· 第十七章 因式分解·阶段性测试 2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十七章 因式分解 ·阶段性测试 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得分 一、选择题（每小题3分，共18分） 1．多项式分解因式时应提取的公因式为（   ） A． B． C． D． 2．将多项式分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若可以用完全平方式来分解因式，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 4．已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 5．若，则的值为（    ） A． B． C． D．12 6．如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 评卷人 得分 二、填空题（每小题3分，共15分） 7．已知实数a，b满足，则 ． 8．分解因式： ． 9．因式分解： ． 10．如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是 ． 11．等腰的两边长为，，且则的周长为 ． 评卷人 得分 三、解答题（本大题共11小题，第12、13、14题各6分，第15、16、17题各7分，第18、19题各8分，第20、21题各10分，第22题12分，共87分） 12．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 13．先化简，再求值：，其中． 14．的三边长分别为，且，请判断是等边三角形还是等腰三角形？ 15．下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务． 因式分解： 解：原式  第一步   第二步   第三步 任务： (1)填空：以上解题过程中，第三步进行因式分解用到的方法是______法． (2)在同桌互查过程中，小明的同桌指出小明的因式分解结果是错误的，具体错误是______． (3)在小组交流过程中，大家发现这道题可以先运用公式法进行因式分解，再继续完成．请你按照这样的思路完成正确的因式分解过程． 16．已知为整数，试说明一定能被8整除． 17．若且，求的值． 18．【阅读与思考】请认真阅读下列材料，并完成相应的任务． 分解因式，我们可以按下面的方法解答． ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式：，． ．我们把这种因式分解的方法形象地称为十字相乘法． 【任务】试用十字相乘法把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 19．若一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，因为，再如：（x、y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请你判断29是否为“完美数”； (2)已知（x、y是整数，k是常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k的值，并说明理由． 20．阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解： ； ②求代数式 的最小值： ， 是非负数，即 则代数式． 的最小值是2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解： (2)求 的最小值； 21．如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是______； (2)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，长方形的面积等于80，且，求正方形与正方形的面积之差． 1 22．先阅读材料，再解答问题： 材料：因式分解：． 解：将看成整体，设，则原式， 再将代入，得． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想，请你用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)求证：无论为何值，式子的值一定是一个不小于1的数． 密 封 线 内 不 要 答 题 八年级上册·数学 2 0 2 5 （八上数学） 密 封 线 内 不 要 答 题 、 密 封 线 外 不 写 考 号 、 姓 名 班级 姓名 学校 数学试卷 第 2 页 考号 数学试卷 第 一 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 《第十七章因式分解》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B D B A A 1．B 解：多项式分解因式时应提取的公因式为：， 2．B 解：∵， ∴分解因式正确的是选项B． 3．D 解：∵可以用完全平方式来分解因式， ， 即， ，解得或． 4．B 解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 5．A 解：∵， ∴ ， 6．A 解：∵大正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9， ∴大正方形边长为，小正方形边长为， ∴，， 故①②正确； ∵四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积， ∴， ∴， 故③正确； ∴， 故④正确； ∴， 故⑤正确， ∴不正确的有0个， 7． 解：∵， ∴ 8． 解：． 故答案为：． 9． 解：原式 ； 故答案为： 10．84 解：大长方形的周长为12，面积为7 ，， ，， ， 11． 解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴，， 解得，， ∵等腰的三边长为、、， 当时，,不能构成三角形； 当时，的周长为； 综上，的周长为． 12．(1) (2) （1）解：． （2）解： ． 13．， 解： ， 当时，原式． 14．等腰三角形 解：是等腰三角形．理由如下： ， ∴， ， ， 故或． 显然边长， ∴， 故为等腰三角形． 15．(1)提公因式 (2)因式分解的结果不彻底，其中还可以进行因式分解 (3) （1）解：第三步中把8提取出来，并将其作为公因式，因此用到的方法为提公因式法， 故答案为：提公因式 （2）解：第三步中未对进行因式分解，应该利用平方差公式对其展开为， 故答案为：因式分解的结果不彻底，其中还可以进行因式分解 （3）解： 16．见解析 证明： ． 为整数， 能被8整除， 能被8整除． 17．4 解：∵， ∴， ∴，    ∴， 又∵，    ∴． 18．(1) (2) (3) （1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 19．(1)是 (2)时，为“完美数”，理由见解析 （1）解：， 是完美数， （2）解：时，为“完美数”，理由如下： ， ∵是整数， ∴，也是整数， ∴当，即，是完美数． 20．(1) (2) （1）解： （2）解： ∵ ∴ ∴ 代数式的最小值为 21．(1) (2)384 （1）解：∵正方形的面积等于边长的平方，即， 也等于两个小正方形的面积＋两个小长方形的面积，即， 故答案为：； （2）解：设正方形的边长为， 则 ， 设，则：正方形的边长为， ∵， ∴， ∵长方形的面积等于80， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的面积之差为． 22．(1) (2) (3)见解析 （1）解：令， 原式， 将“”还原，得原式； （2）解：令， 原式 ， 将“”还原，得： 原式； （3）证明：令， 原式 ， 将还原， 原式， 因为无论为何值， 所以． 即式子的值一定是一个不小于1的数． 第 1 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $