精品解析：江苏省盐城市阜宁县2024—2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年秋学期九年级期中学情调研数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：含有一个未知数，且未知数的次数为的整式方程是一元二次方程， ，其中，故原式不是一元二次方程，故选项A不符合题意； 含有两个未知数，且未知数的次数为，故不是一元二次方程，故选项B不符合题意； 含有分式，故不是一元二次方程，故选项C不符合题意； 符合一元二次方程的定义，选项D符合题意； 故选D． 2. 若一组数据2，3，5，，7的平均数是4，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平均数．熟练掌握算术平均数是解题的关键． 依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：依题意得，， 解得，， 故选：B． 3. 如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式求解即可得． 【详解】解：由图可知，圆锥的底面半径为，母线长为， 则圆锥的侧面积为， 即蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟记公式是解题关键． 4. 给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③以长为半径的圆有无数个；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（　　） A. ②④ B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆的认识，根据等圆、等弧和半圆的定义以及确定圆的条件，分别进行判断． 【详解】解：①半径相等的圆是等圆，故①正确； ②同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故②不正确； ③以长为半径的圆有无数个，没有指定圆心，故③正确； ④平面上不共线的三点能确定一个圆，故④不正确； 故选：B． 5. 如图，已知四边形是⊙的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角等知识．熟练掌握圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角是解题的关键． 由圆周角定理可得，由四边形是⊙的内接四边形，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是⊙的内接四边形， ∴， ∴， 故选：C． 6. 小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查数据平均数、众数、中位数方差的计算方法，根据中位数的定义求解可得． 【详解】解：依题意“■”该数据在30~40之间，则这组数据的中位数为， ∴“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据中位数． 故选：C． 7. 已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．先解一元二次方程，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案． 【详解】解：， ， 解得， 的半径是， ， 直线与的位置关系是相交． 故选B． 8. 若关于的一元二次方程有一个根2024，则方程必有一个根为（ ） A. 2026 B. 2024 C. 2023 D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，根据题意，得到方程必有一根为，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵一元二次方程有一个根2024， ∴必有一根为， 解得：； 故选：A． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知正六边形的半径为4，则这个正六边形的周长为______． 【答案】24 【解析】 【详解】因为圆的内接正六边形的中心角是60°， 所以正六边形的边长=半径=4， 所以这个正六边形的周长=4×6=24． 故答案为24 10. 某校食堂销售三种午餐盒饭的有关数据如图所示，该食堂销售午餐盒饭的平均价格是_______元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查获取扇形统计图信息，加权平均数，掌握获取扇形统计图信息，加权平均数，会利用加权平均数解决问题是关键．根据扇形统计图获取信息，利用加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：3种盒饭的价格平均数是（元）， 故答案为：． 11. 若将一元二次方程化为的形式，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方应用，先把配成完全平方式，得，即可得和的值，再代入，即可计算． 【详解】解：依题意， 因为， 所以， 即， 因为 所以，， 所以． 故答案为：． 12. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟知一元二次方程的定义是解题的关键：一般地，形如，a、b、c都是常数的方程叫做一元二次方程． 13. 如图，、分别为相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，若的周长为18，则长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，再根据三角形的周长进行计算即可． 【详解】解：切相切于点， ， 切相切于点， ， 切相切于点， ， 的周长为18， ， ， 故答案为：． 14. 如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝78°，则∠BOC＝_________度． 【答案】129 【解析】 【分析】根据三角形内心的定义以及三角形的内角和即可求解． 【详解】∵点O是△ABC的内切圆的圆心， ∴OB，OC分别为∠ABC，∠ACB的角平分线， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）， 又∵∠BAC=78°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-78°=102°， ∴∠OBC+∠OCB=102°÷2=51°， ∴∠BOC=180°-51°=129°， 故答案为：129． 【点睛】本题考查三角形的内心，理解三角形的内心是三条角平分线的交点是解题关键． 15. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点随之旋转，则________． 【答案】72 【解析】 【分析】本题主要考查了利用弧长求解圆心角．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：72 16. 如图，已知的半径为2，弦的长为．若在上找一点，使，______． 【答案】或 【解析】 【分析】如图，过点O作于，，垂足分别为H，Q，构造出直角三角形，根据垂径定理与勾股定理求得三角形的边长，求得和，再求出的度数即可． 【详解】解：如图，过点O作于，，垂足分别为H，Q， ∵的半径为2，弦的长为，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：； 综上：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，解直角三角形的应用，角的和差运算，清晰的分类讨论是解本题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答应写出文明说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解与直接开平方法解方程即可； （1）把方程化为，再化为两个一次方程，再解方程即可； （2）直接利用开平方法把方程化为或，再解两个一次方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或． ∴，． 【小问2详解】 解：， ∴或， 解得：，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点、、． （1）借助网格线画出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的位置（保留画图痕迹）； （2）连接、，圆心的坐标为__________，的半径为__________； （3）的长__________． 【答案】（1）画图见解析 （2），； （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆心必在圆内任意一条弦的垂直平分线上，只需要作出的垂直平分线，二者的交点即为点M； （2）由，利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）先证明，再利用弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图所示，画弦，弦的垂直平分线的交点，点M即为所求； ． 理由：∵弦，弦的垂直平分线的交点， ∴， ∴即为所求． 【小问2详解】 解：由（1）得：的坐标为：，而， ∴； 【小问3详解】 解：∵的坐标为：，而，， ∴，， ∴， ∴， ∴的长为：． 【点睛】本题主要考查了确定圆的圆心位置，勾股定理及其逆定理的应用，弧长的计算，正确求出圆心的位置是解题的关键． 19. 甲、乙两名运动员在相同条件下6次射击成绩的折线统计图如下： （1）填表： 平均成绩/环 中位数/环 众数/环 甲的射击成绩 8 ②__________ ③__________ 乙的射击成绩 ①__________ 8 8 （2）经计算乙运动员成绩的方差是平分环，请计算甲运动员成绩的方差，并判断甲乙两名运动员谁的成绩更稳定． （3）如果乙再射击1次，命中8环，那么他射击成绩的方差会________．（填“变大”“变小”或“不变”） 【答案】（1）见解析 （2）甲运动员成绩的方差，甲运动员的成绩更稳定 （3）变小 【解析】 【分析】（1）甲的射击成绩从小到大依次排列为6，7，8，9，9，9；乙的射击成绩从小到大依次排列为6，7，8，8，9，；然后根据中位数，平均数，众数求解作答即可； （2）先计算方差，然后根据方差越小越稳定判断作答即可； （3）根据方差求解作答即可． 【小问1详解】 解：由题意知，甲的射击成绩从小到大依次排列为6，7，8，9，9，9； 乙的射击成绩从小到大依次排列为6，7，8，8，9，； ∴甲成绩的中位数为，众数为9； 乙成绩的平均数为； 补表如下； 平均成绩/环 中位数/环 众数/环 甲的射击成绩 8 9 乙的射击成绩 8 8 8 【小问2详解】 解：由题意知，， ∵， ∴甲运动员的成绩更稳定； 【小问3详解】 解：∵乙成绩的平均数为8， ∴再射击1次，命中8环，他射击成绩的方差为， ∴会变小， 故答案为：变小． 【点睛】本题考查了中位数，平均数，众数，方差，方差与稳定性等知识．熟练掌握中位数，平均数，众数，方差，方差与稳定性是解题的关键． 20. 如图，，交⊙于点、，是半径，且于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2）的半径为． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的三线合一、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据垂径定理可得，然后根据线段和差即可得证； （2）连接，设的半径为，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 证明：∵，于点， ∴， 又∵是的半径，， ∴， ∴， 即． 【小问2详解】 解：如图，连接， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∵是的半径，，， ∴， 在中，，即， 解得， ∴的半径为． 21. 已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式； （1）由该方程有两个实数根得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，再根据得到，然后解关于的方程，最后利用的范围确定的值． 【小问1详解】 解：∵关于的方程有两个实数根． ∴ ， 解得； 【小问2详解】 解：根据题意得： ， ∵， ， 即 ， 整理得 ， 解得 ， ∵， ∴． 22. 如图，中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． （1）求证：与相切； （2）若，，试求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，如图，先根据角平分线的性质得到，然后根据切线的判定方法得到结论； （2）先利用勾股定理计算出，再证明得到，所以，设的半径为，在中利用勾股定理得到，则可方程求出，然后计算即可． 【小问1详解】 证明：过点作于点，如图， ∵平分交于点，， ， 与相切； 【小问2详解】 解：，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， 设的半径为，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质等等，解题的关键是通过过圆心作直线的垂线，证切线，利用勾股定理列方程求解． 23. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的30万人增加到2023年的万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套餐健身器材，该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1500元；若超过100套，每增加5套，所购健身器材的每套售价可降低15元，但每套售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付贷款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）购买的这种健身器材的套数为200套． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的30万人增加到2023年的万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数年均增长率为； 【小问2详解】 解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 当时，售价元，符合题意， 答：购买这种健身器材的套数为200套． 24. 如图，已知是半圆的直径，点在半圆上，，垂足为点，点是的中点，交于点，交于点． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若为，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）是等腰三角形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由圆周角定理可得，，进而可证，即可求证； （）利用圆心角和弧的关系可得，进而可得为等边三角形，即可得，，，最后根据即可求解． 【小问1详解】 解：是等腰三角形，理由如下： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∵， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：连接， ∵为， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，余角性质，等腰三角形的判定，圆心角和弧的关系，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弓形的面积，掌握圆的有关性质是解题的关键． 25. 如图，在中，，，，点从点出发沿边以的速度向点移动，同时，点从点出发沿边以的速度向点移动．当、两点中有一点到达终点时，另一点随之停止运动． （1）几秒后，的面积等于？ （2）在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以点为圆心，为半径的圆正好经过点？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1秒后，面积为； （2）不存在以点为圆心，为半径的圆正好经过点． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理的应用，圆的基本性质，由勾股定理列方程求解是解决问题的关键． （1）经过x秒钟的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长可列方程求解； （2）设运动时间x秒，则， ，，再由勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设经过x秒以后，面积为，此时， ， ， 由，得， 整理得：， 解得：，（舍）； 答：1秒后，面积为； 【小问2详解】 解：设运动时间为x秒，以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q时，则 ， ，， 由勾股定理，得， 整理，得， ∵， ∴方程无实数解， ∴不存在以点为圆心，为半径的圆正好经过点． 26. 我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形面积的不同方法计算，来验证勾股定理．、、分别是和的边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾氏方程”． 解决下列问题： （1）方程_______（填“是”或“不是”）“勾氏方程”； （2）求证：关于的“勾氏方程”必有实数根； （3）如图2，⊙的半径为8，、是位于圆心异侧的两条平行弦，，，．若关于的方程是“勾氏方程”，连接，求的度数． 【答案】（1）是 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“勾氏方程”的定义即可判断； （2）利用勾股定理以及“勾氏方程”的定义即可解决问题； （3）如图，连接，，作于E，作的延长线交于F，利用勾股定理求出，在利用全等三角形的判断与性质推导出即可解决问题． 【小问1详解】 解：是 “勾氏方程”，理由如下： ∵中，， ∴， ∴，能构成直角三角形， ∴方程是“勾氏方程”； 【小问2详解】 解：∵关于的方程是“勾氏方程”， ∴构成直角三角形，c是斜边， ∴， ∵， ∴， ∴关于的“勾氏方程”必有实数根． 【小问3详解】 解：连接，，作于E，作的延长线交于F，如下图：     ∵关于x的方程是“勾氏方程”， ∴，8构成直角三角形，8是斜边， ∴ ∵，， ∴，， ∴，， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理、一元二次方程根的判别式、全等三角形的判定及性质、圆周角定理，垂径定理的应用等知识，解题关键是挖掘新定义中最本质的关系：勾氏方程满足，利用这个关系即可转化边并证明边相等． 27. 【概念认识】 对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，将、两点间距离的最小值称为图形到图形的“最近距离”，记作．如图①，到正方形的“最近距离”就是点、之间的距离，即． 【概念理解】 如图②，在平面直角坐标系中，以为圆心，3为半径作圆． （1）若点的坐标为，则__________； （2）若点是轴上一点，，则__________； （3）将一次函数的图象记为图形，若，求的值． 【灵活运用】 （4）如图③，在平面直角坐标系中，已知点，，． 点是轴上的一点，设点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆．若，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）7；（2）2或4；（3）；（4）或或 【解析】 【分析】（1）连接，交于，由勾股定理得，，由题意知，，求解作答即可； （2）分别以2，4为半径作的同心圆，与轴的交点依次为，由题意知，当时，或，然后作答即可； （3）当时，，即一次函数的图象与轴的交点为，记一次函数为直线，则，作于，作轴于，则，由勾股定理得，，由，可求，由勾股定理得，，则，将代入得，，计算求解即可； （4）记与轴的交点为，作于，使，由图可知，当时，；由，，，可知，，则，，由勾股定理得，，则，同理，右侧；由图可知，当时，；当时，；然后作答即可． 【详解】（1）解：如图，连接，交于， 由勾股定理得，， 由题意知，， 故答案为：7； （2）解：如图，分别以2，4为半径作的同心圆，与轴的交点依次为， 由题意知，当时，或， 故答案为：2或4； （3）解：当时，，即一次函数的图象与轴的交点为， 如图，记一次函数为直线，则，作于，作轴于， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， 将代入得，， 解得，， ∴的值为； （4）解：如图，记与轴的交点为，作于，使， 由图可知，当时，； ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 同理，右侧； 由图可知，当时，； 当时，； 综上所述，的取值范围为或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，圆，一次函数解析式，点到直线的距离，等腰三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论或 数形结合的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋学期九年级期中学情调研数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C D. 2. 若一组数据2，3，5，，7的平均数是4，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 6 D. 5 3. 如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ） A. B. C. D. 4. 给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③以长为半径的圆有无数个；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（　　） A. ②④ B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 5. 如图，已知四边形是⊙的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 7. 已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行 8. 若关于的一元二次方程有一个根2024，则方程必有一个根为（ ） A. 2026 B. 2024 C. 2023 D. 2025 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知正六边形半径为4，则这个正六边形的周长为______． 10. 某校食堂销售三种午餐盒饭的有关数据如图所示，该食堂销售午餐盒饭的平均价格是_______元． 11. 若将一元二次方程化为形式，则_______． 12. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为______________． 13. 如图，、分别为相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，若的周长为18，则长是______． 14. 如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝78°，则∠BOC＝_________度． 15. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点随之旋转，则________． 16. 如图，已知的半径为2，弦的长为．若在上找一点，使，______． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答应写出文明说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点、、． （1）借助网格线画出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的位置（保留画图痕迹）； （2）连接、，圆心的坐标为__________，的半径为__________； （3）的长__________． 19. 甲、乙两名运动员在相同条件下6次射击成绩的折线统计图如下： （1）填表： 平均成绩/环 中位数/环 众数/环 甲的射击成绩 8 ②__________ ③__________ 乙的射击成绩 ①__________ 8 8 （2）经计算乙运动员成绩的方差是平分环，请计算甲运动员成绩的方差，并判断甲乙两名运动员谁的成绩更稳定． （3）如果乙再射击1次，命中8环，那么他射击成绩的方差会________．（填“变大”“变小”或“不变”） 20. 如图，，交⊙于点、，半径，且于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 21. 已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程有两个实数根，，且，求的值． 22. 如图，中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． （1）求证：与相切； （2）若，，试求的长． 23. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的30万人增加到2023年的万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套餐健身器材，该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1500元；若超过100套，每增加5套，所购健身器材的每套售价可降低15元，但每套售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付贷款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 24. 如图，已知是半圆的直径，点在半圆上，，垂足为点，点是的中点，交于点，交于点． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若为，，求阴影部分的面积． 25. 如图，在中，，，，点从点出发沿边以的速度向点移动，同时，点从点出发沿边以的速度向点移动．当、两点中有一点到达终点时，另一点随之停止运动． （1）几秒后，的面积等于？ （2）在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以点为圆心，为半径的圆正好经过点？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． 26. 我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形面积的不同方法计算，来验证勾股定理．、、分别是和的边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾氏方程”． 解决下列问题： （1）方程_______（填“是”或“不是”）“勾氏方程”； （2）求证：关于的“勾氏方程”必有实数根； （3）如图2，⊙半径为8，、是位于圆心异侧的两条平行弦，，，．若关于的方程是“勾氏方程”，连接，求的度数． 27. 【概念认识】 对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，将、两点间距离的最小值称为图形到图形的“最近距离”，记作．如图①，到正方形的“最近距离”就是点、之间的距离，即． 【概念理解】 如图②，在平面直角坐标系中，以为圆心，3为半径作圆． （1）若点的坐标为，则__________； （2）若点是轴上一点，，则__________； （3）将一次函数的图象记为图形，若，求的值． 【灵活运用】 （4）如图③，在平面直角坐标系中，已知点，，． 点是轴上的一点，设点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆．若，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$