精品解析：江苏省盐城市阜宁县联考2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试题

阜宁县2025年秋学期九年级期中学情调研数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点A，B，C在上，若的度数为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是关于x一元二次方程的一个实数根，则m的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 下列说法错误的是（ ） A. 半径相等两个半圆是等弧 B. 面积相等的两个圆是等圆 C. 长度相等的两条弧一定是等弧 D. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 5. 若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的周长为（ ） A. 2 B. 6 C. 6 D. 12 6. 一只不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为，则黄球的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 7. 2025年，江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）火爆出圈，不仅吸引了许多球迷亲临现场观赛，也掀起了“第二现场”观赛的热潮．在这股热潮中，足球爱好者小明深入了解后得知：“苏超”联赛常规赛采用单循环赛制（即每两队之间仅需对决一场），本赛季常规赛共进行了78场对决．若设参加该联赛的球队共有x支，则可列方程式（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将三角形纸片沿折叠，点恰好与的内心重合，若，则（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 方程的实数解是_______． 10. 一组数据：15，15，13，17，15，18，17．这组数据的众数是________． 11. 已知圆锥的侧面积是，母线长为4，则圆锥的底面圆半径为________. 12. 用配方法解方程，方程可化为，则________． 13. 如图，，，是的切线，切点分别为C，E，D点，若，，则的长为________． 14. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是________． 15. 如图，直线，直线m分别交a、b于点A、B．以点A为圆心，长为半径画弧，分别交b、a于直线m同侧的点C、D．连接，若，，则的长等于________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于D，C两点．A，B是半径为2的上的两动点，且，M为弦的中点，点．当A，B两点在圆上运动时，面积的最大值是________． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在中，弦的长为16，，交于点G，交于点E，．求的长． 19. 某射击队为了从甲、乙、丙三名运动员中选拔一人参加市级比赛，对他们进行了5次测试，测试成绩统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分 甲 8.8 ①________ 0.96 乙 ②________ 9 0.16 丙 8.8 9 ③________ （2）根据（1）中表格里的信息，你认为推荐谁参加市级比赛更合适，请说明理由． 20. 为了弘扬社会主义核心价值观，某学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有A，B，C共3部电影，甲、乙两名同学分别从中任意选择1部电影观看． （1）乙同学选择电影C的概率为_______； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学选择相同电影的概率． 21. 如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 已知关于x的方程． （1）试说明：无论k取何值，这个方程总有实数根； （2）若一个等腰三角形的一边长为6，另两边的长度恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 23. 如图，在中，． （1）尺规作图：在边上找一点O，以点O为圆心，线段长为半径作，使得与边相切于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，，，求的半径． 24. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“三倍根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，．因为6是2的3倍，所以称方程是“三倍根方程”． （1）请判断一元二次方程是不是“三倍根方程”，并说明理由： （2）若是“三倍根方程”，试用含m的代数式表示n． 25. 如图，为的直径，点A在上，的平分线交于点E，交于点M．的平分线交于点D，过点E作，交的延长线于点F，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 26. 根据以下素材，探索完成任务 背景 今年的春节动画电影《哪吒2》上映后，吸引了大量市民观影，并带动了相关主题玩具的热销． 素材1 某影院在《哪吒2》上映第一天的票房收入为8万元，以后每天票房收入按相同增长率增长，第三天单日票房收入为11.52万元． 素材2 某商家推出一款“哪吒”主题玩具，成本为40元/个．当售价定为70元/个时，平均每天可售出60个．该商家决定采取降价措施以提升销量，试销一段时间后发现，该款玩具单价每降2元，平均每天可多售出10个． 问题解决 任务1 根据素材1，该影院从《哪吒2》上映第一天到第三天，平均每天票房收入增长的百分率是多少？ 任务2 根据素材2，若商家为了尽量减少库存，且希望平均每天盈利2160元．则每个玩具应降价多少元？ 任务3 根据素材2，请判断该商家平均每天能否获利2300元？若能，请求出每个玩具应降价多少元；若不能，请说明理由． 27. 综合与实践 学习完《对称图形——圆》这一章节后，小明同学对圆的相关知识产生了浓厚的兴趣，他打算通过“裁剪扇形、制作圆锥”等实践操作，深化理解圆的相关知识．为此，他准备了若干张半径均为8、材质均匀的圆形纸片用于下面的探究（每张纸片如图①所示，圆心记为O）． 【初步探究】 （1）如图②，小明用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角为的扇形． ①请求出扇形的面积． ②他打算用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，你觉得小明能否从剪下的3块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？试说明理由． 【深入探究】 （2）小明继续探究，他发现存在如图③的情况：的半径仍是8，扇形的圆心角．点E在圆内，点M，N在上，与扇形的公共弦．求图中点O与点E的距离，并计算扇形的面积． 【拓展探究】 （3）若小明想用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角为的扇形（点M，N在上），请直接写出所剪扇形的面积S的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阜宁县2025年秋学期九年级期中学情调研数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是依据“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”的条件逐一判断选项． 根据一元二次方程的定义，分析各选项是否满足“一个未知数、最高次数为2、整式方程”的条件；排除含多个未知数、分式方程的选项，确定符合条件的选项． 【详解】解：A、含两个未知数，是二元一次方程，此选项不符合题意； B、是分式方程，并非整式方程，此选项不符合题意； C、含两个未知数，不是一元方程，此选项不符合题意； D、只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程的定义，此选项符合题意． 故选：D． 2. 如图，点A，B，C在上，若的度数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握同弧或等弧所对圆周角是圆心角的一半是关键． 根据弧的度数是圆心角的度数得到，根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵的度数为， ∴， ∵所对的圆心角是，所对的圆周角是， ∴， 故选：B ． 3. 已知是关于x的一元二次方程的一个实数根，则m的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，掌握方程的解使方程两边相等是解题关键．将代入方程，利用根的定义直接求解 m． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴， ∴， 故选：D． 4. 下列说法错误的是（ ） A. 半径相等的两个半圆是等弧 B. 面积相等的两个圆是等圆 C. 长度相等的两条弧一定是等弧 D. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等弧、等圆的定义以及三角形外心的性质，掌握圆的相关性质是解题关键．根据“等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合”；“等圆半径相等”；“三角形外心到顶点距离相等”逐项判断即可． 【详解】解：A、半径相等的两个半圆，所在圆是等圆，半圆弧长相等且能重合，原说法正确，不符合题意； B、圆面积相等则半径相等，故是等圆，原说法正确，不符合题意； C、等弧需在同圆或等圆中能够完全重合，长度相等的两条弧不一定满足此条件，原说法错误，符合题意； D、三角形的外心是垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 5. 若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的周长为（ ） A. 2 B. 6 C. 6 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，掌握正多边形的性质是解题关键． 根据题意可得正六边形的外接圆半径等于其边长，可直接计算周长． 【详解】解：如图，六边形是正六边形，是正六边形的外接圆， ，， 是等边三角形， ， 该正六边形的周长为， 故选：D． 6. 一只不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为，则黄球的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率公式的应用，设黄球个数为x，根据摸到红球的概率列方程求解． 【详解】解：设黄球有x个，则总球数为个． ∵ 摸到红球的概率为， ∴ ； 解得． 故黄球的个数为2个； 故选B． 7. 2025年，江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）火爆出圈，不仅吸引了许多球迷亲临现场观赛，也掀起了“第二现场”观赛的热潮．在这股热潮中，足球爱好者小明深入了解后得知：“苏超”联赛常规赛采用单循环赛制（即每两队之间仅需对决一场），本赛季常规赛共进行了78场对决．若设参加该联赛的球队共有x支，则可列方程式（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题，设该联赛有队伍x支，则每支球队需与其他支球队各赛一场，根据题意，列出方程即可得到答案． 【详解】解：设参加联赛的球队共有x支，则每支球队需与其他支球队各赛一场，根据题意得： ， 故选：A 8. 如图，将三角形纸片沿折叠，点恰好与的内心重合，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形内心的性质，角平分线的定义等，熟练掌握三角形内心的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理得出，根据折叠的性质和三角形内心的性质得出，平分，平分，求得，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵沿折叠，点恰好与的内心重合， ∴，平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 方程实数解是_______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法：通过直接开平方法求解方程即可． 【详解】解：方程移项得， 两边开平方，得， 即． 故答案为：，． 10. 一组数据：15，15，13，17，15，18，17．这组数据的众数是________． 【答案】 15 【解析】 【分析】本题主要考查众数，掌握众数的定义是关键． 根据众数的定义，即众数是一组数据中出现次数最多的数值． 【详解】解：在这组数据中，15出现3次，13出现1次，17出现2次，18出现1次， 因此15出现的次数最多， 所以众数是15， 故答案为：15． 11. 已知圆锥的侧面积是，母线长为4，则圆锥的底面圆半径为________. 【答案】3 【解析】 【分析】设圆锥的底面圆半径为r，根据扇形弧长公式计算即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为r， 由题意得，×2π×r×4＝12π， 解得，r＝3， 故答案为3． 【点睛】考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 12. 用配方法解方程，方程可化为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，解题关键是将方程左边配成完全平方式． 通过配方法将一元二次方程转化为“等号左边是完全平方形式，等号右边是数字”的形式，从而求出的值． 【详解】 移项得：， 配方得：， 即：， ∴ ． 故答案为． 13. 如图，，，是的切线，切点分别为C，E，D点，若，，则的长为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，解题关键是熟记切线长定理． 根据切线长定理得到，，然后求出，进而得到． 【详解】解：∵，，是的切线， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：9． 14. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再代入计算即可得． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：6． 15. 如图，直线，直线m分别交a、b于点A、B．以点A为圆心，长为半径画弧，分别交b、a于直线m同侧的点C、D．连接，若，，则的长等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，弧长公式，掌握弧长公式是解题关键．连接，由作法可知，，则，由平行线的性质，得到，从而得到，再利用等边对等角和三角形内角和定理，得到，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由作法可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于D，C两点．A，B是半径为2的上的两动点，且，M为弦的中点，点．当A，B两点在圆上运动时，面积的最大值是________． 【答案】16 【解析】 【分析】如图所示，过点E作于Q，连接、，由垂径定理得到，，勾股定理求出，得到点M在以点E为圆心，为半径的圆上运动，当点M，E，Q三点共线时，点M到的距离最大，然后利用等面积法求出，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作于Q，连接、， ∵A，B是半径为2的上的两动点， ∴ ∵，M为弦的中点， ∴， ∴ ∴点M在以点E为圆心，为半径的圆上运动 ∴当点M，E，Q三点共线时，点M到的距离最大 ∵直线与x轴、y轴分别交于D，C两点 ∴当时， ∴ ∴ 当时， 解得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴面积的最大值是16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点坐标，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解： ， ， 则或， 所以，； 【小问2详解】 解：， ， ， 则或， 所以，． 18. 如图，在中，弦的长为16，，交于点G，交于点E，．求的长． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题关键．连接，由垂径定理可得，设，则，，再利用勾股定理求出的值，即可得解． 【详解】解：如图，连接， 是半径，，， ， 设， ， ， ， 在中，， ， 解得：（负值舍去）， ． 19. 某射击队为了从甲、乙、丙三名运动员中选拔一人参加市级比赛，对他们进行了5次测试，测试成绩统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分 甲 8.8 ①________ 0.96 乙 ②________ 9 0.16 丙 8.8 9 ③________ （2）根据（1）中表格里的信息，你认为推荐谁参加市级比赛更合适，请说明理由． 【答案】（1）①9；②8.8；③0.56． （2）乙运动员参加市级比赛更合适，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数和方差，以及利用方差做决策，掌握方差的意义是解题关键． （1）根据平均数、中位数以及方差的定义计算即可； （2）根据方差的意义计算即可． 【小问1详解】 解：甲运动员成绩从小到大排列：7、9、9、9、10， 则甲运动员的中位数为9； 乙运动员成绩的平均数为：， 丙运动员成绩的方差为：， 【小问2详解】 解：乙运动员参加市级比赛更合适． 理由：三名运动员成绩的平均数和中位数相同，但是乙运动员的方差更小成绩更稳定，所以乙运动员参加市级比赛更合适． 20. 为了弘扬社会主义核心价值观，某学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有A，B，C共3部电影，甲、乙两名同学分别从中任意选择1部电影观看． （1）乙同学选择电影C的概率为_______； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学选择相同电影的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）首先根据题意画出树状图或列表格，然后由树状图或列表格求得所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：现有共3部电影， 乙同学选择C部电影的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：用树状图或利用表格列出所有等可能的结果： 甲同学选择电影 乙同学选择电影 A B C A B C 那么总结果有9种，甲、乙2位同学选择相同电影的结果有3种， （甲、乙2位同学选择相同电影）． 21. 如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆内接四边形，同弧或等弧所对圆周角相等，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）根据圆内接四边形的性质得到，则，由同弧所对圆周角相等即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴； 小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 已知关于x的方程． （1）试说明：无论k取何值，这个方程总有实数根； （2）若一个等腰三角形的一边长为6，另两边的长度恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）15 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和等腰三角形，掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法、等腰三角形的性质和三角形成立的条件等知识点是解决本题的关键． （1）先计算根的判别式，再利用完全平方式的非负性得结论； （2）先求出方程的两个根，再根据等腰三角形的性质确定，最后求出三角形的周长． 【小问1详解】 解：关于的方程， 这里，，， ． ， 无论取何值，这个方程总有实数根． 【小问2详解】 解：， ． 或． 当等腰三角形的腰长为6时，则，此时底长为3， 这个等腰三角形的周长为：； 当等腰三角形的底长为6时，则两腰长都为3，两根都是3，即， 由于，不能构成三角形． 这个等腰三角形的周长为15． 23. 如图，在中，． （1）尺规作图：在边上找一点O，以点O为圆心，线段的长为半径作，使得与边相切于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，，，求的半径． 【答案】（1）见详解 （2）的半径为 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，切线的性质，勾股定理的综合运用，理解题意，掌握切线的性质，勾股定理是关键． （1）根据切线的性质，角平分线的性质定理，运用尺规作角平分线即可求解； （2）根据题意得到，则，设，则，在中，由列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵以为半径，与相切于点， ∴， ∵，切线与半径相互垂直， ∴得到即为的角平分线， ∴尺规作的角平分线即可，如图所示， ∴点即为所求点的位置； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是切线，切点是点， ∴，即，且， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴的半径为． 24. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“三倍根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，．因为6是2的3倍，所以称方程是“三倍根方程”． （1）请判断一元二次方程是不是“三倍根方程”，并说明理由： （2）若是“三倍根方程”，试用含m的代数式表示n． 【答案】（1）不是，理由见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、一元二次方程的解、解一元二次方程因式分解法及根的判别式，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤及理解所给“三倍根方程”的定义是解题的关键． （1）根据所给“三倍根方程”的定义进行判断即可； （2）根据所给“三倍根方程”的定义，得出关于，的等式，据此用含的代数式表示即可． 【小问1详解】 解：不是，理由如下： 由得， ， 则或， 所以，． 因为且， 所以方程不是“三倍根方程”； 【小问2详解】 解：由得， ． 因为该方程是“三倍根方程”， 所以或． 由得，， 由得，， 所以或． 25. 如图，为的直径，点A在上，的平分线交于点E，交于点M．的平分线交于点D，过点E作，交的延长线于点F，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握圆的相关知识是解题关键． （1）连接，由直径可得，从而得到，再利用圆周角定理，得到，由平行线的性质得出，即可证明结论； （2）由角平分线的性质得到，由等腰直角三角形的性质，得到，再结合三角形外角的性质，得出，从而推出，即可得解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 为的直径， ， 平分， ， ， ， ，即， 又是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：是的平分线， ， ，， ， ，， ， ． 26. 根据以下素材，探索完成任务 背景 今年的春节动画电影《哪吒2》上映后，吸引了大量市民观影，并带动了相关主题玩具的热销． 素材1 某影院在《哪吒2》上映第一天的票房收入为8万元，以后每天票房收入按相同增长率增长，第三天单日票房收入为11.52万元． 素材2 某商家推出一款“哪吒”主题玩具，成本为40元/个．当售价定为70元/个时，平均每天可售出60个．该商家决定采取降价措施以提升销量，试销一段时间后发现，该款玩具的单价每降2元，平均每天可多售出10个． 问题解决 任务1 根据素材1，该影院从《哪吒2》上映第一天到第三天，平均每天票房收入增长的百分率是多少？ 任务2 根据素材2，若商家为了尽量减少库存，且希望平均每天盈利2160元．则每个玩具应降价多少元？ 任务3 根据素材2，请判断该商家平均每天能否获利2300元？若能，请求出每个玩具应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：；任务2：12元；任务3：不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1：设该影院从《哪吒2》上映第一天到第三天，平均每天票房收入增长的百分率是，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务2：设每个玩具应降价元，单个利润为元，每天销售的数量为个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务3：设每个玩具应降价z元，则单个利润为元，每天销售的数量为个，列出一元二次方程，然后由根的判别式即可得出结论． 【详解】任务1 设该影院从《哪吒2》上映第一天到第三天，平均每天票房收入增长的百分率是， 则可得方程， 解得：，(舍去)， 答：平均每天票房收入增长百分率是； 任务2 设每个玩具应降价元，单个利润为元，每天销售的数量为个， 可得方程， ， 解得， 因为要尽量减少库存，所以降价越多，销量越大，库存越少，故选择， 答：每个玩具应降价12元； 任务3 设每个玩具应降价z元，则单个利润为元，每天销售的数量为个， 则可得方程， 化简得：， 因为． 所以原方程无实数根， 即平均每天不能获利2300元． 27. 综合与实践 学习完《对称图形——圆》这一章节后，小明同学对圆的相关知识产生了浓厚的兴趣，他打算通过“裁剪扇形、制作圆锥”等实践操作，深化理解圆的相关知识．为此，他准备了若干张半径均为8、材质均匀的圆形纸片用于下面的探究（每张纸片如图①所示，圆心记为O）． 【初步探究】 （1）如图②，小明用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角为的扇形． ①请求出扇形的面积． ②他打算用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，你觉得小明能否从剪下的3块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？试说明理由． 【深入探究】 （2）小明继续探究，他发现存在如图③的情况：的半径仍是8，扇形的圆心角．点E在圆内，点M，N在上，与扇形的公共弦．求图中点O与点E的距离，并计算扇形的面积． 【拓展探究】 （3）若小明想用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角为的扇形（点M，N在上），请直接写出所剪扇形的面积S的取值范围． 【答案】（1）①扇形的面积为；②不能，理由见详解 （2）点O与点E的距离为，扇形的面积为 （3）扇形的面积S的取值范围 【解析】 【分析】本题主要考查扇形面积、弧长公式的计算，垂径定理，圆周角定理等知识的综合，掌握其计算公式，数形结合分析是关键． （1）①根据题意得到线段是过圆心的直径，则，，是等腰直角三角形，由勾股定理得到，结合扇形面积公式即可求解； ②根据题意得到剪后剩余的面积，再算出扇形底面圆的面积，由此即可求解； （2）如图所示，过点作，连接，得到，即点共线，，，由扇形面积公式得到面积，在中，由勾股定理得到，由此得到点O与点E的距离； （3）根据（1）（2）的提示分类讨论即可求解． 【详解】解：（1）①如图所示，连接， ∵， ∴线段是过圆心的直径，则，， ∵是扇形， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，则， 解得，（负值舍去）， ∴扇形的面积； ②不能，理由如下， 已知扇形的面积， ∴剪下后剩余的面积为， ∵扇形半径为， ∴扇形的弧长， ∴底面圆的周长， ∴底面圆的半径， 在被剪掉的最大的一块余料中剪出一个最大的圆，设这个圆的半径为 由题意得： ∵ ∴ ∴不能从剪下的3块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面； （2）如图所示，过点作，连接， ∴，即点是的中点， ∵是等腰直角三角形， ∴，即点共线， ∴，， ∴扇形的面积， 在中，， ∴， ∴； （3）∵剪出一个圆心角为的扇形（点M，N在上），是等腰三角形， ∴， ∴的圆心角为，劣弧所对的圆心角为， 由（1）得到当剪出一个圆心角为的扇形时，， ∴当扇形的弦在直径外时，如图所示，连接， ∴， ∴，且， ∴是等边三角形， ∴， ∴扇形的面积； 当扇形的弦在直径上时，如图所示，连接，且点是的中点， ∴，，， ∴， 在中，，即， 解得，， ∴， ∴扇形的面积； 综上所述，扇形的面积S的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $