线的法向量与一般式方程的关系。 (4)直线的一般式方程的应用. 2.方法归纳：公式法、待定系数法、分类讨论法， 3.常见误区：直线的一般式方程转化为其他四种 形式时易忽视讨论斜率不存在的情况. 课后反思 6711 由题意知，2ab=6,即ab=12,③ 1oM1+210N1=a+26=a+2b)(2+8）-2+6+0 联立①③，解得口=4， a=2, 3a 或 6=36=6. ≥8+43， 所以直线l的方程为3x+4y-12=0或3x十y-6=0. 当且仅当他-%即a=2+23,6=3+原时取等号 课堂达标 1.ABC[对于A,点斜式方程适用于斜率存在的直线，故A 故|OM+2ON|的最小值为8+4√3. 错误； 学案21直线的一般式方程 对于B,斜截式方程适用于斜率存在的直线，故B错误； 对于C,截距式方程适用于不与坐标轴重合或平行且不过原 课堂活动 点的直线，故C错误； 活动一 对于D,两点式方程适用于不与坐标轴重合或平行的直线，故 新知导学 D正确. 问题1提示：y=3x十2可以化成3x-y+2=0的形式，是二 故选ABC.] 元-次方程，5x十2y-7=0可以化为y=-名x+号的形 5 2.B[直线过第一、三、四象限，∴.它在x轴上的戴距为正， 在y轴上的截距为负，即a>0,b<0.] 式，可以表示一条直线 3.A[经过点A(-3,2),B(4,4)的直线的方程为二 问题2提示：直线的方程都可以化为二元一次方程；二元一次 4-2 方程都表示直线。 即y+9 新知生成 2.y-y1=k(x-x1)y=kx+b Ax+By+C=0 当x=0时，解得y=7, 20 新知应用 解：(1)因为直线的斜率k=2,且经过，点A(1,3),由直线的点 故选A.] 斜式方程可得y-3=2(x-1),整理可得2x-y十1=0，所以 4.C[设直线在x轴上的裁距为a, 直线的一般式方程为2x-y十1=0. 当a=0时，设所求直线的方程为y=x, (2)由直线的斜率k=√3，且在y轴上的截距为4，得直线的 将点（一2,4）代入直线方程y=kx, 可得4=一2k,故k=一2，即直线方程为y=一2x; 斜截式方程为y=√3x十4， 当a≠0时，可设直线方程为二十义=1， 整理可得直线的一般式方程为W3x一y十4=0. -a )自直线的两点式方程可得=品垫里得 由直线后+之。=1这点(-20可得，2+兰。=1， a 直线的一般式方程为2x一3y一13=0. 所以a=-6,故直线方程为y=x十6. 所以经过，点（一2,4）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直 （④)由直线的我距式方程可得受+兰4 4=1， 线方程是y=-2x或y=x十6. 整理得直线的一般式方程为2x一y一4=0. 故选C.] (5)y-2=0. 5(-o,-1DU(分，+） 活动二 新知导学 1,2) [设直线L的斜率为k,如图，过 问题3提示：对于Ax十By十C=0(A2+B2≠0)，当B≠0时， 定点A的直线经过点B(3,0) B 时，直线1在x轴上的裁距为 Z3-2-10123Xx 直线的斜率为质=一合故(1，一合)为直线的一个方向向 3,此时k=一1； 量，一般地，(B,一A)是任意直线的方向向量，由直线的法向 过定点A的直线经过点C(-3,0)时，直线1在x轴上的裁距 量与直线的方向向量的垂直关系，可知(A,B)是直线的一个 1 法向量 为一3，此时k=2’ 新知应用 满足条件的直线1的针率的取位范国是（一©，-1DU(分 解：(1)，直线的一个法向量为=(2，一3)， ,设直线的一般式方程为2x一3y十C=0, +∞)] 代入点(2,1)得4-3+C=0, 解得C=-1, 6.解：(1)由题意可设直线1的方程为乙+义=1(m,n>0), .直线的方程为2x-3y一1=0. m n 由A(2,3)为MN的中点可知，OM=m=4,1ON|=n=6, (2)法一：直线的一个方向向量为a=(2,4), 故直线1的方程为平+0=1，即3x+2y-12=0, 返=专2， （②)设直线1的方程为后+名-1a,6>0,将2,3》人方 故所求直线方程为y十3=2(x一2) 即2x-y-7=0. 程后+=16>0)，得+号=1 法二：，直线的一个方向向量为a=(2,4), .直线的一个法向量为y=(4,一2)， 311■ 故设直线的一般式方程为4x一2y+C=0,代入，点(2，一3)有 6.解：(I)当直线1过原，点时，直线1在x轴和y轴上的截距均 8+6十C=0,解得C=-14, 为0， ∴.所求直线方程为4x-2y-14=0, .∴.a=2,此时直线l的方程为3x十y=0; 即2x-y-7=0. 当直线l不过原点时，a≠2，直线l在x轴和y轴上的截距分 活动三 新知应用 别为0二2 +1a-2, 解：(1)由题意知m2一2m-3≠0，即m≠3且m≠一1. :Q2 2m-6 六a+1=a-2,解得a=0或a=2(舍去)， 令y=0,得x= m2-2m-3' .直线l的方程为x十y十2=0. 2m-6 =一3，解得m=一 5 综上所述，直线L的方程为3x十y=0或x十y十2=0. “m2-2m-3 3, (2)将l的方程化为y=一(a+1)x+a一2， .m=- 5 1不经过第二象限， 3 （2)由题意知，2m2+m-1≠0，即m≠2且m≠-1 一(a+1D≥0解得a≤-1. a-2≤0， 将方程化为斜截式， 综上可知，实数a的取值范围是（一∞，一1]. 6-2m 得y=2m%干2m+m一7 学案22两条直线的位置关系 则m2m-3-1,解得m=-2或m=-1(合去). 课堂活动 2m2+m-1 活动一 .m=-2. 新知导学 母题变式(1)：解：直线1与y轴平行， 问题1提示：l1,l2相交台一个公共点；l1,l2平行台无公共 m2-2m-3≠0， 点；l1,12重合曰无数个公共点. 1 {2m2+m-1=0,m=2 新知生成 6-2m≠0， 1.(1)k1≠k2 母题变式(2)：解：由题意知，2m十m-1≠0，即m≠2且m≠-1 2.(1)A1B2≠A2B1(2)A1B2=A2B1 3.(1)A1B2≠A2B1(2)A1B2=A2B1(3)A1B2=A2B1 将方程化为斜截式， 得y领 4.(1)C1≠C2(2)C1=C2 6-2m x+2m2+m-1' 新知应用 则m2-2m-3 解：因为直线l1:x十my十6=0， 2n2+m-i1, 直线l2:(m-2)x+3y+2m=0, 解得m=一2或m=-1(舍去) 所以A1=1,B1=m,C1=6,A2=m-2,B2=3,C2=2m. .m=-2. (1)若L1与l2相交，则A1B2-A2B1≠0， 则直线1的方程是y=x十2，直线1在y轴上的截距是2. 即1×3-m(m-2)≠0，即m2-2m-3≠0， 课堂达标 所以(m一3)(m十1)≠0， L.C[直线斜率飞=一3，所以倾钎角为150？故选C 解得m≠3且m≠-1. 故当m≠3且m≠一1时，直线l1与l2相交， 2B[因为直线1过点A(8,0,且领斜角为号， (2)若1L,则有AB,-A:B,=0, B1C2-B2C1≠0， 则直线l的方程为y一4=一√3(x一3)， 即3x十y-4-3V3=0. 即8-nmm-2）=0即m-2m-3=0, 2m2-18≠0， m2≠9， 故选B.] 3.3x十2y-12=0[因为直线L的一个法向量为v=(3,2), 解得m=3或m=-1, 所以m=-1. m≠3且m≠-3， 故设直线1的方程为3x+2y十C=0,代入点(2,3)， 故当m=一1时，直线l1与l2平行. 有6+6十C=0,即C=-12, 故直线1的方程为3.x十2y一12=0.] (3)若4与2重合，则有AB,-A,B:=0, 4.3[由直线的一般式方程可知，该直线的一个法向量v=(2, B1C2-B2C1=0, 1),所以a⊥v, 3-m(m-2)=0, 即 所以2m-6=0,解得m=3.] 2m2-18=0, 2m2+m-3=0, 5.{mm≠1)[令 解得m=1, 解得m=3或m=-1, (m2-m=0, m=3或m=-3, 方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-m+1=0表示一条 所以m=3.故当m=3时，直线l1与l2重合. 直线， 活动二 可得m≠1. 新知导学 所以m的取值范围为{mm≠1}.] 问题2提示：两直线平行，倾斜角相等，斜率相等 132