专题08 相似 4大高频考点（期末真题汇编，云南专用）九年级数学上学期

专题08相似 4大高频考点概览 一、考点01 相似三角形的判定 二、考点02 相似三角形的性质 三、考点03 相似三角形性质和判定综合 四、考点04 位似 地 城 考点01 相似三角形的判定 1．（22-23九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，已知是的边上一点，根据下列条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可． 【详解】∵是公共角， ∴再加上或都可以证明，故A，B可证明， C选项中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能证明． ∵， 若再添加，即，可证明，故D可证明． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 2．（2015·湖北荆州·中考真题）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． D． 【答案】D 【详解】解：A．当∠ABP=∠C时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； B．当∠APB=∠ABC时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； C．当时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D． 3．（2016·山东泰安·中考真题）如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（ ）   A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【详解】∵△ABC是正三角形， ∴∠B=∠C=60°， ∵∠BPD+∠APD=∠C+∠CAP,∠APD=60°， ∴∠BPD=∠CAP， ∴△BPD∽△CAP， ∴BP:AC=BD:PC， ∵正△ABC的边长为4，BP=x，BD=y， ∴x:4=y:(4−x)， ∴y=−x2+x. 故选C. 点睛：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图象获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题能力、解决问题能力.用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图. 4．（23-24九年级下·云南·月考）如图，要使，需要补充一个条件可以是 ．（只需要填写一个即可） 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定，常用的判定方法有：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．根据相似三角形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：可添加条件：． 证明如下： ∵，， ∴， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，请添加一个条件 ，使得．    【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．熟练掌握有两组角分别对应相等的三角形相似是解题的关键． 【详解】解：添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵, ∴，即， ∵， ∴； 故答案为：或或（答案不唯一）． 6．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，点D，E分别在，边上，，若，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．因为，所以，由，得到，利用相似三角形的性质，即得答案． 【详解】， ， ， ， ． 地 城 考点02 相似三角形的性质 7．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，在中，．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质，推出，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∴，故选项D正确，不符合题意； 无法得到，故选项C错误，符合题意； 故选：C． 8．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是上的一点，且，点是的中点，连接，若，．则的长是(    ) A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，构造以为斜边的直角三角形从而运用勾股定理求解是解题的关键．过作于点，根据矩形的性质得到，从而判定，再根据相似三角形的对应边成比例求出和，继而求出，最后用勾股定理求解即可． 【详解】如图，过作于点， ∵四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴，， 在四边形中，， ， ， ， 又∵点是的中点， ∴， 在Rt中，， 故选：B． 9．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）如图，在中，，，，若的面积为4，则的面积为（   ） A．8 B．12 C．16 D．36 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，相似三角形的面积之比，理解并学会用相似比的求面积比是解题的关键． 由，推出，根据相似比可得到其面积比等于相似比的平方，即可求得的面积． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∵的面积为4， ， ， 故选：D． 10．（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，是的斜边上的高，，，那么与的面积之比是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直角三角形的性质和余角的性质可证，然后利用相似三角形的性质求解即可． 本题考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的性质． 【详解】解：∵是斜边上的高， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴与的面积之比， 故选：D． 11．（2024·云南红河·模拟预测）如图，在中，，且，，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意证明出，然后得到，然后代数求解即可． 此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 【详解】∵， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴． 故选：B． 12．（2023·云南昭通·二模）如图，点D、E分别在的边、上，且，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．证明，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选∶A． 13．（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，在中，点分别是边上的点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键． 通过判定，然后利用相似三角形的性质分析求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：D． 14．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解： ∴ ， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 15．（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，在中，，，则与的周长之比为 ． 【答案】 【分析】由平行线可得两个三角形相似，再由其周长比等于其对应边的比，进而即可得出结论． 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的周长之比等于相似比是解本题的关键． 【详解】解；∵， ∴， 又∵， ∴与的周长之比， 故答案为：． 16．（2024·北京丰台·一模）如图，是的中位线，点F在上，，连接并延长，与的延长线交于点M．若，则线段的长为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论． 【详解】解：是的中位线，， ，， ， ， ， ∴． 故答案为：10． 17．（23-24九年级上·湖北随州·期末）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，是用“矩”测量一个信号塔高度的示意图，点在同一水平线上，和均为直角，与交于点，测得，，则信号塔的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．由题意可知，，，证明，得到，即可求出信号塔的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 18．（2023·云南昆明·三模）已知，与相交于点，其中点，分别是，的中点，若，则的值为 ．    【答案】 【分析】根据相似的判定与性质，数形结合即可得到答案． 【详解】∵， ， ， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴由三角形中位线定义可知是的中位线， ∴， ∵， ∴，即与的相似比为1:2， ∴的周长与的周长之比为1:2， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，涉及平行线性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 19．（2022·辽宁·中考真题）如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】由正方形的性质可知，，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为3． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 20．（17-18九年级下·江苏南通·月考）如图，△ABC中，点D在边AC上，∠ABD=∠C，AD=9，DC=7，那么AB= ．    【答案】12 【详解】∵在△ABC中，∠ABD=∠C，∠A=∠A， ∴△ABD∽△ACB， ∴AB2=AD⋅AC， 而AD=9，CD=7， ∴AC=16， ∴AB=12. 故答案为12. 21．（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，在四边形中，，，点E在上，平分，平分． (1)求的度数． (2)求证：． 【答案】(1)90° (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，根据三角形的内角和定理即可求解， （2）由角度关系得到，根据相似三角形的性质，即可求解， 本题考查了相似三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）如图，，点B是线段上的一点，且．已知． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法： （1）根据同角的余角相等，以及两组对应角相等的两个三角形相似即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）∵ ∴ ∴ ∴． 23．（2023九年级上·浙江·专题练习）如图，在三角形中，点D在边上，点E在边上，且， (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明相似三角形是关键． （1）由可得，即，即可求证； （2）根据题意求出，结合即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即： ∵ ∴ （2）解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴， 解得：（负值舍去）， ∴ 地 城 考点03 相似三角形性质和判定综合 24．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）如图，是的外接圆，是的直径，点B是半圆的中点，点D是上一动点（不与点A、C重合），连接交于点G． (1)如图1，过点B作，交延长线于点F，求证：与相切； (2)如图2，过点G作，垂足为点H，若，，，求的长； (3)如图3，把沿直线翻折得到，连接，当点D在运动时，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)．理由见解析 【分析】（1）连接，由是的外接圆，是的直径，点B是半圆的中点，得出，，再结合平行线的性质可推出结论； （2）证明，，在中，设，则，，，得出，即，从而得出结果； （3）作，使得，连接，．证明，得出，推出，进而可推出结论． 【详解】（1）解：连接，如图： 是的外接圆，是的直径，点B是半圆的中点， ，， ， ， ， ， ， 又∵点B在圆上，是的半径， 与相切； （2）解：∵点B是半圆的中点， ， 是的直径， ， ， ， ，， ， ， ， ∵， 在中，设，则，，， ∴，即， ； （3）解：结论：．理由如下： 如图，作，使得，连接，． ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解（3）的关键． 25．（24-25八年级下·云南昆明·期末）【问题提出】 如图1，是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数． 方 法 一 在边上截取．易证是等腰直角三角形．接着可以证明，得到，从而可得与的关系． 方 法 二 过点作，垂足为点，易证，从而可得，所以．又，所以是等腰直角三角形，从而可得与的关系． 根据以上方法，直接写出_____； （2）再探究一般情形，如图1，探究与的数量关系； 【问题拓展】 （3）将图1特殊化，，如图3，若，求的值． 【答案】（1）45；（2）；（3）20 【分析】本题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似． （1）方法一：在上截取，使，连接，先证明得到，再由正方形的性质得到，则，可得到，则，进而得到． 方法二：延长，过点F作，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点A作的垂线交的延长线于点P，求出菱形的边长为40，由（2）知，，通过相似求出，即可解出． 【详解】解：方法一：在上截取，使，连接． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是正方形， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴． 方法二：延长过点F作， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：45； （2）在上截取，使，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴ ∵， ∴． ∴ （3）过点A作的垂线交的延长线于点P， ∵，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， 由（2）知，． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴, 在上截取，使，连接，作于点O． 由（2）知，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 26．（2025·浙江·二模）已知内接于是的直径，为圆上一点，是的切线，连结，与交于点． (1)如图1，延长与交于点． ①若，求的大小． ②若，求的半径． (2)如图2，，延长与交于点，若，求与的面积比． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①连接，求解，证明，再结合三角形的内角和定理求解即可；②设，再结合勾股定理求解即可； （2）如图，连接，过作交的延长线于，交于，证明四边形为矩形，可得，，证明，可得，设，则，证明，可得，求解：，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：①如图，连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； ②设， ∵，， ∴， 解得：； （2）解：如图，连接，过作交的延长线于，交于， ∵是的切线， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或； ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与的面积比为 ． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的性质，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 27．（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，四边形内接于，，且，与的延长线交于点F，点E在的延长线上，是对角线，，，． (1)求的度数． (2)求证：是的切线． (3)求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)4 【分析】（1）连接，由四边形内接于，，可得是的直径，由直径所对的圆周角是，即可求解， （2）结合三角形外角的性质及同弧所对的圆周角相等可得，由切线的判定定理节课求解， （3）由，得到，根据垂径定理，可得，进而得到，，，由，得到，设，则，，在中，根据勾股定理即可求解． 本题考查了，直径所对的圆周角是，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理解三角形，解题的关键是：根据得到． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形内接于，， ∴是的直径，点O在上， ∴， （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线， （3）解：如图，与交于点H． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 28．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）如图，是的直径，点C在上，延长至点D，使，点M为弧的中点，连接交于点N． (1)求证：是的切线； (2)若的直径为，，求的长； (3)若的值为a，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，圆周角定理得出，即：，等腰三角形的性质得出，结合，证明，即可解答． （2）根据题意得出，在中，勾股定理求出，证明，得出，设，则，，在中，勾股定理列方程即可求解． （3）如图，连接，，圆周角定理得出，根据点为的中点，得出，证出是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， 是的直径， ，即：， ， ， ， ，即：， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：， ， 由（1）得， 在中，， ，， ， ， 设，则， ， 由（1）得， 在中，， ， 解得：；（舍去）， ． （3）解：如图，连接，， 是的直径， ， 点为的中点， ， ∴， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】该题主要考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，切线的判定，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 29．（21-22九年级下·四川成都·期中）如图1所示，已知AB，CD是⊙O的直径，T是CD延长线的一点，⊙O的弦AF交CD于点E，且AE＝EF，OA2＝OE•OT． （1）如图1，求证：BT是⊙O的切线； （2）在图1中连接CB，DB，若，求tanT的值； （3）如图2，连接DF交AB于点G，过G作GP⊥CD于点P，若BT，DT＝6．求：DG的长．    【答案】（1）详见解析；（2）CD是圆的直径；（3） 【分析】（1）证明AO2=OE•OT、△AOE∽△TOB，即可求解； （2）证明△DBT∽△BCT，则，在Rt△OBT中，，即可求解； （3）由△AOE∽△TOB得OE=1，又△AOE∽△GOP，则，而△PDG∽△EDF，求出，即可求解． 【详解】解：（1）证明：CD是⊙O的直径，⊙O的弦AF交CD于点E，且AE＝EF， ∴CD⊥AF，∠AEO＝90°， ∴AO2＝OE•OT，AB是圆的直径， ，又∠AOE＝∠BOT， ∴△AOE∽△TOB， ∴∠OBT＝∠AEO＝90°， ∴BT是⊙O的切线； （2）CD是圆的直径， ∴∠CBD＝90°，又∠OBT＝90°，∴∠CBO＝∠DBT， ∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC， ∴∠C＝∠DBT，又∠T＝∠T， ∴△DBT∽△BCT， ∴， 设DT＝m（m＞0）， 则BT＝2m，CT＝4m， 则CD＝3m，OB＝OD＝1.5m， 在Rt△OBT中， ， （3）∵∠OBT＝90°， ∴OB2+BT2＝OT2， 设半径为r，又BT＝6，DT＝6， r2+（6）2+（r+6）2， 解得：r＝3， ∴△AOE∽△TOB， ，即：， ∴OE＝1， AE＝2， ∵GP⊥CD于点P，∠AEO＝90°， ∴∠AEO＝∠GPO， 又∠AOE＝∠GOP， ∴△AOE∽△GOP， ∴， 设：OP＝a，则PG＝2a， PD＝OD﹣OP＝3﹣a， 而△PDG∽△EDF， 则， 即：，解得：， ∴， 在Rt△PDG中， ． 【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了相似三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 地 城 考点04 位似 30．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 31．（2019·福建·二模）如图，在△ABC中，DE∥AB，DE分别与AC，BC交于D，E两点．若，AC＝3，则DC＝ ． 【答案】2 【分析】由DE∥AB可得出△DEC∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出，再结合AC＝3即可求出DC的长度． 【详解】∵DE∥AB， ∴△DEC∽△ABC， ∴， ∴． 又∵AC＝3， ∴DC＝2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定定理找出△DEC∽△ABC是解题的关键． 32．（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，以原点O为位似中心，与位似，且相似比为，其中点． (1)在平面直角坐标系中画出． (2)写出，两点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点， 【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质． （1）连接，并延长使，同理作出点和点的对应点，再顺次连接即可得； （2）由位似变换可得，，，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：根据图象，可得点，． 试卷第8页，共38页 试卷第1页，共37页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08相似 4大高频考点概览 一、考点01 相似三角形的判定 二、考点02 相似三角形的性质 三、考点03 相似三角形性质和判定综合 四、考点04 位似 地 城 考点01 相似三角形的判定 1．（22-23九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，已知是的边上一点，根据下列条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 2．（2015·湖北荆州·中考真题）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． D． 3．（2016·山东泰安·中考真题）如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（ ）   A．A B．B C．C D．D 4．（23-24九年级下·云南·月考）如图，要使，需要补充一个条件可以是 ．（只需要填写一个即可） 5．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，请添加一个条件 ，使得．    6．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，点D，E分别在，边上，，若，则 ．    地 城 考点02 相似三角形的性质 7．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，在中，．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 8．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是上的一点，且，点是的中点，连接，若，．则的长是(    ) A．6 B． C． D． 9．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）如图，在中，，，，若的面积为4，则的面积为（   ） A．8 B．12 C．16 D．36 10．（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，是的斜边上的高，，，那么与的面积之比是（   ）    A． B． C． D． 11．（2024·云南红河·模拟预测）如图，在中，，且，，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（2023·云南昭通·二模）如图，点D、E分别在的边、上，且，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，在中，点分别是边上的点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，在中，，，则与的周长之比为 ． 16．（2024·北京丰台·一模）如图，是的中位线，点F在上，，连接并延长，与的延长线交于点M．若，则线段的长为 ． 17．（23-24九年级上·湖北随州·期末）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，是用“矩”测量一个信号塔高度的示意图，点在同一水平线上，和均为直角，与交于点，测得，，则信号塔的高度为 ． 18．（2023·云南昆明·三模）已知，与相交于点，其中点，分别是，的中点，若，则的值为 ．    19．（2022·辽宁·中考真题）如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为 ． 20．（17-18九年级下·江苏南通·月考）如图，△ABC中，点D在边AC上，∠ABD=∠C，AD=9，DC=7，那么AB= ．    21．（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，在四边形中，，，点E在上，平分，平分． (1)求的度数． (2)求证：． 22．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）如图，，点B是线段上的一点，且．已知． (1)求证：； (2)求线段的长． 23．（2023九年级上·浙江·专题练习）如图，在三角形中，点D在边上，点E在边上，且， (1)求证：； (2)若，求的长． 地 城 考点03 相似三角形性质和判定综合 24．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）如图，是的外接圆，是的直径，点B是半圆的中点，点D是上一动点（不与点A、C重合），连接交于点G． (1)如图1，过点B作，交延长线于点F，求证：与相切； (2)如图2，过点G作，垂足为点H，若，，，求的长； (3)如图3，把沿直线翻折得到，连接，当点D在运动时，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 25．（24-25八年级下·云南昆明·期末）【问题提出】 如图1，是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数． 方 法 一 在边上截取．易证是等腰直角三角形．接着可以证明，得到，从而可得与的关系． 方 法 二 过点作，垂足为点，易证，从而可得，所以．又，所以是等腰直角三角形，从而可得与的关系． 根据以上方法，直接写出_____； （2）再探究一般情形，如图1，探究与的数量关系； 【问题拓展】 （3）将图1特殊化，，如图3，若，求的值． 26．（2025·浙江·二模）已知内接于是的直径，为圆上一点，是的切线，连结，与交于点． (1)如图1，延长与交于点． ①若，求的大小． ②若，求的半径． (2)如图2，，延长与交于点，若，求与的面积比． 27．（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，四边形内接于，，且，与的延长线交于点F，点E在的延长线上，是对角线，，，． (1)求的度数． (2)求证：是的切线． (3)求的长． 28．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）如图，是的直径，点C在上，延长至点D，使，点M为弧的中点，连接交于点N． (1)求证：是的切线； (2)若的直径为，，求的长； (3)若的值为a，求的值． 29．（21-22九年级下·四川成都·期中）如图1所示，已知AB，CD是⊙O的直径，T是CD延长线的一点，⊙O的弦AF交CD于点E，且AE＝EF，OA2＝OE•OT． （1）如图1，求证：BT是⊙O的切线； （2）在图1中连接CB，DB，若，求tanT的值； （3）如图2，连接DF交AB于点G，过G作GP⊥CD于点P，若BT，DT＝6．求：DG的长．    地 城 考点04 位似 30．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 31．（2019·福建·二模）如图，在△ABC中，DE∥AB，DE分别与AC，BC交于D，E两点．若，AC＝3，则DC＝ ． 32．（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，以原点O为位似中心，与位似，且相似比为，其中点． (1)在平面直角坐标系中画出． (2)写出，两点的坐标． 试卷第4页，共11页 试卷第4页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $