专题06 分式 11大高频考点（期末真题汇编，云南专用）八年级数学上学期

专题06 分式 11大高频考点概览 一、考点01分式及其基本性质 二、考点02 分式的化简求值 三、考点03 整数指数幂的运算 四、考点04 科学计数法 五、考点05 解分式方程 六、考点06 分式方程无解问题 七、考点07 列分式方程 八、考点08分式方程的行程问题 九、考点09 分式方程的工程问题 十、考点10 分式方程的经济问题 十一、考点11 分式方程的和差倍分问你 地 城 考点01 分式及其基本性质 1．（24-25八年级下·云南普洱·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式和分式的基本性质． 根据同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式和分式的基本性质逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】解：A：，A错误； B：，B错误； C：，C错误； D：，符合分式的基本性质，D正确； 故选：D． 2．（23-24八年级上·广西·期末）下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键． 根据分式的定义：形如，都是整式，中含字母的式子是分式，即可判断求解． 【详解】解：A、是分数，属于整式，不是分式，不合题意； B、是分式，符合题意； C、是多项式，属于整式，不是分式，不合题意； D、是多项式，属于整式，不是分式，不合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·云南普洱·期末）下列各式从左往右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练理解分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键． 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变进行逐项判断． 【详解】解：A、，原计算错误，该选项不符合题意； B、，原计算错误，该选项不符合题意； C、，原计算错误，该选项不符合题意； D、正确，该选项符合题意； 故选；D． 4．（24-25八年级上·云南文山·期末）一组按规律排列的式子：，，，，…（，n为正整数），第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了探索规律，先根据分子、分母的变化得出规律，再根据分式符号的变化得出规律是解题的关键．根据分子的变化得出分子变化的规律，根据分母的变化得出分母变化的规律，根据分数符号的变化规律得出分数符号的变化规律，即可得到该组式子的变化规律． 【详解】解：分子为，其指数为2，5，8，11，…其规律为， 分母为，其指数为1，2，3，4，…其规律为， 分数符号为，，，，，其规律为， 所以第个式子． 故选：C． 5．（24-25八年级上·云南大理·期末）若分式有意义，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分母不为零的条件进行解答即可． 【详解】解：若分式有意义时，分母，此时． 故选：A． 6．（23-24八年级下·四川遂宁·期中）下列分式，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简分式，分式的化简，熟练掌握最简分式的判定方法是解题的关键．利用平方差公式，完全平方公式化简，再根据最简分式定义判断即可． 【详解】解：A、原式为最简分式，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：A． 7．（19-20八年级上·广西北海·期中）下列分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简分式的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴A、D、C三个选项都不是最简分式； 分子分母不含公因式，是最简分式； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简分式的定义，解题关键是明确最简分式的定义，准确运用分式基本性质进行约分． 8．（2025·贵州贵阳·一模）若分式无意义，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式无意义的条件是分母为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴， 故答案为：． 地 城 考点02 分式的化简求值 9．（24-25八年级上·云南昆明·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的运算，牢记异分母分式加减的运算性质（异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减）是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·云南昆明·期末）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 11．（24-25八年级上·云南昭通·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， ， 当时，原式 12．（24-25八年级上·云南昭通·期末）先化简，再求值：，从，0，1中选择一个适当的数作为的值代入求值． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴时，原式． 13．（24-25八年级上·云南昭通·期末）先化简：，再从0，1，2中选取一个合适的数代入求值． 【答案】；当时，，当时，； 【分析】本题考查了分式的化简求值，理解并掌握分式的化简是解题的关键． 先对分式约分化简，化成最简分式后，然后代入求值，即可求解． 【详解】解：原式， ， ∵是分母， ∴， ∴， ∴当时，原式； 当时，原式． 14．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解：原式， ， ， 当时， 原式， ． 15．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）在对进行平方运算时，我们发现，，这为我们计算形如（n为正整数）的代数式的值提供了方便． (1)若，求代数式的值； (2)结合多项式乘多项式相关知识及以上内容，在（1）的条件下，试求出的值． 【答案】(1)7 (2)322 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，分式的化简求值，利用完全平方公式：进行变形是解题关键． （1）根据阅读材料中的方法即可求解； （2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出值即可； 【详解】（1）解：把两边平方得， 即， 所以． （2）解：把两边平方得， 即， 所以， ∵， ∴， 故． 16．（24-25八年级上·云南昭通·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，再代值计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 17．（24-25八年级上·云南昆明·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的通分、约分，将分式化简．先通分算括号内的，再分解因式后约分，化简后将a的值代入计算即可． 【详解】解：原式=， ， ， ， ∵． ∴原式． 18．（24-25八年级上·云南昆明·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则． 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是______分式（填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将假分式化为带分式； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数x的值，使得分式的值为整数． 【答案】（1）真；（2）；（3）或或0或2． 【分析】本题主要考查了分式的化简运算，正确理解题意中的新定义、掌握分式的化简方法是解题的关键． （1）根据“真分式”和“假分式”定义判断即可； （2）将分子写成，然后进行变形即可解答； （3）先将分式化为带分式，根据为整数，分式的值为整数即可得到x的值． 【详解】解：（1）∵的次数为0，x的次数为1， ∴是真分式． 故答案为：真； （2）； （3） ， ∵与x均为整数， ∴或， ∴或或0或2． 19．（22-23八年级下·江苏淮安·期中）先化简，再求值：，再在0，1，2，中选择一个合适的数作为的值带入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键． 先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴当时，原式． 20．（19-20八年级下·贵州毕节·期末）先化简，再求值： ，再从，0，1这三个数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴， ∴当时，原式． 地 城 考点03 整数指数幂的运算 21．（24-25七年级上·云南·期末）已知，，，试比较、、的大小，并用“”将它们连接： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂的运算法则和0指数幂的意义．分别根据有理数乘方的意义、负整数指数幂的运算法则和0指数幂的意义计算a、b、c，进一步即可比较大小． 【详解】解：，，， ∵， ∴． 故答案为：． 22．（24-25八年级下·云南普洱·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算、零指数幂与负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题关键．先化简绝对值、计算零指数幂与负整数指数幂、乘法，再计算加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 23．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，负整数指数幂，零指数幂，乘方． 先计算算术平方根，负整数指数幂，零指数幂，乘方，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 24．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（）；（）． 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）利用负整指数幂，零指数幂，有理数乘方分别运算，然后合并即可； （）利用多项式除以单项式，积的乘方运算法则计算，然后合并即可得到结果． 【详解】解：（）原式 ；   （）原式 ． 25．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算．熟练掌握，，二次根式化简，进行解答，即可． 【详解】解： ． 地 城 考点04 科学计数法 26．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）已知1纳米等于0.000000001米，则250纳米用科学记数法表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．将250纳米转换为米，再应用科学记数法表示即可． 【详解】解：250纳米米； 故选C． 27．（24-25七年级下·河南焦作·期中）是一款由国内人工智能公司研发的大型语言模型，可以辅助人们解决复杂的问题，提供高性能、低成本的服务．其某次推理仅消耗2微千瓦时（0.000002千瓦时）的能量．数据0.000002用科学记数法可表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：0.000002用科学记数法表示为， 故选：B． 28．（21-22七年级下·浙江温州·阶段练习）古语有云：“水滴石穿”，若水珠不断滴在一块石头上，经过40年，石头上会形成一个深为的小洞．数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.0000052用科学记数法表示为． 故选：B． 地 城 考点05 解分式方程 29．（24-25八年级下·云南保山·期末）将关于x的分式方程去分母后所得整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了解分式方程，将分式方程两边同时乘以即可得解． 【详解】解： 分式方程两边同时乘以得，． 故选：B． 30．（24-25八年级下·云南丽江·期末）某村计划修复一条连接活动场地的公路，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙工程队平均每天修复公路的长度比甲工程队多2千米，且甲工程队单独修复20千米公路所需要的时间与乙工程队单独修复30千米公路所需要的时间相等．甲、乙两个工程队分别平均每天修复公路多少千米？ 【答案】甲工程队平均每天修复公路千米，则乙工程队平均每天修复公路千米 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲工程队平均每天修复公路千米，则乙工程队平均每天修复公路千米，根据“甲工程队单独修复20千米公路所需要的时间与乙工程队单独修复30千米公路所需要的时间相等”列分式方程求解即可． 【详解】解：设甲工程队平均每天修复公路千米，则乙工程队平均每天修复公路千米， 由题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ， 则乙工程队平均每天修复公路千米， 答：甲工程队平均每天修复公路千米，则乙工程队平均每天修复公路千米． 31．（24-25八年级下·云南丽江·期末）（1）计算：；     （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了分式的混合运算和解分式方程，熟练掌握分式的运算法则和解分式方程的步骤是关键． （1）先计算括号内的分式减法，再计算分式除法即可； （2）去分母化为整式方程，解方程并检验即可． 【详解】解：（1） ． （2） 方程的两边同乘，得： ， 解得：， 检验：把代入， 故原方程的解为：． 32．（24-25八年级上·云南昭通·期末）解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程： （1）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可； （2）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可； 【详解】（1）解：去分母，得： 解得：； 检验：当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解：去分母，得： 解得：； 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 地 城 考点06 分式方程无解问题 33．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）若关于的方程无解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解、分式方程无解的条件：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母为，根据分式方程无解的条件求解即可． 【详解】解：方程去分母得：， 解得：， 当时，原方程分母为，此时方程无解， 即：，解得：； 故选：B． 34．（24-25八年级上·云南昆明·期末）若关于的分式方程无解，则 【答案】1或3 【分析】本题考查了分式方程的解，先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件得出一个m值，再根据分式方程无解的条件得出一个m值即可． 【详解】解：， 去分母得：， ∴ ∴当，即时，方程无解； 当时，由分式方程无解，可得，即， 把代入， 解得：， 综上，m的值为1或3． 故答案为：1或3． 35．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程无解问题．由分式方程无解得到增根，代入整式方程计算即可． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：， 当即时，该整式方程无解，此时， 故答案为：． 36．（23-24八年级上·全国·单元测试）若关于x 的分式方程 无解，则m 的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程得到，由于关于的分式方程无解，则最简公分母，求得x，进而可求得m． 【详解】解：去分母，得， ． 关于的分式方程无解， 最简公分母， ， 当时，得， 即的值为3． 故答案为：3． 37．（23-24八年级上·山东济宁·期末）若分式方程无解，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查解分式方程和分式方程的解，理解分式方程无解的意义是解答的关键．先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根为求解a值即可． 【详解】解：去分母，得：，则， ∵分式方程无解， ∴是分式方程的增根， ∴，则， 故答案为：6． 地 城 考点07 列分式方程 38．（18-19八年级上·广东肇庆·期末）已知甲做个零件与乙做个零件所用的时间相同，两人每天共做个零件；设甲每天做个零件，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间工作总量工作效率． 设甲每天做x个零件，根据甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，列出方程即可． 【详解】解：设甲每天做x个零件，根据题意得： ； 故选A． 39．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）小王家和小红家都距学校3千米，两人约好在学校门口相遇．已知小王骑车的平均速度是小红骑车的平均速度的1.25倍，结果小红比小王多用了15分钟．若设小红平均每小时骑行千米，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列分式方程， 设小红平均每小时骑行千米，则小王的速度为千米/小时，根据两人骑行时间的关系（小红比小王多用了15分钟），建立方程即可． 【详解】解：小红的速度为千米/小时，骑行时间为小时； 小王的速度为千米/小时，骑行时间为小时 小红比小王多用了15分钟，即小时， 因此：小红的骑行时间 = 小王的骑行时间 + 时间差， 即． 故选：D． 40．（24-25八年级上·云南文山·期末）绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树800棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，则原计划每天种树多少棵．若原计划每天种树x棵，则可以列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设原计划每天种树x棵，实际每天种树的棵数是棵，根据结果提前5天完成任务，列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天种树x棵，实际每天种树的棵数是棵，根据题意得： ， 故选：B． 41．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）为进一步加强我市中小学研学实践教育活动的管理，培养学生的创新意识、动手能力和科研精神，营造良好的学科探究氛围，某学校组织学生开展“玩转物理”为主题的研学活动，已知学校用于购买某种电学实验材料的费用为元，购买某种力学实验材料的费用为元，其中购买电学实验材料的数量是购买力学实验材料的倍，并且电学实验材料的单价比力学实验材料的单价便宜元．设购买力学实验材料的单价为元，则满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系正确列出分式方程是解题的关键； 设购买力学实验材料的单价为元，则购买电学实验材料的单价为元，根据购买电学实验材料的数量是购买力学实验材料的倍，即可得出关于的分式方程，此题得解； 【详解】解：设购买力学实验材料的单价为元，则购买电学实验材料的单价为元， 根据题意可得：； 故选：D 42．（24-25八年级上·云南昆明·期末）2024年11月6日8时许，今年首批大约300多只进城的红嘴鸥“先遣部队”飞临翠湖公园，随后，陆续抵达昆明过冬的红嘴鸥将逐渐增多．为保护好这些远道而来的小精灵，小红、小丽两名同学动手折纸红嘴鸥，准备周末到翠湖公园送给游客，并倡导大家“爱鸥护鸥，文明观赏”．已知小红每小时比小丽多折6只红嘴鸥，小红折90只红嘴鸥所用时间与小丽折60只所用时间相等，求小红、小丽每小时各折红嘴鸥多少只？如果设小丽每小时折只红嘴鸥，那么列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的分式方程． 根据“小红折90只红嘴鸥所用时间与小丽折60只所用时间相等”可以列出方程 ，本题得以解决． 【详解】解：设小丽每小时折只红嘴鸥，则小红每小时折只红嘴鸥 又小红折90只红嘴鸥所用时间与小丽折60只所用时间相等 ∴ 故选：D 43．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）某施工队挖一条的渠道，开工后，每天比原计划多挖，结果提前2天完成任务．若设原计划每天挖，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是根据“每天比原计划多挖，结果提前2天完成任务”列方程求解．设原计划每天挖，根据“每天比原计划多挖，结果提前2天完成任务”可列出方程． 【详解】解：设设原计划每天挖，根据题意得： 2 故选A． 44．（23-24八年级下·四川成都·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，全书共收集了246个数学问题，分为九章，内容涵盖了算术、代数、几何等多个领域．其中记录的一道题译为现代文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天，根据规定时间相等可得方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【详解】设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天， 根据题意，得：， 故选：A． 45．（2023·湖北襄阳·一模）市政府为了贯彻落实“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设原计划每天绿化的面积为x万平方米，根据实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了任务列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米， 根据题意得， 故选：A． 【点睛】本题考查了列分式方程，读懂题意，找出对应的关系是解题的关键． 46．（2021·浙江杭州·二模）随着快递业务量的增加，某快递公司为快递物品更换快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每天300件提高到420件，平均每人每天比原来多投递8件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每天投递快件多少件？设原来平均每人每天投递快件x件，根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设原来平均每人每天投递快件x件，根据由每天300件提高到420件，平均每人每天比原来多投递8件列分式方程即可． 【详解】解：设原来平均每人每天投递快件x件，根据题意得， 故选：D． 【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 47．（2015·新疆乌鲁木齐·中考真题）九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得，．故选C． 考点：由实际问题抽象出分式方程． 地 城 考点08 分式方程的行程问题 48．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）2024年10月26日，中甲联赛第29轮，云南玉昆队坐镇玉溪高原体育运动中心迎战大连英博队．本场比赛是本赛季云南玉昆队的主场收官之战，也是中甲联赛前两名球队之间的较量，受到广大球迷高度关注，吸引了19981人到现场观赛．最终，玉昆队以的比分战胜大连英博队，捍卫了“高体”主场不败的记录．某单位组织员工从A地到B地的玉溪高原体育运动中心观看比赛，已知A地到B地的路程为60千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用20分钟，C型车的平均速度是D型车的1.5倍，求D型车的平均速度． 【答案】型车的平均速度为60千米／小时． 【分析】本题考查分式方程的应用，设型车的平均速度为千米／小时，则型车的平均速度是千米／小时，根据“乘坐型车比乘坐型车少用20分钟，”建立方程求解，并检验，即可解题． 【详解】解：设型车的平均速度为千米／小时，则型车的平均速度是千米／小时， 根据题意可得，， 解得， 经检验是该方程的解， 答：型车的平均速度为60千米／小时． 49．（2024·云南昆明·二模）渝昆高铁是中国境内一条连接重庆与昆明的高速铁路，渝昆高铁是我国“八纵八横”高速铁路主通道之一京昆通道的重要组成部分，线路起自重庆西站，途经重庆市、四川省、贵州省和云南省，接入昆明南站待渝昆高速铁路建成通车后，甲、乙两人分别乘坐渝昆高铁、绿皮火车从重庆到昆明旅游，已知渝昆高铁全路程段长千米，绿皮火车全路程段长千米两人同时出发，甲所乘渝昆高铁的平均速度是乙所乘绿皮火车平均速度的倍，甲比乙早小时到达目的地，求甲所乘渝昆高铁和乙所乘绿皮火车的平均速度分别是多少？ 【答案】甲所乘渝昆高铁的平均速度是千米小时，乙所乘绿皮火车的平均速度是千米小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设乙所乘绿皮火车的平均速度是千米小时，则甲所乘渝昆高铁的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲比乙早小时到达目的地，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值即乙所乘绿皮火车的平均速度，再将其代入中，即可求出甲所乘渝昆高铁的平均速度． 【详解】解：设乙所乘绿皮火车的平均速度是千米小时，则甲所乘渝昆高铁的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（千米小时）． 答：甲所乘渝昆高铁的平均速度是千米小时，乙所乘绿皮火车的平均速度是千米小时． 地 城 考点09 分式方程的工程问题 50．（17-18八年级上·北京·期中）文文借了一本书共280页，要在两周借期内读完．当她读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．她在读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读页，则下列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】读前一半时，平均每天读页，即读140页时，用时表示为天， 后一半平均每天要多读21页，得读后一半时平均每天读页，用时天， ∴两周借期内读完列分式方程为： 故选：D. 51．（24-25八年级上·云南昭通·期末）某工厂要生产一批零件个，已知乙的工作效率是甲的工作效率的2倍，设甲每天做零件个． (1)甲单独生产这批零件所用时间为______（用含的代数式表示）；乙单独生产这批零件所用时间为______（用含的代数式表示）； (2)若这批零件先由甲单独做1天，剩下的由乙来做，乙用的时间比甲单独做完这150个零件所用的时间还少2天，求乙每天所做零件的个数． 【答案】(1)； (2)个 【分析】本题主要考查了列代数式、分式方程的应用等知识点，审清题意、正确列出代数式和分式方程是解题的关键． （1）设甲每天做零件个，根据“乙的工作效率是甲的工作效率的2倍”可得出乙每天做零件个，然后根据工作效率工作时间工作总量，列出代数式即可求解； （2）设甲每天做零件个，则乙每天做零件个；然后根据等量关系“乙用的时间比甲单独做完这个零件所用的时间还少2天”列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲每天做零件个， ∵乙的工作效率是甲的工作效率的2倍， ∴乙每天做零件个， 根据工作效率工作时间工作总量， ∴甲单独生产这批零件所用时间为， 乙单独生产这批零件所用时间为； （2）解：由题意可得：， 解得：， 经检验，是分式方程的根，且符合题意， ∴， 答：乙每天所做的零件个数为个． 52．（2024·广东阳江·一模）某社区积极响应正在开展的“创文活动”，安排甲、乙两个工程队对社区进行绿化改造．已知甲工程队每天能完成的绿化改造面积是乙工程队每天能完成的绿化改造面积的2倍，且甲工程队完成的绿化改造比乙工程队完成的绿化改造少用4天．分别求甲、乙两工程队每天能完成绿化改造的面积． 【答案】甲、乙两工程队每天能完成的绿化改造面积分别是和 【分析】本题考查了分式方程的应用．设乙工程队每天能完成的绿化改造面积是，则甲工程队每天能完成的绿化改造面积是，由甲工程队完成的绿化改造比乙工程队完成的绿化改造少用4天，列出方程，可求解． 【详解】解：设乙工程队每天能完成的绿化改造面积是， 则甲工程队每天能完成的绿化改造面积是． 根据题意，得，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意．此时． 故甲、乙两工程队每天能完成的绿化改造面积分别是和． 53．（14-15九年级下·辽宁丹东·期末）某建筑集团完成一路段的高架桥铺设任务，在合同期内高效完成了任务，这是记者与该集团工程师的一段对话： 通过这段对话，请你求出该建筑集团原来每天铺设的米数． 【答案】． 【分析】本题考查方式方程的应用．根据采用新技术前后时间和等于列出分式方程，即可求解 【详解】解：设原来每天铺设米， 根据题意，得． 解得：， 经检验：是分式方程的解并且符合实际意义． 答：该建筑集团原来每天铺设． 地 城 考点10 分式方程的经济问题 54．（2025·重庆綦江·一模）孝敬父母是中华民族的传统美德．“母亲节”来临之际，花店纷纷搞促销活动，小丽发现某花店有康乃馨、玫瑰两种花束正在参加活动．购买3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，购买5束康乃馨和6束玫瑰需要650元． (1)求康乃馨花束和玫瑰花束的单价分别为多少元？ (2)“母亲节”当天，花店进行促销活动，将康乃馨花束的单价降低了元，玫瑰花束单价降低了m元，节日当天康乃馨花束的销量是玫瑰花束销量的倍，且康乃馨花束的销售额为1800元，玫瑰花束的销售额为900元，求m的值． 【答案】(1)康乃馨花束的单价为70元，玫瑰花束的单价为50元 (2)m的值为5 【分析】本题考查二元一次方程组和分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程或方程组． （1）设康乃馨花束的单价为x元，玫瑰花束单价为y元，根据“购买3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，购买5束康乃馨和6束玫瑰需要650元”列出方程组，即可解得答案； （2）根据“节日当天康乃馨花束的销量是玫瑰花束销量的倍”可列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设康乃馨花束的单价为x元，玫瑰花束单价为y元， 由题意，得：， 解得：， 答：康乃馨花束的单价为70元，玫瑰花束的单价为50元． （2）解：依题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 答：m的值为5． 55．（2025·贵州·一模）苗年和侗年是传统民俗节日，更是国家级非物质文化遗产，凯里市某文创公司在苗年和侗年节日期间制作了“苗族”和“侗族”两种玩偶纪念品进行售卖．已知每个“苗族”玩偶的售价比每个“侗族”玩偶的售价高元，用元购买的“苗族”玩偶的数量是用元购进的“侗族”玩偶的数量的． (1)求每个“苗族”玩偶和“侗族”玩偶的售价； (2)若某商店一次性购进“苗族”玩偶和“侗族”玩偶共个，要使总费用不超过元，则至少要购买多少个“侗族”玩偶. 【答案】(1)每个“苗族”玩偶的售价为元，则每个“侗族”玩偶的售价为元 (2)至少要购买个“侗族”玩偶 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系是解题关键． （1）根据用元购买的“苗族”玩偶的数量是用元购进的“侗族”玩偶的数量的列方程，解方程，即可求解； （2）根据“总费用不超过7200元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每个“侗族”玩偶的售价为元，则每个“苗族”玩偶的售价为元． 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：每个“苗族”玩偶的售价为元，则每个“侗族”玩偶的售价为元． （2）解：设要购买个“侗族”玩偶，则要购买个“苗族”玩偶， 根据题意，得：， 解得：， 答：至少要购买个“侗族”玩偶． 56．（24-25八年级上·云南昆明·期末）“文房四宝”笔、墨、纸、砚起源于南北朝时期，是我国独有的书法绘画工具．某中学开设书法社团，为学生购买A，B两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中B型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套A型号的“文房四宝”的价格是B型号的“文房四宝”的价格的倍，求每套B型号的“文房四宝”的价格． 【答案】每套B型号的“文房四宝”的价格为100元 【分析】设每套B型号的“文房四宝”的价格为x元，则每套A型号的“文房四宝”的价格为元，根据为学生购买A，B两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中B型号的“文房四宝”花费3000元，列出分式方程，解方程即可．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设每套B型号的“文房四宝”的价格为x元， 则每套A型号的“文房四宝”的价格为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每套B型号的“文房四宝”的价格为100元． 57．（24-25八年级上·云南昭通·期末）学校图书馆每年都会购买一批新的图书，去年购买的图书中，每套科技书的单价比每套文学书的单价多20元，用3600元购买的科技书与2400元购买的文学书的套数相等． (1)求去年购买的每套文学书和科技书的单价各是多少元？ (2)若今年每套科技书的单价提高到80元，每套文学书的单价与去年相同，该校今年计划再购买文学书和科技书共180套，每种书籍至少买50套，且购买科技书和文学书的总费用不超过12000元，该校今年至多可购买多少套科技书？ 【答案】(1)学校去年购买文学书的单价为每套40元，科技书的单价为每套60元 (2)120套 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设去年购买文学书的单价为每套x元，根据用3600元购买的科技书与2400元购买的文学书的套数相等，列出方程进行求解即可； （2）设今年学校购买科技书m本，根据题意，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设去年购买文学书的单价为每套x元，则每套科技书的单价为元． 由题意得：  解得：， 检验：当时，，且符合题意， 则每套科技书的单价为：（元）， 答：学校去年购买文学书的单价为每套40元，科技书的单价为每套60元． （2）解：设今年学校购买科技书m本． 由题意得：， ∴，m为整数， 答：学校今年至多可购买120套科技书． 58．（24-25八年级上·云南文山·期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名起源于南北朝时期，为丰富学生的课后服务活动，某校准备为社团购买A，B两种型号的“文房四宝”，通过市场调研得知：A种型号“文房四宝”的单价比B种“文房四宝”的单价多元，且用元购买A种型号“文房四宝”的数量是用元购买B种“文房四宝”数量的倍．求A，B两种型号“文房四宝”的单价分别是多少元？ 【答案】A种型号“文房四宝”的单价是元，B种型号“文房四宝”的单价是元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．设B种型号“文房四宝”的单价是元，则A种型号“文房四宝”的单价是元，利用数量总价单价，结合元购买A种型号“文房四宝”的数量是用元购买B种型号“文房四宝”数量的倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出B种型号“文房四宝”的单价，再将其代入中，即可求出A种型号“文房四宝”的单价． 【详解】解：设B种型号“文房四宝”的单价是元，则A种型号“文房四宝”的单价是元．根据题意得∶ 解得∶， 经检验，是所列方程的解，且符合题意 (元)． 答∶A种型号“文房四宝”的单价是元，B种型号“文房四宝”的单价是元． 59．（24-25八年级上·云南大理·期末）洋葱是百合科，葱属多年生草本植物，味辛，甘，性温，归脾，肝经，富含钾，维生素，叶酸，锌，硒等纤维质营养素，具有保护心脑血管，美容养颜的功效．由于生物实验课要求：制作并观察洋葱鳞片叶内表皮细胞临时装片，某校生物老师上周用18元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了，生物老师花了27元，但只比上周多买了3斤洋葱．求上周生物老师买的洋葱每斤多少元？ 【答案】元 【分析】设上周生物老师买的洋葱单价为每斤x元，则本周生物老师买的洋葱单价为每斤元，根据本周生物老师的花费比上周多买了3斤列方程即可求解． 【详解】解：设上周生物老师买的洋葱单价为每斤x元，则本周生物老师买的洋葱单价为每斤元， 由题意得，， 解得，， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 答：上周生物老师买的洋葱每斤元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找出数量关系是解题的关键． 60．（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）教育部印发的《义务教育课程方案（2022年版）》，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的1.5倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少5捆． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元，学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，所花的费用不超过2400元，求在菜苗基地购买A种菜苗至少多少捆． 【答案】(1)菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元． (2)在菜苗基地购买A种菜苗至少60捆． 【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，根据用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少5捆列出方程，解出方程即可； （2）购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，所花的费用不超过2400元列出不等式求解． 【详解】（1）解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元， 解得， 检验：将代入，值不为零， ∴是原方程的解， ∴菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元． （2）解：设购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆， ， 解得：， ∴本次所花的费用不超过2400元，在菜苗基地购买A种菜苗至少60捆． 【点睛】本题考查分式方程与一元一次不等式的应用，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键． 61．（22-23八年级上·河北廊坊·期末）翻开史书，中华文化灿烂的历史展现在眼前，尤其是红色革命文化的精神，值得人们传承和弘扬，一部部红色典籍更是每个时代都需要的精神食粮．某学校计划开设阅读课让同学们学习革命文化，便购买了《红岩》和《林海雪原》供学生阅读，首次购买书籍的单价及花费如下表： 《红岩》 《林海雪原》 单价（元/本） 购买花费（元） 675 540 已知首次购买到的两种书籍数量相等． (1)求学校购买的两种书籍的单价各为多少元？ (2)首次购书之后，学校发现学生对革命文化有了更深入的了解，现打算再次购买500本，这一次学校共花费6600元，那么这次购买《林海雪原》多少本？ 【答案】(1)《红岩》的单价为15元/本，《林海雪原》的单价为12元/本 (2)300本 【分析】（1）根据表中数据列出分式方程，解方程并检验结果即可； （2）设购买《林海雪原》本，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题知，学校购买《红岩》的单价为元/本， 购买《林海雪原》的单价为元/本，， 则根据题意，得，解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意 ∴． 答：学校购买《红岩》的单价为15元/本，《林海雪原》的单价为12元/本． （2）解：设购买《林海雪原》本，，则购买《红岩》本， 根据题意，得， 解得． 答：这次购买《林海雪原》300本． 【点睛】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 62．（22-23八年级上·河南周口·期末）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批蜜薯秧苗开展种植活动．据了解，市场上每捆蜜薯秧苗的价格是农科基地的1.25倍，用320元在市场上购买的蜜薯秧苗比在农科基地购买的少4捆．求农科基地每捆蜜薯秧苗的价格． 【答案】农科基地每捆蜜薯秧苗的价格是16元 【分析】设农科基地每捆蜜薯秧苗的价格为x元，根据用320元在市场上购买的蜜薯秧苗比在农科基地购买的少4捆列分式方程解题即可． 【详解】设农科基地每捆蜜薯秧苗的价格为x元，则市场上每捆蜜薯秧苗的价格为元． 根据购买捆数关系，得 方程两边乘，得， 解得． 检验：当时，． 所以，是原分式方程的解． 答：农科基地每捆蜜薯秧苗的价格是16元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，解题时注意分式方程要验根． 63．（19-20八年级上·湖北恩施·期末）书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用 1200 元购买若干本，按 每本 10 元出售，很快售完．第二次购买时，每本书的进价比第一次提高了 20%，他用1500 元所购买的数量比第一次多 10 本． （1）求第一次购买的图书，每本进价多少元？ （2）第二次购买的图书，按每本 10 元售出 200 本时，出现滞销，剩下的图书降价后全部 售出，要使这两次销售的总利润不低于 2100 元，每本至多降价多少元？（利润=销售收入一进价） 【答案】（1）5元（2）2元． 【分析】（1）设第一次购买的图书的进价为x元/本，则第二次购买图书的进价为1.2x元/本，根据数量＝总价÷单价结合第二次比第一次多购进10本，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）根据数量＝总价÷单价可求出第一次购进图书的数量，将其＋10可求出第二次购进图书的数量，设每本降价y元，根据利润＝销售收入一进价结合两次销售的总利润不低于2100元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）设第一次购买的图书的进价为x元/本，则第二次购买图书的进价为1.2x元/本， 根据题意得： 解得：x＝5， 经检验，x＝5是原分式方程的解，且符合题意． 答：第一次购买的图书，每本进价为5元． （2）第一次购进数量为1200÷5＝240（本）， 第二次购进数量为240＋10＝250（本）． 设每本降价y元， 根据题意得：240×10＋200×10＋（250−200）（10−y）−1200−1500≥2100， 解得：y≤2． 答：每本至多降价2元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式． 地 城 考点11 分式方程的和差倍分问你 64．（24-25九年级上·云南昭通·期末）某校物理实验室计划购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1500元，购买乙种滑动变阻器用了2520元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． (1)求甲、乙两种型号的滑动变阻器的单价分别为多少元？ (2)该校计划再订购这两种型号的滑动变阻器共100个，但预算总费用不超过5400元，那么该校最少要购买多少个甲种滑动变阻器？ 【答案】(1)甲种型号的滑动变阻器的单价是 50 元， 乙种型号的滑动变阻器的单价是 56 元． (2)该校最少要购买 34 个甲种型号的滑动变阻器． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用， （1）设甲种型号的滑动变阻器的单价为元，表示乙种型号的滑动变阻器的单价， 再根据数量的关系列出方程，然后求出解即可； （2）设该校购买甲种型号的滑动变阻器个，表示购买乙种型号的滑动变阻器的个数，再根据总费用不超过5400元列出不等式，求出解集. 【详解】（1）解：设甲种型号的滑动变阻器的单价为元，则乙种型号的滑动变阻器的单价为元， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ， 答：甲种型号的滑动变阻器的单价是50 元，乙种型号的滑动变阻器的单价是56元； （2）解：设该校购买甲种型号的滑动变阻器个，则购买乙种型号的滑动变阻器个， 根据题意得：， 解得：， 整数的最小值为34， 答：该校最少要购买34个甲种型号的滑动变阻器． 65．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用450元购进的足球的数量和用600元购进的篮球数量相同．求每个足球的价格． 【答案】每个足球的价格为90元 【分析】本题主要考查分式方程的应用，设每个足球的价格是元，则每个篮球的价格是元．根据用450元购进的足球的数量和用600元购进的篮球数量相同列分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设每个足球的价格是元，则每个篮球的价格是元，根据题意，得： ， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：每个足球的价格为90元． 66．（23-24八年级上·北京通州·期中）列分式方程解应用题： 2022年10月16日，习总书记在中国共产党第二十次全国代表大会上的报告中提出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少10辆．求A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？ 【答案】型汽车的进价为每辆20万元，A型汽车的进价为每辆30万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用．设型汽车的进价为每辆万元，则A型汽车的进价为每辆万元，列出分式方程，解方程即可；正确列出方程是解决本题的关键． 【详解】解：设型汽车的进价为每辆万元，则A型汽车的进价为每辆万元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解且符合实际意义， ∴， 答： 型汽车的进价为每辆20万元，A型汽车的进价为每辆30万元． 67．（23-24八年级上·北京昌平·期中）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进价是多少万元？ 【答案】型汽车的进价为每辆10万元 【分析】设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元，列出分式方程，解方程即可； 【详解】解：设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解且符合实际意义， 答： 型汽车的进价为每辆10万元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确列出方程是解决本题的关键． 试卷第36页，共37页 试卷第1页，共36页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 分式 11大高频考点概览 一、考点01分式及其基本性质 二、考点02 分式的化简求值 三、考点03 整数指数幂的运算 四、考点04 科学计数法 五、考点05 解分式方程 六、考点06 分式方程无解问题 七、考点07 列分式方程 八、考点08分式方程的行程问题 九、考点09 分式方程的工程问题 十、考点10 分式方程的经济问题 十一、考点11 分式方程的和差倍分问你 地 城 考点01 分式及其基本性质 1．（24-25八年级下·云南普洱·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广西·期末）下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·云南普洱·期末）下列各式从左往右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·云南文山·期末）一组按规律排列的式子：，，，，…（，n为正整数），第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·云南大理·期末）若分式有意义，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·四川遂宁·期中）下列分式，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 7．（19-20八年级上·广西北海·期中）下列分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·贵州贵阳·一模）若分式无意义，则x的值为 ． 地 城 考点02 分式的化简求值 9．（24-25八年级上·云南昆明·期末）已知，则 ． 10．（24-25八年级上·云南昆明·期末）先化简，再求值：，其中 11．（24-25八年级上·云南昭通·期末）先化简，再求值：，其中． 12．（24-25八年级上·云南昭通·期末）先化简，再求值：，从，0，1中选择一个适当的数作为的值代入求值． 13．（24-25八年级上·云南昭通·期末）先化简：，再从0，1，2中选取一个合适的数代入求值． 14．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）先化简，再求值：，其中． 15．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）在对进行平方运算时，我们发现，，这为我们计算形如（n为正整数）的代数式的值提供了方便． (1)若，求代数式的值； (2)结合多项式乘多项式相关知识及以上内容，在（1）的条件下，试求出的值． 16．（24-25八年级上·云南昭通·期末）先化简，再求值：，其中． 17．（24-25八年级上·云南昆明·期末）先化简，再求值：，其中． 18．（24-25八年级上·云南昆明·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则． 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是______分式（填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将假分式化为带分式； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数x的值，使得分式的值为整数． 19．（22-23八年级下·江苏淮安·期中）先化简，再求值：，再在0，1，2，中选择一个合适的数作为的值带入求值． 20．（19-20八年级下·贵州毕节·期末）先化简，再求值： ，再从，0，1这三个数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 地 城 考点03 整数指数幂的运算 21．（24-25七年级上·云南·期末）已知，，，试比较、、的大小，并用“”将它们连接： ． 22．（24-25八年级下·云南普洱·期末）计算：． 23．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）计算：． 24．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）（1）计算：； （2）化简：． 25．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）计算：． 地 城 考点04 科学计数法 26．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）已知1纳米等于0.000000001米，则250纳米用科学记数法表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 27．（24-25七年级下·河南焦作·期中）是一款由国内人工智能公司研发的大型语言模型，可以辅助人们解决复杂的问题，提供高性能、低成本的服务．其某次推理仅消耗2微千瓦时（0.000002千瓦时）的能量．数据0.000002用科学记数法可表示为（  ） A． B． C． D． 28．（21-22七年级下·浙江温州·阶段练习）古语有云：“水滴石穿”，若水珠不断滴在一块石头上，经过40年，石头上会形成一个深为的小洞．数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点05 解分式方程 29．（24-25八年级下·云南保山·期末）将关于x的分式方程去分母后所得整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 30．（24-25八年级下·云南丽江·期末）某村计划修复一条连接活动场地的公路，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙工程队平均每天修复公路的长度比甲工程队多2千米，且甲工程队单独修复20千米公路所需要的时间与乙工程队单独修复30千米公路所需要的时间相等．甲、乙两个工程队分别平均每天修复公路多少千米？ 31．（24-25八年级下·云南丽江·期末）（1）计算：；     （2）解方程：． 32．（24-25八年级上·云南昭通·期末）解下列分式方程： (1) (2) 地 城 考点06 分式方程无解问题 33．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）若关于的方程无解，则的值为（   ） A． B． C． D． 34．（24-25八年级上·云南昆明·期末）若关于的分式方程无解，则 35．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 36．（23-24八年级上·全国·单元测试）若关于x 的分式方程 无解，则m 的值是 ． 37．（23-24八年级上·山东济宁·期末）若分式方程无解，则的值为 ． 地 城 考点07 列分式方程 38．（18-19八年级上·广东肇庆·期末）已知甲做个零件与乙做个零件所用的时间相同，两人每天共做个零件；设甲每天做个零件，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 39．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）小王家和小红家都距学校3千米，两人约好在学校门口相遇．已知小王骑车的平均速度是小红骑车的平均速度的1.25倍，结果小红比小王多用了15分钟．若设小红平均每小时骑行千米，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 40．（24-25八年级上·云南文山·期末）绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树800棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，则原计划每天种树多少棵．若原计划每天种树x棵，则可以列出方程为（   ） A． B． C． D． 41．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）为进一步加强我市中小学研学实践教育活动的管理，培养学生的创新意识、动手能力和科研精神，营造良好的学科探究氛围，某学校组织学生开展“玩转物理”为主题的研学活动，已知学校用于购买某种电学实验材料的费用为元，购买某种力学实验材料的费用为元，其中购买电学实验材料的数量是购买力学实验材料的倍，并且电学实验材料的单价比力学实验材料的单价便宜元．设购买力学实验材料的单价为元，则满足的方程为（   ） A． B． C． D． 42．（24-25八年级上·云南昆明·期末）2024年11月6日8时许，今年首批大约300多只进城的红嘴鸥“先遣部队”飞临翠湖公园，随后，陆续抵达昆明过冬的红嘴鸥将逐渐增多．为保护好这些远道而来的小精灵，小红、小丽两名同学动手折纸红嘴鸥，准备周末到翠湖公园送给游客，并倡导大家“爱鸥护鸥，文明观赏”．已知小红每小时比小丽多折6只红嘴鸥，小红折90只红嘴鸥所用时间与小丽折60只所用时间相等，求小红、小丽每小时各折红嘴鸥多少只？如果设小丽每小时折只红嘴鸥，那么列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 43．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）某施工队挖一条的渠道，开工后，每天比原计划多挖，结果提前2天完成任务．若设原计划每天挖，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 44．（23-24八年级下·四川成都·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，全书共收集了246个数学问题，分为九章，内容涵盖了算术、代数、几何等多个领域．其中记录的一道题译为现代文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 45．（2023·湖北襄阳·一模）市政府为了贯彻落实“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 46．（2021·浙江杭州·二模）随着快递业务量的增加，某快递公司为快递物品更换快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每天300件提高到420件，平均每人每天比原来多投递8件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每天投递快件多少件？设原来平均每人每天投递快件x件，根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 47．（2015·新疆乌鲁木齐·中考真题）九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是(    ) A． B． C． D． 地 城 考点08 分式方程的行程问题 48．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）2024年10月26日，中甲联赛第29轮，云南玉昆队坐镇玉溪高原体育运动中心迎战大连英博队．本场比赛是本赛季云南玉昆队的主场收官之战，也是中甲联赛前两名球队之间的较量，受到广大球迷高度关注，吸引了19981人到现场观赛．最终，玉昆队以的比分战胜大连英博队，捍卫了“高体”主场不败的记录．某单位组织员工从A地到B地的玉溪高原体育运动中心观看比赛，已知A地到B地的路程为60千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用20分钟，C型车的平均速度是D型车的1.5倍，求D型车的平均速度． 49．（2024·云南昆明·二模）渝昆高铁是中国境内一条连接重庆与昆明的高速铁路，渝昆高铁是我国“八纵八横”高速铁路主通道之一京昆通道的重要组成部分，线路起自重庆西站，途经重庆市、四川省、贵州省和云南省，接入昆明南站待渝昆高速铁路建成通车后，甲、乙两人分别乘坐渝昆高铁、绿皮火车从重庆到昆明旅游，已知渝昆高铁全路程段长千米，绿皮火车全路程段长千米两人同时出发，甲所乘渝昆高铁的平均速度是乙所乘绿皮火车平均速度的倍，甲比乙早小时到达目的地，求甲所乘渝昆高铁和乙所乘绿皮火车的平均速度分别是多少？ 地 城 考点09 分式方程的工程问题 50．（17-18八年级上·北京·期中）文文借了一本书共280页，要在两周借期内读完．当她读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．她在读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读页，则下列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 51．（24-25八年级上·云南昭通·期末）某工厂要生产一批零件个，已知乙的工作效率是甲的工作效率的2倍，设甲每天做零件个． (1)甲单独生产这批零件所用时间为______（用含的代数式表示）；乙单独生产这批零件所用时间为______（用含的代数式表示）； (2)若这批零件先由甲单独做1天，剩下的由乙来做，乙用的时间比甲单独做完这150个零件所用的时间还少2天，求乙每天所做零件的个数． 52．（2024·广东阳江·一模）某社区积极响应正在开展的“创文活动”，安排甲、乙两个工程队对社区进行绿化改造．已知甲工程队每天能完成的绿化改造面积是乙工程队每天能完成的绿化改造面积的2倍，且甲工程队完成的绿化改造比乙工程队完成的绿化改造少用4天．分别求甲、乙两工程队每天能完成绿化改造的面积． 53．（14-15九年级下·辽宁丹东·期末）某建筑集团完成一路段的高架桥铺设任务，在合同期内高效完成了任务，这是记者与该集团工程师的一段对话： 通过这段对话，请你求出该建筑集团原来每天铺设的米数． 地 城 考点10 分式方程的经济问题 54．（2025·重庆綦江·一模）孝敬父母是中华民族的传统美德．“母亲节”来临之际，花店纷纷搞促销活动，小丽发现某花店有康乃馨、玫瑰两种花束正在参加活动．购买3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，购买5束康乃馨和6束玫瑰需要650元． (1)求康乃馨花束和玫瑰花束的单价分别为多少元？ (2)“母亲节”当天，花店进行促销活动，将康乃馨花束的单价降低了元，玫瑰花束单价降低了m元，节日当天康乃馨花束的销量是玫瑰花束销量的倍，且康乃馨花束的销售额为1800元，玫瑰花束的销售额为900元，求m的值． 55．（2025·贵州·一模）苗年和侗年是传统民俗节日，更是国家级非物质文化遗产，凯里市某文创公司在苗年和侗年节日期间制作了“苗族”和“侗族”两种玩偶纪念品进行售卖．已知每个“苗族”玩偶的售价比每个“侗族”玩偶的售价高元，用元购买的“苗族”玩偶的数量是用元购进的“侗族”玩偶的数量的． (1)求每个“苗族”玩偶和“侗族”玩偶的售价； (2)若某商店一次性购进“苗族”玩偶和“侗族”玩偶共个，要使总费用不超过元，则至少要购买多少个“侗族”玩偶. 56．（24-25八年级上·云南昆明·期末）“文房四宝”笔、墨、纸、砚起源于南北朝时期，是我国独有的书法绘画工具．某中学开设书法社团，为学生购买A，B两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中B型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套A型号的“文房四宝”的价格是B型号的“文房四宝”的价格的倍，求每套B型号的“文房四宝”的价格． 57．（24-25八年级上·云南昭通·期末）学校图书馆每年都会购买一批新的图书，去年购买的图书中，每套科技书的单价比每套文学书的单价多20元，用3600元购买的科技书与2400元购买的文学书的套数相等． (1)求去年购买的每套文学书和科技书的单价各是多少元？ (2)若今年每套科技书的单价提高到80元，每套文学书的单价与去年相同，该校今年计划再购买文学书和科技书共180套，每种书籍至少买50套，且购买科技书和文学书的总费用不超过12000元，该校今年至多可购买多少套科技书？ 58．（24-25八年级上·云南文山·期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名起源于南北朝时期，为丰富学生的课后服务活动，某校准备为社团购买A，B两种型号的“文房四宝”，通过市场调研得知：A种型号“文房四宝”的单价比B种“文房四宝”的单价多元，且用元购买A种型号“文房四宝”的数量是用元购买B种“文房四宝”数量的倍．求A，B两种型号“文房四宝”的单价分别是多少元？ 59．（24-25八年级上·云南大理·期末）洋葱是百合科，葱属多年生草本植物，味辛，甘，性温，归脾，肝经，富含钾，维生素，叶酸，锌，硒等纤维质营养素，具有保护心脑血管，美容养颜的功效．由于生物实验课要求：制作并观察洋葱鳞片叶内表皮细胞临时装片，某校生物老师上周用18元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了，生物老师花了27元，但只比上周多买了3斤洋葱．求上周生物老师买的洋葱每斤多少元？ 60．（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）教育部印发的《义务教育课程方案（2022年版）》，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的1.5倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少5捆． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元，学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，所花的费用不超过2400元，求在菜苗基地购买A种菜苗至少多少捆． 61．（22-23八年级上·河北廊坊·期末）翻开史书，中华文化灿烂的历史展现在眼前，尤其是红色革命文化的精神，值得人们传承和弘扬，一部部红色典籍更是每个时代都需要的精神食粮．某学校计划开设阅读课让同学们学习革命文化，便购买了《红岩》和《林海雪原》供学生阅读，首次购买书籍的单价及花费如下表： 《红岩》 《林海雪原》 单价（元/本） 购买花费（元） 675 540 已知首次购买到的两种书籍数量相等． (1)求学校购买的两种书籍的单价各为多少元？ (2)首次购书之后，学校发现学生对革命文化有了更深入的了解，现打算再次购买500本，这一次学校共花费6600元，那么这次购买《林海雪原》多少本？ 62．（22-23八年级上·河南周口·期末）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批蜜薯秧苗开展种植活动．据了解，市场上每捆蜜薯秧苗的价格是农科基地的1.25倍，用320元在市场上购买的蜜薯秧苗比在农科基地购买的少4捆．求农科基地每捆蜜薯秧苗的价格． 63．（19-20八年级上·湖北恩施·期末）书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用 1200 元购买若干本，按 每本 10 元出售，很快售完．第二次购买时，每本书的进价比第一次提高了 20%，他用1500 元所购买的数量比第一次多 10 本． （1）求第一次购买的图书，每本进价多少元？ （2）第二次购买的图书，按每本 10 元售出 200 本时，出现滞销，剩下的图书降价后全部 售出，要使这两次销售的总利润不低于 2100 元，每本至多降价多少元？（利润=销售收入一进价） 地 城 考点11 分式方程的和差倍分问你 64．（24-25九年级上·云南昭通·期末）某校物理实验室计划购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1500元，购买乙种滑动变阻器用了2520元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． (1)求甲、乙两种型号的滑动变阻器的单价分别为多少元？ (2)该校计划再订购这两种型号的滑动变阻器共100个，但预算总费用不超过5400元，那么该校最少要购买多少个甲种滑动变阻器？ 65．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用450元购进的足球的数量和用600元购进的篮球数量相同．求每个足球的价格． 66．（23-24八年级上·北京通州·期中）列分式方程解应用题： 2022年10月16日，习总书记在中国共产党第二十次全国代表大会上的报告中提出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少10辆．求A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？ 67．（23-24八年级上·北京昌平·期中）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进价是多少万元？ 试卷第10页，共11页 试卷第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $