专题02 二次函数 7大高频考点（期末真题汇编，云南专用）九年级数学上学期

专题02 二次函数 8大高频考点概览 一、考点01二次函数的图像和性质 二、考点02二次函数的平移 三、考点03一般式化成顶点式 四、考点04二次函数图像与a,b,c的关系 五、考点05一次函数与二次函数图像判断 六、考点06二次函数与坐标轴交点问题 七、考点07商品利润问题 八、考点08二次函数实际应用问题 地 城 考点01 二次函数的图像和性质 1．（24-25九年级上·云南·期末）二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·云南昭通·期末）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）已知二次函数，下列说法不正确的是（      ） A．抛物线开口向下 B．函数图象经过点 C．对称轴为直线 D．顶点坐标为 4．（24-25九年级上·云南大理·期末）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·云南昭通·期末）当时，二次函数的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（24-25九年级上·云南·期末）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 8．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知抛物线（是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为，则；④抛物线是由抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到的．其中一定正确的是 ． 地 城 考点02 二次函数的平移 9．（24-25九年级上·云南·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式是（　　） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·云南昆明·期末）把抛物线向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点03 一般式化成顶点式 11．（24-25九年级上·云南昭通·期末）二次函数的对称轴方程和顶点坐标分别是（　　） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·全国·期中）抛物线顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）关于二次函数的性质，下列说法正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 地 城 考点04 二次函数图像与a,b,c的关系 14．（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．（18-19九年级上·浙江绍兴·阶段练习）二次函数的图象如图，则下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 16．（24-25九年级上·云南昭通·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，现有以下结论：，①；②；③；④；⑤，其中正确结论的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 19．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，这是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④点在二次函数图象上，若，则．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 地 城 考点05 一次函数与二次函数图像判断 20．（24-25九年级上·甘肃金昌·期中）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 21．（16-17九年级上·甘肃武威·期末）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（  ） A．   B．   C．    D．   22．（2011·湖南湘潭·中考真题）在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（  ） A． B． C． D． 地 城 考点06 二次函数与坐标轴交点问题 23．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，有下列结论：①；②；③方程的两个根是，；④当时，y随x增大而增大；⑤． 其中结论正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 24．（24-25九年级上·云南普洱·期末）已知二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 25．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ）    A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 26．（24-25九年级上·云南昆明·期末）已知二次函数（a为常数且）． (1)求证：当时，函数图象与x轴必有两个不同的交点； (2)若函数图象经过，两点，其中，且当时，总有，求的取值范围． 27．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当时，函数的最大值为3，求t的取值范围； (3)设m是抛物线与x轴交点的横坐标，记． 下列三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由． 28．（24-25九年级上·云南大理·期末）已知二次函数． (1)若该二次函数的图象与轴只有一个公共点，求的值； (2)若点在抛物线上，且抛物线与轴的交点的横坐标为，求代数式的值． 29．（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知抛物线与轴交于两点A，B（在的左侧），抛物线与轴交于两点在的左侧），且． (1)若抛物线经过点，求实数的值； (2)求与的交点坐标； (3)求证：． 30．（2025·浙江舟山·一模）已知二次函数 (1)当时 ①求二次函数图象与x轴的交点坐标； ②若点是二次函数图象上的点，且，求的最小值． (2)若点和在二次函数图像上，且点C在对称轴的左侧，求证：． 地 城 考点07 商品利润问题 31．（2025·云南玉溪·一模）2025年1月29日全国各影院上映奇幻动画电影《哪吒2》，截至2025年2月13日14时43分，该片总票房（含点映及预售）已突破100亿元，成为中国影史首部票房破100亿的电影，该片观影人次破2亿，成为中国影史首部观影人次破2亿的电影．某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 50 60 售出电影票数量y（张） 124 84 (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)该影院将电影票售价x定为多少时，每天的利润w（单位：元）最大？最大值是多少？（注：每天的利润票房收入运营成本） 32．（24-25九年级上·云南昭通·期末）某租赁公司提供某种设备的租赁服务，每台设备的月租金定价（单位：千元）与租出设备数量（单位：台）符合一次函数关系，下图是与的函数关系图象（其中），且每台设备的月维护成本为10千元． (1)求关于的函数解析式（也称关系式）； (2)当每台设备月租金定为多少千元时，租赁公司可获得最大利润？最大利润是多少千元？ 33．（24-25九年级上·云南昆明·期末）大理漾濞是核桃的起源地之一，漾濞核桃因其悠久的历史和卓越的品质，被誉为“漾濞核桃甲天下，独领风骚三千年”．某经销商通过调查发现：进价为20元／千克的核桃，当售价为25元／千克时，每天可售出250千克，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10千克．设该核桃的销售单价为元，日销售量为千克． (1)求日销售量与销售单价的函数关系式，并求出销售核桃的最大日利润． (2)临近春节，经销商做促销活动，顾客每购买一千克的核桃，就送一袋成本为元的小零，当为何值时，可实现日销售量不少于160千克，且最大日利润为2000元的目标？ 34．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）根据以下素材，完成探究学习任务． 如何为商家设计利润最大化的销售方案 素材1 某商家销售一种水果，成本价为10元/斤． 素材2 销售价不低于成本价，且物价部门规定该商品的销售价不得高于成本价的3倍． 素材3 在销售过程中发现，每天的销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）满足如图所示的一次函数关系： 问题解决 任务1 模型建立 （1）求每天的销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）的函数关系式； 任务2 拟定利润最大化的销售方案 （2）当该水果的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？ 35．（24-25九年级上·山东济宁·期中）某汽车店销售A，B两种型号的轿车，具体信息如下表∶ 汽车型号 每辆进价（万元） 每辆售价（万元） 每季度销量（辆） A 60 x B 50 根据以上信息解答下列问题： (1)今年第三季度该店销售A，B两种型号轿车的利润恰好相等（利润不为0），求x的值； (2)该店第四季度销售这两种轿车的总利润为y万元，求y的最大值． 36．（24-25九年级上·山东烟台·期中）某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元．销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … (1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 地 城 考点08 二次函数实际应用问题 37．（2023·陕西咸阳·三模）某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度为40米，桥拱的最大高度为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与的距离为5米的景观灯杆的高度为（    ） A．13米 B．14米 C．15米 D．16米 38．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）体育课上，同学们进行投篮比赛，小明在投篮（如下图）过程中，从篮球出手到篮球未落地期间篮球离地面的高度（h）与投球时间（t）的函数关系可用以下哪个图象表示（   ） A． B． C． D． 39．（24-25九年级上·云南昆明·期末）跳台滑雪可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，落地点越远，飞行距离分越高．为寻找更为有利的起跳条件，小官利用红外摄像仪记录了运动员从起跳点起跳后的飞行高度与水平距离之间的五组数据，统计如下表，并绘制函数图像如下图． 0 10 20 30 40 54.0 57.8 57.6 53.4 45.6 根据以上信息，可知与的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 试卷第12页，共12页 试卷第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 8大高频考点概览 一、考点01二次函数的图像和性质 二、考点02二次函数的平移 三、考点03一般式化成顶点式 四、考点04二次函数图像与a,b,c的关系 五、考点05一次函数与二次函数图像判断 六、考点06二次函数与坐标轴交点问题 七、考点07商品利润问题 八、考点08二次函数实际应用问题 地 城 考点01 二次函数的图像和性质 1．（24-25九年级上·云南·期末）二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．根据二次函数的顶点式即可解答． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：D． 2．（24-25九年级上·云南昭通·期末）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式的顶点坐标为是解题的关键． 利用顶点式可直接得到抛物线的顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 故选：B． 3．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）已知二次函数，下列说法不正确的是（      ） A．抛物线开口向下 B．函数图象经过点 C．对称轴为直线 D．顶点坐标为 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．由，可判断A选项；求出当时的函数值，可判断B选项；根据二次函数顶点式可判断C、D选项． 【详解】解：A、，抛物线开口向下，原说法正确，不符合题意； B、当时，，则函数图象经过点，原说法错误，符合题意； C、对称轴为直线，原说法正确，不符合题意； D、顶点坐标为，原说法正确，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25九年级上·云南大理·期末）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的对称轴直线，增减性是解题的关键． 根据二次函数解析式可得图象开口向上，对称轴直线为，当时，随的增大而减小，离对称轴直线越远，值越大，当时，随的增大而增大，离对称轴直线越远，值越大，由此即可求解． 【详解】解：在二次函数中，， ∴图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，随的增大而减小，离对称轴直线越远，值越大，当时，随的增大而增大，离对称轴直线越远，值越大， ∵， ∴，即， 故选：D ． 5．（24-25九年级上·云南昭通·期末）当时，二次函数的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键． 利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最小值，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：． ， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，随的增大而减少，当时，随的增大而增大， ∵当时，函数有最小值， 分两种情况讨论： 若时，当时，的最小值是， ； 若时，当时，的最小值是， ， 解得：， 综上，或， 故选：C． 6．（24-25九年级上·云南·期末）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查抛物线的图象性质，熟练掌握利用抛物线的对称性比较函数值大小是解题的关键． 先将抛物线解析式化成顶点式，得出抛物线开口向，对称轴为直线，从而求得当时，y随x增大而减小，再根据关于直线的对称点为，然后由，根据抛物线的性质得出结果 ． 【详解】解：∵ ∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而减小， ∵关于直线的对称点为， 又∵， ∴． 故选：D． 7．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的对称轴．根据二次函数一般式的对称轴公式：直线计算即可． 【详解】解：由题意，抛物线的对称轴为直线， 故选：A． 8．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知抛物线（是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为，则；④抛物线是由抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到的．其中一定正确的是 ． 【答案】②③/③② 【分析】根据顶点坐标判断、的正负性，由此判断①；根据开口方向和对称轴判断②；用表示、，再解方程判断③；根据平移法则判断④． 【详解】解：∵抛物线的顶点为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的符号无法判断，故结论①错误； ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故结论②正确； ∵，， ∴， ∵的一个根为， ∴， ∴，故结论③正确； ∵抛物线的顶点为， ∴， ∴将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到，故结论④错误； ∴一定正确的是②③． 故答案为：②③． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解的定义，用表示、的值是解题的关键． 地 城 考点02 二次函数的平移 9．（24-25九年级上·云南·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟记平移变换的基本法则是解答本题的关键．根据“上加下减，左加右减”的法则解答即可． 【详解】解：先将抛物线先向右平移2个单位长度，得到抛物线的函数解析式为：；再将抛物线向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的函数解析式为：， 故选：D． 10．（24-25九年级上·云南昆明·期末）把抛物线向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换．根据函数图象平移的法则“上加下减，左加右减”解答即可． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线是． 故选：C． 地 城 考点03 一般式化成顶点式 11．（24-25九年级上·云南昭通·期末）二次函数的对称轴方程和顶点坐标分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查把抛物线的一般式化为顶点式，求抛物线的顶点坐标，对称轴方程，利用配方法把变形为顶点式即可． 【详解】解：， 可得对称轴方程为，顶点坐标为， 故选：A． 12．（24-25九年级上·全国·期中）抛物线顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次函数顶点坐标，将二次函数一般式改为顶点式即可直接得出其顶点坐标，这也是解题关键． 【详解】解：∵， ∴该抛物线顶点坐标是． 故选C． 13．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）关于二次函数的性质，下列说法正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．将解析式化为顶点式，得出开口向下，对称轴为直线,顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：关于二次函数， 则，开口向下，故选项A错误； 对称轴为直线，故选项B错误； 顶点坐标为，故选项C错误； 当时，y随x的增大而减小，故选项D正确； 故选：D． 地 城 考点04 二次函数图像与a,b,c的关系 14．（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据二次函数图象判断系数的大小，平面直角坐标内的点所在的象限， 根据抛物线的开口方向可得，与y轴交点在负半轴可得，再判断点所在的象限． 【详解】解：根据图象可知，， ∴点在第四象限． 故选：D． 15．（18-19九年级上·浙江绍兴·阶段练习）二次函数的图象如图，则下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据抛物线的开口方向，对称轴以及图象与轴的交点判断、、的符号即可求解． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 对称轴在轴的右侧， ，则， 图象与轴的交于负半轴， ， ，，， 故选：C． 16．（24-25九年级上·云南昭通·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图像与系数的关系． 由开口方向和对称轴与y轴的交点可确定A、B的对错，由特殊点的位置可确定C、D的对错． 【详解】解：由抛物线的开口向下知， 由对称轴为，得，则， B选项错误，符合题意； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴ ∴，A选项正确，不符合题意； 由二次函数图象可知，抛物线与轴的一个交点为，对称轴为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，，则，故D正确，不符合题意； 当时，，即，则，故C正确，不符合题意； 故选：B． 17．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，现有以下结论：，①；②；③；④；⑤，其中正确结论的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与坐标轴的交点位置可逐一判断． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ， ，③错误， 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，①错误． 时，，④错误． ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故②正确； 时取最大值， ，即，⑤正确． 故选：B． 18．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用． 根据对称轴位置及图象开口向上可判断出a、b、c的符号，从而判断①；利用对称轴，可判断②；利用对称轴和开口向上，即可判断最小值，从而判断③的正误；由二次函数的性质即可判断④． 【详解】解∶①函数图象开口方向向上， ， 对称轴在y轴右侧， 异号， ， 抛物线与y轴交点在y轴负半轴， ， ，故①错误； ②二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线， ， ， ，故②正确； ③点关于直线的对称点为， 时，，时，， 即，故③错误； ④对称轴为直线，， 为最小值， ， ，故④正确； 综上所述，正确的有②④， 故选：C． 19．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，这是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④点在二次函数图象上，若，则．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号．熟练掌握二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号是解题的关键． 由图象开口向上，可得，由对称轴是直线，可得，则，可判断②的正误；当时，，则，可判断①的正误；当时，，由，可得，，则，可判断③的正误；若，由于两点与对称轴的位置关系不确定，则不一定成立，可判断④的正误． 【详解】解：由图象开口向上，可得， 又对称轴是直线， ∴，，故②错误； 当时，， ∴，故①正确； 当时，， 又∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴，故③正确； 由题意，对称轴是直线， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 若，由于两点与对称轴的位置关系不确定， 不一定成立，故④错误． 故选：B． 地 城 考点05 一次函数与二次函数图像判断 20．（24-25九年级上·甘肃金昌·期中）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质和二次函数的图象与性质，根据函数的图象与系数的关系逐项分析判断即可． 【详解】当时，一次函数的图象过第一、三象限，二次函数的图象开口向上，故C、D不符合题意； 再由A、B选项中，二次函数的图象可知，故，因此A不符合题意， 故选：B． 21．（16-17九年级上·甘肃武威·期末）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（  ） A．   B．   C．    D．   【答案】A 【分析】本题考查二次函数和一次函数的图像与性质，解决问题的关键是数形结合．根据图象判断出两个函数的系数的符号，即可求解． 【详解】解：A、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项正确； B、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项错误； C、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项错误； D、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项错误； 故选：A． 22．（2011·湖南湘潭·中考真题）在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可先由一次函数y=ax+1图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+a的图象相比较，看是否一致． 【详解】A．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，a＞0，二次项系数为负数，与二次函数y=x2+a矛盾，错误； C．由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，正确； D．由直线可知，直线经过（0，1），错误． 故选：C． 【点睛】正确理解一次函数和二次函数的性质是解答本题的关键. 地 城 考点06 二次函数与坐标轴交点问题 23．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，有下列结论：①；②；③方程的两个根是，；④当时，y随x增大而增大；⑤． 其中结论正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】由抛物线与x轴有2个交点即，可判断①；由抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，而对称轴在y轴右侧，可判断a、b、c的正负即可判断②；由抛物线的对称轴为直线，点关于直线的对称点的坐标为即可判断③；由抛物线的对称轴为直线，可判断④；由对称轴，可得，图象可知，当时，，代入化简即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点， ∴，即，故①正确． ∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴，而对称轴在y轴右侧， ∴，而， ∴，因此，，故②错误． ∵抛物线的对称轴为直线，而点关于直线的对称点的坐标为， ∴方程的两个根是，故③正确． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故④正确． ∵，即， 观察图象可知，当时，， ∴，即，故⑤不正确． 综上所述，①③④正确，正确结论有3个， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数与系数关系，二次函数的图象与性质，以及抛物线与坐标轴的交点问题，数形结合是解答本题的关键． 24．（24-25九年级上·云南普洱·期末）已知二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由题意知，，，，则，进而可判断A、C的正误；根据抛物线与x轴的交点个数，即可判断B正误；当，，则，可判断D的正误． 【详解】解：由题意知，，，， ∴，即， ∴，故A、C错误，不符合要求； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴，有两个解， ∴，即，故B错误，不符合题意； 当，， ∴，故D正确，符合题意． 故选：D． 25．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ）    A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D． 【详解】解∶ ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误； ∵抛物线开口向下， 对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确， 故选D． 26．（24-25九年级上·云南昆明·期末）已知二次函数（a为常数且）． (1)求证：当时，函数图象与x轴必有两个不同的交点； (2)若函数图象经过，两点，其中，且当时，总有，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明即可解决问题； （2）用含a的代数式表示出和，再利用作差法即可解决问题． 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴交点问题，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， 又 ， ， 二次函数的图象与轴必有两个不同的交点； （2）解：将两点坐标代入函数解析式, 得， ， 两式相减得，， 又， ， 当时，总有， ， 解得， 的取值范围是：． 27．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当时，函数的最大值为3，求t的取值范围； (3)设m是抛物线与x轴交点的横坐标，记． 下列三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)正确，理由见解析 【分析】（1）由“抛物线的对称轴为直线”可得，解方程即可求出的值，进而可得抛物线的函数解析式； （2）先将二次函数化成顶点式，由二次函数的图象与系数的关系及二次函数的最值可知，时y有最大值3，结合已知条件“时，函数的最大值为3”，可得一元一次不等式组，解不等式组即可求出t的取值范围； （3）由题意得，于是可得，进而可得，，，在此基础上可推出，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， 根据题意得：， 解得：， 抛物线的函数解析式为； （2）解：， ， 时，y有最大值，最大值为3， 时，函数的最大值为3， ， 解得：， 的取值范围是； （3）解：③正确，理由如下： 由题意得：， ， ， ， ， 即：， ， 即：， ， ， ， ， ， 答：③正确． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，的图象与性质，解一元一次方程，把化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值，解一元一次不等式组，抛物线与轴的交点问题，一元二次方程的解的定义，代数式求值，科学记数法—表示较大的数等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质，根据已知条件推出是解题的关键． 28．（24-25九年级上·云南大理·期末）已知二次函数． (1)若该二次函数的图象与轴只有一个公共点，求的值； (2)若点在抛物线上，且抛物线与轴的交点的横坐标为，求代数式的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、一元二次方程根的判别式和方程解的定义． （1）根据题意得到方程有两个相等的实数根，则，即可求出的值； （2），，整体代入约分即可得到答案． 【详解】（1）解：函数是二次函数，若函数的图象与轴只有一个公共点，则方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； （2）把代入中，得 ∴ ∵抛物线与轴的交点的横坐标为， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， ∴． 29．（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知抛物线与轴交于两点A，B（在的左侧），抛物线与轴交于两点在的左侧），且． (1)若抛物线经过点，求实数的值； (2)求与的交点坐标； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与轴的交点等知识点，解题的关键是掌握二次函数与轴的交点求解方法． （1）将点代入即可求解． （2）联立和，结合，解出，即可解答． （3）分别求出，结合即可证明． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得：． （2）解：由题意得， ， ， ∴解得：． 当时，， 与的交点坐标为． （3）证明：当时，， 解得：， ； 当时，，解得：， ， ， ， 即， ， 则有：， ， ． 30．（2025·浙江舟山·一模）已知二次函数 (1)当时 ①求二次函数图象与x轴的交点坐标； ②若点是二次函数图象上的点，且，求的最小值． (2)若点和在二次函数图像上，且点C在对称轴的左侧，求证：． 【答案】(1)①二次函数图象与x轴的交点坐标为；②的最小值为． (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴交点情况，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）①将代入中，得到二次函数解析式，再当时，有，求解该方程，即可解题； ②根据题意得到，利用二次函数解析式表示出，进而得到，再结合二次函数最值情况求解，即可解题； （2）根据题意得到二次函数对称轴为直线，进而推出，再分别表示出，进而表示出，再结合求解，即可解题． 【详解】（1）解①：当时，， 当时，有， 解得， 二次函数图象与x轴的交点坐标为； ②点是二次函数图象上的点，且， ， ， ， ， 的最小值为． （2）证明：二次函数， 二次函数对称轴为直线， 点C在对称轴的左侧， ，即， 点和在二次函数图像上， ， ， ， ， ， ， ． 地 城 考点07 商品利润问题 31．（2025·云南玉溪·一模）2025年1月29日全国各影院上映奇幻动画电影《哪吒2》，截至2025年2月13日14时43分，该片总票房（含点映及预售）已突破100亿元，成为中国影史首部票房破100亿的电影，该片观影人次破2亿，成为中国影史首部观影人次破2亿的电影．某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 50 60 售出电影票数量y（张） 124 84 (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)该影院将电影票售价x定为多少时，每天的利润w（单位：元）最大？最大值是多少？（注：每天的利润票房收入运营成本） 【答案】(1) (2)该影院将电影票售价x定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式． （1）根据题意和表格中的数据，可以计算出y与x之间的函数关系式； （2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质和x的取值范围，可以求得该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式是， 由表格可得，， 解得， 即y与x之间的函数关系式是（，且x是整数）； （2）解：由题意可得， ， ∵，且x是整数， ∴当或41时，w取得最大值，此时， 答：该影院将电影票售价x定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元． 32．（24-25九年级上·云南昭通·期末）某租赁公司提供某种设备的租赁服务，每台设备的月租金定价（单位：千元）与租出设备数量（单位：台）符合一次函数关系，下图是与的函数关系图象（其中），且每台设备的月维护成本为10千元． (1)求关于的函数解析式（也称关系式）； (2)当每台设备月租金定为多少千元时，租赁公司可获得最大利润？最大利润是多少千元？ 【答案】(1) (2)当每台设备月租金定为 20 千元时，租赁公司每月出租该设备可获得最大利润，最大利润是 200 千元． 【分析】本题主要考查了求一次函数的关系式，二次函数的应用，求二次函数的最大值， 【详解】（1）解：由函数图象，可设， 函数图象过点， ∴， 解得： ， 关于的函数解析式为； （2）解：设租赁公司每月出租该设备获得的利润为千元， 则 ， 因此抛物线的开口向下，当 时，有最大值为 200 ． 又因为， 所以，当每台设备月租金定为 20 千元时，租赁公司每月出租该设备可获得最大利润， 最大利润是 200 千元． 33．（24-25九年级上·云南昆明·期末）大理漾濞是核桃的起源地之一，漾濞核桃因其悠久的历史和卓越的品质，被誉为“漾濞核桃甲天下，独领风骚三千年”．某经销商通过调查发现：进价为20元／千克的核桃，当售价为25元／千克时，每天可售出250千克，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10千克．设该核桃的销售单价为元，日销售量为千克． (1)求日销售量与销售单价的函数关系式，并求出销售核桃的最大日利润． (2)临近春节，经销商做促销活动，顾客每购买一千克的核桃，就送一袋成本为元的小零，当为何值时，可实现日销售量不少于160千克，且最大日利润为2000元的目标？ 【答案】(1)；2250元 (2)1.5 【分析】本题考查一次函数和二次函数在实际销售问题中的应用，解题的关键是根据题目条件建立函数关系式，并利用二次函数的性质求解最值和相关参数． （1）先根据销售单价和销售量的变化关系得出销售量与销售单价的函数关系式，再根据利润公式得出利润关于销售单价的函数，最后根据二次函数性质求最大利润． （2）根据促销活动后的利润公式列出函数式，结合销售量的条件，求出的值． 【详解】（1）解：已知销售单价为元，当售价为25元／千克时，每天可售出250千克，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10千克， 则销售量与销售单价的函数关系式为：， 故日销售量与销售单价的函数关系式是：， 设销售核桃的日利润为元， 则有， 整理得：， ， 因为，二次函数图象开口向下， 所以当时，w有最大值，元， 答：日销售量与销售单价的函数关系式是：，销售核桃的最大日利润为2250元； （2）解：， ， 又， ， ， ， 由于抛物线的对称轴为直线， ，抛物线开口向下，， 当，随的增大而增大， 当时，， 解得：． 即当m为时，可实现日销售量不少于160千克，且最大日利润为2000元的目标． 34．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）根据以下素材，完成探究学习任务． 如何为商家设计利润最大化的销售方案 素材1 某商家销售一种水果，成本价为10元/斤． 素材2 销售价不低于成本价，且物价部门规定该商品的销售价不得高于成本价的3倍． 素材3 在销售过程中发现，每天的销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）满足如图所示的一次函数关系： 问题解决 任务1 模型建立 （1）求每天的销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）的函数关系式； 任务2 拟定利润最大化的销售方案 （2）当该水果的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）；（2）当该水果的销售单价为25元/斤时，该商家获得的利润最大，最大利润是1800元 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的实际应用： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设商家获得的利润为W元，根据总利润等于单件利润乘以销售量列出W关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为， 点，在的图象上， ；解得， 与x之间的函数关系式为； （2）设商家获得的利润为W元， 根据题意得：， ，当时，W取得最大值，最大值为（元）， 当该水果的销售单价为25元/斤时，该商家获得的利润最大，最大利润是1800元． 35．（24-25九年级上·山东济宁·期中）某汽车店销售A，B两种型号的轿车，具体信息如下表∶ 汽车型号 每辆进价（万元） 每辆售价（万元） 每季度销量（辆） A 60 x B 50 根据以上信息解答下列问题： (1)今年第三季度该店销售A，B两种型号轿车的利润恰好相等（利润不为0），求x的值； (2)该店第四季度销售这两种轿车的总利润为y万元，求y的最大值． 【答案】(1)90 (2)675万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确列出一元二次方程以及关于的函数关系式是解此题的关键． （1）根据“今年第三季度该店销售A，B两种型号轿车的利润恰好相等”列出一元二次方程，解方程即可得解； （2）根据题意得出关于的函数关系式，再结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 整理得：， 解得，， ∵时利润为0， ∴x的值为90； （2）解：由题意得： ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为675， 答：该店第四季度销售这两种轿车能获得的最大利润为675万元． 36．（24-25九年级上·山东烟台·期中）某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元．销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … (1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润是1248元 【分析】本题考查一次函数，二次函数的实际应用．理解题意，掌握利用待定系数法求函数解析式和正确的找出等量关系，列出等式是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设每天所获利润为w元，根据题意可列出关于w与x的关系式，再利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 根据表格可得：， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：设每天所获利润为元， 根据题意有：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润是1248元． 地 城 考点08 二次函数实际应用问题 地 城 考点08 二次函数实际应用问题 37．（2023·陕西咸阳·三模）某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度为40米，桥拱的最大高度为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与的距离为5米的景观灯杆的高度为（    ） A．13米 B．14米 C．15米 D．16米 【答案】C 【分析】以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为，将点B坐标代入求得抛物线解析式，再求当时y的值即可． 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系， 设抛物线表达式为， 由题意可知，B的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，． 答：与距离为5米的景观灯杆的高度为15米， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键． 38．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）体育课上，同学们进行投篮比赛，小明在投篮（如下图）过程中，从篮球出手到篮球未落地期间篮球离地面的高度（h）与投球时间（t）的函数关系可用以下哪个图象表示（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题与二次函数（投球问题），弄清篮球离地面的高度（h）与投球时间（t）的函数关系是解题的关键． 根据篮球离地面的高度（h）与投球时间（t）的函数关系及所给图象进行判断即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：，故排除、选项， 且只有从篮球出手到篮球接触篮筐期间，其离地面的高度（h）与投球时间（t）的函数关系为抛物线， 故选：． 39．（24-25九年级上·云南昆明·期末）跳台滑雪可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，落地点越远，飞行距离分越高．为寻找更为有利的起跳条件，小官利用红外摄像仪记录了运动员从起跳点起跳后的飞行高度与水平距离之间的五组数据，统计如下表，并绘制函数图像如下图． 0 10 20 30 40 54.0 57.8 57.6 53.4 45.6 根据以上信息，可知与的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据所画图象可判断y与x的函数关系式是二次函数关系式，则设，然后把三组对应值代入得到a、b、c的方程组，从而解方程组得到函数解析式． 【详解】解：设y与x的函数关系式为， 把，，分别代入得 ， 解得， 所以y与x的函数关系式为． 故选：D． 试卷第34页，共34页 试卷第1页，共35页 学科网（北京）股份有限公司 $