专题09 锐角三角函数 2大高频考点（期末真题汇编，云南专用）九年级数学上学期

专题09 锐角三角函数 2大高频考点概览 一、考点01 锐角三角函数 二、考点02 解直角三角形 地 城 考点01 锐角三角函数 1．（16-17九年级下·全国·单元测试）如图，一个斜坡长130，坡顶离水平地面的距离为50，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（    ） A． B． C． D． 2．（2017·贵州贵阳·中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为 ． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）（1）计算： （2）分解因式： 4．（2025·云南玉溪·一模）计算：． 5．（2025·四川成都·二模）（）计算：； （）解不等式组：． 6．（2024九年级下·云南·学业考试）计算：． 7．（2024·山东菏泽·一模）计算：． 8．（19-20九年级上·浙江宁波·期末）计算：. 地 城 考点02 解直角三角形 9．（2024九年级下·云南·学业考试）如图，计划在一块等边三角形的空地上种植花卉，以美化环境．若米，则这个等边三角形的面积为（    ）． A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 10．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，，，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 11．（2022·广西·中考真题）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 12．（2025·安徽·一模）如图，菱形的两个顶点B，D在反比例函数的图象上，对角线与的交点恰好是坐标原点O，已知点，则k的值是 ． 13．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：与相切； (2)若，，试求的长． 14．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，为的直径，的平分线交于点，为的切线，，连接． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，求的值． 15．（2024·河北·中考真题）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面） (1)求的大小及的值； (2)求的长及的值． 16．（2024·云南·中考真题）如图，是的直径，点、是上异于、的点．点在外，，延长与的延长线交于点，点在的延长线上，，．点在直径上，，点是线段的中点． (1)求的度数； (2)求证：直线与相切： (3)看一看，想一想，证一证： 以下与线段、线段、线段有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 17．（2023·广东湛江·二模） 如图，在中，弦与弦相交于点，于点，过点的直线与的延长线交于点，．    (1)若，求证：是的切线． (2)若，，求的半径． (3)请问的值为定值吗？如是，请写出计算过程 试卷第2页，共5页 试卷第2页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 锐角三角函数 2大高频考点概览 一、考点01 锐角三角函数 二、考点02 解直角三角形 地 城 考点01 锐角三角函数 1．（16-17九年级下·全国·单元测试）如图，一个斜坡长130，坡顶离水平地面的距离为50，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图（见解析），先利用勾股定理求出AC的长，再根据正切三角函数的定义即可得． 【详解】如图，由题意得：是斜坡与水平地面的夹角， 由勾股定理得：， 则， 即这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、正切，熟练掌握正切三角函数的定义是解题关键． 2．（2017·贵州贵阳·中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为 ． 【答案】3 【详解】连接OB， ∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形， ∴∠BOM= =30°， ∴OM=OB•cos∠BOM=6× =3， 故答案为3． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）（1）计算： （2）分解因式： 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先计算特殊角三角函数值，再计算二次根式乘法、负整数指数幂、绝对值，再计算加减法即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 【点睛】本题主要考查了分解因式，二次根式的混合计算，负整数指数幂，绝对值的性质，求特殊角三角函数值，熟练掌握因式分解的方法，负整数指数幂、二次根式、绝对值以及特殊角的三角函数值等考点的运算是解本题的关键． 4．（2025·云南玉溪·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，涉及特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂；先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再化简二次根式，最后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 5．（2025·四川成都·二模）（）计算：； （）解不等式组：． 【答案】（）；（） 【分析】（）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质和立方根的定义分别计算，再合并即可求解； （）分别求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分即可求解； 本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为． 6．（2024九年级下·云南·学业考试）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先化简绝对值，计算零指数幂，负整数指数幂，二次根式的平方运算，代入特殊角的三角函数值，最后再计算乘法运算，最后计算加减运算． 【详解】解：原式 ． 7．（2024·山东菏泽·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的性质、绝对值，根据特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的性质、绝对值进行化简，再计算加减即可得出答案． 【详解】解： ． 8．（19-20九年级上·浙江宁波·期末）计算：. 【答案】. 【分析】将特殊三角函数值代入求解. 【详解】解： . 【点睛】本题考查的知识点是特殊三角函数值，解题关键是熟记特殊三角函数值. 地 城 考点02 解直角三角形 9．（2024九年级下·云南·学业考试）如图，计划在一块等边三角形的空地上种植花卉，以美化环境．若米，则这个等边三角形的面积为（    ）． A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质， 解直角三角形，过点A作交与点D．利用等边三角形的性质以及解直角三角形可求出，最后根据三角形的面积求解即可． 【详解】解：过点A作交与点D． ∵为等边三角形，且(米)， ∴(米)， ∴(平方米)， 故选；A． 10．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，，，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出． 【详解】解：如图，过点A作于点D． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 11．（2022·广西·中考真题）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα=，代入AB值即可求解． 【详解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°， ∴sinα=， ∴BC= sinαAB=12 sinα（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键． 12．（2025·安徽·一模）如图，菱形的两个顶点B，D在反比例函数的图象上，对角线与的交点恰好是坐标原点O，已知点，则k的值是 ． 【答案】 【分析】过点A、B作轴垂线，垂足为，证明，结合，由点A的坐标即可求出点B的坐标，即可求出k值． 【详解】解：四边形是菱形， ∴，平分 ， ， ∴， 过点A、B作轴垂线，垂足为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 点在反比例函数的图象上， ， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，涉及菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，求出点B是解题的关键． 13．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：与相切； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了圆与三角形的综合，角平分线性质，圆的切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，一元一次方程解决实际问题等知识点，熟练掌握各性质定理是解题的关键． （1）作 于点，根据角平分线性质得 ，得点 在 上，即得 与 相切； （2）根据勾股定理求得，表示出，根据切线性质定理表示出所需要的边，根据勾股定理列出关于 的方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）证明： 如图，作 于点 ， ， 平分 交 于点 ， 于点 ， ， 是 的半径，， 点 在 上， 是 的半径，且 ， 与 相切． （2） 解： ，，， ， ， ， 是 的半径，且 ， 是 的切线， ， ， ， ， ， ， ， 的长为 3． 14．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，为的直径，的平分线交于点，为的切线，，连接． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）根据直径所对的角为直角可得，再利用角平分线的定义可得，然后根据同弧所对的圆周角相等即可求得答案 （2）先证明，结合可得，进而证明，即可得出、、三点在同一直线上，即可证明结论； （3）过点作交于点，在中，，再证明，可得，继而求出，由此即可解题． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵ ∴， （2）∵为的直径， 为的切线， ∴，， ∴ ∵，即：， ∴， ∴， ∴、、三点在同一直线上， ∴； （3）如图，过点作，垂足为， ∵， ∴在中，， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∵ ∴． ∴， ∴，即， ∴ 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键． 15．（2024·河北·中考真题）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面） (1)求的大小及的值； (2)求的长及的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键； （1）根据题意先求解，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案； （2）利用勾股定理先求解，如图，过作于，结合，设，则，再建立方程求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ，， ∴，，， ∴， ∴，； （2）解：∵，， ∴， 如图，过作于， ∵，设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴． 16．（2024·云南·中考真题）如图，是的直径，点、是上异于、的点．点在外，，延长与的延长线交于点，点在的延长线上，，．点在直径上，，点是线段的中点． (1)求的度数； (2)求证：直线与相切： (3)看一看，想一想，证一证： 以下与线段、线段、线段有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）直接利用直径所对的圆周角是直角，即可得出结果； （2）证明，得到，根据平角的定义，得到，即可得证； （3）连接，连接交于点，易得，圆周角定理得到，推出，进而得到，根据三角函数推出，得到三点共线，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是的直径，点是上异于、的点， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴直线与相切； （3）我认为：正确，理由如下： 连接，连接交于点，如图，则：， ∴点在线段的中垂线上， ∵， ∴点在线段的中垂线上， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 17．（2023·广东湛江·二模） 如图，在中，弦与弦相交于点，于点，过点的直线与的延长线交于点，．    (1)若，求证：是的切线． (2)若，，求的半径． (3)请问的值为定值吗？如是，请写出计算过程 【答案】(1)见解析 (2) (3)是定值；理由见解析 【分析】（1）等边对等角，得到，根据等角的余角，得到，进而得到，即可； （2）平行得到，垂径定理，得到，进而得到，求出的长，连接，设圆的半径为r，则，利用勾股定理进行求解即可； （3）证明，得到，得到，代入求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴，即， ∴， ∵是的弦， ∴点B在上， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 连接，如图1所示：    设圆的半径为r，则， 在中，， 即， 解得：； （3）解：是定值；理由如下： 连接，如图2所示：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，垂径定理，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 试卷第4页，共18页 试卷第18页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $